Київський національний університет

імені Тараса Шевченка

Гунявий Олег Анатолійович

УДК 511.33

Тригонометричні суми та їх застосування

01.01.06 – алгебра та теорія чисел

Автореферат дисертації на здобуття наукового ступеня

кандидата фізико-математичних наук

Київ-2003

Дисертацією є рукопис

Робота виконана в Одеському національному університеті

імені І.І.Мечникова Міністерства освіти і науки України

Науковий керівник (консультант)

д. ф.-м. н., професор Варбанець Павло Дмитрович,

завідувач кафедри комп’ютерної алгебри та дискретної математики

ОНУ ім. І.І.Мечникова

Офіційні опоненти:

д.ф.-м.н., професор Берник Василь Іванович, завідувач лабораторії теорії

чисел Інституту математики Академії наук Білорусі, м. Мінськ;

д.ф.-м.н., професор Дрозд Юрій Анатолійович, професор кафедри алгебри

та математичної логіки Київського національного університету

імені Тараса Шевченка

Провідна установа Ужгородський національний університет (кафедра алгебри)

Захист відбудеться “5” січня 2003р. о 14 годині на засіданні

спеціалізованої вченої ради Д 26.001.18 при Київському національному

університеті імені Тараса Шевченка (01033 Київ, вул. Володимирська, 64,

механіко-математичний ф-тет)

З дисертацією можна ознайомитись у бібліотеці Київського університету

імені Тараса Шевченка (вул. Володимирська, 58)

Автореферат розісланий 4-го грудня 2003 р.

Вчений секретар

спеціалізованої вченої ради Плахотник В.В.

Загальна характеристика роботи

Актуальність теми. В теорії чисел, зокрема в асимптотичних задачах, одним з найефективніших методів є використання тригонометричних сум. Тому виникає велика зацікавленість в отриманні оцінок таких сум. При цьому тригонометричні суми мають і самостійну цінність.

Для знаходження оцінок тригонометричних сум використовуються різні методи, які можуть бути як елементарними, так і такими, що використовують нетривіальні результати алгебраїчної геометрії. Одним з методів може слугувати також використання різних формул підсумовування. При цьому з’являється можливість зважувати тригонометричні суми різними арифметичними функціями.

Таким чином, можемо зробити висновок, що теми знаходження оцінок різних тригонометричних сум, розроблення методик для їх оцінок, а також дослідження асимптотичних задач теорії чисел ще довгий час будуть залишатися актуальними.

Задачами, де виникають тригонометричні суми, є знаходження асимптотичної поведінки сум по числам з арифметичної прогресії. Розглянемо це на прикладі наступної класичної задачі.

Нехай ,

де кратна функція дільників.

Справедливий наступний результат

рівномірно при ,

де * як завгодно мале число, , головний член, що не залежить від *.

Проблема у тім, щоб отримати для * як можна більшу оцінку знизу, що дозволило б використовувати асимптотичну поведінку при великих *.

Добре відомий результат *, який отримується при використанні аналітичної теорії чисел та оцінок тригонометричних сум Клостермана. Однак для деяких застосувань цей результат є недостатнім. Зокрема для отримання асимптотичного представлення в адитивній задачі,

де * звичайна функція дільників. Тому виникла необхідність в поліпшенні оцінки для *.

На цьому шляху Фрідлендер (Friedlander) та Іванєц (Iwaniec) показали, що . При цьому вони використовували оцінки кратних тригонометричних сум та сум характерів.

Трохи пізніше Хіз-Брауном (Heath-Brown) цей результат був поліпшений. Метод Хіз-Брауна, є більш елементарним і також використовує оцінки тригонометричних сум. Ним було показано, що

звідки

Мета і задачі дослідження. Метою роботи було кілька завдань.

По-перше, перенесення результату Хіз-Брауна на суму, де , .

В роботі Хіз-Брауна, як і при розгляді суми використовується оцінка наступної тригонометричної суми на алгебраїчному многовиді,

де * скінченне поле з * елементів, *адитивний характер поля *.

Розглянуте наступне узагальнення суми *.

Нехай

де .

Для * задається алгебраїчний многовид

та тригонометрична сума.

Другою метою роботи було отримання оцінок для тригонометричної суми * при різних та . При цьому виникла необхідність у розгляді тригонометричних сум вигляду

які є узагальненням сум Клостермана. Тому однією із задач роботи стало дослідження таких сум, чому присвячений один розділ. З використанням теорії кривих другого порядку показано, як оцінка сум * зводиться до оцінки таких добре відомих сум, як суми Гауса, Клостермана та Сальє.

Великий інтерес в теорії чисел і не тільки, є до задач знаходження асимптотичної поведінки деяких арифметичних функцій в коротких інтервалах. І такі елементарні методи як розбивка на інтервали підсумовування, оцінка сум на різних інтервалах, заміна порядку підсумовування, все ще можуть давати результати. Ілюстрацією цьому може слугувати задача асимптотичної поведінки функції,

де * функція Мьобіуса, .

Ця задача, яку ще можна інтерпретувати як знаходження кількості цілих точок, модуль яких є безквадратним числом, в кільці, вже була розглянута Е. Кратцелем (Kratsel). Ним було показано, що якщо

то при .

Найкраще, на що можна сподіватися, так це *, звідки, використовуючи наведений вище результат отримуємо

лише .

Третьою метою роботи було поліпшена наведеної оцінки.

Одним із методів отримання оцінок тригонометричних сум є заміна суми інтегралом або іншою сумою, до оцінки якої зводиться задача. До таких методів належить, наприклад, метод Ван-дер-Корпута. При цьому виникають похибки, які хотілося б оцінити якнайточніше. Зазвичай для цього використовуються різноманітні формули підсумовування. Заключною метою роботи було отримання формул для перетворення звичайних тригонометричних сум вигляду * та тригонометричних сум, зважених функцією дільників, тобто вигляду *, де * звичайна функція дільників.

Наукова новизна одержаних результатів. В дисертації отримані наступні результати:

результат Хіз-Брауна перенесений на суму ;

отримані оцінки для суми при різних та , за деяким винятком;

розглянута тригонометрична сума , що узагальнює суму Клостермана;

поліпшений результат Е.Кратцеля про асимптотичну поведінку суми ;

отримана формула підсумовування, яка об'єднує в собі формулу підсумовування Ейлера-Маклорена, формулу підсумовування Пуассона та лему Абеля про часткове підсумовування, та за допомогою якої можна отримувати такі результати як формула підсумовування Вороного;

уточнена формула перетворення тригонометричної суми вигляду *;

отримана формула перетворення тригонометричної суми, зваженої функцією дільників, тобто вигляду *;

поліпшений результат Ютіли оцінки залишкового члена у суми .

Зв’язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Дана робота прямо пов'язана з основними дослідженнями кафедри комп’ютерної алгебри та дискретної математики Одеського національного університету ім. І.І.Мечникова, які ведуться в рамках науково-дослідної теми “Дослідження асимптотичних задач теорії чисел” (номер державної реєстрації 0101V008297).

Практичне значення одержаних результатів. Дисертація має теоретичне значення. Її результати можуть бути використані для отримання оцінок тригонометричних сум, а також в асимптотичних задачах теорії чисел. Результати роботи можуть бути також застосовані при дослідженні аналітичних властивостей різноманітних функцій, які застосовуються в аналітичній теорії чисел.

Особистий внесок здобувача. Всі результати дисертаційної роботи отримані самостійно.

Апробація результатів дисертації. Результати дисертації доповідалися на наступних заходах:

V Міжнародна наукова конференція ім. Акад. М.Кравчука (Київ, 1996 р.);

VI Міжнародна наукова конференція ім. Акад. М.Кравчука (Київ, 1997 р.);

Міжнародна математична конференція, присвячена сторіччю від початку роботи Д.О.Граве в Київському університеті (Київ, 2002 р.);

Київський алгебраїчний семінар механіко-математичного факультету (Київ, 2002 р.);

IV Міжнародна алгебраїчна конференція в Україні (Львів, 2003 р.);

III .Міжнародна конференція пам’яті Георгія Вороного (Київ, 2003 р.).

Публікації. Результати дисертації опубліковані в 9-ти наукових працях. З них чотири опубліковані в спеціалізованих виданнях з переліку №1, затвердженого ВАК України, та п’ять – в матеріалах та тезах конференцій. Список робіт наведений наприкінці автореферату.

Структура та обсяг дисертації. Дисертація складається зі вступу та семи розділів. Повний обсяг роботи – 167 сторінок, 4 з яких займає список використаних літературних джерел, що складається із 43-х найменувань.

основний зміст

У вступі подається загальна характеристика роботи та стан проблематики. Формулюються основні результати, які порівнюються з аналогічними результатами, отриманими іншими авторами.

Розділ 1. Цей розділ носить допоміжний характер. Його результати використовуються в наступних розділах. В ньому розглянуті тригонометричні суми, що узагальнюють суму Клостермана, а саме, суми вигляду

де * скінченне поле з * елементів, *адитивний характер поля *, , .

З використанням теорії кривих другого порядку показано, як оцінка сум * зводиться до оцінки таких добре відомих сум, як суми Гауса, Клостермана та Сальє.

Розділ 2. В цьому розділі розглянута тригонометрична сума

де алгебраїчний многовид.

Для суми * при різних * та *, за деяким винятком отримані оцінки. При цьому використані деякі результати алгебраїчної геометрії.

Розділ 3. Цей розділ також носить допоміжний характер. В ньому розглянута тригонометрична сума,

де * кратна сума Клостермана. Оцінка цієї суми знадобиться нам в наступному розділі.

Розділ 4. В цьому розділі результат Хіз-Брауна, отриманий для суми , переноситься на суму

де , .

Основним результатом розділу є

Теорема 4.1. При

Розділ 5. В цьому розділі розглядається асимптотична поведінка суми,

де * функція Мьобіуса, Тобто, оцінюється кількість цілих точок, модуль яких є безквадратне число, в кільці. Також розглядається приклад аналогічної задачі.

Результати цього розділу є такі.

Лема 5.1. При справедливе наступне асимптотичне представлення ,

звідки при .

Лема 5.2. При ,

де ,

а *, справедливе наступне асимптотичне представленн,

де * та сама константа, що і в попередній лемі.

Звідки при .

Розділ 6. В цьому розділі отримана формула підсумовування, яка є надалі основним інструментом, отримані оцінки допоміжних інтегралів та уточнена формула перетворення тригонометричних сум вигляду .

Основними результатами розділу є наступні.

Лема 6.2. (формула підсумовування). Нехай , і функції а мають похідну на *, тоді.

Варто зауважити, що ця формула об'єднує в собі формулу підсумовування Ейлера-Маклорена, формулу підсумовування Пуассона та лему Абеля про часткове підсумовування. За її допомогою можна отримувати такі результати як формула підсумовування Вороного, розглядати тригонометричні суми, зважені різноманітними арифметичними функціями, а також досліджувати аналітичні властивості важливих для теорії чисел функцій.

Теорема 6.3. Нехай на * виконуються наступні умови монотонні,

обернена до *.

Тоді

де при

при

;

аналогічно для * в залежності від *,

та .

Закінчення формулювання.

Варто зауважити, що в окремих випадках вдається уникнути деяких похибок, зокрема відзначено, за яких умовах можна уникнути залишка *, а також наведений приклад, коли відсутні всі залишки *, *та *, який дозволяє ще одним способом точно вирахувати суму Гауса.

Розділ 7. В цьому розділі наводяться допоміжні результати, що стосуються функцій Бесселя та функції дільників. Далі за допомогою цих результатів та отриманої раніше формули підсумовування отримана формула для перетворення тригонометричних сум, зважених функцією дільників, тобто вигляду . Наприкінці, отримана формула застосовується до конкретної задачі , яка раніше розглядалася Ютілою, що дозволяє поліпшити його результат.

Основні результати розділу.

Теорема 7.1. Нехай на відрізку , де виконуються наступні умови * монотонні, ,

Нехай далі функція * обернена до функції *,

* означає, що * пробігає по цілим числам з проміжку ;

* що * пробігає по цілим числам з проміжку .* функція дільників.

Тоді

де * як завгодно мале число,

Закінчення формулювання.

Теорема 7.2. При *

А отже

де .

висновки

У дисертації отримано результат про асимптотичну поведінку суми *. При цьому використовується методика, застосована Хіз-Брауном для розгляду асимптотичної поведінки суми *. Основним в цьому методі є використання оцінок тригонометричних сум. А тому важливою є задача розроблення різноманітних методів для оцінки тригонометричних сум, які можуть застосовуватись і в інших задачах. Тому далі отримано оцінку для тригонометричної суми *, яка є узагальненням суми *, використаної для розгляду як * так і *. При цьому отримано допоміжні результати про оцінку тригонометричних сум *, що узагальнюють суму Клостермана.

Далі, як окремий результат, поліпшено результат Е.Кратцеля про залишковий член в задачі *. Варто зауважити, що поліпшення досягається елементарними методами.

Як інструмент, який може бути використаний при оцінці тригонометричних сум, в дисертації отримано формулу підсумовування, яка узагальнює відомі формули підсумовування, та формули для перетворення тригонометричних сум вигляду * та вигляду *, де * звичайна функція дільників. Використані методи дозволяють отримати подібні результати для тригонометричних сум, зважених іншими арифметичними функціями, що в свою чергу дозволяє вивчати аналітичні властивості деяких функцій, важливих для теорії чисел.

Отримані формули застосовано для поліпшення результату Ютіли для оцінки залишкового члена в задачі про суму *.

список опублікованих автором праць

за темою дисертації

Гунявий О.А., Ковердюк І.В. Розподіл чисел, безквадратна частина яких є сумою двох квадратів // Вісник держ. університету “Львівська політехніка”. – Т.1. – №337. – Львів. – 1998. – C.24-26.

Varbanec P.D., Gunyavy O.A. The divisor function and the Kloosterman sum // Leaflets in Mathematics (Proceedings of the Numbers, Functions, Equations’98). – Pecs

Гунявый О.А. Бесквадратные числа как сумма двух квадратов // Вісник Одеського держ. університету. – 2000. – Т.5. – вип.3, фіз.-мат. науки. – C.35-39.

Гунявый О.А. Оценка интегралов типа * // Вісник Одеського держ. університету. – 2001. –Т.6. – вип.3, фіз.-мат. науки. – C.55-61.

Varbanets P., Gunyavy O. // Матеріали 5-ї Міжнар. наук. конф. ім. М. Кравчука. – Київ. – 1996. – P.59.

Гунявий О. Про числа у вигляді * в арифметичній прогресії // Матеріали 6-ї Міжнар. наук. конф. ім. М. Кравчука. – Київ. – 1997. – P.128.. – 1998. – P.148-149.

Варбанець П.Д., Гунявий О.А. Функція дільників на кільці * // Матеріали Міжнар. наукової конф. “ Сучасні проблеми математики”. – ч.1. – Чернівці-Київ. – 1998. – C.93-95.

Gunyavy O. Trigonometric sums weighting the arithmetical functions // Мат. конф., присвяченої сторіччю від початку роботи Д. О. Граве (1863-1933) в Київському університеті. – Київ. – 17-22 червня 2002 р. – С.27-28.

Gunyavy O. The function * in arithmetic progressions // Proc. 4th International Algebraic Conf. in Ukraine. – Lviv. – 2003. – P.86-87.

Gunyavy O. On exponential sums involving the divisor function // Voronoї Conference on Analytic Number Theory and Spatial Tessellations. – Kyiv. – September 22-28, 2003. – P.33.

анотації

Гунявий О.А. Тригонометричні суми та їх застосування. – Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01.01.06 – алгебра та теорія чисел.– Київський університет імені Тараса Шевченка, м. Київ, 2003 р.

У дисертації отримано результат про асимптотичну поведінку суми *. При цьому використовуються оцінки тригонометричних сум. Отримано оцінку для тригонометричної суми *, яка є узагальненням суми *. Отримано допоміжні результати про оцінку тригонометричних сум *, що узагальнюють суму Клостермана.

Поліпшено результат Е.Кратцеля про залишковий член в задачі *. Поліпшення досягається елементарними методами.

Отримано формулу підсумовування, яка узагальнює відомі формули підсумовування, та формули для перетворення тригонометричних сум вигляду * та вигляду *, де * звичайна функція дільників.

Поліпшено результат Ютіли для оцінки залишкового члена в задачі про суму *.

Ключові слова: асимптотична формула, тригонометрична сума, алгебраїчний многовид, формула підсумовування, залишковий член.

Гунявый О.А. Тригонометрические суммы и их применение – Рукопись.

Диссертация на соискание научной степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.01.06 – алгебра и теория чисел. – Киевский университет имени Тараса Шевченко, г. Киев, 2003 г.

В диссертации получен результат об асимптотическом поведении суммы *. При этому используется методика, применённая Хиз-Брауном при рассмотрении асимптотического поведения суммы *. Основным в этом методе является использование оценок тригонометрических сумм. Поэтому важной является задача разработки разнообразных методов для оценки тригонометрических сумм, которые могут применяться и в других задачах. Поэтому далее получена оценка для тригонометрической суммы *, которая является обобщением суммы *, использованной при рассмотрении как * так и *. При этом получены вспомогательные результаты об оценке тригонометрических сумм *, которые обобщают сумму Клостермана.

Затем, как отдельный результат, улучшен результат Е.Кратцеля об остаточном члене в задаче *. Стоит отметить, что улучшение достигается элементарными методами.

Как инструмент, который может быть использован для оценки тригонометрических сумм, в диссертации получена формула суммирования, обобщающая известные формулы суммирования, и формулы для преобразования тригонометрических сумм вида * и вида *, где * обычная функция делителей. Использованные методы позволяют получать подобные результаты для тригонометрических сумм, взвешенных другими арифметическими функциями, что в свою очередь позволяет изучать аналитические свойства некоторых функций, важных для теории чисел.

Полученные формулы позволяют улучшить результат Ютилы для оценки остаточного члена в задаче о сумме *.

Ключевые слова: асимптотическая формула, тригонометрическая сумма, алгебраическое многообразие, формула суммирования, остаточный член.

Gunyavy O.A. Exponential sums and their application.– Manuscript.

Thesis of dissertation for obtaining the degree of candidate of sciences in physics and mathematics, specialty 01.01.06 – algebra and number theory. – Kyiv Taras Shevchenko university, Kyiv, 2003.

In the dissertation the result about asymptotic behaviour of the sum * is received. The estimations of the exponential sums are used. The estimation for the trigonometrical sum * is received which generalizes the sum *. The auxiliary results about an estimation of the exponential sums * are received which generalize the sum of Kloosterman.

The result of E.Kratsel about the residual member in a sum * is improved. The improvement is reached by elementary methods.

The summation formula is received which generalizes the known formulas of summation. The formulas for transformation of the exponential sums of a kind * and kind *is received, where * usual divisor function.

The result of Jutila for an estimation of the residual member in a task about the sum * is improved.

Key words: asymptotic formula, exponential sum, algebraic variety, summation formula, residual member.