НАЦІОНАЛЬНА АКАДЕМІЯ НАУК УКРАЇНИ

ІНСТИТУТ МАТЕМАТИКИ

ЧАЙЧЕНКО Станіслав Олегович

УДК 517.5

НАБЛИЖЕННЯ НЕПЕРЕРВНИХ ПЕРІОДИЧНИХ ФУНКЦІЙ

СУМАМИ ВАЛЛЕ-ПУССЕНА

01.01.01 – математичний аналіз

Автореферат

дисертації на здобуття наукового ступеня

кандидата фізико-математичних наук

Київ – 2003

Дисертацією є рукопис.

Робота виконана в Слов`янському державному педагогічному університеті.

Науковий керівник

кандидат фізико-математичних наук

РУКАСОВ Володимир Іванович, Слов`янський державний педагогічний

університет, проректор з навчальної роботи.

Офіційні опоненти:

доктор фізико-математичних наук

ЗАДЕРЕЙ Петро Васильович,

Київський нацiональний унiверситет

технологiй та дизайну, завiдувач

кафедри вищої математики;

кандидат фізико-математичних наук

САВЧУК Віктор Васильович,

Iнститут математики НАН України,

науковий спiвробiтник.

Провідна установа: Днiпропетровський аціональний унiверситет МОН України.

Захист відбудеться “18” лютого 2003 р. о 15 годині на засіданні спеціалізованої вченої ради Д 26.206.01 Інституту математики НАН України

за адресою: 01601 Київ 4, вул. Терещенківська, 3.

З дисертацією можна ознайомитись у бібліотеці Інституту математики НАН України.

Автореферат розісланий “16” січня 2003 р.

Вчений секретар

спеціалізованої вченої ради Романюк А.С.

Загальна характеристика роботи

Актуальність теми. В роботі розглядається ряд питань, що стосуються наближення в рівномірній метриці періодичних функцій з класів і сумами Валле-Пуссена. Зокрема досліджується асимптотична поведінка при верхніх граней відхилень сум Валле-Пуссена, взятих по класах і при різних умовах на параметри, які визначать класи і метод наближення.

Класи і були введені у 1996 році О.І.Степанцем. Ці класи при фіксованих значеннях параметрів, що їх визначають, співпадають з відомими класами і відповідно.

До теперішнього часу відомо багато результатів, що пов'язані з розв'язанням важливих екстремальних задач теорії наближення на класах і . Дещо менш розвинена тематика наближення класів і . Зокрема залишалися відкритими багато питань, пов`язаних з наближенням класів і сумами Валле-Пуссена. З огляду на вищезазначене є актуальним дослідження апроксимативних властивостей сум Валле-Пуссена на класах і .

Дослідження у цьому напрямку є продовженням досліджень, проведених О.П.Тіманом, С.О.Теляковським, О.В.Єфімовим, О.І.Степанцем, В.І.Рукасовим, О.О.Новіковим та іншими математиками.

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Робота виконана на кафедрі математичного аналізу Слов'янського державного

педагогічного університету згідно з науково-дослідною темою: "Комплекси алгебраїчних та топологічних систем", номер державної реєстрації 0101 U 000 750.

Мета, об'єкт, предмет і задачі дослідження. Метою роботи є одержання нових результатів щодо наближення в рівномірній метриці періодичних функцій з класів і та їх узагальнень – класів і сумами Валле-Пуссена.

Об'єктом дослідження є екстремальні задачі теорії наближення на

класах неперервних періодичних функцій і .

Предметом дослідження є величини

(1)

де це, або одинична куля в просторі істотно обмежених функцій, або клас функцій, модуль неперервності яких не перевищує заданого модуля неперервності , а - суми Валле-Пуссена функції .

Задачі дослідження:

1. Знайти інтегральні зображення відхилень

сум Валле-Пуссена на множинах .

2. Дослідити апроксимативні властивості сум Валле-Пуссена на класах

у випадку, коли є класами згорток функцій із з ядрами, коефіцієнти яких є повільно спадними. Спростити зображення відхилень , виділивши головні частини і оцінивши залишки.

3. Дослідити апроксимативні властивості сум Валле-Пуссена на класах у випадку, коли множини складаються з функцій скінченної гладкості, нескінченно диференційованих і, в тому числі, аналітичних функцій. Виділити головні частини величин і оцінити залишки.

4. Для верхніх граней (1) отримати асимптотичні рівності, які б давали розв'язок відповідної задачі Колмогорова-Нікольського для сум на класах і .

При розв'язанні поставлених задач в дисертаційній роботі використовуються загальні методи теорії функцій дійсної змінної в поєднанні з новими методами дослідження інтегральних зображень відхилень поліномів, що породжуються лінійними методами підсумовування рядів Фур'є, від неперервних періодичних функцій, розвиненими у працях С.О.Теляковського, О.В.Єфімова, М.П.Корнєйчука, В.К.Дзядика, О.І.Степанця та інших.

Наукова новизна одержаних результатів. Результати роботи є новими і полягають у наступному:

1. Одержані інтегральні зображення відхилень у випадку, коли , де множина , або клас .

2. Для верхніх граней (1) у випадку, коли множини є класами згорток функцій із з ядрами, коефіцієнти яких є повільно спадними, знайдені асимптотичні рівності. Показано, що отримані рівності в багатьох важливих випадках забезпечують розв'язок задачі Колмогорова-Нікольського для сум на класах і , і містять в собі багато класичних результатів.

3. Знайдена швидкість збіжності сум Валле-Пуссена на класах у випадку, коли множини складаються з функцій скінченної гладкості, а також нескінченно диференційовних і, в тому числі, аналітичних функцій. Розглянуто випадки різних співвідношень між швидкостями спадання до нуля функцій і .

4. Показано, що при деяких природних обмеженнях на параметри, що визначають класи і метод наближення, отримані рівності дають розв'язок задачі Колмогорова-Нікольського для сум на класах і ,а також те, що в розглянутому випадку суми Валле-Пуссена, на відміну від сум Фур'є, можуть давати наближення, порядок якого співпадає з порядком найкращого наближення тригонометричними поліномами степені не вище .

Практичне значення одержаних результатів. Дисертаційна робота носить теоретичний характер і являє собою розв'язок ряду екстремальних задач теорії наближення. Результати роботи, а також методика їх отримання, можуть бути використані при вивченні різних питань теорії лінійних методів підсумовування рядів Фур'є.

Особистий внесок здобувача. Всі результати одержані здобувачем у співавторстві з науковим керівником. Внесок співавторів є рівноцінним.

Апробація результатів дисертації. Результати роботи доповідались на:

· семінарах відділу теорії функцій (Інститут математики НАН України, керівник семінару: член-кореспондент НАН України О.І.Степанець);

· Міжнародній конференції з теорії наближення функцій та її застосувань, присвяченій пам'яті В.К.Дзядика (Київ, 26 – 30 травня 1999 р.);

· Міжнародній конференції, присвяченій 100-річчю від дня народження М.О.Лаврентьєва (Київ, 31 жовтня – 3 листопада 2000 р.);

· Українському математичному конгресі, присвяченому 200-річчю від дня народження М.В.Остроградського (Київ, 21 – 25 серпня 2001 р.);

· об`єднаному семінарі з теорії функцій (Інститут математики НАН України, керівники семінару: академік НАН України М.П.Корнєйчук, член-кореспондент НАН України О.І.Степанець, професор П.М.Тамразов).

Публікації. Основні результати дисертації опубліковано в роботах [1 – 9].

Структура та обсяг роботи. Дисертація складається з переліку умовних

позначень, вступу, трьох розділів, висновків і списку використаних джерел,

що містить 73 найменування. Повний обсяг роботи складає 126 сторінок

машинописного тексту.

Основний зміст дисертації

У першому роздiлi дисертацiйної роботи проводиться огляд лiтератури за її темою. Висвiтлюються основнi аспекти розвитку наукової думки за тематикою наближення рiзних функцiональних класiв сумами Валле-Пуссена та визначається коло питань, якi залишилися невирiшеними при проведеннi

дослiджень в цьому напрямку.

Другий розділ роботи присвячений вивченню апроксимативних властивостей сум Валле-Пуссена на класах у випадку, коли класи є класами згорток функцій із з ядрами, коефіцієнти яких є повільно спадними (іншими словами, множини містять функції, які не мають жодної дробової похідної в розумінні Вейля). Основним методом доведення теорем цього розділу є метод, розроблений О.І.Степанцем, який використовується тут з урахуванням специфіки випадку, що розглядається.

Перший підрозділ другого розділу носить допоміжний характер. В ньому

визначається об'єкт та апарат апроксимації, наводяться необхідні означення.

Нехай – неперервна -періодична функція і

- її ряд Фур'є.

Нехай, далі, пара $\overline{\psi}=(\psi_1,\psi_2)$ довільних фіксованих систем чисел $\psi_{1}(k)$ и $\psi_{2}(k),~ k=0,1,\ldots,~ \psi_{1}(0)=1,~ \psi_{2}(0)=0$ задовольняє умову

$$

\overline{\psi}^2(k)=\psi_1^2(k)+\psi_2^2(k)\not=0, \quad k\in N.

$$

Якщо ряд

$$

\sum_{k=1}^\infty \frac{\psi_1(k)}{\overline{\psi}^2(k)}A_k(f; x)-

\frac{\psi_2(k)}{\overline{\psi}^2(k)}\stackrel{\sim}{A}_k(f; x),

$$

в якому

$$

\stackrel{\sim}{A}_k(f; x)=a_k\sin kx-b_k\cos kx,

$$

є рядом Фур'є деякої сумовної функції $\varphi(\cdot),$ то $\varphi(\cdot)$ називається $\overline{\psi}$-похідною функції $f$ і позначається $f^{\overline{\psi}}(\cdot)$.

Підмножину функцій $f\in C$, у яких існують $\overline{\psi}$-похідні, позначають через $C^{\overline{\psi}}$. Тоді, якщо $f\in C^{\overline{\psi}}$ і, крім того, $f^{\overline{\psi}}(\cdot) \in S_M$, де

$$

S_M=\{ \varphi: \quad {\rm ess} \sup |\varphi(\cdot)|\le 1 \},

$$

то кажуть, що функція $f(x)$ належить класу $C_\infty^{\overline{\psi}}$.

Якщо ж $f\in C^{\overline{\psi}}$ і при цьому

$f^{\overline{\psi}}(\cdot) \in H_\omega$, де

$$

H_\omega = \{\varphi \in C: \quad |\varphi(t')-\varphi(t'')| \le

\omega \left(|t'-t''|\right), ~ \forall t',t'' \in R^1\},

$$

$\omega(t)$ --- довільний фіксований модуль неперервності,

то покладають $f\in C^{\overline{\psi}}H_{\omega}$.

Позначимо літерою $\mathfrak M$ множину всіх неперервних опуклих до низу при $t \ge 1$ функцій $\psi(t)$, які задовольняють умову

$

\lim\limits_{t \to \infty} \psi(t)=0,

$

а через $\mathfrak M'$ --- підмножину функцій $\psi \in \mathfrak M$,

для яких

$

\int\limits_1^\infty \frac{\psi(t)}{t}~ dt < \infty.

$

Кожній функції $\psi \in \mathfrak M$ віднесемо пару функцій

\begin{equation}\label{B2.4}

\eta(t)= \eta(\psi; t)=\psi^{-1}\left(\frac{1}{2} \psi(t)\right) \quad

{\rm і} \quad \mu (t)= \mu(\psi; t)=\frac{t}{\eta(t)-t},~~ t \ge 1.

\end{equation}

Тоді

$$

\mathfrak M_0=\{ \psi \in \mathfrak M: \quad

0<\mu(\psi; t) \le K_1 <\infty\},

$$

$$

\mathfrak M_C=\{\psi \in \mathfrak M: \quad

0 < K_2 \le \mu(\psi; t) \le K_3 < \infty \},

$$

де $K_j,~ j=1,2,3,$ --- деякі сталі (які, можливо, залежать від

функції $\psi$).

Означення класів $C^{\overline{\psi}} \mathfrak N$ і множин

$\mathfrak M_0$ i $\mathfrak M_C$ належать О.І.Степанцю.

В цьому ж підрозділі ставиться задача дослiдження, яка полягає у вивченні

асимптотичної поведінки при $n \to \infty$ верхніх граней (\ref{B.3}) за

умови, що $~ \pm \psi_1 \in \mathfrak M_0,~ \pm \psi_2 \in \mathfrak M_0'= \mathfrak M_0 \cap \mathfrak M'$. (Позначення $\pm \varphi \in A$ означає, що або $\varphi \in A,$ або $-\varphi \in A$.)

В другому підрозділі другого розділу формулюються отримані результати і

даються коментарі до них. Покладемо

$$

\Theta \stackrel{{\rm df}}{=} \lim\limits_{n \to \infty} \frac{p}{n}.

$$

Справедливі наступні твердження.

\begin{teo}\label{tv2.1}

Нехай $\pm \psi_1 \in \mathfrak M_0, ~ \pm \psi_2 \in \mathfrak M_0'$ і

$0 \le \Theta < 1$.

Тоді при $n \to \infty$ виконується асимптотична рівність

\begin{equation}\label{B.4}

{\cal E}(C^{\overline{\psi}}_{\infty}; V_{n,p})=

\frac{2}{\pi}~ \int\limits_n^\infty \frac{|\psi_2(v)|}{v}~ dv +

\frac{4}{\pi^2}~ \overline{\psi}(n)~ \ln \frac{n}{p}+

O(1) \overline{\psi}(n),

\end{equation}

в якій $\overline{\psi}(n)=\sqrt{\psi_1^2(n)+\psi_2^2(n)}$,

a $O(1)$ --- величина, рівномірно обмежена по $n$ і $p$.

\end{teo}

\begin{teo}\label{tv2.2}

Нехай $\pm \psi_1 \in \mathfrak M_0, ~ \pm \psi_2 \in \mathfrak M_0'$ і

$0 \le \Theta < 1$.

Тоді при $n \to \infty$ виконується асимптотична рівність

$$

{\cal E}(C^{\overline{\psi}}H_{\omega};V_{n,p})=

\theta_\omega \left[ \frac{1}{\pi} \Biggl| \int\limits_{0}^{1}

\omega(\frac{2t}{n}) \int\limits_{1}^\infty

\psi_2(nv) \sin vt~dv~dt \Biggr|+

\right.

$$

\begin{equation}\label{B.5}

\left.

+\frac{2}{\pi^2}~ \overline{\psi}(n) \ln \frac{n}{p}~

\int\limits_{0}^{\pi/2} \omega(\frac{2t}{n}) \sin t~dt \right]+

O(1) \overline{\psi}(n) \omega(\frac{1}{n}),

\end{equation}

в якій $\overline{\psi}(n)=\sqrt{\psi_1^2(n)+\psi_2^2(n)}$,

$\theta_\omega \in [\frac{2}{3}; 1]$, причому $\theta_\omega=1$, якщо

$\omega(t)$ --- опуклий модуль неперервності, a $O(1)$ --- величина,

рівномірно обмежена по $n$ і $p$.

\end{teo}

З теорем \ref{tv2.1} i \ref{tv2.2} одержуються наступні наслідки.

\begin{sled}\label{sv2.1}

Нехай $\pm \psi_1 \in \mathfrak M_0, ~ \pm \psi_2 \in \mathfrak M_C$ і

$0 \le \Theta < 1.$ Тоді при $n \to \infty$

\begin{equation}\label{B.6}

{\cal E}(C^{\overline{\psi}}_{\infty}; V_{n,p})=

\frac{4}{\pi^2}~ \overline{\psi}(n)~ \ln \frac{n}{p}+

O(1) \overline{\psi}(n),

\end{equation}

де $\overline{\psi}(n)=\sqrt{\psi_1^2(n)+\psi_2^2(n)}$,

a $O(1)$ --- величина, рівномірно обмежена по $n$ i $p$.

\end{sled}

\begin{sled}\label{sv2.2}

Нехай $\pm \psi_1 \in \mathfrak M_0, ~ \pm \psi_2 \in \mathfrak M_C$ і

$0 \le \Theta < 1.$ Тоді при $n \to \infty$

\begin{equation}\label{B.7}

{\cal E}(C^{\overline{\psi}}H_{\omega};V_{n,p})=

\frac{2 \theta_\omega}{\pi^2}~ \overline{\psi}(n)~ \ln \frac{n}{p}

\int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2}} \omega(\frac{2t}{n}) \sin t~dt

+O(1) \overline{\psi}(n) \omega(\frac{1}{n}),

\end{equation}

де $\overline{\psi}(n)=\sqrt{\psi_1^2(n)+\psi_2^2(n)}$,

$\theta_\omega \in [\frac{2}{3}; 1]$, причому $\theta_\omega=1$, якщо

$\omega(t)$ --- опуклий модуль неперервності, a $O(1)$ --- величина,

рівномірно обмежена по $n$ i $p$.

\end{sled}

Якщо $\Theta=0$, то рівності (\ref{B.6}) i (\ref{B.7}) забезпечують

розв'язок задачі Кол\-мо\-го\-ро\-ва-Нікольського для сум Валле-Пуссена на

класах $C^{\overline{\psi}}_{\infty}$ і $C^{\overline{\psi}}H_{\omega}$.

Зауважимо, що в деяких випадках у співвідношеннях (\ref{B.4}) i (\ref{B.5}),

на відміну від рівностей (\ref{B.6}) i (\ref{B.7}), головним членом правої

частини може виступати і перший доданок.

Твердження, аналогічні теоремам \ref{tv2.1} i \ref{tv2.2}, у випадку

наближення сумами Фур'є були доведені О.І.Степанцем.

Наступні підрозділи другого розділу фактично є етапами доведення теорем

\ref{tv2.1} i \ref{tv2.2}.

Третій підрозділ другого розділу присвячений отриманню інтегральних

зображень відхилень сум Валле-Пуссена від функцій $f\in C^{\overline{\psi}} M$, де $M$ --- простір істотно обмежених періодичних функцій.

\begin{sled}\label{sv2.3}

Нехай $\pm \psi_1 \in \mathfrak M, ~ \pm \psi_2 \in \mathfrak M'$,

$n,p$ --- довільні натуральні числа, $ p < n$, а функції

$\tau_i(p,v), ~ i=1,2,$ означені за допомогою рівностей

$$

\tau_i(p; v)=\cases{

0, & $0 \le v < 1-\frac{p}{n},$ \cr

\frac{nv-n+p}{p}~\psi_i(nv), & $1-\frac{p}{n} \le v < 1,$ \cr

\psi_i(nv), & $1 \le v < \infty; \quad i=1,2.$ }

$$

Тоді для всякої функції $f\in C^{\overline{\psi}}M$ в кожній точці

$x\in R^1$ виконується рівність

\begin{equation}\label{B.8}

\rho_{n,p}(f;x) \stackrel{\rm df}{=}

f(x)-V_{n,p}(f; x)=\int\limits_{-\infty}^{\infty}

f^{\overline{\psi}}(x-\frac{t}{n})\widehat{\tau}_{n,p}(t)~ dt,

\end{equation}

в якій $\widehat{\tau}_{n,p}(t)=\widehat{\tau}_{1+}(p;t)+

\widehat{\tau}_{2-}(p;t),$

$$

\widehat{\tau}_{1+} (p; t)=

\frac{1}{\pi} \int\limits_{0}^{\infty} \tau_1(p; v) \cos vt~ dv,

\qquad

\widehat{\tau}_{2-}(p; t) =

\frac{1}{\pi} \int\limits_{0}^{\infty} \tau_2(p; v)\sin vt~ dv

$$

і інтеграл розуміється в смислі головного значення.

\end{sled}

В четвертому підрозділі другого розділу проводиться спрощення правої частини співвідношення (\ref{B.8}) шляхом виділення в інтегралах, які в неї

входять, головних частин і оцінки залишків.

В п`ятому підрозділі другого розділу, спираючись на результати попереднього підрозділу, одержується наступне твердження.

\begin{lem}\label{lv2.4}

Нехай $\pm \psi_1 \in \mathfrak M_0,~ \pm \psi_2 \in \mathfrak M_0',~

0 \le \Theta<1$ i $a$ --- довільне число з проміжку $(0; \pi].$

Тоді в кожній точці $x\in R^1$ виконується рівність

$$

\rho_{n,p}(f;x)= - \frac{\overline{\psi}(n)}{\pi}

\int\limits_{(t_{k_3}; t_{k_2}) \cup (t_{k_0}; t_{k_1})}

\delta(x; \frac{t}{n}) \frac{\sin (t-\gamma_n)}{l_{n,p}(t)}~ dt+

$$

\begin{equation}\label{B.11}

+\frac{1}{\pi} \int\limits_{|t| \le a} \delta(x; \frac{t}{n})

\int\limits_1^\infty \psi_2(nv) \sin vt~ dv~ dt+

O(1)\overline{\psi}(n) \zeta_{n,p},

\end{equation}

в якій:

$$

\delta(x; \frac{t}{n})=f^{\overline{\psi}}(x-\frac{t}{n}),~ \zeta_{n,p}=1,

\quad {\rm якщо} \quad f\in C^{\overline{\psi}}_{\infty};

$$

$$

\delta(x; \frac{t}{n})=f^{\overline{\psi}}(x-\frac{t}{n}) -

f^{\overline{\psi}}(x),~ \zeta_{n,p}=\omega(\frac{1}{n}),

\quad {\rm якщо} \quad f\in C^{\overline{\psi}}H_{\omega};

$$

$$

\overline{\psi}(n)=\sqrt{\psi_1^2(n)+\psi_2^2(n)}, \quad

\gamma_n=\arctg \frac{\psi_2(n)}{\psi_1(n)},

$$

числа $t_{k_i}=\Biggl(k_i-\frac{1}{2} \Biggr) \pi+ \gamma_n,~

i=\overline{0,3,}$ означені у співвідношеннях

$$

t_{k_0-1}< a \le t_{k_0}, \quad

t_{k_1} \le \frac{n \pi}{p} < t_{k_1+1},

\quad t_{k_2} \le - a < t_{k_2+1}, \quad

t_{k_3-1} < -\frac{n \pi}{p} \le t_{k_3},

$$

$$

l_{n,p}(t)=k\pi+\gamma_n, \quad t \in [t_k; t_{k+1}], \quad

k=k_3, k_3+1, \ldots , k_2-1, k_0, k_0+1, \ldots , k_1-1,

$$

a $O(1)$ --- величина, рівномірно обмежена по $n$ i $p$.

\end{lem}

Тут же знаходяться верхні грані відхилень сум Валле-Пуссена,

взяті по класах $f\in C^{\overline{\psi}}_{\infty}$ i

$f\in C^{\overline{\psi}} H_\omega$ для першого і другого доданків з

рівності (\ref{B.11}) і тим самим доводяться теореми \ref{tv2.1} --

\ref{tv2.2}.

В третьому розділі досліджується асимптотична поведінка при $n \to \infty$

верхніх граней (\ref{B.3}) у випадку, коли класи $C^{\overline{\psi}}\mathfrak N$ складаються з функцій скінченної гладкості, нескінченно иференційовних і, в тому числі, аналітичних функцій. Основні результати цього розділу отримуються за допомогою методу, розробленого О.І.Степанцем, який використовується тут з урахуванням специфіки випадку, що розглядається.

Перший підрозділ третього розділу має допоміжний характер і містить

відомості, які ми використовуємо в подальшому.

В другому підрозділі третього розділу отримуються асимптотичні зображення відхилень $\rho_{n,p}(f; x)$ для функцій з класів

$C^{\overline{\psi}} \mathfrak N$.

\begin{lem}\label{lv3.2}

Нехай $\pm \psi_i \in \mathfrak M',~ i=1,2,$ i $a_i=a_i(n)~ i=1,2,$ ---

дві довільні послідовності чисел, для яких

$$

a_i(n)\ge a_i(0)>0, \qquad \forall n \in N.

$$

Тоді для будь-яких натуральних чисел $n$ і $p=p(n),~ p<n,$ в кожній точці

$x \in R^1$ виконується рівність

$$

\rho_{n,p} (f;x)=-\frac{\psi_1(n)}{\pi}

\int\limits_{a_1''\le |t| \le \frac{n\pi}{p}}

\delta(x;\frac{t}{n}) \frac{\sin t}{t}~dt+

$$

$$

+\frac{\psi_2(n)}{\pi} \int\limits_{a_2''\le |t| \le \frac{n\pi}{p}}

\delta(x;\frac{t}{n}) \frac{\cos t}{t}~dt

+d_{n,p}^{\psi_1}(a_1;f;x)+d_{n,p}^{\psi_2}(a_2;f;x),

$$

де

$$

a_i''=\{a_i: \quad a_i \le \frac{n\pi}{p}\}, \qquad i=1,2,

$$

причому, якщо $f\in C^{\overline{\psi}}_{\infty}$, то

$~\delta(x;\frac{t}{n})= f^{\overline{\psi}}(x-\frac{t}{n})$ i

$$

|d_{n,p}^{\psi_i}(a_i;f;x)| \le K\left[ |\psi_i(n)|

\Biggl( 1+ \ln^{+}\frac{a_i p}{n\pi}\Biggr)+ |\psi_i(n-p)-\psi_i(n)|

\right.

$$

\begin{equation}\label{B.13}

+\int\limits_{\frac{1}{a_i}}^\infty

\frac{ |\psi_i(nt+n)| }{t}~dt+ \int\limits_{a_i}^\infty

\frac{ |\psi_i(n)-\psi_i(n+\frac{n}{t})| }{t}~dt \Biggr],~ i=1,2,

\end{equation}

якщо ж $f\in C^{\overline{\psi}}H_{\omega}^0$, то

$~\delta(x;\frac{t}{n})= f^{\overline{\psi}}(x-\frac{t}{n})-

f^{\overline{\psi}}(x)$ i

$$

|d_{n,p}^{\psi_i}(a_i;f;x)| \le K \left[|\psi_i(n)| \Biggl(

\omega(\frac{1}{n-p})+ \omega(\frac{1}{n}) \ln^{+}\frac{a_i p}{n\pi}\Biggr)+

\right.

$$

$$

+|\psi_i(n-p)-\psi_i(n)| \omega(\frac{1}{n-p})+

\Biggl( \int\limits_{\frac{1}{a_i}}^\infty

\frac{ |\psi_i(nt+n)| }{t}~dt+

$$

\begin{equation}\label{B.14}

+\int\limits_{a_i}^\infty

\frac{ |\psi_i(n)-\psi_i(n+\frac{n}{t})| }{t}~dt \Biggr)

\omega(\frac{1}{n}) \Biggr],~ i=1,2.

\end{equation}

У співвідношеннях (\ref{B.13}) i (\ref{B.14}) $\ln^{+} t=\max\{\ln t; 0\}$.

\end{lem}

У випадку, коли $p=1,$ аналогічне твердження доведене О.І.Сте\-пан\-цем.

В третьому підрозділі третього розділу, відштовхуючись від твердження леми \ref{lv3.2}, знаходяться асимптотичні рівності для верхніх граней відхилень сум Валле-Пуссена на класах $C^{\overline{\psi}} \mathfrak N$ у випадку, коли функції $\psi_i(\cdot),~ i=1,2,$ належать множині $F$, яка означена О.І.Степанцем наступним чином:

$$

F=\{\psi \in \mathfrak M: \quad \eta'(t) \le K\},

$$

де $\eta(t)$ --- функція із співвідношення (\ref{B2.4}), а

$K$ --- деяка стала (яка, можливо, залежить від функції $\psi$).

При цьому розглядаються випадки різних співвідношень між швидкостями

спадання до нуля параметрів $\psi_1(\cdot)$ i $\psi_2(\cdot)$.

Взявши в твердженні леми \ref{lv3.2} в ролі послідовностей

$a_i(n),~ i=1,2,$ величини

\begin{equation}\label{B.15}

a_i(n)=\mu(\psi_i; n)= \frac{n}{\eta(\psi_i; n)-n},

\end{equation}

і скориставшись методом побудови екстремальних функцій, запропонованим

О.І.Степанцем, одержується наступне твердження.

\begin{teo}\label{tv3.1}

Нехай $\pm \psi_i \in F,~ i=1,2,~$ $n$ і $p=p(n)$ --- довільні натуральні

числа, $p<n$ і виконана умова: знайдуться сталі $K_1$ i $K_2$ такі, що

\begin{equation}\label{B.16}

0< K_1 \le \frac{\eta(\psi_1; n)-n}{\eta(\psi_2; n)-n}

\le K_2< \infty, \quad n=1,2, \ldots~.

\end{equation}

Тоді при $n \to \infty$ виконуються асимптотичні рівності

$$

{\cal E}(C^{\overline{\psi}}_{\infty};V_{n,p})=

\frac{4}{\pi^2}~ \overline{\psi}(n) \ln^{+} \frac{\eta(n)-n}{p}+

$$

\begin{equation}\label{B.19}

+O(1)\left(\overline{\psi}(n)\Biggl[1+ \ln^{+}\frac{p}{\eta(n)-n} \Biggr]+

\sum_{i=1}^2 | \psi_i(n-p)-\psi_i(n)| \right),

\end{equation}

$$

{\cal E}(C^{\overline{\psi}}H_{\omega};V_{n,p})=

\frac{2\theta_\omega}{\pi^2}~ \overline{\psi}(n) \ln^{+} \frac{\eta(n)-n}{p}

\int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2}} \omega(\frac{2t}{n}) \sin t~dt+

$$

$$

+O(1)\left(\overline{\psi}(n)\Biggl[\omega(\frac{1}{n-p})+

\omega(\frac{1}{n}) \ln^{+}\frac{p}{\eta(n)-n} \Biggr]+

\right.

$$

\begin{equation}\label{B.20}

\left.

+\omega(\frac{1}{n-p})\sum_{i=1}^2

| \psi_i(n-p)-\psi_i(n)| \right),

\end{equation}

в яких

$\overline{\psi}(n)=\sqrt{\psi_1^2(n)+\psi_2^2(n)},~

\ln^{+} t=\max\{\ln t; 0\}$ i $\eta(n)$ є або $\eta(\psi_1; n)$ або

$\eta(\psi_2; n),~ \theta_\omega \in [\frac{2}{3};1]$, причому

$\theta_\omega=1$, якщо $\omega(t)$ --- опуклий модуль неперервності,

a $O(1)$ --- величина, рівномірно обмежена по $n$ i $p$.

\end{teo}

Означивши множину

$$

F_c=\{\psi \in F: \quad \lim_{n\to\infty} (\eta(\psi;n)-n)=c, ~

1 \le c \le \infty \},

$$

де $\eta(t)$ --- функція із співвідношення (\ref{B2.4}), з теореми

\ref{tv3.1} одержуються наступні наслідки.

\begin{sled}\label{sv3.1}

Нехай $\pm \psi_i \in F_c,~ 1 \le c \le \infty,i=1,2$, виконана умова

(\ref{B.16}) і числа $p=p(n)$ вибрані таким чином, що

$n-p \in [\eta^{-1}(\psi_i; n); n],~ i=1,2.$

Тоді при $n \to \infty$ мають місце асимптотичні рівності

\begin{equation}\label{B.21}

{\cal E}(C^{\overline{\psi}}_{\infty};V_{n,p})=

\frac{4}{\pi^2}~ \overline{\psi}(n) \ln^{+} \frac{\eta(n)-n}{p}

+ O(1) \overline{\psi}(n),

\end{equation}

$$

{\cal E}(C^{\overline{\psi}}H_{\omega};V_{n,p})=

\frac{2\theta_\omega}{\pi^2}~ \overline{\psi}(n) \ln^{+} \frac{\eta(n)-n}{p}

\int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2}} \omega(\frac{2t}{n}) \sin t~dt+

$$

\begin{equation}\label{B.22}

+O(1) \overline{\psi}(n)\omega(\frac{1}{n}),

\end{equation}

в яких $\overline{\psi}(n)=\sqrt{\psi_1^2(n)+\psi_2^2(n)}$,

$\ln^{+} t= \max\{ \ln t; 0\},$

$\eta(n)$ є або $\eta(\psi_1; n)$ або $\eta(\psi_2; n)$,

$\theta_\omega \in [\frac{2}{3}; 1]$, причому $\theta_\omega=1$, якщо

$\omega(t)$ --- опуклий модуль неперервності, a $O(1)$ --- величина, рівномірно обмежена по $n$ i $p$.

\end{sled}

Рівності (\ref{B.21}) i (\ref{B.22}) забезпечують розв`язок задачі

Колмогорова-Нікольського для сум $V_{n,p}(f; \cdot)$ на класах

$C^{\overline{\psi}}_{\infty}$ і $C^{\overline{\psi}}H_{\omega}$ відповідно,

якщо $c=\infty,$ виконана умова (\ref{B.16}) і $\lim\limits_{n \to \infty} \frac{p(n)}{\eta(n)-n}=0$.

Вказані умови задовольняють функції

$

\psi_{r,i}(n)=e^{-\alpha_i n^r},~ \alpha_i >0,~ 0<r<1,~ i=1,2

\quad {\rm i} \quad p= \ln^\beta n,~ \beta > 0.

$

Треба зауважити, що функції

$\psi_{r,i}(n) \not \in \mathfrak M_C,~ i=1,2.$

Якщо ж $\pm \psi_i \in \mathfrak M_C,~ i=1,2,$ і $0 \le \Theta < 1$,

то співвідношення (\ref{B.21}) i (\ref{B.22}) приймають вигляд

\begin{equation}\label{B.23}

{\cal E}(C^{\overline{\psi}}_{\infty}; V_{n,p})=

\frac{4}{\pi^2}~ \overline{\psi}(n)~ \ln\frac{n}{p}+

O(1) \overline{\psi}(n),

\end{equation}

\begin{equation}\label{B.24}

{\cal E}(C^{\overline{\psi}}H_{\omega}; V_{n,p})=

\frac{2\theta_\omega}{\pi^2}~ \overline{\psi}(n)~ \ln\frac{n}{p}~

\int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2}} \omega(\frac{2t}{n}) \sin t~dt+

O(1) \overline{\psi}(n)\omega(\frac{1}{n}).

\end{equation}

У випадку, коли $\Theta=0$, рівності (\ref{B.23}) і (\ref{B.24}) дають

розв`язок задачі Колмогорова-Нікольського для сум $V_{n,p}(f; \cdot)$ на

класах $C^{\overline{\psi}}_{\infty}$ i $C^{\overline{\psi}}H_{\omega}$

відповідно для будь-яких функцій $\psi_i \in \mathfrak M_C,~ i=1,2$.

У випадку ж, коли $0<\Theta<1$, з рівностей (\ref{B.23}) і (\ref{B.24})

отримуємо порядкові співвідношення

$$

{\cal E}(C^{\overline{\psi}}_{\infty};V_{n,p})= O(1) \overline{\psi}(n)

$$

і

$$

{\cal E}(C^{\overline{\psi}}H_{\omega};V_{n,p})=

O(1) \overline{\psi}(n)\omega(\frac{1}{n}).

$$

Зауважимо, що в цьому випадку суми Валле-Пуссена дають наближення,

яке співпадає за порядком з величиною найкращого наближення за допомогою тригонометричних поліномів степені не вище $n$. Цей факт раніше відмічався О.І.Степанцем.

В цьому ж підрозділі отримуються аналоги рівностей (\ref{B.19}) і

(\ref{B.20}) у випадку, коли як і раніше функції $\pm \psi_i \in F,~ i=1,2,$

а замість (\ref{B.16}) виконується наступна умова: існує таке

$\varepsilon > 0$, що $\forall t \ge t_0 \ge 1$

\begin{equation}\label{B.25}

\frac{\eta(\psi_1; t)-t}{\eta(\psi_2; t)-t} \ge 2(K_1+\varepsilon),

\end{equation}

або

\begin{equation}\label{B.26}

\frac{\eta(\psi_2; t)-t}{\eta(\psi_1; t)-t} \ge 2(K_2+\varepsilon),

\end{equation}

де $K_i,~ i=1,2,$ --- довільні сталі, для яких $\forall t \ge 1$ має місце

оцінка $\eta'(\psi_i; t) \le K_i,~ i=1,2.$

Одержане наступне твердження.

\begin{teo}\label{tv3.2}

Нехай $\pm \psi_i \in F,~ i=1,2,~$ $n$ і $p=p(n)$ --- довільні натуральні

числа, $p<n$ і виконана умова (\ref{B.25}).

Тоді при $n \to \infty$ виконуються асимптотичні рівності

$$

{\cal E}(C^{\overline{\psi}}_{\infty}; V_{n,p})=

\frac{4}{\pi^2} |\psi_1(n)| \ln^{+} \frac{\eta(\psi_1; n)-n}{p}+

$$

\begin{equation}\label{B.27}

+O(1) |\psi_1(n-p)| \left(1+\ln^{+} \frac{p}{\eta(\psi_1; n)-n} \right),

\end{equation}

$$

{\cal E}(C^{\overline{\psi}}H_{\omega};V_{n,p})=

\frac{2\theta_\omega}{\pi^2}~|\psi_1(n)| \ln^{+} \frac{\eta(\psi_1; n)-n}{p}

\int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2}} \omega(\frac{2t}{n}) \sin t~dt+

$$

\begin{equation}\label{B.28}

+O(1)\omega(\frac{1}{n-p}) |\psi_1(n-p)|

\left(1+\ln^{+} \frac{p}{\eta(\psi_1; n)-n} \right),

\end{equation}

де $\ln^{+} t= \max\{ \ln t; 0 \},$ $\theta_\omega \in [\frac{2}{3}; 1]$,

причому $\theta_\omega=1$, якщо $\omega(t)$ --- опуклий модуль неперервності,

a $O(1)$ --- величина, рівномірно обмежена по $n$ i $p$.

Якщо ж виконується умова (\ref{B.26}), то в правих частинах рівностей

(\ref{B.27}) і (\ref{B.28}) треба замість $\psi_1(\cdot)$ написати

$\psi_2(\cdot)$.

\end{teo}

З теореми \ref{tv3.2} випливає такий наслідок.

\begin{sled}\label{sv3.3}

Нехай $\pm \psi_1 \in F_c,~1 \le c \le \infty,$ виконана умова

(\ref{B.25}) і числа $p=p(n)$ вибрані таким чином, що

$n-p \in [\eta^{-1}(\psi_1; n); n].$

Тоді при $n \to \infty$ виконуються асимптотичні рівності

\begin{equation}\label{B.29}

{\cal E}(C^{\overline{\psi}}_{\infty}; V_{n,p})=

\frac{4}{\pi^2} |\psi_1(n)|~ \ln^{+} \frac{\eta(\psi_1; n)-n}{p}+

O(1) |\psi_1(n)|,

\end{equation}

$$

{\cal E}(C^{\overline{\psi}}H_{\omega};V_{n,p})=

\frac{2\theta_\omega}{\pi^2}~|\psi_1(n)| \ln^{+} \frac{\eta(\psi_1; n)-n}{p}

\int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2}} \omega(\frac{2t}{n}) \sin t~dt+

$$

\begin{equation}\label{B.30}

+O(1)\omega(\frac{1}{n}) |\psi_1(n)|,

\end{equation}

де $\ln^{+} t= \max\{ \ln t; 0\},$ $\theta_\omega \in [\frac{2}{3}; 1]$,

причому $\theta_\omega=1$, якщо $\omega(t)$ --- опуклий модуль неперервності, a $O(1)$ --- величина, рівномірно обмежена по $n$ i $p$.

Якщо ж $\pm\psi_2 \in F_c~$ і виконується співвідношення (\ref{B.26}), то в

умові і правих частинах рівностей (\ref{B.29}) і (\ref{B.30}) треба функцію

$\psi_1(\cdot)$ замінити на $\psi_2(\cdot)$.

\end{sled}

Рівності (\ref{B.29}) і (\ref{B.30}) дають розв`язок задачі

Кол\-мо\-го\-ро\-ва-Нi\-коль\-сько\-го для сум $V_{n,p}(f; \cdot)$ на класах

$C^{\overline{\psi}}_{\infty}$ і $C^{\overline{\psi}}H_{\omega}$ відповідно,

якщо $c=\infty$ і $\lim\limits_{n \to \infty} \frac{p(n)}{\eta(\psi_1; n)-n}=0$.

В четвертому підрозділі третього розділу знаходиться асимптотична формула

для верхніх граней відхилень сум Валле-Пуссена на класах $C^{\overline{\psi}}_\infty$ з точною константою біля головного члена у

вигляді невласного інтеграла у випадку, коли суми Валле-Пуссена забезпечують наближення, яке за порядком співпадає з величиною найкращого наближення не\-пе\-рер\-вних періодичних функцій за допомогою тригонометричних поліномів степені не вище $n$. Знайдена рівність забезпечує розв`язок відповідної задачі Колмогорова-Нікольського.

Має місце наступне твердження.

\begin{teo}\label{tv3.3}

Якщо $\pm \psi_i \in \mathfrak M_C, i=1,2$ і $0<\Theta< 1,$

то при $n\to\infty$ виконується асимптотична рівність

\begin{equation}\label{B.31}

{\cal E}(C^{\overline{\psi}}_\infty; V_{n,p})=

A_n \left(\tau_{1,\Theta}; \tau_{2,\Theta}\right)+

O(1) \left(\alpha_n \overline{\psi}(n)+

\frac{1}{n}\overline{\psi}(n)\right),

\end{equation}

де

$$

\tau_{i,\Theta}^{(n)}(x)=\tau_{i,\Theta}(x)=

\cases{0, & $0\le x \le 1-\Theta,$\cr

\frac{x-(1-\Theta)}{\Theta}\psi_i(nx), & $1-\Theta\le v\le 1,$\cr

\psi_i(nx), & $1\le v<\infty; \quad i=1,2,$\cr}

$$

$$

\alpha_n=\cases{|\frac{p}{n}-\Theta| \ln \frac{1}{|\frac{p}{n}-\Theta|},

& $\frac{p}{n} \not= \Theta,$\cr

0, & $\frac{p}{n}=\Theta, $\cr}

$$

причому при $n \to \infty$

$$

A_n \left(\tau_{1,\Theta}; \tau_{2,\Theta} \right)\stackrel{\rm df}{=}

\int\limits_{-\infty}^{\infty}~ \Biggl| \int\limits_{0}^{\infty}~

\Biggl(\tau_{1,\Theta}(x)\cos tx+\tau_{2,\Theta}(x)\sin tx \Biggr)~ dx

\Biggr|~ dt= O(1) \overline{\psi}(n).

$$

\end{teo}

Рівність (\ref{B.31}) завжди дає розв`язок задачі Колмогорова-Нікольського

для сум $V_{n,p}(f; x)$ на класах $C^{\overline{\psi}}_\infty$. Для класів

$C^\psi_{\beta,\infty}$ аналогічне твердження доведене в роботі В.І.Рукасова.

\begin{center}

{\bf Висновки}

\end{center}

У дисертації розв`язано низку задач про наближення класів

$\overline{\psi}$-ди\-фе\-рен\-ці\-йов\-них періодичних функцій сумами

Валле-Пуссена.

Основні результати роботи:

\begin{enumerate}

\item

Одержані інтегральні зображення відхилень $\rho_{n,p}(f; x)$

у випадку, коли $f \in C^{\overline{\psi}} \mathfrak N$, де $\mathfrak N$ --- множина $S_M$, або клас $H_{\omega}$.

\item

Для верхніх граней (\ref{B.3}) у випадку, коли множини $C^{\overline{\psi}} \mathfrak N$ є класами згорток функцій із $\mathfrak N$ з ядрами, коефіцієнти яких є повільно спадними, знайдені асимптотичні рівності. Показано, що отримані рівності в багатьох важливих випадках забезпечують розв'язок задачі Колмогорова-Нікольського для сум $V_{n,p}(f;x)$ на класах $C^{\overline{\psi}}_\infty$ і $C^{\overline{\psi}}H_{\omega}$, і містять в собі багато класичних

результатів.

\item

Знайдена швидкість збіжності сум Валле-Пуссена на класах

$C^{\overline{\psi}} \mathfrak N$ у випадку, коли множини

$C^{\overline{\psi}} \mathfrak N$ складаються з функцій скінченної гладкості, а також нескінченно диференційовних і, в тому числі, аналітичних функцій. Розглянуто випадки різних співвідношень між швидкостями спадання до нуля функцій $\psi_1(\cdot)$ i $\psi_2(\cdot)$.

\item

Показано, що при деяких природних обмеженнях на параметри, що визначають класи і метод наближення, отримані рівності дають розв'язок задачі Колмогорова-Нікольського для сум $V_{n,p}(f;x)$ на класах

$C^{\overline{\psi}}_\infty$ i $C^{\overline{\psi}}H_{\omega}$, а також те,

що в розглянутому випадку суми Валле-Пуссена, на відміну від сум Фур'є,

можуть давати наближення, порядок якого співпадає з порядком найкращого

наближення тригонометричними поліномами степені не вище $n$.

\end{enumerate}

{\bf Основні результати дисертації опубліковано в наступних роботах:}

\begin{enumerate}

\item

Рукасов В.И., Чайченко С.О. Приближение $\overline{\psi}$-интегралов

$2\pi$-пе\-ри\-о\-ди\-чес\-ких функций суммами Валле-Пуссена // Ряди Фур'є:

теорія і застосування. Зб. наук. пр. --- Київ: Ін-т математики НАН України,

1998. --- С. 242 -- 254.

\item

Рукасов В.И., Новиков О.А., Чайченко С.О. Приближение классов

$C^{\overline{\psi}}_\infty$ методами Валле Пуссена // Теорія наближення функцій та її застосування. Зб. наук. пр. --- Київ: Ін-т математики НАН України, 2000. --- С. 396 -- 406.

\item

Рукасов В.І., Чайченко С.О.

Про наближення неперервних періодичних функцій сумами Валле-Пуссена //

Доповіді НАН України. --- 2002. --- N 3. --- C. 35 -- 39.

\item

Рукасов В.И., Чайченко С.О.

Приближение классов $C^{\overline{\psi}} H_\omega$ суммами Валле-Пуссена // Укр. мат. журн. --- 2002. --- {\bf 54,} N 5. --- C. 681 -- 691.

\item

Рукасов В.И., Новиков О.А., Чайченко С.О. Приближение классов периодических функций с малой гладкостью суммами Валле-Пуссена // Теорія наближення функцій та суміжні питання. --- Київ, 2002. --- С. 119 -- 133. --- (Праці Ін-ту математики НАН України; Т. 35).

\item

Рукасов В.И., Чайченко С.О. Приближение непрерлвнлх периодических функций суммами Валле-Пуссена (небольшая гладкость) // Теорія наближення функцій та суміжні питання. --- Київ, 2002. --- С. 134 -- 150. --- (Праці Ін-ту

математики НАН України; Т. 35).

\item

Рукасов В.И., Новиков О.А., Чайченко С.О. Приближение классов

$C_{\infty}^{\overline{\psi}}$ суммами Валле Пуссена // Международная

конференция по теории приближения функций и ее применениям, посвященная памяти В.К. Дзядлка (Киев, 26 -- 30 мая 1999 г.): Тез. докл. --- С. 71 -- 72.

\item

Рукасов В.И., Новиков О.А., Чайченко С.О. Приближение класов

$C^{\overline{\psi}}_\infty$ суммами Валле-Пуссена (небольшая гладкость) //

Український математичний конгрес, присвячений 200-річчю від дня народження М.В.Остроградського (Київ, 21 -- 25 серп. 2001 р.): Тез. доп. ---

С. 51 -- 52.

\item

Рукасов В.І., Чайченко С.О. Наближення класів $C^{\overline{\psi}}H_{\omega}$

сумами Валле-Пуссена // Український математичний конгрес, присвячений

200-річчю від дня народження М.В.Остроградського (Київ, 21 --- 25 серп.

2001 р.): Тез. доп. --- С. 52 -- 53.

\end{enumerate}

Чайченко С.О. Наближення неперервних періодичних функцій сумами Валле-Пуссена. – Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01.01.01 – математичний аналіз. – Слов`янський державний педагогічний університет, Слов`янськ, 2002.

Дисертацію присвячено питанням наближення в рівномірній метриці класів $C^{\oveline{\psi}}_{\infty}$ и $C^{\oveline{\psi}}H_\omega$ $\overline{\psi}$-диференційовних періодичних функцій сумами Валле-Пуссена. В дисертації для верхніх граней відхилень сум Валле-Пуссена, взятих по класах $C^{\oveline{\psi}}_{\infty}$ и $C^{\oveline{\psi}}H_\omega$ одержуються асимптотичні рівності, які при деяких природних обмеженнях на параметри, що визначають класи і метод наближення, дають розв'язок відповідної задачі Колмогорова-Нікольського. Розглянуто випадки, коли класи $C^{\oveline{\psi}}_{\infty}$ и $C^{\oveline{\psi}}H_\omega$ визначаються повільно спадними і швидко спадними до нуля функціями $\psi_1(\cdot)$ i $\psi_2(\cdot)$.

Ключові слова: $\overline{\psi}$-диференційовна функція, сума Валле-Пуссена, верхні грані відхилень, асимптотична рівність, задача Колмогорова-Нікольського.

Чайченко С.О. Приближение непрерывных периодических функций суммами Валле-Пуссена. – Рукопись.

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.01.01 – математический анализ. – Славянский государственный педагогический университет, Славянск, 2002.

Диссертация посвящена вопросам приближения в равномерной метрике классов $C^{\oveline{\psi}}_{\infty}$ и $C^{\oveline{\psi}}H_\omega$ $\overline{\psi}-$дифференцируемых периодических функций суммами Валле-Пуссена. В диссертации для верхних граней отклонений сумм Валле-Пуссена, взятых по классам $C^{\oveline{\psi}}_{\infty}$ и $C^{\oveline{\psi}}H_\omega$, находятся асимптотические равенства, которые при некоторых естественных ограничениях на параметры, определяющие классы и метод приближения, обеспечивают решение соответствующей задачи Колмогорова-Никольского. Рассмотрены случаи, когда классы $C^{\oveline{\psi}}_{\infty}$ и $C^{\oveline{\psi}}H_\omega$ определяются медленно убывающими и быстро убывающими к нулю функциями $\psi_1(\cdot)$ и $\psi_2(\cdot)$.

Обозначим через $\mathfrak M$ множество всех непрерывных выпуклых вниз при $t \ge 1$ функций $\psi(t)$, которые удовлетворяют условию

$

\lim\limits_{t \to \infty} \psi(t)=0,

$

а через $\mathfrak M'$ --- подмножество функций $\psi \in \mathfrak M$,

для которых

$

\int\limits_1^\infty \frac{\psi(t)}{t}~ dt < \infty.

$

Следуя А.И.Степанцу, каждой функции $\psi \in \mathfrak M$ поставим в

соответствие пару функций

\begin{equation}\label{B2.4ru}

\eta(t)= \eta(\psi; t)=\psi^{-1}\left(\frac{1}{2} \psi(t)\right)

\quad {\rm і} \quad \mu (t)= \mu(\psi; t)=\frac{t}{\eta(t)-t},~~ t \ge 1.

\end{equation}

Тогда

$$

\mathfrak M_0=\{ \psi \in \mathfrak M: \quad

0<\mu(\psi; t) \le K_1 <\infty\},

$$

$$

\mathfrak M_C=\{\psi \in \mathfrak M: \quad

0 < K_2 \le \mu(\psi; t) \le K_3 < \infty \},

$$

где $K_j,~ j=1,2,3,$ --- некоторые постоянные (которые, возможно, зависят

от функции $\psi$).

Положим

$$

\Theta \stackrel{{\rm df}}{=} \lim\limits_{n \to \infty} \frac{p}{n}.

$$

Сформулируем основные результаты работы.

\begin{teo}\label{tv2.1ru}

Пусть $\pm \psi_1 \in \mathfrak M_0, ~ \pm \psi_2 \in \mathfrak M_0'$ и

$0 \le \Theta < 1$.

Тогда при $n \to \infty$ выполняется асимптотическое равенство

\begin{equation}\label{B.4ru}

{\cal E}(C^{\overline{\psi}}_{\infty}; V_{n,p})=

\frac{2}{\pi}~ \int\limits_n^\infty \frac{|\psi_2(v)|}{v}~ dv +

\frac{4}{\pi^2}~ \overline{\psi}(n)~ \ln \frac{n}{p}+

O(1) \overline{\psi}(n),

\end{equation}

в котором $\overline{\psi}(n)=\sqrt{\psi_1^2(n)+\psi_2^2(n)}$,

a $O(1)$ --- величина, равномерно ограниченная по $n$ и $p$.

\end{teo}

\begin{teo}\label{tv2.2ru}

Пусть $\pm \psi_1 \in \mathfrak M_0, ~ \pm \psi_2 \in \mathfrak M_0'$ и

$0 \le \Theta < 1$.

Тогда при $n \to \infty$ выполняется асимптотическое равенство

$$

{\cal E}(C^{\overline{\psi}}H_{\omega};V_{n,p})=

\theta_\omega \left[ \frac{1}{\pi} \Biggl| \int\limits_{0}^{1}

\omega(\frac{2t}{n}) \int\limits_{1}^\infty

\psi_2(nv) \sin vt~dv~dt \Biggr|+

\right.

$$

\begin{equation}\label{B.5ru}

\left.

+\frac{2}{\pi^2}~ \overline{\psi}(n) \ln \frac{n}{p}~

\int\limits_{0}^{\pi/2} \omega(\frac{2t}{n}) \sin t~dt \right]+

O(1) \overline{\psi}(n) \omega(\frac{1}{n}),

\end{equation}

в котором $\overline{\psi}(n)=\sqrt{\psi_1^2(n)+\psi_2^2(n)}$,

$\theta_\omega \in [\frac{2}{3}; 1]$, причем $\theta_\omega=1$, если

$\omega(t)$ --- выпуклый модуль непрерывности, a $O(1)$ --- величина,

равномерно ограниченная по $n$ и $p$.

\end{teo}

Если, например, $\psi_2 \in \mathfrak M_C$ и $\Theta=0$, то равенства

(\ref{B.4ru}) и (\ref{B.5ru}) обеспечивают решение задачи

Колмогорова-Никольского для сумм Валле-Пуссена на классах

$C^{\overline{\psi}}_{\infty}$ и $C^{\overline{\psi}}H_{\omega}$

соответственно.

Следует отметить также, что в соотношениях (\ref{B.4ru}) и (\ref{B.5ru})

главным членом правой части может выступать как первое, так и второе

слагаемое.

В работе, также, исследуется асимптотическое поведение при $n \to \infty$

верхних граней ${\cal E}(C^{\overline{\psi}} \mathfrak N; V_{n,p})$ в случае,

когда классы $C^{\overline{\psi}}\mathfrak N,~ \mathfrak N=S_M$ или

$\mathfrak N=H_\omega$ определяются быстро убывающими к нулю

последовательностями $\psi_1(\cdot)$ и $\psi_2(\cdot)$.

Пусть $F$ и $F_c$ --- множества, определенные А.И.Степанцом следующим

образом:

$$

F=\{\psi \in \mathfrak M: \quad \eta'(t) \le K\},

$$

$$

F_c=\{\psi \in F: \quad \lim_{n\to\infty} (\eta(\psi;n)-n)=c, ~

1 \le c \le \infty \},

$$

где $\eta(t)$ --- функция из соотношения (\ref{B2.4ru}), а $K$ --- некоторая

постоянная, которая возможно зависит от функции $\psi$.

\begin{sledru}\label{sv3.1ru}

Пусть $\pm \psi_i \in F_c,~ 1 \le c \le \infty,i=1,2$, выполнено условие:

найдутся постояннле $K_1$ и $K_2$ такие, что

\begin{equation}\label{B.16ru}

0< K_1 \le \frac{\eta(\psi_1; n)-n}{\eta(\psi_2; n)-n}

\le K_2< \infty, \quad n=1,2, \ldots~,

\end{equation}

и числа $p=p(n)$ выбраны таким образом, чтобы

$n-p \in [\eta^{-1}(\psi_i; n); n],~ i=1,2.$

Тогда при $n \to \infty$ выполняются асимптотические равенства

\begin{equation}\label{B.21ru}

{\cal E}(C^{\overline{\psi}}_{\infty};V_{n,p})=

\frac{4}{\pi^2}~ \overline{\psi}(n) \ln^{+} \frac{\eta(n)-n}{p}

+ O(1) \overline{\psi}(n),

\end{equation}

$$

{\cal E}(C^{\overline{\psi}}H_{\omega};V_{n,p})=

\frac{2\theta_\omega}{\pi^2}~ \overline{\psi}(n) \ln^{+} \frac{\eta(n)-n}{p}

\int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2}} \omega(\frac{2t}{n}) \sin t~dt+

$$

\begin{equation}\label{B.22ru}

+O(1) \overline{\psi}(n)\omega(\frac{1}{n}),

\end{equation}

в которых $\overline{\psi}(n)=\sqrt{\psi_1^2(n)+\psi_2^2(n)}$,

$\ln^{+} t=\max \{\ln t; 0 \},$ $\eta(n)$ есть либо $\eta(\psi_1; n),$ либо $\eta(\psi_2; n)$, $\theta_\omega \in [\frac{2}{3}; 1]$, причем $\theta_\omega=1$, если $\omega(t)$ --- выпуклый модуль непрерывности,

a $O(1)$ --- величина, равномерно ограниченная по $n$ и $p$.

\end{sledru}

Равенства (\ref{B.21ru}) и (\ref{B.22ru}) обеспечивают решение задачи

Колмогорова-Никольского для сумм $V_{n,p}(f; \cdot)$ на классах

$C^{\overline{\psi}}_{\infty}$ и $C^{\overline{\psi}}H_{\omega}$

соответственно, если $c=\infty,$ выплнено условие (\ref{B.16ru}) и

$\lim\limits_{n \to \infty} \frac{p(n)}{\eta(n)-n}=0$.

Указаннлм условиям удовлетворяют функции

$

\psi_{r,i}(n)=e^{-\alpha_i n^r},~ \alpha_i >0,~ 0<r<1,~ i=1,2

\quad {\rm i} \quad p= \ln^\beta n,~ \beta > 0.

$

Следует отметить, что функции

$\psi_{r,i}(n) \not \in \mathfrak M_C,~ i=1,2.$

{\bf Ключевле слова:} $\overline{\psi}$-дифференцируемая функция,

сумма Валле-Пуссена, верхние грани отклонений, асимптотическое равенство, задача Колмогорова-Никольского.

\bigskip

{\bf Chaichenko S.O. Approximation of continuous periodical function by sums

of Valle-Poussin's. --- Manuscript.}

The thesis for a scientific degree of candidate of physics and mathematics

sciences in speciality 01.01.01 --- mathematical analysis. --- Slaviansk

state pedagogical university, Slaviansk, 2002.

The thesis contains the researches on the problems of approximation of

uniform metric the classes $C^{\overline{\psi}}_\infty$ and

$C^{\overline{\psi}} H_\omega$ $\overline{\psi}$-diferentiable periodic

function by Valle-Poussin's sums.

In the theses the asymptotical equalities for supremum diversions

of the sums of Valle-Poussin from classes $C^{\overline{\psi}}_\infty$ and

$C^{\overline{\psi}} H_\omega$ are stated under some natural limits of

parameters, defining the classes and method of approximation provide

solution of the corresponding problem of Kolmogorov-Nikol'skii. The cases

have been considered in the thesis when the classes

$C^{\overline{\psi}}_\infty$ and $C^{\overline{\psi}} H_\omega$ are defined

by slowly going downward and quickly going downward to zero function

$\psi_1(\cdot)$ and $\psi_2(\cdot)$.

{\bf Key words:} $\overline{\psi}$-differentiable function, the sum of

Valle-Poussin, supremums diversions, asymptotical equality,

problem of Kolmogorov-Nikol'skii.

---------------------------------------------------------------------------------------------------

\begin{center}

Підп. до друку 14.01.2003. Формат 60х90/16. Папір офс. Офс. друк.\\

Ум. друк. арк. 1,39. Ум. фарбо-відб. 1,39. Обл.-вид. арк. 1,0. \\

Тираж 100 пр. Зам. 15. Безкоштовно.

\end{center}

---------------------------------------------------------------------------------------------------

\begin{center}

Віддруковано в Інституті математики НАН України \\

01601 Київ-4, вул.Терещенківська, 3

\end{center}