ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ
МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ УКРАЇНИ
КИЇВСЬКИЙ НАЦІОНАЛЬНИЙ УНІВЕРСИТЕТ
БУДІВНИЦТВА І АРХІТЕКТУРИ
БОТВІНОВСЬКА Світлана Іванівна
УДК 512.2+528.48
ДИСКРЕТНЕ МОДЕЛЮВАННЯ ОБРИСІВ МАГІСТРАЛЬНИХ ПЕРЕХРЕЩЕНЬ ЗА КЕРУЮЧИМИ ЧИННИКАМИ ПАРАМЕТРІВ НАТУРАЛЬНИХ РІВНЯНЬ
Спеціальність 05.01.01 –
Прикладна геометрія, інженерна графіка
АВТОРЕФЕРАТ
дисертації на здобуття наукового ступеня
кандидата технічних наук
Київ 2003
Дисертацією є рукопис
Робота виконана в Київському національному університеті будівництва і архітектури
Науковий керівник: ? кандидат технічних наук, доцент
Анпілогова Віра Онисимівна, Київський національний університет будівництва і архітектури Міністерства освіти і науки України, професор кафедри нарисної геометрії, інженерної та машинної графіки.
Офіційні опоненти: - Заслужений працівник народної освіти
України, доктор технічних наук, професор Ванін Володимир Володимирович, Національний технічний університет України (КПІ) Міністерства освіти і науки України, завідувач кафедри нарисної геометрії, інженерної та комп’ютерної графіки;
- кандидат технічних наук, Бадаєва Надія
Іванівна, Київський університет економіки і технологій транспорту Міністерства транспорту України, доцент кафедри теоретичної та прикладної механіки.
Провідна установа: - Національний авіаційний університет
Міністерства освіти і науки України, кафедра прикладної геометрії та комп’ютерної графіки, м. Київ.
Захист відбудеться 17.12.2003 р. о 13_годині на засіданні спеціалізованої вченої ради Д26.056.06 у Київському національному університеті будівництва і архітектури за адресою:
03680, м. Київ, Повітрофлотський просп., 31, ауд. 466.
З дисертацією можна ознайомитися у бібліотеці Київського національного університету будівництва і архітектури за адресою:
03680, м. Київ, Повітрофлотський просп., 31, КНУБА.
Автореферат розісланий 14.11.2003 р.
Вчений секретар
спеціалізованої вченої ради Плоский В.О.
ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ
Рівень автоматизованого проектування в різних виробничих та будівельних галузях залежить від якості програмного продукту, обсягу залучених супутніх задач та від можливостей наукових розробок, що покладені в основу методів, реалізованих у системах проектування. Незважаючи на те, що до розв’язання задач у системах автоматизованого проектування залучені потужні методи, які спираються на класичні математичні результати та на сучасні досягнення вітчизняних і зарубіжних науковців, залишаються задачі, що мають важливе практичне значення, але не мають завершеного і дослідженого математичного забезпечення.
Навіть у таких галузях, як проектування та моделювання плоских та просторових кривих ліній залишаються задачі, що не мають свого остаточного задовільного розв’язку. Зокрема це задача побудови суцільних та складених ліній, вихідною інформацією для яких є значення кривин, скруту та закони їх зміни. Такі задачі як у класичній геометрії, так і в сучасних прикладних розробках, здебільшого розв’язуються як задачі, що мають тільки початкові умови, а при появі крайових умов оперують не фактичними значеннями кривин та скруту, а значеннями першої, другої та третьої похідних, через які вони визначаються. Для багатьох задач цього достатньо, але є широкий клас кривих та поверхонь, форма яких визначається таким рівнем їх динамічних властивостей, який забезпечується мінімізацією змін кривини та скруту вздовж лінії та збереженням їх необхідних значень у фіксованих точках. Проте, невикористання кривини та скруту в якості крайових умов, пов’язане не з принциповою неможливістю цього, а лише з розрахунковими складнощами і відсутністю відповідних методів.
Дослідження в цій галузі можуть виконуватися у двох напрямках. Перший ? моделювання динамічних кривих в узагальненому вигляді для уявлюваного застосування. Другий ? конкретне застосування, що дозволяє виконати більш поглиблені дослідження. В роботі проведені дослідження в обох напрямках. В якості другого обрані задачі, пов’язані з проектуванням перехрещень на вулично-дорожній мережі міста.
Транспортне проектування – високо комп’ютеризована галузь, що є передумовою залучення до нього наукомістких методів. Зокрема, у вітчизняній та зарубіжній практиці розроблені класифікатори схем перехрещень в одному або різних рівнях. Їх застосування передбачає параметричне перетворення при прив’язці до конкретного проекту. Бажано, щоб всі параметри перетворення у явному вигляді були виражені через задані умови або точно їм відповідали, тому пропонується за основу обрати натуральні рівняння ліній, а параметри цих рівнянь розглядати як керуючі чинники при моделюванні.
Актуальність теми визначається: наявністю безпосереднього зв’язку технологічних та конструктивних властивостей кривих, що використовуються при проектуванні дорожньо-транспортних розв’язок, із законами зміни їх кривини та скруту; принциповою можливістю моделювання кривих, що визначаються натуральними рівняннями; необхідністю залучення до крайових умов значень кривин та скрутів; відсутністю методів розв’язання означених задач.
Мета і задачі дослідження. Об’єктом дослідження є методи моделювання плоских та просторових кривих ліній, а предметом дослідження – геометричні властивості і закономірності, що виникають в процесі моделювання кривих за їх натуральними рівняннями.
Мета дослідження: розвиток і удосконалення теоретичної та розробка алгоритмічної і програмної бази процесу моделювання кривих ліній на основі управління параметрами їх натуральних рівнянь для впровадження у комп’ютерне моделювання перехрещень міських шляхопроводів.
Поставлені такі задачі:
1. Проаналізувати загальний процес моделювання динамічних кривих та встановити можливі сполучення крайових і додаткових умов, які доцільно й можливо використовувати при такому моделюванні.
2. Проаналізувати задачу проектування перехрещень міських вулиць і доріг, розробити рекомендації щодо їх класифікації.
3. На основі статико-геометричного методу розробити метод побудови кривих з поліноміальним законом зміни кривини, що задовольняють множині вихідних умов, до складу яких входять значення кривин у заданих точках.
4. Розробити конструктивно-пошукові методи побудови плоских кривих із законом зміни кривини, що задається ламаною лінією та просторових кривих за вихідними умовами, що містять кривину та скрут у явно заданій формі. Виконати дослідження, які забезпечують його функціонування в задачі побудови лінії лотка з’їзду на міських перехрещеннях.
5. Впровадити результати досліджень у практику містобудівного проектування та у навчальний процес.
Метод дослідження. Робота виконана в рамках методів дискретного моделювання із залученням методів неперервного та дискретного аналізу, диференціальної та обчислювальної геометрій, обчислювальних методів та методів інтерактивного комп’ютерного моделювання.
При виконанні роботи використовувались фундаментальні математичні джерела і досвід, накопичений у роботах вітчизняних науковців–
у галузі геометричного моделювання, професорів Бадаєва Ю.І., Ваніна В.В., Ковальова С.М., Корчинського В.М., Куценка Л.М., Михайленка В.Є., Найдиша В.М., Найдиша А.В., Обухової В.С., Павлова А.В., Підгорного О.Л., Підкоритова А.М., Пилипаки С.Ф., Сазонова К.О., Скидана І.А. та їх учнів; –
у галузі проектування автомобільних доріг Андрєєва О.В, Бабкова В.Ф., Білятинського О.А., Замахаєва М.С., Поліщука В.П, Федотова Г.А., Хом’яка Я.В.
Наукова новизна одержаних результатів:
– вперше запропоновано суцільну інтерполяцію точок на площині дискретною рівноланковою кривою за заданими значеннями
кривини у явному вигляді;
– розвинуто метод конструювання плоских кривих, що
використовує параметри натуральних рівнянь цих ліній як керуючі чинники;
– дістав подальший розвиток статико-геометричний метод в напрямку збагачення можливостей завдання крайових та допоміжних умов;
– в рамках розв’язання нелінійної задачі побудови ліній за явними значеннями кривин та скруту, набув подальшого розвитку конструктивно-пошуковий метод у напрямку розшарування пошуку за незалежними параметрами;
– вперше в рамках дискретного моделювання розв’язано задачу побудови просторових кривих ліній за положеннями дотичних, стичних площин та значеннями кривин і скруту в заданих крайових точках.
Практичне значення одержаних результатів. Теоретичні дослідження проводилися як у загальному плані, так і з огляду на задачі будівництва та проектування міських вулиць і доріг. У загальному плані розроблений на основі статико-геометричного підходу метод дозволяє за умови зміни кривини за поліноміальним законом, конструювати суцільні криві лінії з різноманітними вихідними умовами. До їх складу входять крайові і додаткові умови. Головним досягненням у практичному плані є можливість використовувати практично необмежене число вихідних умов.
Розроблено метод конструювання кривих ліній, який зорієнтований на задачі дорожнього проектування. Його основою є використання управляючих ламаних натуральних рівнянь, вершини яких є керуючими чинниками при конструюванні рівноланкової ламаної.
При створенні та реалізації цього методу виконані наукові дослідження, що мають практичне значення:
– розв’язана задача моделювання просторової рівноланкової лінії за кусково-лінійними законами зміни кутів суміжності між ланками в проекціях на дві довільні, не паралельні площини. Показано зв’язок цих величин зі значеннями кривини та скруту просторової лінії, забезпечено неперервність цих величин вздовж неї, а також задоволення значень кривин та скрутів у вихідних точках;
– традиційно проектування перехрещень розпадається на проектування плану та поздовжнього профілю. В роботі запропоновано метод побудови просторової кривої лінії, що відповідає практиці дорожнього проектування;
– проведені дослідження дозволили зробити певні рекомендації щодо проектування перетинів міських вулиць і доріг. Зокрема, всі дослідження проводились для конструювання лінії лотка з’їзду. Саме в місцях примикань з’їздів на перехрещеннях вулиць і доріг у різних рівнях доцільно брати напрямні, що проходять по лотках, оскільки поверхня тут утворюється двома напрямними – лінією лотка проїжджої частини основної магістралі і лінією лотка з’їзду.
Практичне значення отриманих результатів підтверджується використанням їх у роботі Державного науково-дослідного інституту теорії та історії архітектури і містобудування (НДІТІАМ), АТ „КИЇВПРОЕКТ”, у науково-дослідних роботах „ДІПРОМІСТО”, а також впровадженням у навчальний процес факультету Геоінформаційних систем і управління територіями Київського національного університету будівництва і архітектури.
Особистий внесок здобувача. У роботі [6] автору належить розробка методу побудови кривої з крайовими умовами у вигляді точок, заданих в них дотичних і кривин. У роботах [7, 8] особисто автору належать конкретні дослідження і розробка конструктивно-пошукового методу. Програмна реалізація та розробка архітектури підсистеми – спільна праця співавторів. У роботах [5], [9] автору належать ідея та дослідження.
Апробація результатів дисертації. Основні положення дисертаційної роботи доповідались і обговорювались на міжнародній науково-практичній конференції „Современные проблемы геометрического моделирования” у м. Донецьку, Україна, 21-24 червня 2000 року, та на науково-практичних конференціях Київського національного університету будівництва і архітектури (КНУБА) – 62-й 2001р., 63-й 2002 р., 64-й 2003 р.
Публікації. За результатами наукових досліджень опубліковано 10 робіт, (5 – одноосібно, 9 – у фахових виданнях).
Структура і обсяг роботи. Дисертація складається зі вступу, чотирьох розділів, загальних висновків, списку використаних джерел (165 найменувань) та 4 додатків. Робота містить 175 сторінок основного тексту, 91 рисунок та 25 таблиць.
ЗМІСТ РОБОТИ
Вступ. Зроблено обґрунтування актуальності досліджень, сформульовано мету, задачі, наукову новизну і практичне значення роботи.
Перший розділ. Проведений аналіз літератури та галузей застосування показав, що побудова суцільних і складених плоских або просторових кривих за крайовими умовами, до складу яких входять значення кривин та скрутів, що задані у явному вигляді – є важливим науковим та практично-значущим завданням. Ця задача може знайти своє застосування в дорожньо-будівельній практиці насамперед при моделюванні перехідних кривих, що є найбільш наукомістким з геометричної точки зору етапом загального проектування. В той же час автору невідомі роботи, де ця задача була б розв’язана у повному обсягу. Здебільшого значення кривин та скрутів задовольняються при моделюванні кривих за їх натуральними рівняннями, як вихідні умови в початковій точці. Моделювання кривих за значеннями кривин та скрутів, в якості крайових умов, є суттєво нелінійною задачею, і тому пропонується її розв’язувати на основі дискретного геометричного моделювання.
Шукана крива моделюється як рівноланкова ламана, а дискретні аналоги кривини (ДК) у її вершинах визначаються двома способами: як значення зовнішніх зусиль, прикладених до вершин рівноланкової ламаної; як значення кутів суміжності між двома прилеглими до кожної вершини ланками. Дискретний аналог скруту (ДС) в кожній вершині визначається як кут суміжності між стичними площинами, що утворені двома попередніми та однією наступною ланками. Дискретні аналоги визначають дискретну кривину та скрут з точністю до подібності, що можливо внаслідок рівності ланок дискретної рівноланкової кривої (ДРК) і є суттєвим при комп’ютерному моделюванні за умови заздалегідь обраної довжини ланки.
Пропонується моделювати ДРК, використовуючи її натуральні рівняння, як управляючі криві. В контексті дискретного моделювання неперервні натуральні рівняння мають бути визначені в формі залежності від поточних значень та в деяких заданих вершинах і задавати ці значення в довільних вершинах. Множини та є керуючими чинниками моделювання ДРК, що визначаються крайовими вихідними умовами.
На спільній основі використання керуючих чинників натуральних рівнянь пропонується два методи:
Перший – глобальний, у якому всі вихідні умови розглядаються як рівноправні і формуються як система рівнянь. Кожне рівняння такої системи має певний вигляд у кожній вузловій точці, сама система рівнянь буде нелінійною, що в загальному випадку може призвести до нездоланних труднощів у процесі її розв’язання. Тому основне завдання при першому підході – звести цю систему до геометрично виправданих послідовностей розв’язання лінійних рівнянь і розробити обумовлені перші наближення, що гарантовано приведуть до конкретного розв’язку.
Другий – послідовний, у якому максимальну кількість параметрів необхідно вкласти в рекурентну схему, а процес оптимізації за параметрами, що не увійшли в цю схему, зробити послідовним. При конструюванні формуються операції побудови поточного наближення кривої, дискретні точки якої отримуються за рекурентним законом, що враховує попередні точки, а також підмножину заданих умов. Задоволення інших значень параметрів виконується на основі мінімізації відповідних функцій.
Другий розділ. На основі статико-геометричного методу розглядається розв’язання задачі дискретного моделювання кривих з восьмипараметричними крайовими умовами (задані кінцеві точки, дотичні та кривини у них) та деякою кількістю таких саме умов у внутрішніх вузлах інтерполяції. Всі умови, крім заданих кінцевих точок, розглядаються як параметри керування формою кривої. Ці умови передають свій вплив на форму кривої за допомогою її натурального рівняння, яке асоціюється із рівнянням розподілу зусиль Р, і обирається у вигляді поліному
. (1)
Розв’язок задачі отримується в ітераційному процесі, на кожній ітерації якого розглядається загальна система, що складається з трьох груп лінійних рівнянь (рис.1).
Рівняння першої групи , де: і=0, ..., N; - коефіцієнти, що визначають проекцію вектора на координатні осі; ? радіус-вектори точок ДРК. Розв’язок базової системи (2(N+1) рівняння) у ітераційному процесі дозволяє отримати рівноланкову криву і забезпечує її проходження через кінцеві точки. Друга група складається з рівняння, які забезпечують значення дотичних та кривин у кінцевих точках і рівнянь, які задають всі додаткові геометричні умови у внутрішніх точках. Третя група є системою кінцево-різницевих рівнянь, що формуються, як аналоги рівняння (1) і мають загальний вигляд
де (2)
де – ступінь поліному, що на одиницю менша за кількість рівнянь другої групи; – порядковий номер рівняння, який набуває значення ; – невизначені сили у вузлах кривої; – коефіцієнти поліному (1), записаного у формі Лагранжа, при нульовому значенні встановленої цілочислової параметризації і за умови інтерполяції суміжної точки. Загальна кількість рівнянь у третій групі , а загальна кількість рівнянь всієї системи 3(N+1). Результат розв’язку суттєво залежить від обраного першого наближення. В розділі пропонується метод побудови бажаного першого наближення і наводяться приклади побудови.
Третій розділ. Розробляється і досліджується конструктивно-пошуковий метод побудови плоскої рівноланкової лінії за восьмипараметричними умовами, означеними вище. При цьому три параметри (положення початкової точки і дотичної в ній) задовольняються як умови стартової побудови.
П’ять параметрів, які залишаються, є вершинами управляючої ламаної (рис.2), що задає натуральні рівняння кривої, яка моделюється. Вершини ламаної асоціюються із значеннями дискретних аналогів кривини Kj у заданих точках Kj (j =1,...,5), і є керуючими чинниками моделювання. Величини безпосередньо відповідають вихідним даним конструювання, а повинні забезпечити приведення кривої в задану кінцеву точку та збереження положення дотичної в ній. При моделюванні поточної кривої кількість точок Pi (і=1,...,N), довжина ланки (а тому і довжина всієї лінії ? ) та розподіл номерів (j =1,..., М) на множині точок , приймаються сталими.
Забезпечення напряму дотичної в кінцевій точці, виконується за допомогою величини ? – дефекту кута дотичних, який з одного боку задається положенням дотичних у кінцевих точках (рис.3), а з іншого боку – накопичується у процесі побудови і є сумою кутових кривин в усіх точках,
,
або . На кожній ділянці кривої, яка відповідає ділянці ламаної Кj Kj+1, досягається накопичення дефекту ?j, яке може бути підраховано за виразом
Оскільки та визначені, може бути отримана в явному вигляді залежність , при виконанні якої за будь-яких умов дотична в кінцевій точці буде паралельна Р2Р4. Ця залежність має вигляд:
, (1)
де:
а = К2 – К1; в = К3 – К2; с = К4 – К3; d = К5 – К4;
Інциденція ДРК заданій кінцевій точці, в загальному випадку, розв’язується як задача знаходження таких значень , які забезпечують мінімізацію відстані від поточної кінцевої точки до точки . Але спочатку забезпечується інциденція прямій Р1Р2.
Встановлено властивість: нехай задана однопараметрична множина рівноланкових кривих, для якої вершини управляючої ламаної {Kj, цj} (j = 1,...,5) визначені як функції вихідних умов та параметру . Тоді при будь-якому та
, (2)
де (а=const, b=const) поточна остання точка буде належати прямій.
Справедливе твердження: нехай для конкретного проекту задані граничні значення , і існують чотири точки, які відповідають значенням пар параметрів:
Тоді, якщо хоч дві з цих точок, лежать по різні боки від прямої Р1Р2, то існує функція (2), яка забезпечує інцидентність РП прямій Р1Р2 і може бути реалізована для даного проекту. При довільному сталому і кінцева точка опише деяку криву, яка, в цьому разі, перетне пряму Р1Р2. Значення точки перетину знаходиться методом поділу відрізка параметрів навпіл, за умови мінімізації відстані від поточної кінцевої точки до прямої Р1Р2. Задача розв’язується двічі і отримуються пари значень () та (), за якими коефіцієнти а та b в (2) дорівнюють
, . (3)
При знайдених значеннях а та b не тільки буде залежати від параметра , а й вираз (1) з урахуванням (2) може бути представлений: . Зміна параметра забезпечує рух точки РП по прямій Р1Р2 (рис.4). Його остаточне значення отримується у процесі мінімізації величини , методом поділу відрізку параметрів [] навпіл.
При встановленні залежності (1) використовувався дефект кута дотичних, який є кутом між додатними напрямами векторів Р1Р3 та Р2Р4, (?р – розрахунковий кутовий дефект). Але з урахуванням напряму руху вздовж лінії, можливої кількості точок перегину та знаків значень кривин у кінцевих точках, реальний дефект обчислюється за більш складною залежністю і лише в найпростіших випадках ?=?р.
Для встановлення цієї залежності аналізуються основна схема завдання вихідних умов і супутня схема, що отримана паралельним перенесенням векторів дотичних в одну точку (на рис.5. точки позначені лише їх номерами). Введені ознаки:
Ознака 1 (П1). Якщо точки 3 та 4 поділяються прямою 12 то П1={+}, якщо ні , то П1={?};
Ознака 2 (П2). Якщо точки 1–3–2 задають праву трійку то П2={+}, якщо ліву – П2={?};
Ознака 3 (П3). Якщо точки 1с3с4с супутньої схеми задають праву трійку, то П3={+}, якщо ліву трійку то П3={+};
Ознака 4 (П4). Якщо кривини в першій та останній точках ДРК мають знаки, що відповідають першим рядкам таблиці 1, то П4 має значення останнього рядка.
Ознака П1 впливає на вибір довжини кривої, а сукупність значень ознак П2, П3, П4 покладена в основу попередньої класифікації варіантів схем, для встановлення значення кутового дефекту. Ця сукупність має 16 класифікаційних варіантів.
Таблиця 1
N | Назва параметра | Значення
1 | +– | +–
2 | +–– | +
3 | П4{П41 П42} | {+, +} | {–, –} | {+, –} | {–, +}
Залежність кутового дефекту від множини ознак представлена у вигляді
(4)
де Ні – пропозиційні формули, що набувають значення :
Но=Ро; Н1=(), Н2=; Н3=;
Н4=; Н5=,
і складаються з подій Рі: Ро={П3 має від’ємне значення}; Р1={П2 та П3 мають однакові значення}; Р2={П41 та П42 мають однакові значення}; Р3={П2 та П3 мають, від’ємні значення}; Р4={П41 та П42 мають додатні значення}.
Формула (4) застосовується для комп’ютерної реалізації, а для геометричного уявлення розроблені детальні схеми. В схемі, представленій на рис.5, змінюється лише ознака П4, яка визначається знаками кривин у кінцевих точках. При різнознакових кривинах принципово не може бути отримане рішення без точки перегину.
Для поширення використання конструктивно-пошукового методу на просторовий випадок необхідно розробити інтерполянт з 16-ма параметрами, 10 з яких можуть бути враховані як умови стартової побудови. Тобто залишається 6 керуючих чинників, для чого можуть бути залучені дві управляючі ламані, одна з яких задає дискретні аналоги кривин, а друга – дискретні аналоги скруту. Кожна з ламаних буде мати 5 вершин, причому по 3 внутрішні – управляючі.
Але у роботі в такій постановці задача не була розв’язана, оскільки вона потребує визначення кутових дефектів. Дослідження показали, що неможливо отримати їх передбачуване значення.
Задача конструювання просторової кривої за точками інцидентності і заданими в них стичними площинами, дотичними,
значеннями кривин та скруту розв’язується в модифікованому варіанті.
Для пояснення його припустимо, що існує просторова рівноланкова ДРК (k), (рис.6) яка проходить через вихідні точки А1 та АN. Точки А2 та АN-1 разом з вихідними задають дотичні до кривої, а разом із точками А0 та АN+1 – положення стичних площин А0А1А2 та АN-1АNАN+1. Дискретні аналоги кривини визначені кутами і . Додаткові точки А-1 та АN+2 задають ще дві площини А-1А0А1 та АNАN+1АN+2, так, що дискретні аналоги скруту у вихідних точках кривої k визначають відповідні кути між площинами:
.
Таким чином, завдання двох четвірок точок повністю визначає необхідні крайові умови ? вихідні кінцеві точки і задані в кожній з них: стичну площину, дотичну, значення кривини та скруту. При цьому задаються стичні площини в законтурних точках А0 та АN+1 ( та ). Показано, що існують однопараметричні множини положень точок А-1 та АN+2 такі, що ці точки будуть належати стичним площинам та і визначатися на них параметрами та . Перший з них реалізується як умова стартової побудови, а другий ? як вільний параметр, що впливає на криві на обох проекціях. Нехай далі така крива з усіма означеними точками спроекційована на дві довільні, не паралельні площини (рис.6).
а них отримуємо криві та , які вже не будуть рівноланковими, і тому проекції дискретних аналогів кривин можна розглядати тільки як кути суміжності між відповідними ланками.
Пропонується проектувати дискретну рівноланкову просторову криву k з неперервним законом зміни кривини та скруту так, щоб керуючими чинниками побудови були параметри управляючих ламаних, що задають закони зміни кутів суміжності між ланками на проекціях. Ці закони будемо називати квазінатуральними рівняннями просторової кривої, а процес проектування просторової ДРК – проектуванням за керуючими чинниками квазінатуральних рівнянь.
Для означених умов модифіковано конструктивно-пошуковий метод, що в якості стартової побудови реалізує 11 параметрів і потребує 5-ти управляючих. У цьому випадку дві управляючі ламані (одна з них, що відповідає проекції на , схематично представлена на рис.7), мають по 6 вершин, причому – по 4 з них визначені значеннями проекцій кривин у кінцевих та законтурних точках. А, по дві внутрішні – є керуючими чинниками. П’ятим
керуючим чинником обрано параметр . Параметри підраховуються за значеннями кутових дефектів (повна аналогія з 2D випадком), і забезпечують приведення триланкової ламаної в положення паралельне вихідному. А параметри та забезпечують приведення поточної кінцевої точки у вихідне положення. При цьому, забезпечує належність поточної кінцевої точки площині, що проходить через вихідні точки і паралельна напряму проекціювання на , а – аналогічній площині, паралельній напряму проекціювання на площині . Це забезпечує належність кінцевої поточної точки прямій, що з’єднує вихідні точки. Інцидентність поточної кінцевої та вихідної точок досягається зміною параметра . Побудова просторової рівноланкової кривої відтворюється безпосередньо у просторі, а вихідні дані до неї постачають ламані квазінатуральних рівнянь, що задають кути суміжності на площинах проекцій та .
Четвертий розділ. Проведено аналіз існуючих перехрещень, який показав, що в більшості випадків їх конфігурація визначається геометричними параметрами лівоповоротних з’їздів. Виконано класифікацію основних елементів різнорівневих перехрещень, яка дозволить спростити вибір планувального рішення. Обґрунтовано доцільність проводити проектування з’їздів та моделювання проїжджої частини вулиць і доріг по лініям лотків цих елементів. Розглянуті питання забезпечення обмежень, що є суттєвими при проектуванні ліній лотків з’їздів.
Розроблено метод побудови просторової кривої, зорієнтований на практику дорожнього проектування. За ним, з урахуванням обмежень, будується план розв’язки методом, розробленим в третьому розділі (рис.8, а). За тією ж кількістю точок і тим самим методом будується умовна розгортка просторової лінії, як її поздовжній профіль (рис.8, б). План та розгортка приймають спільні вихідні умови, але в сукупності не визначають кривої у просторі. Точки просторової кривої утворюються штучно, приймаючи абсциси та ординати кожної і-тої точки з плану, а аплікату – з відповідної і-тої точки поздовжнього профілю (рис.8, в).
Метод моделювання плоскої ДРК, розроблений у третьому розділі, та метод проектування просторової ДРК, наведений у четвертому розділі, реалізовані в програмному модулі, який створено у. середовищі DELPHI з використанням відкритої графічної бібліотеки OpenGL. Наведено результати впровадження і приклади роботи підсистеми.
ВИСНОВКИ
У роботі досягнуто основну мету: –
розвинена й удосконалена теоретична база дискретного моделювання плоских та просторових кривих з урахуванням в процесі такого моделювання, законів зміни кривини та додаткових умов щодо врахування точок інциденції, дотичних, стичних площин, значень кривин та скруту. Запропоновано нові методи дискретного моделювання кривих за керуючими чинниками їх натуральних рівнянь: розроблена математична, алгоритмічна та програмна підтримка запропонованих методів.
Отримані такі результати, що мають наукову та практичну цінність.
1. Дістав подальшого розвитку статико-геометричний метод. На його основі в рамках дискретного моделювання вперше розв’язана задача суцільної інтерполяції точок на площині рівноланковою дискретно представленою кривою за заданими вихідними умовами, (у тому числі за значеннями кривин у явному вигляді). При цьому основним підсумком є можливість врахування довільних крайових та допоміжних умов.
2. Запропоновано конструктивно-пошуковий метод побудови плоских та просторових кривих ліній, основною особливістю якого є те, що частина параметрів задовольняється в процесі конструктивної побудови, а значення інших визначається в процесі пошуку, який розгалужений на окремі одновимірні пошуки.
3. Дослідження, виконані в процесі створення конструктивно-пошукового методу, показали:–
залежність кутового дефекту (сумарного кута суміжності між всіма ланками шуканої кривої) не тільки від кута суміжності між заданими дотичними, а й від напряму руху вздовж лінії. Розроблені відповідні класифіковані схеми;–
залежність кількості точок перегину при побудові плоскої ДРК від їхніх вихідних умов, зокрема, від знаків кривин у кінцевих точках, напряму руху та обраної довжини лінії. Розроблені алгоритми управління комплексом означених параметрів.
4. Традиційно проектування перехрещень розподіляється на моделювання плану і поздовжнього профілю. Запропоновано метод побудови просторової лінії, що відповідає практиці дорожнього проектування і дозволяє задовольнити вихідні значення проектних параметрів і обмежень.
5. На основі розроблених математичних методів і запропонованих рекомендацій створено програму моделювання геометричних схем перехрещень у різних рівнях та перетворень цих схем при їх конкретній прив’язці до місцевості. Програма дозволяє в інтерактивному режимі розглянути кінцеву множину варіантів, що задовольняють регламентовані вихідні умови. Ця програма може бути розглянута, як основа для варіантного проектування за заданими критеріями, а при подальшій розробці може увійти у якості модуля до загальної системи автоматизованого проектування доріг.
6. Подальші наукові та практичні дослідження плануються в напрямку оптимального проектування з’їздів різнорівневих перехрещень за комплексними геометрично-конструктивними та технологічними критеріями, а також у напрямку поєднання розробленого програмного продукту з існуючими системами проектування доріг.
7. Достовірність результатів підтверджується численними прикладами побудови плоских та просторових кривих ліній, які можуть бути використані в якості напрямних при побудові поверхонь з’їздів перехрещень у різних рівнях за допомогою створеної системи.
ПУБЛІКАЦІЇ ЗА ТЕМОЮ ДИСЕРТАЦІЇ
1. Ботвіновська С.І. Планувальні аспекти геометрії перехресть міських вулиць і доріг у різних рівнях // Прикладна геометрія та інженерна графіка. – К.: КДТУБА, 1997. – Вип.62. – С.210-213.
2. Ботвіновська С.І. Геометричне моделювання елементів перехрещень міських вулиць і доріг в різних рівнях. Тезисы докл. междунар. научно-практич. конференции “Современные проблемы геометрического моделирования”. Донецк: Дон. ГТУ, 2000. ? С.77.
3. Ботвіновська С.І. Основы автоматизированного проектирования элементов транспортной развязки в разных уровнях // Містобудування та територіальне планування: Наук.-техн. збірник. – К.: КНУБА, 2000. – Вип.5. – С.106-111.
4. Ботвіновська С.І. Деякі питання сучасного становища проблеми планування перехрещень міських магістралей в різних рівнях // Містобудування та територіальне планування: Наук.-техн. збірник. – К.: КНУБА, 2000. – Вип.6. – С.26-29.
5. Ботвіновська С.І., Осєтрін М.М., Чередниченко П.П. Алгоритм оптимізації планововисотного положення з’їздів на перетинах міських магістралей в різних рівнях // Містобудування та територіальне планування: Наук.-техн. збірник. – К.: КНУБА, 2001. – Вип.10. – С.9-13.
6. Ковальов С.М., Ботвіновська С.І. Локальні інтерполяції дугами клотоїди з другим порядком гладкості // Прикладна геометрія та інженерна графіка. – К.: КНУБА, 2002. – Вип.71. – С.25-31.
7. Анпілогова В.О., Ботвіновська С.І., Анпілогов А.Г. Моделювання кривих ліній за допомогою управляючих ламаних, що визначають їх натуральні рівняння // Прикладна геометрія та інженерна графіка. – К.: КДТУБА, 2003. – Вип. 72. – С. 124-129.
8. Анпілогова В.О., Ботвіновська С.І. Управління формою рівноланкової кривої розрахункового фрагмента з’їзду // Містобудування та територіальне планування: Наук.-техн. збірник. – К.: КНУБА, 2003. –Вип.13. – С.22-27.
9. Ботвіновська С.І. Чередниченко П.П. Про утворення поверхонь примикань з’їздів до вулиці і доріг на їх пересіченнях в різних рівнях // Містобудування та територіальне планування: Наук.-техн. збірник. – К.: КНУБА, 2003. – Вип.15. – С. 25-28.
10. Ботвіновська С.І. Аналіз сучасного становища у питаннях використання вузькоспеціалізованих термінів в різних галузях містобудування // Містобудування та територіальне планування: Наук.-техн. збірник. – К.: КНУБА, 2003. – Вип.14. – С.12-19.
Ботвіновська С.І. Дискретне моделювання обрисів магістральних перехрещень за керуючими чинниками параметрів натуральних рівнянь. ? Рукопис.
Дисертація на здобуття вченого ступеня кандидата технічних наук за спеціальністю 05.01.01 ? Прикладна геометрія, інженерна графіка. ? Київський національний університет будівництва і архітектури, Київ, 2003 р.
В дисертаційній роботі розроблено методи, алгоритми, програмне забезпечення та методики дискретного моделювання ліній магістральних перехрещень. Пропонуються методи моделювання ліній, що використовують їх натуральні рівняння як управляючі криві. Лінії з’їздів повинні задовольняти крайовим умовам, що складаються з кінцевих точок, дотичних та значень кривини у них. Конструювання цих ліній у просторі виконується за допомогою поздовжнього профілю. Побудова плану і профілю виконується на спільних теоретичних засадах. На основі цих методів розроблена інтерактивна програма, яка у подальшому може бути включена у загальні системи комп’ютерного моделювання перехрещень доріг у різних рівнях.
У роботі виконані узагальнення. Перше ? розроблена суцільна інтерполяція, яка задовольняє не тільки вихідні крайові умови, а і умови у внутрішніх точках: дотичні та кривини у них. Друге – розв’язана задача побудови просторової рівноланкової кривої за заданими крайовими умовами, що складаються із вихідних точок та заданих в них: дотичних прямих, стичних площин, значень кривин та скрутів. Результати роботи впроваджені у практику проектування розв’язок, але можуть бути застосовані при проектуванні інших динамічних кривих та поверхонь.
Ключові слова: рівноланкова крива, комп’ютерне моделювання, крайові умови, натуральні рівняння, розв’язка, перехрещення у різних рівнях.
Ботвиновская С.И. Дискретное моделирование контуров магистральных пересечений с использованием их натуральных уравнений как управляющих кривых. ? Рукопись.
Диссертация на соискание ученой степени кандидата технических наук по специальности 05.01.01 ? Прикладная геометрия, инженерная графика. Киевский национальный университет строительства и архитектуры, Украина, Киев 2003 г.
Объектом исследования диссертационной работы служат методы моделирования плоских и пространственных кривых линий, а предметом исследования – геометрические свойства и закономерности, которые появляются в процессе моделирования кривых с помощью их натуральных уравнений. Усовершенствовано теоретическое, методологическое и алгоритмическое обеспечение такого процесса и создан программный модуль моделирования линий лотков съездов на пересечениях в разных уровнях.
Моделирование кривых, по краевым условиям, есть существенно нелинейной задачей, которая не решена в полном объеме. Поэтому, предлагается ее решение на основе дискретного моделирования. Искомая кривая моделируется как равнозвенная, а дискретные аналоги кривизны в ее вершинах определяются двумя способами: как значения внешних усилий, приложенных к ее узлам (на основе статико-геометрического метода), и как значения углов смежности между соседними, присоединенными к каждому узлу, звеньями. В качестве дискретных аналогов кручения выбираются углы смежности между соприкасающимися плоскостями, которые образуются двумя передними звеньями и одним последующим звеном. Именно дискретные аналоги определяют дискретную кривизну и кручение с точностью до подобия. Это возможно, вследствие равенства звеньев дискретно-представленной кривой и является существенным при компьютерном моделировании.
Предлагается моделировать плоские или пространственные кривые линии, используя их натуральные уравнения в качестве управляющих кривых.
Проведены исследования по влиянию различных параметров на форму кривой и по возможностям управления ее формой. Для построения плоских и пространственных линий предложен метод, в котором максимальное количество параметров закладывается в рекуррентную схему, а процесс оптимизации с помощью параметров, которые не вошли в эту схему, превращается в последовательный. Таким образом, часть параметров удовлетворяется в процессе построения кривой, а значения других параметров находятся в процессе поиска, который расслаивается на отдельные одномерные.
Все исследования ориентированы на проектирование элементов пересечений в разных уровнях. Поэтому учитывали не только исходные точки, их координаты, значения кривизны и кручения, но и направление касательных в исходных точках. Разработаны различные классификационные схемы линий лотков съездов с учетом необходимого числа точек перегиба.
Традиционные методы проектирования элементов пересечений в разных уровнях позволяют проектировать отдельно их планы и продольные профили. Предложенный метод построения пространственной кривой линии использует продольный профиль съезда, позволяет удовлетворять исходные значения проектных параметров и ограничений.
Разработанный программный модуль имеет объектно-ориентированные компоненты: объекты предметной области (кривые), служебные объекты (сервисы), интуитивно понятный интерфейс и удобную систему ввода и вывода как графических, так и текстовых данных. В центре его находится ядро, контролирующее работу всех элементов модуля. Сам модуль, как автоматизированная система проектирования, берет на себя все основные функции при построении объекта моделирования. В результате его работы создается плоская и пространственная кривая линия, по заданным краевым условиям в конечных точках: кривизне, кручению, касательным, соприкасающимся плоскостям.
Ключевые слова: равнозвенная кривая, компьютерное моделирование, краевые условия, натуральные уравнения, развязка, пересечения в разных уровнях.
Botvinovska S.I. Discrete modeling of the highway contours and crossings based on governing factors of underlying curves’ natural equations. - Manuscript. The dissertation for competition of the scientific degree of Candidate of Technical Sciences specializing in applied geometry and engineering graphics – specialty 05.01.01. Kyiv National University of Building and Architecture. - Ukraine, Kyiv 2003. The modeling methods of flat and 3-dimentional curves are the object of research for the dissertational work, research was conducted and concentrated on geometrical properties and features discovered in the process of curves’ modeling based on their natural equations. Theoretical, methodological and algorithmic theory and procedures of the process described above were improved and the program module was developed to perform modeling of lines of exit pockets at crossing points on different highway levels. The program module of curves’ modeling with the help of their natural equations utilizes objective-hierarchical model supervised by the main software engine coordinating work of all elements of the module. This is an automated design system that incurs all basic functions during the construction of modeling object. As a result of the system’s work the 3-dimentional curve is constructed based on the set of initial conditions, complying with assigned curvature and torsion moments applied to the end points. The modeling of curves basing on assigned curvature and torsion is essentially nonlinear problem that is not solvable by using solely empirical approach. Therefore, the discrete modeling method is proposed to obtain the solution: the required curve is modeled to consist of equal-length straight elements, and discrete analogues of curvature in end-points of each element are defined utilizing two methods: determination of values of the external forces applied to the end-points (based on geometrical static method), and determination of angles of contiguity between neighboring elements. The angles of contiguity between adjoining planes that are formed by two leading and one following element are chosen to be discrete analogues of torsion. Discrete analogues define discrete curvature and torsion with accuracy almost identical to the original. It is possible due to equity
