НАЦІОНАЛЬНА АКАДЕМІЯ НАУК УКРАЇНИ

ІНСТИТУТ ПРИКЛАДНОЇ МАТЕМАТИКИ І МЕХАНІКИ

БУРЯЧЕНКО Катерина Олександрівна

УДК 517.951, 517.953, 517.954

РОЗВ’ЯЗНІСТЬ КРАЙОВИХ ЗАДАЧ ДЛЯ ДИФЕРЕНЦІАЛЬНИХ РІВНЯНЬ ГОЛОВНОГО ТИПУ ВИCОКОГО ПОРЯДКУ В КРУЗІ

01.01.02 - ДИФЕРЕНЦІАЛЬНІ РІВНЯННЯ

Автореферат

дисертації на здобуття наукового ступеня

кандидата фізико-математичних наук

Донецьк-2003

Дисертацією є рукопис.

Робота виконана в Інституті прикладної математики і механіки НАН України.

Науковий керівник: | доктор фізико-математичних наук, доцент Бурський Володимир Петрович, Інститут прикладної математики і механіки НАН України,

відділ нелінійноо аналізу,

провідний науковий співробітник.

Офіційні опоненти: | доктор фізико-математичних наук

Тедеєв Анатолій Федорович, Інститут прикладної математики і механіки НАН України,

відділ рівнянь математичної фізики,

провідний науковий співробітник.

кандидат фізико-математичних наук, доцент

Ільків Володимир Степанович, Національний університет “Львівська політехніка”, кафедра

обчислювальної математики і програмування.

Провідна установа: | Інститут математики НАН України, м. Київ, відділ нелінійного аналізу.

Захист відбудеться 26.02.2003 р. о 15 годині на засіданні спеціалізованої вченої ради

Д 11.193.01 при Інституті прикладної математики і механіки НАН України за адресою: 83114,

м. Донецьк, вул.Р. Люксембург, 74.

З дисертацією можна ознайомитись у бібліотеці Інституту прикладної математики і механіки НАН України за адресою: 83114, м. Донецьк, вул.Р. Люксембург, 74.

Автореферат розісланий 28.01.2003 р.

Вчений секретар

спеціалізованої вченої ради ________________ Ковалевський О.А.

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальність теми. Вивчення питань коректної постановки крайових задач для диференціальних рівнянь є одним з провідних напрямків в сучасній теорії рівнянь з частинними похідними. Поняття типу диференціальних рівнянь і систем, яке остаточно сформувалося к 30-м рокам XX ст. в роботах І.Г. Петровського, поєднало результати в три самостійні напрямки, згідно типу. З наведених J. Hadamard 11) Hadamard J. On some topics connected with linear partial differential equations // Proceedings, Benares Math. Soc. - 1921. - № 3. - P. 39-48.) прикладів можна побачити, що крайові задачі, коректні для одного типу рівнянь, були некоректними для іншого. Так для еліптичних рівнянь традиційно розглядалися задачі Діріхле та Неймана, для параболічних мішана (початково-крайова) задача, а для гіперболічних задачі Коші, Гурса та початково - крайова. Поряд з тим, ми не можемо говорити про коректність по Адамару задачі Діріхле навіть для правильно еліптичних рівнянь, бо ця задача є ньотеровою22) Вишик М.И. О сильно эллиптических системах дифференциальных уравнений// Матем. сборник. - 1951. - Т. 29. - Вып. 3. - С. 615-677.) . А у випадку неправильної еліптичності рівняння взагалі можлива нескінченновимірна неєдиність розв’язку, що й було продемонстровано в роботі А.В. Біцадзе.33) Бицадзе А.В. О единственности решения задачи Дирихле для эллиптических уравнений с частными производными // Успехи матем. наук. - 1948. - Т.3. -Вып.6. - С. 211-212.)

З іншого боку, в роботах J. Hadamard, А. Huber, D. Bourgin, R. Duffin, F. John було отримано достатні умови єдиності розв’язку задачі Діріхле для гіперболічних рівнянь другого порядку у деяких областях.

Систематичне вивчення задачі Діріхле для рівнянь і систем високих порядків гіперболічного та мішаного типів в паралелепіпеді почалося й продовжується у Львівській школі,44) Пташник Б.Й. Некорректные задачи для дифференциальных уравнений в частных производных.- К.: Наукова думка, 1984.- 264 с. ) де також досліджується коректність деяких некласичних задач: аналога багатоточкової задачі для рівнянь в частинних похідних, нелокальних крайових задач, задач про періодичні та майже періодичні розв’язки.

Як було показано в роботі В.П. Бурського,55) Бурский В.П. О граничных задачах для дифференциального уравнений с постоянными коэффициентами второго порядка в плоской области // Укр. мат. журнал, 1996. - Т. 48.- № 11.- С. 1457-1467.) для єдиності розв’язку задачі Діріхле в площинній області тип рівняння особливого значення не має, тому до вивчення властивостей розв’язків крайових задач треба підходити з загальних позицій.

Різноманітні аспекти коректності крайових задач для загальних диференціальних та диференціально-операторних рівнянь вивчалися в роботах В.І. Арнольда, Р.А. Александряна, Ю.М. Березанського, А.В. Біцадзе, В.М. Борок, Б. Боярського, Л.І. Вайнермана, М.Й. Вішика,

В.І. Горбачук та М.Л. Горбачука, О.О. Дезіна, Т.І. Зеленяка, А.М. Кочубея, В.А. Міхайлеця,

Б.Й. Пташника, В.К. Романка, С.Л. Соболєва, Л. Хьормандера, G. Grubb, G. Gudmundsdottir та інших .

Що стосується рівнянь високих порядків в області, що не є паралелепіпедом, то властивості розв’язків крайових задач для них практично не вивчалися.

Таким чином, вивчення питань коректної постановки крайових задач для рівнянь високих порядків є актуальною проблемою в теорії рівнянь з частинними похідними. Тому зусилля здобувача, викликані теоретичним зацікавленням щодо цієї проблеми, спрямовані на дослідження властивостей існування, єдиності та регулярності розв’язків деяких крайових задач (зокрема, задачі Діріхле) для диференціальних рівнянь високих порядків зі сталими коефіцієнтами у загальному випадку.

Зв’язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Тематика дисертації включена до Плану наукових досліджень відділу нелінійного аналізу Інституту прикладної математики і механіки НАН України на 2000 2002 роки.

Мета і задачі дослідження. Однією з основних задач дослідження є отримання необхідних і достатніх умов порушення єдиності розв’язку задачі Діріхле, а також деяких некласичних крайових задач для диференціальних рівнянь головного типу довільного парного порядку.

Наступною метою роботи є знаходження умов некоректності крайових задач у вироджених випадках, тобто у випадках, коли характеристики рівняння кратні та (або) не мають кутів нахилу. Якщо для рівнянь другого порядку це питання вирішувалося в роботі11) Бурский В.П. О решениях задачи Дирихле для эллиптических систем в круге //Укр. мат. журнал.- 1992.- Т. 44.-

№ 10.- С. 1307-1313.) досить просто: в вироджених випадках однорідна задача Діріхле в крузі має тільки тривіальний розв’язок, проте для рівнянь четвертого порядку існування нетривіальних розв’язків однорідних крайових задач залежить від кратності коренів характеристичного рівняння. Виявлення характеру таких залежностей складає ще одну задачу дослідження.

Третьою ціллю здобувача служить знаходження геометричної інтерпретації умов порушення єдиності розв’язку задачі з трьома умовами на межі одиничного круга для рівнянь четвертого порядку. Отримані в цьому напрямку результати є продовженням досліджень, розпочатих F. John,22) John F. The Dirichlet problem for a hyperbolic equation // Amer. J. Math.- 1941.- Vol. 63.- № 1.- P. 141-154.) де автор пов’язує умови неєдиності розв’язку задачі Діріхле для рівняння коливання струни з циклічністю характеристичних автоморфізмів межі.

Ще однією задачею роботи є отримання достатніх умов розв’язності в соболєвських просторах некласичних крайових задач для рівнянь четвертого порядку. В цьому напряму здобувач також ставить собі за мету встановити зв’язок між взаємодією характеристик рівняння та гладкістю розв’язку задачі з трьома умовами на межі одиничного круга.

Наукова новизна одержаних результатів визначається наступними положеннями.

1.

) вперше доведено критерій нетривіальної розв’язності однорідної задачі Діріхле в крузі для диференціальних рівнянь головного типу довільного парного порядку 2m зі сталими комплексними коефіцієнтами.

2.

3.

4.

5.

6.

Практичне значення одержаних результатів. Результати дисертації мають теоретичне значення. Вони можуть бути застосовані для подальшого розвитку теорії лінійних крайових задач для диференціальних рівнянь з частинними похідними. В роботі випробувані та розроблені методи, що дозволяють використовувати у дослідженні властивостей розв’язків крайових задач для загальних диференціальних рівнянь високих порядків такі інструменти, як формула Гріна, двоїстість рівняння-область, теорію розширень операторів. Розроблено також методи вивчення асимптотики розв’язків неоднорідних рекурентних рівнянь зі змінними коефіцієнтами та ін.

Особистий внесок здобувача. Усі результати роботи одержані здобувачем самостійно. Результати розділу 5 одержані спільно з науковим керівником В.П. Бурським, якому належить постановка задачі та розробка метода двоїстості рівняння-область. Особистий внесок здобувача в результати п’ятого розділу полягає в застосуванні цього методу при одержанні критерію порушення єдиності розв’язку задачі Діріхле для рівнянь головного типу довільного парного порядку в крузі (доведення теореми 5.1), а також в формулюванні та доведенні усіх інших результатів розділу 5. Здобувачеві також належить розробка методів дослідження асимптотики розв’язку неоднорідних рекурентних рівнянь зі змінними коефіцієнтами (підрозділ 3.3).

Апробація результатів дисертації. Основні результати дисертаційної роботи доповідалися та обговорювалися на:

·

·

·

·

·

·

Публікації. Основні результати дисертації опубліковано в 14 роботах, з яких 6 статті у збірниках наукових праць, 8 тези конференцій.

Структура та обсяг дисертації. Дисертаційна робота викладена на 147 сторінках і містить вступ, основну частину з п’яти розділів, висновки, список літератури. Список літератури складається з 102 джерел і розташований на 11 сторінках.

ОСНОВНИЙ ЗМІСТ

У вступі обгрунтовується актуальність теми, формулюються мета та задачі дослідження, наукова новизна, практичне значення і апробація результатів дисертації.

В першому розділі подається огляд робіт, що мають відношення до теми дисертаційної роботи. В підрозділі 1.1 перелічено основні результати щодо проблеми коректної постановки крайових задач для диференціальних рівнянь еліптичного типу та наведено поняття регулярної або еліптичної крайової задачі. В підрозділі 1.2 розглянуто деякі результати, що стосуються досліджень крайових задач з даними по усій межі області для загальних (зокрема, гіперболічних) диференціальних рівнянь. В підрозділі 1.3 наведено огляд робіт щодо теорії загальних крайових задач. Сформульовано критерії Вішика та Хьормандера коректності загальної крайової задачі, наведено поняття операторів головного типу та сталої сили за Хьормандером.11) Хёрмандер Л. Анализ линейных дифференциальных операторов.- Т. 2.-М.:Мир, 1986.- 324 с.)

В другому розділі викладено загальну методику дисертаційних досліджень. В підрозділі 2.1 наведено метод формули Гріна, який було запропоновано В.П. Бурським при дослідженні розв’язності задачі Коші для безтипових диференціальних рівнянь, а також поняття теорії розширень операторів (мінімальний, максимальний, правильний оператори та ін.), поняття асоційованих з оператором слідів.

В обмеженій області з гладкою межею розглянемо лінійну диференціальну операцію порядку

де Для будь-якої пари функцій має місце формула Гріна22) Бурский В.П. Граничные свойства L2-решений линейных дифференциальных уравнений и двойственность уравнение-область //Докл. АН СССР.- 1989.- Т. 309.- № 5.- С. 1036-1039) :

де формально спряжена за Лагранжем операція до лінійні диференціальні вирази порядку m-k-1 по дотичним напрямкам від звичайних слідів функції . Вирази це лінійні неперервні функціонали над які будемо називати L-слідами функції u або слідами функції u,

асоційованими з оператором

Підрозділ 2.2 присвячен методу двоїстості рівняння-область. В підрозділі 2.3 розглянуто один метод дослідження регулярності періодичних функцій, який буде використано далі. В підрозділі 2.4 викладено схему вивчення асимптотичної поведінки розв’язків неоднорідних рекурентних рівнянь зі змінними коефіцієнтами. Розробка цієї методики належить здобувачеві та використовується надалі в роботі.

В третьому розділі розглядається крайова задача з трьома умовами для рівнянь четвертого порядку в обмеженій області з гладкою межею:

(1)

(2)

де вектор-градієнт, одиничний вектор зовнішньої нормалі,

Поряд з задачею (2) будемо також розглядати задачу Коші для рівняння (1):

(3)

В силу розкладання символу

рівняння (1) можна переписати у вигляді

(4)

тут , скалярний добуток в По векторам побудуємо вектори Очевидно, що

В підрозділі 3.1 отримано необхідні й достатні умови порушення єдиності розв’язку задачі (1), (2). В пункті 3.1.1 доведено допоміжні твердження, які дозволяють встановити основні результати підрозділу [1]:

Теорема 1. Нехай існує четвірка функцій

що підпорядкована умовам

(5)

для довільного полиному

Тоді в соболєвському просторі існує єдиний розв’язок задачі (1), (3). Причому, функції P=L(3), R=L(2), S=L(1), T=L(0)—це L-сліди цього розв’язку.

Зауважимо також, що умова (5) є і необхідною для існування єдиного розв’язку задачі (1), (3).

Теорема 2. Для порушення єдиності розв’язку задачі (1), (2) в соболєвському просторі необхідно, а у випадку еліптичності рівняння і достатньо, щоб існувала нетривіальна функція яка б задовольняла наступній інтегральній умові:

(6)

для довільного поліному

При доведенні цих результатів схема, що була запропонована В.П. Бурським для рівнянь другого порядку і яка опирається на метод формули Гріна та методи теорії розширень операторів, розповсюджена на диференціальні рівняння четвертого порядку.

В пункті 3.1.2 розглядається випадок, коли областю є одиничний круг Введемо наступне означення.

Означення. Кутом нахилу характеристики, що відповідає деякому кореню характеристичного рівняння будемо називати будь-який розв’язок рівняння

В пункті 3.1.2 ми знаходимося у припущенні, що усі характеристики прості та мають кути нахилу, тобто

Умова порушення єдиності розв’язку задачі (1), (2), яка була сформульована в теоремі 2, еквівалентна раціональності кутів між характеристиками. А саме, має місце наступне твердження [1].

Теорема 3. Для порушення єдиності розв’язку задачі (1), (2) в соболєвському просторі необхідно, а у випадку еліптичності рівняння і достатньо, щоб кути між характеристиками були раціональними:

(7)

В пункті 3.1.3 знайдено геометричну інтерпретацію умов (7) у вигляді циклічності автоморфізмів характеристичного біліарду.

Розглянемо характеристичний біліард для рівняння четвертого порядку (1) в крузі. Спочатку обмежимося дійсними кутами нахилу характеристик. Побудуємо автоморфізми кола як рух вздовж тої сім'ї характеристик з кутом нахилу тобто, де кутова координата,

Якщо кути комплексні, то замість кола матимемо деяку поверхню яку можна параметризувати комплексним параметром . При цьому виникає діфеоморфізм Тому відображення , які було побудовано для дійсних і , у випадку комплексних характеристик можна розглядати як відображення де вже для комплексних і ,

Теорема 4. Відображення тотожні для деякого тоді і тільки тоді, коли виконується умова (7).

Отже, з результатів теорем 3 і 4 випливає, що умова циклічності автоморфізмів комплексного характеристичного біліарду є критерієм порушення єдиності розв’язку задачі (1), (2) для еліптичних рівнянь. Зауважимо, що саме здобувачем вперше розглянуто комплексний характеристичний біліард [1], а результат теореми 4 узагальнює відомий результат F. John, згаданий на с. 2, на еліптичні рівняння четвертого порядку, але тільки у випадку круга.

В пункті 3.1.3 наведено також приклади еліптичних (але не правильно еліптичних) рівнянь четвертого порядку, коефіцієнти яких задовольняють умовам теореми 3, тобто відповідна (2) однорідна крайова задача для таких рівнянь має нетривіальний розв’язок в просторі

В підрозділі 3.2, за допомогою метода двоїстості рівняння-область, досліджуються питання порушення єдиності розв’язку задачі (1), (2) в вироджених випадках: випадках, коли характеристики рівняння кратні і (або) не мають кутів нахилу. Основним результатом цього підрозділу є наступна теорема.

Теорема 5. У вироджених випадках:

1.

2.

має місце єдиність розв’язку задачі (1), (2) в соболєвському просторі

Підрозділ 3.3 присвячено проблемі розв’язності задачі (1), (2) в шкалі соболєвських просторів: сформульовано умови на кути нахилу характеристик, які разом з умовами узгодження функцій і гарантують існування єдиного розв’язку задачі в просторі Ці умови відображають аналітичну залежність між швидкістю наближення до нуля послідовностей

що визначаються кутами нахилу характеристик, і гладкістю розв’язку задачі для відповідного рівняння. Важливу роль при цьому грає поняття L-слідів розв’язку (див. с. 5). Основний результат підрозділу сформульовано в наступній теоремі [6]:

Теорема 6. Нехай функції такі, що побудовані по ним L-сліди розв’язку задачі (1), (2) задовольняють умову узгодження

(8)

для будь-якої функції

Тоді, для однозначної розв’язності задачі (1), (2) в просторі достатньо виконання наступних умов на кути нахилу характеристик:

(9)

Насправді, умова (9) еквівалентна

тобто якщо кути дійсні, але не раціональні, то розв’язок задачі єдиний, а його гладкість залежить від апроксимації дійсних чисел раціональними.

За допомогою метода рядів Фур’є проблема розв’язності задачі (1), (2) в соболєвських просторах зводиться до проблеми розв’язності та визначення асимптотичної поведінки розв’язку неоднорідного рекурентного рівняння зі змінними коефіцієнтами (пункт 3.3.1). Для побудови розв’язку рекурентного рівняння у явному вигляді в пункті 3.3.2 дисертації розроблено відповідну схему, яка полягає у зведені цього рівняння до рекурентної системи першого порядку. Необхідність застосування цього методу продиктовано тим, що отримане рівняння не належить до рекурентних рівнянь зі сталими коефіцієнтами, яким приділено значну увагу в літературі.11) Маркушевич А.И. Возвратные последовательности.- М.-Л.: Гос. изд-во технико-теор. лит., 1950.- 48 с. ) В пунктах 3.3.4 3.3.5 досліджується асимптотична поведінка розв’язку цього рекурентного рівняння. Наводиться й обгрунтовується відповідний метод, головні моменти якого полягають в переході до граничного рекурентного рівняння зі сталими коефіцієнтами.

За допомогою результатів метричної теорії діофантових наближень, в пункті 3.3.6 отримано твердження, що дозволяє перевірити виконання умов теореми 6.

Твердження 1. Для будь-якого l >1 множина тих для яких не виконується умова (9), має нульову за Лебегом міру.

Застосування розроблених в підрозділі 3.3 методів проілюстровано в підрозділі 3.4 на прикладі дослідження розв’язності в соболєвських просторах задачі

в крузі [5].

В четвертому розділі досліджуються питання існування, єдиності та регулярності розв’язку задачі Діріхле для рівняння (1):

(10)

Підрозділ 4.1 присвячено проблемі єдиності розв’язку задачі (1), (10) в просторі Встановлено умови порушення єдиності розв’язку цієї задачі [2]:

Теорема 7. Для порушення єдиності розв’язку задачі (1), (10) в соболєвському просторі необхідно, а у випадку еліптичності рівняння і достатньо, щоб існувала нетривіальна пара функцій

яка б задовольняла умовам

(11)

для довільного поліному Причому,

В пункті 4.1.1 розглядається випадок, коли областю є одиничний круг а усі характеристики рівняння прості та мають кути нахилу. В цій ситуації умови (11) мають інший вигляд, а саме, справедливе твердження [2]:

Теорема 8. Для порушення єдиності розв’язку задачі (1), (10) в соболєвському просторі необхідно, а у випадку еліптичності рівняння і достатньо, щоб кути нахилу характеристик задовольняли умову:

(12)

для деякого При виконанні (12) існує нетривіальний розв’язок відповідної однорідної задачі вигляду

де деякий нетривіальний набір сталих, поліноми Чебишева першого роду того порядку.

В підрозділі 4.2 досліджуються питання єдиності розв’язку задачі Діріхле (1), (10) у випадках, коли характеристики кратні та (або) не мають кутів нахилу. Встановлена залежність між кратністю коренів характеристичного рівняння та існуванням нетривіального розвязку відповідної однорідної задачі Діріхле, тобто для рівняння (1) знайдено відповідь на питання, що підіймалося А.В. Біцадзе11) Бицадзе А.В. Уравнения смешанного типа.- М.:ФМ, 1959.- 164 с.) . В кожному випадку, при деяких умовах на кути нахилу характеристик, в явному вигляді побудовано нетривіальні поліноміальні розв’язки відповідної однорідної задачі Діріхле. Основні результати, які містяться в пп. 4.2.1–4.2.3, доведено за допомогою метода двоїстості рівняння-область та сформульовано в наступних теоремах [4].

Теорема 9. Нехай усі корені характеристичного рівняння не дорівнюють , і нехай корінь кратності Тоді

1. Якщо то для нетривіальної розв’язності однорідної задачі Діріхле в просторі необхідно і достатньо, щоб кути нахилу характеристик були підпорядковані наступній умові для деякого

при виконанні якої існує нетривіальний розв’язок однорідної задачі

2. Якщо m=3, то необхідна і достатня умова порушення єдиності розв’язку задачі (1), (10) в просторі має вигляд:

При виконанні цієї умови до ядра оператора задачі належать функції

де поліноми Чебишева другого роду n-того порядку.

3.

Теорема 10. 1). Будемо вважати, що усі корені характеристичного рівняння прості, а один з них ( наприклад) дорівнює і (-і). Тоді для нетривіальної розв’язності однорідної задачі Діріхле в просторі необхідно і достатньо виконання наступної умови для деякого

причому, функції вигляду

належатимуть до ядра оператора відповідної задачі.

2). Якщо серед простих коренів характеристичного рівняння існують корені і та -і, то необхідною і достатньою умовою порушення єдиності розв’язку задачі (1), (10) є виконання рівності

Поліноміальні функції належатимуть до ядра оператора відповідної задачі.

Теорема 11. 1). Нехай тоді однорідна задача Діріхле має тільки тривіальний розв’язок в просторі .

2). Якщо кратність кореня і (-і) дорівнює то єдиність розв’язку задачі (1), (10) завжди порушується.

3). Якщо корені характеристичного рівняння кратності p та q відповідно (, то при p+q>2 однорідна задача Діріхле має тільки тривіальний розв’язок.

Звернемо увагу, що результати теорем 9-11 узагальнюють відомий результат А.В. Біцадзе.11) Бицадзе А.В. О единственности решения задачи Дирихле для эллиптических уравнений c частными производными // Успехи матем. наук.- 1948.- Т. 3.- Вып. 6.- С. 211-212.)

В цій роботі для рівняння було доведено існування нескінченновимірного ядра оператора задачі Діріхле в крузі, якому належать функції () з задовільним поліномом Для рівнянь високих порядків, скажімо, приклад Біцадзе узагальнюється таким чином : , що і відображено в п.2 теореми 11. Зробимо ще один цікавий висновок з результатів підрозділу 4.2. Розглянемо рівняння четвертого порядку Виникає питання: якій умові повинні задовольняти коефіцієнти оператора другого порядку щоб порушувалась єдиність розв’язку задачі Діріхле? Відповідь на це питання дають теореми 10 (п.2) та 11 (п.3), тобто з точки зору єдиності розв’язку задачі Діріхле правильно еліптична частина (оператор Лапласа) не має сенсу, і такі рівняння поводять себе як і рівняння другого порядку (див. роботу В.П. Бурського, згадану на с. 2).

В підрозділі 4.3 за допомогою методів, розробленних в підрозділі 3.3, досліджуються питання розв’язності в соболєвських просторах задачі Діріхле (10) для рівняння (1) в крузі [3].

Ціллю п’ятого розділу дисертації є отримання критерію нетривіальної розв’язності однорідної задачі Діріхле в одиничному крузі для загального рівняння головного типу парного порядку зі сталими комплексними коефіцієнтами:

(13) (14)

В цьому розділі ми обмежуємося випадком простих характеристик, у яких існують кути нахилу.

Вищезгаданий критерій узагальнює результат В.П. Бурського22) Бурский В.П. О граничных задачах для дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами второго порядка в плоской области // Укр. мат. журнал, 1996.- Т. 48.- № 11.- С. 1457-1467.) (m=1) та результат теореми 8 (m=2):

Теорема 12. Для нетривіальної розв’язності задачі (13), (14) в просторі необхідно і достатньо, щоб кути нахилу характеристик задовольняли умову

(15)

для деякого При виконанні цієї умови існує нетривіальний поліноміальний розв’язок задачі (13), (14).

В розділі також наведено умови на коефіцієнти рівняння (13), виконання яких гарантує не тільки справедливість рівності (15), тобто порушення єдиності розв’язку задачі Діріхле для рівняння (13), але й порушення ньотеровості задачі Діріхле для цього рівняння. Ці умови умови раціональності кутів між характеристиками. З теореми 3 випливає, що раціональність кутів між характеристиками є необхідною і достатньою умовою порушення єдиності розв’язку задачі з трьома умовами (2) для рівняння (13) в випадку Таким чином, порушення єдиності розв’язку задачі з трьома умовами (2) є достатньою умовою не тільки порушення єдиності, але й порушення ньотеровості задачі Діріхле (10) для рівняння (1) в крузі.

ВИСНОВКИ

В дисертації вивчаються питання розв’язності задачі з трьома граничними умовами для загальних диференціальних рівнянь четвертого порядку, а також задачі Діріхле для рівнянь головного типу парного порядку зі сталими комплексними коефіцієнтами. Підкреслимо найбільш важливі результати, отримані в дисертації.

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

СПИСОК ОПУБЛІКОВАНИХ ПРАЦЬ ЗА ТЕМОЮ ДИСЕРТАЦІЇ

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

12.

13.

14.

АНОТАЦІЇ

Буряченко К.О. Розв’язність крайових задач для диференціальних рівнянь головного типу високого порядку в крузі. Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01.01.02 диференціальні рівняння. Інститут прикладної математики і механіки НАН України, Донецьк, 2002.

В дисертації досліджуються властивості існування, єдиності та регулярності розв’язків крайових задач для лінійних диференціальних рівнянь головного типу високого порядку зі сталими комплексними коефіцієнтами. Особливу увагу приділено питанню єдиності розв’язку. Отримано критерій порушення єдиності розв’язку задачі Діріхле в крузі для рівнянь головного типу парного порядку 2m. Доведено достатність умов раціональності кутів між характеристиками для порушення ньотеровості цієї задачі. У випадку m=2 цей результат використано для побудови прикладів неправильно еліптичних рівнянь, оператор задачі Діріхле яких має нескінченновимірне ядро. Знайдено необхідні і достатні умови порушення єдиності розв’язку задачі Діріхле для рівнянь четвертого порядку, характеристики яких колінеарні та (або) не мають кутів нахилу.

В роботі детально вивчаються властивості задачі з трьома крайовими умовами для рівнянь четвертого порядку: знайдено геометричну інтерпретацію умов порушення єдиності розв’язку, сформульовано умови на кути нахилу характеристик, які разом з умовами узгодження початкових даних, гарантують існування в соболєвських просторах єдиного розв’язку задачі в крузі. В поданому дослідженні розглядається також комплексний характеристичний біліард.

Ключові слова: диференціальні рівняння з частинними похідними головного типу, крайові задачі (задача Діріхле), соболєвський простір, єдиність розв’язку, кут нахилу характеристики, правильно (неправильно) еліптичне рівняння, L- сліди, формула Гріна.

Буряченко Е.А. Разрешимость граничных задач для дифференциальных уравнений главного типа высокого порядка в круге. Рукопись.

Диссертация на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.01.02 дифференциальные уравнения. Институт прикладной математики и механики НАН Украины, Донецк, 2002.

В диссертации исследуются свойства существования, единственности и регулярности решений краевых задач для линейных дифференциальных уравнений главного типа высокого порядка с постоянными комплексными коэффициентами. Особое внимание уделено вопросам единственности решений краевых задач. Получен критерий нарушения единственности решения задачи Дирихле в круге для уравнений главного типа произвольного чётного порядка 2m. Доказана достаточность условий рациональности углов между характеристиками для нарушения свойства нётеровости этой задачи. В случае m=2 этот результат используется для построения примеров неправильно эллиптических уравнений, оператор задачи Дирихле которых имеет бесконечномерное ядро. Найдены необходимые и достаточные условия нарушения единственности решения задачи Дирихле для уравнений четвёртого порядка, характеристики которых коллинеарны и (или) не имеют углов наклона. Полученные условия позволяют установить зависимость между значениями кратности корней характеристического уравнения и нарушением единственности решения задачи Дирихле для соответствующего уравнения.

В работе детально изучены свойства решения задачи с тремя граничными условиями для уравнений четвёртого порядка. Найдена геометрическая интерпретация условий нарушения единственности решения этой задачи (которые состоят в вещественности и рациональности всех углов между характеристиками) в виде цикличности характеристических автоморфизмов границы. В связи с этим, в настоящем исследовании впервые рассмотрен комплексный характеристический биллиард. Сформулированы условия на углы наклона характеристик, которые вместе с условиями согласования начальных данных, гарантируют существование в соболевских пространствах единственного решения задачи в круге. Установлена аналитическая зависимость между гладкостью решения задачи и скоростью приближения к нулю некоторой последовательности, определяемой характеристиками уравнения. В процессе получения этого результата предложен метод исследования асимптотического поведения решения неоднородного рекуррентного уравнения с переменными коэффициентами.

Ключевые слова: дифференциальные уравнения в частных производных главного типа, граничные задачи (задача Дирихле), соболевское пространство, единственность решения, угол наклона характеристики, правильно (неправильно) эллиптическое уравнение, L- следы, формула Грина.

Buryachenko E. A. Solvability of boundary value problems for high-order differential equations of principal type in a disk.

Thesis for a candidate’s degree (physical and mathematical sciences) by speciality 01.01.02 differential equations. Institute of Applied Mathematics and Mechanics of National Academy of Sciences of Ukraine, Donetsk, 2002.

In the thesis such properties as existence, uniqueness and regularity of solutions of boundary value problems for linear high-order differential equations of principal type with the constant complex coefficients are investigated. The questions of solutions uniqueness are considered in detail. It has been obtained a criterion of solutions uniqueness breakdown of the Dirichlet problem in a disk for the even 2m order differential equations of principal type. The sufficiency of rationality conditions on angles between characteristics is proved for finite dimentionality of kernel of the problem under consideration. For the case m=2 this result is used for building of examples of unproperly elliptic equations, whose operator of the Dirichlet problem has a infinite dimentional kernel. It is stated necessary and sufficient conditions for the solutions uniqueness breakdown of the Dirichlet problem for the fourth order differential equations, whose characteristics are parallel and (or) have no angles of slope.

In the work the properties of a boundary value problem with three conditions on the boundary for the fourth order differential equations are also studied: it is found a geometric interpretation of the breakdown solutions uniqueness, it is proved the theorem on sufficient conditions on the angles of characteristics slope for the existence in a Sobolev space the unique solution of the problem in a disk. The complex characteristics billiard is also considered in the present investigation.

Кey words: partial differential equations of principal type, boundary value problems (Dirichlet problem) Sobolev space, solutions uniqueness, angle of a characteristics slope, properly (unproperly) elliptic equations, L- traces, Green’s formula.