Національний університет “Львівська політехніка”

ГЕРА Богдан Васильович

УДК [550.36+551.511]:536.2:51-7

МАТЕМАТИЧНІ МОДЕЛІ ТА МЕТОДИ ОПТИМІЗАЦІЙНОГО

ВІДТВОРЕННЯ ТЕПЛОФІЗИЧНИХ ПАРАМЕТРІВ ЗЕМНОЇ ПОВЕРХНІ

01.05.02. – математичне моделювання та обчислювальні методи

Автореферат

дисертації на здобуття наукового ступеня

доктора технічних наук

Львів – 2003

Дисертацією є рукопис

Робота виконана в Дніпропетровському національному університеті залізничного транспорту імені академіка В. Лазаряна та Центрі математичного моделювання Інституту прикладних проблем механіки і математики ім. Я.С. Підстригача НАН України

Науковий консультант: доктор фізико-математичних наук,
Чапля Євген Ярославович,
Центр математичного моделювання Інституту прикладних проблем механіки і математики ім. Я.С. Підстригача НАН України, м. Львів
директор, зав. відділом математичного моделювання нерівноважних процесів.

Офіційні опоненти: доктор технічних наук, професор

Дурняк Богдан Васильович,
Українська академія друкарства, м. Львів, ректор, зав. кафедри автоматизації та комп’ютерних технологій;

доктор технічних наук

Лимарченко Олег Степанович,
Міжнародний математичний центр НАН України, м. Київ,
зав. відділом інформаційних технологій;

доктор технічних наук, професор

Яцимірський Михайло Миколайович,
Центр математичного моделювання Інституту прикладних проблем механіки і математики ім. Я.С. Підстригача НАН України, м. Львів,
заст. директора з наукової роботи.

Провідна установа: Інститут проблем моделювання в енергетиці
імені Г.Є. Пухова НАН України, м. Київ.

Захист відбудеться “ 20 ” лютого 2004 р. о 14 00 год. на засіданні спеціалізованої вченої ради Д .052.05 при Національному університеті “Львівська політехніка” (79013, Львів-13, вул. С.Бандери, ).

З дисертацією можна ознайомитись у бібліотеці Національного університету "Львівська політехніка" (79013, Львів, вул. Професорська, ).

Автореферат розіслано “ 10 ” січня 2004 р.

Вчений секретар спеціалізованої вченої ради,

доктор технічних наук, професор Д.В.Федасюк

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальність теми. Для вирішення ряду практичних і наукових задач моніторингу та прогнозування процесів в об’єктах навколишнього середовища, які виникають в зв’язку з проблемами раціонального природокористування та охорони довкілля, необхідно з достатньою точністю визначати теплофізичні характеристики та метеорологічні поля. До них, переважно, відносять теплову інерцію та коефіцієнти енерго- і вологообміну земних покровів, поля температури, вологості, швидкості вітру.

Для їх знаходження використовуються різні технічні засоби і методи збору даних, зокрема, контактні та дистанційні, а також відповідні фізико-математичні моделі, які описують процеси енергомасопереносу в об’єктах земної поверхні. Проте, на основі існуючих моделей та отримуваних з різних джерел даних, які часто виявляються неповними, не завжди вдається поставити коректні задачі математичної фізики про визначення теплофізичних характеристик і метеорологічних полів. У зв’язку з цим, розв’язання проблеми повноти даних, оптимального їх використання для знаходження температури і вологості земної поверхні, швидкості вітру в приземному шарі атмосфери, а також побудови відповідних фізико-математичних моделей та встановлення способів і особливостей регуляризації задач, які формулюються у цій предметної області, є важливою і актуальною науковою проблемою.

При вирішенні згаданих проблем, окремою і важливою задачею є знаходження характеристик і структурних параметрів об’єктів природного середовища. Це, зокрема, пов’язано з тим, що такі фізичні характеристики земної поверхні як альбедо, коефіцієнти теплового випромінювання, турбулентного теплообміну, випаровування вологи з поверхні, відображають стан приповерхневого шару грунту і земних покровів. Їх безпосередній зв'язок з параметрами раціонального природокористування обумовлює доцільність дослідження обернених задач визначення цих характеристик за спостережуваними величинами радіаційних потоків, температури і вологості на поверхні і у приземному шарі атмосфери.

Аналіз та інтерпретація температурних аномалій земної поверхні, крім врахування умов її енергетичного балансу з атмосферою та неоднорідностей теплофізичних характеристик поверхневого шару, вимагає ще й оцінки вкладу внутрішніх джерел тепла зумовлених наявністю трубопроводів, термальних вод, природних вуглеводневих реакцій. У цьому випадку, моделюючи теплофізичні процеси, приходимо до розв’язання задач на визначення температурного поля, а також знаходження розподілу та потужності підповерхневих джерел тепла.

Прогнозування та моніторинг поширення забруднень в атмосфері, оцінка вітроенергетичного потенціалу території, перш за все, потребують визначення поля швидкості вітру в приземному шарі атмосфери. При цьому дані про швидкість вітру та інші метеорологічні параметри відомі тільки в дискретних точках поверхні Землі метеостанціях, а територія досліджуваного регіону, як правило, належить до різних ландшафтних зон і є фізично неоднорідною.

Зважаючи на це, розв’язання проблем, пов’язаних з розробкою нових методів фізико-математичної інтерполяції метеорологічних полів з використанням реальних даних, є практично важливим для раціонального природокористування та охорони довкілля.

Таким чином, науковий напрямок пов’язаний з побудовою нових матема-тичних моделей та методів фізико-математичної інтерполяції (відтворення) полів температури і вологості земної поверхні, швидкості вітру у приземному шарі атмосфери, а також визначення теплофізичних характеристик приповерхневого шару землі, який розвивається в даній роботі, є актуальним напрямком математичного моделювання.

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Роботи за вказаною тематикою проводилися відповідно до планових досліджень Інституту прикладних проблем меха-ніки і математики ім. Я.С. Підстригача НАН України та Центру математичного моделювання цього інституту. Автор був одним з виконавців науково-дослідних тем: у 1984-1987 роках “Розро-бити математичне і програмне забезпечення типової регіональної системи обробки аерокосмічної інформації в інтересах народного господарства, виробити рекомендації з її створення і подаль-шому введенню в дію”, № держреєстрації 01.84.085510; у 1988-1991 роках “Розробити матема-тичні моделі, методи розв'язування прямих і обернених задач дистанційного зондування стосовно тіл простішої геометричної конфігурації”, яка виконувалась у відповідності з програмою розвитку в Україні фундаментальних і прикладних досліджень в галузі математичних наук (проект № ) і завдання 0.74.02 "Розробити і впровадити аерокосмічні методи вивчення природних ресурсів для розв'язання народногосподарських завдань" в рамках науково-технічної програми 047 "Вивчення природних ресурсів" № держреєстрації 01880054489, а також керівником тем: у 1991-1993 роках “Розробити математичну модель теплофізичних полів земної поверхні і випробувати її на експе-риментальному полігоні”, яка виконувалась згідно завдання 2.1.2. установам АН України з розробки і створення систем і засобів автоматизації наукових досліджень спеціального застосуван-ня та розробки уніфікованих програмно-технічних комплексів загального призначення № держ-реєстрації 0193U041579; у 1993-1995 роках “Розвиток методики відновлення функції швидкості вітру в приповерхневих шарах атмосфери та створення карти розподілу потужності вітрових потоків для районів західного регіону України”, тема ДКНТ № держреєстрації 0197U003338.

Мета і задачі дисертаційної роботи. Мета роботи полягає у розробці математичних моделей і методів відтворення (фізико-математичної інтерполяції) полів температури і вологості земної поверхні, а також швидкості вітру в атмосфері на основі функціонально-оптимізаційного підходу за реальними – неповними та різномасштабними даними, що отримані з різних джерел і в різні моменти часу; дослідженню отриманих моделей шляхом розв’язування некоректних задач з неповними початковими чи граничними умовами, обернених задач на визначення характеристик середовища та зовнішньої дії на розглядувані об’єкти.

Для досягнення поставленої мети, потрібно розв’язати наступні задачі:

1. Сформулювати критерії регуляризації некоректних задач математичної фізики – відновлення полів температури і вологості за неповними даними;

2. На основі сформульованих критеріїв розробити метод оптимізаційного відтворення температури тіла, а також взаємозв'язаних полів температури і вологості з використанням контактних і дистанційних даних;

3. У рамках цього методу побудувати розрахункову схему аналітично-чисельного визначен-ня профілю температури у неоднорідному тілі за його тепловим випромінюванням, а також зна-ходження розподілу температури (вологості) в двовимірній області за неповних умов на її границі;

4. Розробити математичну модель для визначення температурного поля і коефіцієнтів конвективного теплообміну, вологообміну, теплопровідності земної поверхні, за даними контактних і дистанційних вимірювань температури і теплового випромінювання;

5. Сформулювати і запропонувати способи розв’язання задачі визначення температурного поля і характеристик підповерхневих джерел тепла (потужність, місце розташування) за теплообміном і розподілом температури на поверхні землі;

6. Побудувати фізико-математичну модель відтворення швидкості приземного вітру та визначення вітроенергетичного потенціалу території за даними метеопостів у точках нерегулярної сітки з врахуванням неоднорідностей земної поверхні;

7. Застосувати запропонований підхід для формулювання і розв’язання задач оптимізації нестаціонарної поведінки розподілених систем.

Об’єктом дослідження є поля температури і вологості земної поверхні; швидкість призем-ного вітру; теплофізичні характеристики і параметри приповерхневого шару землі та атмосфери.

Предметом дослідження є математичні моделі енергомасопереносу в приповерхневих шарах землі та приземному шарі атмосфери; критерії та методи фізико-математичної інтерполяції полів температури і вологості земної поверхні, швидкості приземного вітру за реальних різномасштабних і різночасових даних контактних вимірювань та дистанційного зондування.

Методи дослідження. Для розв’язування задач знаходження метеорологічних полів і теплофізичних параметрів земної поверхні використовувалися методи математичної фізики, математичного та комп’ютерного моделювання, чисельні методи, методи варіаційного числення та оптимального керування.

Наукова новизна одержаних результатів. У роботі розроблено новий напрямок математичного моделювання – фізико-математичної інтерполяції метеорологічних полів і знаходження теплофізичних параметрів земної поверхні на основі функціонально-оптимізаційного підходу та розв’язання відповідних обернених задач математичної фізики за різночасовими, різномасштабними і неповними експериментальними даними.

У процесі розробки вказаного напрямку отримані наступні нові наукові результати:

1. Уперше на основі виразу для виробництва ентропії в термодинамічній системі запропоновано фізично обгрунтований критерій регуляризації задач відтворення фізичних полів дифузійної природи (температури і вологості) за неповних даних.

2. На основі цього критерію побудовані нові математичні моделі та чисельно-аналітичні методи наближеної фізико-математичної інтерполяції полів температури і вологості.

3. Запропонований метод оптимізаційного відтворення дозволяє розв’язати принципово нову задачу – інтерполяції полів температури і вологості на фізично неоднорідній земній поверхні. При цьому для однорідних областей суттєво зменшується (3-4 рази) кількість вимірювань у порівнянні з відомими методами інтерполяції. Якісно новим при цьому є одночасне знаходження невідомих теплофізичних параметрів.

4. Сформульовано і доведено твердження про незалежність даних вимірювань температури і вологості, яке дозволяє уникнути їх надлишковості і зменшити кількість необхідних експериментів.

5. Запропоновано метод та алгоритм визначення фундаментальних тепло-фізичних параметрів земної поверхні, таких як коефіцієнти тепло- і вологообміну з атмосферою, теплового випромінювання, теплової інерції, отримання яких іншими способами є практично неможливим.

6. Вдосконалена теорія відтворення параметрів підповерхневих розподілених джерел тепла дає можливість ефективно моделювати їх незначною кількістю поодиноких точкових джерел тепла.

7. Модель відтворення швидкості вітру у приземному шарі атмосфери над неоднорідною підстилаючою поверхнею застосовна до територій, які включають різні ландшафтні зони без встановлення додаткових метеопостів для збору даних у кожній з них.

Практичне значення одержаних результатів.

1. Отримані в роботі результати дозволяють встановити вимоги до виду і точності вхідних даних для визначення характеристик земної поверхні та приповерхневих шарів земних утворень, що в існуючій практиці інформаційного забезпечення моніторингу природного середовища та досліджень природних об'єктів є важливим під час планування комплексних вимірювальних експериментів. Це дозволяє зменшити витратність робіт у цій галузі і забезпечити їх ефективність при прийнятті господарських рішень.

2. Практичне значення роботи полягає також у тому, що оцінюються і визначаються параметри і характеристики земної поверхні, знаходження яких традиційними методами є проблематичним, або і неможливим. Зокрема, теплової інерції поверхневих шарів, яка визначає взаємозалежність змін температури в атмосфері і грунті. Крім цього, знайдені в роботі коефіцієнти енергомасообміну границі розділу атмосфера-грунт, дозволили кількісно оцінити тепловий і вологісний баланс території, що особливо важливо при плануванні агротехнічних заходів.

3. Запропонована в роботі методика визначення поля швидкості вітру у приземному шарі атмосфери забезпечила його відтворення на основі даних тільки з діючих метеостанцій і картографічної інформації без встановлення додаткових метеопостів у різних ландшафтних зонах. Крім цього, на її основі можливе прогнозування поширення забруднень в атмосфері, а також обчислення вітроенергетичного потенціалу на різних територіях для потреб вітроенергетики. Розрахункова схема і програма відтворення швидкості приземного вітру може бути використана, як математичне забезпечення геоінформаційної системи.

4. Запропонована в роботі модель оцінки характеристик потужності під-поверхневих розподілених джерел тепла дає можливість визначати їхні параметри, зокрема, джерел термальних вод, теплотрас, тощо. В практиці геолого-розвідувальних робіт це дозволяє значно зменшити експериментальні польові роботи.

Наукові положення і висновки дисертації успішно використовувались для оптимального планування експериментальних польових робіт, ефективного натурного моделювання та інтерпретації результатів геотермальних спостережень на Карпатському сейсмопрогностичному полігоні НАН України; визначення швидкості і напрямку вітру у приземному шарі атмосфери на висотах можливого поширення атмосферних забруднень від діючих теплоелектростанцій, а також оцінки вітроенергетичного потенціалу території Львівської області, що підтверджено актами про використання результатів наукових досліджень.

Особистий внесок здобувача. Усі теоретичні та практичні результати, що виносяться на захист, отримані автором самостійно. У роботах, опублікованих у співавторстві, здобувачеві належать: постановки та розв’язки задач оптимального навантаження і нагріву розподілених систем з метою прямування їх динамічної поведінки до відповідного квазістатичного наближення [1], постановка і методика розв’язування обернених коефіцієнтних задач та задач визначення параметрів внутрішніх джерел тепла для утворень земної поверхні [10-13,16], функціональні критерії для регуляризації задач відтворення фізичних полів та варіаційні схеми їх розв'язування [28,29,33], постановка та схема розв’язування задачі оптимального в часі нагріву пластини при обмеженнях на величину і швидкість нагріву, а також температурні напруження [20].

Апробація результатів дисертації. Результати роботи доповідались на 1-й Всеукраїнській міжнародній конференції "Обробка сигналів і зображень та розпізнавання образів” (Київ, 1992); Міжнародній математичній конференції присвяченій пам'яті Ганса Гана (Чернівці, 1994); 4-й Міжнародній конференції з механіки неоднорідних структур (Тернопіль, 1995); XXXV симпозіумі "Моделювання в механіці" (Глівіце, 1996); Міжнародній науковій конференції "Сучасні проблеми механіки і математики", присвяченій 70-річчю Я.С.Підстригача (Львів, 1998); Міжнародній науко-во-технічній конференції "Технічна метеорологія Карпат, TMК'98" (Львів, 1998); Х Міжнародній конференції "Проблеми механіки залізничного транспорту. Динаміка, надійність і безпека рухомо-го складу" (Дніпропетровськ, 2000); 3-й Всесоюзній конференції "Змішані задачі механіки деформівного тіла" (Харків, 1985); Всесоюзній науковій конференції "Автоматизовані системи обробки зображень (АСОИЗ-86)" (Львів, 1986); 2-й Всесоюзній конференції з механіки неодно-рідних структур (Львів, 1987); Всесоюзній конференції "Дистанційне зондування агрогрунтових і водних ресурсів" (Барнаул, 1990); 1-му Всесоюзному семінарі "Прикладні проблеми моделювання і автоматизації" (Славсько, 1991); Всеукраїнській науковій конференції "Нові підходи до розв'язання диференціальних рівнянь" (Київ, 1994); Всеукраїнській науковій конференції "Розроб-ка та застосування математичних методів в науково-технічних дослідженнях" (Львів, 1995); 2-й Українській конференції з автоматизованого керування "Автоматика-95" (Львів, 1995); Регіональ-ній науково-технічній конференції "Моделювання і автоматизація складних технічних систем" (Калуга, 1990); Регіональній науково-технічній конференції "Автоматизація досліджень, проекту-вання і випробування складних технічних систем і проблеми математичного моделювання" (Калуга, 1991); симпозіумі "Питання оптимізації обчислень" (Київ, 1993); науковій конференції "Математика і механіка у Львівському університеті" (Львів, 1999); науковій конференції "Матема-тичні проблеми механіки неоднорідних структур" (Луцьк, 2000).

У повному обсязі дисертаційна робота доповідалась і обговорювалась на семінарах Центру математичного моделювання Інституту прикладних проблем механіки і математики імені Я. С. Підстригача НАН України, кафедри прикладної математики Дніпропетровського національ-ного університету залізничного транспорту імені академіка В. Лазаряна, кафедри диференціальних рівнянь Львівського національного університету імені Івана Франка, відділу технічної діагностики Інституту проблем моделювання в енергетиці імені Г. Є. Пухова НАН України.

Публікації. За темою дисертації опубліковано 45 наукових праць. У тому числі: 1 монографія, 22 статті у фахових наукових журналах та збірниках наукових праць, з них 15 самостійних, 22 публікації у препринтах, збірниках матеріалів і праць конференцій.

Структура роботи. Дисертаційна робота складається з вступу, семи розділів, висновків, списку використаних джерел та додатків. Загальний обсяг дисертації становить 290 сторінок машинописного тексту, 61 рисунок і 9 таблиць.

ОСНОВНИЙ ЗМІСТ РОБОТИ

У вступі обгрунтована актуальність теми дисертації, сформульовані мета, задачі та наукова новизна досліджень, висвітлена практична цінність отриманих результатів. Наведено відомості про апробацію роботи і публікації.

У першому розділі за літературними джерелами проаналізовано стан проблеми.

У цьому ж розділі проведено огляд моделей, котрі описують нестаціонарні системи і процеси різної фізичної природи, зокрема, у дрібнодисперсних і багатокомпонентних тілах. Записано використовувані в подальшому закони збереження та кінетичні співвідношення, а також визначені функціональні критерії, на основі яких поставлено екстремальні задачі відтворення теплофізичних полів.

Для процесів дифузійної природи, в якості критерію вибору з множини допустимих функцій температури та вологості пропонується використовувати мінімізацію середнього в часі і по об’єму тіла значення виробництва ентропії

, (1)

де виробництво ентропії в нерівноважній термодинамічній системі, локальний стан якої задається такими термодинамічними параметрами, як температура і концентрація вологи. Тут термодинамічні потоки тепла і вологи, відповідні термодинамічні сили – пропорційні до градієнтів температури і хімічного потенціалу вологи.

Приймаючи потоки тепла і вологи функціями термодинамічних сил, тобто і , для ізотропних середовищ в лінійному наближенні за термодинамічними силами критерій вибору, що випливає з (1), записуємо як

, (2)

де  T – абсолютна температура,    вологість;  Kq, Km, K   коефіцієнти тепло і вологопровідності, що визначаються через кінетичні коефіцієнти і коефіцієнти рівнянь стану, набла оператор. Мінімізація (2) проводиться на множині допустимих функцій, яка визначається умовами розглядуваної задачі. Це дозволяє отримувати такі функції шуканих полів, які є найближчі до стаціонарних у рамках накладених на них обмежень.

Використовуючи функціональні критерії вигляду (2) та середньоквадратичного відхилення шуканих функцій від заданих на поверхні тіла, сформульовані екстремальні задачі відновлення полів температури і вологості тіла, в тому числі, у поєднанні їх знаходження з визначенням невідомих характеристик середовища чи внутрішніх джерел тепла.

Подібний підхід запропоновано до відтворення функції швидкості вітру в приземному шарі атмосфери, з тією відмінністю, що використовуються співвідношення фізики атмосфери. Крім того, враховується, що швидкість вітру є векторною функцією і фізичні співвідношення, як наприклад рівняння нерозривності, записуються через її компоненти. Це забезпечує їх фізичне узгодження, так само як узгодження полів температури і вологості в тілі для задачі тепловологопровідності.

Вибір балансових співвідношень у вигляді рівнянь в часткових похідних, яким задовольняють функції фізичних полів, критеріїв для їх відновлення, у тому числі критерію у формі мінімуму виробництва ентропії, дозволяють перейти до постановок задач відтворення фізичних полів та характеристик середовища, які приймають вигляд задач оптимізації. Це означає, що для кожної задачі можна записати

-

-

-

Такий вигляд мають усі задачі, що розглядаються в наступних розділах, незважаючи на дещо відмінні об’єкти досліджень. Зокрема, задачі теплопровідності та тепловологопровідності для утворень земної поверхні за неповних початкових чи граничних даних, визначення температурного поля в утвореннях земної поверхні з невідомими теплофізичними характеристиками чи за наявності невідомих внутрішніх джерел тепла і вологи, отримання територіального розподілу швидкості вітру в приземному шарі атмосфери регіону.

Оскільки задачі відтворення нестаціонарних фізичних полів формулюються як екстремальні і за методами розв’язування споріднені із задачами оптимізації нестаціонарних процесів, розроблений підхід до їх дослідження, при встановленні відповідних критеріїв, застосовний до оптимізації нагріву та навантаження розподілених систем.

Зважаючи на все вище сказане, розробка нових математичних моделей, постановка на цій основі задач та розробка методів відтворення фізичних полів, у тому числі при невідомих харак-теристиках об’єктів дослідження, із використанням даних, які можуть бути як достатніми, так і неповними чи надлишковими, належать до актуальних проблем математичного моделювання.

Другий розділ присвячений методу відтворення полів за неповних даних. Тут розглядаються задачі визначення температурного поля, а також взаємозв'язаних полів температури та вологості в тілі при неповних початкових даних та додаткових умовах на шукані функції у наступні моменти часу.

Досліджена задача теплопровідності для тіла зі змінними теплофізичними характерис-тиками, на границі якого задано умови теплообміну, а початкові умови частково або зовсім невідомі. Крім того, додатково задаються інтегральні співвідношення вигляду

, j , ,…,J), (3)

де  T(x,t)  шукана функція температури,  (x,t)  відомі функції від координат і часу,    задані константи (апаратні функції), .

За таких умов існує деяка множина функцій, які задовольняють рівняння теплопровідності і умови для температури. Виходячи з лінійності усіх співвідношень задачі множина допустимих функцій температури – опукла.

Коректна постановка задачі відтворення функції температури вимагає формулювання критерію вибору з цієї множини єдиної функції  T(x,t)При цьому доцільно враховувати природні властивості температурного поля, функція якого має найменшу градієнтність за існуючої зміни характеристик середовища, форми тіла, зовнішньої дії. Приймаючи, що невідомий початковий розподіл встановлюється в результаті проходження процесу теплопровідності і є повільно змінюваною функцією, в якості критерію вибору шуканої функції з множини допустимих можна прийняти мінімум функціоналу, що випливає з (1).

Задачу на умовний його екстремум за допомогою множників Лагранжа зведено до екстремальної задачі на безумовний екстремум, яку розв’язано методом варіаційного числення. З необхідної умови екстремуму функціоналу рівності нулю його першої похідної отримано співвідношення, котрі пов’язують уведені множники Лагранжа і функцію температури. Ці співвідношення замикають задачу, оскільки, замість відсутньої початкової умови отримано іншу умову у початковий момент часу для множника Лагранжа спряженого до функції температури.

Таким чином, функція T(x,t) визначається, як розв'язок взаємозв'язаної системи рівнянь в часткових похідних з часовими умовами для шуканих функцій у початковий і кінцевий моменти часу.

Показано, що коректність отриманої задачі вимагає додаткової вимоги на задані апаратні функцій   j(x,t)яку називатимемо умовою незалежності вимірювань. Ця умова формулюється як вимога лінійної незалежності складових функції Лагранжа при  t 0, кожна з яких визначається через одну з апаратних функцій  j(x,t) .

Для врахування можливих похибок у правих частинах умов (3) пропонується їх узагальнити таким чином, щоб вони виконувалися не як строгі рівності, а як включення значення інтегралу в деякий інтервал – окіл  j . Розміри інтервалу визначаються величиною можливої похибки вимірювань. З такими умовами у вигляді нерівностей задача розв’язується методом, котрий базується на використанні принципу максимуму.

Показано, що при розв’язуванні варіаційної задачі для кусково-неоднорідного тіла, на границі розділу отримуються умови Вейєрштраса-Ердмана, які відповідають умовам неперервності потоків тепла в тілі. Відновлювана функція температури на цих границях, як і при розв’язуванні звичайної задачі теплопровідності не гладка, а її похідна змінюється стрибко-подібно, що відповідає природним властивостям температурного поля в неоднорідному тілі.

Запропоновану методику застосовано для відновлення функції температури за даними, що відповідають її вимірюванням в окремих точках і в дискретні моменти часу. Для цього допускаєть-ся, що апаратні функції можуть бути узагальненими, тобто представлятися через дельта-функції. Для цього випадку отримано і досліджено аналітичний розв’язок системи рівнянь та співвідно-шень, котрі визначаються з необхідної умови задачі варіаційного числення. Показано відповідність часткового випадку розглядуваної задачі відтворення температурного поля та задачі інтерполяції початкового розподілу температури за її значеннями в окремих точках тіла для подальшого її використання в задачі теплопровідності.

Результати отримані для задачі теплопровідності поширені на задачу тепловолого-провідності. У слабонасиченому вологою пористому тілі рівняння взаємозв’язаної тепловолого-провідності зі сталими коефіцієнтами можуть бути записані у вигляді  

Cq  Kq 2T 2,   Cm  2T Km 2. (4)

Тут  T(x,t), (x,t) – функції температури та вологості;  Cq, Cm  – коефіцієнти тепло- та вологоємності;  Kq, Km, K  коефіцієнти тепло- і вологопровідності,  2  – оператор Лапласа.

Система рівнянь розглядається при відомих граничних умовах, а початкові умови задано лише на функцію T(x,t). Функція (x,t) при  t   невідома, але є додаткові дані стосовно шуканих функцій  T(x,t), (x,t) , котрі можуть бути подані у вигляді інтегральних умов на зразок умов (3).

Додаткові дані за відсутності початкових умов на функцію  (x,t)  не забезпечують єдиності розв’язку задачі тепловологопровідності і існує деяка опукла множина пар функцій  {T, } , які задовольняють усім співвідношенням задачі.

Для визначення прийнятного, з огляду на властивості шуканих функцій, розв’язку {T, } A , будемо виходити з умови мінімуму функціонала, означеного на множині допустимих функцій. Оскільки поля температури та вологості мають дифузійну природу і прямують до усталення в однорідному середовищі з найменшою можливою градієнтністю, то з допустимої множини функцій шукатимемо такі, що мінімізують значення функціонала (2).

Розв'язуючи варіаційну задачу мінімізації (2), отримано замкнуту систему рівнянь і умов. Крім того, отримуються умови незалежності додаткових співвідношень, що забезпечують існування і єдиність розв'язку задачі оптимально відтворення функцій температури і вологості.

Таким чином, у другому розділі розроблено схему розв’язування задач тепловолого-провідності при неповних початкових умовах та додатково заданих інтегральних співвідношеннях для шуканих функцій температури та вологості. При цьому розв'язано задачі умовної мінімізації функціоналу виробництва ентропії і отримано замкнуті системи рівнянь, умов та інтегральних співвідношень для знаходження оптимальних в сенсі вибраного критерію функцій температури та вологості тіла. Схема розв'язання варіаційної задачі дозволяє залучати додаткові умови як у вигляді рівностей, так і нерівностей, які виникають при потребі врахування можливих неточностей в задаванні додаткових умов (наявність похибок вимірювань).

Сформульовано і доведено умови незалежності додаткових умов, виконання яких забезпечує єдиність розв'язку розглядуваної задачі оптимального оцінювання функцій.

Встановлено можливість використання ефекту взаємозв'язаності полів різної фізичної природи (температура, розподіл вологості) в розглядуваних задачах відновлення функцій при відсутності початкових даних для однієї з них. На прикладі показано, що при наближеному відтворенні невідомих початкових умов для розподілу вологості можна скористатися додатковими співвідношеннями, записаними для функції температури.

У третьому розділі спочатку записана постановка задачі відтворення функції температури  T(z)  ( ) у поверхневих шарах теплопровідного напівпростору, характеристики якого змінюються з глибиною, за даними радіояскравісної температури на декількох довжинах хвиль його власного теплового випромінювання, тобто з інтегральних співвідношень

T(z) dz An, . (5)

Тут  An  задані значення (результати вимірювань),  Kn(z)  відомі (апаратні) функції, пропорційні  кn кn, де  кn  коефіцієнт поглинання теплового випромінювання середови-щем напівпростору. При визначенні функції  T(z)  виходитимемо з умови мінімуму функціоналу виробництва ентропії, якщо розглядати тіло як термодинамічну систему.

Проведено дослідження отриманих розв’язків для значень  кn , які відповідають коефіцієнтам поглинання  кn  у суглинках і пісковику в діапазонах частот 1,4; 5; 10; 18 Ггц. Показано, що для відтворення функції температури в однорідному середовищі достатньо чотирьох інтегральних співвідношень (5).

Дослідження залежності отриманих результатів від похибок  An показують, що похибки результатів обчислень перевищують похибки вхідних даних у кілька разів. Тому особливого значення слід надавати точності отримання вхідних даних для задачі відновлення температурного поля з умов (5). Крім того встановлено, що при зростанні  кn  похибки відповідних  An приводять до більших похибок температури і теплового потоку, а також до зміни вигляду шуканих функцій.

Числові розрахунки показали можливість застосування запропонованої методики і у випадку кусково-неоднорідного тіла з хорошою відповідністю знайдених функцій до тестових як за величиною, так і за їх виглядом. Так функція температури втрачає гладкість при переході від шару з одними характеристиками до шару з іншими характеристиками, як це має місце в реальних тілах, а тепловий потік при цьому залишається неперервним.

Далі розглянуто задачу відновлення функції двох змінних  u(x,y) , котра задає розподіл, що має дифузійну природу (температура, концентрація вологи), в заданій двохвимірній області  D за відомими її значеннями  u(xn,yn) un  у точках нерегулярної сітки  Mnxn,yn) ,  Mn  D  , а також  u(x,y i() на лініях  ix i(), y i()), , що можуть знаходитися як в середині, так і на границі області  D ;  i(), i(),  () задані функції параметра .

Припускається, що середовище в області  D неоднорідне і фізичні характеристики середовища відомі, тобто в області  D задана кусково-неперервна невід’ємна функція  (x,y) , яка задає відповідні характеристики середовища області  D (коефіцієнт теплопровідності при відновленні функції температури, коефіцієнт дифузії при відновленні вологості). Задача полягає у визначенні такої функції  u(x,y)  у всій області  Dкотра б оптимально підходила для поля дифузійної природи в неоднорідній області  D

Для визначення з множини допустимих шуканого розподілу  u(x,y) , враховуючи його дифузійний характер, виходили з мінімізації функціоналу

. (6)

З необхідної умови мінімізації функціоналу (6) отримано, що  u(x,y)  задовольняє рівняння Лапласа в області  D за виключенням її частин, що складають околи точок  Mn  та ліній, на яких функція задається. Крім цього рівняння отримано умову на зовнішній границі області  Dде граничні умови не задані ( n0  зовнішня нормаль до границі ?D), а на границях розділу ділянок з різними характеристиками середовища, де функція  (x,y)  має стрибки першого роду, умова неперервності потоків, тобто неперервності функції  q(x,y) (x,y)u(x,y).

Побудовано дискретний аналог задачі і застосовано ітераційний алгоритм для отримання її розв’язку. Перевірка моделі і розрахункової схеми проводились порівнянням отриманих функцій  u(x,y)  із заданими функціями u(x,y), значення яких служили вхідними даними для оберненої задачі відтворення  u(x,y) . При цьому вважалося, що  (x,y)  кусково-постійна.

Як показали дослідження якісну подібність і кількісне наближення заданої і шуканої функцій вдалося отримати незважаючи на дві причини, що приводять до їх відхилень: по-перше, задана функція  u(x,y) не точно задовольняла рівняння Лапласа, що має місце для отриманої функції, по-друге, для відтворення функції задавалась невелика кількість її дискретних значень. На границі розділу підобластей з різними характеристиками середовища отримано злам функції  u(x,y) , що свідчить про розрив її похідної, як це має місце у функції  u(x,y).

Проведено також дослідження розв’язків задачі визначення функції температури тіла викликаної розподіленими джерелами тепла чи внаслідок зв’язаності температури з фізичними полями іншої природи при неповних граничних умовах на його поверхні та заданих значеннях шуканої функції всередині області чи умовах вигляду (3). Числові розрахунки проводились для прямокутної області з невідомими умовами на одній із сторін.

Проведені дослідження свідчать про існування як сприятливого розташування точок для вимірювань, що забезпечує при невеликій їх кількості (4-5 точок) і з врахуванням можливих похибок вимірювань, отримання достатньо близьких до істинних розподілів, так і неприйнятного, з цієї точки зору, вибору вхідних даних. З огляду на результати розрахунків для прямокутної області, задовільними як по чутливості до похибок, так і по точності відновлювання, можуть бути варіанти, коли точки задавання значень відтворюваної функції у прямокутній області розташовані вздовж однієї зі сторін прямокутника, тієї частини границі, на якій умови невідомі, і при цьому поступово віддаляються від неї з наближенням до середини цієї сторони прямокутника.

У результаті проведених досліджень встановлено, що використання запропонованого методу для відтворення профілю температури у теплопровідному напівпросторі за значеннями його інтегральних температурних характеристик з ваговими функціями, що відповідають поглинанню теплового випромінювання у різних діапазонах спектру приводить до отримання функції достатньо близької до істинної при невеликій кількості (для однорідного середовища – чотирьох) додаткових інтегральних співвідношень на шукану функцію. При цьому відносні похибки результатів обчислень перевищують відносні похибки вхідних даних у п'ять разів. Тому особливого значення слід надавати точності отримання вхідних даних для відповідної задачі відновлення температурного поля.

Також отримано, що при зростанні довжини хвиль, використовуваних при вимірюваннях похибки відповідних даних приводять до більших похибок температури і теплового потоку, а також до зміни вигляду знайдених від шуканих функцій.

У зв’язку з тим, що враховуються фізичні закономірності поведінки температури в неоднорідних тілах, отримано якісне і кількісне узгодження знайдених функцій до дійсних. Так отримана функція температури втрачає гладкість при переході з одного шару до іншого, як це має місце в реальних тілах, а тепловий потік при цьому залишається неперервним.

На підставі аналізу розв’язків задач відтворення полів дифузійної природи у двовимірній області, на частині границі якої умови не задані, встановлено вигляд додаткових даних, які дозволяють відновлення як самої функції так і її похідної.

Таким чином, отримані в цьому розділі результати можуть бути використані при плануванні експериментів з метою мінімізації кількості вимірювань. При цьому запропонований метод застосовний, як для контактних так і дистанційних вимірювань полів температури і вологості, і може служити при їхньому картуванні за неповними даними, визначенню їх змін в глибину тіла.

У четвертому розділі записано постановки і отримано розв'язки обернених задач теплопро-відності на визначення характеристик земної поверхні і шару поверхневих природних утворень за даними, що відповідають наземним і дистанційним вимірюванням температури і теплових потоків.

Температурне поле в шарі  T(z,t) формується під дією енергетичних потоків на земній поверхні. Вони ж утворюють кондуктивний тепловий потік  JQ(t) q(0,t)який на поверхні може бути представлений у вигляді суми  JQ(t) R(t) H(t) LE(t) радіаційного балансу (R), потоку турбулентного теплообміну (Н) і потоку тепла, витраченого на випаровування (LE). Приймаємо, що

R(t)A)I(t) п(aTs4(t) T 4(0,t)), 

H(t)  Cua ( Tп(t)  Ta (t)),  LE(t)  Cua ( eп(t)  ea (t)).

Тут  А  альбедо поверхні,  І  частина потоку енергії сонячного випромінювання у видимій області спектру, що досягає земної поверхні,  у  постійна Стефана-Больцмана,   п,   коефіцієнти випромінювання поверхні і атмосфери відповідно,  Ts  ефективна температура атмосфери,  Tп T(0,t)  термодинамічна температура поверхні,  Ta  температура повітря,  С – узагальнена характеристика тепловологообміну на поверхні, що визначається метеорологічними умовами і шорсткістю поверхні,    психометрична постійна,  u - швидкість вітру,  e п, e  пружність водяної пари поблизу поверхні землі і на стандартній висоті вимірювань,  t  час.

Розв’язано задачу теплопровідності для при поверхневого шару землі з умовою теплообміну у вигляді  

(0,t)=A)I(t) п(aTs4(t) T 4(0,t))    

TT(0,t) Ta(t))  w e(t). (7)

Тут функції  I(t) ,  e(t) ,  Ta(t)  періодичні з періодом  t* , а коефіцієнти в рівнянні і граничній умові, а також  Ts  постійні.

Розв’язок нелінійної задачі теплопровідності отримано ітераційним методом послідовних наближень розв’язками лінійних задач. У цьому випадку використовується добова періодичність функції  T4(0,t)Збіжність ітераційного процесу достатньо висока і значення температури отримувані на третьому кроці з достатньою точністю близькі до шуканих, якщо за початкове наближення приймається температура повітря  Ta(t).

Знайдений таким чином розв’язок задачі теплопровідності для поверхневого шару земних утворень з нелінійною граничною умовою дозволив зробити аналіз чутливості температури і потоку тепла до характеристик поверхні та середовища. На цій основі встановлено, за яких умов можна отримувати значення коефіцієнтів в граничній умові (7) для потоку тепла.

Якщо крім функцій, що входять у складові теплового потоку, також відомий режим температури на поверхні T(0,t) Tп, то їх використовуємо для постановки обернених задач на визначення коефіцієнта теплового випромінювання поверхні, теплової інерції поверхневого шару () та інших коефіцієнтів, які входять у поверхневий тепловий потік.

Обчислювальний експеримент при розв'язуванні обернених задач проводився за передбаченими моделлю вхідними даними, які відповідають добовоперіодичним змінам в часі потоку сонячної радіації, температури повітря, різниці значень пружності водяної пари та за умови збалансованості теплових потоків на поверхні шару. Температурний режим поверхні, який використовувався для оберненої коефіцієнтної задачі отримувався в результаті розв'язання прямих задач із заданими значеннями коефіцієнтів, які потім знаходилися в оберненій задачі.

Використовувався “температурний” і “потоковий” підхід для постановки відповідних задач визначення величин невідомих коефіцієнтів середовища  п, T, w, , с (замість теплопровід-ності   і теплоємності  с можна знаходити їх комбінації: теплову інерцію і коефіцієнт температуропроводності  a2 /c ).

Температурний підхід полягає у знаходженні таких значень невідомих коефіцієнтів, для котрих виконується співвідношення теплових потоків (7) на поверхні  z  при заданих функціях  I(t),  e(t),  Ta(t) , а також наближено відома функція температури поверхні  Tпt), як результат вимірювань. Тоді в якості критерію для визначення шуканих коефіцієнтів приймаємо мінімум функціоналу середньоквадратичного відхилення розрахункової температури на поверхні від  Tпt).

За потоковим підходом функція температури  Tпt)  вважається заданою і температурне поле визначається з рівняння теплопровідності, з граничною умовою  T(0,t) Tп(t) . Невідомі коефіцієнти у рівнянні і співвідношеннях моделі знаходимо такими, щоб приймала мінімальне значення функція середньоквадратичного відхилення розрахункового теплового потоку на поверхні  z  і отриманого згідно з формулою (7) за результатами вимірювань  I(t),  e(t),  Ta(t)  на проміжку часу [0, t*]. Її можна записати у вигляді

. (8)

Розв’язання задачі мінімізації вибраної цільової функції за додаткових умов у вигляді співвідношень моделі дозволяє отримати рівняння відносно невідомих коефіцієнтів. Розглянуто варіанти визначення теплової інерції, коефіцієнта теплового випромінювання поверхні, а також одночасного отримання кількох коефіцієнтів, таких як  T,  w,  р,  А,  e п та можливість вико-ристання геотермального теплового потоку для знаходження характеристик поверхневого шару.

Дослідження показали, що лише при незначних варіаціях вхідних даних, в якості яких служили розв’язки прямих задач, корені для різних варіантів визначення наборів невідомих коефіцієнтів були близькі до реальних. В залежності від вигляду вхідних даних існують випадки з суттєвим відхиленням розв’язків від очікуваних, а також з неєдиним розв’язком. Так, наприклад, якщо функції  Tп(t), e(t), Ta(t)  лінійно залежні , то  T, w  не розрізняються. У цьому випадку можна отримати лише їх як лінійну комбінацію.

На завершення розділу розглянуто обернену задачу теплопровідності про визначення двох функцій  T(z,t)  і T(t), якщо на поверхні відомі функції температури і теплового потоку. Одна з умов при цьому задається додатково і служить для визначення змінного в часі коефіцієнта теплообміну  T(t). Решту коефіцієнтів, а також функції температури, теплового потоку на поверхні шару  z = h  і потужності розподілених джерел тепла  Q(z,t)  вважаються заданими і достатньо гладкими. Розв’язування цієї задачі розбивається на два етапи: спочатку знаходимо в явній формі  T(z,t)  і, використовуючи її, визначаємо  T(t) з додаткової умови записаної для теплового потоку.

Отже, у цьому розділі запропонована ітераційна розрахункова схема визначення періодичної в часі функції температури у теплопровідному шарі грунту, на зовнішній поверхні якого задається природна нелінійна умова теплообміну з атмосферою. Числові розрахунки та їх дослідження для добовоперіодичного температурного