НАЦІОНАЛЬНА АКАДЕМІЯ НАУК УКРАЇНИ

ФІЗИКО-ТЕХНІЧНИЙ ІНСТИТУТ НИЗЬКИХ ТЕМПЕРАТУР

ім. Б. І. ВЄРКІНА

ГОЛІНСЬКИЙ Леонід Борисович

УДК 517.587; 517.984.4; 517.544.4

ОРТОГОНАЛЬНІ ПОЛІНОМИ НА ОДИНИЧНОМУ КОЛІ, РІЗНИЦЕВI РІВНЯННЯ СЕГЬО ТА УНІТАРНІ ОПЕРАТОРИ ХЕССЕНБЕРГА

01.01.01 – математичний аналіз

А в т о р е ф е р а т

дисертації на здобуття наукового ступеня

доктора фізико-математичних наук

Харків – 2003

Дисертацією є рукопис

Робота виконана в Фізико-технічному інституті низьких температур

ім. Б.І. Вєркіна НАН України

Офіційні опоненти:

член-кореспондент НАН України, доктор фіз.-мат. наук, професор

Горбачук Мирослав Львович,

Інститут математики НАН України, м. Київ,

завідувач відділу диференціальних рівнянь з частинними похідними

доктор фіз.-мат. наук, професор

Аптекарев Олександр Іванович,

Інститут прикладної математики ім. М.В. Кєлдиша РАН, м. Москва

провідний науковий співробітник відділу асимптотичного та

чисельного аналізу

доктор фіз.-мат. наук, професор

Фаворов Сергій Юрійович,

Харківський національний університет ім. В.Н. Каразіна,

завідувач кафедри теорії функцій і функціонального аналізу

Провідна установа: Київський національний університет ім. Тараса Шевченка (кафедра математичного аналізу), Міністерство освіти і науки України, м. Київ.

Захист відбудеться 29.12.2003 року о 14 годині на засіданні спеціалізованої вченої ради Д 64.175.01 при Фізико-технічному інституті низьких температур ім. Б.І. Вєркіна НАН України за адресою: 61103 Харків, пр.Леніна 47

З дисертацією можна ознайомитись у науковій бібліотеці Фізико-технічного інституту низьких температур ім. Б.І. Вєркіна НАН України за адресою: (61103 Харків, пр.Леніна 47).

Автореферат розісланий 28.11. 2003 року.

Вчений секретар

Спеціалізованої вченої ради

кандидат фізико-математичних наук В.О. Горькавий

загальна характеристика роботи

Актуальність теми. Теорію ортогональних поліномів відносно мір на одиничному колі було створено на початку 20-х років ХХ ст. Г. Сегьо у зв’язку з теорією теплицевих форм, зокрема, із розподілом власних значень відрізків таких форм. У середині 30-х рр. указаного століття С. Верблунський з’ясував (в іншому контексті) взаємно однозначну відповідність між класом усіх ймовірносних мір на колі, що мають нескінченний носій, і множиною всіх послідовностей комплексних чисел із відкритого одиничного круга. На початку 40-х років ХХ ст. Я.Л. Геронімус замкнув коло, зв’язавши параметри Верблунського з ортогональними поліномами. Він також побудував розвинення в ланцюговий дріб перетворення Коші-Шварца – основного аналітичного об’єкта, пов’язаного з мірою на колі – із використанням цих параметрів. Більш за те, Геронімус показав, що параметри Верблунського істотно збігаються з параметрами Шура асоційованої голоморфної стискувальної функції в одиничному крузі, а вказаний ланцюговий дріб у певному значенні є еквівалентним алгоритму, побудованому І. Шуром у його класичних роботах 1917-1918 рр. Як виявилося, основні об’єкти теорії Сегьо (теплицеві детермінанти та їхні граничні значення) припускають явні вираження в термінах параметрів Верблунського. Відзначимо також проблему обернення теплицевих матриць, за якої факторизацію Холецького для оберненої матриці будують за коефіцієнтами відповідних ортогональних поліномів, а значить, за параметрами Верблунського з огляду на рекурентні співвідношення Сегьо.

Під час одержання асимптотичних формул для ортогональних поліномів на дійсній осі традиційним методом є перехід на коло з використанням формул Сегьо. При цьому вихідні поліноми виражають через відповідні ортогональні поліноми на колі, а коефіцієнти тричленного рекурентного співвідношення для них – через параметри Верблунського.

У подальшому з’ясувалося, що цілий ряд важливих результатів А.Н. Колмогорова й Н. Вінера в теорії ймовірносних процесів, зокрема, пов’язані з передбаченням та інтерполяцією стаціонарних випадкових послідовностей, ізоморфні проблемам, що стосуються теплицевих форм. Сюди ж належить і група питань статистики (лінійні оцінки й перевірка лінійних гіпотез), а також проблеми передання й оброблення сигналів і конструювання цифрових фільтрів, ініційовані Н. Левінсоном у середині 40-х рр. минулого століття, котрий, по суті, перевідкрив рекурентні співвідношення Сегьо й застосував їх у новому контексті.

За останній час цікавість до цього предмета зросла завдяки новому застосуванню в статистичній фізиці, теорії випадкових матриць, інтегрованих системах і теоретичній радіоастрономії. На початку 80-х рр. ХХ ст. В.С. Владимиров та І.В. Волович вивчали деякі моделі статистичної фізики (одномірна гаусова модель, моделі Ізінга) з погляду теорії ортогональних поліномів на одиничному колі. Вони відтворили основні характеристики – статистичну суму й вільну енергію – у термінах теплицевих детермінантів і вирахували термодинамічну границю для вільної енергії за допомогою теореми Сегьо (та її “сильного” варіанту). Вони пов’язали двоточкову кореляційну функцію з елементами матриці, зворотної до теплицевої, і вирахували її в нескінченному обсязі через функцію Сегьо. Порівняно недавно ортогональні поліноми на колі виникли як один із вихідних кроків в одержанні асимптотичного розподілення довжини найбільшої неспадної підпослідовності випадкового перестановлення. Л.Г. Содін використав екстремальну властивість поліноміальних ядер для дуги кола під час побудови оптимальних антен–ґраток.

Ще на початку 50-х років М.Г. Крейн, розв’язуючи зворотну задачу Штурма-Ліувілля, прийшов до системи диференційних рівнянь, відомої тепер як система Крейна, яка є континуальним аналогом рекурентних співвідношень Сегьо для ортогональних поліномів на колі. Асимптотичне поводження розв’язків системи Крейна багато в чому подібне до асимптотичних формул для таких ортогональних поліномів, що знайшло відтворення в роботах Н.І Ахієзера і А.М. Рибалко, Л.А. Сахновича і С.А. Денисова. Останнім часом (2002 р.) Б. Саймон зробив спробу викласти теорію ортогональних поліномів на колі з погляду істотно більш розвиненої теорії операторів Шредінгера на півосі (ідея, яку було висловлено в [16]).

Обраний напрямок досліджень пов’язаний із тематикою Фізико-технічного інституту низьких температур ім. Б.І. Вєркіна НАН України. Зокрема частину результатів одержано під час виконання робіт за бюджетними темами НАН України “Нові методи теорії функцій комплексного змінного та їхнє застосування в функціональному аналізі, спектральній теорії, теорії ймовірності й математичній статистиці”, номер державної реєстрації 0196U002940 (1992-1996 рр.), “Методи комплексного аналізу та їхнє застосування в теорії операторів, теорії вірогідності й математичній статистиці, теорії диференційних рівнянь і проблемі моментів”, номер державної реєстрації 0102U000321 (2002-2004 рр.), у межах проекту міжнародного співробітництва: INTAS 2002-272 (2001-2003 рр.) і Міжнародного наукового фонду U9S000, у яких автор був відповідальним виконавцем.

Мета й задачі дослідження. Головна мета дисертації полягає у з’ясуванні нових закономірностей та особливостей у теорії ортогональних поліномів на дузі кола, заданих своїми параметрами Верблунського (коловими параметрами), побудові спекральної теорії нового класу матрицевих різницевих рівнянь, у дослідженні граничного поводження стискальних голоморфних функцій у термінах їх параметрів Шура.

Об’єктом дослідження є ймовірносні міри на одиничному колі, задані своїми параметрами, ортогональні поліноми, векторні різницеві рівняння та унітарні оператори у гільбертовому просторі.

До задач дослідження належать:

- одержання нових асимптотичних формул для ортогональних поліномів на дузі кола;

- побудова теорії Саймона-Вольфа для одиничного кола;

- вивчення нових класів сингулярних мір на колі, у тому числі універсальних мір;

- дослідження точкового спектра для ортогональних поліномів на дузі кола, а також спектрів деяких операторів Хессенберга та Якобі;

- вивчення спеціальних класів вагових функцій, що мають алгебраїчні особливості, і відповідних систем ортогональних поліномів.

Методи дослідження, використані в роботі, містять комплекс аналітичних підходів до розв’язку задач дослідження:

1) методи теорії скінченнорізницевих рівнянь і аналог метода Вейля-Тітчмарша для різницевих рівнянь Сегьо; 2) методи теорії лінійних операторів у гільбертовому просторі, у тому числі спектральна теорія унітарних операторів, операторні ідеали Шатена-фон Неймана й нескінченні визначники; 3) методи теорії функцій комплексної змінної, і в першу чергу теорії диск-алгебри , оцінки спряжених функцій, граничні якості функцій обмеженого виду; 4) методи гармонійного аналізу, зокрема неабсолютно збіжні ряди Фур’є, теореми Бернштейна, Привалова й Зігмунда, а також сильна сумованість і майже збіжність послідовностей; 5) класичні ортогональні поліноми та спеціальні функції, у тому числі нова асимптотична формула для поліномів Якобі, інтегральні зображення й квадратичні перетворення для гіпергеометричної функції Гауса; 6) методи лінійної алгебри, пов’язані з оцінками норм добутків матриць та їх сингулярних чисел.

Наукова новизна одержаних результатів, опублікованих у роботах [1-25] та пріоритетних тезах доповідей [26-33], визначається тим, що в дисертації:

· Описано класи мір на дузі кола, колові параметри яких наближаються до ненульового комплексного числа з різноманітною швидкістю, й вперше одержано асимптотичні формули для ортонормованих поліномів у цих класах [4, 7, 9].

· З’ясовано точність деяких відомих достатніх умов рівномірного асимптотичного зображення на всьому колі [6].

· Запропоновано принципово новий підхід до теорії ортогональних поліномів на одиничному колі як до спектральної теорії одного класу матрицевих різницевих рівнянь (рівнянь Сегьо) [16].

· Для рівнянь Сегьо побудовано теорію підпорядкованих розв’язків [16].

· Вперше знайдено зв’язок між фундаментальною матрицею рівняння Сегьо й умовно збіжними рядами Фур’є, що дозволяє одержати нові умови абсолютної неперервності міри ортогональності в термінах колових параметрів [20].

· Одержано точні умови відсутності точкової компоненти міри ортогональності в термінах колових параметрів [9, 23, 24, 25].

· Розвинуто новий підхід до теорії ортогональних поліномів на одиничному колі як до спектральної теорії унітарних операторів Хессенберга [13, 14].

· Вперше одержано умови скінченності числа точкових мас поза дугою ортогональності в термінах колових параметрів [13].

· Подано повну характеристику нових класів сингулярних мір на одиничному колі, заданих своїми коловими параметрами, і класу “універсальних” мір [15, 21].

· Вивчено властивості спектрів нового класу збурень (компактних у розумінні Чезаро) для матриць Хессенберга та Якобі [14, 17].

· Досліджено слабку збіжність послідовності супровідних мір у класах Г. Лопеса (гранична міра в цьому випадку є рівноважною мірою дуги) [12].

· Доведено прямі й зворотні теореми (у значенні конструктивної теорії функцій) для граничних значень обмежених голоморфних функцій в одиничному крузі та їхніх параметрів Шура [1, 5].

· Одержано характеризацію нового класу мір на колі (класу Чезаро-Неваї) у термінах відповідних -функцій та їх параметрів Шура [21].

· Досліджено узагальнені якобієві вагові функції на одиничному колі (асимптотичні формули для ортонормованих поліномів 1-го та 2-го родів, оцінки колових параметрів, явні формули для функцій Каратеодорі) [2, 3, 8, 10].

· Вивчено якості нулів пара-ортогональних поліномів на одиничному колі: переміжність, розділювальність, оцінки відстані між сусідніми нулями, притягувальні якості носія міри ортогональності [19, 22].

Практичне значення одержаних результатів. Робота має теоретичний характер. Її результати використано в роботах П. Неваї (Ohio State University, USA), Б. Саймона і С. Денисова (California Institute of Technology, USA), Дж. Джеронімо і Д. Лубинського (Georgia Institute of Technology, USA), С. Хрущова (Atilim University, Turkey), В. ван Ассе (Katholieke Universiteit Leuven, Belgium), Ф. Марселлана і Г. Лопеса (Universidad Carlos III, Spain), Ф. Пехерсторфера і Р. Штейнбауера (University of Linz, Austria), А. Аптекарева (Інститут прикладної математики РАН, Росія).

Результати дисертаційної роботи можуть бути використані в Інституті математики НАНУ (м. Київ), Донецькому фізико-технічному інституті НАНУ (м. Донецьк), Радіоастрономічному інституті НАНУ (м. Харків), Математичному інституті ім. В. А. Стеклова та Інституті прикладної математики ім. М.В. Кєлдиша РАН (м. Москва), на механіко-математичному факультеті Харківського національного університету.

Основні положення, що винесено на захист:

1. Асимптотичні формули й оцінки для нових класів ортогональних поліномів.

2. Критерії абсолютної неперервності міри в термінах асимптотичної поведінки

фундаментальної матриці для рівняння Сегьо.

3. Точні умови неперервності міри (відсутності точкових мас) на дузі кола в термінах колових параметрів.

4. Включення теорії ортогональних поліномів на колі до спектральної теорії одного класу унітарних операторів.

5. Нова умова скінченності дискретного спектра поза дугою ортогональності в

термінах колових параметрів.

6. Властивості спектрів компактних у розумінні Чезаро збурень матриць

Хессенберга та Якобі.

7. Прямі й зворотні теореми для стискальних голоморфних функцій в одиничному крузі в термінах їх параметрів Шура.

8. Властивості нулів пара-ортогональних поліномів на одиничному колі.

Особистий внесок здобувача. У роботах, в яких викладено основні результати дисертації, внесок здобувача є визначальним. У роботах [4, 6, 16, 21] ідеї, розроблення проблем та основні результати належать авторові. Зокрема, ним запропоновано нову концепцію теорії ортогональних поліномів на одиничному колі, яка зближує її з теорією операторів Шредінгера на півосі, а також нову точку зору на теорію ортогональних поліномів як на спектральну теорію одного класу унітарних операторів у гільбертовому просторі. В роботах [9, 10, 18] дослідження проводилися спільно з співавторами.

Апробація результатів дисертації. Викладені в роботі результати були апробовані в якості доповідей на таких міжнародних конференціях: Special Semester on Approximation Theory (Khaifa, 1994), International Workshop “Orthogonal Polynomials: Theory and Applications”, запрошений доповідач, (Madrid, 1994), International Conference “Recent Developments in Schur Analysis” (Leipzig, 1995), International Conference “Approximation Theory and Function Series” (Budapest, 1995), 4th, 5th, 6th and 7th International Conferences “Orthogonal Polynomials, Special Functions and their Applications” (Sevilla, 1997; Patras, 1999; Roma, 2001; Copenhagen, 2003), International Workshop “Self-similar systems” (Dubna, 1998), Міжнародна конференція з математичного аналізу, економіки й застосуванням (Суми, 1999), International Workshop on Operator Theory and its Applications (Bordeau, 2000), Міжнародний семінар, присвячений 40-річчю ФТІНТ НАНУ (Харків, 2000), II Міжнародний симпозіум “Ряди Фур’є та їхнє застосування” (Ростов-на-Дону, 2002), International Worksop “Orthogonal Polynomials and Approximation Theory” (Madrid, 2002).

Деякі результати були темами семінарів, проведених автором в Weizmann Institute of Science (Israel, 1994), Ohio State University, Michigan State University (Ann Arbor), Wright State University, Georgia Institute of Technology (1996, 1998, 2001, 2003), на семінарі з математичної фізики під керівництвом Б. Саймона (Caltech, 2003), на семінарах у низці провідних університетів Іспанії (Мадрид, Сарагоса, Альмерія, Віго, Севілья), на семінарі відділу функціонального аналізу Інституту математики НАН України (кер. академік Ю.М.Березанський), на семінарі з математичного аналізу Київського національного університету (кер. професор. І.O. Шевчук), на міському семінарі з теорії функцій у Харківському національному університеті, на семінарі відділу теорії функцій ФТІНТ НАН України.

Публікації. За темою дисертації опубліковано 25 статей в фахових наукових виданнях, 6 тез доповідей на конференціях і 2 доповіді в працях конференцій. Список опублікованих статей наведено в кінці автореферата.

Структура дисертації. Дисертаційна робота складається зі вступу, семи розділів і висновків, викладених на 295 сторінках основного тексту й містить список із 304 цитованих джерел і додаток.

Згідно з теоремою Рісса–Герглотца функція припускає зображення

, ,

де - однозначно визначена ймовірнісна міра на Т. Як виявилося, саме ця міра й становить міру ортогональності для системи , а є ортогональними відносно міри 2-го роду .

У другому підрозділі ми будуємо аналог теорії Джильберта-Пірсона [7*] підпорядкованих розв’язків для рівняння Сегьо. Нехай

,

ѕ розв’язок рівняння Сегьо (4). Визначимо його -норму як

.

Нетривіальний розв’язок назвемо підпорядкованим в точці , якщо для будь-якого іншого лінійного незалежного розв’язку є справедливим

.

У силу теореми 4.1 для кожного існує - розв’язок, який тим більш є підпорядкованим. Значно більш делікатне питання про підпорядковані розв’язки в точках одиничного кола вирішується в цьому підрозділі.

Всюди в цьому розділі припускаємо, що параметри задовольняють умові . Виявляється, що існує тісний зв’язок між граничною поведінкою - функції у точці й наявністю в ній підпорядкованого розв’язку.

Теорема 4.2. Припустимо, що за деякого існує кінцева границя , котра є суто уявним числом. Тоді

є підпорядкований розв’язок у точці .

Якщо , то розв’язок є підпорядкований розв’язок у точці .

Теорема 4.3. Припустимо, що є підпорядкований розв’язок у точці за деякого комплексного . Тоді число суто уявне, й існує послідовність , , така що . Якщо є підпорядкований розв’язок у точці , то існує послідовність, така що .

У третьому підрозділі введено родину ймовірнісних мір, КП котрих одержуємо обертанням КП , . Це міри, названі мірами Олександрова, містять вихідну міру й міру 2-го роду за значень . Міри Олександрова відіграють роль, аналогічну спектральним мірам у теорії одномірних збурень самоспряжених операторів.

Вивчено властивості обвідних родин мір, котрі в аналізованому випадку призводять до такого результату.

Теорема 4.11. Для мір Олександрова справедливі рівності

, .

Теорія підпорядкованих розв’язків рівняння Сегьо й властивості мір Олександрова є з’єднувальною ланкою між асимптотичним поводженням фундаментальної матриці й структурною мірою ортогональності. Наведемо два результати в цьому напрямку.

Для заданої міри на назвемо множину істотним носієм , якщо для кожної борелівської множини з доповнення до і, крім того, для кожної борелівської множини позитивної міри Лебега .

Теорема 4.14. Позначимо через

.

Тоді є істотний носій абсолютно неперервної компоненти і для будь-якої борелівської множини .

Теорема 4.17. Припустимо, що за деякого і для деякої замкненої дуги ,

.

Тоді всі міри Олександрова абсолютно неперервні на .

Теорема 4.21. Нехай КП задовольняє , , і нехай для будь-якого дійсного

.

Тоді неперервна (тобто не має точкових мас) на дузі (1).

Зокрема результат справедливий, якщо . З другого боку, наведено простий приклад міри (міра Геронімуса плюс дельта–міра в точці) із непустим точковим спектром і такий, що .

Виявляється, що результат теореми 4.21 є точним у такому сенсі. Нехай , позначимо через клас усіх послідовностей комплексних чисел, що задовольняють співвідношення

(I) при ;

(II) , ;

(III) .

Дві послідовності and назвемо еквівалентними, якщо

.

Основним результатом цього розділу є

Теорема 4.22. Нехай КП міри задовольняють з і . Припустимо, що

за деякого дійсного . Тоді для будь-якого натурального існує послідовність , еквівалентна вихідній, така що точковий спектр відповідної міри з КП містить не менше точок на відкритій дузі (1).

У п’ятому розділі в теорії ортогональних поліномів на колі вперше застосовано спектральну теорію унітарних матриць Хессенберга в гільбертовому просторі.

У першому підрозділі уведено основні об’єкти: оператор множення на незалежну змінну в просторі й нескінченні матриці Хессенберга. Всюди в цьому розділі ми припускаємо, що система невід’ємних ступенів є повною в .

У третьому підрозділі вивчено деякі класи сингулярних мір на колі, заданих своїми КП, із використанням спектральної теорії матриць Хессенберга.

Відома лема Рахманова [13*] стверджує, що міра сингулярна на за умови . Будемо казати, що міра належить класу ON (“opposite Nevai”), якщо , і класу OS (“opposite Szego”), якщо . Усі такі міри є сингулярними й лежать поза класом Сегьо.

Теоретико–операторний погляд на ці класи мір призводить до таких результатів.

Теорема 5.8. Нехай з КП й оператором Хессенберга . Позначимо через діагональний оператор у

, . (12)

Тоді () у тому й тільки в тому випадку, якщо ().

Для мір гранична множина носія може бути описана в термінах відповідних КП.

Теорема 5.9. Нехай і визначені в (12). Позначимо через множину всіх граничних точок послідовності . Тоді збігається з граничною множиною носія міри. Інакше кажучи, збігається з з точністю до множини ізольованих точок носія.

Зауважимо, що для мір з лише скінченне число КП може перетворюватися в нуль. Якщо , визначимо як найближчу до точку . У протилежному випадку подамо . Позначимо через замикання множини на .

Теорема 5.10. Нехай - монічні ортогональні поліноми відносно міри . Існує голоморфна в області функція , що не дорівнює тотожно нулеві на компонентах , й теж що

рівномірно на компактних підмножинах множини .

Цей результат показує, що монічні ортогональні поліноми в класі поводять себе асимптотично як поліноми з коренями на одиничному колі.

Теоретико–операторний підхід застосовується також для вивчення “сильно розріджених” мір на колі, а саме мір, у котрих є скінченна множина. Характеризація таких мір на дійсній осі належить М.Г. Крейнові [2*].

Виявляється, що твердження (I) зберігає силу для збурень, котрі природно назвати компактними в значенні Чезаро (або просто Чезаро–компактними):

. (13)

Виявляється, що результат теореми 5.22 є в деякому сенсі точним.

Теорема 5.24. Для будь-якого існує послідовність , така що , і дискретний оператор Шредінгера з повздовж послідовності , для якого властивість (I) не виконується.

Що стосується властивості (II), то тут ситуація повністю протилежна.

Теорема 5.26. Для будь-якого компактна у комплексній площині існує дискретний оператор Шредінгера , такий що - компактне в значенні Чезаро збурення дискретного лапласіана і .

У шостому розділі ортогональні поліноми вивчено в контексті теорії обмежених аналітичних функцій в одиничному крузі, зв’язок, що був виявлений Я.Л Геронімусом [6*] ще в 40-х роках. Цей зв’язок був суттєво розвинений і одержав нове звучання в нещодавно опублікованій роботі С.В. Хрущова [9*].

Основні належні до цього кола поняття й визначення подано в розділі 2. Як звичайно, під ми розуміємо алгебру Харді обмежених голоморфних функцій в одиничному колі D з нормою . Через позначимо одиничну кулю цієї алгебри, тобто для . Формула Герглотца

(15)

здійснює взаємно однозначну відповідність (насправді гомеоморфізм) просторів і . При цьому мірам з нескінченним носієм відповідають точно стискальні функції, що не є скінченними добутками Бляшке. Такі функції будемо називати - функціями, так що кожній мірі відповідає одна - функція.

Кожна функція породжує деяку послідовність функцій цього ж класу посередництвом алгоритму Шура

, , .

Якщо –функція, то ця послідовність нескінченна. Назвемо прямою функцією Шура для (або для відповідної міри (15)). Якщо ж - добуток Бляшке порядку , то алгоритм Шура обривається на -кроці. Числа , відомі як параметри Шура. Я.Л. Геронімус визначив простий зв’язок між параметрами Шура і коловими параметрами міри (15):

,

У першому підрозділі розглянуто деякі приклади перетворень - функцій і їхніх параметрів Шура .

У другому підрозділі доведено прямі та зворотні теореми для функцій (термінологія й методи запозичено з конструктивної теорії функцій), в яких установлено зв’язок між граничним поводженням -функцій та асимптотикою її параметрів Шура.

Скажемо, що міра з КП належить до класу Чезаро–Неваї, якщо

.

Відкриту дугу назвемо –регулярною, якщо її кінцеві точки не несуть точкових мас .

Теорема 6.12. Такі умови еквівалентні.

(I) належить класу Чезаро–Неваї.

(II)

.

(III)

.

Збіжність у (II) – (III) рівновимірна на компактних підмножинах .

(IV) Існує підмножина індексів щільності 1, така що

(V) Для будь-якої неперервної на функції послідовність

,

майже збігається до .

(VI) Для будь-якої - регулярної відкритої дуги на послідовність

,

майже збігається до .

Теорема 6.14. Міра належить класу Чезаро–Неваї в тому й тільки в тому випадку, якщо

, .

У сьомому розділі розглянуто деякі додаткові питання теорії ортогональних поліномів на одиничному колі. Зокрема, досліджено важливий клас вагових функцій на , відомих як узагальнені якобієві ваги

, ,

- регулярний множник. Для них отримано асимптотику КП . Більш детально вивчено якобієві ваги , для котрих одержано спільну асимптотику ОНП 1-го й 2-го родів.

Вивчено точковий спектр (множина точкових мас) мір в термінах їхніх КП.

Теорема 7.15. Нехай належить класу Сегьо та їхні КП задовольняють умову

. (17)

Тоді за всіх , тобто точковий спектр відсутній (міра неперервна). Зворотно, нехай і ряд (17) збігаються. Тоді .

Наприкінці розглянуто властивості так званих пара–ортогональних поліномів на одиничному колі. Для нулів таких поліномів з’ясовані властивості переміжності, розділювальності, одержані оцінки відстані між сусідніми нулями за різноманітних припущеннях щодо міри . Одержано необхідні й достатні умови того, що нулі пара–ортогональних поліномів рівномірно розподілені на й на дузі. Вивчено притягувальну властивість носія міри.

ВИСНОВКИ

Теорія ортогональних поліномів на одиничному колі, створена на початку 20-х років минулого століття Г. Сегьо й сформована до кінця 80-х років зусиллями таких математиків як Я.Л. Геронімус, В.М. Бадков, Є.А. Рахманов, В. ван Ассе, Г. Лопес, А. Мате, П. Неваї, В. Тотик, одержала в пропонованій дисертації подальший розвиток і поглиблення. Основним змістом роботи є опис структури мір на колі або його частині (абсолютно неперервна й сингулярна компоненти) у термінах незалежних параметрів, якими є послідовності комплексних чисел із відкритого одиничного кола (колових параметрів). Особливу увагу привертає випадок, коли колові параметри відділено від нуля (носієм міри є власне підмножина кола), не досліджений до роботи автора. Як показав автор, адекватним інструментом дослідження є спектральна теорія одного класу унітарних операторів (операторів Хессенберга) у гільбертовому просторі. Таким чином реалізовано схему, аналог котрої для якобієвих матриць наведено в монографії Н.І. Ахієзера “Класична проблема моментів”.

У дисертації запропоновано принципово новий підхід до теорії ортогональних поліномів на одиничному колі як до спектральної теорії одного класу векторних різницевих рівнянь (рівнянь Сегьо). При цьому ключову роль відіграє матрицева форма рекурентних співвідношень Сегьо й поняття фундаментальної матриці для рівняння Сегьо. Побудовано теорію підпорядкованих рішень рівняння Сегьо та показано, що асимптотичне поводження фундаментальної матриці, що повністю визначається коловими параметрами, є тісно пов’язаним із тонкою структурою міри ортогональності. Виявлено зв’язок теорії ортогональних поліномів на одиничному колі з теорією рядів Фур’є, що дозволив надати нових ознак абсолютної неперервності міри ортогональності в термінах колових параметрів. У дисертації запропоновано нові застосування ортогональних поліномів на одиничному колі до теорії обмежених аналітичних функцій в одиничному крузі. Зокрема, вперше одержано прямі й зворотні теореми для таких функцій в термінах їх параметрів Шура.

Таким чином, у дисертації наведено вирішення наукової проблеми, яка полягає в дослідженні теорії ортогональних поліномів на одиничному колі та її взаємозв’язків з теорією різницевих рівнянь, теорією операторів у гільбертовому просторі та теорією функцій в одиничному крузі. Узагальнені одержані результати мають не лише теоретичне значення (випадкові унітарні матриці, інтегровані системи, інтерполяція й прогнозування стаціонарних випадкових послідовностей), але й практичне значення (цифрові фільтри й передання сигналів, частотний аналіз, теорія антен). В сукупності отримані в дисертаційній роботі нові результати вирішують ряд принципових питань математичного аналізу та теорії ймовірностей.

Результати дисертації опубліковано в загальновизнаних фахових періодичних виданнях,

доповідалися в провідних математичних центрах світу, що підтверджує їх достовірність.

СПИСОК ОПУБЛІКОВАНИХ РОБІТ ЗА ТЕМОЮ ДИСЕРТАЦІЇ

[1] Golinskii L. Schur functions, Schur parameters and orthogonal polynomials on the unit circle // Zeitschrift fur Analysis und ihre Anwendngen. - 1993. - V. 12, No 4. - P. 457-469.

[2] Golinskii L. Reflection coefficients for the generalized Jacobi weight functions // J. Approx. Theory. - 1994. - V. 78, No 1. - P. 117-126.

[3] Golinskii L. On the second kind measures and polynomials on the unit circle // J. Approx. Theory. - 1995. - V. 80, No 3. - P. 352-366.

[4] Golinskii L., Nevai P., van Assche W. Perturbation of orthogonal polynomials on an arc of the unit circle // J. Approx. Theory. - 1995. - V. 83, No 3. - P. 392-422.

[5] Golinskii L. On Schur functions and Szego orthogonal polynomials // Operator Theory: Advances and Applications. - 1997. - V. 95. - P. 195-203.

[6] Golinskii B.L., Golinskii L. On uniform boundedness and uniform asymptotics for orthogonal polynomials on the unit circle // J. Math. Anal. Appl. - 1998. - V. 220, No 1. - P. 528-534.

[7] Golinskii L. Akhiezer's orthogonal polynomials and Bernstein-Szego method for a circular arc // J. Approx. Theory. - 1998. - V. 95, No 3. - P. 229-263.

[8] Golinskii L. Uniform asymptotics for second kind ultraspherical polynomials on the unit circle // Constr. Approximation. - 1998. - V. 14. - P. 599-608.

[9] Golinskii L., Nevai P., Pinter F., van Assche W. Perturbation of orthogonal polynomials on an arc of the unit circle, II // J. of Approx. Theory. - 1999. - V. 96, No 1. - P. 1-32.

[10] Branquinho A., Golinskii L., Marcellan F. Orthogonal polynomials and rational modification of Lebesgue measure on the unit circle. An inverse problem // Complex Variables. - 1999. - V. 38. - P. 137-154.

[11] Golinskii L. The Cristoffel function for orthogonal polynomials on a circular arc // J. Approx. Theory. - 1999. - V. 101, No 2. - P. 165-174.

[12] Golinskii L. Geronimus polynomials and weak convergence on a circular arc // Methods and Applications of Analysis. - 1999. - V. 6, No 4. - P. 421-436.

[13] Golinskii L. Operator theoretic approach to orthogonal polynomials on an arc of the unit circle // Математическая физика, анализ, геометрия. - 2000. - Т. 7, вып. 1. - С. 3-34.

[14] Golinskii L. On the spectra of infinite Hessenberg and Jacobi matrices // Математическая физика, анализ, геометрия. - 2000. - Т. 7, вып. 3. - С. 284-298.

[15] Golinskii L. Singular measures on the unit circle and their reflection coefficients // J. Approx. Theory. - 2000. - V. 103, No 1. - P. 61-77.

[16] Golinskii L., Nevai P. Szego difference equations, transfer matrices and orthogonal polynomials on the unit circle // Comm. in Math. Physics. - 2001. - V. 223. - P. 223-259.

[17] Голінський Л.Б. Про спектри деяких нескінчених матріць Хесенберга та Якобі // Доповіді АН України. - 2001. - Т. 10. - С. 13-16.

[18] Golinskii L., Lubinsky D., Nevai P. Large sieve estimates on arcs of a circle // J. Number Theory. - 2001. - V. 91, No 3. - P. 206-229.

[19] Голинский Л.Б. Нули пара-ортогональных полиномов и квадратурная формула на единичной окружности // Доповіді АН України. - 2002. - Т. 1. - С. 17-20.

[20] Голинский Л.Б. Меры на единичной окружности с медленно убывающими круговыми параметрами и ряды Фурье // Математическая физика, анализ, геометрия. - 2002. - Т. 9, вып. 1. - С. 95-100.

[21] Golinskii L., Khrushchev S. Cesaro asymptotics for orthogonal polynomials on the unit circle and classes of measures // J. of Approx. Theory. -2002. - V. 115, No 3. - P. 187-237.

[22] Golinskii L. Quadrature formula and zeros of para-orthogonal polynomials on the unit circle // Acta Math. Hungar. - 2002. - V. 96, No 3. - P. 169-186.

[23] Голинский Л.Б. Непрерывность мер на единичной окружности, заданных своїми круговыми параметрами // Математическая физика, анализ, геометрия. - 2002. - Т. 9, вып. 2. - С. 253-260.

[24] Golinskii L. Mass points of measures and orthogonal polynomials on the unit circle // J. of Approx. Theory. - 2002. - V. 118, No 2. - P. 257-274.

[25] Golinskii L. Mass points of measures and reflection coefficients // Proc. Amer. Math. Soc. - 2003. - V. 131, No 6. - P. 1771-1776.

[26] Golinskii L. Measures on the unit circle, orthogonal polynomials and reflection coefficients // Proc. Leganes Conf. on Orthogonal Polynomials on the Unit Circle and their Applications. - Madrid (Spain). - 1994. - P. 59-64.

[27] Golinskii L. Schur functions, Schur parameters and orthogonal polynomials on the unit circle // Proc. Special Semestr in Approx. Theory. - Khaifa (Israel). - 1994. - P. 50-51.

[28] Golinskii L. Perturbation of orthogonal polynomials on an arc of the unit circle // Proc. Intern. Conf. on Approx. Theory and Function Series.– Budapest (Hungary). -1995. -P. 15.

[29] Golinskii L. On the scientific legacy of Ya. L. Geronimus // Proc. International Workshop "Self-similar systems". - JINR, Dubna (Russia). - 1998. - P. 273-281.

[30] Golinskii L. Singular measures on the unit circle and their reflection coefficients // Proc. 5th International Symposium on Orthogonal Polynomials, Special Functions and their Applications. - Patras (Greece). - 1999. - P. 56-57.

[31] Golinskii L. On the spectra of some infinite Hessenberg and Jacobi matrices // Proc. 6th International Symposium on Orthogonal Polynomials, Special Functions and their Applications. - Roma (Italy). - 2001. - P. 51.

[32] Golinskii L. Szego difference equations, transfer matrices and orthogonal polynomials on the unit circle // Proc. International Workshop "Orthogonal Polynomials and Approximation Theory". - Madrid (Spain). - 2002. - P. 11-12.

[33] Голинский Л.Б. Ряды Фурье в теории ортогональных полиномов на единичной окружности // Труды II Международного симпозиума "Ряды Фурье и их приложения". - Ростов-на-Дону (Россия). - 2002. - С. 20-21.

Голінський Л.Б. Ортогональні поліноми на одиничному колі, різницеві рівняння Сегьо й унітарні оператори Хессенберга. – Рукопис.

Дисертація на здобуття вченого ступеня доктора фіз.–мат. наук за спеціальністю 01.01.01 – математичний аналіз. – Фізико–технічний інститут ім. Б.І. Вєркіна НАН України, 2003. Харків, Україна.

У дисертації розвинено новий підхід до теорії ортогональних поліномів на одиничному колі як теорії матрицевих різницевих рівнянь першого порядку, який дозволяє одержати критерії абсолютної неперервності міри ортогональності в термінах асимптотики норм фундаментальних матриць. Запропоновано новий метод дослідження ортогональних поліномів на колі, що ґрунтується на спектральній теорії унітарних матриць Хессенберга в гільбертовому просторі. Одержав подальший розвиток зв’язок цієї теорії з теорією обмежених голоморфних функцій в одиничному колі. Знайдено нові кількісні характеристики мір на дузі кола й відповідних ортогональних поліномів у термінах колових параметрів.

Ключові слова: ортогональні поліноми на одиничному колі, кругові параметри, міри Oлександрова, фундаментальні матриці, оператори Хессенберга, алгоритм Шура, голоморфні стискувальні функції в колі, пара–ортогональні поліноми.

Голинский Л.Б. Ортогональные полиномы на единичной окружности, разностные уравнения Сегё и унитарные операторы Хессенберга. - Рукопись.

Диссертация на соискание ученой степени доктора физ.-мат. наук по специальности 01.01.01 - математический анализ. - Физико-технический институт низких температур им. Б.И. Веркина НАН Украины, 2003. Харьков, Украина.

В диссертации развит новый подход к теории ортогональных полиномов на единичной окружности как теории матричных разностных уравнений первого порядка, который позволяет получить критерии абсолютной непрерывности меры ортогональности в терминах асимптотики норм фундаментальных матриц. Предложен новый метод исследования ортогональных полиномов на окружности, основанный на спектральной теории унитарных матриц Хессенберга в гильбертовом пространстве. Получила дальнейшее развитие связь данной теории с теорией ограниченных голоморфных функций в единичном круге. Найдены новые количественные характеристики мер на дуге окружности и соответствующих ортогональных полиномов в терминах круговых параметров.

Ключевые слова: ортогональные полиномы на единичной окружности, круговые параметры, меры Александрова, фундаментальные матрицы, операторы Хессенберга, алгоритм Шура, голоморфные сжимающие функции в круге, пара-ортогональные полиномы.

Golinskii L.B. Orthogonal polynomials on the unit circle, Szego difference equations and Hessenberg unitary operators. - Manuscript.

Thesis for doctor's degree by the speciality 01.01.01 - Mathematical Analysis. - B.Verkin Institute for Low Temperature Physics and Engineering of National Academy of Sciences of Ukraine, Kharkov, 2003, Ukraine.

The theory of orthogonal polynomials on the unit circle and in particular on circular arcs is under investigation in the present thesis. The main object is the class of nontrivial probability measures on the circle given by their parameters (reflection coefficients), which are known to be the independent parameters of this class, and the corresponding orthogonal polynomials. We study the asymptotic behavior of the polynomials and the properties of measures on the arc based on certain rate of convergence of parameters to a nonzero complex number from the open unit disk.

A new approach to the theory of orthogonal polynomials on the unit circle as the spectral theory of matrix difference equation (the Szego equation) is developed. The orthogonality measure and C-function arise in exactly the same way as Weyl's function in the Weyl approach to second order linear differential equations in the half-line. The key ingredient here are the transfer matrix and the unit circle analogue of the Gilbert - Pearson theory of subordinate solutions. We study the "fine" structure of measures (absolutely continuous and singular components) in terms of the asymptotic behavior of the transfer matrix. We give new conditions of absolute continuity of orthogonality measures with the help of the theory of nonabsolutely convergent Fourier series. We establish the criterion for the measure to have no masspoints on the arc or on the whole unit circle.

A new viewpoint on the theory of orthogonal polynomials as the spectral theory of a class of unitary operators in the Hilbert space is suggested. The orthogonality measure now comes in as the spectral measure of the multiplication operator in appropriate spaces of square summable functions on the circle. The matrix representation of such operator gives rise to the Hessenberg unitary operators with the matrix entries expressed