НАЦІОНАЛЬНА АКАДЕМІЯ НАУК УКРАЇНИ ІНСТИТУТ МАТЕМАТИКИ

ДАВИДЕНКО Андрій Анатолійович

УДК 517.9

ДОСЛІДЖЕННЯ ПОВЕДІНКИ РОЗВ'ЯЗКІВ

НЕЛІНІЙНИХ СИСТЕМ ДИФЕРЕНЦІАЛЬНИХ

РІВНЯНЬ В ОКОЛІ ЇХ ІНВАРІАНТНИХ

ТОРОЇДАЛЬНИХ МНОГОВИДІВ

01.01.02 - диференціальні рівняння

АВТОРЕФЕРАТ

дисертації на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук

Київ 2003

Дисертацією є рукопис

Робота виконана в Інституті математики НАН України

Науковий керівник:

доктор фізико-математичних

наук, професор,

академік НАН України

САМОЙЛЕНКО Анатолій Михайлович,

Інститут математики НАН України,

директор інституту Офіційні опоненти:

доктор фізико-математичних наук, професор

ПЕТРИШИН Роман Іванович,

Чернівецький національний університет імені Юрія Федьковича,

декан математичного факультету;

доктор фізико-математичних наук, професор ТЕПЛІНСЬКИЙ Юрій Володимирович,

Кам'янець-Подільський державний педагогічний університет, завідувач кафедри геометрії і методики викладання математики

Провідна установа:

Київський національний університет імені Тараса Шевченка

Захист відбудеться " 11 " березня 2003р. о 15 годині

на засіданні спеціалізованої вченої ради Д26.206.02 Інституту матема-тики НАН України за адресою: 01601, м. Київ, вул. Терещенківська, 3.

З дисертацією можна ознайомитись у бібліотеці Інституту математики НАН України за адресою: 01601, м. Київ, вул. Терещенківська, 3.

Автореферат розісланий " 10 " лютого 2003р.

Вчений секретар

спеціалізованої вченої ради Пелюх Г.П.

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальність теми. Вивчення інваріантних многовидів систем ди-ференціальних рівнянь є однією з найважливіших проблем теорії звичай-них диференціальних рівнянь і диференціальних рівнянь в частинних по-хідних. Особливу увагу дослідників привертають задачі про знаходжен-ня періодичних роз'язків систем диференціальних рівнянь та досліджен-ня їх інваріантних множин, гомеоморфних m-вимірному тору. До таких задач призводить, наприклад, математична ідеалізація процесів і явищ, що досліджуються в небесній механіці, коли від фізичної системи пере-ходять до системи диференціальних рівнянь з "коливними" розв'язками. Цим проблемам присвячені роботи багатьох вітчизняних та закордонних вчених. Так, перші дослідження інваріантних торів проведено в відомих роботах А. Пуанкаре та А. Данжуа. При обгрунтуванні асимптотич-них методів нелінійної механіки М.М. Боголюбовим і М.М. Криловим були отримані перші глибокі результати в теорії інваріантних тороїдаль-них многовидів систем нелінійної механіки. Пізніше запропоновані ними ідеї знайшли всебічний розвиток в роботах Ю.О. Митропольського. Ці ідеї також: вплинули на характер подальших розробок теорії збурення тороїдальних многовидів і призвели до глибоких результатів С. Ділі-берто, Дж. Хейла, Я. Курцвейля, В. Кайнера, І. Купки. Слід також: згадати дослідження К.О. Фрідріхса періодичних розв'язків додатно-симетричних систем лінійних рівнянь в частинних похідних, а також — швидко-збіжний метод ітерацій Ю. Мозера у застосуванні до нелінійних узагальнень додатно-симетричних систем, що дав нові результати щодо збереження інваріантного тору при збуреннях, а своє продовження ця теорія знайшла в роботах Р. Сакера та Г. Селла.

Цій темі присвячено цикл досліджень А.М. Самойленка, який ввів поняття функції Гріна (Гріна-Самойленка) задачі про інваріантні тори лінійного розширення динамічної системи на торі. Поняття функції Гріна-Самойленка виявилось надзвичайно плідним і дало новий імпульс до розвитку різних аспектів теорії збурення, стійкості інваріантних торів систем нелінійної механіки, та призвело до нових результатів у цій тео-рії. Подальшому розвитку цих результатів із застосуванням знакозмін-них функцій Ляпунова присвячені роботи В.Л. Кулика, І.У. Бронштейна, В.І. Ткаченка, В.А. Малькова, С.І. Трофимчука та інших.

Метод А.М. Самойленка вивчення поведінки розв'язків автономних систем диференціальних рівнянь в околі їх інваріантних тороїдальних многовидів, що призводить до дослідження лінійних розширень динаміч-них систем на торі, вимагає виконання ряду умов. Тому у дисертаційній

роботі продовжено вивчення вищезгаданої проблеми для випадку, коли ці умови не виконуються.

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами.

Дослідження проводились у відділі диференціальних рівнянь та теорії коливань Інституту математики НАН України згідно з загальним планом науково-дослідних робіт "Методи аналізу диференціальних, імпульсних та еволюційних рівнянь", номер держреєстрації 0198U001998, та "Теорія диференціальних рівнянь і нелінійних коливань", номер держреєстрації 0101U000526.

Мета і задачі дослідження. Метою даної роботи є встановлення умов доповнюваності періодичного репера до періодичного базису, що застосовуються до введення локальних координат в малому околі інва-ріантного тороїдального многовиду нелінійної системи диференціальних рівнянь, а також дослідження властивостей систем диференціальних рів-нянь, що отримуються в цих локальних координатах, та їх лінеаризацій — лінійних розширень динамічних систем на торі.

Наукова новизна одержаних результатів. Основні результати, які визначають наукову новизну і виносяться на захист, наступні.

•

•

•

•

Практичне значення одержаних результатів. Дисертаційна ро-бота має теоретичний характер. Отримані в роботі результати можуть бути застосовані для розв'язування багатьох прикладних задач небесної механіки, фізики, вони можуть бути використані також в теорії опти-

•

•

Одержані результати і методика доведень мають, в основному, теоре-тичне значення. Вони можуть, також, застосовуватись для розв'язуван-ня багатьох прикладних задач небесної механіки і фізики, використову-ватись в теорії оптимального керування і автоматичного регулювання.

СПИСОК ОПУБЛІКОВАНИХ ПРАЦЬ ЗДОБУВАЧА ЗА ТЕМОЮ ДИСЕРТАЦІЇ

1.

2.

- Vol.4, Num.4. - P. 458-470.

3. Давиденко А.А. Про один метод введення локальних координат в
околі інваріантної тороїдальної множини// Укр. мат. журн. -2002.

- 54, №10. - С. 1336-1347.

4.

5.

6.

17

АНОТАЦІЯ

Давиденко А.А. Дослідження поведінки розв'язків неліній-них систем диференціальних рівнянь в околі їх інваріантних тороїдальних многовидів. — Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-матема-тичних наук за спеціальністю 01.01.02 — диференціальні рівняння. Інс-титут математики НАН України, Київ, 2002.

Дослідження, проведене у дисертаційній роботі, присвячено вивченню поведінки розв'язків нелінійних систем диференціальних рівнянь в околі деякого інваріантного тороїдального многовиду цієї системи.

Знайдено нові умови доповнення системи періодичних вектор-функцій до періодичного базису. Отримані результати застосовано для введення локальних координат в малому околі інваріантного тороїдального мно-говиду автономної системи диференціальних рівнянь. Досліджено ряд важливих властивостей отриманих систем диференціальних рівнянь в локальних координатах та їх лінеаризацій — лінійних розширень дина-мічних систем на торі.

Хоча одержані результати і методика доведень мають, в основному, теоретичне значення, вони можуть бути використані, також, в теорії оп-тимального керування і автоматичного регулювання, при розв'язуванні багатьох прикладних задач небесної механіки і фізики.

Ключові слова: автономна система диференціальних рівнянь, ін-варіантний тороїдальний многовид, лінійне розширення динамічної сис-теми на торі, функція Гріна-Самойленка, періодичний базис.

ABSTRACT

Davydenko A.A. Investigation of the Behaviour of the Solutions of the Nonlinear System of Differential Equations in the Neigh-bourhood of Their Invariant Toroidal Manifolds. — Manuscript.

Thesis for the scientific degree of the candidate of physical and mathemati-cal sciences by speciality 01.01.02 — differential equations. Institute of Mathematics of NAS of Ukraine, Kyiv, 2002.

The thesis is devoted to the study of the solutions of nonlinear systems of the differential equations in a neighbourhood of some invariant toroidal manifolds of this system.

There have been considered the problem of complementability of the system of periodic vector-functions to periodic basis, where the new conditions of complementability are to be found. The obtained results have been applied for introduction of local coordinates in a small neighbourhood of invariant toroidal manifold of an autonomous system of the differential equations.

18

There have been found some useful properties of obtained systems of the differential equations in local coordinates and their linearizations — linear expansions of the dynamic systems on a torus.

The obtained results and technique of proofs are mainly of theoretical value. They can also applied in the theory of optimum control and automatic regulation, to the solution of many applied tasks in celestial mechanics and physics.

Key words: autonomous systems of the differential equations, invariant toroidal manifolds, linear expansions of the dynamic systems on a torus, Green-Samoilenko's function, periodic basis.

АННОТАЦИЯ

Давиденко А.А. Исследование поведения решений нелиней-ных систем дифференциальных уравнений в окрестности их ин-вариантных тороидальных многообразий. — Рукопись.

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-матема-тических наук по специальности 01.01.02 — дифференциальные уравне-ния. Институт математики НАН Украины, Киев, 2002.

Исследование, проведенное в диссертационной работе, посвящено из-учению поведения решений нелинейных систем дифференциальных урав-нений в окрестности инвариантного тороидального многообразия этой системы. Изучение инвариантных многообразий систем дифференциаль-ных уравнений есть одной из важнейших проблем теории обыкновенных дифференциальных уравнений и дифференциальных уравнений в част-ных производных. Особое внимание привлекают задачи о нахождении периодических решений систем дифференциальных уравнений и иссле-дование их инвариантных тороидальных многообразий. Первые глу-бокие результаты в теории инвариантных тороидальных многообразий принадлежат всемирно известным украинским ученым Н.Н. Боголюбову, Н.М. Крылову, Ю.А. Митропольскому, а также зарубежным — С. Ди-либерто, Д. Хейлу, Я. Курцвейлю, В. Кайнеру, И. Купке.

Данная работа есть продолжением целого цикла исследований акаде-мика НАН Украины A.M. Самойленко и его учеников и последователей, начало которому положено еще в конце 60-х годов прошлого столетия.

Рассмотрен метод A.M. Самойленко исследования решений автоном-ных систем дифференциальных уравнений в окрестности их инвариант-ных тороидальных многообразий с помощью введения локальных коор-динат в этой окрестности, который приводит к исследованию линейных расширений динамических систем на торе.

С целью расширения границ применение данного метода и его уни-

19

версальности рассматривается задача о дополнении линейно независи-мой системы периодических вектор-функций к периодическому базису. А именно, найдены новые достаточные условия дополняемости перио-дической вектор-функции к периодическому базису, которые оказались и необходимыми в простейшем случае, когда существуют недополняемые векторы, — трехмерной вектор-функции от двух 2тг-периодических пе-ременных. Установлена минимальная размерность пространства, к пе-риодическому базису которого можно дополнить систему периодических векторов, которая не дополняется к периодическому базису пространства размерности векторов системы. Построены простейшие примеры такого дополнения.

Полученные результаты в построение периодических базисов приме-нены для введения локальных координат в малой окрестности инвариан-тного тороидального многообразия автономной системы дифференци-альных уравнений. Найдено ряд важных свойств полученных систем дифференциальных уравнений в локальных координатах и их линеари-зации — линейных расширений динамических систем на торе. Показано, что такие системы имеют инвариантную гиперплоскость. Исследование решений и инвариантных торов, которые лежат в этой гиперплоскости, функций Грина-Самойленка линейных расширений динамических сис-тем на торе разрешает характеризовать поведение решений исходной ав-тономной системы дифференциальных уравнений.

Полученные результаты и методика доказательств имеют, в основном, теоретическое значение, могут применяться при решении других задач теории инвариантных тороидальных многообразий динамических систем и их расширений на торе. Могут, также, использоваться в теории опти-мального управления и автоматического регулирования, для решения многих прикладных задач небесной механики и физики.

Ключевые слова: автономная система дифференциальных урав-нений, инвариантное тороидальное многообразие, линейное расширение динамической системы на торе, функция Грина-Самойленко, периодичес-кий базис.

Підп. до друку 03.02.2003. Формат 60x90/16. Папір офс. Офс. друк. Ум. друк. арк. 1,16. Ум. фарбо-відб. 1,16. Обл.-вид. арк. 1,0.

Тираж 100 пр. Зам. 34 . Безкоштовно

Віддруковано в Інституті математики НАН України 01601 Київ-4, МСП, вул. Терещенківська, З

20