НАЦІОНАЛЬНА АКАДЕМІЯ НАУК УКРАЇНИ

ІНСТИТУТ МАТЕМАТИКИ

ЖИГАЛЛО Костянтин Миколайович

УДК 517.5

НАБЛИЖЕННЯ ГАРМОНІЙНИМИ ТА БІГАРМОНІЙНИМИ

ІНТЕГРАЛАМИ ПУАССОНА

НА КЛАСАХ -ДИФЕРЕНЦІЙОВНИХ ФУНКЦІЙ

01.01.01 – математичний аналіз

Автореферат

дисертації на здобуття наукового ступеня

кандидата фізико-математичних наук

Київ – 2003

Дисертацією є рукопис.

Робота виконана у Волинському державному університеті імені Лесі Українки, МОН України.

Науковий керівник

кандидат фізико-математичних наук, доцент

ХАРКЕВИЧ Юрій Іліодорович,

Волинський державний університет імені Лесі
Українки,

завідувач кафедри диференціальних рівнянь та
математичної фізики.

Офіційні опоненти :

член-кореспондент НАН України
доктор фізико-математичних наук

МОТОРНИЙ Віталій Павлович,

Дніпропетровський національний університет,
завідувач кафедри теорії функцій

кандидат фізико-математичних наук, доцент

РУКАСОВ Володимир Іванович,

Слов’янський державний педагогічний університет,
в.о. ректора

Провідна установа: Національний технічний університет України (КПІ), кафедра математичного аналізу та теорії імовірності.

Захист відбудеться 27 травня 2003 р. о 15 годині на засіданні спеціалізованої вченої ради Д 26.206.01 Інституту математики НАН України за адресою: 01601 Київ 4, вул. Терещенківська, 3.

З дисертацією можна ознайомитись у бібліотеці Інституту математики НАН України

Автореферат розісланий 24 квітня 2003 р.

Вчений секретар

спеціалізованої вченої ради Романюк А.С.

Загальна характеристика роботи

У даній роботі вивчаються оцінки наближень на класах -диференційовних періодичних функцій гармонійними та бігармонійними інтегралами Пуассона.

Актуальність теми. На теперішній час у галузі теорії апроксимації розроблено багато методів наближення тригонометричними поліномами у просторах періодичних функцій, серед яких існують як лінійні методи, що побудовані на базі сум Фур’є, так i нелінійні методи. Серед лінійних слід виділити такі, що визначаються числовими матрицями (методи Фейєра, Валле-Пуссена, Зигмунда, Рогозинського, Рісса, Коровкіна, тощо), і такі, що визначаються множиною функцій (методи наближення гармонійними та бігармонійними інтегралами Пуассона).

Апроксимативні властивості методу наближення гармонійними інтегралами Пуассона , на класах Соболєва , , та класах спряжених функцій досліджувались в роботах багатьох математиків: В.П. Натансона, О.П. Тімана, Б. Надя, Е.Л. Штарка, В.О. Баскакова, Л.П. Фалалеєва та інших. Ними були отримані точні (при ) та асимптотично точні (при ) рівності для величин

у випадках і , а також асимптотичний розклад цієї величини при . В той же час, з тих чи інших причин питання про знаходження асимптотичних розкладів апроксимативних характеристик при , , , , і значень цих характеристик при , , залишались відкритими.

Апроксимативні властивості методу наближення бігармонійними інтегралами Пуассона досліджувались для класів , . С. Канієв одержав точні значення величин

при , , .

О.I. Степанцем була запропонована класифікація періодичних функцій, котра базується на понятті - похідної. Внаслідок цього були введені класи та , які при спеціальному виборі параметрів, що їх визначають, співпадають з класами Соболєва та Вейля-Надя .

Природно постало питання про дослідження швидкості наближень гармонійними та бігармонійними інтегралами Пуассона на таких класах. Оцінки зверху та асимптотичні рівності для величин і були отримані Ю.І. Харкевичем та А.К. Новіковою. Питання про знаходження асимптотичних рівностей для характеристик і залишались відкритими.

Об’єктом дисертаційного дослідження є апроксимативні властивості методів наближення періодичних функцій гармонійними інтегралами Пуассона

, , ,

та бігармонійними інтегралами Пуассона

,

, .

Предметом дослідження є оцінка швидкості наближення функцій з класів , (і, зокрема, класів та ) їх гармонійними та бігармонійними інтегралами Пуассона.

Мета і задачі дослідження.

1. Одержати асимптотичні розклади величин , та , при .

2. Знайти точні значення при апроксимативних характеристик для всіх .

3. Отримати асимптотичні розклади величин , та , при .

4. Встановити значення характеристик при і .

5. Знайти оцінки швидкості наближення бігармонійними інтегралами Пуассона на класах та відповідно в рівномірній та інтегральній метриці при , .

Методи. У роботі застосовуються загальні методи математичного аналізу у поєднанні із спеціальними методами теорії наближення функцій, що розвинені у роботах О.І. Степанця, О.П. Тімана, С.О. Теляковського, Е.Л. Штарка.

Наукова новизна одержаних результатів. Результати роботи є новими і полягають у наступному:

1. Встановлені асимптотики величин , та , при .

2. Отримані значення при апроксимативних характеристик для всіх .

3. Одержано асимптотичні розклади величин , та , при .

4. Знайдені значення характеристик при і .

5. Встановлено порядкові оцінки, а в деяких випадках асимптотичні рівності для верхніх меж наближень бігармонійними інтегралами Пуассона на класах та відповідно в рівномірній та інтегральній метриці при , .

Практичне значення одержаних результатів. Результати роботи носять теоретичний характер. Вони, а також методика їх отримання, можуть бути використані при подальшому вивченні питань теорії наближення функцій. Зокрема, запропонований у роботі спосіб відшукання асимптотичних розкладів величин , може бути використаний і для інших лінійних методів наближення .

Особистий внесок здобувача. Визначення загального напрямку дисертаційного дослідження, а також постановка задач належить члену-кореспонденту НАН України, доктору фіз.-мат. наук О.І. Степанцю і науковому керівнику - кандидату фіз.-мат. наук Ю.І. Харкевичу. Результати по наближенню функцій класів та бігармонійними інтегралами Пуассона [1, 6, 8] одержано здобувачем самостійно. Роботи [2—5, 7] написані спільно з науковим керівником Ю.І. Харкевичем. В кожній з них Ю.І. Харкевичу належить постановка задач та деякі ідеї по їх вирішенню. Конкретне розв’язання поставлених у вказаних роботах проблем здійснювалось безпосередньо автором.

Апробація результатів дисертації. Результати роботи доповідались на: —

семінарах відділу теорії функцій (Інститут математики НАН України, керівник семінару: член-кореспондент НАН України О.I. Степанець); —

об’єднаному семінарі з теорії функцій (Інститут математики НАН України, керівники семінару: академік НАН України М.П. Корнєйчук, член-кореспондент НАН України О.I. Степанець, професор П.М. Тамразов); —

Міжнародній конференції з теорії наближення функцій та її застосувань, присвяченій пам’яті В.К. Дзядика (Київ, 1999 р.); —

Українському математичному конгресі, присвяченому 200-рiччю з дня народження М.В. Остроградського (Київ, 2001 р.).

Публікації. Основні результати, які висвітлені в дисертації, опубліковано в роботах [12–12].

Структура дисертації. Дисертація складається з переліку умовних позначень, вступу, чотирьох розділів, висновків i списку використаних джерел.

Перший розділ носить допоміжний характер. В ньому формулюється задача, наводяться необхідні позначення та твердження, які неодноразово використовуються надалі, проводиться огляд літератури, висвітлюються основні аспекти розвитку наукової думки та зазначаються питання, які залишалися невирішеними при проведенні досліджень у даному напрямку.

Другий розділ дисертаційної роботи присвячений дослідженню наближення функцій класів та їх гармонійними інтегралами Пуассона. Причому, основна увага приділяється знаходженню верхніх меж наближень гармонійними інтегралами Пуассона на класах . Разом з тим, розвинена техніка дозволяє отримувати верхні межі і на класах.

У підрозділ 2.1 формулюється задача, наводяться необхідні позначення та твердження.

Перш ніж перейти до формулювання основних результатів підрозділу 2.2, наведемо означення:

Формальний ряд ${\sum\limits_{n = 0}^{\infty} {g_{n}}} \left({\rho} \right)$ називається \it{асимптотичним розкладом} або \textit{асимптотикою} функції $f\left( {\rho} \right)$ при $\rho \to 1 - $, якщо для довільного натурального $N$, при $\rho\to1 -$

і для всіх $n$

Коротко будемо це записувати наступним чином

У підрозділі 2.2 одержано асимптотичний розклад верхньої межі наближення функцій класів $W^r$ та $\overline{W}^r$ їх гармонійними інтегралами Пуассона.

Основними твердженнями цього підрозділу є наступні теореми.

Теорема 2.1. Якщо $r = 2l$, $l \in N$, то має місце наступний асимптотичний розклад:

$$

{\cal E} \left( {\overline {W}^{r},A_{\rho}} \right)_{C} \cong

{\frac{{2}}{{\pi}} }{\sum\limits_{k = 1}^{\infty} {{\left\{

{\alpha _{k}^{r} \left( {1 - \rho} \right)^{k}\ln {\frac{{1}}{{1 -

r}}} + \beta _{k}^{r} \left( {1 - \rho} \right)^{k}} \right\}}}},

$$

де при $k \in N$

{a_{i - 1}^{j - 1} - a_{i}^{j - 1} \left( {j - 2} \right),n + 1 = i \le j,}

Теорема 2.2. Якщо $r = 2l - 1$, $l \in N$, то має місце наступний асимптотичний розклад:

\[

{\cal E} \left( {\overline {W}^{r},A_{\rho}} \right)_{C} \cong

{\frac{{4}}{{\pi}} }{\sum\limits_{k = 1}^{\infty} {\gamma

_{k}^{r} \left( {1 - \rho} \right)^{k}}} ,

\]

де при $k \in N$

Асимптотичні оцінки величини ${\cal E}\left(\overline W^{1},A_{\rho}\right)_C$ отримані Б.~Надем.

Теорема 2.3. Мають місце наступні асимптотичні розклади:

\[

{\cal E} \left( {W^{r},A_{\rho}} \right)_{C} \cong

\]

де коефіцієнти $\alpha _{k}^{r} $, $\beta _{k}^{r} $ і $\gamma_{k}^{r} $ обчислюються відповідно за допомогою формул (\ref{vstalfalema}), (\ref{vstbetalema}) і (\ref{vstgamalema}).

Асимптотичний розклад величини ${\cal E}\left(W^{1},A_{\rho}\right)_{C}$ отриманий Е.Л.~Штарком.

У підрозділі 2.3 знайдено верхню межу наближення гармонійними інтегралами Пуассона функцій класу $\overline {W}^{r}$ для довільного ${0\leq \rho<1}$.

Справедлива наступна теорема.

Теорема 2.4. Для довільних $l \in N$ і $0 < \rho <1$ мають місце рівності:

{\cal E}\left(\overline{W}^{2l},A_{\rho}\right)_{C}=

У випадку $r=1$ твердження теореми 2.4 встановлено Б.~Надем.

Третій розділ дисертаційної роботи присвячений дослідженню наближення на класах $W^r$ та $\overline{W}^r$ бігармонійними інтегралами Пуассона.

У підрозділі 3.1 формулюється постановка задачі та вводяться необхідні позначення.

Підрозділ 3.2 присвячений знаходженню асимптотичного розкладу верхньої межі наближення функцій класу $W^1$ їх бігармонійними інтегралами Пуассона. Основним твердження цього підрозділу є наступна теорема.

Теорема 3.1. Має місце наступний асимптотичний розклад

$$

{\cal E}\left(W^1,P_\rho\right)_{C}\cong\frac{2}{\pi }\left( {1 -

\right)^2+

де

\[

\gamma _k = \frac{1}{k}\left( {\ln 2 + \frac{1}{k} -\sum\limits_{j = 1}^{k - 1} {\frac{{2^{ - j} \]

У підрозділі 3.3 знайдено верхню межу наближення функцій класу $\overline{W}^2$ їх бігармонійними інтегралами Пуассона.

Справедливою є наступна теорема.

Теорема 3.2. Має місце наступний асимптотичний розклад: [Ф] [Ф] [Ф] де коефіцієнти [Ф] і [Ф] обчислюються відповідно за допомогою формул (1) і (2).

Підрозділ 3.4 присвячений знаходженню асимптотичних розкладів апроксимативних характеристик [Ф], при [Ф], [Ф] і [Ф], [Ф]. Основними твердженнями цього підрозділу є наступні теореми.

Теорема 3.3. Мають місце наступні асимптотичні розклади:

[Ф]

де коефіцієнти [Ф], [Ф] і [Ф] обчислюються відповідно за допомогою формул (1), (2) і (3).

Зазначимо, що з теорем 2.1, 2.2, 3.2, 3.3 випливає, що при [Ф] і [Ф] мають місце наступні асимптотичні рівності:

Порівнюючи (6) із (7), (8), бачимо, що при [Ф] і [Ф] праві частини в (7), (8) по порядку менші ніж у (6).

Теорема 3.4. Мають місце наступні асимптотичні розклади:

[Ф]

де коефіцієнти [Ф], [Ф] і [Ф] обчислюються відповідно за допомогою формул (1), (2) і (3).

Порівнюючи теорему 2.3 з 3.1, 3.4, бачимо, що при [Ф] величина [Ф] на порядок більша ніж [Ф].

Теореми 3.1 – 3.4 встановлюють асимптотичні оцінки апроксимативних характеристик [Ф] при [Ф], [Ф] і [Ф]. У підрозділі 3.5 отримані значення цих величин при [Ф] і [Ф]. Має місце наступна теорема.

Теорема 3.5 Для довільних [Ф] і [Ф] мають місце рівності:

[Ф]

де [Ф] і [Ф] означені відповідно за допомогою співвідношень (5) і (4).

Розділ 4 присвячений наближенню [Ф]-диференційовних функцій їх бігармонійними інтегралами Пуассона. У підрозділі 4.1 вводяться основні поняття та допоміжні твердження.

Нехай [Ф], [Ф] - ряд Фур’є функції [Ф], [Ф] – довільна функція натурального аргументу і [Ф] – фіксоване дійсне число. Припустимо, що ряд [Ф] є рядом Фур’є деякої сумовної функції. Тоді цю функцію позначають [Ф] і називають [Ф]-похідною функції [Ф].

Множину функцій [Ф], у яких існує [Ф]-похідна, позначають [Ф], а підмножину неперервних функцій із [Ф] – через [Ф]. Якщо [Ф] і [Ф] [Ф], то кажуть, що [Ф] належить класу [Ф]. А якщо [Ф] і [Ф] [Ф], то – [Ф] належить класу [Ф].

Зауважимо, що якщо [Ф], то [Ф] і [Ф] – [Ф]-похідна в розумінні Вейля-Надя.

Нехай [Ф] - множина опуклих донизу неперервних на [Ф] спадних до нуля функцій [Ф]; [Ф] [Ф] і [Ф] де [Ф], [Ф], – константи, які можуть залежати від [Ф], [Ф] – обернена до функції [Ф].

При [Ф] бігармонійний інтеграл будемо позначати через [Ф].

В розділі 4 вивчається асимптотична поведінка величин [Ф] [Ф] коли [Ф] і [Ф].

Покладемо

[Ф]
де [Ф], [Ф] - функція визначена і неперервна при всіх [Ф].

Має місце наступна теорема.

Теорема 4.1. Нехай [Ф], функція [Ф] опукла вгору або вниз і [Ф]

Тоді при [Ф] має місце рівність

[Ф] де

[Ф]

і для цієї величини справедлива оцінка

[Ф] [Ф]

Наслідок 4.1. Якщо функція [Ф] задовольняє умову (9) і [Ф], то при [Ф] має місце асимптотична рівність

[Ф]

Прикладом функцій, які задовольняють умови наслідку 4.1, є [Ф], де [Ф].

Наслідок 4.2. Нехай [Ф], функція [Ф] опукла вгору або вниз, [Ф] [Ф]

тоді при [Ф] має місце асимптотична рівність [Ф]

Зазначимо, що функції виду [Ф], [Ф], задовольняють умови наслідку 4.2.

Наслідок 4.3. Нехай [Ф], функція [Ф] опукла вниз, [Ф] [Ф]

тоді при [Ф] має місце асимптотична рівність [Ф]

Прикладами функцій [Ф], для яких має місце наслідок 4.3, є

[Ф], [Ф]

[Ф], [Ф].

Зокрема, при [Ф] [Ф]

В умовах теореми 4.1, якщо [Ф] то рівність (10) не є асимптотичною. Для цього випадку асимптотичні рівності встановлює наступна теорема.

Теорема 4.2. Якщо [Ф], функція [Ф] опукла вниз i [Ф] то при [Ф] має місце асимптотична рівність [Ф]

[Ф]

Прикладами функцій [Ф], для яких має місце теорема 4.2, є:

[Ф], [Ф];

[Ф], [Ф], [Ф], [Ф], [Ф].

Наближення функцій класів [Ф] бігармонійними інтегралами Пуассона розглянуто в пункті 4.3. У ньому доведена наступна теорема.

Теорема 4.3. Нехай [Ф], функція [Ф] опукла вгору або вниз і для функції [Ф] виконується умова (9). Тоді при [Ф] має місце рівність

[Ф]

де [Ф] визначена рівністю (11) і для цієї величини справедлива оцінка (12).

Висновки

У дисертаційній роботі вивчається оцінка швидкості наближення функцій з класів [Ф], [Ф] (і, зокрема, класів [Ф] та [Ф]) їх гармонійними та бігармонійними інтегралами Пуассона. Зокрема, в ній:

1. Встановлені асимптотики величин , та , при .

2. Отримані значення при апроксимативних характеристик для всіх .

3. Одержано асимптотичні розклади величин , та , при .

4. Знайдені значення характеристик при і .

5. Встановлено порядкові оцінки, а в деяких випадках асимптотичні рівності для верхніх меж наближень бігармонійними інтегралами Пуассона на класах та відповідно в рівномірній та інтегральній метриці при , .

Основні результати дисертації опубліковано в наступних роботах:

1. Жигалло К.М. Про наближення бігармонійними операторами Пуассона класів [Ф]-диференційовних функцій // Теорія наближення функцій та її застосування / Праці Ін-ту математики НАН України. Т.31. – Київ, 2000. — 31. — С. 227–236.

2. Жигалло К.М., Харкевич Ю.І. Про наближення функцій класу Гельдера бігармонійними інтегралами Пуассона // Укр. мат. журн. – 2000. – 52, № 7. – С. 971-974.

3. Жигалло К.М., Харкевич Ю.І. Повна асимптотика відхилення від класу диференційовних функцій множини їх гармонійних інтегралів Пуассона // Укр. мат. журн. – 2002. – 54, № 1. – С. 43-52.

4. Жигалло К.М., Харкевич Ю.І. Наближення диференційовних періодичних функцій їх інтегралами Пуассона // Доповіді НАН України. – 2002. – №5. – С. 18-23.

5. Жигалло К.М., Харкевич Ю.І. Наближення диференційовних періодичних функцій їх бігармонійними інтегралами Пуассона // Укр. мат. журн. – 2002. – 54, № 9. – С. 1213–1219.

6. Жигалло К.М. Наближення [Ф]-диференційовних функцій їх бігармонійними операторами Пуассона в рівномірній метриці. — Київ, 2002. — 30 с. — /Препр. /Ін-т математики НАН України; 02.05/.

7. Харкевич Ю.І., Жигалло К.М. Точна оцінка відхилення від класу диференційовних функцій множини їх гармонійних інтегралів Пуассона // Теорія наближення та гармонічний аналіз: Тез. доп. укр. мат. конгресу — 2001. — Київ: Ін-т математики НАН України, 2001. – С. 64.

8. Жигалло К.М. Наближення [Ф]-диференційовних функцій їх бігармонійними операторами Пуассона в рівномірній та інтегральній метриках // Теорія наближення та гармонічний аналіз: Тез. доп. укр. мат. конгресу — 2001. — Київ: Ін-т математики НАН України, 2001. – С. 24-25.

Жигалло К.М. Наближення гармонійними та бігармонійними інтегралами Пуассона на класах диференційовних функцій. – Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01.01.01 – математичний аналіз. – Інститут математики НАН України, Київ, 2003.

У дисертаційній роботі вивчається оцінка швидкості наближення функцій з класів , (і, зокрема, класів та ) їх гармонійними та бігармонійними інтегралами Пуассона. Зокрема, в ній знайдено асимптотичні розклади (при ) верхніх меж наближень гармонійними інтегралами Пуассона на класах , , та бігармонійними інтегралами Пуассона на класах. Одержано значення цих величин на класах. Отримані асимптотичні рівності для верхніх меж відхилень функцій з класів від їх бігармонійних інтегралів Пуассона в рівномірній та інтегральній метриці.

Ключові слова: гармонійний інтеграл Пуассона, бігармонійний інтеграл Пуассона, асимптотичний розклад, асимптотична рівність.

Жигалло К.Н. Приближение гармоническими и бигармоническими интегралами Пуассона на классах дифференцируемых функций. – Рукопись.

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.01.01. – математический анализ. – Институт математики НАН Украины, Киев, 2003.

Диссертация посвящена исследованию скорости приближения функций с классов $C_{\beta,\infty}^{\psi}$, $L_{\beta,1}^{\psi}$ (и, в частности, классов $W^r$ и $\overline{W}^r$) их гармоническими и бигармоническими интегралами Пуассона. В ней найдено асимптотические разложения (при $\rho\rightarrow 1-$) верхних граней приближения гармоническими интегралами Пуассона на классах $W^r,\ r\in N\setminus\{1\}$, $\overline{W}^r,\ r\in N$, и бигармоническими интегралами Пуассона на классах $W^r,\ r\in N$, $\overline{W}^r,\ r\in N\setminus\{1\}$. Получено значение (при ${0\leq \rho<1}$) этих величин на классах ${W}^r,\ r\in N\setminus\{1\}$.

Сформулируем основные результаты в этом направлении.

Теорема 2.1. \it Если $r = 2l$, $l \in N$, то имеет место следующее асимптотическое разложение:

$$

{\cal E} \left( {\overline {W}^{r},A_{\rho}} \right)_{C} \cong{\frac{{2}}{{\pi}} }{\sum\limits_{k = 1}^{\infty+ \beta _{k}^{r} \left( {1 - \rho} \right)^{k}} \right\}}}},

$$

где коэффициенты $\alpha _{k}^{r} $ и $\beta _{k}^{r} $ вычисляются соответственно с помощью формул (\ref{vstalfalema}) и (\ref{vstbetalema}).

Теорема 2.2. Если $r = 2l - 1$, $l \in N$, то имеет место следующее асимптотическое разложение:

\[

{\cal E} \left( {\overline {W}^{r},A_{\rho}} \right)_{C} \cong{\frac{{4}}{{\pi}} }{\sum\limits_{k = 1}^{\infty} {\gamma_{k}^{r} \left( {1 - \rho} \right)^{k}}} ,

\]

где коэффициенты $\gamma _{k}^{r}$ вычисляются с помощью формул (\ref{vstgamalema}).

Теорема 2.3. Имеют место асимптотические разложения:

\[

{\cal E} \left( {W^{r},A_{\rho}} \right)_{C} \cong

$$

$$

\cong{\left\{ {\begin{array}{l} {{\frac{{2}}{{\pi}} }{\sum\limits_{k = 1}^{\infty} {{\left\{ \rho} {1 - \rho} \right)^{k}}} , r = 2l,} \end{array}} \right.}, quad l \in N,\]

где коэффициенты $\alpha _{k}^{r} $, $\beta _{k}^{r} $ и $\gamma_{k}^{r}$ вычисляются соответственно с помощью формул \ref{vstalfalema}), (\ref{vstbetalema}) и (\ref{vstgamalema}).

Теорема 3.3. Имеют место асимптотические разложения:

\[

{\cal E} \left( {\overline{W}^{r},P_{\rho}} \right)_{C} \cong\left( {K_{r - 1} + {\frac{{1}}{{2}}}\tilde {K}_{r - 2}}\right)\left( {1 - \rho} \right)^{2} +

\]

\[

{\left. { + {\left[ {\beta _{k}^{r} + \beta _{k - 1}^{r - 1} -

{\frac{{1}}{{2}}}\beta _{k - 2}^{r - 1}} \right]}\left( {1 -

\rho} \right)^{k}} \right\}} , \quad r = 2l + 2, \quad l \in N;

\]

\[

{\cal E} \left( {\overline {W}^{r},P_{\rho}} \right)_{C} \cong left( {K_{r - 1} + {\frac{{1}}{{2}}}\tilde {K}_{r - 2}} \right)\left( {1 - \rho} \right)^{2} +

\]

\[

+ {\frac{{4}}{{\pi}} }{\sum\limits_{k = 3}^{\infty} {{\left[ {\gamma2l + 1, \quad l \in N,

\]

где коэффициенты $\alpha _{k}^{r} $, $\beta _{k}^{r} $ и $\gamma_{k}^{r}$ вычисляются соответственно с помощью формул (\ref{vstalfalema}), (\ref{vstbetalema}) и (\ref{vstgamalema}).

В работе также найдены асимптотические равенства для верхних раней приближения функций классов $C_{\beta,\infty}^\psi$ и $L_{\beta,1}^{\psi}$ в равномерной и интегральной метриках при $\beta\in R$ і $\psi\in \gM_0$.

Ключевые слова: гармонический интеграл Пуассона, бигармонический интеграл Пуассона, асимптотическое разложение, асимптотическое равенство.

Zhyhallo K.M. Best trigonometric approximations of classes of periodical functions of several variables. – Manuscript.

The thesis for a scientific degree of Candidate of Physical and Mathematical Sciences in speciality 01.01.01 – mathematical analysis.– Institute of Mathematics of the National Academy of Sciences of Ukraine, Kyiv, 2002.

Dissertation is devoted research of speed approximation functions with classes $C_{\beta, \infty} ^ {\psi} $, $L _ {\beta, 1} ^{\psi} $ (and, in particulars, classes $W^r $ and $ \overline {W}^r $) them of Poisson's harmonic and beharmonic integrals. In it is found asymptotic of decomposition (at $\rho\rightarrow 1-$) top sides of approximation of Poisson's harmonic integrals on classes $W^r,\ r\in N\setminus\{1 \}$, $\overline {W} ^r, \ r\in N$ and of Poisson's beharmonic integrals on classes $W^r, \ r\in N$, $\overline{W}^r,\ r\in N\setminus\{1\}$. The meaning (is received at ${0\leq \rho < 1}$) these sizes on classes ${W} ^r,\ r\in N\setminus \{1 \}$. Are found asymptotic of equality for top sides of approximation of functions of classes $C _ {\beta, \infty} ^ \psi $ and $L _ {\beta, 1} ^ {\psi} $ in the uniform and integrated metrics at $\beta\in R $ і $ \psi\in \gM_0 $.

Key words: of Poisson’s harmonic integral, of Poisson’s beharmonic integral, of Poisson’s polyharmonic integrals, asymptotic of decomposition.

Підп. до друку 08.04.2003. Формат 60x90/16. Папір офс. Офс. друк.
Ум. друк. арк. 1,39. Ум фарбо-відб. 1,39. Обл.-вид. арк. 0,9.
Тираж 100 пр. Зам. № 800

Віддруковано в РВВ “Вежа” Волинського державного університету
ім. Лесі Українки
43025 Луцьк, пр. Волі, 13