МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ УКРАЇНИ

ТЕРНОПІЛЬСЬКИЙ ДЕРЖАВНИЙ ТЕХНІЧНИЙ УНІВЕРСИТЕТ

імені ІВАНА ПУЛЮЯ

БАРАН Ігор Олегович

УДК 519.633:519.685

ВИСОКОТОЧНІ ОБЧИСЛЮВАЛЬНІ АЛГОРИТМИ ТА СИСТЕМА АВТОМАТИЗОВАНОГО РОЗРАХУНКУ ДИФУЗІЙНИХ ПРОЦЕСІВ В БАГАТОКОМПОНЕНТНИХ СЕРЕДОВИЩАХ

01.05.02 - Математичне моделювання та обчислювальні методи

АВТОРЕФЕРАТ

дисертації на здобуття наукового ступеня

кандидата технічних наук

Тернопіль – 2003

Дисертацією є рукопис.

Робота виконана в Тернопільському державному технічному університеті імені Івана Пулюя Міністерства освіти і науки України

Науковий керівник: | член-кореспондент НАН України,

доктор фізико-математичних наук, професор

Дейнека Василь Степанович,

Інститут кібернетики імені В.М. Глушкова НАН України,

завідувач відділу, м. Київ

Офіційні опоненти: | доктор технічних наук, старший науковий співробітник

Гаєв Євген Олександрович,

Інститут гідромеханіки НАН України,

провідний науковий співробітник, м. Київ

доктор технічних наук, професор

Власюк Анатолій Павлович,

Український державний університет водного господарства

та природокористування,

завідувач кафедри прикладної математики, м. Рівне

Провідна установа: | Національний технічний університет України “Київський

політехнічний інститут”, фізико-технічний інститут, м. Київ

Захист відбудеться 05 січня 2004 р. о 13 год. на засіданні спеціалізованої вченої ради К 58.052.01 в Тернопільському державному технічному університеті імені Івана Пулюя за адресою: 46001, м. Тернопіль, вул. Руська, 56

З дисертацією можна ознайомитися в науково-технічній бібліотеці Тернопільського державного технічного університету імені Івана Пулюя за адресою: 46001, м. Тернопіль, вул. Руська, 56

Автореферат розісланий 2 грудня 2003 р.

Вчений секретар

спеціалізованої вченої ради,

кандидат фізико-математичних наук Шелестовський Б.Г.

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальність теми. Численні об’єкти та пристрої гідротехніки, авіаційної і ракетно-космічної техніки, атомної енергетики, металургії і т.д. є складними, багатокомпонентними структурами, які працюють при різноманітних навантаженнях і високих температурах. Характерною особливістю таких об’єктів є те, що вони містять в собі тонкі включення (теплоізоляційні покриття, технологічні шви, контактні зазори, системи каналів охолодження та ін.), які породжують розриви як в полях, що супроводжують процеси, які в них протікають, так і в їх потоках.

Математичному моделюванню впливу тонких включень на процеси дифузії, теплопровідності та фільтрації в областях складної форми присвячено роботи І.В. Сергієнка, В.С. Дейнеки, В.В. Скопецького, І.І. Ляшка, І.М. Молчанова, В.Ф. Демченка, Г.Ю. Мистецького, В.С. Авдуєвського, Е.К. Калініна, Г.А. Дрейцера, В.В. Костюка, Б.Л. Пелеха, А.А. Жукаускаса, М.М. Бєляєва, Є.О. Гаєва, О.А. Рядна, В.П. Козлова, Ш.Н. Плята, Ю.П. Шликова та ін. Як правило, для знаходження наближеного розв’язку задач математичної фізики використовуються класичні числові методи – скінченних різниць та скінченних елементів (МСЕ). Значний вклад в розвиток числових методів внесли Г.І. Марчук, О.А. Самарський, М.М. Яненко, С.Г. Міхлін, Г. Стренг, Дж. Фікс, О. Зенкевич, Ф. С’ярле, І.В. Сергієнко, В.С. Дейнека, В.В. Скопецький, Я.Г. Савула та ін.

Враховувати вплив тонких включень на реальні фізичні процеси можливо за допомогою умов спеціального виду – умов спряження неідеального контакту. Моделювання фізичних процесів в багатокомпонентних областях зводиться до розв’язання змішаних крайових задач у різних системах координат та з різноманітними умовами спряження неідеального контакту (задач з розривними розв’язками та потоками). Слід відзначити, що в 70-80-х роках ХХ ст. було вирішено питання побудови високоточних обчислювальних алгоритмів дискретизації основних класів задач математичної фізики з гладкими розв’язками. На той час такі схеми були відсутні для задач з умовами спряження неідеального контакту. Наприкінці 70-х років В.С. Дейнека запропонував використовувати відповідні класи розривних функцій для побудови і обґрунтування класичних узагальнених задач та побудови обчислювальних схем підвищеного порядку точності їх дискретизації при довільно орієнтованих в просторі тонких слабкопроникних включеннях.

На сьогоднішній час відомі програмні комплекси, які орієнтовані на розв’язування задач з умовами спряження ідеального контакту: ФСП ОС (керівник І.І. Ляшко), ЭФИР, САФРА (керівник О.А. Самарський), ПОЛЕ (керівник В.Л. Рвачов). Існують комплекси ЭФЕС і ЭФЕС 3 (керівник В.П. Ільїн), САРПОК (керівники І.В. Сергієнко, В.С. Дейнека, В.В. Скопецький), НАДРА (керівники І.В. Сергієнко, В.С. Дейнека), які дозволяють використання умов спряження неідеального контакту. Два останні програмні комплекси застосовують досить широкий клас умов спряження, проте їх функціональне наповнення не дозволяє повною мірою забезпечити самостійний числовий розрахунок змішаних крайових задач у двовимірних областях, записаних в трьох основних ортогональних системах координат (декартовій, циліндричній, полярній) з класичними крайовими умовами та різноманітними умовами спряження неідеального контакту. Також автору не відомі системи, які б розв’язували крайові задачі з умовами спряження, що записані в полярних координатах. Таким чином, актуальною є задача створення ефективного високоточного алгоритмічного та програмного забезпечення для розв’язання задач дифузії в багатокомпонентних середовищах, сформульованих в згаданих системах координат.

Зв’язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Тематика дисертації пов’язана з плановими дослідженнями, які проводяться на кафедрі інформатики та математичного моделювання Тернопільського державного технічного університету імені Івана Пулюя, а також з держбюджетною темою ДІ 80-2000 “Математичне моделювання виникнення, визначення та оптимізації рівня залишкових технологічних напружень в плитах і пластинах” (номер державної реєстрації 0100U000788). Дисертаційна робота виконана в період з 1999 по 2003 рр. у Тернопільському державному технічному університеті імені Івана Пулюя на згаданій кафедрі у відповідності з планами науково-дослідної роботи університету та індивідуальним планом аспірантської підготовки.

Мета і задачі дослідження. Мета даної роботи полягає в створенні наукових основ побудови ефективної автоматизованої діалогової системи моделювання усталених дифузійних процесів в багатокомпонентних середовищах, що містять довільно орієнтовані в просторі тонкі включення/тріщини різноманітного походження (які описуються крайовими задачами для еліптичного рівняння 2-го порядку з умовами спряження) та розробки зазначеної вище системи. База системи – це високоточні методи розв’язування вказаних класів крайових задач, отриманих на основі законів збереження, в основних широко вживаних ортогональних системах координат.

Для досягнення цієї мети в процесі досліджень вирішувались такі задачі:

- побудова та дослідження нових математичних моделей стаціонарних процесів в багатокомпонентних середовищах з довільно орієнтованими в просторі тонкими включеннями/тріщинами;

- з’ясування питання коректності побудованих математичних моделей;

- розробка на основі використання класів розривних функцій МСЕ високоточних обчислювальних алгоритмів дискретизації нових класів крайових задач з умовами спряження (розривними розв’язками та потоками) в декартовій, циліндричній та полярній системах координат;

- отримання оцінок похибок наближених розв’язків;

- розробка та практична реалізація програмно-алгоритмічного забезпечення для розв’язування одновимірних задач дифузії з умовами спряження;

- розробка та створення діалогової автоматизованої системи високоточного розрахунку дифузійних процесів в багатокомпонентних двовимірних областях з довільно орієнтованими тонкими включеннями/тріщинами різноманітного походження;

- проведення числових експериментів та розв’язання практичних задач.

Об’єкт дослідження – усталені процеси дифузії та фільтрації рідини в багатокомпонентних середовищах.

Предмет дослідження – математичні моделі дифузійних процесів у багатокомпонентних середовищах, високоточні обчислювальні алгоритми та автоматизована система розрахунку згаданих процесів.

Методи дослідження. У роботі використовуються: відомі закони збереження для побудови математичних моделей, що описуються змішаними крайовими задачами з умовами спряження; методологія застосування класів розривних функцій, розроблена в Інституті кібернетики імені В.М. Глушкова НАН України, для побудови відповідних класичних еквівалентних узагальнених задач; класи розривних функцій МСЕ для побудови обчислювальних схем підвищеного порядку точності дискретизації згаданих задач; сучасні засоби функціонального аналізу для обґрунтування теоретичних положень та засоби об’єктно-орієнтованого програмування для створення автоматизованої системи DIFUS; обчислювальні експерименти для підтвердження теоретичних викладок.

Наукова новизна роботи полягає в наступному.

1. Побудовано та досліджено нові математичні моделі стаціонарних процесів дифузії та фільтрації рідини в анізотропних областях складної конфігурації, які містять довільно орієнтовані в просторі тонкі включення/тріщини.

2. Побудовано нові класичні еквівалентні узагальнені задачі, які визначені на класах розривних функцій, в основних ортогональних системах координат (декартовій, циліндричній, полярній); доведено теореми існування та єдиності узагальнених розв’язків отриманих задач.

3. Побудовано обчислювальні алгоритми підвищеного порядку точності дискретизації отриманих класів задач з умовами спряження неідеального контакту.

4. Отримано оцінки похибок наближених розв’язків.

5. Побудовано нову варіаційну задачу з єдиним узагальненим розв’язком про формування температурного поля у вузлі тертя.

6. На основі об’єктно-орієнтованого програмування та розроблених високоточних обчислювальних алгоритмів МСЕ створено та програмно реалізовано автоматизовану систему DIFUS діалогового моделювання задач з умовами спряження. За допомогою системи DIFUS розв’язано модельні приклади та практичні задачі.

Практичне значення одержаних результатів. Побудовані нові математичні моделі у вигляді крайових та класичних еквівалентних узагальнених задач можуть бути застосовані для опису складних процесів різноманітного походження в багатокомпонентних середовищах. Розроблені високоточні обчислювальні алгоритми можуть бути використані для розв’язання відповідних практичних задач, а методика їх побудови може застосовуватись при розробці ефективних обчислювальних схем для нових подібних класів задач. Створена автоматизована система може використовуватись як складова комп’ютерних комплексів для моделювання складних процесів різної фізичної природи та для проведення науково-дослідницької роботи за даним напрямком. Отримані на основі проведених числових експериментів результати можуть бути використані при дослідженні об’єктів, характерний фізичний процес в яких описується запропонованими моделями.

Отримані в дисертаційній роботі результати використовуються в локомотивному депо Тернопіль для розрахунку температурних полів у вузлах тертя колісних пар вагонів (акт впровадження від 12.08.2003 р.). Розроблену в дисертаційній роботі систему DIFUS впроваджено у навчальний процес у Львівському національному університеті імені Івана Франка (акт впровадження від 25.06.2003 р.) та в Тернопільському державному технічному університеті імені Івана Пулюя (акт впровадження від 9.07.2003 р.).

Особистий внесок здобувача. Всі результати, що становлять основний зміст дисертаційної роботи, отримані автором самостійно. В усіх публікаціях, виконаних в співавторстві, здобувачу належить: в роботі [2] – побудова високоточних обчислювальних алгоритмів та з’ясування питання оцінок похибок наближених розв’язків; у роботі [3] – побудова крайових та узагальнених задач, отримання оцінки числа обумовленості матриць МСЕ; в роботі [4] – розробка структури системи, принципів функціонування її підсистем та програмна реалізація автоматизованої системи DIFUS; у роботі [5] – побудова та обґрунтування розроблених високоточних обчислювальних схем МСЕ; в роботі [6] – побудова змішаних крайових задач з новими умовами спряження, доведення теорем про існування і єдиність узагальнених розв’язків; у роботі [7] – побудова еквівалентних класичних узагальнених задач, що визначені на класах розривних функцій, дослідження питань коректності запропонованих математичних моделей. У роботах [2, 3, 5, 6] дисертантом також побудовано та чисельно розв’язано всі модельні приклади.

У роботах [2-7] науковому керівнику (співавтору) належать ідеї побудови крайових та узагальнених задач; методичні вказівки щодо дослідження питань коректності математичних моделей, з’ясування питань отримання оцінок похибок наближених розв’язків та обговорення отриманих дисертантом нових наукових результатів.

Апробація роботи. Окремі результати дисертаційної роботи апробовано на міжнародній конференції “Моделювання та оптимізація складних систем” “МОСС – 2001” (м. Київ, 25-28 квітня 2001 р.); міжнародному симпозіумі “Питання оптимізації обчислень” “ПОО-ХХХ” (сел. Кацивелі (Крим), 24-30 вересня 2001 р.); науково-технічних конференціях Тернопільського державного технічного університету імені Івана Пулюя (2001-2003 рр.); науково-технічних семінарах кафедри інформатики та математичного моделювання Тернопільського державного технічного університету імені Івана Пулюя (1999-2003 рр.); семінарах відділу математичних методів і програмних засобів прикладної інформатики Інституту кібернетики імені В.М. Глушкова НАН України (2000-2003 рр.).

У цілому робота обговорювалась на розширеному науковому тематичному семінарі Тернопільського державного технічного університету імені Івана Пулюя “Математичне моделювання та інформаційні технології”.

Публікації. Результати дисертаційної роботи опубліковано в 10 наукових працях: 7 статтях, з яких 5 у фахових виданнях, та 3 тезах конференцій.

Структура та обсяг дисертації. Дисертаційна робота складається з вступу, чотирьох розділів, висновків, переліку використаних джерел та додатків. Загальний обсяг дисертаційної роботи становить 186 сторінок, в т.ч. 37 рисунків, 26 таблиць, список використаних джерел із 133 найменувань на 11 сторінках.

ОСНОВНИЙ ЗМІСТ РОБОТИ

У вступі обґрунтовано актуальність роботи, відзначено зв’язок з науковими темами, сформульовано мету і задачі дослідження, показано наукову новизну отриманих результатів, їх практичну цінність, також розглянуто питання апробації результатів дисертації та їх висвітлення у друкованих працях.

У першому розділі наведено короткий огляд сучасного стану моделювання процесів теплопровідності та фільтрації рідини в багатокомпонентних середовищах. Зроблено узагальнення відомих в літературі умов спряження неідеального контакту. Проведено огляд існуючих програмних комплексів, які орієнтовані на розв’язання крайових задач в суцільних та багатокомпонентних середовищах. Встановлено, що питання розв’язання змішаних крайових задач з умовами спряження неідеального контакту недостатньо висвітлено. Показано перевагу використання для знаходження наближеного розв’язку схем підвищеного порядку точності над традиційними схемами МСЕ для класу задач з сильно осцилюючим за просторовими координатами розв’язком.

В другому розділі наведено нові одновимірні математичні моделі для змішаних крайових задач, записаних в декартовій і циліндричній системах координат з різними умовами спряження неідеального контакту. Для прикладу розглянемо диференціальну задачу в декартових координатах. На області , яка є об’єднанням двох областей визначено диференціальне рівняння 2-го порядку, коефіцієнти якого відповідають деяким заданим умовам неперервності та диференційованості. Рівняння може описувати усталений температурний режим тонкого складеного стержня зі складеним коротким включенням або усталену вертикальну напірну фільтрацію рідини в багатокомпонентному ґрунтовому середовищі зі складеним тришаровим включенням та ін. Контакт між областями відбувається по короткому включенні з координатою . На одному краю області при задано крайову умову І-го роду, на другому при – ІІІ-го роду. Для врахування впливу тонкого включення в точці на фізичний процес використовуються умови спряження неідеального контакту. В роботі розглянуто різні їх варіанти.

Умови зосередженого власного джерела (зустрічалися раніше в роботах В.Ф. Демченка):

(1)

(2)

де

Умови узагальненого зосередженого власного джерела:

(3)

(4)

де - множина дійсних чисел.

З умови (3) при отримуємо неоднорідну головну умову:

(5)

Умови лінійної залежності потоків від стрибка розв’язку:

(6)

(7)

Аналог умов (6), (7) відомий в теорії пружності для моделювання в’язкого тертя (зустрічалися раніше в роботах Боган Ю.А.).

Для всіх наведених вище варіантів умов спряження в декартових і циліндричних координатах сформульовано еквівалентні узагальнені задачі: варіаційна задача та задача в слабкій постановці. Доведено теореми про існування та єдиність узагальнених розв’язків. Встановлено зв’язок класичного розв’язку з узагальненим. Розглянуто випадок заміни головної умови спряження (5) природною з малим параметром . Встановлено вплив на розв’язок та отримано оцінки похибки наближеного розв’язку МСЕ.

Для прикладу наведемо одну із задач в декартових координатах, коли в точці задані умови спряження у вигляді (5), (4).

Варіаційна задача: відшукати функцію , яка надає мінімум функціоналу енергії

(8)

де Н – множина функцій , які на областях 1, 2 належать простору С.Л. Соболєва і задовільняють головну крайову умову (першого роду) в точці та головну умову спряження (5); - постійні з крайової умови ІІІ-го роду.

Задача в слабкій постановці: відшукати функцію , яка задовольняє інтегральне рівняння

(9)

де

Числовий наближений розв’язок розглядуваної крайової задачі шукається як наближений розв’язок однієї з еквівалентних узагальнених задач (8), (9). Дискретизація узагальненої задачі реалізована за допомогою МСЕ з використанням класів кусково-поліноміальних розривних функцій різного порядку точності. При цьому кожна з областей розбивається на скінченне число елементарних відрізків. На кожному з цих елементів вводяться вузлові точки, в яких визначені значення допустимих функцій МСЕ або значення цих функцій та значення їх похідних. Нехай множина складається з неперервних на відрізках функцій , які є повними поліномами степеня k змінної x на кожному елементарному відрізку розбиття проміжків . Наближений узагальнений розв’язок будемо шукати в класі функцій , які задовільняють крайову умову І-го роду в точці і умову при Тут N – число відрізків , на які розбитий сегмент Якщо - базис простору , то довільна функція може бути записана у вигляді:

(10)

Тут - відоме значення шуканої функції в точці

Підставляючи (10) у функціонал (8), з умови мінімуму одержуємо систему лінійних алгебраїчних рівнянь (СЛАР) із симетричною додатно визначеною матрицею для визначення невідомих значень розкладу (10) наближеного узагальненого розв’язку Тут - значення функції чи певної її похідної у відповідній вузловій точці.

В роботі доведено той факт, що коли класичний розв’язок розглядуваної крайової задачі має на інтервалах неперервні обмежені похідні до (k+1)-го порядку включно, то для цієї задачі має місце оцінка

(11)

де

При практичній реалізації умови (5) виникає потреба в реорганізації матриці МСЕ і при різних її структурах необхідно будувати відповідні алгоритми врахування цієї головної умови. Значно простіше практично враховувати природну умову. Головну умову (5) можна розглядати як граничний випадок при природної умови

(12)

де Можна вважати

Узагальнений розв’язок крайової задачі з малим параметром надає на мінімуму функціоналу енергії

(13)

і є розв’язком задачі в слабкій постановці

(14)

де

Аналогічні класичні еквівалентні узагальнені задачі отримано для всіх розглянутих варіантів умов спряження в декартових і циліндричних координатах.

В роботі доведено, що коли u – класичний розв’язок крайової задачі з умовою (5), а u - класичний розв’язок крайової задачі з умовою (12), то має місце оцінка:

(15)

Отже, замість крайової задачі з головною умовою спряження (5) можна розв’язувати задачу з малим параметром і природною умовою спряження (12). При цьому похибка отриманого розв’язку оцінюється співвідношенням (15).

В роботі також доведено, що коли – класичні розв’язки відповідно задач з умовами (5) і (12) та має на областях обмежені неперервні похідні до (k+1)-го порядку включно, то для наближеного узагальненого розв’язку задачі з умовою (12) має місце оцінка

(16)

де - постійна, яка не залежить від h і .

Використовуючи класи розривних функцій МСЕ, побудовано обчислювальні алгоритми підвищеного порядку точності дискретизації всіх розглянутих задач. Точність цих алгоритмів за порядком така ж, як і у відомих для аналогічних задач з гладкими розв’язками. Для всіх варіантів умов спряження в декартових і циліндричних координатах побудовано модельні приклади, які чисельно розв’язано за допомогою створених програм, що реалізують розроблені високоточні обчислювальні алгоритми. Отримані результати розрахунків підтверджують ефективність запропонованої методики розв’язання класів задач з умовами спряження.

В третьому розділі досліджено нові двовимірні математичні моделі стаціонарних дифузійних процесів в багатокомпонентних середовищах, які містять довільно орієнтовані включення/тріщини. Змішані крайові задачі розглянуто в різних ортогональних системах координат: декартовій, циліндричній, полярній. Для прикладу розглянемо диференціальну задачу в полярних координатах. Нехай в кожній з обмежених, таких, що не перетинаються, двовимірних областей G1, G2 з лінією їх розділу визначено еліптичне рівняння 2-го порядку, коефіцієнти якого задовольняють умови еліптичності. Області в прямокутній декартовій системі координат відповідає складене кільце при або складений кільцевий сектор при Кільцевому відрізку дотику областей G1, G2 в полярній системі координат відповідає прямолінійний відрізок Для складеного кільця (рис. 1, а) його границя складається з двох кіл і , а для складеного кільцевого сектора (рис. 1, б) –

Для врахування впливу на фізичний процес тонкого включення на лінії використовуються різні умови спряження неідеального контакту.

Умови тришарового тонкого включення (неоднорідні):

(17)

(18)

де при при - функція джерела або стоку на відрізку .

Співвідношення (17), (18) можуть враховувати вплив кільцевих систем охолодження в товстих складених циліндричних тілах.

Умови узагальненого зосередженого власного джерела – умова (17) і умова

(19)

Параметри умови (19) визначено в попередньому розділі.

З умови (17) при отримуємо неоднорідну головну умову:

(20)

Для прикладу розглянемо випадок, коли на задані умови спряження за допомогою співвідношень (20), (18). На ділянці 1 задано крайову умову І-го роду, на 2 – ІІІ-го роду. Для задачі на складеному кільці (задачі 1) додатково задано умови періодичності розв’язку та періодичності потоків Для задачі на складеному сегменті (задачі 2) на ділянці 3 – крайова умова І-го роду, на 4 – ІІІ-го роду. Для задач 1, 2 отримано еквівалентні узагальнені задачі: варіаційна і в слабкій постановці.

Варіаційна задача для задачі 1 полягає у відшуканні функції , яка надає мінімум функціоналу енергії

(21)

де - функції з крайової умови третього роду на 2.

Задача в слабкій постановці полягає у відшуканні функції , що задовольняє рівняння

(22)

Для задачі 2 відповідна варіаційна задача полягає у відшуканні функції , яка надає мінімум функціоналу енергії

(23)

де - функції з крайової умови третього роду на 4.

Задача в слабкій постановці полягає у відшуканні функції , що задовольняє рівняння

(24)

В роботі доведено теореми про існування та єдиність узагальнених розв’язків. Встановлено зв’язок класичного розв’язку з узагальненим.

Для знаходження наближеного узагальненого розв’язку розглядуваних задач використано МСЕ. Процес розбиття двовимірної багатокомпонентної області на скінченні елементи (елементарні трикутники) аналогічний до процесу розбиття одновимірної області . Виберемо простір функцій , які неперервні на областях та є повними поліномами степеня k змінних r, на кожному з трикутників розбиття . Наближений узагальнений розв’язок крайової задачі m (m=1,2) будемо шукати в підмножині Тут - множина функцій які набувають відомого значення, що задається в крайовій умові першого роду на 1, задовільняють умови періодичності та умову на , - множина функцій які набувають відомих значень, що задаються в крайових умовах першого роду на 1, 3 та задовільняють умову на ; N – кількість трикутників розбиття. Виходячи з варіаційної задачі (21) або (23) (аналогічно задачі в слабкій постановці (22) або (24)), числовий наближений узагальнений розв’язок отримуємо як розв’язок СЛАР.

Якщо класичний розв’язок задачі m (m =1,2) має на областях обмежені неперервні часткові похідні до (k+1)-го порядку включно, то в роботі доведено той факт, що для наближеного узагальненого розв’язку цієї задачі справедлива оцінка

(25)

де - довжина найбільшої сторони всіх трикутників розбиття; k – степінь поліномів МСЕ; при k=1 – половина величини найбільшого кута; при k=2,3 – величина найменшого кута всіх трикутників розбиття.

В подальшому, аналогічно до попереднього розділу, розглянуто можливість заміни неоднорідної головної умови (20) природною умовою спряження (з малим параметром ):

(26)

Використовуючи умову (26), сформульовано крайову задачу, яка визначена на складеному кільці (задачу 1), і крайову задачу, яка визначена на складеному круговому сегменті (задачу 2).

Узагальнений розв’язок крайової задачі 1 надає на мінімум функціоналу енергії

(27)

де , і задовольняє інтегральну тотожність

(28)

де

Узагальнений розв’язок крайової задачі 2 надає на мінімум функціоналу енергії

(29)

де , і задовольняє інтегральну тотожність

(30)

де

Класичні еквівалентні узагальнені задачі отримано для всіх розглянутих варіантів умов спряження в декартових, циліндричних і полярних координатах. На основі використання класів розривних функцій МСЕ побудовано обчислювальні алгоритми підвищеного порядку точності дискретизації розглядуваних задач. За допустимі функції МСЕ використано кусково-лінійні та кусково-квадратичні розривні функції МСЕ. Наведено всі розрахункові складові обчислювальних схем для отримання числового наближеного розв’язку задач в усіх згаданих системах координат. Сформульовано та доведено теореми про оцінки похибок наближених розв’язків.

В роботі показано, якщо um – класичний розв’язок крайової задачі m (m=1, 2), а um - розв’язок задачі m (m=1, 2), то існує оцінка виду (15). Тому замість крайової задачі m з головною умовою спряження (20) можна розв’язувати крайову задачу m з малим параметром і природною умовою спряження (26). При цьому похибка отриманого розв’язку оцінюється нерівністю (15).

В роботі доведено, що коли – класичні розв’язки відповідно задач m, m і має на областях обмежені неперервні часткові похідні до (k+1)-го порядку включно, то для наближеного узагальненого розв’язку задачі m справедлива оцінка

(31)

де – довжина найбільшого елементарного відрізка розбиття ,

Для всіх розглянутих випадків побудовано модельні приклади, які чисельно розв’язано за допомогою розробленої системи DIFUS, описаної в наступному розділі. Отримані результати розрахунків підтверджують високу ефективність запропонованої методики розв’язання класів задач з умовами спряження.

У четвертому розділі наведено опис програмно-алгоритмічної діалогової системи DIFUS для розв’язання двовимірних змішаних крайових задач з різними умовами спряження неідеального контакту. Систему DIFUS створено на основі принципів об’єктно-орієнтованого програмування. В основу проблемної частини DIFUS покладено побудовані в третьому розділі нові математичні моделі та розроблені автором високоточні обчислювальні алгоритми МСЕ. Набір програм розв’язує двовимірні задачі, які записані в трьох системах координат (декартовій, циліндричній, полярній), і використовує для апроксимації кусково-лінійні та кусково-квадратичні розривні функції МСЕ.

Функціональне і математичне забезпечення системи дозволяє задавати інформацію про задачу в зручному для користувача вигляді, а також редагувати її на будь-якому етапі вводу параметрів розрахунку. Для спрощення вводу функцій розроблено компілятор. На основі введеної інформації про геометрію області, параметри розбиття, фізичні параметри середовища і параметри тонких включень DIFUS автоматично виконує скінченно-елементне розбиття області, формує і розв’язує СЛАР, подає результати розрахунку в графічному і текстовому виглядах.

Функціонально DIFUS складається з наступних підсистем (рис. 2):

· системна складова;

· підсистема вводу геометричних параметрів (ПВГП);

· підсистема створення впорядкованих чотирикутних зон (ПСВЧЗ);

· підсистема вводу фізичних параметрів (ПВФП);

· підсистема задання параметрів скінченно-елементного розбиття (ПЗПСЕР);

· підсистема формування СЛАР МСЕ (ПФСЛАР);

· підсистема розв’язування СЛАР МСЕ (ПРСЛАР);

· підсистема виводу результатів розрахунку (ПВРР);

· інтерфейсна складова системи.

В роботі детально описано всі підсистеми DIFUS, наведено вигляди більшості діалогових та інформаційних вікон роботи з програмою. Для істотного спрощення роботи користувача створено бази даних умов спряження і класичних крайових умов (Дирихле, Неймана, Ньютона) для трьох згаданих систем координат. Наведено точний вигляд всіх варіантів умов спряження неідеального контакту. Відзначено, що в процесі розв’язання задачі система створює три файли: геометрії області, параметрів розбиття, фізичних параметрів. Кожен з цих файлів можна редагувати і знищувати на будь-якому етапі задання вхідної інформації. Зазначено той факт, що при редагуванні чи знищенні файлу геометрії області решту файлів редагуються або знищуються автоматично.

Далі розглянуто алгоритми розбиття багатокомпонентної області з розрізами на скінченні елементи (трикутники), введення на них необхідної кількості вузлових точок в залежності від порядку апроксимації МСЕ, а також початкової нумерації вузлів. Для зменшення півширини стрічки матриці ненульових елементів розрідженої структури, яка формується при використанні МСЕ, а також для зменшення часу розрахунку використовується алгоритм оптимізації нумерації вузлів, який базується на методі Катхілла-Маккі. Відзначено, що для задачі, визначеної на складеному кільці, записаної в полярних координатах, спочатку проводиться перенумерація, а потім врахування умови періодичності Для розв’язування СЛАР для задач в декартових і циліндричних координатах застосовано метод Холесського (квадратних коренів). Для задач в полярних координатах при 2-періодичності використовується модифікований варіант цього методу – метод обрамлення. Програмна реалізація цих методів була оптимізована спеціально для зберігання матриць профільної та оболонкової структури.

В роботі наведено отримані результати розрахунку в графічному і текстовому виглядах. Для графічного аналізу використовується спеціальний пункт головного меню та його підпункти, які дозволяють відобразити на екрані ізолінії розв’язку, а також поле температур чи швидкостей фільтрації. Для текстового аналізу призначено спеціальне вікно, в якому відображаються всі вхідні параметри та в таблиці отримані результати розрахунку (номери точок, їх координати, наближене значення розв’язку).

За допомогою створеної системи розв’язано практичні задачі. В роботі наведено результати розв’язання практичної задачі про формування температурного поля у вузлі тертя. Результати проведених розрахунків засвідчують високу ефективність як запропонованих математичних моделей, так і розроблених високоточних обчислювальних алгоритмів МСЕ для їх дискретизації. Результати розрахунків впроваджено в практику.

ВИСНОВКИ

У дисертаційній роботі вирішено нову науково-технічну задачу, а саме: побудовано та досліджено нові математичні моделі стаціонарних процесів дифузії та фільтрації рідини в складних анізотропних багатокомпонентних двовимірних областях, що містять тонкі включення/тріщини, а також розроблено теоретичні основи побудови та створення діалогової автоматизованої системи моделювання складних фізичних процесів в згаданих областях. Основні результати проведеної роботи полягають у наступному.

1. На основі огляду наявних публікацій за темою роботи встановлено, що питання створення автоматизованої системи розрахунку процесів дифузії та фільтрації рідини в складних багатокомпонентних двовимірних областях недостатньо вивчене. В існуючих на сьогоднішній час програмних комплексах не забезпечена можливість самостійного розв’язання задач з умовами спряження неідеального контакту, записаних в трьох основних ортогональних системах координат з різними класичними крайовими умовами.

2. Для одновимірного випадку:

- побудовано нові математичні моделі дифузійних процесів в багатокомпонентних середовищах із включеннями у вигляді змішаних крайових задач з умовами спряження в декартовій та циліндричній системах координат. Отримано нові еквівалентні їм узагальнені задачі;

- доведено теореми про існування та єдиність узагальнених розв’язків. Розглянуто випадок заміни головної умови спряження природною умовою з малим параметром та отримано оцінку залежності розв’язку від цього параметру;

- на основі використання класів розривних функцій МСЕ побудовано обчислювальні алгоритми підвищеного порядку точності дискретизації розглядуваних задач. Показано, що точність алгоритмів за порядком така сама, як і у відомих для аналогічних задач з гладкими розв’язками;

- на основі розроблених високоточних обчислювальних алгоритмів створено відповідне програмне забезпечення, за допомогою якого проведено числові експерименти для кожного з розглянутих в роботі нових класів задач (в тому числі при застосуванні малого параметру).

3. Для двовимірного випадку:

- побудовано для трьох основних ортогональних системах координат (декартової, циліндричної, полярної) нові математичні моделі дифузійних процесів в багатокомпонентних середовищах з довільно орієнтованими в просторі включеннями у вигляді змішаних крайових задач з умовами спряження неідеального контакту: тришарового тонкого включення (неоднорідні), узагальненого зосередженого власного джерела та із заданими стрибками розв’язку і потоку (з головною та природною умовами);

- побудовано нові еквівалентні їм узагальнені задачі. Доведено теореми про існування та єдиність узагальнених розв’язків. Розглянуто випадок заміни головної умови спряження природною умовою з малим параметром та отримано оцінку залежності розв’язку від цього параметру;

- на основі використання класів розривних функцій МСЕ побудовано обчислювальні алгоритми підвищеного порядку точності дискретизації розглядуваних задач. Для апроксимації використано кусково-лінійні та кусково-квадратичні розривні функції МСЕ. Показано, що точність розроблених алгоритмів за порядком така ж, як і у відомих для аналогічних задач з гладкими розв’язками. Сформульовано та доведено теореми про оцінки похибок наближених розв’язків.

4. На основі отриманих в дисертаційній роботі результатів побудовано нову варіаційну задачу з єдиним узагальненим розв’язком про формування температурного поля у вузлі тертя, а також побудовано високоточний обчислювальний алгоритм для знаходження її числового розв’язку.

5. На основі розроблених високоточних обчислювальних алгоритмів МСЕ та сучасних засобів об’єктно-орієнтованого програмування створено автоматизовану систему DIFUS діалогового розв’язання класів задач з умовами спряження. З її допомогою проведено комп’ютерні експерименти на модельних прикладах для двовимірного випадку для кожного з розглянутих нових класів задач (в тому числі при застосуванні малого параметру) та розв’язано практичні задачі.

СПИСОК ОПУБЛІКОВАНИХ ПРАЦЬ ЗА ТЕМОЮ ДИСЕРТАЦІЇ

1. Баран І. Розрахунок стаціонарних температурних полів у неоднорідних середовищах // Вісник Тернопільського державного технічного університету імені Івана Пулюя. – Тернопіль, 2003. – Том 8, №2. – С. 111-117.

2. Дейнека В.С., Баран И.О. Высокоточные вычислительные алгоритмы для эллиптического уравнения в полярной системе координат с условиями сопряжения // Компьютерная математика. Сб. науч. тр. – Киев, 2003, №1 – С. 141-150.

3. Дейнека В.С., Баран И.О. Метод конечных элементов для обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка с неоднородными условиями сопряжения // Компьютерная математика. Сб. науч. тр. – Киев, 2000. – С. 83-93.

4. Дейнека В.С., Баран І.О. Автоматизована система DIFUS для розрахунку процесів дифузії в неоднорідних середовищах // Вимірювальна та обчислювальна техніка в технологічних процесах. – 2002. - №2. - С. 111-115.

5. Дейнека В.С., Баран І.О. Задача з неоднорідними головними умовами та високоточні обчислювальні алгоритми її дискретизації // Комп’ютерна математика. Оптимізація обчислень. Зб. наук. пр. – Київ, 2001. – С. 116-123.

6. Дейнека В.С., Баран І.О. Обчислювальні алгоритми підвищеного порядку точності для осесиметричних задач з умовами спряження // Волинський математичний вісник. – Рівне, 2001. – Випуск 8. – С. 48-53.

7. Дейнека В.С., Баран І.О. Схеми методу скінченних елементів для задач з власними зосередженими джерелами // Волинський математичний вісник. – Рівне, 2000. – Випуск 7. – С. 43-47.

8. Баран І. Математичне моделювання стаціонарних температурних полів двохшарових циліндрів з умовами спряження // Матеріали п’ятої наукової конференції Тернопільського державного технічного університету імені Івана Пулюя. - Тернопіль, 2001. - с.9.

9. Баран І. Підвищення ефективності розрахунку дифузійних процесів в середовищах із включеннями // Матеріали шостої наукової конференції Тернопільського державного технічного університету імені Івана Пулюя. – Тернопіль, 2002. - с.7.

10. Баран І. Автоматизована система розрахунку дифузійних процесів в неоднорідних середовищах // Матеріали сьомої наукової конференції Тернопільського державного технічного університету імені Івана Пулюя. - Тернопіль, 2003. - с.14.

АНОТАЦІЇ

Баран І.О. Високоточні обчислювальні алгоритми та система автоматизованого розрахунку дифузійних процесів в багатокомпонентних середовищах. – Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата технічних наук за спеціальністю 01.05.02 – Математичне моделювання та обчислювальні методи. - Тернопільський державний технічний університет імені Івана Пулюя, Тернопіль, 2003.

Дисертацію присвячено побудові та дослідженню нових математичних моделей (для одно- та двовимірного випадків) стаціонарних процесів дифузії та фільтрації рідини в анізотропних областях складної конфігурації, які містять довільно орієнтовані в просторі тонкі включення/тріщини. Розроблено високоточні обчислювальні алгоритми методу скінченних елементів (МСЕ) для числового розв’язування змішаних крайових задач з умовами спряження неідеального контакту та створено на їх основі ефективну діалогову систему автоматизованого розрахунку дифузійних процесів в багатокомпонентних середовищах.

Надано подальшого розвитку підходові, розробленому в Інституті кібернетики імені В.М. Глушкова НАН України, до побудови еквівалентних класичних узагальнених задач (варіаційних та в слабких постановках) для нових класів змішаних крайових задач з розривними розв’язками і потоками, що базується на використанні відповідних класів розривних функцій. На основі застосування розривних функцій МСЕ побудовано обчислювальні алгоритми підвищеного порядку точності дискретизації розглядуваних задач.

Розроблені алгоритми склали основу автоматизованої системи розрахунку дифузійних процесів в багатокомпонентних двовимірних областях, за допомогою якої проведено велику кількість числових експериментів, результати яких засвідчують як високу ефективність запропонованих математичних моделей, так і високу точність побудованих обчислювальних схем.

Ключові слова: багатокомпонентне середовище, тонке включення, дифузія, фільтрація, умови спряження, високоточні алгоритми, автоматизована система.

Баран И.О. Высокоточные вычислительные алгоритмы и система автоматизированного расчета диффузионных процессов в многокомпонентных средах. - Рукопись.

Диссертация на соискание ученой степени кандидата технических наук по специальности 01.05.02 – Математическое моделирование и вычислительные методы. - Тернопольский государственный технический университет имени Ивана Пулюя, Тернополь, 2003.

Диссертация посвящена разработке высокоточных вычислительных алгоритмов метода конечных элементов (МКЭ) для численного решения смешанных краевых задач с условиями сопряжения неидеального контакта и создания на их основе эффективной диалоговой системы моделирования диффузионных процессов в многокомпонентных средах.

В работе выполнен обзор существующих публикаций по теме исследования. Сделан вывод о недостатках известных автору систем моделирования процессов в многокомпонентных средах. Физические процессы, которые происходят в сложных анизотропных средах, описываются смешанными краевыми задачами с условиями сопряжения неидеального контакта (в декартовых, цилиндрических и полярных координатах). В работе проведено обобщение условий сопряжения, встречающихся в литературе. Построены и изучены новые математические модели стационарных процессов диффузии и фильтрации жидкости в многокомпонентных средах с произвольно ориентированными в пространстве включениями/трещинами. Исследован вопрос корректности построенных моделей.

На основе использования соответствующих классов разрывных функций МКЭ (в соответствии с разработанной в Институте кибернетики имени В.М. Глушкова НАН Украины методикой), построены классические эквивалентные обобщенные задачи в виде функционалов энергии и слабых постановок. Доказано эквивалентность соответствующих вариационных и в слабых постановках задач. С помощью разрывных функций МКЭ построены высокоточные вычислительные алгоритмы дискретизации рассматриваемых задач. Доказаны теоремы о существовании и единственности обобщенных решений. Показано, что если обобщенные решения достаточно гладкие на подобластях, то они являются классическими решениями исходных краевых задач. Получены оценки погрешностей приближенных решений. Изучены вопросы замены главного условия сопряжения (случай заданного скачка искомого решения) естественными с малым параметром. Получены оценки зависимости обобщенного решения от введенного в рассмотрение малого параметра. В диссертационной работе также получены оценки зависимости приближенного обобщенного решения вспомогательной задачи (задачи с малым параметром) от шага дискретизации, малого параметра и степени используемых полиномов МКЭ. Эффективность разработанных вычислительных алгоритмов подтверждена соответствующими результатами компьютерных расчетов.

На основе разработанных высокоточных алгоритмов создана система DIFUS. Она предназначена для проведения диалогового автоматизированного расчета диффузионных процессов в многокомпонентных двумерных средах. В системе DIFUS использованы кусочно-линейные и кусочно-квадратичные разрывные функции МКЭ. Для существенного упрощения работы пользователя созданы базы данных условий сопряжения и классических краевых условий. На основе введенной информации о геометрии области, параметрах разбиения, физических параметрах среды и параметрах тонких включений система автоматически выполняет конечно-элементное разбиение области, формирование и решение системы линейных алгебраических уравнений, представляет результаты решения в графическом и текстовом видах.

При помощи созданной системы решены модельные примеры и практические задачи, в том числе с известными аналитическими решениями. Выполнено сравнение полученных результатов, которое