Національна академія наук України

Інститут кібернетики імені В.М. Глушкова

БУЛАВАЦЬКИЙ ВОЛОДИМИР МИХАЙЛОВИЧ                                                                         

УДК 517.954:536.21:532.546

МАТЕМАТИЧНЕ МОДЕЛЮВАННЯ

РЕЛАКСАЦІЙНИХ ПРОЦЕСІВ ТЕПЛОМАСОПЕРЕНОСУ

01.05.02 – математичне моделювання та обчислювальні методи

АВТОРЕФЕРАТ

дисертації на здобуття наукового ступеня

доктора технічних наук

Київ – 2003

Дисертацією є рукопис.

Робота виконана в Київському університеті економіки і технологій транспорту Міністерства транспорту України.

Науковий                                           член-кореспондент НАН України,

консультант:                                      доктор фізико-математичних наук, професор                                                           

СКОПЕЦЬКИЙ Василь Васильович,                                                          

Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН                                                             України, завідувач відділом.

Офіційні опоненти:

академік НАН України, доктор технічних наук, професор

ГРИГОРЕНКО Ярослав Михайлович,

Інститут механіки НАН України, завідувач відділом;

член-кореспондент НАН України, доктор фізико-математичних наук, професор

ЛЯШКО Сергій Іванович,

Київський національний університет ім. Т.Г. Шевченка, завідувач кафедри; 

доктор технічних наук, професор

ВЛАСЮК Анатолій Павлович

Український державний університет водного господарства та природокористування,

декан факультету.

Провідна установа:

Навчально-науковий комплекс “Інститут прикладного системного аналізу” Міносвіти і науки України та НАН України.

Захист відбудеться “_28___” листопада__2003р. о __11_____годині на засіданні

спеціалізованої вченої ради Д 26.194.02 при Інституті кібернетики ім. В.М.Глушкова НАН України, 03187, МСП, м. Київ-187, просп. Акад. Глушкова, 40.

З дисертацією можна ознайомитися у науково-технічному архіві Інституту кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України.

Автореферат розісланий “__15____” жовтня  2003р.

Вчений секретар

спеціалізованої вченої ради                                                        Синявський В.Ф.

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ 

Актуальність теми. Теорія переносу енергії та маси речовини є одним з важливих розділів сучасної науки, що має широке поле застосувань в різних галузях промис-ловості (зокрема в енергетичній, металургійній, хімічній),при розрахунках конструк-тивних елементів в машинобудуванні, матеріалознавстві, електроніці тощо, а також розрахунках  інженерних  споруд,  зокрема  тих,  що  будуються  на  водонасичених  грунтових основах. Процеси тепломасообміну характеризуються великою різнома-нітністю і складністю. На сучасному етапі все ширше застосування  знаходять процеси інтенсивного тепломасопереносу з великими градієнтами та швидкими змінами у часі. Такі процеси мають місце, наприклад, при горінні та вибухах, в приладах імпульсної та лазерної техніки, в енергетичних каналах ядерних реакторів і псевдозрідженому шарі,  в  високотемпературній плазмі,  в дисперсних  системах і зернистих матеріалах. При цьому, так як детальні натурні дослідження названих процесів надто ускладнені, то цілком зрозумілим стає те значення, якого набуває останнім часом метод математичного моделюваннязокрема обчислювального експерименту), при вивченні вказаних процесів.  Загальновідоме широке застосуван-ня математичного моделювання до вивчення процесів тепло- та масопереносу,  як  в

теоретичних, так і в прикладних дослідженнях, зокрема в працях  Бахвалова М.С.,

Беляєва М.М., Бурака Я.Й.,  ВласюкаА.П.,  Галіцина А.С., Гладкого А.В., Глущенка А.А., Даниленка В.А., Демченка В.Ф., Дейнеки В.С., Зельдовича Я.Б., Калашнікова В.В., Карташова Е.І., Коздоби Л.А., Коляно Ю.М., Кутателадзе С.С., Лаврентьєва М.О., Лаврика В.І., Ленюка М.П., Ликова О.В., Лялька В.І., Ляшка І.І., Макаренка О.С., Маслова В.П., Марчука Г.І., Мистецького Г.Ю., Нікітенка М.І., Ніколаєвського В.М., Олійника О.Я., Підстригача Я.С., Полубаринової-Кочиної П.Я., Рвачова В.Л., Самарського О.А., Сергієнка І.В., Скопецького В.В., Тихонова А.М., Фільчакова П.Ф., Фущича В.І., Чаплі Є.Я., Шаманського В.Б. та ін. На даний час базою такого моделювання є теорія заснована на законах: Фур’є для розповсюдження тепла, Фіка для дифузії речовини, Дарсі для фільтрації. Так сучасна математична теорія горіння грунтується на класичному рівнянні теплопровідності                                                 

,                                                

(температура, оператор Лапласа  яке  виве-дене за умови справедливості закону Фур’є. І хоча за умови справедливості цього закону задовільно описано багато реальних процесів переносу, проте відомо також ряд прикладів, коли застосування теорії Фур’є не дає адекватного опису явища. Зокрема, саме в зв’язку з вивченням високоінтенсивних та швидкоплинних процесів тепломасопереносу виявилась неадекватність традиційного опису процесу на основі класичного рівняння параболічного типу.  Така  непридатність  класичного  способу моделювання була встановлена при спробах опису експериментальних  результатів по розповсюдженню тепла при низьких температурах, експерементальних результатів по розсіюванню нейтронів в рідинах, в теорії горіння і теплового вибуху,  термов’язкопружності,  при  фільтрації  в  гетерогенних  середовищах та ін. Слід зауважити також, що в класичній математичній моделі теплопровідності Фур’є постульовано такі досить жорсткі умови на процеси, як нескінченна швидкість розповсюдження збурень, що призводить до ряду відомих парадоксів. В зв’язку з неадекватністю класичної математичної моделі для опису процесів зі скінченною швидкістю розповсюдження збурень рядом авторів було запропоновано інші, більш адекватні математичні моделі тепломасопереносу. Зокрема  О.В. Ликовим, з використанням теорії термодинаміки незворотніх процесів одержана більш складна залежність між тепловим потоком і градієнтом температури, на основі якої виведено загальновідоме гіперболічне рівняння теплопровідності, що враховує скінченну швидкість розповсюдження збурень                                       

де час релаксації теплового потоку (дійсний параметр). Однак  це рівняння виявилось справедливим лише для нерівноважних процесів помірної інтенсивності, і його поява не вирішила всього комплексу проблем побудови адекватних математичних моделей для опису тепломасопереносу, зокрема за умов високоінтенсивних та швидкоплинних  процесів.

Сучасна одна з найбільш поширених математичних моделей тепломасопереносу з урахуванням суттєвої теплової нерівноважності базується на наступному узагаль-ненні закону Фур’є ( О.В. Ликов) :                                            

,

де T – температура, тепловий потік, коефіцієнт теплопровідності, оператор Гамільтона, час релаксації. З останнього співвідношення згідно з законом збереження випливає наступнеодномірне) рівняння тепломасопереносу, одержане і обгрунтоване в роботах В.А. Даниленка, Ю.А. Буєвича та співавторів:                               

,

де параметри релаксації, Q(T) – потужність теплових джерел.

Зазначимо, що в рамках математичної моделі релаксаційної теплопровідності, що грунтується на цьому рівнянні, було виконано значну кількість досліджень, зокрема в роботах О.С.Макаренка, В.А.Даниленка і співавторів, проте ряд питань залишилось відкритими. Сюди слід віднести розробку конструктивних аналітичних методів розрахунку теплових полів у рамках лінійних моделей в різних (зокрема в сферичній) системах координат, а також розвиток точних методів розрахунку температурних полів кусково-однорідних середовищ. Оскільки точні розв’язки мають важливе значення, зокрема в зв’язку з тим, що можуть використовуватись як тестові при розробці чисельних методів розрахунку теплових полів, то пошук таких розв’язків є актуальною задачею.

Як зазначено в роботах В.І, Фущича, А.С. Галіцина, А.С. Полубинського, заміна класичного рівняння Фур’є на гіперболічне при математичному моделюванні процесів тепломасопереносу є принциповою, але такою, яку важко пояснити з теоретико-групової точки зору, оскільки гіперболічне рівняння не має відповідних симетрійних властивостей і, таким чином, не відображає основні фізичні закони збереження .

В зв’язку з цим в роботах В.І. Фущича для коректнішого опису процесів тепломасопереносу запропоновано нову математичну модель, в основі якої лежить рівняння параболічного типу високого порядку класичний оператор теплопровідності, дійсні параметри                                                    

В.І. Фущичем доведено, що це рівняння є інваріантним відносно групи Галілея G(1,3), тому може бути використаним для опису теплових і дифузійних процесів,  які не залежать від того, в яких інерційних системах вони спостерігаються. Порівняно з класичним лінійним рівнянням параболічного типу воно більш коректно описує еволюційні процеси і дозволяє досліджувати їх спеціальні режими, зокрема – зі скінченною швидкістю розповсюдження збурень. Зауважимо, що наведене вище рівняння при n=2 дістало назву біпараболічного рівняння тепломасопереносу а відповідна  математична  модель, що  грунтується  нацьому рівняннідалі  біпараболічна модель), вперше застосовувалась до опису про-цесів тепломасопереносу в роботах  В.І.Фущича,  А.С.Галіцина, А.С.Полубинського. Цими вченими  покладено початок застосуванням даної моделі до вивчення процесів тепломасопереносу, проте велике коло задач, пов’язаних з біпараболічною моделлю ще залишилось не вирішеним.  Перш  за  все  сюди  слід  віднести  питанняодержання точних розв’язків лінійних крайових задач як в одномірному, так  і  в  не-одномірному випадках, математичне моделювання  процесів горіння на основі біпараболічної математичної моделі, розвиток вказаної моделі в  напрямі  моделюва-ння фільтраційних процесів у деформованих грунтах за нерівноважних умов, мате-матичне  моделювання  процесів  термопружності  на  основі  біпараболічної  моделітеплопровідностібіпараболічна термопружність).

Вирішенню цих актуальних питань теорії релаксаційних процесів тепломасоперено-су присвячена значна частина дисертаційної роботи.

Слід відзначити, що природним узагальненням біпараболічної моделі є математична модель, в основу якої покладено рівняння                                                                                                .

До рівняння такого виду зводяться, наприклад, рівняння двотемпературної моделі термомеханіки бінарних системБурак Я.Й., Чапля Є.Я., Чернуха О.Ю. та ін.)  або рівняння некласичної дифузії, що моделює ситуації, коли важливе значення в дифузійному процесі відіграють ефекти в’язкості, пам’яті, нелокальності (Aifantis.).

Модель тепломасопереносу, що базується на вказаному рівнянні надалі будемо називати узагальненою біпараболічною моделлю. Актуальними завданнями, які потребують дослідження в рамках цієї моделі є, зокрема, такі:

- математичне моделювання високотемпературного процесу горіння у випадку   нелінійних джерел;

- вивчення спеціальних межових режимів (режимів із загостренням або blow-up   режимів);

- пошук точних розв’язків основних лінійних крайових задач теплопровідності.

Вирішенню цих питань присвячено ряд розділів даної роботи.

У випадку n=3 назвемо математичну модель тепломасопереносу, що грунтується на рівнянні з частинними похідними го порядку:   -поліпараболічною математичною моделлю ( тут   - параметри релаксації, Так як це   рівняння інваріантне відносно групи ГалілеяВ.І. Фущич), то воно може бути використане для опису теплових і дифузійних процесів, не залежних від того, в яких інерційних системах вони розглядаються. З метою започаткування систематичного вивчення релаксаційних процесів тепломасоперено-су в рамках поліпараболічної математичної моделі сформулюємо деякі актуальні в зв’язку з цим проблеми:

- пошук автомодельних розв’язків рівняння поліпараболічної математичної моделі;

- пошук точних розв’язків лінійних крайових задач теорії теплопровідності в рамках   розглядуваної   моделі;

- дослідження спеціальних межових режимів ( із загостренням  в рамках   поліпараболічної   математичної моделі.

Закінчуючи цей короткий огляд, зазначимо, що викладене вище незаперечно свідчить про значну актуальність (як наукову так і практичну) розвитку математичних моделей та   розробки ефективних  методів математичного моделювання релаксаційних процесів тепломасопереносу .

Зв’язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Робота виконувалась у відповідності до плану наукових досліджень кафедри вищої математики Київського університету економіки і технологій транспорту  в межах  науково-дослідної теми “Розвиток математичних моделей та методів дослідження стаціонарних і нестаціонарних процесів тепломасопереносу, механіки суцільних середовищ та гідромеханіки”, № держреєстрації 0103U000978.

Мета і задачі дослідження. Метою роботи є розв’язання науково-технічної проблеми розвитку і вдосконалення математичних моделей для адекватного опису процесів тепломасопереносу з релаксацією та розробки (переважно конструктивних) методів математичного моделювання цих процесів. Нижче перераховані основні задачі дослідження.

1. Одержання конструктивних аналітичних розв’язків основних лінійних крайо-вих задач в рамках математичної моделі релаксаційної теплопровідності в одномірному та неодномірному випадках, в різних системах координат, в однорідних і кусково-однорідних середовищах.

2. Проведення математичного моделювання високотемпературного процесу горіння в рамках різних математичних моделей з урахуванням теплової нерівноважності.

3. Одержання аналітичних розв’язків одномірних та неодномірних лінійних крайових задач теплопровідності в рамках біпараболічної математичної моделі.

4. Запровадження нової узагальненої біпараболічної моделі процесу теплопереносу та проведення на її основі математичного моделювання цього процесу.

5. Запровадження  для  опису  релаксаційних процесів тепломасопереносу полі-параболічної математичної моделі.

6. Дослідження спеціальних граничних режимів із загостренням для узагаль-неної біпараболічної і поліпараболічної моделей тепломасопереносу.

7. Розвиток  методів  математичного  моделювання  релаксаційних  процесів     фільтраційної консолідації та фільтраційно-конвективної дифузії.

8. Математичне моделювання  термомеханічних  процесів з урахуванням тепло-вої нерівноважності.

Об’єкт дослідження. Релаксаційні процеси теплопровідності, конвективної дифузії, фільтрації та фільтраційної консолідації.

Предмет дослідження. Математичні моделі та крайові задачі теорії релаксаційного тепломасопереносу.

Методи досліджень. В роботі використано методи теорії рівнянь математичної фізики зокрема  теорії  рівнянь  параболічного  типу теорії  чисельних  методів    зокрема різницеві методи розв’язування задач математичної фізики), методи механіки суцільних середовищ та теорії теплопровідностізокрема аналітичні методи в теорії теплопровідності твердих тіл), методи математичного моделювання та обчислювального експерименту. 

Наукова новизна одержаних результатів. Основні результати, які визначають наукову новизну та виносяться на захист, наступні:

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

12.

а) незв’язної динамічної задачі термопружності для півпростору в рамках  біпара-    болічної моделі теплопровідності;

б)  динамічної задачі термопружності для балки, що нагрівається потоком тепла;

в)  задачі визначення біпараболічних теплових напружень в пружному круговому     циліндрі.

Достовірність отриманих результатів забезпечується строгою математичною постановкою та коректністю розглянутих в роботі крайових задач, застосуванням для їх розв’язання точних аналітичних методів або теоретично обгрунтованих чисельних методів, достатнім співпаданням наближених розв’язків крайових задач, одержаних в роботі, як правило, двома наближеними методами, фізичною інтерпретацією отриманих результатів та узгодженістю результатів роботи з наведеними в літературних джерелах даними.

Практичне значення одержаних результатів.  Проведені  в  роботі  дослідження

рекомендуються  до   використання    при    вивченні    нерівноважних   зокрема високоінтенсивних і швидкоплиннихпроцесів тепломасопереносу в різних галузях науки і техніки, наприклад: горіння і вибухи, течії рідин з релаксацією напружень та турбулентних рідин, термопружність, перенос у наноструктурах, тепломасоперенос у термоядерному синтезі, лазерній обробці матеріалів та ін. Дослідження по розрахунку полів надлишкових напорів при фільтраційній консолідації грунтів з урахуванням реологічних властивостей грунтового скелету будуть корисними при прогнозуванні швидкості деформацій основ і укосів різноманітних гідротехнічних споруд, зокрема накопичувачів промислових стоків. Дослідження, що стосуються процесів фільтраційно-конвективної дифузії розчинних речовин з урахуванням явищ нерівноважності, призначені для використання при вивченні питань захисту навколишнього середовища від забруднення в результаті аварій накопичувачів промислових стоків. Крім того, низка одержаних в роботі конструктивних розв’язків крайових задач теорії нерівноважного тепломасопереносу може бути безпосередньо використана в інженерних розрахунках теплових та фільтраційних полів, а точні аналітичні розв’язки роботи будуть корисними як тестові, при розробці чисельних методів дослідження процесів тепломасопереносу за вказаних умов. Деякі з результатів роботи на теперішній час вже знайшли практичне застосування (див. “Додатки”). Результати роботи рекомендуються до використання  також в учбовому процесі у вузах при читанні спецкурсів з математичного моделювання в задачах теплофізики, геогідромеханіки та механіки грунтів (УДУВГПК, НТУУ “КПІ”, Київський національний університет імені Тараса Шевченка).

Особистий внесок здобувача.В спільній публікації [21] співавтору належить участьу постановці і обгрунтуванні задач дослідження. В роботах [1, , , ] співавторам належить участь у напрацюванні методики чисельного експерименту, а в роботі [20] – у виборі методики аналітичних досліджень. В роботах [17, , , ] співавторам належить участь у розробці комп’ютерних програм та розрахунках на ЕОМ. В роботах [5, , 23, , , ] співавторам належить участь в обговоренні отриманих результатів та формулюванні висновків досліджень.

Всі основні результати дисертації отримані здобувачем самостійно.

Апробація результатів дисертації. Основні результати дисертації доповідались та обговорювались на наукових семінарах та конференціях, зокрема на:

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

Київ, ,2003)

-

-

Публікації. За темою дисертації опубліковано 40 наукових праць, список яких подано в кінці автореферату.

Структура та об’єм роботи. Дисертація складається зі вступу, одинадцяти розділів,висновків, списку  використаних  джерел та додатків.  Обсяг дисертації складає  стор.,  включаючи  стор. основного тексту,   стор.  рисунків,   стор. складає   список використаних джерел найменувань) та 4 додатки.                                                    

ОСНОВНИЙ ЗМІСТ РОБОТИ  

У вступі обгрунтовано актуальність теми, сформульовано мету і завдання дослідження, визначено наукову новизну отриманих результатів та їх практичне значення.   

У першому розділі роботи виконано постановки і одержано точні аналітичні розв’язки ряду лінійних одномірних нестаціонарних крайових задач для математичної моделі релаксаційної теплопровідності, що грунтується на рівнянні з частинними похідними третього порядку виду

При цьому розглянуто випадки як однорідних так і кусково-однорідних середовищ. Зокрема, у випадку двошарового середовища  функції, що  описують  структуру  не-стаціонарного релаксаційного температурного поля, одержано з  застосуванням методу інтегрального перетворення Фур’є на декартовій осі з однією точкою спряження (М.П. Ленюк) у вигляді                         

де позначено :                                                      

,

- коефіцієнти температуропровідності шарів, - коефіцієнти теплопровідності шарів, -температури шарів, - функції початкових умов, -компоненти власної функції, -спектральна густина,                                 

- функція Коші, яка визначається співвідношенням:             

Зауважимо , що :

1)

2)

Другий розділ присвячено неодновимірним нестаціонарним лінійним крайовим за-дачам в рамках моделі релаксаційної теплопровідності.Тут наведено точні розв’язки задач про структуру нестаціонарного температурного поля ряду плоских одноріднихобластейплощини, півплощини, напівобмеженої смуги, прямокутника). Крім того, методом скінченних інтегральних перетворень побудовано точні розв’язки ряду нестаціонарних крайових задач релаксаційної теплопровідності в сферичних областях. Значна частина розділу присвячена побудові аналітичних розв’язків крайових задач теорії релаксаційної теплопровідності кусково  однорідних середовищ. В зв’язку з цим розв’язано задачі про структуру нестаціонарного температурного поля двошарової площини, двошарової півплощини, двошарової необмеженої смуги. В цьому ж розділі методом фундаментальних функцій та функцій Гріна  з використанням гібридного інтегрального перетворення типу Фур’є – Бесселя на полярній осі з  точками спряженняМ.П. Ленюк, І.М. Конет) розв’язано декілька задач на визначення нестаціонарних температурних полів в кусково-однорідних сферичних областях.     

Третій розділ присвячено математичному моделюванню процесу горіння на основі моделі релаксаційної теплопровідності. В математичній постановці задача зводиться до розв’язання в області  наступної крайової задачі:                      

,                              (1)                                      

,                                                                  )

                           ,   ,                                                     )

де безрозмірні значення параметрів релаксації теплового потоку і темпера-тури відповідно,  функція джерела,    задані функції,  шукана температура.

Чисельна реалізація одержаних розв’язків і порівняння результатів розв’язку обома зазначеними методами показали їх хорошу відповідність. Результати розрахунків дозволяють, зокрема, зробити висновки про існування в рамках розглядуваної моделі таких режимів еволюції температури:

1) нелокалізований режим монотонного затухання початкової структури з часом ;

2) режим розпаду початкової структури на дві затухаючі, що рухаються в     протилежних напрямках (коливальний режим зміни температури);

3) режим з локалізацією і загостреннямзгідно з термінологією О.А.Самарського     і його школи).   

Четвертий розділ роботи присвячено пошуку точних розв’язків лінійних крайових задач в рамках біпараболічної математичної моделі тепломасопереносу. В зв’язку з цим наведено розв’язки деяких одномірних крайових задач для однорідних середовищ, виконано постановку і одержано розв’язок задачі визначення біпараболічного температурного поля кусково-однорідного необмеженого середовища.

Крім цього, в даному розділі наведено точні розв’язки ряду неодномірних крайових задач теорії  тепломасопереносу в рамках біпараболічної математичної моделі як в прямокутній декартовій, так і в сферичній системах координат.    

В розділі  виконано математичне моделювання процесу горіння в рамках біпараболічної математичної моделі. В одномірному випадку високотемпературного процесу горіння з урахуванням теплової нерівноважності за наявності джерела степеневого виду в рамках біпараболічної математичної моделі тепломасопереносу маємо наступну крайову задачу:                             

,            (6)                             

,                 (7)                              

,                               (8)

де   -  задані функції,   -  довжина  інтервалу  по  гео-

метричній змінній, , .

Крайова задача розв’язувалась за загальною методикою, прийнятою в роботі, тобто використовувалось два підходи до побудови розв’язку: метод зведення задачі до еквівалентного нелінійного інтегрального рівняння з послідуючим наближеним його розв’язанням та метод прямих у варіанті його повздовжньої схеми (тобто з дискретизацією рівнянь по геометричній змінній). Така методика досліджень підвищує ступінь достовірності одержаних чисельних результатів, що виправдовує використання різних підходів до побудови розв’язку.

Результати чисельної реалізації запропонованих алгоритмів дозволяють зробити висновки про існування в рамках біпараболічної моделі наступних режимів еволюції температури :

1)

2)

Метою проведення розрахунків було також порівняння температурних кривих, одержаних в рамках біпараболічної та релаксаційної моделей теплопровідності. Одержані дані свідчать, що на початковій стадії процесу горіння біпараболічна модель дає суттєво меншу величину температури, аніж це має місце для моделі релаксаційної теплопровідності. З плином часу різниця в результатах для обох моделей поступово зникає .

Останній параграф розділу 5 присвячено задачі математичного моделювання процесу горіння в безгазових конденсованих системах на основі біпараболічної моделі. Слід зауважити, що в рамках класичної математичної моделі ця задача раніше досліджувалась в роботах А.Г. Мержанова та його учнів, а в рамках релаксаційної математичної моделі – в роботах О.С. Макаренка, В.А. Даниленка та співавторів. В рамках біпараболічної моделі задача математичного моделювання розглядуваного процесу зводиться до розв’язання наступної нелінійної крайової задачі:                    

,           (9)                     

,                        (10)                  

,                (11)                          

,                          (12)

де - температура, - глибина розкладу вихідної речовини, - швидкість хімічної реакції, яка приймається у вигляді                                    

,                            

,, ,

Для одержання розв’язку поставленої задачі в роботі використано два описаних вище підходи. Результати чисельної реалізації дозволяють, зокрема, зробити висновок, що при значеннях параметра релаксаціі більших, ніж (в безрозмірних змінних) температурні криві для біпараболічної моделі помітно відрізняються від відповідних кривих, одержаних в рамках класичної моделі Фур’є А.Г. Мержанов та ін.). Зі збільшенням параметра релаксації зменшується ампулітуда і росте довжина хвилі коливань температури . Збільшення стабілізує пульсуючі режими горіння, і при великих значеннях  цього параметра спостерігається перехід у режим стаціонарного горінняПорівняно з випадком класичної моделі біпараболічна модель  дає  затримку  росту  максимуму  температури, а порівняно з релаксаційноюмоделлю О.С. Макаренко, В.М. Кудіновцього факту не спостерігається.    

Шостий розділ роботи присвячено викладенню результатів, пов’язаних з узагальненою біпараболічною моделлю, тобто моделлю, що базується на рівнянні .

В рамках цієї моделі одержано точні розв’язки основних лінійних крайових задач теплопровідності для скінченного стрижня та наближений розв’язок задачі моделювання високотемпературного процесу горіння з урахуванням ефектів нерівноважності. В останньому параграфі цього розділу досліджено граничні режими спеціального виду (із загостренням ) для узагальненої біпараболічної моделі. Для лінійних рівнянь узагальненої біпараболічної моделі тепломасопереносу встановлено існування розв’язків типу теплових хвиль, які описують межові режими із загостренням, причому (на відміну від класичного рівняння теплопровідності Фур’є) швидкість розповсюдження збурень у даній моделі скінченна. Дослідженнями виявлено повну аналогію межових режимів із загостренням для узагальнених біпараболічних та біпараболічних (А.С. Полубинський)  рівнянь.     

В розділі  вивчається поліпараболічна математична модель тепломасопереносу, що базується на рівнянні  . Одержано фундаментальний розв’язок поліпараболічного рівняння, розв’язок типу біжучої хвилі та розв’язки основних лінійних крайових задач теплопровідності для скінченного стрижня. В останньому параграфі розділу досліджено спеціальні граничні режими для поліпараболічної математичної моделі. Доведено, що при виконанні для параметрів моделі співвідношення у лінійного поліпараболічного рівняння тепломасопереносу   існують розв’язки типу теплових хвиль, які описують три відомих типи   режимів з загостренням , причому швидкість розповсюдження збурень  скінченна.

дифузійних рівнянь розв’язувалась скінченнорізницевим методом за допомогою неявної різницевої схеми, чисельна реалізація якої дозволила зробити висновок про те, що на початкових стадіях вилужування процес формування полів концентрації в релаксаційному фільтраційному полі відбувається значно уповільнено, аніж це має місце в класичному фільтраційному полі (з плином часу різниця між сформованими ореолами концентрації вилужуваного компоненту для різних моделей поступово зникає). Підсумовуючи  результати  досліджень, можна зробити важливий для прик-ладних застосувань висновок про те, що  на  початкових стадіях нерівноважних про-цесів  фільтраційно-конвективної дифузії вирішальний вплив на точність прогнозу полів концентрації має врахування саме релаксаційних властивостей фільтруючої рідини.

В результаті чисельної реалізації алгоритму розвязання задачі визначено також величину ступеня консолідації для масивів насичених сольовими розчинами, і багатьох практично важливих значень параметрів повзучості скелету. Деякі з результатів розрахунківв безрозмірних зміннихграфічно зображено на рис.1 (тут 1 - =  ,2;  - = ,4;  - = ,6;  - = ,5;   ,9 ). Ці та інші графіки,  наведені в  даному  розділі дисертації,  призначено  для  безпосереднього

використання в інженерній практиці, оскільки дають можливість вже на стадії проектування гідроспоруди визначити ступінь ущільнення її основи за умов фільтрації сольового розчину та повзучості грунтового скелету в залежності від часу.  

В цьому ж розділі побудовано математичну модель процесу біпараболічної фільтраційної консолідації масивів, насичених сольовими розчинами. Для цього закон  Дарсі – Герсеванова  узагальнено  на  випадок  фільтрації  сольових  розчинів 

наступним чином:                          

,     )

де           

Записуючи закон ущільнення в наступному узагальненому вигляді:

                        ,   )     

часу за умов фільтрації сольового розчину та повзучості грунтового скелету.

де коефіцієнт стисливості грунту  - зовнішнє навантаження при компресії,

одержуємо  таке  рівняння  біпараболічної  теорії  консолідації  масивів,  насичених  сольовими розчинами:                                       

. (32)

При цьому рівняння конвективної дифузії з урахуванням співвідношення (30) набуває вигляду                               

. (33)

Отже, моделювання в рамках запропонованої некласичної математичної моделі, процесу консолідації грунтового масиву скінченної потужності , насиченого сольовим розчином і розміщеного на непроникній основі зводиться до розв’язування нелінійної крайової задачі для системи рівнянь (32),) за умов

                                   (34)                      

(35)

        (36)                                       

(37)

де - відомі функції.

Задача (32) – (37) також ефективно розв’язується за допомогою повздовжньої схеми методу прямих, і результати розрахунків свідчать про те, що в розглядуваному випадку наведені вище висновки загалом справджуються і для біпараболічної математичної моделі консолідації.   

Додатки. У додатку А наведено точні розв’язки задач визначення температурних полів однорідних та кусково-однорідних сферичних областей з урахуванням релаксації процесу теплопровідності. Зокрема розглянуто випадки багатошарового суцільного парашутного тіла та багатошарового порожнистого парашутного тіла.

У додатку Б наведено доведення теорем про спеціальні граничні режимиіз загостренням) для одновимірних біпараболічних температурних полів за умови задання на межі півпростору граничної умови ІІ роду.

У додатку В наведено чисельно-аналітичні розв’язки ряду двовимірних крайових задач теорії консолідації дренованих масивів з урахуванням реологічних властивостей грунтового скелету.

В інших додатках наведено акти про впровадження результатів роботи.                        

ОСНОВНІ РЕЗУЛЬТАТИ ТА ВИСНОВКИ

В дисертаційній роботі проведено систематичне дослідження, направлене на розв’язання науково-технічної проблеми розвитку і вдосконалення некласичних математичних  моделей  для  адекватного моделювання релаксаційних процесів теп-ломасопереносу і розробки ефективних переважно конструктивних методів мате-матичного моделювання вказаних процесів. Основним результатом роботи можна вважати сукупність теоретичних досліджень з математичного моделювання процесів тепломасопереносу з релаксацією. Зокрема, в зв’язку з цим :

одержано точні аналітичні розв’язки ряду лінійних нестаціонарних крайових задач теплопровідності (як в одномірній, так і в неодномірній постановках) для однорідних і кусково-однорідних середовищ в рамках деяких нових (некласичних) математичних моделей, а саме: релаксаційної моделі, біпараболічної моделі, узагальненої біпараболічної моделі, поліпараболічної моделі;

виконано математичне моделювання процесу горіння у випадку нелінійних джерел в рамках  зазначених  некласичних  математичних  моделей  з  урахуванням теплової нерівноважності;

запропоновано узагальнення біпараболічної моделі, для якої вивчено деякі спеціальні граничні режими (із загостренням) та виконано математичне моделювання високотемпературного процесу горіння у випадку нелінійного джерела;

започатковано  систематичне  вивчення  поліпараболічної  математичної  моделітепломасопереносу для якої, зокрема, досліджено спеціальні граничні режими із загостренням;

для математичного моделювання процесів фільтраційної консолідації за нерівноважних умов запропоновано нову біпараболічну математичну модель в рамках якої одержано точні та чисельно-аналітичні розв’язки крайових задач теорії консолідації дренованих масивів;

-досліджено процес фільтраційної консолідації масивів, насичених сольовими розчинами з урахуванням повзучості грунтового скелету та запропоновано нову некласичну (біпараболічну) математичну модель процесу фільтраційної консолідації грунтових масивів, насичених сольовими розчинами;

здійснено математичне моделювання нерівноважних процесів конвективної дифузії розчинних речовин при плоско-вертикальній усталеній фільтрації підземних вод;

-виконано математичне моделювання процесу підземного вилужування за умов релаксаційності фільтраційних процесів;

започатковано математичне моделювання термомеханічних процесів на основі біпараболічної математичної моделі теплопровідності.   

Зазначимо, що однією з перспективних галузей застосування виконаних в дисертаційній роботі досліджень, на наш погляд, можна вважати екологію, оскільки результати роботи,  зокрема, сприяють уточненню прогнозних характеристик швидкості формування ореолу забруднень в підземних фільтраційних потоках за умов релаксаційності фільтраційного процесу, а також дають можливість одержання більш адекватних оцінок перебігу процесу ущільнення грунтових основ накопичувачів промислових стоків, аніж при застосуванні класичних математичних моделей.             

       СПИСОК ОПУБЛІКОВАНИХ ПРАЦЬ ЗА ТЕМОЮ ДИСЕРТАЦІЇ

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

12.

13.

14.

15.

16.

17.

18.

19.

20.

21.

22.

23.

24.

25.

26.

27.

28.

29.

30.

31.

32.

33.Bulavatskyi V.M., Yryk I.I. Nonlinear boundary – value problem for the heat and     model     W. Fushcych // Procedings of the International      “Symmetry in nonlinear mathematical ”- Vol.2. – Kyiv: In – te      Mathematics – 1997. – P. 492 – 494. 

34.Булавацький В.М., Семенюк М.В. Чисельно – аналітичний розв’язок      однієї крайової задачі для некласичної моделі масопереносуVI Міжнар.      наук.   конф. ім. акад. М. Кравчука. Матеріали     конференції. – Київ: НТУУ      “КПІ”. – 1997. –С.62.

35.Bulavatskyi V.M. Mathematical modelling of chemical mass transport in saturated     mediaProcedings of the International Conference “Modelling      of system stability” – Kyiv:  University named after T. Shevchenco.      – 1997. – P.19.

36.Булавацький В.М., Юрик І.І. Нелінійна крайова задача для системи конвективно      – дифузійних  рівнянь з малим параметром // Тези допов. Міжнар. наук. конф.      “3 – і Боголюбівські читання”. – Київ: Ін – т математики НАНУ. – . –С. 32 -      .

37. Bulavatskyi V.M. Nonlinear boundary-value problem for biparabolic heat mass       model // VII Міжнар. наук. конф. ім. акад. М. Кравчука. Матеріали        конференції. Київ: НТУУ “КПІ”. – 1998.- С.68.

38. Bulavatskyi V.M., Bugaenco R.I., Semenenco T.M. Exact solution of some      problemsheat and mass transfer equations in relaxing media VIII Міжнар.       наук. конф. ім. акад. М. Кравчука. Матеріали конференції Київ: НТУУ “КПІ”. –       . – С. 39.

39. Булавацький В.М. Мішані крайові задачі для еволюційних рівнянь  –      го порядку та спеціальні граничні  режими// Тези доповідей Міжнародної  кон-      ференції “Диференціальні рівняння і нелінійні коливання” в рамках “Українсько-      го математичного конгресу – 2001”. – Київ: Ін – т математики НАНУ. – 2001. –       С.205.

40. Булавацький В.М. Про один підхід до математичного моделювання нестаціонар-      них  нерівноважних процесів тепломасопереносу// IX Міжнар.наук. конф. ім.       акад. М. Кравчука.   Матеріали       конференції. –  Київ: НТУУ  “КПІ”. – 2002. –      С.33.                                                            

АНОТАЦІЇ      

Булавацький В.М. Математичне моделювання релаксаційних процесів тепломасопереносу. –  Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня доктора технічних наук за спеціальністю 01. . – математичне моделювання та обчислювальні методи. –Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України, Київ, .

Дисертацію присвячено розвитку, побудові та вдосконаленню некласичних математичних моделей для адекватного моделювання релаксаційних процесів тепло – і масопереносу та розробці ефективних (переважно конструктивних) методів такого моделювання. Одержано точні аналітичні розв’язки ряду нестаціонарних лінійних крайових задач теорії тепломасопереносу для некласичних математичних моделей, що враховують теплову нерівноважність процесу. Виконано математичне моделювання процесу горіння у випадку нелінійних джерел на основі математичних моделей тепломасопереносу з релаксацією. Запропоновано узагальнення біпараболічної математичної моделі, в рамках якого вивчено деякі спеціальні межові режими (з загостренням) і на основі цього узагальнення виконано математичне моделювання високотемпературного процесу горіння у випадку нелінійних джерел. Започатковано вивчення поліпараболічної математичної моделі тепломасопереносу. Запропонована біпараболічна математична модель процесу фільтраційної консолідації за нерівноважних умов, в рамках якої одержано чисельно – аналітичні розв’язки ряду крайових задач теорії консолідації дренованих масивів. Здійснено математичне   моделювання   окремих   нерівноважних   процесів    фільтраційно –конвективної  дифузії розчинних  речовин при фільтрації підземних вод. Започатко-вано математичне моделювання термомеханічних процесів на основі біпараболічної математичної моделі теплопровідності. Визначено деякі нові області застосувань розглянутих математичних моделей до опису релаксаційних процесів тепло – і масопереносу. В зв’язку з цим виконано математичне моделювання процесу консолідації грунтових основ хвостосховищ сольових розчинів з урахуванням реологічних властивостей грунтового скелету.    

Ключові слова: математичне моделювання, тепломасоперенос, релаксація, некла-сичні моделі, симетрія, крайові задачі,  нелінійні задачі,  режими  із  загостренням,

скінченнорізницеві методи, фільтраційна  консолідація  грунтів,  реологія,  фільтра-ційно – конвективна дифузія, термопружність.      

Булавацкий В.М. Математическое моделирование релаксационных процессов       тепломасопереноса. – Рукопись.

Диссертация на соискание ученой степени доктора технических наук по специальности 01. . – математическое моделирование и вычислительные методы. – Институт кибернетики им. В.М. Глушкова НАН Украины, Киев, .

Диссертация посвящена развитию, построению и усовершенствованию неклассических  математических  моделей  для адекватного моделирования релакса-ционных процессов тепло _ и массопереноса и разработки эффективныхпреимуще-ственно конструктивных) методов такого моделирования, поскольку существующие в даное время классические математические модели не приспособлены к моделированию процессов тепло – и массопереноса в существенно неравновесных условиях. Получены точные аналитические решения ряда нестационарных линейных краевых задач теории тепломассопереноса для неклассических математических моделей учитывающих тепловую неравновесность процесса. В рамках так называемой релаксационной математической модели тепломассопереноса рассмотрены случаи однородных и кусочно  однородных областей. В частности, приведены решения задач о структуре нестационарного релаксационного температурного поля следующих областей: плоскости, полуплоскости, прямоугольника. Методом конечных интегральных преобразований постороены точные решения ряда линейных нестационарных краевых задач релаксационной теплопроводности в сферических областях. Решены задачи о структуре релаксационного температурного поля двухслойных: плоскости, полуплоскости, полосы.  Выполнено математическое моделирование процесса горения в случае нелинейных источников на  основе математических моделей тепломассопереноса с релаксацией. Предложено два приближенных метода решения  соответствующих  нелинейных  краевых  задач  и  выполнено  численную реализацию решений в результате чего определены возможные режимы эволюции температурного поля. Предложено обобщение бипараболической математической модели, в рамках которого изучено некоторые специальные граничные режимы (с обострением) и на основе этого обобщения выполнено математическое моделирование  высокотемпературного   процесса  горения  в  случае  нелинейных  источников.   Положено   начало  изучению  полипараболической  математической модели тепломассопереноса. Предложена бипараболическая математическая модельпроцесса   фильтрационной консолидации в неравновесных условиях   и дана сравнительная характеристика различных моделей консолидации. В рамках предложенной модели получено численно – аналитические решения ряда краевых задач теории консолидации дренированных массивов. В частности рассмотрены случаи консолидации массивов прямоугольного сечения дренированных вертикальной дренажной щелью и расположенных  как  на  проницаемом, так  и  на

непроницаемом  основаниях. Выполнено математическое моделирование отдельныхнеравновесных процессов фильтрационно _ конвективной  диффузии  растворимых веществ при фильтрации подземных вод. В частности,  решены  задачи о конвектив-ной диффузии загрязняющих примесей из хранилищ промстоков к дренажу в условиях нарушения закона Фика, и о конвективной диффузии, в условиях неравновесности, солей и гипсов, залегающих на глубине водоупора. Выполнено математическое моделирование процесса подземного выщелачивания в условиях неравновесности процесса фильтрации и установлен факт определяющего влияния релаксационных  свойств   фильтрата   на  процесс  формирования  поля  концентра-ций. Положено начало  математическому  моделированию  термомеханических  про-цессов  на основе бипараболической математической модели теплопроводности.     В связи с этим рассмотрено:

-

-

-

С использованием операционного метода и метода конечных интегральных преобразований, в работе получены точные аналитические решения перечисленных выше  задач, из которых, в частности, при стремлении к нулю параметра релаксации, получаются решения соответствующих задач термоупругости в классической постановке.

Определены некоторые новые области применения рассмотренных математических моделей к описанию релаксационных процессов тепло – и массопереноса. В связи с этим, в частности, выполнено математическое моделирование процесса консолидации грунтовых оснований накопителей промышленных стоков являющихся солевыми растворами с учетом реологических свойств грунтового скелета. Предложено обобщение закона фильтрации Дарси – Герсеванова на случай фильтрации солевых растворов в условиях существенной неравновесности процесса. В этой связи предложена новая (бипараболическая) математическая модель для описания существенно неравновесных процессов фильтрационной консолидации грунтовых массивов в условиях насыщенности массивов солевыми растворами.

    Ключевые слова: математическое моделирование, тепломассоперенос,   релакса-ция, неклассические модели, симметрия, краевые задачи, нелинейные задачи, режи-мы с обострением, конечноразностные методы, фильтрационная консолидация грун-тов, реология, фильтрационно-конвективная диффузия, термоупругость.

Bulavatskyi V.M. Mathematical modelling of relaxational processes heat and mass transfer. - Manuscript.

Thesis for a doctor’s degree of tecnical sciences by speciality 01. 05. 02