НАЦІОНАЛЬНА АКАДЕМІЯ НАУК УКРАЇНИ

ІНСТИТУТ МЕХАНІКИ ІМЕНІ С.П. ТИМОШЕНКА

Хазін Геннадій Анатолійович

УДК 539.375

ДОСЛІДЖЕННЯ МЕХАНІЧНИХ МОДЕЛЕЙ

ПРОЦЕСУ ПЕРЕДРУЙНУВАННЯ БІЛЯ КУТОВИХ ТОЧОК

В УМОВАХ ПЛОСКОЇ ДЕФОРМАЦІЇ

01.02.04 – механіка деформівного твердого тіла

Автореферат

дисертації на здобуття наукового ступеня

кандидата фізико-математичних наук

Київ - 2003

Дисертацією є рукопис.

Робота виконана в Інституті механіки ім. С.П. Тимошенка НАН України (м.Київ) та Уманському державному педагогічному університеті імені Павла Тичини (м.Умань).

Наукові керівники:  доктор фізико-математичних наук, професор

Камінський Анатолій Олексійович,

головний науковий співробітник відділу механіки руйнування матеріалів Інституту механіки ім. С.П. Тимошенка НАН України ( м.Київ);

доктор фізико-математичних наук, професор

Кіпніс Леонід Абрамович,

завідувач кафедри вищої математики Уманського державного педагогічного університету імені Павла Тичини (м.Умань).

Офіційні опоненти:  доктор фізико-математичних наук, професор

Саврук Михайло Петрович,

завідувач відділу механіки композиційних матеріалів Фізико-механічного інституту ім. Г.В. Карпенка НАН України (м.Львів);

кандидат фізико-математичних наук, старший науковий співробітник

Кирилюк Віталій Семенович,

старший науковий співробітник відділу реології

Інституту механіки ім. С.П. Тимошенка НАН України ( м.Київ).

Провідна установа:  Донецький національний університет, кафедра теорії пружності та обчислювальної математики (м. Донецьк).

Захист відбудеться 27 квітня 2004 р.  о 14 годині  на засіданні спеціалізованої  вченої  ради Д .166.01  Інституту механіки ім.С.П.Тимошенка НАН України за адресою: , Київ-57, вул. Нестерова,3.

З дисертацією можна ознайомитись у бібліотеці Інституту механіки ім. С.П. Тимошенка НАН України.

Автореферат розісланий “16 ” березня 2004 р.

Вчений секретар

спеціалізованої вченої ради Д .166.01

доктор фізико-математичних наук О.П. Жук

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальність теми. Питання, що розглядаються в даній роботі, тісно пов’язані з механікою руйнування, яка є однією з найважливіших складових частин науки про міцність матеріалів і елементів конструкцій. Про інтенсивний розвиток механіки руйнування у даний час свідчить швидко зростаюча кількість робіт, які присвячені дослідженню її проблем.

Основи механіки руйнування були закладені у роботах Гриффітса, Ірвіна, Орована. В подальшому великий внесок в становлення механіки руйнування як науки та її розвиток до сучасного рівня зробили В.М.Александров, Г.І.Баренблатт, В.В.Болотін, М.М.Бородачов, П.М.Витвицький, Р.В.Гольдштейн, О.М.Гузь, С.О.Калоєров, А.О.Камінський, Г.С.Кіт, О.С.Космодаміанський, Б.В.Костров, А.Я.Красовський, М.Я.Леонов, Є.М.Морозов, В.М.Назаренко, В.В.Панасюк, В.З.Партон, Ю.М.Подільчук, Г.Я.Попов, Ю.М.Работнов, Г.М.Савін, М.П.Саврук, Р.Л.Салганик, Л.Й.Слєпян, А.Т.Улітко, Л.П.Хорошун, А.О.Храпков, Г.П.Черепанов, В.П.Шевченко, D.S.Dugdale, F.Erdogan, M.Isida, W.T.Koiter, H.Liebowitz, P.С.Paris, J.R.Rice, G.C.Sih, P.S.Theocaris, M.L.Williams, T.Yokobori, A.R.Zak та інші.

Руйнування пружнопластичних матеріалів відбувається після розвитку в них біля різного типу концентраторів напружень пластичних зон передруйнування. Визначення конфігурації і розмірів локальних пластичних зон передруйнування дозволяє повніше описати напружено-деформований стан матеріалу в околі гострокінцевих концентраторів, що передує руйнуванню, та є однією з центральних проблем механіки руйнування.

За останні десятиліття в літературі з механіки руйнування була опублікована велика кількість робіт, присвячених плоским задачам про розрахунки пластичних зон біля кінців тріщин та інших кутових точок – концентраторів напружень в однорідних та кусково-однорідних ізотропних пружнопластичних тілах при умові, що дані зони моделюються лініями розриву переміщення. При цьому в умовах плоскої деформації найбільш поширеною стала модель з двома бічними лініями ковзання. В такій постановці задачі про пластичні зони зводяться до плоских статичних задач теорії пружності для тіл з кутовими точками, з яких виходять тріщини-розрізи.

Задачі цього класу досліджували В.М.Александров, Л.Т.Бережницький, В.К.Востров, А.М.Данилович, А.О.Камінський, Л.А.Кіпніс, В.А.Кривень, В.Д.Кулієв, М.М.Кундрат, В.В.Лобода, В.М.Мірсалімов, В.В.Панасюк, Р.Б.Рицар, М.П.Саврук, Г.Т.Сулим, Г.П.Черепанов, K.K.Lo, J.R.Rice, H.Riedel, J.L.Swedlow, V.Vitek та інші.

Підставою для згаданого вище моделювання є відома у механіці деформівного твердого тіла гіпотеза локалізації і результати класичних експериментальних досліджень М.Я.Леонова, П.М.Витвицького та С.Я.Яреми. Згідно з даною гіпотезою на початковій стадії свого розвитку пластичні деформації локалізовані в тонких шарах матеріалу – вузьких пластичних смугах. В результаті вказаних експериментів на самому початковому етапі процесу пластичного деформування в умовах плоскої деформації були виявлені дві пластичні смужки-зони, що виходять з кінця тріщини нормального розриву і нахилені до її продовження.

Проте при розгляданні відповідних плоских статичних задач теорії пружності для тіл з кутовими точками, з яких виходять лінії ковзання, що моделюють пластичні зони, не проводились дослідження напруженого стану біля цих кутових точок. Але такі дослідження необхідно проводити, оскільки, якщо в кутовій точці вказаного типу залишиться концентрація напружень, то це буде означати, що після появи двох бічних пластичних смужок-зон, які розвиваються з досліджуваної кутової точки, з неї, як з концентратора напружень, почне розвиватись нова пластична зона. Тому у всіх таких випадках замість поширеної у даний час моделі з двома лініями ковзання необхідно користуватись іншою моделлю, яка враховувала б існування цієї нової пластичної зони.

Нещодавно А.О.Камінським та співробітниками в умовах плоскої деформації у випадку тріщини нормального розриву подібна пластична зона поряд з двома бічними була виявлена у результаті експериментальних досліджень за допомогою електронномікроскопічних та рентгеноструктурних методів. Ця третя пластична зона (пластична зона передруйнування) за довжиною значно менша бічних пластичних зон, але рівень напружень в ній надзвичайно високий.

Таким чином, актуальною проблемою механіки деформівного твердого тіла є здійснення розрахунків пластичних зон передруйнування біля кутових точок – концентраторів напружень у рамках нових уточнених моделей з лініями розриву.

У даній роботі проведено дослідження, що відноситься до цієї проблеми, для кутової точки однорідного ізотропного пружнопластичного тіла, яка є концентратором напружень, в умовах плоскої деформації у рамках статичної симетричної задачі у випадках, коли сторони кута вільні від напружень, жорстко затиснені та шарнірно затиснені. В ній здійснено розрахунок початкової зони передруйнування біля кутової точки у рамках моделі з трьома лініями розриву (модель “тризубець”).

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Дослідження за темою дисертації увійшли у науково-дослідні роботи Інституту механіки ім. С.П. Тимошенка НАН України: тема № д.р.  U000587 “Дослідження деформування та руйнування старіючих в’язкопружних і пружнопластичних анізотропних тіл з концентраторами напружень”, шифр .3.1.321 .

Метою роботи є аналіз напруженого стану біля кутових точок тіла в умовах плоскої деформації при дослідженні процесу передруйнування в рамках моделі з двома лініями ковзання, а також на основі більш складної фізично обґрунтованої моделі „тризубець” і розрахунки параметрів цієї моделі.

Для досягнення поставленої мети необхідно:

1) здійснити перехід від загальної проблеми розрахунку початкових пластичних зон біля кутових точок – концентраторів напружень до задач теорії пружності для клиновидних тіл;

2) у задачах для клиновидного вирізу з лініями ковзання у вершині визначити напруження та головні члени розвинень напружень в асимптотичні ряди біля вершини;

3) на основі цих даних провести аналіз напруженого стану біля кутових точок та за його результатами встановити діапазони зміни розхилу кута, в яких кутові точки залишаються концентраторами напружень;

4) побудувати розв’язки задач теорії пружності для клиновидного вирізу, з вершини якого виходять дві лінії ковзання і лінія розриву значно меншої довжини, та на їх основі у згаданих випадках збереження концентрації напружень здійснити розрахунки зон передруйнування у кутових точках у рамках моделі “тризубець”.

Наукова новизна. У роботі вперше при розгляданні задач про розрахунки пластичних зон біля кутових точок у рамках моделей з пластичними лініями розриву проведено дослідження напруженого стану біля кутової точки при наявності ліній розриву, що виходять з неї. У рамках симетричної задачі досліджено випадки, коли сторони кута вільні від напружень, жорстко затиснені та шарнірно затиснені, а початкова пластична зона моделюється двома лініями ковзання. Показано, що при певних крайових умовах у певних діапазонах зміни розхилу кута кутова точка залишається концентратором напружень і, тому, після появи двох бічних пластичних смужок-зон, з неї почне розвиватись нова пластична зона. Враховуючи ці результати і результати відповідних експериментів, побудовано розв’язки нових задач теорії пружності для клиновидного вирізу, з вершини якого виходять дві напівнескінченні лінії ковзання і лінія розриву скінченної довжини, та з їх використанням здійснено розрахунки зон передруйнування у кутових точках у рамках нової моделі з лініями розриву – моделі “тризубець”.

Достовірність одержаних результатів забезпечується тим, що вихідними при проведенні дослідження є лише класичні положення та загальноприйняті гіпотези механіки деформівного твердого тіла; крайові задачі, які моделюють процес початкового розвитку зон передруйнування біля кутових точок – концентраторів напружень, поставлено коректно та розв’язано точним математичним методом; висновки, що випливають з одержаних результатів, узгоджуються з фізичними міркуваннями та результатами відомих експериментальних досліджень.

Практичне значення одержаних результатів. Результати роботи подано у вигляді зручних для практичного користування формул, числових таблиць і графіків, які відповідають різним значенням кута між лініями межі тіла та відношення сталих матеріалу – границі текучості на зсув і напруження на третій лінії розриву. Зокрема, в роботі є формули довжин пластичних смужок-зон, значення кутів, що встановлюють напрямки їх розвитку, значення показника степе-ня сингулярності напружень. Ці дані можуть становити інтерес для різних галузей техніки і будівництва, а також використовуватись при розрахунках міцності елементів конструкцій.

Апробація результатів дисертації. Основні положення дисертаційної роботи доповідались і обговорювались на X науковій школі “Деформирование и разрушение материалов с дефектами и динамические явления в горных породах и выработках” (Крим, Алушта, 2000); Міжнародній конференції “Математическое моделирование в естественных науках” (Алмати, 1997); ІІ Міжнародній конференції “Конструкційні та функціональні матеріали” (Львів, 1997); Міжнародній конференції “Physycal mesomechanics and computer aided design of advaced materials and technologies – MESOMECHANICS ’98 ” (TelAviv (Israel), 1998); І Міжнародній конференції “Наука і освіта ’98” (Дніпропетровськ, 1998); ІІ Міжнародній конференції “Наука і освіта ’99” (Дніпропетровськ, 1999); Міжнародній науково-практичній конференції “Актуальные проблемы механики деформируемого твердого тела” (Донецьк, 2001); ІІІ Міжнародному симпозіумі “Механіка і фізика руйнування будівельних матеріалів і конструкцій” (Мукачево, 1998); IV Міжнародному симпозіумі українських інженерів-механіків у Львові (Львів, 1999); І науковому симпозіумі “Сучасні проблеми інженерної механіки” (Луцьк, 2000); ІV Міжнародному симпозіумі “Механіка і фізика руйнування будівельних матеріалів та конструкцій” (Тернопіль, 2000). У повному обсязі доповідь за матеріалами дисертаційної роботи зроблено на науковому семінарі відділу механіки композиційних матеріалів Фізико-механічного інституту ім. Г.В.Карпенка НАН України (Львів, 2003), на науковому семінарі кафедри теорії пружності та обчислювальної математики Донецького національного університету (Донецьк, 2003), на наукових се-мінарах відділу механіки руйнування матеріалів та об'єднаному семінарі з наукового напрямку “Механіка руйнування та втома” Інституту механіки ім. С.П. Тимошенка НАН України (Київ, 2003).

Публікації. За темою дисертації опубліковано 12 наукових праць [1-12], у тому числі [1-4] у фахових виданнях.

Структура та обсяг роботи. Дисертація складається зі вступу, чотирьох розділів, заключення, списку використаних джерел. Загальний обсяг роботи становить 147 сторінок, у тому числі 16 рисунків, 12 таблиць, список використаних джерел із 170 найменувань на 19 сторінках.

Особистий внесок здобувача. В роботах [1-4], [6-12] здобувачем визначені напруження в симетричних задачах теорії пружності для клиновидного вирізу з двома лініями ковзання у вершині та проведено дослідження напруженого стану біля цієї вершини; йому належить виведення рівнянь Вінера-Хопфа симетричних задач теорії пружності для клиновидного вирізу, з вершини якого виходять дві напівнескінченні прямі лінії ковзання і лінія розриву скінченної довжини, та побудова точних розв’язків даних рівнянь; ним здійснено розрахунки початкових зон передруйнування біля кутових точок в рамках моделі “тризубець”. Співавторам в роботах [1-4], [6-12] належить постановка загальної проблеми дослідження; пропозиція формулювати умову на нескінченності з урахуванням зовнішнього поля; пропозиція вважати зону передруйнування значно меншою бічних пластичних зон; виведення рівняння Вінера-Хопфа у випадку шарнірно затиснених граней клиновидного вирізу; дослідження питань, що не відносяться до даної дисертації.

ОСНОВНИЙ ЗМІСТ РОБОТИ

У вступі обґрунтовано актуальність проблеми, дослідженню якої присвячена робота; сформульовано мету роботи; відмічено, в чому полягає її наукова новизна та практична цінність; вказано, чим забезпечуються достовірність і обґрунтованість одержаних в роботі результатів; коротко викладається зміст роботи.

У першому розділі зроблено огляд літератури з вибраного напрямку досліджень.

У другому розділі коротко приводяться необхідні для подальшого загальні положення про плоскі статичні сингулярні задачі теорії пружності.

У третьому розділі проводиться дослідження напруженого стану біля кутових точок тіла, які є концентраторами напружень, при моделюванні початкової пластичної зони двома лініями ковзання. На лінії ковзання допускається розрив лише дотичного переміщення, а дотичне напруження дорівнює границі фs текучості на зсув. Вивчаються випадки вільних від напружень, жорстко затиснених та шарнірно затиснених сторін кута. З метою виконання дослідження, враховуючи малість ліній ковзання та застосовуючи положення, що викладені у другому розділі, здійснюється перехід від загальної задачі теорії пружності для тіла з кутовими точками, з яких виходять пари ліній ковзання, до задач теорії пружності для нескінченного клиновидного вирізу з лініями ковзання у вершині (рис.1). На нескінченності в кожній задачі реалізується асимптотика, яка являє собою розв’язок аналогічної задачі без ліній ковзання, що породжується єдиним на інтервалі ]-1; 0[ коренем л її характеристичного рівняння. Вказаний розв’язок визначається з точністю до довільної сталої С, яка вважається заданою. Ця стала характеризує інтенсивність зовнішнього поля і встановлюється з розв’язку зовнішньої задачі. Дані задачі розглядались в роботах Г.П. Черепанова і Л.А. Кіпніса, де знайдені довжини ліній ковзання та напрямки їх розвитку. В табл.1 приведені значення кута між лінією ковзання і вільною від напружень гранню клиновидного вирізу та кореня л.

Таблиця 1

бo | 95 | 105 | 115 | 125 | 135 | 145 | 155 | 160

47,3 | 51,8 | 57,6 | 64,4 | 69,7 | 77,1 | 83,2 | 87,6

-л | 0,1004 | 0,2482 | 0,3484 | 0,4143 | 0,4561 | 0,4802 | 0,4932 | 0,4963

бo | 163 | 165 | 168 | 170 | 173 | 175 | 178

88,9 | 92,1 | 95,4 | 95,9 | 99,3 | 101,5 | 104,8

-л | 0,4978 | 0,4986 | 0,4989 | 0,4991 | 0,4994 | 0,4995 | 0,4997

Але напруження в задачах не визначались і дослідження напруженого стану біля вершини О клиновидного вирізу не проводилося.

У даному розділі з використанням апарату інтегрального перетворення Мелліна і результатів згаданих робіт виведені формули, що визначають напруження в задачах, та проаналізовано напружений стан біля точки О. Зокрема, у випадку вільних від напружень граней клиновидного вирізу суми головних членів розвинень напружень в асимптотичні ряди при r?0 мають вигляд |

(1)

(2)

де л1 – єдиний на інтервалі ]-1;0[ корінь рівняння |

(3)

-функції, що приводяться в роботі; .

Залежність кореня л1 від кута в при фіксованому б якісно зображена на рис.2.

Рис.1 | Рис.2

Аналіз одержаних у даному розділі результатів дозволяє зробити такі висновки. У випадку вільних від напружень сторін кута – значення б, для якого ) кутова точка О, з якої виходять лінії ковзання, що моделюють початкову пластичну зону, є особливою точкою відповідної крайової задачі теорії

пружності. Вона являє собою концентратор напружень. При наближенні точки області до точки О напруження прямують до нескінченності. Особливість напружень в точці О степенева. Показник степеня сингулярності напружень 1 залежить від розхилу кута і являє собою єдиний на інтервалі ] –1; 0[ корінь трансцендентного рівняння (3). Концентратор напружень О слабший, ніж аналогічна кутова точка при відсутності ліній ковзання. Чим більше розхил кута, тим концентратор О сильніший. Значенням б°, що дорівнюють 165°,168°,170°,173°,175°,178°, відповідають значення -1, що дорівнюють 0, 0392; 0,0752; 0,1007; 0,1304; 0,1587; 0,1811.

Виявлене вище збереження концентрації напружень у кутовій точці, означає, що після появи двох бічних пластичних смужок-зон, які розвиваються з кутової точки, з неї, як з концентратора напружень, почне розвиватись нова пластична зона. Таким чином, у випадку, що розглядається, при розрахунках початкових пластичних зон біля кутових точок замість моделі з двома лініями ковзання необхідно користуватись іншою моделлю, яка буде враховувати існування цієї нової пластичної зони.

Якщо , кутова точка О не є особливою, а тому розвитку вказаної нової пластичної зони очікувати не слід. Отже, в цьому випадку доцільно використовувати модель із двома лініями ковзання.

У випадку жорстко затиснених сторін кута кутова точка О є концентратором напружень зі степеневою особливістю при всіх значеннях . Показник степеня сингулярності напружень 1 являє собою єдиний на інтервалі ] –1; 0[ корінь трансцендентного рівняння |

(4)

де = 3 - 4 ; – коефіцієнт Пуассона. Залежність 1 від при фіксованому якісно зображено на рис.3 ( = 0,25). Залежність 1 від зображено на рис.4.

Рис.3 | Рис.4

У випадку, коли дотичне напруження та нормальне переміщення на сторонах кута дорівнюють нулю, кутова точка О не є особливою.

Таким чином, при певних крайових умовах у певних діапазонах зміни розхилу кута кутова точка О залишається концентратором напружень і замість моделі з двома лініями ковзання необхідно користуватись іншою моделлю початкової пластичної зони.

У четвертому розділі базуючись на результатах третього розділу і відомих експериментальних результатах А.О.Камінського та співробітників, в якості згаданої нової моделі початкової пластичної зони передруйнування біля кутової точки пропонується використовувати модель “тризубець”. Згідно цієї моделі, з кутової точки виходять дві лінії ковзання та ще одна лінія розриву значно меншої довжини (лінія D). На лінії D допускається розрив лише нормального переміщення, а нормальне напруження дорівнює заданій сталій матеріалу у. У встановлених у третьому розділі випадках збереження концентрації напружень здійснюються розрахунки початкових зон передруйнування біля кутових точок у рамках моделі “тризубець”. З цією метою, беручи до уваги малість ліній розриву, так само, як у попередньому розділі, приходимо до задачі теорії пружності для нескінченного клиновидного вирізу з трьома розрізами у вершині та умовою на нескінченності, що дозволяє врахувати вплив зовнішнього поля (рис.5).

Рис.5 | Рис.6

Необхідно визначити довжини l, d ліній розриву і кут в = між лінією ковзання та гранню клиновидного вирізу. Довжина лінії розриву визначається з умови рівності нулю коефіцієнта інтенсивності напружень в її кінці, а кут між лінією ковзання та гранню клиновидного вирізу – з умови максимуму суми довжин ліній розриву.

Задачу, що зображено на рис.5, будемо розглядати як задачу в цілому. Щоб знайти коефіцієнт інтенсивності напружень в кінці лінії ковзання, досить мати розв’язок задачі в цілому лише в його околі. На відстанях r від вершини, співрозмірних з l, та при d << r << l (зокрема, біля кінця лінії ковзання) як розв’язок задачі в цілому будемо використовувати розв’язок аналогічної задачі без лінії D (зовнішня задача). Вона досліджена у третьому розділі. Щоб знайти коефіцієнт інтенсивності напружень у кінці лінії D, досить мати розв’язок задачі в цілому лише в його околі. При r, співрозмірних з d, та d << r << l (зокрема, біля кінця лінії D) як розв’язок задачі в цілому будемо використовувати розв’язок аналогічної задачі з напівнескінченними лініями ковзання (рис.6) (внутрішня задача). На нескінченності у внутрішній задачі головні члени розвинень напружень в асимптотичні ряди співпадають з головними членами розвинень напружень в асимптотичні ряди у зовнішній задачі біля вершини клиновидного вирізу. Таке формулювання умови на нескінченності дозволяє задовольнити умові зшивання розв’язків зовнішньої і внутрішньої задач при d << r << l.

З використанням апарату інтегрального перетворення Мелліна задача, що зображена на рис.6, зводиться до функціонального рівняння Вінера-Хопфа типу |

(5)

((р) – невідомі функції) в смузі комплексної площини, яка містить уявну вісь. Факторизація коефіцієнта G(p) рівняння на уявній осі здійснюється шляхом розщеплення G(p) на функцію, що елементарно факторизується і подається через гамма-функції, та функцію, що факторизується за формулою Гахова. За допомогою цих факторизацій, принципу аналітичного продовження, теореми Ліувілля, деяких інших положень теорії функцій комплексної змінної будується точний розв’язок рівняння Вінера-Хопфа, який виражається через інтеграли типу Коші та гамма-функції. На основі даного розв’язку визначаються довжина d лінії D і кут . Зокрема, у випадку вільних від напружень граней клиновидного вирізу

, |

(6)

L=L(б,в), D=L(б,в)F(б,в),

Значення в градусах, L0= L ()103 і значення (k = 1,2,3,4) в градусах,

Lk= L()103, Dk= D()103, які відповідають значенням м, що дорівнюють , наведені у табл.2.

Таблиця 2

б0 | 165 | 168 | 170 | 173 | 175 | 178

92,1 | 95,4 | 95,9 | 99,3 | 101,5 | 104,8

L0 | 64,72 | 62,45 | 60,51 | 59,63 | 59,14 | 58,64

90,2 | 91,7 | 92,9 | 96,5 | 99,9 | 104,1

L1 | 59,32 | 59,03 | 58,88 | 58,69 | 58,47 | 58,36

D1 | 2,99 | 2,63 | 2,44 | 2,14 | 2,07 | 1,98

90,4 | 92,3 | 93,5 | 97,1 | 100,1 | 104,2

L2 | 59,45 | 59,11 | 58,92 | 58,72 | 58,49 | 58,41

D2 | 2,44 | 2,41 | 2,07 | 1,88 | 1,65 | 1,46

90,5 | 93,1 | 94,3 | 98,1 | 100,2 | 104,3

L3 | 59,89 | 59,18 | 58,98 | 58,75 | 58,55 | 58,46

D3 | 1,86 | 1,82 | 1,49 | 1,33 | 1,21 | 1,12

91,3 | 94,1 | 95,3 | 98,3 | 100,6 | 104,5

L4 | 62,36 | 60,51 | 59,02 | 58,90 | 58,77 | 58,59

D4 | 0,57 | 0,49 | 0,45 | 0,44 | 0,42 | 0,40

Аналіз одержаних у даному розділі результатів дозволяє зробити такі висновки. У випадку вільних від напружень сторін кута початкова стадія процесу розвитку зони передруйнування біля кутової точки має два етапи. На першому етапі з’являються дві пластичні смужки-зони, що виходять з кутової точки і утворюють з вільною від напружень межею тіла кут , який збільшується зі зростанням кута 2 між лініями межі. Ці смужки витягуються зі зростанням навантаження. На другому етапі бічні пластичні смужки-зони відхиляються від початкового напрямку розвитку, що призводить до збільшення кута між ними, і з’являється третя смужка-зона, яка розвивається з кутової точки. Ця смужка значно менша бічних. Кут між бічною пластичною смужкою-зоною і межею тіла збільшується зі зростанням кута між лініями межі. Зі зростанням збурення кута між бічною пластичною смужкою і межею тіла, що вноситься третьою смужкою, зменшується. Чим більше у, тим більше довжина бічних пластичних смужок і менше довжина третьої смужки. Зі збільшенням навантаження всі три смужки-зони витягуються. Початкова стадія процесу розвитку зони передруйнування закінчується тоді, коли довжина бічних пластичних смужок перестає бути значно меншою розмірів тіла.

У випадку жорстко затиснених сторін кута, меншого 263°, процес початкового розвитку зони передруйнування біля кутової точки відбувається подібно цьому процесу у випадку вільних від напружень сторін кута. Якщо кут між лініями межі більше 263°, процес, що розглядається, моделлю “тризубець” не описується. У випадку тонкого жорсткого включення на першому етапі початкової стадії пластичні смужки-зони розвиваються вздовж межі розділу середовищ між пружнопластичним тілом та жорстким включенням. Таким чином, пластичні смужки заволочують включення біля його кінця. Це відповідає відомому результату Л.Т. Бережницького і М.М. Кундрата. На другому етапі разом з двома бічними пластичними смужками-зонами, що продовжують свій розвиток вздовж межі розділу середовищ, з кінця включення розвивається третя смужка-зона. Цей результат доповнює згаданий: початкова зона передруйнування біля кінця тонкого жорсткого включення не тільки заволочує його, але частиною своєю розташована на продовженні включення.

У заключенні приводяться основні результати і висновки.

ОСНОВНІ РЕЗУЛЬТАТИ І ВИСНОВКИ

У даній роботі вперше при розгляданні задач про розрахунки початкових пластичних зон передруйнування біля кутових точок – концентраторів напружень в рамках моделей з лініями розриву встановлені деякі випадки зберігання концентрації напружень в кутовій точці при наявності в ній двох ліній ковзання і в цих випадках здійснено розрахунки зон передруйнування в рамках моделі “тризубець”.

Основні результати роботи такі.

1. Здійснено перехід від загальної проблеми розрахунку початкових пластичних зон біля кутових точок – концентраторів напружень до задач теорії пружності для клиновидних тіл.

2. В задачах для клиновидного вирізу з двома лініями ковзання у вершині виведено формули, які визначають напруження та головні члени розвинень напружень в асимптотичні ряди біля вершини.

3. На основі одержаних результатів проведено дослідження напруженого стану біля кутових точок, з яких виходять дві лінії ковзання.

4. За результатами дослідження встановлено діапазони зміни розхилу кута, в яких кутові точки залишаються концентраторами напружень.

5. Вивчено залежність показника степеня сингулярності напружень від кута нахилу ліній ковзання до межі тіла і від розхилу кута.

6. Методом Вінера-Хопфа побудовано розв’язки нових задач теорії пружності для клиновидного вирізу, з вершини якого виходять дві напівнескінченні прямі лінії ковзання і лінія розриву скінченної довжини.

7. З використанням цих розв’язків здійснено розрахунки початкових зон передруйнування біля кутових точок в рамках моделі “тризубець”: виведено формули для визначення довжин пластичних смужок-зон та встановлено напрямки їх розвитку.

8. Виконано розрахунки збурень кута нахилу бічної пластичної смужки-зони до межі тіла, що вносяться третьою смужкою-зоною.

Аналіз одержаних в роботі результатів дозволив зробити такі основні висновки.

1. У випадку вільних від напружень сторін кута, більшого 3290, кутова точка при наявності ліній ковзання, що моделюють початкову пластичну зону, залишається концентратором напружень зі степеневою особливістю. Концентратор слабший, ніж кутова точка при відсутності ліній ковзання. Чим більший кут, тим концентратор сильніший. У випадку жорстко затиснених сторін концентрація напружень зберігається для будь-якого кута. У випадку шарнірно затиснених сторін кутова точка не є концентратором напружень.

2. Якщо має місце випадок зберігання концентрації напружень, то після появи двох бічних пластичних смужок-зон, які розвиваються з кутової точки, слід очікувати розвитку з неї нової пластичної зони передруйнування. В такій ситуації при розрахунку початкової пластичної зони замість моделі з двома лініями ковзання необхідно користуватись іншою моделлю, яка враховує існування нової пластичної зони передруйнування. Такою моделлю може служити модель “тризубець”.

3. Результати розрахунку в рамках моделі “тризубець” показали, що на першому етапі початкової стадії процесу розвитку пластичної зони передруйнування з’являються дві смужки, що витягуються, які виходять з кутової точки і утворюють з межею тіла кут, що збільшується зі зростанням кута між лініями межі. На другому етапі бічні смужки відхиляються від початкового напрямку розвитку, що призводить до збільшення кута між ними, і з’являється третя смужка, яка значно менша бічних. Кут між бічною смужкою та межею збільшується зі зростанням кута між лініями межі. Чим більше у , тим більше довжина бічних смужок і менше довжина третьої смужки, а також збурення кута між бічною смужкою і межею, що вноситься третьою смужкою.

ПУБЛІКАЦІЇ ЗА ТЕМОЮ ДИСЕРТАЦІЙНОЇ РОБОТИ

1. Каминский А.А., Кипнис Л.А., Хазин Г.А. Исследование напряженного состояния вблизи угловой точки при моделировании начальной пластической зоны линиями скольжения // Прикл. механика.– 2001.– 37, №5.– С.93 – 99.

2. Каминский А.А., Кипнис Л.А., Хазин Г.А. Об анализе напряжений в угловой точке жесткого включения при наличии пластической зоны, моделируемой линиями скольжения// Теоретическая и прикладная механика. – Харьков: Основа, 2001. – Вып.32. – С.93 – 102.

3. Каминский А.А., Кипнис Л.А., Хазин Г.А. Расчет пластической зоны в угловой точке в рамках модели “трезубец” // Прикл. механика.– 2002.– 38, № 5.– С.110 – 116.

4. Об использовании модели “трезубец” при расчетах пластических зон вблизи концов трещин и угловых точек / Каминский А.А., Кипнис Л.А., Колмакова В.А., Хазин Г.А. // Прикл. механика. – 2000. – 36, №3. – С.95 – 100.

5. Хазін Г.А. Про поведінку напружень біля кутової точки пружнопластичного тіла при моделюванні пластичної зони лініями ковзання/Уман.держ.пед.ін-т.–Умань, 1998.–7 с.–Деп. в ДНТБ України 13.04.98, №190 – Ук98 // Анот. в РЖ Депоновані наукові роботи, №2, 1998.

6. Кипнис Л.А., Хазин Г.А. Расчет начальной пластической зоны вблизи угловой точки–концентратора напряжений // Деформирование и разрушение материалов с дефектами и динамические явления в горных породах и выработках: Сб. научн. трудов Х Межд. научной конф.– Симферополь: Таврический нац. ун-т им. В.И.Вернадского. – 2000. – С.70 – 72.

7. Кіпніс Л.А., Колмакова В.О., Хазін Г.А. Використання моделі “тризубець” для розрахунків початкових пластичних зон біля кінців тріщин та кутових точок // Тези доповідей 4–го Міжнародного симпозіуму українських інженерів–механіків у Львові.– Львів, 1999. – С.56.

8. Кіпніс Л.А., Хазін Г.А., Павленко О.В. Розрахунки пластичних зон у кінцях тріщин та в кутових точках металевих матеріалів // Збірник наукових праць „Механіка і фізика руйнування будівельних матеріалів та конструкцій”.–Львів: Каменяр,1998.– Вип.3.–С.98-99.

9. Метод Вінера-Хопфа у задачах про тріщини у кутових точках кусково-однорідних тіл. / Кіпніс Л.А., Дудик М.В., Хазін Г.А., Павленко О.В. // Наукові нотатки. Міжвузівський збірник. – Луцьк, 2000. – С.106 – 109.

10. Метод расчета пластических зон вблизи концентраторов напряжений в рамках моделей с пластическими полосами / Кипнис Л.А., Дякон В.Н., Колмакова В.А., Хазин Г.А.// Тезисы Международной конференции “Математическое моделирование в естественных науках”. – Алматы, 1997. – С.143.

11. Тріщини у кутових точках кусково-однорідних тіл / Кіпніс Л.А., Дудик М.В., Хазін Г.А., Павленко О.В. // Збірник наукових праць „Механіка і фізика руйнування будівельних матеріалів та конструкцій”. – Львів: Каменяр, 2000.– Вип.4. – С.105-108.

12. Kipnis L.A., Dyakon V.N., Kolmakova V.A., Khazin G.A. and Pavlenko A.V. Initial development of plastic strips from corner points // Proc. International conference: Physycal mesomechanics and computer aided design of advaced materials and technologies–MESOMECHANICS’98. – TelAviv (Israel). – 1998. – P.71.

АНОТАЦІЯ

Хазін Г.А. Дослідження механічних моделей процесу передруйнування біля кутових точок в умовах плоскої деформації. – Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01.02.04 – механіка деформівного твердого тіла. – Інститут механіки ім. С.П. Тимошенка НАН України, Київ, 2003.

В умовах плоскої деформації в рамках статичної симетричної задачі теорії пружності проведено дослідження моделей початкової стадії процесу розвитку зони передруйнування біля кутової точки однорідного ізотропного пружнопластичного тіла, яка є концентратором напружень. Показано, що при певних крайових умовах у певних діапазонах зміни розхилу кута кутова точка, з якої виходить пара прямих ліній ковзання, що моделює початкову пластичну зону передруйнування, залишається концентратором напружень, а тому, замість моделі з двома лініями ковзання, яка широко практикується у даний час, необхідно користуватись іншою моделлю початкової зони передруйнування. В якості цієї нової моделі початкової зони передруйнування біля кутової точки пропонується використовувати модель “тризубець”. Згідно з даною моделлю, з кутової точки виходять дві лінії ковзання та ще одна лінія розриву значно меншої довжини. На основі точних розв’язків нових задач теорії пружності для клиновидних тіл з тріщинами, які побудовані методом Вінера-Хопфа, у випадках збереження концентрації напружень здійснено розрахунки початкових зон передруйнування біля кутових точок в рамках моделі “тризубець”.

Ключові слова: кутова точка, задача теорії пружності, концентратор напружень, пластична зона передруйнування, лінія розриву, лінія ковзання, модель “тризубець”, метод Вінера-Хопфа.

АННОТАЦИЯ

Хазин Г.А. Исследование механических моделей процесса предразрушения вблизи угловых точек в условиях плоской деформации. – Рукопись.

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.02.04 – механика деформируемого твердого тела. – Институт механики им. С.П. Тимошенко НАН Украины, Киев, 2003.

В условиях плоской деформации в рамках симметричной статической задачи теории упругости проведены исследования моделей начальной стадии процесса развития зоны предразрушения вблизи угловой точки однородного изотропного упругопластического тела, являющейся концентратором напряжений. Показано, что при определенных граничных условиях в определенных диапазонах изменения раствора угла угловая точка, из которой исходит пара прямых линий скольжения, моделирующая начальную пластическую зону предразрушения, остается концентратором напряжений, а потому, вместо широко практикуемой в настоящее время модели с двумя линиями скольжения, необходимо пользоваться другой моделью начальной зоны предразрушения. В качестве этой новой модели начальной зоны предразрушения вблизи угловой точки предлагается использовать модель “трезубец”. Согласно данной модели, из угловой точки исходят две линии скольжения и еще одна линия разрыва значительно меньшей длины, на которой нормальное напряжение равно заданной постоянной материала ?. На основе точных решений новых задач теории упругости для клиновидных тел с трещинами, построенных методом Винера-Хопфа, в случаях сохранения концентрации напряжений осуществлены расчеты начальных зон предразрушения вблизи угловых точек в рамках модели “трезубец”. В соответствии с результатами расчетов на первом этапе начальной стадии процесса развития пластической зоны предразрушения появляются две вытягивающиеся полоски, исходящие из угловой точки и образующие с границей тела угол, увеличивающийся с ростом угла между линиями границы. На втором этапе боковые полоски отклоняются от первоначального направления развития, что приводит к увеличению угла между ними, и появляется третья полоска, в значительной степени меньшая боковых. Угол между боковой полоской и границей увеличивается с ростом угла между линиями границы. Чем больше у, тем больше длина боковых полосок и меньше длина третьей полоски, а также возмущение угла между боковой полоской и границей, вносимое третьей полоской.

Ключевые слова: угловая точка, задача теории упругости, концентратор напряжений, пластическая зона предразрушения, линия разрыва, линия скольжения, модель “трезубец”, метод Винера-Хопфа.

SUMMARY

Khazin G.A. Research of mechanical models of prefracture process near to angular points under conditions of plane deformation. – Manuscript.

Thesis for candidate’s degree of physical and mathematical sciences on speciality 01.02.04 – mechanics of deformable solid.– S.P. Timoshenko Institute of mechanics of National Academy of Sciences of Ukraine, Kyiv, 2003.

Under conditions of plane deformation within the frame of a static symmetrical problem of a theory of elastic strength the researches of models of an initial state of process of development of a prefracture zone near to an angular point of a homogeneous isotropic elastoplastic body which is the stress concentrator are conducted. It is shown, that under certain boundary conditions in definite ranges of a change of solution of a corner an angular point, from which a pair of straight slip lines run modeling initial plastic prefracture zone remains by a stress raiser, that is why instead of a widely practiced now model with two slip lines, it is necessary to use the other model of an initial prefracture zone. As a new model of an initial prefracture zone near to an angular point it is offered to use a "trident" model. According to this model, from an angular point two slip lines and one more gap line of a considerably smaller length run. On the basis of the precise solutions of new problems of a theory of elastic strength for wedge-shaped bodies with cracks constructed by a Wiener-Hopf method, in the cases of preservation of stress concentrations the calculations of initial prefracture zones near to angular points are carried out within the frame of a "trident" model.

Keywords: an angular point, problem of the theory of elastic strength, stress concentrator, plastic prefracture zone, line of a gap, slip line, "trident" model, Wiener-Hopf method.