Міністерство освіти і науки України

Львівський національний університет

імені Івана Франка

БІЛУСЯК Наталія Іванівна

УДК 517.95

КРАЙОВІ ЗАДАЧІ ДЛЯ ЛІНІЙНИХ І СЛАБКОНЕЛІНІЙНИХ

ГІПЕРБОЛІЧНИХ ТА БЕЗТИПНИХ РІВНЯНЬ У

ЦИЛІНДРИЧНИХ ОБЛАСТЯХ

01.01.02 - диференціальні рівняння

АВТОРЕФЕРАТ

дисертації на здобуття наукового ступеня

кандидата фізико-математичних наук

Львів-2003

Дисертацією є рукопис.

Робота виконана у відділі математичної фізики Інституту прикладних проблем механіки і математики ім. Я. С. Підстригача НАН України.

Науковий керівник -- доктор фізико-математичних наук, професор, член-кор. НАН України Пташник Богдан Йосипович, Інститут прикладних проблем механіки і математики ім. Я. С. Підстригача НАН України, завідувач відділу математичної фізики .

Офіційні опоненти: доктор фізико-математичних наук, професор Каленюк Петро Іванович, Інститут прикладної математики та фундаментальних наук національного університету “Львівська політехніка”, директор;

кандидат фізико-математичних наук, доцент Лопушанська Галина Петрівна, Львівський національний університет імені Івана Франка, доцент кафедри диференціальних рівнянь.

Провідна установа – Інститут прикладної математики і механіки НАН України (м. Донецьк), відділ нелінійного аналізу.

Захист відбудеться 18 грудня 2003 року о 15. 20 годині на засіданні спеціалізованої вченої ради К 35.051.07 у Львівському національному університеті імені Івана Франка за адресою 79000, м. Львів, вул. Університетська, 1, аудиторія 377.

З дисертацією можна ознайомитись у бібліотеці Львівського національного університету імені Івана Франка (м. Львів, вул. Драгоманова, 5).

Автореферат розісланий 17 листопада 2003 року.

Вчений секретар

спеціалізованої вченої ради Бокало М. М.

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальнicть теми. Iнтерес до задач з даними на всiй границi областi для гіперболічних i безтипних рiвнянь iз частинними похiдними та диференцiально-операторних рiвнянь зумовлений як потребами загальної теорiї крайових задач, так i їх практичним застосуванням (теорiя оболонок від'ємної гаусової кривини, гiдродинамiка, процеси коливань тощо).

Перші дослідження крайових задач з даними на всій границі області для

гіперболічних рівнянь були проведенi в працях J. Hadamard, A. Huber, D. Mangeron.

Вивченню крайових задач з даними на всій границі області для окремих класiв гіперболічних та безтипних рівнянь i систем рівнянь із частинними похiдними та

диференцiально-операторних рiвнянь присвяченi також працi Ю. М. Березанського, В. П. Бурського, В. К. Романка, М. Й. Юрчука, М. Л. Горбачука, I. В. Федака, С. С. Харібегашвілі, Т. I. Кiгурадзе та iнших авторiв, де, в основному, видiленi випадки коректно поставлених задач.

Однак задачi з даними на всій границі області для загальних диференцiальних рівнянь із частинними похiдними є, назагал, некоректними, а питання про їх розв'язнiсть у багатьох випадках пов'язане з проблемою малих знаменникiв.

У працях Б. Й. Пташника та його учнiв I. O. Бобика, В. В. Фiголя, П. I. Штабалюка, Л. I. Комарницької досліджується коректнiсть крайових задач з даними на всій границі обмеженої області для лiнiйних гіперболічних рівнянь та систем рівнянь, для окремих класiв лiнiйних безтипних рівняньіз частинними похiдними, а також для деяких диференцiально-операторнихрiвнянь.

Разом iз цим, мало вивченими залишались задачi з даними на всій границі області для лiнiйних рiвнянь зi змiнними коефiцiєнтами, не розглядались нелiнiйнi рiвняння та системи нелiнiйних рiвнянь високих порядкiв. Цим питанням присвячена дана дисертаційна робота, в якій розглядаються задачi з умовами типу умов Дiрiхле за часовою змiнною та деякими умовами за просторовими координатами (умови перiодичностi, умови типу умов Дiрiхле) для деяких класів лiнiйних та слабконелiнiйних рівнянь i систем рівнянь із частинними похiдними високих порядків у цилiндричних областях.

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами.

Результати дисертацiї отриманi в рамках виконання бюджетних тем "Розробка методів дослідження та побудови розв'язків некласичних та умовно коректних задач для рівнянь із частинними похідними " (номер держреєстрацiї 0197U008960) та "Дослідження розв'язності та побудова розв'язків некласичних крайових задач для лінійних та квазілінійних рівнянь і систем рівнянь з частинними похідними" (номер держреєстрацiї 0102U000452).

Мета i задачi дослiдження. Встановити умови коректностi задач з даними на всiй границi областi для деяких класiв слабконелінійних гіперболічних рiвнянь і систем рiвнянь та лінійних безтипних рiвнянь і систем рiвнянь з частинними похiдними. Для досягнення цiєї мети розв'язати такi задачi:

1) визначити умови iснування та єдиностi розв'язкiв задач з даними на всiй границi областi для лiнiйних безтипних рiвнянь довiльного порядку, ізотропних стосовно диференціювання за різними змінними, та побудувати цi розв'язки у виглядi рядiв за системами ортогональних функцiй;

2) встановити умови коректної розв'язності крайових задач для рiвнянь та систем рiвнянь з частинними похідними, не розв'язних вiдносно старшої похiдної за часовою змінною, без обмежень на порядок диференцiального виразу за просторовими координатами при старшiй похiднiй за часом та побудувати розв'язки цих задач у виглядi рядiв за системами ортогональних функцiй;

3) встановити умови iснування та єдиностi розв'язкiв крайових задач для слабконелiнiйних гiперболiчних рiвнянь та систем рiвнянь;

4) для кожної з розглядуваних задач дослідити проблему малих знаменників, з якою пов'язана її розв'язність.

Об'єкт дослiдження: крайові задачi для лiнiйних та слабконелiнiйних рівнянь та систем рівнянь з частинними похідними.

Предмет дослiдження: коректність задач з даними на всiй границi областi для лiнiйних та слабконелiнiйних рiвнянь та систем рiвнянь високих порядкiв.

Методи дослiджень: методи метричної теорії чисел, теорії диференціальних рівнянь та функціонального аналізу.

Наукова новизна одержаних результатiв. У дисертацiйній роботі одержано такi новi результати:

1) встановлено умови коректності та побудовано розв'язки задач з даними на всiй границi областi для деяких класів лiнiйних безтипних рiвнянь з частинними похідними довiльного порядку зi сталими та змiнними коефiцiєнтами;

2) досліджено крайові задачі для лінійних рiвнянь та систем рiвнянь з частинними похідними, не розв'язних вiдносно старшої похiдної за часовою змінною, без обмежень на порядок диференцiального виразу за просторовими змiнними при старшiй похiднiй за часом та побудовано розв'язки у вигляді рядiв за системами ортогональних функцiй;

3) встановлено умови існування та єдиності розв'язків крайових задач для слабконелiнiйних гiперболiчних рiвнянь та систем рiвнянь високих порядків зi сталими та змiнними в головнiй частинi оператора коефiцiєнтами; такi задачi розглянуто вперше;

4) доведено новi метричнi твердження про оцiнки знизу малих знаменникiв, які виникають при дослідженні та побудові розв'язків розглянутих у дисертації задач.

Практичне значення одержаних результатiв. Результати дисертацiйної роботи мають теоретичний характер. Одержанi результати можна використати при подальших теоретичних дослiдженнях рiвнянь математичної фiзики та диференцiальних рiвнянь з частинними похiдними.

Особистий внесок здобувача. У спiльних з науковим керiвником роботах [3,4,6 - 10,12,13] Б. Й. Пташнику належать постановка задач, передбачення та аналіз отриманих результатiв. У спільній роботi [5] Б. Й. Пташнику належать постановка задачі та обговорення результатiв, Л. I. Комарницькiй належить дослiдження розв'язності крайової задачi для систем рiвнянь, не розв'язних вiдносно старшої похiдної за часом, коли порядки диференцiальних виразів за просторовими змінними при всіх похiдних за часом є рiвними (теорема 3), автором дисертації встановлено умови коректності вказаної задачі у загальному випадку, коли не накладається жодних обмежень на порядки диференцiальних виразiв за просторовими змінними при похiдних за часом.

Апробацiя результатiв дисертацiї. Результати дисертацiї доповiдались та обговорювались на: Мiжнароднiй науковiй конференцiї "Сучаснi проблеми математики" (Чернiвцi, 1998 р.); Мiжнароднiй науковiй конференцiї "Nonlinear partial differential equations", присвяченiй Шаудеру (Львiв, 1999 р.); II Всеукраїнськiй науковiй конференцiї "Нелiнiйнi проблеми аналiзу" (Iвано-Франкiвськ, 2000 р.); засiданнях Львiвського мiського семiнару з диференцiальних рiвнянь (Львiв, 2000, 2003рр.); Мiжнароднiй науковiй конференцiї "Новi пiдходи до розв'язування диференцiальних рiвнянь" (Дрогобич, 2001 р.); Мiжнароднiй конференцiї "Диференцiальнi рiвняння i нелiнiйнi коливання" (Чернiвцi, 2001 р.); Мiжнароднiй конференцiї "Nonlinear partial differential equations" (Київ, 2001 р.).

Публiкацiї. Основні результати дисертацiї опублiкованo в 7 працях [1 - 7] у фахових наукових виданнях, що входять до перелiку ВАК України та додатково висвітлені у праці [8] та 5 матерiалах та тезах конференцiй [9 - 13].

Структура та обсяг роботи. Дисертацiя складається зi вступу, п'ятьох роздiлiв, висновкiв i списку використаних джерел та викладена на 128 сторiнках машинописного тексту. Список лiтератури мiстить 149 найменувань i займає 14 сторiнок.

ОСНОВНИЙ ЗМIСТ РОБОТИ

У вступi обгрунтовано актуальнiсть теми, показано зв'язок роботи з науковими темами, видiлено мету i задачi дослiдження та методи їх розв'язування, вказано наукову новизну результатiв, їх апробацiю, практичне значення та кiлькiсть публiкацiй.

У першому роздiлi дисертацiї подано огляд праць, якi стосуються коректної розв'язностi задач з даними на всiй границi областi для деяких класів гiперболiчних та безтипних лiнiйних та слабконелiнiйних рiвнянь та систем рiвнянь.

В другому роздiлi дисертації обгрунтовано вибір напрямків дослiджень, здiйснено загальну постановку розглядуваних у дисертацiї задач та наведено основнi методи їх дослiджень. Подано деякi допомiжнi вiдомостi з теорії диференціальних рівнянь, функціонального аналізу, лінійної алгебри та метричної теорії чисел.

У третьому роздiлi дисертації досліджено коректність задач з даними на всiй границi областi для деяких класів лiнiйних безтипних рiвнянь зi сталими та змiнними коефiцiєнтами, а також для лiнiйних рiвнянь зi сталими коефiцiєнтами, збурених нелінійним iнтегро-диференцiальним доданком.

У пiдроздiлi 3.1.1 в областi -вимірний тор, утворений шляхом oтотожнення протилежних граней куба, встановлено умови iснування та єдиностi розв'язку задачi

де

Доведено (теорема 3.1), що для єдиності розв'язку задачі (1), (2) в просторі необхідно й досить, щоб виконувались умови

(3)

Позначимо:, простір -періодичних за комплекснозначних функцій з нормою - простір -періодичних за комплекснозначних функцій неперервних за і таких, що для кожного

Теорема 3.2. Нехай виконуються умови (3) та існують такі додатні сталі , що для всіх векторів справджуються нерівності

(4)

(5)

(6)

Якщо де , то існує єдиний розв’язок задачі (1), (2) з простору, який неперервно залежить від функцій та

Встановлено, що для довільного фіксованого вектора та для майже всіх (стосовно міри Лебега в) векторів нерівності (4) виконуються при (теорема 3.3), нерівностi (5) виконуються при (теорема 3.4), а нерівностi (6) виконуються при (теорема 3.5) для всіх векторів.

У пiдроздiлi 3.1.2 досліджена задача з однорiдними умовами, що відповідають умовам (2) для рівняння (1), збуреного нелiнiйним iнтегральним доданком, де Встановлено умови, за яких iснує єдиний розвязок задачi, який неперервно залежить вiд (теорема 3.6).

Надалі використовуватимемо позначення: клас визначених в області функцій, - ті похідні яких задовольняють в умову Гельдера з показником клас замкнених областей, для яких функції , що задають у локальних координатах рівняння межових поверхонь цих областей, належать до класу.

У пiдроздiлi 3.2 в області обмежена однозв'язна

область із з гладкою межею розглянуто задачу

(7)

(8)

(9)

де самоспряжений, еліптичний в області диференціальний вираз

(10)

де

Позначимо: множина власних значень задачі простiр функцій з нормою - простір таких функцій визначених i неперервних за в області, що для кожного належить простору, де

Нехай для кожного всі корені рівняння є різними та відмінними від нуля.

Теорема 3.8. Для єдиності розв'язку задачі (7) - (9) у просторі необхідно й досить, щоб виконувались умови

де

Теорема 3.9. Нехай виконуються умови теореми 3.8 та існує додатня стала така, що для всіх (крім скінченного числа) значень виконуються нерівності

(11)

Якщо то існує розв'язок задачі (7) - (9) з простору, який неперервно залежить від функцій

Встановлено (теорема 3.10), що для майже всiх (стосовно мiри Лебега в ) чисел нерiвностi (11) виконуються при для всiх (крім скінченного числа).

У четвертому розділі вивчаються питання класичної коректності крайових задач з умовами типу умов Діріхле за часовою змінною та періодичними умовами за просторовими координатами для диференціальних рівнянь та систем рівнянь зі сталими коефiцiєнтами, не розв'язних відносно старшої похідної за часом. Тут виникли нові труднощі, пов'язані з конструктивною побудовою розв'язків задач та з оцінками знизу малих знаменників, які мають складну нелінійну структуру.

У пiдроздiлi 4.1 в області розглянуто задачу

(12)

(13)

де -- еліптичний диференцiальний вираз;

Для довільних та встановлено умови єдиності розв'язку задачі (12), (13) (теорема 4.1), а за виконання певних оцiнок знизу на малi знаменники та додаткових умов на праву частину рiвняння (12) встановлено умови iснування та неперервної залежностi вiд функцiї розв'язку задачі (12), (13) (теореми 4.2, 4.3). Частинний випадок задачі (коли) був досліджений Л. І. Комарницькою.

У пiдроздiлi 4.2 результати пiдроздiлу 4.1 перенесено на випадок систем рiвнянь. В області дослiджена задача вигляду (12), (13), в якiй

Припускається, що для всіх i корені рівняння

є різними. Позначимо: відповідний до банахів простір вектор-функцій з нормою

Теорема 4.7. Для єдиності розв'язку задачі (12), (13) в просторі необхідно й досить, щоб виконувались умови

Якщо має мiсце єдинiсть розв'язку задачі (12), (13), то для кожного існує єдина матриця Гріна задачі

де а розв'язок задачi (12), (13) зображується у вигляді

(14)

Для елементiв матриць, , отримано явнi формули, якi мiстять у знаменниках вирази та деякий визначник, побудований за величинами та елементами матриць Ці вирази, будучи відмінними від нуля, можуть набувати як завгодно малих значень для нескінченної множини векторів. При дослідженні питання існування розв'язку задачі (12), (13) окремо розглядаються випадки та .

Теорема 4.8. Нехай має мiсце єдинiсть розв'язку задачi (12), (13) та існують сталі такі, що для всіх (крім скінченного числа) векторів виконуються нерівності

(15)

(16)

Якщо де то існує розв'язок задачі (12), (13) з простору, який неперервно залежить від і зображається рядом (14).

Теорема 4.10. Нехай має мiсце єдинiсть розв'язку задачi (12), (13) та існують сталі такі, що для всіх (крім скінченного числа) векторів виконуються нерівності (15), (16), та

(17)

Якщо то існує розв’язок задачі (12), (13) з простору, який неперервно залежить від функції.

Встановлено умови, за яких оцінки (15) - (17) виконуються для майже всіх (стосовно міри Лебега) векторів, компоненти яких є функціями параметра та елементів матриць і (теореми 4.11 - 4.13).

У п'ятому роздiлi дисертацiї дослiджуються умови коректноcті крайових задач для слабконелiнiйних гiперболiчних рiвнянь та систем рiвнянь. Тут виникли новi труднощi, пов'язанi з аналiзом збiжностi деяких рядiв, якi виникли при зведенні розглядуваних крайових задач до еквівалентних їм інтегральних рівнянь.

В пiдроздiлi 5.1 в області розглядається задача з умовами (13) для рiвняння

(18)

де oператор строго гіперболічний за Петровським; a функція визначена і неперервна за змінною та досить гладка за в області розв'язок задачі (13), (18) при

Нехай додатні корені рівняння

Якщо рівняння

не мають нетривіальних розв'язків у цілих числах,то має місце єдиність розв'язку в незбуреної задачі .

Теорема 5.4. Нехай та виконуються умови єдиності розв’язку задачі (13), (18) при Якщо а функція в області неперервна за та має обмежені похідні за змінними до порядку включно, то при досить малих для довільних фіксованих коефіцієнтів та для майже всіх (стосовно міри Лебега в ) чисел існує єдиний розв’язок задачі (13), (18), який належить кулі і неперервно залежить від функції

Пташник Б. Й. Задача типу Діріхле для гіперболічних рівнянь із сталими коефіцієнтами//Укр. мат. журн. - 1970. - 22, N 6. -- С. 829 --836.

У пiдроздiлi 5.2 в областi для рівняння

(19)

дослiджено задачу з умовами (9) та умовами

(20)

де оператор -- строго гіперболічний за Петровським в області; самоспряжений, еліптичний в області диференціальний вираз, визначений формулою (10); функція визначена і неперервна за змінною та досить гладка за в області де розв'язок задачі з умовами (9), (20) для лінійного рівняння

Позначимо через додатні корені рівняння які є дійсними та різними. Розглянемо задачу (9), (19), (20) при

Теорема 5.6. Нехай виконуються умови

та існує додатня стала така, що для всіх (крім скінченного числа) значень справджуються нерівності

(21)

Якщо, де і для всіх то існує єдиний розв'язок задачі (9), (19), (20) при з простору який неперервно залежить від.

Встановлено (теорема 5.7), що для майже всіх (стосовно міри Лебега в ) чисел та для довільних фіксованих нерівності (21) виконуються при для всіх (крім скінченного числа)

Розглянемо задачу (9), (19), (20) при Якщо в області ряд

(22)

є рівномірно збіжним і сума цього ряду, то задача (9), (19), (20) зводиться до еквівалентного їй нелінійного інтегрального рівняння

однозначна розв'язність якого встановлюється на основі принципу Качополі-Банаха.

Доведено (лема 5.2), що якщо то ряд (22) збігається рівномірно в області для майже всіх чисел

Теорема 5.8. Нехай виконуються умови теореми 5.6 і функція неперервна за та має обмежені похідні за змінними до порядку включно, причому для довільних і справджуються умови

Якщо то для майже всіх (стосовно міри Лебега в) чисел та для достатньо малих існує єдиний розв'язок задачі (9), (19), (20), який належить кулі і неперервно залежить від

У пiдроздiлi 5.3 результати пiдроздiлу 5.1 перенесено на випадок систем слабконелiнiйних рiвнянь. В області коло одиничного радіуса, розглянуто задачу з умовами вигляду (13) для системи рiвнянь

(23)

де одинична матриця, матриці з дійсними сталими елементами, функція визначена і неперервна за змінною та досить гладка за в області розв'язок незбуреної задачі (13), (23); система рівнянь (23) строго гіперболічна за Петровським. Позначимо через додатні корені рівняння

Теорема 5.11. Нехай числа є ірраціональними, а функція неперервна за і має обмежені похідні за змінними до 4-го порядку включно в областi Тодi для майже всіх (стосовно міри Лебега в ) чисел і для досить малих існує єдиний розв'язок задачі (13), (23), який належить кулі і неперервно залежить від

У пiдроздiлi 5.4 в областi для cистеми рiвнянь

(24)

розглядається задача з умовами вигляду (9), (13), де одинична матриця, матриці з дійсними сталими елементами; диференцiальний вираз iз задачi (19), (20); функція визначена і неперервна за та досить гладка за в області де розв'язок задачі з умовами (9), (13) для лінійного рівняння система (24) строго гіперболічна за Петровським в області

Позначимо через додатні корені рівняння

Встановлено (теорема 5.12), що для єдиності розв'язку задачі (9), (13), (24) при у просторі необхідно й досить, щоб виконувались умови

(25)

Теорема 5.13. Нехай виконуються умови (25) та існує стала така, що для всіх (крім скінченного числа) виконуються нерівності

Якщо то існує єдиний розв'язок задачі (9), (13), (24) при з простору який неперервно залежить від

Теорема 5.14. Нехай виконуються умови теореми 5.13 і нехай функція неперервна за і має обмежені похідні за змінними до порядку в області причому для довільних і справджуються умови

Якщо то для майже всіх (стосовно міри Лебега в ) чисел і для достатньо малих , існує єдиний розв'язок задачі (9), (13), (24), який належить до кулі і неперервно залежить від

ВИСНОВКИ

Дисертацiйна робота присвячена дослідженню задач з крайовими та двоточковими умовами за виділеною змiнною та певними умовами за просторовими координатами для деяких класів рівнянь та систем рівнянь із частинними похідними високого порядку у цилiндричних областях.

У дисертацiйній роботі отримано такі нові результати:

1. Встановлено умови існування, єдиності та неперервної залежності від вихідних даних розв'язків задач з даними на всiй границi областi для лiнiйних безтипних рiвнянь з частинними похідними зi сталими та змiнними коефiцiєнтами.

2. Досліджено крайові задачі з умовами типу умов Дiрiхле для рiвнянь та систем рiвнянь з частинними похідними, не розв'язаних вiдносно старшої похiдної за часовою змінною, без обмежень на порядок оператора диференцiювання за при старшiй похiднiй за часом.

3. Встановлено умови однозначної розв'язності крайових задач для слабконелiнiйних гiперболiчних рiвнянь та систем рiвнянь зi сталими та змiнними за просторовими координатами коефiцiєнтами.

4. Конструктивно побудовано розв'язки лінійних задач у вигляді рядiв за системами ортогональних функцiй.

5. Доведено метричнi твердження про оцiнки знизу малих знаменникiв, які виникають при

побудові розв'язків розглядуваних задач.

Результати роботи мають теоретичний характер. Їх можна використати при подальших дослідженнях задач з даними на всiй границi областi для лінійних та нелінійних рівнянь з частинними похідними, а також в конкретних прикладних задачах, моделями яких є розглянуті в дисертації задачі.

СПИСОК ОПУБЛIКОВАНИХ ПРАЦЬ ЗА ТЕМОЮ ДИСЕРТАЦIЇ

1. Бiлусяк Н. I. Крайова задача для безтипних диференцiальних рiвнянь iз частинними похiдними зi змiнними коефіцієнтами//Вiсник нацiонального унiверситету "Львiвська полiтехнiка". Прикладна математика. -2000.- № 441. -С. 30 - 35.

2. Бiлусяк Н. I. Крайова задача для гiперболiчного рiвняння, збуреного нелiнiйним iнтегро-диференцiальним оператором //Вiсник державного унiверситету "Львiвська полiтехнiка".Прикладна математика. -1998. - 1, № 337. - С. 76 - 79.

3. Бiлусяк Н. I., Пташник Б. Й. Крайова задача з даними на всiй границi областi для слабконелiнiйних гiперболiчних рiвнянь//Укр.мат.журн. - 2001. - 53, №2. - С. 244 - 249.

4. Бiлусяк Н. I., Пташник Б. Й. Крайова задача для слабконелiнiйних гiперболiчних рiвнянь зi змiнними коефіцієнтами//Укр.мат.журн. - 2001. - 53, №9. - С. 1281 - 1286.

5. Бiлусяк Н. I., Комарницька Л. I., Пташник Б. Й. Задача типу Дiрiхле для систем рiвнянь iз частинними похiдними не розв'язаних вiдносно старшої похiдної за часом//Укр.мат.журн. - 2002. - 54, №12. - С. 1592 - 1602.

6. Бiлусяк Н. I., Пташник Б. Й. Крайова задача для систем слабконелiнiйних гiперболiчних рiвнянь зi змiнними коефiцiєнтами//Мат. методи та фiз.-мех. поля. - 2001. - 44, №4. - С. 40 - 46.

7. Бiлусяк Н. I., Пташник Б. Й. Крайова задача для систем слабконелiнiйних гiперболiчних рiвнянь//Нелинейные граничные задачи. - 2002. - №12. - С. 26 - 31.

8. Бiлусяк Н. I., Пташник Б. Й. Задача з умовами типу умов Дiрiхле для слабконелiнiйних гiперболiчних рiвнянь//Вiсник Прикарпатського унiверситету. Математика. Фiзика. Хiмiя. - 1999. - Вип.1. - С. 22 - 32.

9. Бiлусяк Н. I., Пташник Б. Й. Крайова задача з умовами типу умов Дiрiхле для диференцiальних рiвнянь з частинними похiдними зi сталими коефіцієнтами//Мiжнародна наукова конференцiя "Сучаснi проблеми математики". Матерiали конференцiї. Чернiвцi - Київ, 1998. - С. 56 - 58.

10. Бiлусяк Н. I., Пташник Б.Й. Крайова задача для лiнiйних гiперболiчних рiвнянь зi змiнними коефіцієнтами//Міжнародна наукова конференція "Диференцiальнi рiвняння i нелiнiйнi коливання" 27 - 29 серпня 2001 р., Чернiвцi, 2001. - С.16 - 17.

11. Бiлусяк Наталiя. Крайова задача для диференцiальних рiвнянь зi сталими коефiцiєнтами, не розв'язаних вiдносно старшої похiдної за часом// Мiжнародна наукова конференцiя "Новi пiдходи до розв'язування диференцiальних рiвнянь" 1 - 5 жовтня 2001 р., Дрогобич, 2001. - С.19.

12. Bilusyak N., Ptashnyk B. Boundary value problem of Dirichlet's type for quasilinear hyperbolic equations//International Conference "Nonlinear partial differential equations" Dedicated to J. P. Schauder. Books of abstract. Lviv, August 23 - 29, 1999, P. 25.

13. Ptashnyk B. Yo., Bilusyak N. I.The boundary value problem for systems of weakly nonlinear hyperbolic equations //International Conference "Nonlinear partial differential equations".Books of abstracts. Kyiv, August 22 - 28, 2001, P. 34.

АНОТАЦIЯ

Бiлусяк Н. I. Крайовi задачi для лiнiйних i слабконелiнiйних гiперболiчних та безтипних рiвнянь у цилiндричних областях. - Рукопис.

Дисертацiя на здобуття наукового ступеня кандидата фiзико-математичних наук за спецiальнiстю 01.01.02 - диференцiальнi рiвняння. Львівський національний університет імені Івана Франка. Львів, 2003.

У дисертацiї розглянуто задачi з умовами типу умов Дiрiхле за виділеною змiнною t та певними умовами за рештою координат для деяких класiв рiвнянь та систем рiвнянь з частинними похiдними у цилiндричних областях. Встановлено умови коректностi та побудовано розв'язки таких задач для певних класiв лінійних безтипних рівнянь та систем рівнянь. Встановлено умови однозначної розв'язності крайових задач для слабконелiнiйних гiперболiчних рiвнянь та систем рiвнянь. Доведено новi метричнi твердження про оцiнки знизу малих знаменникiв, які виникають при дослідженні та побудові розв'язків розглянутих задач.

Ключові слова: гіперболічні рівняння, безтипні рівняння, слабконелінійні рівняння, крайові умови, функція Гріна, малі знаменники, міра Лебега.

АННОТАЦИЯ

Билусяк Н. И. Краевые задачи для линейних и слабонелинейних гиперболических и бестипних уравнений в цилиндрических областях. - Рукопись.

Диссертация на соискание ученой степени кадидата физико-математических наук по специальности 01.01.02 - дифференциальные уравнения. Львовский национальный университет имени Ивана Франко. Львов, 2003.

В диссертации рассмотрены задачи с условиями типа условий Дирихле по выделенной переменной и некоторыми условиями по остальным координатам для некоторых классов уравнений и систем уравнений высшего порядка в частных производных у цилиндрических областях. Найдены условия корректности и построены решения таких задач для линейных бестипных уравнений и систем уравнений. Установлены условия существования единственных решений краевых задач для слабонелинейных гиперболических уравнений и систем уравнений. Доказаны новые метрические теоремы об оценках снизу малых знаменателей, возникающих при исследовании и построении решений рассматриваемых задач.

Ключевые слова: гиперболические уравнения, бестипные уравнения, слабонелинейные уравнения, краевые условия, функция Грина, малые знаменатели, мера Лебега.

АBSTRACT

Bilusyak N. I. The boundary problems for linear and weakly nonlinear hyperbolic and typeless equations in cylindrical domains. - Manuscript.

Thesis for candidate's degree (physical and mathematical sciences) by specialty

01.01.02 - differential equations. Ivan Franko National University. Lviv, 2003.

In the thesis the problems with Dirichlet's conditions on marked variable and some conditions on the rest coordinatas for some classes of partial differential equations and systems in cylindrical domains are investigated. All of considered problems are, in general, incorrect, and question on their solvability is linked to the problem of small denominators.

The conditions of existence of unique solutions of boundary problems with data on the all bound of domain for some classes of linear typeless equations of arbitrary order with constant and variable coefficients are established. The solutions these problems are constructed in the form of series by systems of ortogonal functions. Metrical theorems on evaluation of small denominators from below are proved.

Boundary value problems for equations and systems of equations, not solved relative to the highest derivative with respect to time without any restriction on order of differential expression on space coordinatas near the highest time derivative are investigated. In these problems the kind of equations and systems, for which classic solutions of considered problems exist, is found. Small denominators there have a complicated nonlinear structure. The metrical theorems on evaluation of small denominators from below are proved, whence existence of unique solutions of the considered problems follows for almost all (with respect to the Lebesgue measure) coefficients of equations and parameters of domains. The solutions these problems are constructed in the form of fourier series.

Significant attention is devoted to investigation of boundary value problems for linear hyperbolic equations, perturbed by nonlinear components. These problems are reduced to equivalent them integral equations. The conditions, when so reduction is possible, are found, and using Kachoppolie-Banach fixed-point principle, existence of the unique solutions of the boundary problems for weakly nonlinear hyperbolic equations with constant and variable coefficients are established. For equations with constant coefficients there is separately considered the event, when number of space coordinatas equals one, and in this case the results, received for general event, are enhanced.

The results, established for nonliner hyperbolic equations are transferred to nonliner hyperbolic systems of equations. The conditions of existence of unique solutions of the boundary problems with data on the all bound of domain for systems with constant and variable on space coordinatas coefficients are established for enough small perturbances and for almost all (with respect to the Lebesgue measure) coefficients of equations and parameters of domains.

The results of thesis are theoretical ones. They may be used in future investigations of boundary value problems for linear and nonlinear partial differential equations, and in concrete applied problems, which are modeled by the considered in thesis problems.

Key words: hyperbolic equations, typeless equations, weakly nonlinear equations, boundary value conditions, Green's function, small denominators, Lebesgue measure.

Підписано до друку 15.11.2003р.

Папір друк № 1. Спосіб лруку – офсет.

Формат 60?90/16. Умовн. Друк. Аркушів 0,9

Тираж 120 прим.

Замовл. №704/2

Друк ВКП фірма „ВМС”

М. Львів, вул. Вузька, 3

Тел/факс (0322)97-05-67,76-81-11