Київський національний університет імені Тараса Шевченка

Кубічка Андрій Андрійович

УДК 517.9

Дослідження вироджених випадків у теорії збурень

коізотропних інваріантних торгів гамільтонових систем

01.01.02 – диференціальні рівняння.

Автореферат дисертації на здобуття наукового ступеня

кандидата фізико-математичних наук

Київ – 2003

Дисертацією є рукопис

Робота виконана в Київському національному університеті

імені Тараса Шевченка

Науковий керівник – доктор фізико-математичних наук, професор

Парасюк Ігор Остапович, Київський національний університет

імені Тараса Шевченка, професор кафедри інтегральних

та диференціальних рівнянь.

Офіційні опоненти: доктор фізико-математичних наук, професор

Самойленко Валерій Григорович, Київський національний

університет імені Тараса Шевченка, завідувач

кафедри математичної фізики.

Кандидат фізико-математичних наук Бурилко Олександр Андрійович,

Інститут математики НАН України, науковий співробітник відділу

диференціальних рівнянь і теорії коливань.

Провідна установа – Інститут прикладних проблем механіки

і математики ім. Я.С. Підстригача НАН України, м. Львів,

відділ нелінійного аналізу.

Захист відбудеться 22 вересня 2003 року о 14 годині на засіданні

спеціалізованої вченої ради Д 26.001.37 в Київському національному

університеті імені Тараса Шевченка за адресою:

03022, м. Київ, 22, прос. Академіка Глушкова, 6, корпус 7,

механіко-математичний факультет.

З дисертацією можна ознайомитись у бібліотеці Київського

національного університету імені Тараса Шевченка а адресою:

01033, м. Київ, вул. Володимирська, 58.

Автореферат розіслано 12 липня 2003 року.

Вчений секретар спеціалізованої вченої ради М.П. Моклячук

Загальна характеристика роботи

Актуальність теми. Початок 50-х років ХХ сторіччя ознаменувався значним прогресом у розв’язанні низки важливих задач нелінійної динаміки, пов’язаних зі знаменитою проблемою малих знаменників. Ідея А.М.Колмогорова щодо поєднання асимптотичних методів послідовних замін змінних з методом прискореної збіжності ньютонівського типу відкрила широкі перспективи для одержання строгих результатів про збереження квазіперіодичних рухів та інваріантних торів інтегровних гамільтонових систем при малих збуреннях функції Гамільтона та лягла в основу нового напрямку досліджень, який в сучасній літературі дістав назву КАМ-теорії (теорії Колмогорова-Арнольда-Мозера). Основоположний результат цієї теорії – теорема Колмогорова, анонсована у 1954 році, – стверджує, що за умови функціональної незалежності частот квазіперіодичних рухів аналітичної інтегровної за Ліувіллем гамільтонової системи більшість (в сенсі міри Лебега) її інваріантних торів під впливом малих збурень функції Гамільтона не руйнуються, а лише зазнають малих деформацій. Рухи на цих деформованих торах – квазіперіодичні й ергодичні.

Свій подальший розвиток дослідження, розпочаті Колмогоровим, знайшли в роботах В.І.Арнольда та Ю.Мозера. В.І.Арнольд навів повне доведення цитованої вище теореми, розповсюдив її на системи з виродженнями, навів важливі приклади застосувань у класичній і небесній механіці. Ю.Мозером для розв’язання задач, пов’язаних з проблемою малих знаменників у категорії скінченно диференційовних функцій, був запропонований так званий метод згладжування.

Важливим результатом в рамках неформальної теорії збурень квазіперіодичних розв’язків неконсервативних систем нелінійної механіки став метод штучних параметрів у поєднанні з методом прискореної збіжності, розроблений незалежно М.М.Боголюбовим та Ю.Мозером і розвинутий Ю.О.Митропольським та А.М.Самойленком. Слід відзначити, що зазначені дослідження значною мірою стимулювали активний розвиток в Україні теорії багаточастотних коливань. Важливі результати в цьому напрямку були одержані О.Б.Ликовою, Д.І.Мартинюком, М.О.Перестюком, В.І.Фодчуком, В.Л.Куликом, Р.І.Петришиним, В.І.Ткаченком.

У подальшому КАМ-теорія продовжувала активно розвиватись. Велика кількість робіт була присвячена вдосконаленню техніки, яка застосовується при доведенні КАМ-теорем; розвитку нових напрямів і підходів, серед яких відзначимо: результати Пошеля про вкладення лагранжевих інваріантних торів в гладку в сенсі Вітні сім’ю, модифікований метод штучних параметрів Севрюка-Ермана, встановлення нових умов невиродженості гамільтонових систем Рюссманом та Брюно, прямі методи побудови інваріантних торів та квазіперіодичних розв’язків у вигляді збіжних степеневих рядів, дослідження поведінки траєкторій у щілинах між колмогоровськими торами, варіаційний метод Персіваля, з’ясування механізмів руйнування інваріантних торів та розвиток ренормалізаційних методів, розповсюдження КАМ-теорії на нелінійні рівняння в частинних похідних, дослідження методами КАМ-теорії нескінченновимірних гамільтонових систем.

Вивчення некласичного випадку, коли фазовий простір незбуреної гамільтонової системи розшаровується коізотропними інваріантними торами (і, отже, розмірність таких торів перевищує половину розмірності фазового простору), було розпочато в роботах І.О.Парасюка та M.Ермана. І хоча в цьому напрямку були досягнуті досить суттєві успіхи, все ж у теорії коізотропних інваріантних торів до останнього часу були наявні незаповнені прогалини. З огляду на цей факт і було сформульоване основне завдання даної дисертації: сучасними засобами КАМ-теорії дослідити і описати структуру множин збурених коізотропних інваріантних торів гамільтонових систем, близьких до вироджених.

Обгрунтовуючи актуальність теми роботи, відзначимо, що КАМ-теорія органічно поєднується з багатьма іншими напрямками сучасної теорії гамільтонових систем, в якій все більшу роль відіграють методи топології, диференціальної, симплектичної та алгебраїчної геометрії. Гамільтонові системи, зокрема, особливо інтенсивно досліджувалися протягом кількох останніх десятиріч у зв’язку з відкриттям детермінованого хаосу та нових алгебро-геометричних методів точного інтегрування. В Україні в цьому напрямку активно працюють А.М.Самойленко, А.К.Прикарпатський, В.Г.Самойленко, М.М.Притула, І.В.Микитюк.

Зв’язок з науковими програмами, планами, темами. Тематика досліджень даної дисертації пов’язана з науковими програмами Київського національного університету імені Тараса Шевченка “Побудова та застосування математичних методів дослідження детермінованих та стохастичних еволюційних систем” (завершена у 2000 р.), “Математичне моделювання еволюційних систем”, і, конкретно, з науково-дослідними роботами кафедри інтегральних і диференціальних рівнянь “Дослiдження коливних режимiв та iнтегральних множин у детермiнованих i стохастичних динамiчних системах” (№ держреєстації (д.р.) 0197U003101), “Розробка теорії інтегральних множин нелінійних диференціальних рівнянь” (№ д.р. 0197U003440), “Розробка якісних та аналітичних методів дослідження та асимптотичного інтегрування нелінійних систем” (№ д.р. 0101U002479).

Мета і задачі дослідження. Мета роботи полягала у встановленні умов існування коізотропних інваріанних торів у задачах теорії збурень гамільтонових систем з виродженнями і описі структури множин, які утворюють такі інваріантні тори у фазовому просторі.

Об’єктом дослідження є квазіперіодичні рухи у гамільтонових системах, близьких до інтегровних.

Предметом дослідження є квазіперіодичні рухи на коізотропних інваріантних торах, а також канторові множини, утворені цими торами.

Дослідження проводилися за допомогою методу прискореної збіжності, модифікації методу штучних параметрів Боголюбова-Мозера, запропонованої Севрюком та Ерманом, з використанням теорії Пошеля.

Наукова новизна одержаних результатів. В дисертації

у виродженому випадку, коли сім’я коізотропних інваріантних торів незбуреної системи утворює многовид ненульової ковимірності, встановлено нові достатні умови існування близьких до вироджених ергодичних коізотропних інваріантних торів збуреної системи; вперше показано, що канторова множина торів збуреної системи утворює гладку в сенсі Вітні сім’ю і її можна описати за допомогою системи нерівностей, які виникають у теорії діофантових наближень на гладких підмноговидах евклідового простору;

у випадку, коли незбурена система є інтегровною в сенсі Ліувілля, а збуренню підлягають як гамільтоніан, так і симплектична структура, показано, що поблизу многовиду квазістаціонарних станів еліптичного типу виникає множина майже вироджених коізотропних інваріантних торів, яка утворює гладку в сенсі Вітні сім’ю, і цю сім’ю можна виділити у фазовому просторі за допомогою зліченного набору діофантових нерівностей;

доведено, що гладка в сенсі Вітні сім’я коізотропних інваріантних торів з’являється також внаслідок порушення маловимірних торичних непуассонових симетрій інтегровної гамільтонової системи; ця сім’я локалізується в околі многовиду еліптичних інваріантних торів усередненої системи першого наближення (многовиду відносних положень рівноваги) і має близьку до одиниці відносну міру;

вперше строго доведено, що при виконанні певних умов нерезонансності в малому околі еліптичної квазістаціонарної точки неавтономної гамільтонової системи з швидко осцилюючим квазіперіодичним за часом гамільтоніаном існує канторова множина, в точках якої починаються квазіперіодичні розв’язки цієї системи; відносна міра Лебега зазначеної канторової множини прямує до одиниці, коли частоти гамільтоніана прямують до нескінченності.

Практичне значення одержаних результатів. Одержані результати і методика досліджень мають, переважно, теоретичне значення. Вони, однак, можуть бути використані при дослідженні низки прикладних задач нелінійної механіки з метою пояснення процесів, що відбуваються в багаточастотних коливних системах.

Особистий внесок здобувача. Основні результати дисертації одержані автором самостійно. Окремі дослідження велися спільно з науковим керівником. В таких роботах І.О.Парасюку належать постановка задачі, вибір схеми дослідження та аналіз одержаних результатів.

Апробація результатів дисертації. Результати дисертації було оприлюднено на VII Міжнародній науковій конференції імені академіка М.Кравчука (Київ, 1998), ІІ Міжнародній конференції “Проблеми диференціальних рівнянь, аналізу і алгебри” (Актобе, 1999), VIII Міжнародній науковій конференції імені академіка М.Кравчука (Київ, 2000), Міжнародній конференції “Диференціальні і інтегральні рівняння” (Одеса, 2000), Міжнародній конференції “Асимптотичні методи в теорії диференціальних рівнянь” (Київ, 2002), П’ятих Боголюбовських читаннях (Кам’янець-Подільський, 2002), на семінарах кафедри інтегральних і диференціальних рівнянь Київського національного університету імені Тараса Шевченка та Інституту математики НАН України.

Публікації. Основні результати дисертації опубліковано в 10 працях, з них 4 статті – в наукових журналах і збірниках наукових праць, 6 – у матеріалах та тезах міжнародних конференцій. Серед публікацій 4 праці у фахових наукових виданнях з переліку №1 ВАК України.

Структура і обсяг роботи. Дисертація складається з переліку основних позначень, вступу, трьох розділів, висновків і списку використаної літератури, який містить 93 найменування. Повний обсяг роботи становить 132 сторінки, основний зміст викладено на 120 сторінках.

основний Зміст

У вступі обгрунтовується актуальність вибраної теми, визначаються мета і задачі дослідження, вказується на зв’язок дисертації з науковими програмами Київського національного університету імені Тараса Шевченка, наводяться основні результати і відзначається їх новизна, зазначається де відбувалася апробація цих результатів.

Перший розділ присвячено опису засад КАМ-теорії та огляду основних напрямків її розвитку.

У другому розділі викладено основні теоретичні результати, що стосуються вироджених випадків у теорії збурень коізотропних інваріантних торів гамільтонових систем.

У підрозділі 2.1 модифікацію методу штучних параметрів Севрюка-Ермана поширено на випадок, коли незбурена гамільтонова система з гамільтоніаном має сім’ю r-вимірних коізотропних інваріантних торів, залежну від q-вимірного параметра. Припускається, що в деякому околі фіксованого інваріантного тора, для визначеності – тора, існують координати прямого добутку типу “дія-кут” такі, що сім’я описується рівнянням вигляду, причому а незбурений рух на торі квазіперіодичний і визначається системою. Таким чином, незбурена система припускається інтегровною лише на -вимірному підмноговиді фазового простору. При цьому для більшої загальності розглядається вироджений випадок, коли частина компонент частотної вектор-функції – тотожні нулі. Ставиться питання про існування квазіперіодичних рухів системи зі збуреним гамільтоніаном, де – малий параметр.

Зручно перейти в окіл підмноговиду, утвореного сім’єю, зробивши заміну. У такий спосіб ми робимо функції та явно залежними від параметра u і готуємо грунт для застосування методу штучних параметрів. Досліджуваний в підрозділі 2.1 вироджений випадок характеризується низкою припущень щодо властивостей дужки Пуассона, асоційованої з симплектичною структурою, та функції.

Припущення 2.1.1 Елементи матриці дужок Пуассона задовольняють тотожності.

Припущення 2.1.2 Матриця задовольняє умову сильної нерезонансності: існує число таке, що, де – позначення стандартного скалярного добутку, , – j-ий стовпець.

Припущення 2.1.3 Координати можна розбити на дві групи, , де, , , , так, що.

Припущення 2.1.4 Матриця задовольняє умову сильної нерезонансності.

Припущення А) Функція має вигляд, де – деяка -значна функція параметра u.

Припущення В) Матриці не залежать від і.

Зауважимо, що Припущення В) автоматично справджується в класичному випадку, коли не залежить від кутових змінних.

Узагальнюючи умови В.І.Арнольда щодо фунції, які дозволяють зняти виродження в першому наближенні теорії збурень, вважаємо, що справджується

Припущення С)

де;,

Покладемо. Позначимо через -норму.

Теорема 2.1.1. Нехай справджуються Припущення 2.1.1 – 2.1.4 та Припущення А), В), С) і для деякого функції, – дійсно-аналітичні в області, а компоненти функцій – лінійно незалежні функції в U.

Тоді для будь-якого натурального p і для будь-яких дійсних можна вказати такі додатні числа c i, що при кожному справджуються наступні твердження. Існують відображення

,

такі, що, , і для кожного, яке задовольняє умови

cистема з гамільтоніаном має інваріантний тор, заданий рівнянням. Крім того, для кожного відображення – дійсно-аналітичне, а число можна вибрати так, що міра множини тих, які задовольняють умови , прямує до міри U, коли і прямують до нуля. Рух на торі - квазіперіодичний і ергодичний.

Показано, як можна ослабити умови Припущення В), шляхом попередньої нормалізації незбуреного гамільтоніана.

Підрозділ 2.2 присвячено дослідженню явища біфуркації канторової множини коізотропних інваріантних торів, спричиненого одночасною деформацією симплектичної структури та гамільтоніана цілком інтегровної системи.

Нехай – 2n-вимірний симплектичной многовид з симплектичною структурою, а – гамiльтонiан цiлком iнтегровної (в сенсi Лiувiлля) системи. Припустимо, що ця система зазнає збурень вигляду, де – замкнена, але не точна 2-форма.

Деякий окіл компактної спільної поверхні рівня перших інтегралів незбуреної системи, позначимо його через N , розшаровується орбітами вільної симплектичної дії тора. Визначимо для кожного векторне поле як генератор дії на N підгрупи і за 2-формою побудуємо кососиметричну білінійну форму,. Найбільш цікавим і нетривіальним є випадок, коли справджуються

Припущення 2.2.1.

Припущення 2.2.2 Набір базисних векторів в задовольняє умову сильної нерезонансності.

Увівши в N координати прямого добутку, , типу “дія-кут”, в яких збурений гамільтоніан і дужка Пуассона, відповідно, набирають вигляду та

,

вважаємо, що справджується

Припущення 2.2.3 Для деякого функції , – дійсно-аналітичні, відповідно, в та, де, ,.

Нехай C – лінійний оператор в координатному просторі з матрицею, а – обмеження векторного поля на спільну поверхню рівня функцій, , яка проходить через точку.

Означення 2.2.1 Точка є невиродженою квазiстацiонарною точкою елiптичного типу, якщо , а оператор лінійної частини векторного поля в точці має суто уявнi, попарно рiзнi власнi числа.

Припущення 2.2.4 Точка є невиродженою квазістаціонарною точкою еліптичного типу.

Якщо виконується це припущення , то в деякому околi початку координат в невиродженi квазiстацiонарнi точки елiптичного типу утворюють -вимiрний многовид, який можна задати у параметричному виглядi, , де U – деяка однозв’язна область в , що мiстить точку.

Означення 2.2.2 Підмноговид фазового простору, який в локальних координатах задається рівнянням, , будемо називати многовидом квазістаціонарних точок еліптичного типу.

Звуженням області U можна досягти того, щоб власнi числа оператора мали вигляд де – дiйсно-аналiтичнi функцiї з властивiстю

Поклавши, будемо вимагати виконання умови невиродженостi Рюссмана, яку подамо у вигляді

Припущення 2.2.5 Функції лінійно незалежні в U.

В п. 2.2.2 доведено теорему 2.2.1, яка стверджує, що в околі многовиду квазістаціонарних точок можна ввести координати типу “дія-кут”, , , , , у яких збурений гамільтоніан і дужка Пуассона матимуть, відповідно, вигляд

,

, , ,

де функції – дійсно-аналітичні в U, – додаткові параметри,. При цьому система з гамільтоніаном лише членами порядку (l– деяке досить велике натуральне число) відрізняється від системи, що має коізотропний інваріантний тор, заданий рівняннями, рух на якому квазіперіодичний. Нехай – рівняння тора в координатах, G – область яку пробігають параметри. Виникає задача побудови підмножини, точкам якої відповідали б інваріантні тори системи з гамільтоніаном . Застосувавши до гамільтоніана метод штучних параметрів, знаходимо такі гладкі в областi функції, де досить мале, що шукана множина задається системою нерівностей

Підсумковий результат підрозділу 2.2 складає

Теорема 2.2.3 Нехай система з гамільтоніаном на симплектичному многовидi справджує припущення 2.2.1–2.2.5. Тодi для довiльного натурального та як завгодно малого додатнi числа можна вибрати так, щоб для кожного iснувало вiдображення з такими властивостями:

1) при фiксованих вiдображення дiйсно-аналiтичне;

2) виконується нерiвнiсть;

3) якщо, то гамiльтонова система має коiзотропний iнварiантний тор, який описується рiвнянням

;

4) потiк на такому торi квазiперiодичний з рацiонально незалежними базисними частотами – компонентами векторів

;

5) виконується умова масивностi множини iнварiантних торiв збуреної системи

.

У підрозділі 2.3 досліджується задача про збурення інтегровних гамільтонових систем, фазовий простір яких розшаровується маловимірними інваріантними торами, причому властивість інтегровності обумовлена наявністю маловимірних торичних непуассонових симетрій.

Припущення 2.3.1. Симплектичний 2n-вимірний многовид допускає вільну симплектичну дію k-вимірного тора.

Припущення 2.3.2. Дія тора на непуассонова: кососиметрична білінійна форма (2-коцикл), визначена рівністю, нетривіальна, де – алгебра Лі тора, – векторне поле на М, яке породжує дію відповідної вектору однопараметричної підгрупи тора.

Припущення 2.3.3. Матриця із стовпцями задовольняє умову сильної нерезонансності, де, – базис.

Вивчається випадок, коли гамільтоніан незбуреної системи сам є -інваріантним і, крім того, комутує з кожною функцією повного набору інваріантів дії тора. Квазіперіодичні рухи збуреної системи з гамільтоніаном шукаються поблизу многовиду відносних положень рівноваги системи з гамільтоніаном, де – середнє значення функції вздовж -орбіти. Ми встановлюємо умови, при виконанні яких інваріантні тори збуреної системи утворюють поблизу зазначеного многовиду гладку в сенсі Вітні сім’ю і, як і у попередніх п.п., мають майже вироджений тип – деякі кутові координати змінюються в часі зі швидкістю порядку.

Нехай – гамільтоніан поля,. В околі -орбіти існують координати прямого добутку, у яких дужка Пуассона набирає вигляду

де – символ Кронекера, , – компоненти вектора. Покладемо

, , ,

Припущення 2.3.4. Функції, лінійно незалежні.

Припущення 2.3.5. Функції, , – дійсно-аналітичні і обмежені в області,

Припущення 2.3.6. Виконується рівність і матриця, де, має суто уявні і попарно різні власні числа.

Зрозуміло, що система має інваріантний тор, який задається рівнянням Заміною уводимо в гамільтоніан векторний параметр u. Теорема 2.3.1 стверджує, що після запровадження координат типу “дія-кут” та виконання процедури усереднення збуреного гамільтоніана в околі нерезонансної орбіти, як і в п. 2.3.1, цей гамільтоніан можна звести до вигляду аналогічного , де параметр u фігурує замість. Система з таким гамільтоніаном розглядається як збурення порядку системи, що породжує квазіперіодичні рухи на коізотропних торах – спільних поверхнях рівня функцій. Через позначимо тор, який відповідає фіксованим значенням,. Нехай він задається рівнянням.

Покладемо, де – деякі додатні сталі. Методом штучних параметрів, як і в попередніх підрозділах, вдається побудувати таку канторову множину, що має місце

Теорема 2.3.3. Припустимо, що для системи виконуються Припущення 2.3.1 – 2.3.6. Нехай – довільні числа. Тоді для будь-якого натурального та як завгодно малого існують такі, що для довільного існує відображення з такими властивостями:

При фіксованих відображення дійсно-аналітичне по всім кутовим змінним.

Виконується нерівність.

3) Якщо, то гамільтонова система має коізотропний інваріантний тор, який описується рівнянням

.

4) Потік на такому торі ергодичний і квазіперіодичний.

5) Виконується умова

.

У розділі 3 на симплектичному 2n-вимірному многовиді розглядаємо гамільтонову неавтономну систему, гамільтоніан якої є квазіперіодичною функцією часу з базисом частот. Тут е – малий параметр, а від вектора вимагаємо виконання умови сильної нерезонансності. Системи такого типу описують рухи широкого класу механічних об’єктів під впливом високочастотних вібрацій.

Після масштабного перетворення часу розглядувана система запишеться у вигляді

,

де – функція, яку надалі вважаємо дійсно-аналітичною. Система належить до класу систем, стандартного в сенсі Боголюбова вигляду. Усереднивши праву частину за часом, одержимо автономну гамільтонову систему

,

де. Тут – кутові координати на торі.

Природно виникає проблема близькості розв’язків систем і на нескінченному проміжку часу. Ми будемо вивчати випадок, коли має стійке положення рівноваги еліптичного типу: існує така, що і після лінеаризації системи в точці одержується система з суто уявними власними числами,. Таку точку природно називати квазістаціонарною точкою еліптичного типу для системи , а числа – власними частотами.

Припущення 3.1.1 Власні частоти, задовольняють умову Мозера відсутності резонансів до четвертого порядку включно, тобто

.

В результаті введення в околі полярних канонічно спряжених координат типу “дія-кут”, , і серії усереднень гамільтоніан набирає вигляду

,

де – деяка додатно визначена -матриця, – тригонометричний поліном щодо, а – деякий -вимірний вектор з раціонально незалежними компонентами.

Відзначимо, що, наскільки нам відомо, в усіх теоремах КАМ-теорії, які стосувалися дослідження так званого випадку власного виродження, припускалася невиродженість матриці . Ми показуємо, що цю умову можна замінити більш слабкою – нерезонансністю певного набору базисних векторів підпростору, натягненого на вектори-стовпці матриці . Отже, розкладемо в пряму суму. Нехай – власний базис в:, покладемо і визначимо розбитття у відповідності з розбиттям y.

Припущення 3.1.2 Матриця задовольняє умову сильної нерезонансності.

Після виконання серії перетворень зводимо вихідну задачу до дослідження автономної гамільтонової системи з гамільтоніаном вигляду

на розширеному симплектичному многовиді. Тут – векторний параметр, , r – досить велике натуральне число.

Основним результатом розділу 3 є наступна теорема.

Теорема 3.1.1. Нехай функція дійсно-аналітична і задовольняє Припущення 3.1.1 – 3.1.2. Тоді для будь-якого натурального p і для будь-яких дійсних можна вказати такі додатні числа, c i, що при кожному справджуються наступні твердження:

Існують відображення де такі, що, і для кожного, яке задовольняє умови

,

, ,

система з гамільтоніаном має інваріантний тор, заданий рівнянням

.

2) Потік на такому торі задається системою

, ,

де перші компонент вектора збігаються з відповідними компонентами вектора, а інші – нулі.

Крім того, при кожному відображення – дійсно-аналітичне.

На основі наведеної теореми можна зробити такий висновок: якщо система має квазістаціонарну точку еліптичного типу і задовольняє в цій точці арифметичні умови Припущення 3.1.1 – 3.1.2, то при всіх досить малих е в деякому -околі точки існує множина канторового типу така, що

,

і для кожного розв’язок системи , який в момент набуває значення, міститься в. Цей розв’язок є квазіперіодичною функцією, базис якої містить чисел, серед яких містяться числа, чисел мають порядок і чисел – порядок.

Теорію, наведену в підрозділі 3.1, застосовано для дослідження руху важкого твердого тіла навколо точки закріплення, що здійснює квазіперіодичні коливання високої частоти і малої амплітуди вздовж невертикальної осі (підрозділ 3.2).

висновкИ

Завдяки попередній нормалізації незбуреної функції Гамільтона в околі сім’ї вироджених коізотропних інваріантних торів відповідної гамільтонової системи, встановлено нові достатні умови, що гарантують існування близьких до вироджених ергодичних коізотропних інваріантних торів збуреної системи. Шляхом розповсюдження на вироджений коізотропний випадок техніки Пошеля та методу штучних параметрів у модифікації Севрюка-Ермана доведено, що множина торів збуреної системи утворює гладку в сенсі Вітні сім’ю, і її можна описати за допомогою системи нерівностей, які виникають у теорії діофантових наближень на гладких підмноговидах евклідового простору.

На основі описаного у підрозділі 2.1 підходу побудовано гладку в сенсі Вітні сім’ю близьких до вироджених ергодичних коізотропних інваріантних торів, яка виникає поблизу многовиду квазістаціонарних точок еліптичного типу внаслідок збурення як гамільтоніана, так і симплектичної структури цілком інтегровної в сенсі Ліувілля системи. Показано, що відносна міра таких торів у фазовому просторі прямує до одиниці, коли величина збурення прямує до нуля.

Доведено, що при порушенні маловимірних торичних непуассонових симетрій інтегровної гамільтонової системи в околі многовиду еліптичних інваріантних торів усередненої системи першого наближення виникає гладка в сенсі Вітні сім’я коізотропних інваріантних торів системи зі збуреним гамільтоніаном. Показано, що ці тори мають майже вироджений тип; оцінено відносну міру Лебега утвореної ними множини.

Показано, що при виконанні певних умов нерезонансності в малому околі еліптичної квазістаціонарної точки неавтономної гамільтонової системи з швидко осцилюючим квазіперіодичним гамільтоніаном існує канторова множина, в точках якої починаються квазіперіодичні розв’язки цієї системи. Відносна міра Лебега зазначеної канторової множини прямує до одиниці, коли частоти гамільтоніана прямують до нескінченності. Цей факт дозволяє вважати еліптичну квазістаціонарну точку стійкою в метричному сенсі.

З одержаних результатів випливає, що умови невиродженості в теоремі В.І. Арнольда, яка стосується дослідження околу еліптичного положення рівноваги гамільтонової системи, можна замінити більш слабкими умовами нерезонансності, що мають вигляд деяких діофантових нерівностей.

В задачі про рух твердого тіла навколо точки закріплення, яка здійснює швидкі квазіперіодичні коливання малої амплітуди вздовж невертикальної осі, знайдено явний вигляд потенціалу вібраційних сил і виділено біфуркаційний параметр, від якого він залежить. Показано, що проходження цим параметром певного біфуркаційного значення супроводжується виникненням додаткового локального мінімуму потенціалу усередненої за часом системи. Такому мінімуму відповідає еліптичне положення рівноваги усередненої системи – квазістаціонарна точка. В околі останньої існує канторова множина точок, які породжують малі квазіперіодичні коливання досліджуваної механічної системи. Одержаний результат обгрунтовує з позицій КАМ-теорії ефекти вібраційної стабілізації, аналогічні тим, що спостерігаються в системах типу маятника Боголюбова-Капіци.

Основні результати дисертації опубліковані в працях:

1. Кубічка А.А., Парасюк І.О. Диференційовна за Вітні сім’я коізотропних інваріантних торів гамільтонової системи, близької до виродженої // Вісн. Київ. ун-ту. Сер. Математика. Механіка. – 2000. – вип. 4. – С. 20-29.

2. Кубічка А.А., Парасюк І.О. Біфуркація гладкої в сенсі Вітні сім’ї коізотропних інваріантних торів гамільтонової системи при малій деформації симплектичної структури // Укр. мат. журн. – 2001. – 53, №5. – С.610-624.

3. Кубічка А.А. Біфуркація коізотропних інваріантних торів при порушенні абелевої симетрії гамільтонових систем // Вісн. Київ. ун-ту. Сер. Фізико-математичні науки. – 2001. – вип. 1. – С. 134-142.

4. Кубічка А.А. Неавтономна гамільтонова система в околі квазістаціонарної точки еліптичного типу // Вісн. Київ. ун-ту. Сер. Фізико-математичні науки. – 2002. – вип. 2. – С. 116-122.

5. Парасюк І.О., Кубічка А.А. Квазіперіодичні рухи гамільтонових систем з параметрами у випадку, близькому до виродженого // VII Міжнар. наук. конф. ім. акад. М.Кравчука (14-16 травня 1998 р., Київ): Матер. конф.– Київ, 1998. – С.382-381.

6. Кубічка А.А., Парасюк І.О. Диференційовна за Вітні сім’я коізотропних інваріантних торів гамільтонової системи, близької до виродженої // VIII Міжнар. наук. конф. ім. акад. М.Кравчука (11-14 травня 2000 р., Київ): Матеріали конф. – Київ, 2000. – С.305.

7. Kubichka A.A., Parasyuk I.O. Existence of Whitney-smooth family of coisotropic invariant tori for Hamiltonian system with perturbed symplectic structure // Міжнар. наук. конф. “Диференціальні та інтегральні рівняння” (12-14 вересня 2000 р., Одеса): Тези доп. – Одеса: Астопринт, 2000. – С.343-344.

8. Parasyuk I.O., Kubichka A.A. Whitney differentiable family of coisotropic invariant tori of close-to-degenerate Hamiltonian system // Материалы II междунар. науч. конф. “Проблемы дифференциальных уравнений, анализа и алгебры” (Актобе, 15-19 сентября 1999г). – Актобе – 2000. – С.82-85.

9. Кубічка А.А., Парасюк І.О. Неавтономна гамільтонова система в околі квазістаціонарної точки еліптичного типу // Теорія еволюційних рівнянь. Міжнар. конф. П’яті Боголюбівські читання (Кам’янець-Подільський, 22-24 травня 2002 р.): Тези доповідей. – Кам’янець-Подільський: Абетка-НОВА, 2002.

10. Кубічка А.А., Парасюк І.О., Процак Л.В. Дослідження стійкості квазістаціонарних станів твердого тіла з вібруючою точкою підвісу // Тези Міжнар. конф. “Асимтотичні методи в теорії диференціальних рівнянь” (16 грудня 2002 р., Київ): – К.:НПУ імені М.П.Драгоманова, 2002. – С.56.

Анотація

Кубічка А.А. Дослідження вироджених випадків у теорії збурень коізотропних інваріантних торів гамільтонових систем. – Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01.01.02 – диференціальні рівняння. Київський національний університет імені Тараса Шевченка, Київ, 2003.

Дисертація присвячена вивченню вироджених випадків у теорії збурень коізотропних інваріантних торів (к.і.т.) гамільтонових систем. Встановлено нові умови існування ергодичних квазіперіодичних рухів в задачі про збурення гамільтонової системи, к.і.т. якої заповнюють многовид ненульової ковимірності. Показано, що к.і.т. збуреної системи утворюють гладку в сенсі Вітні сім’ю. У випадку, коли крім гамільтоніана системи деформується й симплектична структура, встановлено, що в околі многовиду квазістаціонарних точок еліптичного типу виникає канторова множина близьких до вироджених к.і.т., яка є гладкою за Вітні. У задачі про збурення систем з маловимірними торичними непуассоновими симетріями гладка за Вітні сім’я к.і.т. побудована в околі многовиду відносних положень рівноваги усередненої системи першого наближення. Для неавтономної гамільтонової ситеми з швидко осцилюючою квазіперіодичною за часом функцією Гамільтона встановлена метрична стійкість еліптичної квазістаціонарної точки. Цей результат застосовано для математичного пояснення ефектів вібраційної стабілізації руху твердого тіла навколо точки закріплення, яка здійснює швидкі квазіперіодичні коливання малої амплітуди вздовж невертикальної осі.

Ключові слова: гамільтонова система, квазіперіодичний рух, КАМ-теорія, коізотропний інваріантний тор, гладкість за Вітні, деформація симплектичної структури, непуассонова симетрія.

Abstract

Кubichka A.A. Studies of degenerate cases in the perturbation theory of coisotropic invariant tori of Hamiltonian systems. – Manuscript.

The dissertation for obtaining the scientific degree of the candidate of physical and mathematical sciences on the speciality 01.01.02 – differential equations. Kyiv Taras Shevchenko National University. Kyiv, 2003.

The goal of this dissertation is to study degenerate cases in the perturbation theory of coisotropic invariant tori (c.i.t) of Hamiltonian systems. We establish new conditions for the existence of ergodic quasiperiodic motions in perturbation problem for а Hamiltonian system whose c.i.t. fill a manifold of nonzero co-dimension, and show that c.i.t. of the perturbed system form a Whitney-smooth family. In the case when not only the system’s Hamiltonian but also the symplectic structure is deformed, it is shown that near a manifold of elliptic quasistationary points there appears a Whitney-smooth family of coisotropic invariant tori of the perturbed system. In the perturbation problem for systems with low-dimensional toric non-poissonian symmetries, a Whitney-smooth family of c.i.t. is constructed near a relative equilibria manifold of the averaged system of first approximation. For nonautonomous Hamiltonian system with rapidly oscillating time-quasiperiodic Hamiltonian we establish the metric stability of elliptic quasistationary point. By means of this result we give a mathematical treatment for effects of vibrational stabilization of rigid body motions about a suspension point performing fast quasiperiodic oscillations of small amplitude along a non-vertical axis.

Key words: Hamiltonian system, quasiperiodic motion, КАМ-theory, coisotropic invariant torus, Whitney smoothness, deformation of symlectic structure, non-poissonian symmetry

Аннотация

Кубичка А.А. Исследование вырожденных случаев в теории возмущений коизотропных инвариантных торов гамильтоновых систем. – Рукопись.

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.01.02 – дифференциальные уравнения. Киевский национальный университет имени Тараса Шевченко, Киев, 2003.

Диссертационная работа посвящена изучению вырожденных случаев теории возмущения коизотропных инвариантных торов (к.и.т.) гамильтоновых систем. Используя предварительную нормализацию невозмущенного гамильтониана в окрестности многообразия ненулевой коразмерности, образованного вырожденными к.и.т. соответствующей этому гамильтониану системы, получены новые достаточные условия существования возмущенных эргодических к.и.т. Эти возмущенные торы имеют почти вырожденный тип – среди базисных частот квази-периодических движений присутствуют частоты, пропорциональные малому параметру. Путем распространения метода искусственных параметров в интерпретации Севрюка-Эрмана на вырожденный коизотропный случай доказано, что множество торов возмущенной системы образует гладкую по Уитни семью и ее можно описать с помощью системы неравенств, которые возникают в теории диофантовых приближений на гладких подмногообразиях евклидова пространства.

Рассмотрен случай, когда интегрируемая по Лиувиллю система претерпевает возмущения, при которых деформируется не только функция Гамильтона, но и симплектическая структура. В этой ситуации для возмущенной системы построена гладкая по Уитни семья почти вырожденных эргодических к.и.т., расположенная вблизи многообразия квазистационарных точек эллиптического типа. Если величина возмущения стремится к нулю, то относительная мера таких торов в фазовом пространстве стремится к единице.

В случае, когда невозмущенная система допускает свободное симплектичекое действие тора, указаны условия, при выполнении которых к.и.т. возмущенной системы образуют достаточно массивную гладкую по Уитни семью, расположенную вблизи многообразия относительных положений равновесия усредненной системы первого приближения.

Для неавтономной гамильтоновой системы с быстро вибрирующим квазипериодическим гамильтонианом показано, что, при выполнении некоторых условий нерезонансности, в малой окрестности эллиптической квазистационарной точки существует канторово множество, каждая точка которого порождает квазипериодическое решение рассматриваемой системы. Если частоты квазипериодического гамильтониана стремятся к бесконечности, относительная мера Лебега указанного выше множества стремится к единице. На этом основании можно сделать вывод о том, что эллиптическая квазистационарная точка является устойчивой в метрическом смысле.

В качестве обобщения задачи о маятнике с вибрирующей точкой подвеса исследована задача о движении твердого тела вокруг точки закрепления, радиус-вектор которой осуществляет быстрые квазипериодические колебания малой амплитуды вдоль невертикальной оси. В этом случае построен так называемый вибрационный потенциал, найден бифуркационный параметр, от которого он зависит. Вычислено критическое значение этого параметра и показано, что при прохождении этого критического значения в усредненной системе возникают два устойчивые положения равновесия. Для этих положений равновесия вычислены собственные частоты соответствующих линеаризованных систем. Методами КАМ-теории строго доказано наличие квазипериодических движений вблизи найденных положений равновесия, причем показано, что в фазовом пространстве начальные значения, порождающие такие движения, составляют в малой окрестности положений равновесия канторово множество, относительная мера Лебега которого близка к единице.

Ключевые слова: гамильтонова система, квазипериодическое движение, КАМ-теория, коизотропный инвариантный тор, гладкость по Уитни, деформация симплектической структуры, непуассонова симметрия.