НАЦІОНАЛЬНИЙ ТЕХНІЧНИЙ УНІВЕРСИТЕТ УКРАЇНИ “

КИЇВСЬКИЙ ПОЛІТЕХНІЧНИЙ ІНСТИТУТ”

ЦАБАНЬСКА – ПЛАЧКЕВИЧ КАТАЖИНА

УДК 539.3: 539.4: 539.376: 534.11

ВІЛЬНІ ТА ВИМУШЕНІ КОЛИВАННЯ

НЕОДНОРІДНИХ В’ЯЗКОПРУЖНИХ
МЕХАНІЧНИХ СИСТЕМ

05.02.09 – динаміка та міцність машин

АВТОРЕФЕРАТ

дисертації на здобуття наукового ступеня

доктора технічних наук

КИЇВ – 2003

Дисертацією є рукопис.

Робота виконана в Інституті прикладного системного аналізу Міністерства освіти і науки України і Національної академії наук України Національного технічного університету України “КПІ” та Інституті техніки Факультету математики, техніки і природничих наук Бидгощської академії наук ім. Казиміра Великого.

Науковий консультант – | Заслужений діяч науки і техніки України,

доктор технічних наук, професор

Панкратова Наталія Дмитрівна,

Інститут прикладного системного аналізу Міністерства освіти і науки України і НАН України НТУ України “КПІ”, заступник директора з наукової роботи

Офіційні опоненти:

| доктор технічних наук, професор

Піскунов Вадим Георгійович,

Національний транспортний університет,

завідувач кафедри опору матеріалів та машинознавства

доктор фізико-математичних наук, професор

Карнаухов Василь Гаврилович,

Інститут механіки НАН України ім. С.П. Тимошенка,

завідувач відділу термопружності

доктор технічних наук, старший науковий співробітник

Зіньковський Анатолій Павлович,

Інститут проблем міцності ім. Г.С.Писаренка НАН України,

завідувач відділом коливань в роторних системах

Провідна установа – Інститут проблем машинобудування ім. А. М. Підгорного НАН України

Захист відбудеться “__9__” червня 2003 р. о __15__ годині на засіданні cпеціалізованої вченої ради Д 26.002.01 при НТУУ “КПІ”, за адресою: 03056, Київ, пр. Перемоги, 37, корпус № 1, аудиторія 166

З дисертацією можна ознайомитись в науково-технічній бібліотеці НТУУ “КПІ” за адресою: 03056, Київ, пр. Перемоги, 37.

Автореферат розісланий “ 25 ” квітня 2003 р.

Вчений секретар

спеціалізованої вченої ради Д 26.002.01

к.т.н., доцент _____________ Боронко О.А.

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальність теми. Сучасний науково-технічний прогрес у значній мірі обумовлений швидким розвитком і широким впровадженням унікальних технічних систем, машин та інженерних конструкцій, що забезпечило якісний стрибок продуктивності у провідних галузях виробництва. Унікальність цих виробів характеризується особливо великими одиничними потужностями і високою продуктивністю, а також різким зростанням енергонапруженості та термомеханічної завантаженості їхніх конструктивних елементів. Такі умови функціонування механічних систем і конструкцій приводять до якісно інших механізмів і процесів деформування, старіння та руйнування, що відрізняються одночасним впливом взаємозалежних різноманітних видів динамічного навантаженя, широкого спектру коливань та інших ушкоджуючих факторів. Наслідком таких процесів були аварії та катастрофи різних виробів даного класу конструкцій практично в усіх промислово розвинутих країнах протягом останніх трьох десятиліть минулого століття з великими людськими жертвами і матеріальними втратами. Тому проблеми забезпечення живучості та безпеки унікальних і складних технічних систем, машин та інженерних споруд у процесі експлуатації на основі раціонального керування різними перехідними динамічними процесами є актуальними і практично важливими для багатьох галузей техніки та різних країн світу.

Значимість даної проблематики для Польщі, що займає четверте місце після Німеччини, Росії, США щодо видобутку бурого вугілля, визначається практичною потребою забезпечення роботоздатності та безпеки унікальних транспортних і технологічних засобів вугільних кар'єрів в реальних умовах дестабілізуючих дій коливань у процесі ударного динамічного навантаження, нерівномірності розміщення й переміщення вантажу. Тому в проектних організаціях і технічних університетах Польщі велика увага приділяється різним аспектам і напрямкам досліджень динаміки і міцності унікальних і складних технічних систем, машин та інженерних споруд. У цих дослідженнях важливе значення надається проблемам виявлення, аналізу і запобігання небажаних наслідків ударних і вібраційних впливів на складні вироби сучасної техніки.

Розглянуті вище особливості та властивості сучасних унікальних і складних технічних систем, машин та інженерних конструкцій і тенденції їхнього розвитку визначають необхідність удосконалення методологічного і математичного апарату дослідження вільних і вимушених коливань конструктивних елементів сучасної техніки, що з урахуванням їх фізико-механічних властивостей обумовлює актуальність теми дисертації.

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Дисертаційна робота виконана відповідно до плану держбюджетних робіт і тем Міністерства освіти і науки України: ДНТП 06.01/01234 “Розробка і впровадження бази знань системного проектування складних композиційних конструкцій авіаційної і космічної техніки” (реєстр. № 0197U014528); “Розробка методів і дослідження деформованого стану і динамічних характеристик неоднорідних оболонкових систем на основі моделей різного рівня” (реєстр. № 0197U001307), у рамках теми Комітету наукових досліджень Польщі “Коливання конструкцій мостів підземними інерційними навантаженнями” (разом з Інститутом інженерних конструкцій Варшавської політехніки), та плану науково-дослідних робіт Бидгощської академії ім. Казимира Великого.

Мета і задачі дослідження. Метою даної дисертації є розробка методологічного і математичного апарату дослідження та виявлення закономірностей вільних і вимушених коливань неоднорідних в’язкопружних механічних систем з тросів, балок, валів, пластин і оболонок, що знаходяться під дією стаціонарних і рухомих навантажень, зосереджених і розподілених сил, та розробка рекомендацій стосовно вибору раціональних геометричних, фізико-механічних параметрів несучих і в’язкопружних складних конструктивних елементів транспортних і технологічних засобів, будівельних конструкцій та інженерних споруд при різних видах динамічного впливу відповідно до сучасних вимог забезпечення безпеки і тенденцій розвитку сучасної техніки та будівельних споруд.

Для досягнення цієї мети необхідно розвязати наступні задачі:

побудувати загальний розв’язок задач динаміки неоднорідних в’язкопружних механічних систем, що створює можливість аналізувати за допомогою інтегральних згорток Коші і Дюамеля перехідні процеси руху цих систем при різних видах зовнішнього динамічного впливу;

розробити математичні моделі неоднорідних в’язкопружних механічних систем із застосуванням гіпотези недеформованих нормалей Кірхгофа-Лява і моделі типу Тимошенка при врахуванні внутрішнього тертя у несучих елементах та в’язкопружного демпфуючого шару на основі моделі Фойхта-Кельвіна;

побудувати аналітико-чисельні розв’язки задач про вільні та вимушені коливання неоднорідних в’язкопружних механічних систем, у яких несучими елементами є пружні троси, балки, вали, пластини або оболонки, а заповнювачі виконані з м'якого інерційного в’язкопружного матеріалу, основа системи розглядається в наближенні як твердого, так і деформівного тіла;

встановити закономірність впливу геометричних та фізико-механічних параметрів для різних видів навантаження на характер динамічної поведінки, міцність і несучу здатність елементів конструкцій в умовах перехідних режимів їх навантаження;

виявити можливості й умови обмеження зростання значень функцій прогинів,

або резонансних явищ при коливаннях конструкцій сучасної техніки і будівельних споруд;

розробити пакет прикладних програм ефективного розрахунку вільних і вимушених складних коливань неоднорідних механічних систем із внутрішнім в’язкопружним заповнювачем, що дозволить вибирати раціональні геометричні, фізико-механічні параметри реальних конструкцій.

Об'єкт дослідження – шаруваті пружні конструкції складних виробів сучасної техніки, транспортних і будівельних споруд, що складаються з конструктивних елементів у вигляді тросів, балок, валів, пластин і оболонок із заповнювачем з інерційного в’язкопружного матеріалу.

Предмет дослідження – складні усталені та перехідні процеси коливання неоднорідних в’язкопружних дисипативних механічних систем при нерівномірних динамічних навантаженнях.

Методи дослідження. В основу розробленої методики теоретичного дослідження коливальних процесів неоднорідних в’язкопружних механічних систем покладено математичні моделі динаміки тросів, балок, валів, пластин і оболонок з застосуванням гіпотез Кірхгофа-Лява, С.П.Тимошенка та Фойхта-Кельвіна, а також методи теорії коливань континуальних систем, що включають наступне:

· обчислення спектра комплексних частот власних коливань дисипативних механічних систем і побудова відповідних їм комплексних форм коливань;

· розкладання форм загального руху системи методами Фур'є по формам власних коливань з урахуванням сформульованих умов їх ортогональності і виділення часткових рішень фундаментальної матриці розв’язків;

· побудову періодичних розв’язків сталих змушених коливань при дії періодичних навантажень;

· застосування інтегральних згорток Коші та Дюамеля до елементів фундаментальної матриці розв’язків задач динаміки лінійних механічних систем для аналізу складних перехідних процесів руху при дії імпульсних і рухомих навантажень різного профілю;

· застосування комплексної функції Гріна в матричній формі для реалізації рішення операторним методом;

· застосування методу відокремлення змінних з наступним розкладанням вільних коливань у ряд Фур’є відносно власних комплексних функцій.

Наукова новизна отриманих результатів полягає в розробці нового підходу до розв’язання задач про вільні і вимушені коливання неоднорідних в’язкопружних механічних систем, що ґрунтується на побудові аналітично-чисельних розв’язків задач динаміки неоднорідних дисипативних механічних систем із пружних тросів, балок, валів, пластин і оболонок з в’язкопружним заповнювачем (далі – складених систем), які є в загальному випадку елементами фундаментальної матриці розв’язків задач динаміки лінійних дисипативних механічних систем. Застосування підходу дозволяє при створенні нових конструктивних елементів сучасної техніки вибирати раціональні геометричні, фізико-механічні параметри несучих і в’язкопружних шарів з метою своєчасного запобігання резонансних і критичних станів механічних систем.

Основні нові наукові результати:

· розроблено загальний розв’язок задач динаміки складених систем, що створюють можливість аналізувати за допомогою інтегральних згорток Коші та Дюамеля перехідні процеси руху механічних систем при різних видах зовнішнього динамічного впливу;

· розроблено математичні моделі складених систем із залученням гіпотез Бернуллі-Ейлера, Кірхгофа-Лява, моделі типу Тимошенка та урахуванням внутрішнього тертя у несучих елементах та в’язкопружного демпфуючого шару на основі моделі Фойхта-Кельвіна;

· побудовано на основі представлення частот і форм вільних та вимушених коливань у комплексній формі аналітико-чисельні розв’язки задач про вільні та вимушені усталені коливання неоднорідних систем із пружних тросів, балок, валів, пластин і оболонок з в’язкопружним заповнювачем, що є елементами фундаментальної матриці розв’язків рівнянь динаміки механічних систем;

· побудовано аналітико-чисельні розв’язки задач про вимушені коливання неоднорідних механічних систем з інерційним в’язкопружним шаром при дії рухомих навантажень;

· виявлено нові властивості вільних і вимушених коливань одно-і двовимірних дисипативних складених систем на основі використання властивості ортогональності отриманої комплексної форми власних коливань;

· створено нову концепцію пружної трипараметричної основи, що апробована на задачах коливання балки з залученням моделей Бернуллі та Тимошенка.

Практичне значення отриманих результатів. Практична цінність отриманих у дисертації результатів полягає в наступному:

виявлено і вивчено вплив геометричних і фізико-механічних параметрів, коефіцієнтів внутрішнього тертя несучих елементів і відповідних параметрів в’язкопружних шарів на міцність і несучу здатність конструкцій в умовах складних коливань при нерівномірних навантаженнях;

встановлено закономірності вільних і вимушених коливань складених систем під дією стаціонарних, рухомих і динамічних навантажень щодо обмеження зростання значень функцій прогинів, або запобігання резонансних явищ;

виявлено наявність послідовності резонансів при дії рухомого навантаження на пластинчасту систему з інерційним пружним шаром;

розроблено методичні рекомендації стосовно вибору раціональних геометричних, фізико-механічних параметрів несучих і в’язкопружних шарів конструктивних елементів складних виробів сучасної техніки при різних видах динамічної дії;

розроблено пакет прикладних програм ефективного розрахунку вільних і вимушених коливань дисипативних складених систем, що дозволяє вибирати раціональні коефіцієнти в'язкості, геометричні, фізико-механічні параметри реальних конструктивних елементів транспортних і технологічних засобів, виробів сучасної техніки при різних видах динамічного впливу.

Результати дисертаційної роботи знайшли практичне застосування при дослідженні динаміки коливальних процесів технічних систем в Інституті механіки інженерних конструкцій у Польщі.

Особистий внесок здобувача. З представлених 30 публікацій 21 є самостійними роботами автора. У роботах [1,7,13], виконаних разом з W.Szczesniak, авторові дисертації належить побудова моделей та методів розрахунку коливання балок, що знаходяться на одно, дво і три - параметричній пружній основі, та їх аналітико-чисельна реалізація. У роботі [26], виконаній разом з J.Cabanski, авторові дисертації належить побудова аналітичного розв’язання задачи коливання системи з балок за допомогою комплексних функцій. У роботах [11,20,23,28,30], виконаних разом з науковим консультантом д.т.н., проф. Н.Д. Панкратовою, авторові дисертації належить розробка методів та проведення аналізу поперечних і крутильних коливань складених систем.

Апробація результатів дисертації. Основні положення і результати дисертаційної роботи представлені й одержали схвалення на міжнародних і національних науково-практичних конференціях: Poznan Univ. of Tech., Polish Society of Theoretical and Applied Mechanics, Poznan-Blazejewko, 1996, 1998, 2000; Symulacja w Badaniach і Rozwoju, Polskie Towarzystwo Symulacji Komputerowej, Jelenia Gora, 1997; XVIth Symposium Vibration in Physical Systems, XXXIX Symposium of Modelling in Mechanics, Gliwice, 2000; III Всесвітній конференції “Роль університетів у майбутньому інформаційного суспільства”, Київ, 2000.

У частковому та повному обсязі дисертаційна робота доповідалася на семінарах: Інституту гідромеханіки НАН України (керівник академік НАН України В.Т. Грінченко) у 2000; в Київському національному університеті ім. Тараса Шевченка на кафедрі механіки на семінарі “Проблеми механіки” (керівник чл-корр. НАН України А.Ф. Улітко) у 2001; Інституту проблем міцності ім. Г.С. Писаренка НАН України (керівник чл-корр. НАН України В.В. Матвєєв) у 2001; в Інституті прикладного системного аналізу Міністерства освіти і науки України і НАН України на розширених наукових семінарах “Прикладні проблеми системного аналізу” (керівник академік НАН України М.З.Згуровський) у 2000, 2001, 2003; в Національному технічному університеті України “КПІ” на кафедрі динаміки і міцності машин (керівник д.т.н., проф. М.І. Бобир) у 2002, 2003; в Інституті техніки, на факультеті математики, техніки і природничих наук Бидгощської академії ім. Казимира Великого (керівник проф., д.т.н. Б. Чуприньский) у 2000, 2001, 2002.

Публікації. Матеріали дисертації опубліковані в 30 наукових працях, з яких 24 опубліковані в фахових виданнях ВАК України і Польщі, 6 - в працях міжнародних і національних конференцій. Без співавторства опубліковано 21 наукова праця.

Обсяг і структура дисертації. Дисертація складається з вступу, шести розділів, висновків, списку використаних джерел. Обсяг дисертації 442 сторінки машинописного тексту, ілюстрованого 99 рисунками, містить 25 таблиць, список використаних літературних джерел включає 483 найменування.

ОСНОВНИЙ ЗМІСТ

У вступі обґрунтована актуальність теми дисертації, сформульовані мета і задачі досліджень, наведені відомості щодо наукової новизни, обґрунтованості вірогідності отриманих наукових результатів, практичної цінності та апробації результатів роботи.

У першому розділі дисертації наведені результати літературного огляду більш як 450 робіт з розглянутої проблематики. Відмічено важливий внесок у становлення і розвиток теорії механічних коливань і дослідження суміжних проблем, який зробили І. І. Артоболевський, С.М. Білоцерківський, В.Л. Бідерман, М.І. Бобир, С.І. Прочан, В.В. Болотін, М.В. Василенко, Ю.С. Воробйов, Е.Г.Голоскоков, О.О. Горошко, В.Т. Грінченко, О.М. Гузь, В.І. Гуляєв, М.Ф. Диментберг, В.Г. Дубенець, А.П. Зіньковський., В.Г. Карнаухов, В.О.Кононенко, В.М. Кошляков, В.Д. Кубенко, В.В. Матвєєв, Ю.О.Митропольський, Ю.І. Немчинов, Н.Д. Панкратова, Я.Г. Пановко, Г.С.Писаренко, В.Г. Піскунов, Ю.М. Работнов, О.О. Рассказов, В.Л. Рвачов, С.П. Тимошенко, А.Ф.Улітко, Е.С.Уманський, А.П. Філіппов, К.В. Фролов, В.В. Хільчевський, Ф.Л.Черноусько, Б.Ф.Шорр, Л.А. Шубенко-Шубін, М.Г. Шульженко, J.P. Den Hartog, S. Kukla, D.Nashif, W.Nowacki, Osiсski, K. Piszczek, J. Walczak, R. Solecki, J. Szymkiewicz, J.C. Snowdon, W.Szczeњniak, A. Tylikowski, A.G. Thomson ?а ін.

На основі огляду зроблено наступні висновки:

практичні проблеми аналізу і демпфірування ненавмисних коливань технічних систем, машин, інженерних та будівельних конструкцій залишаються актуальними для багатьох країн світу і сфери їх досліджень продовжують розширюватися;

тематика досліджень коливань розширюється як у напрямку розвитку методології їх аналізу, так і в напрямку підвищення обґрунтованості та вірогідності розв’язків стосовно запобігання небажаних впливів вібрацій і інших динамічних впливів на людину, обладнання та навколишнє середовище на основі більш ефективного використання потенційних можливостей сучасних інтелектуальних вимірювальних, експериментальних і управляючих засобів;

найбільш важливими і складними залишаються проблеми підвищення вірогідності виявлення й аналізу одночасної дії різних видів коливань і механізмів руйнування в унікальних і складних технічних системах, транспортних, будівельних та інженерних спорудах в умовах впливу широкого спектру різнотипних навантажень;

застосування традиційних розрахунків і випробувань на міцність, ресурс і надійність недостатньо для прогнозу і запобігання часткових або повних руйнувань конструктивних елементів унікальних технічних систем, машин та інженерних споруд і потрібно більш детальне дослідження багатьох ефектів і процесів, дія яких приводить до виникнення аварійних і катастрофічних ситуацій;

у відомих роботах при аналізі дисипативних механічних систем в основному враховується окремо один із видів тертя (внутрішнє, зовнішнє або конструктивне) або пристрій для демпфірування коливань.

Вказані висновки дозволили сформулювати мету та задачі дисертації.

Другий розділ дисертації присвячено формулюванню, математичній постановці та викладу аналітико-чисельного підходу до розв’язання задач динаміки неоднорідних в’язкопружних механічних систем.

Подається класифікація різних видів тертя й обумовлюється необхідність врахування у несучих елементах механічних конструкцій, що розглядаються, внутрішнього тертя, яке істотно впливає на процеси демпфірування їх коливань. Подаються моделі для динамічно навантажених пружних складених конструктивних елементів. Обґрунтовуються придатність моделі Фойхта-Кельвина для проміжних в’язкопружних шарів і моделей Кірхгофа-Лява та Тимошенка для несучих елементів. Розглядаються неоднорідні механічні системи, що складаються з пружних шаруватих конструктивних елементів і демпферів та можуть знаходитися під діями різних видів динамічного навантаження: осьового , поперечного і крутильного , що змінюються в часі (рис.1).

Як конструктивні елементи розглядаються оболонки, пластинки, вали, балки і троси, а демпферами є внутрішні проміжні шари з в’язкопружного матеріалу. При теоретичному мо-

Рис.1 делюванні динаміки механічних систем із скінче-

ним числом степенів свободи (консервативних і дисипативних) розв’язки диференціальних рівнянь представляються у формі інтеграла Коші

, (1)

де добуток є матрицею Коші.

Однією з найважливіших задач динаміки лінійних механічних систем (консервативних і дисипативних) є задача побудови фундаментальної матриці розв’язків , будь-який стовпець якої є розв’язком диференціальних рівнянь в частинних похідних, що описують досліджувану механічну систему. Тому в дисертації будуються на підставі чисельно-аналітичного підходу розв’язки задач про вільні коливання різного виду дисипативних систем, що в загальному випадку є елементами матриці . Фундаментальна матриця розв’язків містить у собі інформацію про основні властивості механічної системи. З її допомогою можна знаходити розв’язки і неоднорідної системи диференціальних рівнянь. Однак, при розв’язуванні прикладних задач, коли досліджуються окремі випадки навантаження і коливань, не завжди буває необхідно будувати повністю матрицю фундаментальних розв’язків або матрицю Коші . У цій главі показано, що буває достатньо знаходити лише деякі компоненти вектора, що дозволяє використовувати лише деякі елементи матриці . Це особливо важливо для динамічних систем, що описуються диференціальними рівняннями в частинних похідних і являють собою континуальні системи.

Неоднорідна дисипативна механічна система може бути під впливом навантажень, що змінюються за такими законами: імпульсному, імпульсної хвилі, гармонічному, термічному, а також рухомого і неоднорідного навантаження. Під дією таких навантажень у ній відбуваються усталені та неусталені вимушені коливання. Показано, що застосування інтеграла Коші (1) або, коли необхідно знати лише функцію переміщень, інтеграла Дюамеля , виявляється ефективним при аналізі перехідних процесів системи, викликаних навантаженнями складного виду.

При аналізі усталених коливань, викликаних гармонічними силами, доцільно застосовувати прямі методи інтегрування неоднорідних диференціальних рівнянь у частинних похідних. Пропонується математична модель для розв’язання задач про вільні та вимушені усталені коливання неоднорідних механічних систем. Допускається, що в несучих елементах систем, що працюють на розтяг-стиск або згин, враховуються сили внутрішнього тертя. Як несучі елементи можуть використовуватися оболонки, пластини, вали і балки, що описуються моделлю Кірхгофа-Лява або Тимошенка. Несучі елементи з'єднуються за допомогою в’язкопружних проміжних шарів у єдину конструктивну систему. В’язкопружні проміжні шари мають характеристики однорідної неперервної одно і двонапрямленої основи Вінклера й описуються моделлю Фойхта-Кельвіна.

Оцінку реалізації та вірогідності запропонованого аналітико-чисельного підходу проведено шляхом зіставлення отриманих і відомих результатів розв’язування задачі про вільні і вимушені коливання системи з двох тросів без демпфірування. Наведені результати обчислення частот і коефіцієнтів амплітуд, отримані за допомогою запропонованого методу, узгоджуються з практично прийнятною точністю з результатами, одержаними при використанні відомого аналітичного розв’язку.

У цьому розділі також наведена методика побудови розв’язку задач про вільні і вимушені коливання складених балкових систем з в’язкопружним заповнювачем, що знаходяться на пружній основі. Як несучі елементи вибираються балки з пружного однорідного матеріалу, з'єднані з в’язкопружним заповнювачем, що складається з двох шарів I і II, у яких враховується модель Фойхта-Кельвіна і модель Максвелла. Малі поперечні коливання складеної дисипативної балкової системи викликаються динамічним стаціонарним навантаженням і описуються наступною неоднорідною системою диференціальних рівнянь у частинних похідних

, (27)

де . Використовуючи наведений вище підхід, одержано остаточну форму вільних коливань неоднорідної вязкопружної балкової системи:

, (28)

де

Задачу про вимушені коливання складеної дисипативної балкової системи з в’язкопружним заповнювачем, що знаходиться на пружній основі при дії імпульсного навантаження , розв’язано з використанням процедур (22)-(26).

Третій розділ присвячено побудові підходу до аналітико-чисельного розв’язування задач про вільні та вимушені коливання пружної циліндричної оболонкової системи з демпфіруванням. Зовнішні несучі шари оболонкової системи виготовляються у вигляді циліндричних оболонок із пружних матеріалів, що з'єднані в’язкопружним проміжним шаром (рис.3). Пружні циліндричні

Рис. 3

оболонки описуються моделями Кірхгофа-Лява і Тимошенка, а в’язкопружний проміжний шар має характеристики однорідної неперервної односпрямованої вінклеровської основи й описується моделлю Фойхта-Кельвіна.

Аналітико-чисельний метод розв’язування задач про вільні та вимушені коливання циліндричної дисипативної оболонкової системи базується на відокремленні змінних і наступному розв’язанні крайової задачі, що описується звичайними диференціальними рівняннями для випадку шарнірного обпирання на торцях циліндричної системи.

У цьому розділі наведено також розв’язок диференціальних рівнянь, що

описують задачу про вимушені коливання дисипативної оболонкової системи, що викликані інерційним навантаженням . Проводиться обґрунтування вірогідності розв’язків на підставі зіставлення отриманих і відомих у літературі результатів розв’язування задачі про коливання циліндричної оболонки, що знаходиться під дією осесиметричної сили.

У четвертому розділі дисертації розглядаються задачі про вільні та вимушені коливання пружних комбінованих дисипативних систем з валів і балок. Спочатку розглядаються задачі про вільні та вимушені коливання пружної дисипативної системи, що складається з внутрішнього жорсткого валу I і зовнішньої труби II, з'єднаних разом в’язкопружним проміжним шаром (рис. 4).

Вал і труба виготовлені з однорідного пружного матеріалу й описуються моделлю Бернуллі-Ейлера. В’язкопружний проміжний шар виготовлений з легкого, м'якого матеріалу й описується моделлю Фойхта-Кельвіна. Передбачається, що проміжний шар не передає крутильних напружень у попереч-

Рис. 4

чних перерізах. Малі крутильні коливання багатошарового вала з демпфіруванням обумовлені динамічним навантаженням . Навантаження від вала II передаються на вал I дотичними напруженнями через циліндричну поверхню проміжного шару.

Досліджено вільні коливання механічної складеної балкової системи з демпфіруванням під дією осьових навантажень. Балкова система складається з двох однорідних пружних паралельних балок рівної довжини, з'єднаних разом в’язкопружним проміжним шаром. Верхній несучий шар описується моделлю Бернуллі-Ейлера та знаходиться під дією постійного осьового навантаження . Нижній несучий шар описується моделлю Тимошенка. Балки шарнірно обперті на торцях. В’язкопружний проміжний шар являє собою однорідну неперервну двонапрямлену вінклеровську основу та описується моделлю Фойхта-Кельвіна.

У п'ятому розділі дисертації розглянуто задачі про вільні та вимушені коливання комбінованих пружних пластинчастих дисипативних систем, зовнішні несучі елементи яких є пластини з пружного матеріалу, що з'єднані проміжними в’язкопружними заповнювачами. Зовнішні несучі елементи пластинчастої системи описуються за допомогою моделей Кірхгофа-Лява і Тимошенка. Приймається, що в несучих пластинах, що працюють на розтяг-стиск або згин, враховується внутрішнє тертя. В’язкопружний проміжний заповнювач описуються моделлю Фойхта-Кельвіна.

Розглядаються усталені вільні та вимушені коливання неоднорідних пластинчастих систем з дисипацією енергії при залученні для несучих пластин моделі Кірхгофа-Лява. Малі поперечні коливання шаруватої пластини обумовлені динамічним навантаженням , що прикладено в точці. Процес малих поперечних коливань для розглянутої пластинчастої системи описується наступною неоднорідною системою зв'язаних диференціальних рівнянь у частинних похідних:

(52)

Аналітико-чисельний метод базується на відокремленні змінних, наступному розв’язанні крайової задачі, що описується системою звичайних диференціальних рівнянь і граничних умов шарнірного обпирання торців, і розв’язуванні задачі Коші. Після ряду алгебраїчних і тригонометричних перетворень отримано вирази для форм вільних затухаючих коливань пластинчастої системи:

(53)

де

Вирази для форм вимушених коливань неоднорідної в’язкопружної пластинчастої системи з дисипацією енергії мають вигляд

, (54)

де .

За допомогою аналогічних процедур будуються розв’язки задач для вільних та вимушених коливань неоднорідних дисипативних пластинчастих систем із залученням моделі Тимошенка для несучих пластин при різних варіантах навантаження: рухомого зосередженого та інерційного навантаження; неоднорідного навантаження .

Побудовано розв’язок задач про вільні і вимушені коливання неоднорідних механічних пластинчастих систем з в’язкопружним інерційним проміжним шаром, несучі шари яких описуються моделлю Кірхгофа-Лява. Досліджуються два варіанти виникнення малих поперечних коливань пластинчастої системи з демпфіруванням, коли вони обумовлені: постійним динамічним навантаженням ; рухомим зосередженим навантаженням .

Проведені чисельні дослідження показали, що для розв’язування задач про вимушені коливання різних дисипативних пластинчастих систем, що знаходяться під дією динамічного стаціонарного навантаження, можна використовувати модель Кірхгофа-Лява, а при впливі рухомого навантаження доцільно залучати для несучих елементів модель Тимошенка.

У шостому розділі подано розв’язки прикладних задач дослідження динаміки неоднорідних в’язкопружних балкових, пластинчастих і оболонкових конструкцій під дією нерухомих і рухомих зосереджених сил, розподілених навантажень. Розглянуті задачі виникають у багатьох галузях техніки: на транспорті (рейкові колії, кар'єрні самоскиди, тунелі метро, аеродромні покриття та ін.); у будівництві (конструкції мостів, естакад та ін.); у нафтовій промисловості (циліндричні оболонки трубопроводів, обробка свердловин та ін.); у конструкціях спеціального призначення, у космонавтиці та інших сферах практичної діяльності. Діючі на ці конструкції рухомі навантаження можуть бути генеровані силами ваги транспортних засобів, що рухаються, полями тиску сейсмічних хвиль, ефектами детонації, ударними хвилями технологічних вибухів, тощо. При дії систем стаціонарних і рухомих навантажень на складені балкові, пластинчасті й оболонкові конструкції в них формуються складні рухливі стаціонарні та нестаціонарні поля деформацій, структура яких залежить від частоти зміни або від швидкості руху, типу навантаження і наявності в ньому періодичних процесів. В залежності від комбінацій цих факторів при деяких їхніх сполученнях можуть виникати резонансні або критичні стани, що супроводжуються необмеженим зростанням (у рамках прийнятих моделей) значень функцій прогинів (для неперіодичного навантаження), або виникненням резонансних режимів коливання (для періодичних навантажень).

Розглянуто результати розв’язання прикладних задач про вільні та вимушені

коливання в системах зі складених валів з дисипацією енергії. Такі вали виявляються ефективними при використанні їх як вали трансмісій, що передають крутильні моменти і зазнають нестаціонарного динамічного впливу, викликаного вмиканням і вимиканням приводних пристроїв, а також дією зовнішніх навантажень, що швидко змінюються в часі. Перехідні режими роботи є вкрай несприятливими не тільки для самої конструкції вала, що піддається дії інтенсивних циклічних навантажень, але й для електродвигуна, що працює в типових режимах при розгонах і гальмуваннях. Показано, що для пом'якшення і гасіння крутильних коливань трансмісій доцільно вали робити шаруватими, надаючи несучим елементам найбільшу жорсткість і міцність, нежорсткі, м'які матеріали, що демпфірують, розташовувати у шарах, що прилягають до осьової лінії. Завдяки такому конструктивному виконанню вал набуває властивості розсіювати енергію коливань і зберігає свої жорсткістні властивості при крутінні.

Розглядувана фізична модель неоднорідної дисипативної системи складається з внутрішнього пружного вала I і зовнішнього трубчастого вала II, що з'єднані в’язкопружним кільцевим заповнювачем. Малі крутильні коливання неоднорідної системи з валів з демпфіруванням викликані динамічним стаціонарним навантаженням , що прикладено в перерізі . Навантаження передається від кільцевого вала II на вал I через тангенціальне напруження на циліндричну поверхню проміжного шару. Перевага такої системи полягає в тому, що завдяки високій жорсткості зовнішньої труби, загальна крутильна жорсткість складеного валу мало відрізняється від відповідної жорсткості однорідного валу з еквівалентного матеріалу. Однак, загальна маса складеної системи виявляється помітно меншою маси однорідного вала. При цьому також досягаються високі демфіруючі властивості системи. Деякі результати розрахунків крутильних коливань трансмісій у вигляді функцій амплітудно-частотних діаграм для дисипативної складеної системи з валів для

Рис.7 Рис. 8

випадку врахування інерційної маси в заповнювачі при в наведені на рис.7. При цьому спостерігається тенденція виникнення повторного

резонансу, обумовленого дією інерційної маси. На рис.8 показано, що, підбираючи раціональні механічні та геометричні параметри у в’язкопружному заповнювачі з інерційними масами можна уникнути явища резонансу.

Тут також викладено результати розв’язання прикладних задач про вільні та вимушені поперечні коливання балкової системи з в’язкопружним проміжним заповнювачем з різними коефіцієнтами демпфірування, для яких не можуть бути використані традиційні методи аналізу композитних балок. Фізична модель дисипативної балкової системи складається з зовнішніх балок, з'єднаних в’язкопружним інерційним проміжним шаром. Поздовжні коливання дисипативної балкової системи обумовлені динамічною стаціонарною функцією навантаження, прикладеного в точці . Діаграми на рис. 9 відображають характер коливань балкової системи в перерізі в трьох випадках: „a” без врахування інерційних мас у в’язкопружному заповнювачі; „b” з урахуванням в’язкопружного інерційного заповнювача; „c” без врахування демпфірування та інерційних сил.

Рис. 9.

Наведено розв’язки прикладних задач про вільні та вимушені затухаючі коливання для систем із балок різної довжини. Фізична модель неоднорідної системи складається з балок різної довжини, з'єднаних у точках пружними і демпфуючими дискретними елементами (рис.6). Малі поперечні коливання системи з балок збуджуються динамічним стаціонарним навантаженням .

Досліджено вільні затухаючі коливання для балкової системи при динамічній осьовій дії. Балкова система складається з двох однорідних пружних паралельних балок однакової довжини, з'єднаних в’язкопружним заповнювачем (рис.5). Верхня несуча балка описується за допомогою моделі Бернуллі-Ейлера і зазнає дії постійної осьової сили . Нижня несуча балка описується на основі моделі Тимошенка. Розглянуто випадки, коли в’язкопружний заповнювач моделюється за допомогою одно-і двонапрямленої функцій Вінклера. Досліджено вплив різних осьових імпульсів на характер зміни функцій прогинів у дисипативній балковій системі. Деякі результати для функції динамічних прогинів балок I і II при осьовій силі , наведені на рис.10. Розрахунки динамічних прогинів для двонапрямленого проміжного шару порівнюються з однонапрямленим проміжним шаром .

Рис. 10 Рис. 11

Розглянуто прикладні задачі про вільні та вимушені коливання комбінованої балкової системи з різною товщиною проміжного в’язкопружного заповнювача в класичній і уточненій постановках. Фізична модель балкової системи подається у вигляді двох однорідних пружних балок однакової довжини, з'єднаних в’язкопружним заповнювачем. Розглянуто два випадки навантаження балкової системи, коли малі поперечні коливання балкової системи обумовлені: 1) сталим динамічним навантаженням ; 2) збуджуються нестаціонарним динамічним рухомим навантаженням . Деякі результати для динамічного зміщення рухомої точки балки I при дії нестаціонарного динамічного навантаження наведені на рис.11 для моделей: Бернуллі-Ейлера та Тимошенка .

Композитні пластини як силові елементи широко використовуються в якості несучх площадок різних транспортних (автомобільних, залізничних, авіаційних і ін.) конструкцій: панелі кузовів, вагонів, обтічники й обшивки літальних апаратів та ін. Подібні розрахункові схеми виникають при проектуванні плит аеродромних покрить, шарів несучого крижаного покриву та ін. Часто вони мають не тільки широкий спектр фізико-механічних властивостей, але і здатні до спрямованої їх зміни. Вони, наприклад, здатні підвищувати несучу здатність, регулювати жорсткість, міцність і, що особливо важливо, гасити коливання і розсіювати енергію деформацій і рухів. У зв'язку з зазначеним розглянуто практичну задачу про вільні та вимушені коливання дисипативної пластинчастої системи стосовно до реальної задачі про завантаження вантажу на платформу, що моделюється у вигляді пружної несучої пластини, з'єднаної з в’язкопружним інерційним проміжним шаром, що перебуває на жорсткій основі (рис.12). При цьому динамічним нестаціонарним навантаженням є маса вантажу, що завантажується. Досліджуються поперечні коливання пластинчастої системи, викликані динамічною нестаціонарною інерційною масою , що рухається зі швидкістю

для . Вплив інерційної маси на пластинчасту систему з в’язкопружним інерційним проміжним шаром подано у вигляді розподілу вимушених коливань для деяких значень швидкості і коефіцієнтів демпфірування (рис.13).

Рис.12 Показано, що варіюючи значеннями коефі -

цієнтів демпфірування і модулями Юнга в’язкопружного проміжного шару, геометричними і механічними характеристиками пластинчастої системи, а також швидкістю рухомої маси можна істотно понизити значення амплітуд вимушених коливань. Так у випадку,

Рис. 13

коли пластинчаста система навантажена рухомою масою, для коефіцієнтів демпфірування в’язкопружного проміжного шару амплітуди вимушених коливань мають значення приблизно на 60-90% менші, ніж амплітуди вимушених коливань без урахування демпфірування.

Досліджено також випадки, коли малі поперечні коливання шаруватої пластинчастої системи збуджуються спрямованим імпульсом , що рухається зі швидкістю , а також неінерційною силою, що рухається. Модель пластинчастої системи, що складається з пружної пластини, що перебуває на в’язкопружному інерційному шарі, може використовуватися для моделювання злітно-посадочної смуги аеропорту. При цьому можна розглядати вільні та вимушені коливання літального апарата, що торкається при посадці злітно-посадочної смуги, а також траєкторію зміщення літального апарата в динаміці злету зі швидкістю .

Розглядається задача про коливання рухомої дисипативної пластинчастої системи стосовно до практичної задачі про коливання залізничного вагона, що рухається зі швидкістю під дією динамічного нестаціонарного навантаження

Дисипативна пластинчаста система являє собою таку систему, у якій зовнішні I і II шари виготовлені з пружних пластин, з'єднаних в’язкопружними та дискретними зв'язками. Оскільки розглянута система знаходиться під дією динамічного нестаціонарного навантаження, то для дослідження механічної поведінки пружних пластин залучена модель Тимошенка. В’язкопружний проміжний шар має характеристики однорідної неперервної односпрямленої вінклеровської основи й описується моделлю Фойхта-Кельвіна. Графіки динамічних зміщень рухомої дисипативної пластинчастої системи для коефіцієнта демпфірування , швидкості і подані на рис.14. Проведені розрахунки

Рис. 14

показують, що значення динамічних зміщень вимушених коливань при врахуванні демпфірування досягають значень приблизно в три рази менших, ніж значення динамічних зміщень вимушених коливань без урахування демпфірування.

Вимушені коливання дисипативної пластинчастої системи для перехідного процесу отримані з застосуванням інтеграла Коші. При дії навантаження , деякі результати наведені на рис.15.

У цьому розділі також подані результати досліджень задач динаміки оболонкових дисипативних

систем. Шаруваті оболонки широко використовуються в авіаційній і ракетній техніці, на транспорті та будівництві, завдяки притаманній їм властивості ефективно чинити опір нестаціонарним (ударним) навантаженням і розсіювати механічну енергію коливальних рухів. Значною мірою така властивість обумовлена неоднорідністю їх структури і наявністю поверхні роз’єднання між шарами, на яких ініційовані ударним або нестаціонарним навантаженням рухливі фронти хвиль зазнають ефектів відбиття-заломлення. У зв'язку з цим надзвичайно важливою є задача аналізу процесу коливань дисипативних оболонкових систем. Тут розглядається оболонкова система, несучі елементи якої виготовлені у вигляді циліндричних оболонок із пружного матеріалу, з'єднаних в’язкопружним заповнювачем. Вивчаються вільні та вимушені коливання рухомої дисипативної оболонкової системи, що обумовлені дією навантаження . Результати розподілу динамічних прогинів для несучих елементів оболонкової системи для коефіцієнта демпфірування при швидкості наведені на рис.16.

Рис.16

Проводиться дослідження полів динамічних напружень у конструктивному оболонковому циліндричному елементі, що знаходиться під дією осесиметричного навантаження . Деякі результати розрахунків у вигляді розподілу компонент тензора динамічних напружень по товщині циліндричної оболонки в перерізі в часі наведені на рис.17.

Рис.17

У заключній частині шостого розділу подано практичні рекомендації щодо вибору раціональних параметрів складених пружних дисипативних конструктивних систем, що обумовлені проблемою оцінки їх експлуатаційної надійності. Показано, що з метою запобігання в реальних конструкціях можливості виникнення резонансних явищ і зменшення значень функцій динамічних прогинів доцільно їх конструктивні елементи виготовляти у вигляді неоднорідних пружних систем з в’язкопружним заповнювачем з урахуванням внутрішнього тертя в несучих елементах. При розв’язанні практичних задач для усунення зазначених небажаних явищ рекомендується на етапі проектування конструктивних елементів застосовувати запропонований у даній дисертації підхід, що дозволяє швидко, надійно і ефективно підбирати в процесі інтерактивного режиму раціональні геометричні та фізико-механічні характеристики несучих елементів і в’язкопружного заповнювача, коефіцієнти в'язкості внутрішнього тертя в несучих елементах, параметри навантаження, варіювати частотою вимушених коливань неоднорідних систем, що складаються з пластин, оболонок, валів і тросів, з'єднаних пружними і в’язкопружними інерційними проміжними шарами.

ВИСНОВКИ

У дисертаційній роботі відповідно до вимог забезпечення безпеки і тенденцій розвитку сучасної техніки і будівельних споруд розв’язана проблема розробки ефективного методологічного і математичного апарату дослідження та виявлення закономірностей вільних і вимушених коливань неоднорідних механічних систем із пружних несучих елементів у вигляді тросів, балок, валів, пластин і оболонок з в’язкопружним заповнювачем під дією стаціонарних і рухомих навантажень, зосереджених і розподілених сил. Основою апарата є новий підхід до розв’язання задач про вільні та вимушені коливання неоднорідних в’язкопружних механічних систем, що базується на побудові аналітико-чисельних розв’язків задач динаміки неоднорідних механічних систем із пружних несучих елементів з в’язкопружним заповнювачем, що дозволяє при розробці сучасної техніки вибирати раціональні геометричні, фізико-механічні параметри несучих елементів і в’язкопружних шарів з метою розв’язання важливих прикладних задач створення раціональних конструкцій з точки зору своєчасного запобігання критичних станів, що характеризуються необмеженим зростанням значень функцій прогинів (для неперіодичного навантаження), або резонансних режимів коливань (для періодичних навантажень).

Основні наукові результати, висновки і практичні рекомендації роботи полягають у наступному:

1. Запропоновано загальний розв’язок задач динаміки неоднорідних в’язкопружних механічних систем, що створює можливість на основі фундаментальної матриці розв’язків задач динаміки лінійних механічних систем аналізувати за допомогою згорток Коші та Дюамеля перехідні процеси руху механічних систем при різних видах зовнішнього динамічного впливу.

2. Розроблено математичні моделі неоднорідних дисипативних механічних систем із залученням гіпотез Бернуллі-Ейлера, Кірхгофа-Лява,