НАЦІОНАЛЬНА АКАДЕМІЯ НАУК УКРАЇНИ

ФІЗИКО-ТЕХНІЧНИЙ ІНСТИТУТ НИЗЬКИХ ТЕМПЕРАТУР

ім. Б.І.ВЄРКІНА

ДИМАРСЬКИЙ ЯКІВ МИХАЙЛОВИЧ

УДК 517.988

ВЛАСНІ ВЕКТОРИ КВАЗІЛІНІЙНИХ ОПЕРАТОРІВ

01.01.01 – математичний аналіз

Автореферат

дисертації на здобуття наукового ступеня

доктора фізико-математичних наук

Харків – 2003

Дисертацією є рукопис.

Робота виконана в Інституті математики НАН України (м. Київ) та Луганському державному педагогічному університеті імені Тараса Шевченка.

Науковий консультант: доктор фізико-математичних наук

БОНДАР Анатолій Васильович,

Інститут Математики НАН України

(м. Київ), провідний науковий співробітник.

Офіційні опоненти: доктор фізико-математичних наук, професор

БОРИСОВИЧ Юрій Григорович, Воронезький державний університет;

доктор фізико-математичних наук, професор

ЗАБРЕЙКО Петро Петрович, Білоруський державний університет, м. Мінськ;

доктор фізико-математичних наук,професор

РОФЕ-БЕКЕТОВ Федір Семенович,Фізико-технічний інститут низьких температур ім. Б.І. Вєркіна НАН України, м. Харків, провідний науковий співробітник

Провідна установа: Інститут прикладної математики та механіки НАН України (м. Донецьк), відділ нелінійного аналізу.

Захист відбудеться "09" січня 2003 року о 15-00 годині на засіданні спеціалізованої вченої ради Д 64.175.01 в Фізико-технічному інституті ім. Б.І.Вєркіна НАН України за адресою: 61103, Харків, пр. Леніна, 47.

З дисертацією можна ознайомитись в бібліотеці Фізико-технічного інституту ім. Б.І.Вєркіна НАН України (61103, Харків, пр. Леніна, 47).

Автореферат розісланий "05" грудня 2002 р.

Вчений секретар

спеціалізованої вченої ради Горькавий В.О.

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальність теми. Проблема власних векторів нелінійних операторів посідає важливе місце в теорії дійсних нелінійних операторних рівнянь із параметрами. На відміну від лінійної, для нелінійної теорії можливі різні постановки задачі. Особливо розвинена теорія малих власних векторів, основи якої закладено в роботах Ейлера, Пуанкаре, Ляпунова, Шмідта. В теорії нормованих власних векторів і віток власних векторів основні результати одержано для спеціальних класів операторних рівнянь. Перш за все, це теореми про рівняння з потенціальними і монотонними операторами. Інформаційне навантаження цих результатів посилюється для операторів, які додатково є інваріантними відносно певної групи перетворень (Л.А.Люстерник, М.О.Красносельський, І.В.Скрипник, С.І.Похожаєв, В.О.Трєногін, Б.В.Логінов, S.Fucik, J.Schwartz, F.Browder, R.Palais, P.L.Lions, E.N.Danser). Щодо нормованих власних векторів нелінійних операторів загального вигляду, тут основополагаючими є класичні теореми існування власного вектора на парновимірній поверхні та теорема Біркгофа-Келлога-Роте. Окремо виділимо результати про існування двох нормованих власних векторів, одержані Ю.Г.Борисовичем і О.В.Кунаковською, які спирались на теорію крайових індексів В.І.Арнольда.

З нашої точки зору, недостатньо дослідженою залишається глобальна структура множини нормованих власних векторів нелінійних операторів загального вигляду. Усі результати, одержані в цьому напрямку, мають у своїй основі статтю Л.А.Люстерника „Про одну крайову задачу в теорії нелінійних диференціальних рівнянь” (1941 р.). Нелінійні оператори, що розглядаються в ній і статтях інших авторів (J.H.Wolkowisky, H.Berestycky, M.J.Crendall, P.H.Rabinowitz, Я.М.Димарський, П.Є.Жидков) мають істотну особливість: з кожним із них пов’язана певна асоційована сім’я самоспряжених лінійних операторів із виключно простим спектром. Як наслідок, структура множини нормованих власних векторів таких нелінійних операторів виявляється аналогічною структурі множини власних векторів лінійного оператора із простим спектром. Ми вважаємо, що вимога простоти спектра лінійних операторів із асоційованої сім’ї істотно обмежує клас операторів. По-перше, всі відомі оператори із простим спектром можна звести до операторів із осциляційними ядрами М.Г.Крейна. По-друге, як з’ясовано В.І.Арнольдом, у типовій сім’ї самоспряжених операторів підмноговид операторів із кратними власними значеннями має ковимірність два. Тому виключення з розгляду операторів із кратним спектром призводить до суттєвого обмеження.

Усе це призвело нас до необхідності розгляду таких нелінійних операторів загального вигляду, що задовольняють єдиній істотній вимозі: можливості природним чином пов’язати кожний з них з асоційованою сім’єю лінійних самоспряжених операторів із спектром будь-якої кратності. Такими є оператори F(u)=A(u)u, що мають квазілінійне зображення, або квазілі-нійні оператори. Квазілінійне зображення це неперервне відображення A, яке зіставляє вектору u лінійний оператор. Поняття квазілінійного зображен-ня для цілком неперервного оператора впроваджено О.І.Перовим і досліджено П.П.Забрейком та А.І.Поволоцьким. У теорії власних векторів квазіліній-не зображення вперше використане автором, а пізніше його вжив Ch.Cosner. В дисертації як квазілінійне зображення застосовано цілком неперервне відображення, що діє в простір лінійних самоспряжених компактних операторів.

Беручи до уваги вищесказане, актуальною, з нашої точки зору, є проблема опису глобальної структури множини нормованих власних векторів квазілінійних операторів.

Мета дослідження: опис структури множини нормованих власних векторів дійсних нелінійних операторів, що мають компактне квазілінійне самоспряжене цілком неперервне зображення.

Методи дослідження. Специфічний – квазілінійний – вид операторів надав можливість використати новий метод у дослідженні проблеми нормованих власних векторів. Він полягає в тому, що в розгляд вводяться два многовиди: многовид пар (лінійний оператор, власний вектор) і графік квазілінійного зображення. Перший многовид не залежить від нелінійної проблеми, яка розглядається, він містить інформацію про власні вектори усіх лінійних операторів, що належать асоційованій сім’ї. Другий многовид – це геометрична інтерпретація досліджуваної проблеми. Розв’язність проблеми повністю описується в термінах перетинів означених многовидів.

В дисертації використовуються методи нелінійного функціонального аналізу, методи гомотопічної топології, методи теорії лінійних і нелінійних диференціальних та інтегро-диференціальних операторів.

Виходячи із мети дослідження і зазначеного основного методу її досягнення, сформульовані основні задачі дослідження:–

опис топологічних властивостей підмноговидів, що містять лінійні самоспряжені оператори, у яких певні власні значення мають певну кратність;–

опис топологічних властивостей многовидів пар (лінійний оператор, власний вектор), що породжені просторами та сім’ями лінійних самоспряжених операторів;–

поширення на квазілінійні оператори понять номера і кратності власного значення й нормованого власного вектора, що йому відповідає; виділення серед квазілінійних зображень класу типових, що породжують квазілінійні оператори із простими власними значеннями; –

гомотопічна класифікація типових квазілінійних зображень і, одночасно, опис структури множини нормованих власних векторів, що відповідають операторам із цими зображеннями;–

застосування в теорії нелінійних операторних рівнянь, а також у теорії квазілінійних крайових задач та інтегро-диференціальних рівнянь одержаної гомотопічної класифікації для дослідження малих власних векторів (функцій), нормованих власних векторів і віток власних векторів.

Наукова новизна одержаних результатів.

1. У випадку простору лінійних самоспряжених компактних операторів описано гладку структуру і взаємне розташування підмноговидів операторів, у яких власні значення певного номера мають певну кратність. У разі простору скінченновимірних самоспряжених операторів додатково в термінах многовидів прапорів описано гомотопічну структуру означених підмноговидів. Доведено ортогональність підмноговидів самоспряжених операторів Гільберта-Шмідта, що мають різні спектральні властивості. Ці результати уточнюють результати В.І.Арнольда та посилюють результати D.Fujiwara & M.Tanikawa & Sh.Yukita.

2. У термінах власних функцій сформульовано достатні умови наявності гладкої структури у підмножин, що містять лінійні симетричні диференціальні оператори, у яких власні значення певного номера мають певну кратність („гіпотеза трансверсальності” В.І.Арнольда). Для сім’ї операторів, де параметром є потенціал, доведено істинність гіпотези у випадку двократного виродження одного власного значення. Ці результати доповнюють роботи D.Lupo & A.M.Micheletti.

3. Описано многовид пар (самоспряжений компактний оператор; відповідний нормований власний вектор). Одержані результати доповнюють та уточнюють результати K.Uhlenbeck про многовид трійок (симетричний диференціальний оператор, власне значення, власна функція).

4. Описано сім’ю лінійних симетричних диференціальних операторів другого порядку на колі, де параметром є потенціал. Дано нове доведення наявності гладкої структури і гомотопічної тривіальності підмноговиду тих операторів, певне власне значення яких двократне. Ці результати доповнюють результати В.О.Марченка і H.P.McKean & E.Trubowitz з оберненої задачі Штурма-Ліувіля. Одержано комплексну форму умови (F.Neuman) виродження власного значення крайової задачі на колі. За її допомогою вперше описано топологічну структуру многовиду власних функцій сім’ї операторів Штурма-Ліувіля на колі.

5. Дано означення компактного квазілінійного самоспряженого цілком неперервного зображення нелінійного оператора. Для операторів, що мають таке зображення, введені поняття номера і кратності власного значення і власного вектора, що йому відповідає. Виділено класи типових квазілінійних зображень. У термінах перетину многовидів пар і графіка квазілінійного зображення дано геометричну інтерпретацію власного вектора, його номера і кратності. Запропоновано новий топологічний метод дослідження проблеми нормованих власних векторів нелінійних операторів, який доповнює відомі методи дослідження нормованих власних векторів (застосування ступеня Лере-Шаудера, крайового індексу, продовження за параметром, глобального проектування).

6. Одержано нові теореми про збіжність проекційного методу в проблемі власних векторів нелінійних операторів. Ці теореми доповнюють результати М.О.Красносельського і Г.М.Вайніко.

7. Описано властивості операторів, що мають компактне квазілінійне самоспряжене цілком неперервне зображення. Наведено характеристичний опис тих операторів, що припускають компактне квазілінійне самоспряжене посилено неперервне зображення. Побудовано компактне квазілінійне самоспряжене цілком неперервне зображення для цілком неперервних операторів, що мають у нулі квадратичну нелінійність. Ці результати доповнюють результати О.І.Перова, П.П.Забрейка і А.І.Поволоцького.

8. Обґрунтовано існування та досліджено властивості орієнтованого індексу перетину двох нескінченновимірних многовидів – многовиду пар і графіка квазілінійного зображення. Цей результат доповнює роботи Ю.Г.Борисовича, Ю.І.Сопронова, М.Н.Крейн і О.В.Кунаковської.

9. Запропоновано нову ефективну методику дослідження типових біфуркацій у випадку двократного виродження власного значення лінеарізованої задачі. Одержано гомотопічну класифікацію означених біфуркацій з провідними нелінійностями та доведено нові теореми про точки біфуркації для операторних рівнянь і крайових задач. Ці результати уточнюють та доповнюють результати М.О.Красносельського, П.П.Забрейко, В.М.Красносельського, J.A.Ise.

10. Доведено нові теореми про існування зліченої множини нормованих власних функцій для квазілінійних інтегро-диференціальних операторів і диференціальних операторів із перетвореним аргументом. Для квазілінійних диференціальних і інтегро-диференціальних операторів доведено нові теореми про апріорні оцінки власних значень і нормованих власних векторів. Для абстрактних квазілінійних операторів, квазілінійних крайових задач і інтегро-диференціальних операторів доведено нові теореми про існування віток власних векторів (функцій). Ці результати доповнюють та посилюють результати М.О.Красносельського, P.H.Rabinowitz, Ch.Cosner.

Практичне значення одержаних результатів. Результати дисертації носять теоретичний характер. Вони можуть бути використані для дослідження лінійних і нелінійних задач математичної фізики.

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Робота виконана згідно планам наукових досліджень відділу топологічних методів аналізу Інституту математики НАН України за темами „Топологічні та метричні характеристики неперервних, диференційовних та голоморфних відображень ” (держ. регістр. №01.900014762), „Диференціальні, топологічні й аналітичні властивості відображень і многовидів” (держ. регістр. №0198U001994), а також згідно планам наукових досліджень відділу комплексного аналізу та теорії потенціалу Інституту математики НАН України за темою „Дослідження з комплексного аналізу, диференціальних та топологічних властивостей відображень і множин” (держ. регістр. №0101U000700). Напрям досліджень, обраний у дисертації, передбачено планами наукової роботи кафедри алгебри та математичного аналізу Луганського державного педагогічного університету імені Тараса Шевченка.

Особистий внесок здобувача. Усі результати роботи одержані автором самостійно.

Апробація результатів дисертації. Результати доповідались на IX міжнародній конференції з топології та її застосувань (Київ, жовтень 1992 р.), Міжнародних конференціях ім. І.Г.Петровського (Москва, квітень 1996 р., травень 2001 р.), Міжнародній конференції ім. М.Г.Крейна (Одеса, серпень 1997 р.), Міжнародних конференціях "Нелінійні диференціальні рівняння в частинних похідних" (Київ, серпень 1997 р., Львів, серпень 1999 р., Київ, серпень 2001 р.), Міжнародній конференції ім. С.Банаха (Львів, травень 2002 р.), Міжнародній конференції "Обернені проблеми та нелінійні рівняння" (Харків, серпень 2002 р.), Воронезьких математичних школах (січень 1994 р., квітень 1995 р., січень 1997 р.), на семінарі з топологічних методів аналізу при Інституті математики НАН України (керівник – д.ф.-м.н., пров.н.с. А.В.Бондар), загальноміському семінарі з нелінійного аналізу при Інституті математики НАН України (керівник – академік НАН України І.В.Скрипник), семінарі з нелінійних диференціальних рівнянь при Інституті прикладної математики і механіки НАН України (керівник – академік НАН України І.В.Скрипник), семінарі з топології та її застосувань при Інституті математики НАН України (керівник – д.ф.-м.н., професор, зав.від. В.В.Шарко), семінарі з диференціальних рівнянь при Фізико-технічному інституті низьких температур ім. Б.І.Вєркіна (керівник – член-кор. НАН України Є.Я.Хруслов), семінарі з теорії особливостей при механіко-математичному факультеті МДУ ім. М.В.Ломоносова (керівник – акад. РАН В.І.Арнольд) та на інших конференціях і семінарах.

Публікацію основних результатів здійснено в статтях [1–24] та тезах доповідей.

Обсяг і структура роботи. Дисертація складається зі вступу, переліку умовних позначень, п'яти розділів, висновків та списку використаних джерел. У списку використаних джерел 165 найменувань. Загальний обсяг дисертації – 286 сторінок.

ЗМІСТ РОБОТИ

У вступі обґрунтовано актуальність проблеми, визначено мету, методи, задачі, висвітлено наукову новизну, теоретичне та практичне значення одержаних результатів; подано відомості про апробацію результатів дослідження.

У першому розділі досліджено підмноговиди лінійних самоспряжених операторів із фіксованими кратностями певних власних значень. Основна ціль – довести наявність гладкої структури у підмножин, що містять оператори із заздалегідь фіксованими спектральними властивостями. Виявляється, що ковимірність досліджуваних підмноговидів не залежить ні від номерів відсліджуваних власних значень, ні від виду простору. Цей факт підтверджує гіпотезу трансверсальності В.І.Арнольда. Він важливий для нас із тієї причини, що ми на нього спираємося при описі властивостей многовидів пар (оператор, власний вектор).

У першому підрозділі досліджено простір n-вимірних само-спряжених операторів. Нехай – підмножина операторів, у яких k-е власне значення m-кратне, а решта власних значень може мати довільну кратність. За допомогою розшарування над многовидом прапорів доведено:

Теорема 1.1. Для всіх припустимих k і m є підмноговидом ковимірності (1/2)(m-1)(m+2).

У другому підрозділі досліджено простір самоспряжених компактних операторів і простір самоспряжених операторів Гілберта-Шмідта, що діють у дійсному сепарабельному гільбертовому просторі H із скалярним добутком. Розглянуто, для певності, випадок додатних власних значень, що упорядковані за спаданням.

Теорема 1.2. Для будь-яких натуральних k і m підмножина є підмноговидом ковимірності (1/2)(m-1)(m+2). У точці дотичний простір визначається умовами

=. (1)

У третьому підрозділі, спираючись на попередні результати, описано сім’ї еліптичних симетричних операторів другого порядку, що визначені на обмеженій області із межею..

У четвертому підрозділі досліджено сім’ю операторів Штурма-Ліувіля на колі, тобто сім’ю задач

-y''+ay=y, (2)

функціональним параметром якої є потенціал

Теорема 1.9. Для будь-якого скінченого набору µ підмножина є підмноговидом ковимірності 2q.

Другий розділ присвячено опису многовидів пар (оператор, нормований власний вектор). Многовид пар має моделлю той простір, яким він породжений. Для випадку абстрактних операторів зазначені многовиди мають додатково структуру векторного розшарування над сферою нормованих власних векторів. Многовиди пар, що є породженими сім’ями диференціальних операторів, мають нетривіальну гомотопічну структуру. Многовид пар є інструментом дослідження нормованих власних векторів квазілінійних операторів. Проте він викликає самостійний інтерес.

У першому підрозділі досліджено підмножину пар.

Теорема 2.1. Підмножина пар є орієнтованим підмноговидом із модельним простором.

Наступне означення грає принципіальну роль у дослідженні власних векторів квазілінійних задач.

Означення 2.1. Припишемо кожній точці і її елементам пару натуральних чисел – номер і кратність того власного значення, якому відповідає власний вектор. Точку назвемо простою, якщо m=1, у противному разі – кратною.

У другому підрозділі розглянуто многовиди пар для просторів і . Одержані результати здебільшого аналогічні результатам першого підрозділу. Як і в скінченновимірному випадку: 1) точці на многовиді приписано пару – номер і кратність, 2) визначено страти , їх спеціальні об’єднання, межу і об’єднання меж.

Третій підрозділ присвячено дослідженню многовиду пар (потенціал, нормована власна функція), що породжений сім’єю симетричних еліптичних операторів. На многовиді пар введено стратифікацію за номерами і кратностями власних значень, як це зроблено для випадку абстрактних операторів.

У четвертому підрозділі описано многовид пар, що породжені сім’єю періодичних задач (2). Позначимо: множина всіх нормованих власних функцій сім’ї (2), яким відповідають прості власні значення ; – множина всіх нормованих власних функцій сім’ї (2), яким відповідають двократні власні значення.

Теорема 2.21. Многовид гомотопічно тривіальний. Підмножина є підмноговидом ковимірності один, що визначається будь-якою із двох умов: , де f функціонал Ф.Неймана

Далі описано властивості многовидів потенціалів.

Теорема 2.24. Підмножина – гомотопічно тривіальний підмноговид ковимірності два.

У третьому розділі введено основні об’єкти дослідження – оператори, що мають квазілінійне зображення, та нормовані власні вектори цих операторів. Власним векторам приписано номер і кратність та дано геометричну інтерпретацію цим поняттям. Потім визначено типові квазілінійні зображення і, доводячи їх превалентність, обґрунтовано природність дослідження саме таких зображень. Також введено поняття гомотопічної еквівалентності типових квазілінійних зображень. Класи, що при цьому виникають, є основним об’єктом цього дослідження. Крім того, описано класи нелінійних операторів, що припускають квазілінійне зображення з потрібними властивостями.

У першому підрозділі розглянуто скінченновимірну квазілінійну задачу про нормовані власні вектори і власні значення ?, що має вигляд:

. (3)

Неперервне відображення ми називаємо квазілінійним самоспряженим зображенням (або, просто, „квазілінійним зображенням”) нелінійного відображення . Якщо – нормований розв’язок, то є власним значенням асоційованої лінійної задачі

, (4)

. (5)

Серед власних векторів асоційованої лінійної задачі (4), (5), що відповідають власному значенню , присутній вектор . Нехай власне значення лінійної задачі (4) має кратність . У цьому разі ми присвоюємо власному значенню номерів: від -го до +–1-го включно.

Означення 3.1. Нормований розв’язок задачі (3) (і його елементи) назвемо простим (простими) або m-кратним (кратними), якщо таким є як власне значення задачі (4), (5).

Геометричною інтерпретацією квазілінійного зображення є відображення-графік. Роль многовиду і відображення-грфіка в дослідженні нормованих власних векторів пояснює очевидна, але принципіальна у пропонованій конструкції

Теорема 3.1. Вектор u є нормованим власним вектором задачі (3) тоді й тільки тоді, коли . Номери й кратність нормованого власного вектора визначаються індексами (k,m) того страта, якому належить точка.

Таким чином, дослідження задачі (3) зведено до дослідження перетину двох многовидів: „стаціонарного” многовиду пар і графіка квазілінійного зображення. Перший многовид не залежить від даної нелінійної задачі, другий визначається саме досліджуваною задачею.

Означення 3.2. Квазілінійне зображення і відповідну задачу (3) назвемо k-типовими, якщо задача (3) не має кратних розв’язків із номером k.

Теорема 3.2. Підмножина k-типових (підмножина -типових) квазілінійних зображень є відкритою і скрізь щільною.

Введемо поняття гомотопічної еквівалентності двох типових квазілінійних зображень.

Означення 3.3. Два k-типових квазілінійних зображення називаються k-гомотопними, якщо існує неперервна гомотопія, для якої: 1) для кожного зображення є k-типовим 2) .

Оскільки -гомотопія є відношенням еквівалентності, вона розбиває всі -типові зображення на класи, що не перетинаються.

У другому підрозділі доведено можливість зображення на кулі нелінійних скінченновимірних операторів у квазілінійному виді та описано всі такі зображення.

У третьому підрозділі введено в розгляд основний об’єкт дослідження: нелінійну задачу на нормовані власні вектори з оператором, що має квазілінійне компактне самоспряжене цілком неперервне зображення. Показано, що такий нелінійний оператор є цілком неперервним. Подальше дослідження здійснено за тією ж схемою, що й у скінченновимірному випадку: введено поняття розв’язку та дано його геометричну інтерпретацію, введено поняття типового квазілінійного зображення. Проте нескінченновимірність досліджуваної задачі вимагає обґрунтування додаткових фактів: 1) наявність апріорних оцінок розв’язків із фіксованими номерами, 2) існування скінченновимірної апроксимації розв’язків. За їх допомогою ми доводимо превалентність типових зображень та вводимо поняття гомотопності останніх. Існування скінченновимірних апроксимацій має й самостійну цінність як ефективний інструмент одержання наближених розв’язків досліджуваних операторних рівнянь. Досліджено квазілінійну задачу на нормовані власні вектори і власні значення виду

(6)

Про оператор , ми скажемо в цьому разі, що він має квазілінійне компактне самоспряжене -додатне цілком неперервне зображення.

Як і в скінченновимірному випадку, для задачі (6): 1) нормованому розв’язку і його елементам присвоєно номери і кратність, 2) введено поняття відображення-графік квазілінійного зображення, 3) введено поняття -типового квазілійного зображення. Без змін на нескінченновимірний випадок переноситься твердження теореми 3.1.

Далі описано спеціальну скінченновимірну апроксимацію цілком неперервного зображення, що надає можливість перенести на скінченновимірний випадок результати п.3.1. Нехай вибран довільний ортонормований базис; ортопроектор на підпростір, що породжений першими базисними векторами. Квазілінійне зображення, для якого виконується тотожність

, (7)

будемо називати образ--вимірним. Підпростір і сферу назвемо інваріантними для зображення . Ми позначаємо через образ--вимірну апроксимацію даного зображення. Доведено таке твердження.

Скрізь щільну підмножину утворюють образ-скінченновимірні зображення виду (7). При будь-якому виборі ортонормованого базису має місце збіжність -апроксимацій при .

Теорема про апріорні оцінки і щільність образ-скінченновимірних зображень надає можливість довести превалентність типових зображень:

Відношення гомотопності для типових цілком неперервних зображень визначається за тим самим принципом, що й і в скінченновимірному випадку.

Другим додатком щільністі образ-скінченновимірних квазілінійних зображень є нові теореми про збіжність проекційного методу в проблемі власних векторів нелінійних операторів.

У четвертому підрозділі описано оператори, що припускають компактне самоспряжене цілком неперервне квазілінійне зображення.

Четвертий розділ, що містить головні результати дослідження, присвячено гомотопічній класифікації типових квазілінійних зображень і, одночасно, типових задач про нормовані власні вектори. У ролі повного гомотопічного інваріанта класифікації використовуються спеціальні набори індексів перетину. Спочатку досліджено скінченновимірний випадок. Уже в ньому містяться всі складності, що пов’язані з описом гомотопічних класів. Нескінченновимірний випадок досліджено за допомогою скінченновимірної апроксимації. Тут доводиться вводити орієнтований індекс перетину двох нескінченновимірних многовидів як стабілізований індекс скінченновимірних апроксимацій та доводити, що він має всі звичайні властивості індексу.

Перший підрозділ присвячено гомотопічній класифікації скінченновимірних зображень. Цю проблему розв’язано, інтерпретуючи гомотопічний клас як елемент гомотопічної групи розшарованого простору . Щоб описати всі такі елементи, використано властивості гомотопічних груп розшарованих просторів та зведено задачу до дослідження гомотопічної групи шару. Остання піддається повному опису. При цьому з’ясовується, що між елементами гомотопічної групи і певним набором індексів перетину графіка квазілінійного зображення із стратами простих точок многовиду пар має місце природна бієкція. Таким чином, проблема класифікації повністю розв’язується в термінах зазначених індексів.

Теорема 4.11. Нехай натуральне число . Тоді справедливі твердження. 1) Два -типових зображення -гомотопні тоді й тільки тоді, коли в них збігаються набори індексів. 2) Множина класів -гомотопних квазілінійних зображень ізоморфна групі . Ізоморфізм зіставляє -типовому квазілінійному зображенню набір індексів. 3) Постійному -типовому зображенню відповідає набір індексів. 4) Якщо індекс перетину відрізняється від нуля, то задача (3), що породжена k-типовим зображенням, має не менше, ніж один простий нормований розв’язок із номером . 5) У просторі для будь-якого k-типового зображення існує наскільки завгодно близька (-гомотопна йому) апроксимація таким зображенням, що задача (3), яка породжена зображенням, має не менше, ніж простих нормованих розв’язків із номером .

Якщо = 1 ( = n), то два -типових зображення -гомотопні тоді й тільки тоді, коли в них збігаються індекси. Множина класів 1-гомотопних (n-гомотопних) квазілінійних зображень ізоморфна групі ; ізоморфізм зіставляє 1-типовому (n-типовому) квазілінійному зображенню індекс; постійному 1-типовому (n-типовому) зображенню відповідає індекс. Пункти 4 і 5 для випадків залишаються без змін.

У другому підрозділі обґрунтовано існування та описано властивості індексу перетину двох нескінченновимірних многовидів: многовиду і графіка квазілінійного зображення. В роботі визначено індекс перетину в конкретній ситуації, користуючись образ-скінченновимірними апроксимаціями. Ця обставина надає можливість перейти від образ-скінченновимірної апроксимації до скінченновимірної апроксимації, звузивши область визначення квазілінійного зображення із нескінчен-новимірної сфери до інваріантної сфери, а потім до-вести стабілізацію по індексу перетину, що відслідковується. Після того, як індекс визначено, доведено основні теореми про гомотопічні класи типових квазілінійних цілком неперервних зображень і розв’язність задачі (6).

Показано, що:

1) У кожному гомотопічному класі -типових зображень є образ-скінченновимірні зображення. 2) Якщо два образ-скінченновимірні k-типові зображення -гомотопні, то вони образ-скінченновимірно -гомотопні.

На наступному кроці ми переходимо від образ-скінченновимірних зображень до скінченновимірних:

Два образ-n-вимірних зображення образ-n-вимірно -гомотопні тоді й тільки тоді, коли -гомотопні їх звуження на інваріантну сферу.

Таким чином, дослідження класів -гомотопних цілком неперервних квазілінійних зображень зводиться до дослідження аналогічних класів скінченновимірних зображень. Одержаний результат дозволяє дати означення індексу перетину многовиду пар і відображення-графіка. На першому етапі розглянуто образ-скінченновимірне -типове зображення вигляду (7).

Означення 4.1. Назвемо -індексом перетину образ-скінченновимірного зображення (і відповідної задачі (6)) індекс скінченновимірного зображення.

Зважаючи на доведені вище твердження, введений індекс не залежить ні від вибору орієнтації у співмножниках добутку, ні від вибору інваріантної сфери. Потім дано основне означення.

Означення 4.2. Назвемо -індексом перетину -типового зображення (що відповідає задачі (6)) -індекс перетину будь-якого образ-скінченновимірного зображення, що k-гомотопне даному зображенню.

Властивості введених індексів і гомотопічну класифікацію типових квазілінійних зображень описано у теоремах. 4.13. і 4.14, які аналогічні теоремам 4.12 і 4.13 і описують можливе багатство розв’язків і незалежність розв’язків із різними номерами один від одного.

П’ятий розділ присвячено застосуванням результатів, одержаних у попередніх розділах, до деяких задач у теорії власних векторів квазілінійних операторів. Досліджуються такі задачі: 1) про біфуркації в околі двократно виродженого характеристичного числа, 2) про існування нормованих власних векторів, 3) про вітки власних векторів.

У першому підрозділі досліджено біфуркації для випадку двократного виродження. Позначимо: – деякий окіл нуля, S– сфера малого радіуса. Нехай, як і в попередніх розділах, . Досліджено квазілінійну задачу

(8)

на власні вектори і характеристичні числа. Для розв’язку задачі (8) номер і кратність визначено за описаною в розділі 3 процедурою. Нехай – параметризація одиничного кола . Визначено відображення

(9)

кола в коло, що параметризоване кутом. Нехай – орієнтований ступінь цього відображення.

Теорема 5.1. Припустимо, що існують малі постійні, для яких виконуються такі нерівності:

(10)

(11)

Нехай для деякого . Тоді справедливі такі твердження. 1) Усі розв’язки задачі (8) в околі точки є простими. 2) Ступінь не залежить від вибору параметра. 3) Якщо – розв’язок задачі (8), для якого , то існує така постійна, що . 4) Число є точкою біфуркації для рівняння (8), причому для кожного задача (8) має не менше ніж один розв’язок із номером і один розв’язок із номером + 1.

Для задачі (8), враховуючи відсутність гладкості, звичайний метод одержання рівнянь розвітлення Ляпунова-Шмідта не придатний. Ми одержуємо ці рівняння за допомогою спеціальної гомотопії, яка стягує малі розв’язки в околі точки біфуркації в інваріантне коло. Значення оцінок (10) і (11) у тому, щоб забезпечити типовість задачі при її гомотопіюванні. Для одержуваної двовимірної задачі невідомий індекс перетину знаходиться в термінах відображення (9) за допомогою ступеня цього відображення

Наприкінці першого підрозділу розглянуто біфуркації для важливого випадку, коли квазілінійне зображення із (8) має вигляд

, (12)

де квазілінійне зображення – однорідний порядку i оператор.

Другий підрозділ присвячено одномірним квазілінійностям, тобто таким квазілінійним зображенням, образ яких у просторі є одномірним. Показано, що задачі з такими квазілінійностями аналогічні лінійним.

Нехай еліптичний симетричний оператор, із коефіцієнтами. Розглянуто квазілінійну проблему

, (13)

на власне значення і нормовану власну функцію. Як приклад квазілінійного зображення розглянуто оператор

. (14)

Його образ являє собою однопараметричну сім’ю потенціалів. Для розв’язку задачі (13), (14) номер і кратність введено звичайним засобом.

У третьому підрозділі доведено теореми про існування нормованих власних функцій для періодичних задач із квазілінійними зображеннями виду (13). А саме, ми цікавимося розв’язками періодичної квазілінійної задачі

, (15)

Задачі виду (15) виникають у квантовій механіці при використанні методу Хартрі-Фока. При доведенні теореми 5.7 ми користуємося теоремою В.А.Гейлера і М.М.Сенаторова про простоту розв’язків лінійної періодичної задачі (2) із опуклим потенціалом.

Також розглянуто періодичну задачу із перетвореним аргументом

.

Останній, четвертий, підрозділ присвячено дослідженню віток розв’язків, перш за все, тих, що виходять із точки біфуркації.

Проведені дослідження дають можливість сформулювати такі висновки.

1. Квазілінійні оператори, тобто оператори, що припускають компактне самоспряжене цілком неперервне квазілінійне зображення, утворюють широкий клас нелінійних операторів загального виду.

2. На власні значення і відповідні їм власні вектори квазілінійних операторів поширюються поняття номера і кратності, що узагальнюють поняття номера і кратності власного значення лінійного самоспряженого компактного оператора.

3. Превалентну множину в просторі зазначених квазілінійних зображень утворюють типові зображення, що породжують квазілінійні оператори із простими власними значеннями.

4. Основні результати дисертації стосуються гомотопічної класифікації типових квазілінійних зображень і зв’язку цієї класифікації із розв’язністю проблеми нормованих власних векторів квазілінійних операторів.

5. Для розв’язання основної задачі запропоновано новий топологічний метод дослідження проблеми власних векторів квазілінійних операторів.

6. Реалізація методу спирається на топологічні й аналітичні властивості певних многовидів, що породжені простором лінійних самоспряжених операторів і даним квазілінійним зображенням. Квазілінійна задача на власні вектори повністю описується в термінах цих многовидів.

7. Властивості зазначених многовидів викликають самостійний інтерес.

8. Запропонований метод і описана гомотопічна класифікація дають можливість одержувати нові теореми про існування та властивості власних векторів абстрактних квазілінійних операторів і власних функцій квазілінійних інтегральних, диференціальних та інтегро-диференціальних операторів.

Роботи автора за темою дисертації:

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

12.

13.

14.

15.

16.

17.

18.

19.

20.

21.

22.

23.

24.

Тези доповідей

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

Димарський Я.М. Власні вектори квазілінійних операторів. – Рукопис. Дисертація на здобуття наукового ступеня доктора фізико-математичних наук за спеціальністю 01.01.01 – математичний аналіз. – Фізико-технічний інститут ім. Б.І.Вєркіна НАН України, Харків, 2003.

Дисертацію присвячено опису структури множини нормованих власних векторів квазілінійних операторів. Дано опис топологічних властивостей многовиду самоспряжених операторів, у яких певні власні значення мають певну кратність, і многовиду пар (оператор, власний вектор). Введено поняття компактного квазілінійного самосопряженого цілком неперервного зображення квазілінійних операторів. На квазілінійні оператори поширено поняття номера і кратності власного значення та виділено клас типових зображень, що породжують оператори із простими власними значеннями. В термінах індексу перетину многовидів дано гомотопічну класифікацію типових зображень і опис структури множини нормованих власних векторів, що відповідають операторам із цих класів. Дано застосування одержаної класифікації для дослідження малих власних векторів (функцій), нормованих власних векторів і віток власних векторів.

Ключові слова: квазілінійне зображення, власний вектор, многовид самоспряжених операторів, многовид пар (оператор, власний вектор), індекс перетину, гомотопічна класифікація.

Дымарский Я.М. Собственные векторы квазилинейных операторов. – Рукопись. Диссертация на соискание ученой степени доктора физико-математических наук по специальности 01.01.01 – математический анализ. – Физико-технический институт им. Б.И.Веркина НАН Украины, Харьков, 2003.

Диссертация посвящена описанию структуры множества нормированных собственных векторов квазилинейных операторов. Теория нормированных собственных векторов нелинейных операторов в основном развита для потенциальных и монотонных операторов, а также для операторов, инвариантных относительно некоторой группы преобразований (Л.А.Люстерник, М.А.Красносельский, И.В.Скрыпник, С.И.Похожаев, J.Schwartz, F.Browder, P.L.Lions, E.N.Danser). Pезультатов о нормированных собственных векторах операторов общего вида известно немного. Прежде всего, это классические теоремы о собственном векторе на четномерной поверхности и теорема Биркгофа-Келлога-Роте. Отметим работы Ю.Г.Борисовича и О.В.Кунаковской, в которых получены достаточные условия сушествования второго нормированного собственного вектора. Особое место занимает статья Л.А.Люстерника (1941 г.) и примыкающие к ней работы (J.H.Wolkowisky, H.Berestycky, M.J.Crendall, P.H.Rabinowtz, Я.М.Дымарский, П.Е.Жидков), в которых описана глобальная структура множества нормированных собственных векторов исследуемых операторов. Нелинейные операторы, рассматриваемые во всех этих работах, обладают существенной особенностью: с каждым из них связано некоторое (ассоциированное) семейство самосопряженных линейных операторов с исключительно простым спектром. В настоящей работе решена проблема описания глобальной структуры множества нормированных собственных векторов квазилинейных операторов, имеющих компактное квазилинейное самосопряженное вполне непрерывное представление. (Понятие квазилинейного представления введено А.И.Перовым, результаты которого были развиты П.П.Забрейко и А.И.Поволоцким). Таким операторам сопоставляется ассоциированное семейство линейных самосопряженных операторов, обладающих конечнократным (но не обязательно простым) спектром. Квазилинейный вид исследуемых операторов позволяет свести проблему нормированных собственных векторов к проблеме пересечения двух банаховых подмногообразий: подмногообразия пар (самосопряженный оператор, собственный вектор) и графика квазилинейного представления.

Получены следующие основные результаты.

1. Описана гладкая структура и взаимное расположение подмногообразий компактных самосопряженных операторов, у которых собственные значения определенного номера имеют определенную кратность. Cформулированы достаточные условия истинности гипотезы В.И.Арнольда о наличии гладкой структуры у подмножеств, содержащих симметрические дифференциальные операторы, собственные значения которых имеют определенную кратность.

2. Описано многообразие пар (самосопряженный компактный оператор, нормированный собственный вектор). Впервые описаны гладкая и гомотопическая структуры многообразия собственных функций семейства периодических операторов Штурма-Лиувилля.

3. Дано определение квазилинейного