<!doctype html public "-//w3c//dtd html 4.0 transitional//en">
НАЦІОНАЛЬНА АКАДЕМІЯ НАУК УКРАЇНИ
ІНСТИТУТ МАТЕМАТИКИ | <!--hboxt-->
ЧЕРНІГА Роман Михайлович<!--hboxt-->
НЕЛІНІЙНІ ЕВОЛЮЦІЙНІ РІВНЯННЯ:
ҐАЛІЛЕЇВСЬКА ІНВАРІАНТНІСТЬ,
ТОЧНІ РОЗВ'ЯЗКИ
ТА ЇХНЄ ЗАСТОСУВАННЯ
01.01.03 - математична фізика | <!--hboxt-->
АВТОРЕФЕРАТ | <!--hboxt-->
дисертації на здобуття наукового ступеня | <!--hboxt-->
доктора фізико-математичних наук | <!--hboxt-->
Київ - 2003 | <!--hboxt-->
Дисертацією є рукопис.
Робота виконана в Інституті математики НАН України.
Науковий консультант:<div ALIGN=right>
член-кореспондент НАН України,
доктор фіз.-мат. наук, професор
| ФУЩИЧ Вільгельм Ілліч<!--hbox--></div><div align=right><!--vbox--><!--hbox--></div>Офіційні опоненти:<div ALIGN=right>
доктор фіз.-мат. наук, професор
БІЛОКОЛОС Євген Дмитрович,
Інститут магнетизму НАН України (Київ),
завідувач відділу теоретичної фізики; | <!--vbox--> | </div><div align=right><!--hboxt--></div><div ALIGN=right>
доктор фіз.-мат. наук, професор
ПРИКАРПАТСЬКИЙ Анатолій Карольович,
Інститут прикладних проблем механіки i математики
НАН України імені Я.С. Підстригача (Львів),
завідувач відділу нелінійного аналізу; | <!--vbox--> | </div><div align=right><!--hboxt--></div><div ALIGN=right>
доктор фіз.-мат. наук, професор
ТИЧИНІН Валентин Анатолійович,
Придніпровська державна академія
будівництва та архітектури (Дніпропетровськ),
завідувач кафедри вищої математики. | <!--vbox--> | </div><div align=right><!--hboxt--></div>
Провідна установа: Інститут теоретичної фізики
імені М.М. Боголюбова НАН України (Київ).
Захист відбудеться 1-го липня 2003 р. о 15 год. на засіданні спеціалізованої вченої ради Д 26.206.01 Інституту математики НАН України за адресою: 01601 Київ 4, МСП, вул. Терещенківська, 3.
З дисертацією можна ознайомитися в бібліотеці Інституту математики НАН України.
Автореферат розісланий 29 травня 2003 року
Вчений секретар
спеціалізованої вченої ради
доктор фіз.-мат. наук РОМАНЮК А.C.
ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ | <!--hboxt-->
Стан проблеми. На теперішній час найбільш поширеними методами для побудови точних розв'язків нелінійних диференціальних рівнянь з частинними похідними є метод оберненої задачі розсіяння (та низка споріднених з ним підходів) та метод Лі. Mетод оберненої задачі розсіяння (МОЗР) був відкритий в 1967 році в спільній роботі K. Ґарднера (C. Gardner), Дж. Ґріна (J. Green), M. Крускала (M. Kruskal) і P. Міури (R. Miura) на прикладі інтегрування нелінійного рівняння Кортевеґа-де Фріза. Наступні десятиліття були ознаменовані потужним розвитком засад сучасної теорії інтегровності динамічних систем і застосуванням МОЗР та споріднених з ним підходів до розв'язання низки нелінійних рівнянь математичної фізики. Важливу роль при цьому відіграли і праці українських математиків, зокрема, В.А. Марченка, Л.П. Нижника, Є.Д. Білоколоса, Є.Я. Хруслова, А.К. Прикарпатського.
МОЗР дозволив проінтегрувати такі важливі двовимірні рівняння математичної фізики як нелінійне рівняння Шрьодінґера, Кортевеґа-де Фріза, sin-Ґордона і знайти їхні (багато)солітонні розв'язки, які відіграють фундаментальну роль при математичному описі багатьох реальних процесів. Метод було також адаптовано для розв'язання окремих тривимірних нелінійних рівнянь. Разом з тим відомо, що МОЗР є ефективним лише для вузького класу, як правило двовимірних, нелінійних рівнянь і його поширення на більш широкі класи рівнянь вимагає розробки нових методів.
Метод Лі, названий за іменем його фундатора - норвезького математика Софуса Лі, має більш широкі межі застосування, оскільки він застосовний і до неінтегровних (в сенсі МОЗР) нелінійних рівнянь з частинними похідними. Метод ґрунтується на знаходженні та застосуванні операторів алгебри інваріантності (симетрій Лі) розглядуваного нелінійного рівняння з частинними похідними для знаходження його точних розв'язків. Хоч базові теореми цього методу були сформульовані ще С. Лі, одначе протягом останніх сорока років цей метод невпинно розвивається і регулярно з'являються роботи, в яких автори одержують нові висліди для нелінійних рівнянь з нетривіальною симетрією Лі. Найбільший внесок в розвиток та застосування методу Лі за цей час зробили Л.В. Овсянніков, Дж. Блуман (G. Bluman), П. Олвер (P. Olver), Н.Х. Iбрагiмов, В.І. Фущич. В Україні перші роботи на цю тему були опубліковані львівським математиком В.Г. Костенком наприкінці 50-х років.
Разом з тим було встановлено, що деякі вельми поширені нелінійні рівняння з частинними похідними (ДРЧП) володіють лише очевидною (тривіальною) симетрією Лі (наприклад, відоме рівняння Фішера та його різноманітні узагальнення). Метод Лі для таких рівнянь малоефективний, оскільки дозволяє побудувати лише такі анзаци та відповідні розв'язки, які можна отримати і з більш простих міркувань. Це стало одним із головних поштовхів до того, що виникла ідея якось узагальнити метод Лі з метою побудови таких анзаців і точних розв'язків, які принципово не можуть бути отримані в рамках підходу Лі. Піонерською у цьому плані стала робота Дж. Блумана і Дж.Д. Коула (J.D. Cole) опублікована в 1969 році, в якій введено поняття некласичних симетрій для пошуку нових анзаців і точних розв'язків, проте з невідомих причин робота не була відразу належно оцінена. Лише в другій половині 80-х років 20-го століття відбувся вибух інтересу до застосування цієї ідеї для побудови нових анзаців і розв'язків відомих нелінійних ДРЧП. Провідну роль у цих дослідженнях відіграла українська школа теоретико-алгебраїчного аналізу, заснована В.І. Фущичем. Зокрема, в роботах Фущича та його учнів було введено узагальнене поняття умовної симетрії, яке у частковому випадку (так звана Q-умовна симетрія) збігається з поняттям некласичної симетрії Блумана-Коула. Це дозволяє будь-який розв'язок ДРЧП отримувати як наслідок деякої умовної симетрії цього рівняння, адже додаткова умова, на противагу умові при некласичній симетрії, може бути диференціальним рівнянням другого і ще вищого порядків. Проте пошук явного вигляду такої умови, як правило, є дуже складною задачею, оскільки, на противагу класичній схемі Лі, доводиться розв'язувати дуже складну систему нелінійних ДРЧП. Необхідно зауважити, що знаходження умовних симетрій високого порядку з метою їхнього застосування для редукції досліджуваного ДРЧП є ніщо інше, як конструктивний розвиток відомих ідей E.Картана (Cartan), E.Ньотер (Noether), М.М.Яненка та інших про можливість скінченновимірної редукції нелінійних ДРЧП до систем більш простих рівнянь.
Актуальність теми. На сьогоднішній день вже загальноприйнятою є теза про те, що переважна більшість реальних процесів, які вивчаються в фізиці, біології, хімії тощо, мають суттєво нелінійну природу, а тому математично описуються нелінійними рівняннями. У переважній більшості - це нелінійні ДРЧП та системи ДРЧП. Отже, побудова адекватних моделей цих процесів у формі деяких класів нелінійних ДРЧП та розвиток нових підходів до розв'язання цих рівнянь є дуже актуальною проблемою.
З точки зору теоретико-алгебраїчного аналізу всі відомі нелінійні моделі у вигляді ДРЧП та систем ДРЧП умовно поділяються на два класи: (a) ті, що володіють деяким широким набором класичних симетрій Лі, а отже, і задовольняють відповідні закони збереження та принципи відносності, характерні для відповідних лінійних модельних рівнянь; (б) ті, що інваріантні лише відносно тривіальних алгебр Лі операторів класичних симетрій, чим принципово відрізняються від лінійних аналогів (якщо такі взагалі існують). Очевидно, що нелінійних моделей другого класу набагато більше і саме їхнє вивчення залишатиметься актуальним ще довгий час, на противагу моделям з першого класу, вивчення яких методами теоретико-алгебраїчного аналізу наближається до логічного завершення.
В рамках класичного методу Лі сформувалося два типи найбільш загальних задач для опису моделей другого класу: (i) дослідити всі можливі випадки розширення тривіальної алгебри Лі відомої нелінійної моделі у вигляді ДРЧП в залежності від конкретного вигляду довільних функцій, які вона містить; (ii) побудувати класи всеможливих нелінійних узагальнень відомої лінійної моделі, кожне з яких зберігає основні симетрійні властивості базового лінійного рівняння.
Перший тип задач був започаткований Л.В. Овсянніковим на прикладі рівняння нелінійної дифузії (теплопровідності) і був продовжений деякими авторами при дослідженні інших еволюційних рівнянь. Проте автори переважно обмежувалися модельними рівняннями, які містили одну-дві довільні функції одного аргументу. Розв'язування задач цього типу для рівнянь, що містять декілька довільних функцій і, особливо, систем рівнянь з функціями декількох аргументів, залишається дуже складною i громіздкою проблемою. Водночас це є дуже актуальні задачі, оскільки їхнє розв'язання дозволяє виділити всі ті підмоделі, для розв'язування яких метод Лі може дати суттєво нові висліди.
Другий тип задач набув найбільшого свого розвитку в українській школі теоретико-алгебраїчного аналізу, зокрема, в роботах В.І. Фущича, А.Г. Нікітіна, М.І. Сєрова, Р.З. Жданова та автора. На Заході найвідомішими дослідниками у цьому напрямі є П. Вінтернітц (P. Winternitz), К. Боєр (C. Boyer), Дж. Рідо (G. Rideau). У випадку еволюційних рівнянь, які скрізь нижче розглядаються, і які є базовими для абсолютної більшості нестаціонарних реальних моделей, розв'язування задач цього типу означає побудову класів нелінійних ДРЧП та систем ДРЧП, інваріантних відносно алгебри Ґалілея та її розширень. Як відомо, для класичних лінійних рівнянь теплопровідності та Шрьодінґера виконується принцип відносності Ґалілея, якому відповідають оператори ґалілеївських перетворень, які в свою чергу разом з операторами зсувів у просторі-часі та обертань у просторі формують алгебру Ґалілея.
Наслідком розв'язання обох типів задач є виділення цілих класів або окремих нелінійних рівнянь, які з одного боку є кандидатами для побудови математичних моделей, які описують реальні процеси, а з другого боку для розв'язання цих рівнянь є ефективним метод Лі, оскільки вони інваріантні відносно нетривіальних алгебр Лі.
Як відомо, проблема розвитку нових підходів для інтегрування (хоча б в сенсі побудови багатопараметричних сімей частинних розв'язків) відомих нелінійних ДРЧП з тривіальною (найпростішою) симетрією Лі, які є базовими для реальних процесів, є надзвичайно актуальною. В 90-х роках різними дослідниками, зокрема, П.Олвером, В.А. Галактіоновим, С.Р. Свірщевським, А.C. Фокашем (A.S. Fokas) і К.М. Ліу (Q.M. Liu), Р.З. Ждановим, М.К. Нучі (M.C. Nucci) та автором незалежно запропоновано декілька нових підходів для побудови точних розв'язків нелінійних еволюційних рівнянь. Хоч жоден з цих підходів не можна розглядати як абсолютно новий універсальний метод інтегрування нелінійних ДРЧП, проте їхнє застосування до розв'язання низки відомих нелінійних еволюційних рівнянь (перш за все другого порядку) дозволило побудувати нові розв'язки, які неможливо знайти не тільки методом Лі, а часто - і методом некласичних (Q-умовних) симетрій Блумана-Коула.
Надзвичайно актуальною залишається проблема точного розв'язання крайових задач, в основі яких лежать відповідні нелінійні ДРЧП. Метод Лі тут може бути ефективним лише у виняткових випадках, оскільки крайові та початкові умови, будучи прилученими до базового ДРЧП, різко звужують його ліївську симетрію або взагалі повністю руйнують її. Виявляється, що саме пошук неліївських анзаців, які за побудовою гарантують виконання певних крайових чи початкових умов, дозволяє досягти певного прогресу у розв'язанні цієї проблеми.
Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Основна частина результатів була отримана у ході виконання п'ятирічної теми відділу прикладних досліджень Інституту математики НАН України ``Аналітичні та симетрійні методи дослідження диференціальних моделей математичної фізики'' (номер держреєстрації 0198U001993), проектів ДФФД Міннауки України ``Симетрійний аналіз і нові аналітичні методи розв'язування рівнянь математичної фізики'' (11.3/42) i ``Умовна симетрія та парасуперсиметрія деяких класів рівнянь математичної фізики'' (1.4/356). До підсумкових звітів за темою та проектами ввійшли відповідні розділи, написані автором дисертації.
Мета і задачі дослідження. Знаходження і класифікація cиметрій Лі та побудова точних розв'язків нелінійних еволюційних ДРЧП і систем ДРЧП, які містять довільні гладкі функції; розробка неліївського методу для отримання нових анзаців та точних розв'язків еволюційних рівнянь та систем; точне розв'язання деяких нелінійних крайових задач математичної фізики.
Методи дослідження. У роботі застосовуються метод Лі у його сучасній адаптації, загальна теорія алгебр і груп Лі, теорія зображень алгебр Лі, розроблений автором алгоритм для знаходження точних розв'язків ДРЧП, методи інтегрування лінійних ДРЧП та систем звичайних диференціальних рівнянь.
Наукова новизна одержаних результатів. На захист виносяться такі основні нові результати, отримані автором:
1. Розв'язана задача про вичерпний опис симетрій Лі (задача повної групової класифікації) для класу двовимірних нелінійних рівнянь реакції-дифузії-конвекції, що містить три довільні гладкі функції.
2. Розв'язана задача про вичерпний опис симетрій Лі для класу ґалілей-інваріантних систем двох багатовимірних нелінійних рівнянь реакції-дифузії, що містять дві довільні гладкі функції від двох аргументів.
3. Побудовано новий клас ґалілей-інваріантних нелінійних узагальнень рівняння теплопровідності з нескінченновимірною алгеброю симетрій Лі та встановлено, що він містить рівняння-аналоги до стандартних рівнянь нелінійної теплопровідності. Обґрунтовано можливість застосування побудованих рівнянь для опису реальних фізичних процесів.
4. Побудовано всі можливі системи багатовимірних еволюційних рівнянь у класі квазілінійних систем двох ДРЧП другого порядку, які інваріантні відносно алгебри Ґалілея, розширеної та узагальненої алгебр Ґалілея.
5. Побудовано нові формули розмноження розв'язків та багатопараметричні сім'ї точних розв'язків (зокрема, отримано солітоноподібні, вибухаючі (blow-up) розв'язки та аналоги фундаментального розв'язку лінійного рівняння дифузії) для таких відомих нелінійних ДРЧП: узагальненого рівняння Екгауза; (1+3)-вимірного рівняння Шрьодінґера з критичним показником степеневої нелінійності; двох систем рівнянь реакції-дифузії, які є частинними випадками відомих біологічних моделей.
6. Запропоновано алгоритм, який є новою реалізацією відомого підходу про скінченновимірні редукції ДРЧП, для побудови точних розв'язків класу нелінійних еволюційних ДРЧП з певною структурою.
7. За допомогою запропонованого алгоритму побудовано нові неліївські розв'язки низки рівнянь реакції-дифузії-конвекції зі степеневою та показниковою нелінійностями, зокрема, рівняння Маррі та узагальненого рівняння Бюрґерса. Аналогічні висліди отримано для деяких систем типу реакції-дифузії.
8. Побудовано нові сім'ї точних розв'язків узагальненого рівняння Фішера, які застосовано для розв'язання відповідних нелінійних крайових задач з нульовими умовами Ноймана.
9. Побудовано плоскохвильові точні розв'язки класу нелінійних крайових задач з рухомими границями (ЗРГ), що описують процеси плавлення та випаровування металів у одновимірному наближенні. Отримані точні розв'язки та досліджені їхні властивості для двовимірної нелінійної ЗРГ, якою моделюється процес росту кристалів протеїну.
Практичне значення одержаних результатів. В основному, розділи 1, 2 і 3, дисертація має теоретичний характер. Разом з тим реального практичного значення можуть набути побудовані точні розв'язки при математичному моделюванні відповідних процесів в галузях фізики, техніки та біології, а також як базові розв'язки при наближеному розв'язанні нелінійних крайових задач. Висліди 4-го розділу можуть знайти пряме застосування, оскільки в ньому розв'язано декілька нелінійних крайових задач, якими описуються конкретні фізико-хімічні процеси.
Особистий внесок здобувача. Результати, подані в дисертації, отримані автором особисто і опубліковані в роботах без співавторів [1-15, 28]. Якщо дисертаційні висліди були опубліковані у спільних наукових статтях, то це означає, що співавторам належать інші результати цих статей, які природно не ввійшли до дисертаційної роботи. Зокрема, в роботах [16], [18], [22-26] авторові належать всі результати, окрім вступних частин, в яких співавторами зроблена постановка задач. В роботі [17] авторові належать всі висліди статті, окрім двох ілюстративних прикладів на с. L939; в [19] - пункти (параграфи) 1; 2.1 та перша половина пункту 3; в [20] - всі висліди, окрім опублікованих на сторінках 281-282; в [21] - всі результати, окрім опублікованих на сторінці 419 і пункту 4, в [27] - пункти 1, 2.
Апробація результатів дисертації. Окремі частини роботи доповідалися на об'єднаному семінарі з математичної фізики при Інституті математики НАН України (керівники: член-кор. НАН України Д.Я. Петрина, професори Є.Д. Білоколос, А.У. Клімик і А.Г. Нікітін), на семінарах відділу прикладних досліджень названого Інституту (керівники: член-кор. НАН України В.І.Фущич та професор А.Г.Нікітін); на семінарі з нелінійного аналізу названого Інституту (керівник: академік НАН України І.В.Скрипник); на об'єднаному семінарі відділів математичних методів в статистичній механіці та прикладних досліджень названого Інституту (керівники: член-кор. НАН України Д.Я.Петрина та професор А.Г.Нікітін) та на наукових семінарах в низці закордонних університетів, зокрема, на семінарі департаменту математичних наук Вустерського політехнічного інституту (CША); на семінарі департаменту теоретичної механіки Ноттінґамського університету (Великобританія); на семінарі департаменту математики Каледонійського університету (Ґлазґо, Великобританія); на міжкафедральному семінарі ``Нелінійна динаміка'' Дармштадського інституту (Німеччина); на семінарі кафедри рівнянь математичної фізики Варшавського університету.
Основні висліди роботи були оприлюднені на багатьох представницьких міжнародних наукових форумах, зокрема: Міжнародному конгресі математиків (Берлін, 1998); конференціях ``Симетрія в нелінійній математичній фізиці'' (Київ, 1995, 1997, 2001); 28-му, 31-му та 33-му Симпозіумах з математичної фізики (Торунь, Польща, 1996, 1999, 2001); 4-му Європейському конгресі з математичної біології (Гайдельберґ, Німеччина, 1996); 5-ї Конференції з динаміки руху популяцій (Закопане, Польща, 1998); робочих конференціях (workshops) в Міжнародному математичному центрі ім. Банаха (Варшава, 1995, 1997) та в Інституті статики і динаміки Університету Штутґарта (Німеччина, Штутґарт, 1998, 1999); Всесвітній конференції з теоретичної фізики під егідою ЮНЕСКО (Париж, 2002); 24-му міжнародному колоквіумі ``Теоретико-групові методи в математичній фізиці'' (Париж, 2002).
Публікації. Основні результати дисертаційної роботи опубліковані в провідних українських та закордонних наукових виданнях. Всього до автореферату включено 28 робіт, опублікованих у виданнях з переліку ВАК України, прирівняних до них чужоземних наукових журналах та працях міжнародних конференцій, а також тези виступів на деяких конференціях. З них 16 є роботами здобувача без співавторів.
ОСНОВНИЙ ЗМІСТ РОБОТИ | <!--hboxt-->
Основна частина роботи складається зі вступу, чотирьох розділів, висновків та списку літератури з 210 посилань. Загальний об'єм дисертації 327 сторінок.
Перший розділ дисертації в цілому присвячений застосуванню та подальшому розвитку методу Лі до знаходження симетрій Лі (алгебр інваріантності) та побудови відповідних їм ліївських анзаців і сімей точних розв'язків. Об'єктами дослідження є нелінійні еволюційні рівняння та системи рівнянь другого порядку і проблема їхньої сумісності з принципом відносності Ґалілея.
У першому підрозділі розв'язана задача типу (i) (див. актуальність теми) для класу нелінійних рівнянь реакції-дифузії-конвекції
Ut = [A(U)Ux]x+ B(U)Ux+ C(U), | (0) | дe A(U), B(U), C(U) - довільні диференційовні функції.
Рівняння () при довільних A(U), B(U), C(U) інваріантне відносно очевидної (тривіальної) алгебри Лі, породженої базовими операторами
Pt = | d
dt | , Px = | d
dx | . | (0) | Нами знайдено всі можливі вигляди функцій A, B, C, при яких відбувається розширення тривіальної алгебри Лі (). Зокрема доведена теорема.
Teoрeма 1Mаксимальна алгебра інваріантності (МАІ) рівняння () при A(U) = 1 є алгеброю Лі з базовими операторами () та
a) D1 = 2mt Pt+ mx Px- UPU, | якщо B = l1Um, C = l2 U2m+1;
b) G 1 = exp (l2 t) | Px - | l2
l1PU, | якщо B = l1U, C = l2 U, l2 № 0;
c) G 1 = tPx - | 1
l1PU, D2 = 2t Pt+ x Px- UPU, |
P1 = t2 Pt+t x Px- | x
l1+tU | PU , | якщо B = l1 U, C = 0;
d) G2 = tPx - | 1
l1UPU , | якщо B = l1 lnU, C = l2 U;
e) G 2 = exp (l3 t) | Px - | l3
l1UPU, | якщо B = l1 lnU, C = l2 U + l3 U lnU, l3 № 0 ;
f) Y = exp | l12
4 | +l3t- | l1
2 | x | UPU, | якщо B = l1 lnU, C = l2 U + l3 U lnU -[(l12)/4] Uln2 U, дe l1 № 0, l2, l3 тa m № 0 довільні сталі, PU = [(¶)/(¶U)]. Будь-яке інше рівняння, інваріантне відносно нетривіальної МАІ, зводиться до одного з поданих вище локальною підстановкою вигляду
t ---> c0 t, | (0) | x --->c1 x+ c2t+c3t2, | U --->c4 +c5t+c6U, | де c0,ј,c6 - деякі сталі.
Інші випадки розширення тривіальної алгебри інваріантності рівняння (), породженої операторами (), можливі лише при A(U) = exp(kU) або A(U) = Uk, k № 0 - довільна стала. Для цих випадків A(U) також доведені аналогічні теореми. Важливо наголосити, що серед нелінійних рівнянь вигляду () лише відоме рівняння Бюрґерса та побудоване автором рівняння
Ut = Uxx -l1 (logU) Ux-l2 U | (0) | сумісні з принципом відносності Ґалілея, тобто допускають інваріантні перетворення
tў = t, xў = x+v t | (0) | з деяким додатковим законом перетворення для шуканої функції U = U(t,x).
У другому підрозділі досліджується клас нелінійних ґалілей-інваріантних рівнянь, які мають структуру, аналогічну до нелінійних рівнянь теплопровідності з джерелом (стоком):
Ut = [A(U)Ua]a + C(U)- W0/WII. | (0) | Teoрeма 2Mаксимальна алгебра інваріантності рівняння () (при довільних нефіксованих функціях A i C) - нескінченновимірна алгебра Лі з базовими операторами
Pt = ¶t, Pa = ¶a, Jab = xa Pb-xbPa, a,b = 1,ј,n, | (0) | G1 Ґ = f1 (t)¶1, ј, Gn Ґ = fn (t)¶n, | дe fa(t), a = 1,ј, n - довільні гладкі функції.
У випадку fa(t) = t, a = 1,ј,n з операторів Ga Ґ отримуються оператори Ґалілея
Ga 0 = t ¶a, | (0) | які породжують перетворення Ґалілея
tў = t, xўa = xa+va t, Uў = U, a = 1,ј, n. | (0) | Детально досліджено симетрії двовимірного рівняння () при C = 0:
WI = [A(U)Ux]x Uxx. | (0) | Зокрема, доведена теорема.
Teoрeма 3Mаксимальна алгебра інваріантності (МАІ) рівняння () - нескінченновимірна алгебра Лі, породжена:
a) операторами
Pt = ¶t, Px = ¶x, D = 2tPt + xPx , G Ґ = f (t)¶x, | (0) | якщо A(U) - довільна нефіксована функція;
b) операторами () та
D1 = -ktPt + UPU, | (0) | якщо A(U) = lUk, k № 0;
c) операторами () та
D2 = -tPt + PU, | (0) | якщо A(U) = lexpU, l О \mathbb R;
d) операторами () та
PU = ¶U, I = U ¶U, | (0) | якщо A(U) = l № 0.
Всі інші МАІ рівнянь вигляду () відповідними локальними перетвореннями зводяться до наведених вище.
Таким чином, з точки зору теоретико-алгебраїчного підходу до дослідження ДРЧП, нелінійне узагальнення класичного рівняння теплопровідності у вигляді () є більш обґрунтованим, ніж у вигляді
Ut = [A(U)Ux]x. | (0) | Справді, для рівняння () виконується принцип відносності Ґалілея (див. () при n = 1); справедлива формула розмноження розв'язків
Unew = U0ж
и | t, x+ f(t) | ц
ш | , | (0)
(U0 - довільний фіксований розв'язок, f(t) - довільна гладка функція), яку можна розглядати як принцип нелінійної суперпозиції розв'язків; для відомих точних розв'язків рівняння () існують розв'язки з аналогічною структурою у випадку рівняння (). Зазначимо, що у стаціонарному випадку рівняння () i () набувають однакового вигляду.
У третьому підрозділі розглядається клас всеможливих квазілінійних системи еволюційних рівнянь другого порядку вигляду
Aab Uab + Cab Vab + B1 = l1 Ut, | (0) | Dab Uab + Eab Vab + B2 = l2 Vt, | де Aab, Cab, Dab, Eab, B1, B2 - довільні дійсні або комплексні неперервно диференційовані функції від (n+2) змінних U,V,U1, ... Un, V1, ... Vn . Тут і скрізь нижче iндекси a = 1, ... n та b = 1, ... n біля функцій U та V означають диференціювання за змінними xa та xb, і за ними передбачається сумування від 1 до n, якщо вони повторюються.
Відомо, що система незачеплених рівнянь лінійної дифузії (теплопровідності)
l1 Ut = DU, l2 Vt = DV | (0) | інваріантна відносно узагальненої алгебри Ґалілея AG2 (1,n) з базовими операторами
Pt = ¶t, Pa = ¶a, Jab = xa Pb - xb Pa, Ql = l1U ¶U + l2V ¶V, | (0) | Ga = tPa - | xa
2 | Ql, D = 2tPt + xa Pa +Ia, | P = t2 Pt + txa Pa - | 1
4 | |x|2 Ql+ t Ia, ak = -n/2. | У співвідношеннях () і скрізь далі Ia = a1U dU+ a2V dV, U є [(d)/(dU)], V є [(d)/(dV)], dt є [(d)/(dt)], da є [(d)/(dxa)], ak О \mathbb R, k = 1,2, |x|2 = x12+ј+xn2. Aлгебра, утворена операторами Pt, Pa, Ql, Ga, Jab з () називається алгеброю Ґалілея AG(1,n), а її розширення за допомогою оператора D - розширеною алгеброю Ґалілея AG1(1,n).
У підрозділі розв'язана задача типу (ii) (див. актуальність теми) для системи еволюційних рівнянь () у випадку ланцюжка алгебр AG(1,n), AG1 (1,n), AG2 (1,n) з наведеними вище зображеннями. Встановлено, що виникають два принципово різних зображення алгебр AG1 (1,n) та AG2 (1,n) при d = 0 і d № 0, чого не було у випадку cкалярного рівняння теплопровідності. Зокрема, доведено теорему.
Teoрeма 4Система нелінійних рівнянь () інваріантна відносно узагальненої алгебри Ґалілея з зображенням () тоді і тільки тоді, коли вона має вигляд:
1) у випадку d № 0
|
(0) | | l1 Ut = | ^
a
| <!--sup
-->1 | DU + UA( | ^
q
| ) (l2DlnU - l1 DlnV) +
+ U w-2/d B1 ( | ^
q
| ) + (1- | ^
a
| <!--sup
-->1 | ) Ua Ua /U + | + U w2/d-2 wa wb [l2 (lnU)ab -l1 (lnV)ab]C( | ^
q
| ), | l2 Vt = | ^
a
| <!--sup
-->2 | DV + V D( | ^
q
| ) (l2DlnU - l1 DlnV) +
+V w-2/d B2 ( | ^
q
| ) +(1- | ^
a
| <!--sup
-->2 | ) Va Va /V + | + V w2/d-2 wa wb [l2(lnU)ab- l1 (lnV)ab] E( | ^
q
| ); | 2) у випадку d = 0
|
(0) | | l1 Ut = | ^
a
| <!--sup
-->1 | DU + UA(w) (l2DlnU - l1 DlnV) + | +U wa wa B1 (w) + (1- | ^
a
| <!--sup
-->1 | ) Ua Ua /U | + U (wa1 wa1)-1 wa wb[l2 (lnU)ab - l1 (lnV)ab]C(w), | l2 Vt = | ^
a
| <!--sup
-->2 | DV + V D(w) (l2DlnU - l1 DlnV) + | +V wa wa B2 (w) +(1- | ^
a
| <!--sup
-->2 | ) Va Va /V | + V(wa1 wa1)-1wa wb [l2 (lnU)ab- l1 (lnV)ab]E(w), | де A, B1, B2, C, D, E - довільні диференційовні функції своїх аргументів, w = Ul2V-l1, [^(q)] = wa wa w2/d-2, wa = [(¶w)/(¶xa)], [^(a)]k = -2 ak /n, k = 1,2 (ak - див. оператор Ia).
Наслідком доведених у цьому підрозділі теорем, зокрема, є те, що на противагу квазілінійним узагальненням лінійного рівняння теплопровідності (РТ), коли додавання будь-яких нелінійних реактивного та конвективного членів у всіх випадках (окрім двох) веде до втрати інваріантності відносно алгебри Ґалілея, квазілінійні узагальнення лінійної системи РТ () цю властивість зберігають при дуже широкому наборі нелінійностей.
У четвертому підрозділі розглядаються ґалілей-інваріантні системи нелінійних рівнянь типу Гамільтона-Якобі (Г-Я). На підставі симетрійного аналізу пропонуються узагальнення класичного рівняння Г-Я Ut = Ua Ua на випадок систем. Зокрема, встановлено, що в класі систем нелінійних еволюційних рівнянь першого порядку (див. () при Aab = Cab = Dab = Eab = 0) з точністю до локальних перетворень змінних існує лише одна система
Ut = Ua Ua, Vt = - lUaUa +2Ua Va, | (0) | яка повністю зберігає симетрійні властивості рівняння Г-Я. Отже, з точки зору теоретико-алгебраїчного підходу, СР () можна вважати узагальненням класичного рівняння Г-Я на випадок двох шуканих функцій.
У п'ятому та шостому підрозділах розглядається клас систем нелінійних рівнянь реакції-дифузії
l1 Ut = DU+F(U,V) , l2 Vt = DV+G(U,V), | (0) | де F i G - довільні диференційовані функції двох змінних. Системи рівнянь реакції-дифузії (РД) вигляду () в останній час інтенсивно досліджуються, оскільки вони виникають при математичному моделюванні найрізноманітніших процесів у фізиці, хімії, біології.
На противагу випадку скалярного РТ для cистеми рівнянь рекції-дифузії (), не може бути зведеною лише до випадку l1 = l2 = 1. Iснують три принципово різні випадки, серед яких найзагальніший і найважливіший щодо застосувань виникає при l1 № l2 , l1l2 № 0. В дисертації розв'язана задача типу (i) (див. актуальність теми) саме для цього випадку та при додатковій умові, що cистема рівнянь РД () є інваріантною відносно алгебри Ґалілея AG(1,n). Зауважимо, що ця система при будь-яких значеннях функцій F i G інваріантна відносно розширеної алгебри Евкліда AE(1,n) з базовими операторами Pa, Jab i Pt (див. перший рядок в ()).
Teoрeма 5У випадку l1 № l2, l1l2 № 0 МАІ (в сенсі Лі) нелінійних CP вигляду (), інваріантних відносно алгебри Ґалілея, при всеможливих значеннях функцій F i G вичерпуються тими, які подані в таблицi 1. Всі інші нелінійні системи з ґалілеївською симетрією Лі локальними підстановками вигляду
U ® c1exp(c3t)U+ c5, | (0) | V ® c2 exp(c4t)V + c6, ck = const | зводяться до однієї з систем з нелінійністю, яка є у таблиці 1.
Окрім дослідженого вище найбільш загального випадку, система РД () допускає ще два - l1 № 0, l2 = 0 та l1 = l2 = 1, які розглянуто в шостому підрозділі для випадку ґалілей-інваріантних систем, вигляд яких відповідно
l1 Ut = DU+Uf(V ), 0 = DV+Vg( V), | (0) | та
Ut = DU+Uf( U/V ), Vt = DV+Vg( U/V), | (0) | де f, g - довільні диференційовні функції. Здійснено вичерпний опис симетрій Лі нелінійних ґалілей-інваріантних систем РД () i () при всеможливих парах функцій (f, g). Головний вислід цього опису полягає в тому, що виникає низка ґалілей-інваріантних систем РД, якi допускають алгебри Лі з принципово новими зображеннями, ніж випадку l1 № l2 , l1l2 № 0.
У сьомому підрозділі будуються анзаци, формули розмноження розв'язків та приклади нетривіальних точних розв'язків для двох систем РД
lUt = Uxx+ b1 U2 V-1, | (0) | lVt = Vxx+ b2 U, b1 № b2 | та
l1 Ut = Uxx+ b1U (U-l2 Vl1)[4/(l1- l2)], | (0) | l2 Vt = Vxx+ b2 V (U-l2 Vl1)[4/(l1- l2)], l1 № l2, | які є частинними випадками відомої біологічної моделі для опису росту гідри. З відповідних теорем, отриманих в попередніх двох підрозділах, випливає, що системи ()-() інваріантнi відносно узагальненої алгебри Ґалілея AG2(1,1) (з нееквівалентними зображеннями!). Зокрема, для довiльного фiксованого pозв'язку (U0(t,x), V0(t,x) ) системи РД () встановлено таку фоpмулу його pозмноження у шестипаpаметpичну сiм'ю pозв'язкiв:
Unew = expl1 | (0) | Vnew = expl2 , | дe d0 = 1 - pd01, d = d1+ed10, e1 = e+pd1, b0 = p(d1)2+2ed1+e2 d10, a e, p, m0 0, m 0, d01, d1 - довільні дійсні параметри. Граничним переходом при p ® Ґ, m ® 0, pm ® -1 (d01 = 1/p, решта параметрів вважаються нульовими) з формули () отримано формулу
Unew = t-1/2 exp | ж
з
и | -l1 x2
4t | ц
ч
ш | U0ж
з
и | - | 1
t | , | x
t | ц
ч
ш | , |
Vnew = t-1/2 exp | ж
з
и | -l2 x2
4t | ц
ч
ш | V0ж
з
и | - | 1
t | , | x
t | ц
ч
ш | . | (0) | Формули () і () є справедливими для будь-якої системи двовимірних (n = 1) рівнянь вигляду () при a1 = a2 = -1/2. Більше того, вони були узагальнені на випадок довільної кількості незалежних змінних x1,ј, xn. Наголосимо, що () є узагальненням на системи нелінійних рівнянь відомої формули Апеля для лінійного рівняння дифузії.
У випадку системи РД () також побудовано формули розмноження її розв'язків, які було узагальнено і на багатовимірний випадок. Зокрема, було отримано аналог формули () для цієї системи:
Unew = t-(5/2+b) explx2 | (0) | Vnew = t-(1/2+b) explx2, | де b = [( b2)/(b1- b2)]. За допомогою формули () знайдено двопараметричну сім'ю розв'язків системи РД ()
U = | lc0
b2-b1-1/2(c0t-c1)-1-b , | (0) | V = t-1/2(c0 t-c1)-b. | В залежності від значень довільних сталих c0, c1 та параметрів системи b1, b2 розв'язки вигляду () мають суттєво різні властивості. Зокрема, вони можуть бути вибухаючими (blow-up), тобто необмежено зростати за скінченний проміжок часу, або набувати властивостей фундаментального розв'язку лінійної системи РД ().
Другий розділ дисертації в цілому присвячений дослідженню симетрій Лі та побудові точних розв'язків нeлінійних рівнянь типу Шрьодінґера.
У першому підрозділі побудовані всі квазілінійні узагальнення другого порядку класичного рівняння Шрьодінґера (РШ) з нульовим потенціалом, які інваріантні відносно алгебри Ґалілея AG(1,n) та її розширень AG1 (1,n), AG2(1,n). Висліди отримуються на базі відповідних теорем, доведених в третьому підрозділі першого розділу.
У другому підрозділі детально розглядається нелінійне узагальнення РШ вигляду
iUt+Uxx+l1|U|4U+l2|U||U|x U = 0, | (0) | де Ut = [(dU)/(dt)], Uxx = [(d2 U)/(dx2)], |U|2 = UU*, |U|x = [(d|U|)/(dx)], lk = ak+ibk, ak, bk О \mathbb R, k = 1,2. Встановлено, що рівняння () інваріантне відносно узагальненої алгебри Ґалілея AG2(1,1). Наголосимо, що частковими випадками НРШ () є рiвняння Шрьодінґера зі степеневою нелінійністю (при l2 = 0) та рівняння Екгауза (при 16l1 = |l2|2), які мають конкретні застосування. Зауважимо, що рівняння Екгауза (Eckhaus) інтегровне і його досліджували, зокрема, М.Абловіц, М.М.Боголюбов (мол.), Ф.Калоджеро, А.К.Прикарпатський, проте у випадку довільних l1 i l2 рівняння () не є інтегровним. Для () нами побудовано анзаци та пpоведено pедукцiю до звичайних диференційних рівнянь (ЗДР) за всіма нееквiвалентними пiдалгебpами узагальненої алгебpи Ґалілея. Кожне з редукованих рівнянь досліджене щодо можливості його інтегрування. Побудовано шиpокi класи точних pозв'язкiв, зокpема, солiтоноподiбних, вибухаючих і автомодельних, а також фоpмули pозмноження їх у багатопаpаметpичнi сiм'ї pозв'язкiв. Таким чином, зроблено повний опис ліївських розв'язків НРШ ().
Серед побудованих розв'язків є три типи багатопараметричних сімей точних розв'язків нелінійного РШ () при l1 = a1, l2 = ib2, які містять гіперболічні або тригонометричні функції. Серед них розв'язок
U = arctan(exp2a(x+et)), | (0) | де a 0,16a1 b22, 0 № e О \mathbb R, A = ([(a1-b22/16)/(3a)])-1/4. Очевидно, що при b2 = 0 з розв'язку () одержуємо солітоноподібний розв'язок РШ () при l2 = 0
U = exp | й
к
л | - | ie
2 | ж
з
и | x+ | ж
з
и | - | 2a
e | + | e
2 | ц
ч
ш | t | ц
ч
ш | щ
ъ
ы | , | (0) | який має однакову структуру з добре відомим односолітонним розв'язком Захарова-Шабата для РШ з кубічною нелінійністю U|U|2.
У випадку, коли рівняння () збігається з рівнянням Екгауза, знайдено нові точні розв'язки, які містять циліндричні функції та поліноми Чебишева-Ерміта від інваріантних змінних.
У третьому підрозділі розглядається клас рівнянь шрьодінґерівського типу в реальному чотиривимірному просторі-часі ( n = 3 )
iUt+kDU = | ж
з
и | q1D|U|
|U| | + q2|U|a |U|a
|U|2ц
ч
ш | U+U |U|4/3 B(q), | (0) | де B - дoвільнa комплекснa функція, q є |U|-10/3 |U|a|U|a . З відповідної теореми з першого підрозділу випливає, що будь-яке рівняння вигляду () інваріантне відносно узагальненої алгебри Ґалілея AG2(1,3), тобто зберігає основну симетрію (див. оператори () при l1 = l2* = -i/k, V = U*, * - знак комплексного спряження) лінійного РШ з нульовим потенціалом. З іншого боку () містить однорідні нелінійні члени [(D|U|)/(|U|)]U та [(|U|a |U|a)/(|U|2)]U, які протягом останнього десятиліття набули широкого вжитку при різноманітних узагальненнях РШ, які повинні враховувати ті чи інші квантово-механічні ефекти.
Користуючись повною системою всіх неспряжених (нееквівалентних) одновимірних підалгебр алгебри AG2(1,3), яка містить 14 підалгебр, (1+3)-вимірне рівняння () з довільною функцією B(q) проредуковано до рівнянь з трьома незалежними змінними для нової шуканої функції j(w1,w2,w3). Це значить, що побудовано 14 нееквівалентних ліївських анзаців, кожен з яких породжує розв'язки рівняння () за розв'язками відповідних
