Кунделєв Андрій Юрійович

УДК 539.3

ГІДРОПРУЖНЕ ДЕФОРМУВАННЯ
ФІЗИЧНО НЕЛІНІЙНИХ ЦИЛІНДРИЧНИХ ОБОЛОНОК

01.02.04 – Механіка деформівного твердого тіла

Автореферат дисертації на здобуття наукового ступеня
кандидата технічних наук

Дисертація є рукописом.

Робота виконана в Інституті проблем машинобудування ім. А. М. Підгорного НАН України.

Науковий керівник: | доктор технічних наук, професор

Кантор Борис Якович,

Інститут проблем машинобудування

ім. А. М. Підгорного НАН України,

завідувач відділу міцності

тонкостінних конструкцій

Офіційні опоненти: | доктор технічних наук, професор

Янютін Євген Григорович,

Інститут проблем машинобудування

ім. А. М. Підгорного НАН України,

старший науковий співробітник

доктор технічних наук, професор

Бабаєв Арташес Едуардович,

Інститут механіки ім. С. П. Тимошенка НАН України,

головний науковий співробітник

Провідна установа: | Інститут технічної механіки НАН і НКА України, відділ міцності, динаміки і технології виготовлення конструкцій, м. Дніпропетровськ

Захист відбудеться 26 червня 2003 р. о 14 годині на засіданні спеціалізованої вченої ради Д 64.180.01 в Інституті проблем машинобудування ім. А. М. Підгорного НАН України за адресою: 61046, м. Харків46, вул. Дм. Пожарського, 2/10.

Із дисертацією можна ознайомитися в бібліотеці Інституту проблем машинобудування ім. А. М. Підгорного НАН України за адресою: 61046, м. Харків46, вул. Дм. Пожарського, 2/10.

Автореферат розісланий 20 травня 2003 р.

Вчений секретар

спеціалізованої вченої ради,

кандидат технічних наук Б. П. Зайцев

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальність теми. Вивчення найбільш складних процесів взаємодії рідин і газів з деформівними твердими тілами показало необхідність одночасного урахування характеристик рідини та газу, властивостей твердих тіл і формулювання умов на поверхнях їхнього контакту. Тому у сучасній науковій літературі проблемі гідропружності, зокрема течії в’язкої рідини в пружних оболонках, приділяється особлива увага. Даний розділ науки має теоретичне і прикладне значення в різних областях людського знання: від проблем транспортування в’язких субстанцій по трубопроводах до руху крові по артеріях і венах.

Найбільш швидко розвивається в останні роки один з відносно нових і важливих розділів механіки – механіка біологічних об’єктів, зокрема механіка серцево-судинної системи людини, що вивчає взаємодію крові і судин, матеріал яких має сильно нелінійні властивості, анізотропію і велику податливість. При цьому вплив геометричної і фізичної нелінійності виявляється особливо яскраво.

Хоча основні ідеї і принципи аналізу нестаціонарного руху в’язкої рідини в податливих оболонках відомі, очевидно, що механізми ряду явищ, наприклад, нелінійного перекручування форми хвиль тиску, вивчені зовсім недостатньо. Також залишається маловивченим вплив деяких факторів (поздовжній розтяг, наявність товстої стінки, поступове звуження просвіту) на гідропружну взаємодію, напружено-деформований стан (НДС) стінки і характеристики потоку.

Таким чином, розробка методів розв’язання нелінійних задач взаємодії в’язкого рідкого середовища і циліндричних гіперпружних оболонок становить науковий та практичний інтерес і тому є актуальною.

Зв’язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Робота виконана у відповідності до тематики досліджень, що проводились у відділі міцності тонкостінних конструкцій Інституту проблем машинобудування ім. А. М. Підгорного НАН України в межах держбюджетної теми № (№ ГР0197U0122) “Розробка фундаментальних основ і комплексу прикладного програмного забезпечення статичної та динамічної міцності, оптимального проектування, довговічності та діагностики залишкового ресурсу енергомашин з урахуванням початкових і набутих дефектів” (розділ 2 “Розвиток теорії, розробка методів, алгоритмів і програм статичного, динамічного аналізу та оптимізації конструкцій”).

Мета дослідження – розробка ефективних способів розв’язання проблеми взаємодії в’язкої нестисливої ньютонівської рідини з гіперпружною оболонкою в умовах нестаціонарної течії.

Основні задачі дослідження включають:

– розробку уточненої моделі податливої оболонки, що враховує характерні особливості поширення в ній хвиль тиску;

– побудова нового ефективного чисельно-аналітичного методу розв’язання вихідної системи рівнянь;

– чисельне дослідження впливу зміни фізичних і геометричних параметрів системи на її напружено-деформований стан і характеристики потоку;

– розрахунок різних характеристик гідропружної взаємодії, отримання яких безпосередніми вимірюваннями неможливе чи пов’язане з великими труднощями.

Об’єкт дослідження – взаємодія податливих оболонок і нестаціонарного потоку рідини.

Предмет дослідження – деформування гіперпружних циліндричних оболонок під впливом періодичного потоку в’язкої рідини в них.

Методи дослідження. У роботі застосовано поєднання аналітичних і чисельних методів. Для математичного моделювання досліджуваного об’єкта використовувалась теорія великих деформацій, а також рівняння руху суцільного середовища класу рідин та газів. При аналізі та спрощенні вихідної системи рівнянь застосовувались методи теорії розмірностей. Розв’язання апроксимується за допомогою методу Гальоркіна і скінченнорізницевого методу. Отримана початкова задача Коші розв’язується однокроковим або багатокроковим методом в залежності від конфігурації системи.

Наукова новизна роботи полягає в розвитку теорії і методів розв’язання задач гідропружного деформування фізично нелінійних циліндричних оболонок.

– На основі теорії великих деформацій і рівнянь Нав’є–Стокса для нестисливої в’язкої ньютонівської рідини розроблена уточнена математична модель гіперпружної оболонки, що містить нестаціонарний потік рідини.

– Запропоновано новий ефективний чисельний метод розв’язання вихідної системи рівнянь, заснований на комбінуванні розкладання Гальоркіна і наближенні похідних невідомих функцій скінченними різницями.

– Вперше докладно вивчено вплив зміни фізичних і геометричних характеристик оболонки на її НДС, напруження зсуву, швидкість хвилі тиску, швидкість потоку рідини з використанням пружних потенціалів реальних біологічних матеріалів.

– Запропоновано новий метод оцінки глобальних параметрів кровоносної системи за даними експериментів; метод використаний для уточненого формулювання граничних умов.

Практичне значення отриманих результатів. Розроблена в дисертації математична модель дозволяє визначати механічні та гідродинамічні параметри систем, що включають у себе пружні трубки, заповнені в’язкою рідиною, яка рухається. Отримані алгоритм і програма чисельного розв’язання задач гідропружності можуть бути використані в практиці проектування технічних систем (перекачування в трубопроводах в’язких рідин), а також у біомеханіці та медицині для удосконалювання методів діагностики і лікування.

Результати дослідження використовуються в науковій роботі та в учбовому процесі на механіко-математичному факультеті та факультеті фундаментальної медицини Харківського національного університету ім. В. Н. Каразіна.

Апробація результатів дисертації. Основні положення і результати, отримані в дисертації, доповідалися й обговорювалися на міжнародних конференціях: “Нові підходи в розробці і клінічних застосуваннях електро- та ехокардіографії” (Харків, 1997), “Проблеми медичної біомеханіки” (Харків, 1997), “11th Conference of the European Society of Biomechanics” (Toulouse, France, 1998), “Медичні застосування математичних та інженерних наук” (Харків, 1998), “Фізичні та комп’ютерні технології в народному господарстві” (Харків, 2002).

Публікації. Результати дисертації опубліковані в 7 статтях у наукових журналах [1–7].

Особистий внесок автора полягає в розвитку основних положень теорії гідропружного деформування фізично нелінійних циліндричних оболонок, в розробці алгоритмів, програм, побудові поліпшеної математичної моделі великої кровоносної судини, проведенні чисельних досліджень. Всі основні положення дисертації отримані автором особисто. В роботах, написаних у співавторстві, автору належать математична модель [1], метод та чисельні результати розрахунку гідропружної взаємодії [3], чисельні результати розрахунку розповсюдження хвилі тиску [6], метод та алгоритм розрахунку параметрів пружного резервуара та наведені чисельні дані [7].

Структура та обсяг роботи. Дисертація складається зі вступу, чотирьох розділів, висновків, списку використаних джерел із 127 найменувань (на 10 сторінках) і додатку (на 2 сторінках). Загальний обсяг дисертації – 133 сторінки, включаючи 49 рисунків, 4 таблиці.

ОСНОВНИЙ ЗМІСТ РОБОТИ

У вступі обґрунтована актуальність проблеми, викладені мета і задачі досліджень, визначена практична цінність отриманих результатів.

Перший розділ містить огляд досліджень, присвячених гідропружному деформуванню оболонок. Розглянуті найбільш відомі задачі, рівень їхньої складності, а також існуючі шляхи розв’язання.

У різний час питаннями нестаціонарної гідропружності займалися Г. Б. Атабек, А. Е. Бабаєв, Д. М. Ванг, Н. Вестергоф, А. С. Вольмир, Б. Я. Кантор, К. Каро, В. А. Касьянов, Ю. Я. Кисляков, Д. А. Кліп, В. Д. Кубенко, Д. К. Макдональд, І. В. Мирський, Дж. В. Морган, Л. В. Нікітін, Т. Педлі, Б. Я. Пуріня, С. А. Регірер, Н. Стергіопулос, Дж. М. Тарбелл, Дж. Р. Уомерслі, Д. Юнг, Я. Ч. Фанг, Є. Г. Янютін та інші.

У загальному вигляді в систему рівнянь для розглянутого кола задач входять тривимірні рівняння руху рідини, НДС оболонки, закон збереження маси рідини і матеріалу стінки, а також граничні умови (умови безперервності компонент швидкості і напружень на границях середовищ). Складність розв’язання системи рівнянь, що описують рух рідини в трубках, залежить від допущень, зроблених щодо властивостей самої рідини і стінок трубки.

При використанні системи рівнянь Нав’є–Стокса для моделювання течії біологічних рідин (зокрема, крові) у нормальних умовах уводяться припущення щодо нестисливості рідини та її ньютонівських властивостей. Також звичайно вважається, що рух рідини ламінарний та вісесиметричний. Дані припущення обґрунтовані і застосовані в роботах Е. Белардинелли, Д. М. Ванга, С. Кавальканті, Дж. М. Тарбелла, Дж. Р. Уомерслі.

Механічне поводження стінки судини визначає її будова – у випадку великої кровоносної судини це еластинові та колагенові волокна. Перші роботи з опису механічних властивостей судинної стінки та її поводження під навантаженням засновані на припущенні, що матеріал стінки судини є однорідним, ізотропним і підпорядковується закону Гука. Незважаючи на достатню простоту класичної теорії пружності, для опису поводження кровоносних судин ряд авторів (Д. Х. Бергель, Б. М. Ліаройд), використовуючи різні допущення, будує моделі на її основі.

Більш зручною для опису поводження кровоносних судин є теорія пружних оболонок, у якій судина розглядається як тонка оболонка і враховуються осьові деформації та напруження. Такий підхід використаний у роботах Г. Б. Атабека. Деякі автори (А. С. Вольмир, М. С. Герштейн, Ю. Я. Кисляков) шляхом ускладнення розрахункових моделей враховують анізотропію властивостей матеріалу стінки.

Незважаючи на широку поширеність уявлення про будову стінки великої кровоносної судини як оболонки, дана модель є, очевидно, надто спрощеною. Ряд авторів зазначає, що матеріал кровоносних судин за своїм поводженням подібний до еластомірів; крім того, встановлено, що великі кровоносні судини піддаються великим деформаціям. Підкреслюється також, що допущення про сталість напружень по товщині невірне і тільки з позицій теорії великих деформацій і тривимірного уявлення напружено-деформованого стану стінки можна описати реальне поводження судин. У зв’язку з цим при описі пружного поводження стінки судин набула популярності теорія великих деформацій, при якій матеріал стінки судини приймається пружним чи гіперпружним.

Існуючі дослідження задач у різній (здебільшого спрощеній) постановці не дозволяють вважати питання про опис механіки кровообігу цілком вивченим. Одна з головних невирішених проблем біомеханіки полягає в створенні достовірних моделей окремих елементів системи кровообігу й описі механіки системи в цілому. Разом з тим, з аналізу публікацій випливає, що деякі аспекти гідропружної взаємодії (поздовжній розтяг, звуження просвіту) залишаються вивченими недостатньо.

У другому розділі здійснена постановка задачі й отримані розв’язувальні рівняння періодичної течії в’язкої рідини в товстостінній гіперпружній оболонці.

Математична модель руху крові в сегменті артерії заснована на рівняннях руху суцільного середовища класу рідин і газів. Передбачається, що рідина є однорідним ньютонівським середовищем. Для нестисливої в’язкої рідини дана система має вигляд

, (1)

, (2)

, (3)

, (4)

де – вектор швидкості суцільного середовища; ? – щільність; t – час; – вектор об’ємних сил; P – гідростатичний тиск; ? – коефіцієнт динамічної в’язкості; E – внутрішня енергія; нik – тензор швидкостей; ? – коефіцієнт теплопровідності; cv – коефіцієнт теплоємності; T – температура суцільного середовища.

Якщо в середовищі відбуваються ізотермічні процеси і коефіцієнти в’язкості ? і теплопровідності ? є константами, то система рівнянь розпадається на рівняння нерозривності і Нав’є–Стокса (1) й (2) та рівняння енергії і теплопровідності (3) й). Виходячи з припущення, що течія є вісесиметричною, запишемо основні рівняння (1) й (2) у циліндричній системі координат r, и, x (вісь x спрямована уздовж осі симетрії судини)

, (5)

, (6)

, (7)

де u = u (r,x,t) – радіальна компонента швидкості; w = w (r,x,t) – поздовжня компонента швидкості; ? – кінематична в’язкість рідини.

Розв’язання будується на припущенні, що відсутнє чи нехтовно мале поздовжнє переміщення стінки судини, і на її внутрішній поверхні осьова компонента швидкості перетворюється в нуль, а радіальна збігається зі швидкістю переміщення стінки.

Далі проводиться обезрозмірювання системи (5)–(7) по характерних масштабах зміни перемінних. Однією з основних безрозмірних характеристик системи є параметр Уомерслі ?, що показує, як сильно відрізняється профіль швидкості при ламінарній течії в трубці від пуазейлівського.

Якщо зіставити радіус судини і довжину хвилі тиску, що проходить у ній, то з’ясується, що їхнє відношення для великих кровоносних судин значно менше одиниці. Використовуючи дане припущення, називане припущенням “довгої хвилі”, з рівняння для радіальної компоненти швидкості (5) отримуємо незалежність тиску від радіальної координати

.

Математична модель ускладнюється тим, що течія відбувається в області з рухливими границями. Для спрощення формулювання умов на границі вводиться трансформація координати , де a(x,t) Ri(t) R0i – безрозмірний внутрішній радіус судини. Після перетворення координат рівняння (6) і (7) набувають такого вигляду:

, (8)

. (9)

Помножимо рівняння на ? та проінтегруємо результат по радіальній координаті від 0 до ?. З урахуванням умов на внутрішній границі судини з рівняння нерозривності (9) отримуємо

(10)

і рівняння Нав’є–Стокса (8) для поздовжньої компоненти швидкості після підстановки виразу) запишемо у вигляді

. (11)

Для чисельного інтегрування системи рівняння нерозривності зручно переписати в інтегральній формі. Після обезрозмірювання, перетворення координат отримуємо рівняння для частинної похідної a(x,t) за часом

, (12)

де функція Q характеризує об’ємний потік рідини через циліндричну судину

. (13)

Граничні умови, виражені в безрозмірних перемінних, приймають таку форму:

, , , .

Математична модель артерії будується на припущенні, що вона являє собою товстостінний циліндр з ортотропного однорідного нестисливого гіперпружного матеріалу. Інерція стінки не враховується, згинними напруженнями нехтуємо в силу припущення “довгої хвилі”. Властивості матеріалу стінки судини описуються функцією потенціальної енергії пружного деформування, конкретний вигляд і параметри якої визначаються, виходячи з результатів експерименту.

Розглянемо кругову циліндричну трубку, що знаходиться під дією внутрішнього тиску і поздовжнього розтягу. Нехай тіло оболонки в недеформованому стані визначається в такий спосіб:

, , ,

де R0i – внутрішній радіус до деформації; R0e – зовнішній радіус до деформації; L0 – довжина сегмента до деформації.

Трубка деформується під впливом внутрішнього надлишкового тиску P і осьового розтягу так, що

, , .

Компоненти тензора напружень визначаються на основі теорії великих деформацій виразом, що містить функцію питомої енергії деформації W. Використовуючи величини головних подовжень ?k (k = 1, 2, 3), вираз для напружень, що виникають у сегменті оболонки, запишемо у вигляді

,

де напруження ?1, у2, у3 – фізичні компоненти істинних напружень на елементарній площадці, перпендикулярній до поздовжнього, колового і радіального напрямків відповідно; q – невідома скалярна функція.

Виходячи з рівняння рівноваги суцільного середовища, записаного в циліндричній системі координат для сегмента оболонки, і з умови нестисливості матеріалу стінки (?1л2л31), отримуємо таку залежність для ?3:

,

де ?x ? л1; л ? л2; лe – значення ? на зовнішній поверхні оболонки; .

Компоненти ?1 і ?2 визначаються аналогічно. Використовуючи виведені співвідношення з урахуванням граничних умов

, ,

отримуємо вираз для визначення тиску як функції від ступенів подовження

, (14)

де ?i – значення ? на внутрішній поверхні оболонки.

Дане співвідношення при відомих параметрах матеріалу, що входять у функцію питомої енергії деформації, є рівнянням для визначення невідомої величини ? при заданих значеннях внутрішньосудинного тиску і ?x.

Таким чином, вихідна задача моделювання течії нестисливої в’язкої рідини в гіперпружній циліндричній оболонці зведена до системи диференціальних рівнянь (11) і (12). Вираз для потоку (13), рівняння стану стінки (14) і функція потенціальної енергії замикають систему, яку необхідно проінтегрувати по осьовій, радіальній координатам і часу.

Третій розділ присвячений опису чисельної методики розв’язання задачі гідропружного деформування циліндричних оболонок, заснованої на методі Гальоркіна, розробці алгоритмів розв’язання досліджуваного класу задач і апробації методики. Проведено порівняння із результатами аналітичних і чисельних розв’язань ряду задач теорії деформівного твердого тіла і гідродинаміки.

Розкладемо поздовжню компоненту швидкості w у ряд по функціях радіальної координати:

, (15)

де ?i – невідомі функції; {?i} – ортонормована послідовність функцій, породжена процесом ортогоналізації Грама–Шмідта з послідовності (?2i – 1), i 1, …, N.

Підставимо дане наближення в рівняння (11), (12), помножимо обидві частини рівнянь на ?k і проінтегруємо по ? від 0 до 1, враховуючи ортогональність послідовності функцій ?i. У результаті отримуємо систему з N + 1 рівнянь відносно a (x,t) і ?k (x,t):

, (16)

, (17)

(k 1, …, N).

Коефіцієнти Aik, Dijk, Ek, Gi визначаються інтегро-диференціальними співвідношеннями через ?i і ?.

Частинні похідні невідомих функцій по осьовій координаті апроксимуються центральними скінченними різницями другого порядку точності. Записуючи рівняння (16) і (17) для кожного вузла сітки і увівши вектор невідомих X, що містить ?ij і ai, отримуємо задачу Коші для системи звичайних диференціальних рівнянь

Для інтегрування розв’язувальної системи диференціальних рівнянь застосовувалися однокрокові або багатокрокові чисельні методи в залежності від характеристик поставленої задачі.

Представлений чисельний алгоритм реалізований у програмі мовою Паскаль у середовищі Borland Delphi. На початку роботи програми обнуляється вектор швидкості й обчислюється конфігурація системи, що відповідає початковому тиску. На кожнім кроці інтегрування відбувається контроль помилки зрізання з видачею її на екран, а також обчислення значень невідомих функцій. Результати розрахунків зберігаються у вигляді текстових файлів, що дозволяє використовувати їх у різних програмних продуктах для подальшого аналізу й інтерпретації.

Побудована теорія і методика розрахунку апробована на ряді відомих задач гідродинаміки і теорії пружності. Розглянуто течію в’язкої нестисливої ньютонівської рідини під впливом періодично змінного градієнта тиску в оболонці з твердими стінками. Виконано розрахунок профілів поздовжньої швидкості і проведене порівняння з аналітичним розв’язанням задачі. На основі розрахунків отримані дані про збіжність розв’язання в залежності від кількості членів ряду (15). Також проведений аналіз напружено-деформованого стану вісесиметричної циліндричної оболонки, що зазнає початкових поздовжніх та колових деформацій. Обчислено компоненти тензора напружень у серединній поверхні оболонки і показано, що для досить тонкої стінки результати розрізняються не більше ніж на 5з даними інших авторів.

У четвертому розділі проведене дослідження течії в’язкої нестисливої рідини, породжуваної періодично змінним градієнтом тиску, у товстостінній оболонці з гіперпружними стінками на прикладі течії крові у великих кровоносних судинах.

Використано функцію потенціальної енергії, яка запропонована для черевної аорти людини. Умовно відсічена частина кровоносної системи моделюється за допомогою елемента Кельвина–Фойгта. Отримано графіки поширення хвилі тиску уздовж досліджуваної ділянки судини. Дисипація енергії потоку внаслідок наявності в рідини в’язкості викликає невелике падіння амплітуди тиску на виході у порівнянні зі входом. Величина падіння складає приблизно 2–3на розрахунковій ділянці (30 см). Форма кривих тиску, зареєстрованих на вході і виході, майже однакова, але та з них, що знаходиться нижче за потоком, трохи запізнюється за часом. Розглянуто також розподіл поздовжньої швидкості потоку в часі. Пульсівний тиск обумовлює пульсівний характер кровотока, причому показано, що після кінця систоли (0,4 с) спостерігається ефект протитечії, коли біля стінок судини кров починає рухатися в зворотному напрямку (рис. 1).

Явище зворотної течії пояснюється тим, що швидкість поширення пульсової хвилі перевищує швидкість кровотока. Тому в якийсь момент часу тиск у дистальній ділянці перевищує тиск у проксимальному відділі, тобто утворюється негативний градієнт тиску, що і викликає зворотний кровотік. Відбиття пульсової хвилі від периферії артеріального дерева і пружне коливання стінок судини після проходження положення рівноваги позначаються також і на коливаннях величини осьової швидкості, і, як наслідок, – на напруженні зсуву на стінці судини (рис. 2).

Дослідження впливу на потік рідини початкового натягу судин проводилося для трьох функцій потенціальної енергії W, розроблених для моделювання грудної артерії собаки (модель А), черевної аорти людини (модель В) і грудної артерії кролика (модель С). Для всіх трьох випадків геометричні параметри досліджуваної ділянки судини, а також фізіологічні властивості крові припускалися тими самими: L  м – довжина ділянки артерії; R0i ,0 мм – внутрішній радіус артерії; h = 1,0 мм – товщина стінки судини; ? = 410–3 Пас – в’язкість крові; ?  кг/м3 – щільність крові; Qmax ,510–6 м3/с – максимум вхідного потоку; T 0,03 с – довжина імпульсу вхідного потоку; P0  мм рт. ст. ,6 кПа – початковий тиск. Розрахунки проводились для значень відносного подовження судини від 1,0 (судина не розтягнута) до 1,8. Як показують експерименти, ?x для більшості судин in vivo лежить у межах від 1,2 до 1,8. На вході в судину подавався дуже короткий (30 мс) імпульс потоку. Протилежний кінець судини закритий відбивною площиною. Досить велика довжина досліджуваної судини не дозволяє відбитій хвилі спотворити форму вихідної хвилі. Тому значення швидкості хвилі, обчислені для фіксованих ділянок її фронту (наприклад, для підніжжя), можна використовувати як міру власної швидкості поширення хвилі тиску в артеріях.

На рис. 3 наведені зміни швидкості хвилі тиску C0 при збільшенні поздовжнього натягу з 1,0 до 1,8. Характерно, що для всіх трьох використовуваних функцій потенціальної енергії швидкість C0 падає. Найбільш помітний цей ефект для моделі А.

Важливою характеристикою потоку є величина напруження зсуву на стінці судини. Експериментами підтверджено, що області зі зниженим напруженням зсуву добре корелюються з ділянками, що мають ушкоджений ендотелій. Наявність таких областей веде до утворення жирового шару на стінках судини і, як наслідок, – до атеросклерозу. При значеннях натягу від 1,2 до 1,6, характерних для більшості судин, амплітуда напруження зсуву змінюється незначно (менше 5для артерії собаки (модель А) і грудної артерії кролика (модель С), а для черевної аорти людини (модель B) її збільшення склало понад 75 % (рис. 4). При збільшенні ?x амплітуда напруження зсуву зростає нелінійно (рис. 5).

Розроблена математична модель, що дозволяє враховувати поздовжній розтяг артерії й товщину її стінки, використана також для аналізу впливу локального звуження просвіту судини (стеноз) на характеристики гідропружного деформування. Сегмент артерії моделюється як товстостінний циліндр із круговим перерізом з ортотропного однорідного нестисливого гіперпружного матеріалу. Товщина стінки є функцією поздовжньої координати і змінюється за законом косинуса, отже, податливість стінки і величина просвіту міняються уздовж судини. Дослідження впливу стенозу на потік крові в артерії проводилися для різних величин звуження просвіту судини: максимум звуження складав 5 %, 10 %, 20 %, 30 % від площі. Вплив невеликого звуження просвіту судини на потік крові в ньому є локальним; профіль швидкості удалині від нього не зазнає помітних змін. Поблизу стовщення стінки спостерігається досить сильне збурення кровоносного потоку, що відповідає експериментальним спостереженням. У фазі систоли під час піка швидкості потоку кров в області стенозу отримує додаткове прискорення через звуження судини. В області стенозу, що передує його максимальному значенню, швидкість часток рідини, розташованих поблизу осі симетрії судини, злегка зменшується, у той час як швидкість поблизу стінок збільшується таким чином, що потік через поперечний переріз залишається приблизно попереднім відповідно до закону збереження маси. У пост-стенозній зоні, навпаки, додаткове прискорення отримують частки поблизу центральної осі артерії, так що профіль поздовжньої швидкості стає більш схожим на параболу. При збільшенні ступеня стенозу відбувається зростання швидкості, що досягається кров’ю в момент проходження точки звуження: зменшення просвіту судини на 30 % приводить до прискорення потоку більш ніж на 20Разом з тим стає помітна різниця між профілями швидкості крові до і після стенозу: чим більш близьким до параболи він стає після проходження звуження, тим більш плоским він стає в перед-стенозній області, і на тривимірному графіку з’являється характерний провал перед сплеском швидкості (рис. 6). Це спричиняє значне зростання амплітуди напруження зсуву на стінці кровоносної судини.

Досліджено вплив зміни фізичних характеристик циліндричної оболонки на характеристики гідропружної взаємодії на прикладі процесу старіння артерії людини. Математична модель містить у собі локальне стовщення внутрішньої стінки, відбиття хвиль тиску від периферії й врахування початкового натягу судини. Вікова зміна жорсткості стінки судини приводить до того, що в діапазоні найбільш ймовірних радіальних подовжень (1,6–1,8) потенціальна енергія пружного деформування для старшої вікової групи перевищує в 2–4 рази цю ж величину для молодих пацієнтів. Дана зміна характеристик стінок судини приводить до збільшення систолічного тиску від 120 мм рт. ст. до 140 мм рт. ст. при практично незмінному діастолічному тиску і до росту максимального значення поздовжньої швидкості потоку на 40Відбувається також зміна нахилу профілю швидкості, що спричиняє ріст максимального значення напруження зсуву в районі стенозу.

Проведено аналіз впливів, спричинених звуженням судини, на поширення хвилі тиску. Для цього введений експоненціальний закон зміни зовнішнього радіуса судини по довжині (при постійній її товщині), параметр ? в якому характеризує швидкість звуження судини. Використовувалися функція W для ортотропної артерії грудного відділу кролика і відповідні біологічному об’єкту геометричні параметри. Показано, що наявність навіть невеликого звуження приводить до серйозного перекручування картини поширення хвилі тиску уздовж судини (рис. 7, 8).

Також вивчений розподіл напружень у стінці гіперпружної оболонки при різних значеннях тиску. Показано, що величини напружень ?1, у2, у3 і функції W мають нелінійний характер зміни по товщині стінки (рис. 9). Максимуму згадані величини досягають на внутрішній поверхні оболонки. З ростом тиску відбувається помітне підвищення значень напружень і функції W на внутрішній поверхні оболонки стосовно значень у серединному шарі і на зовнішній поверхні.

Вивчено різні моделі “пружної камери”, що застосовуються для опису поводження умовно відсіченої частини кровоносної системи, а також представлений метод розрахунку параметрів, виходячи з лабораторних даних. Класична двохелементна модель “пружного резервуара” являє собою розтяжну камеру, об’єм якої пропорційний надлишковому тиску в ній. Рівняння, що зв’язує тиск і величину потоку, виглядає таким чином:

,

де C – податливість кровоносної системи; R – її периферичний опір.

Розглянуті також трьох- і чотирьохелементні моделі, що отримуються введенням у вихідну модель додаткових елементів опору R1 та інерційності L. Відповідні диференціальні рівняння набувають вигляду

,

.

Для знаходження значень параметрів, застосування яких дозволяє щонайкраще наблизити розрахункові функції тиску і потоку до даних вимірів, розроблений програмний модуль, що реалізує метод нелінійної оптимізації. Середні значення за один період серцевого циклу тиску і потоку використовуються для обчислення периферичного опору системи. Отримане значення R підставляється в диференціальне рівняння для двохелементної моделі, розв’язання якого P(t) використовується при оптимізації параметра С. Обчислені значення R і C використані як стартові при розв’язанні трьох-, а потім чотирьохелементної моделі з подальшою оптимізацією параметрів цих систем. Для розглянутої біологічної системи (аорта пацюка) трьохелементна модель більш точно відтворює хвилю тиску, ніж двохелементна. Введення додаткового четвертого параметра не приводить до помітного поліпшення результатів.

ОСНОВНІ РЕЗУЛЬТАТИ І ВИСНОВКИ

1. У дисертації на основі теорії великих деформацій гіперпружних матеріалів і рівнянь Нав’є–Стокса для нестисливої в’язкої ньютонівської рідини наведене теоретичне узагальнення і нове вирішення наукової задачі, що виявляється в розробці уточненої математичної моделі податливої оболонки, що містить нестаціонарний потік рідини.

2. Запропоновано ефективний чисельний метод розв’язання поставленої задачі, заснований на комбінуванні розкладання Гальоркіна і наближенні похідних невідомих функцій скінченними різницями.

3. На ряді тестових задач проведене порівняння отриманих результатів з аналітичними розв’язаннями і чисельними результатами, наявними в літературі. Вивчена збіжність методу розкладання Гальоркіна в залежності від кількості доданків ряду, кроків по поздовжній координаті і часу. Аналіз результатів показав достатню точність чисельних розв’язань і їхнє добре узгодження з даними інших авторів.

4. На прикладі течії крові в артерії людини чисельно вивчено НДС стінки судини, розподіл у часі тиску, швидкості потоку і напруження зсуву на стінці. Розглянуто вплив фізичних і геометричних характеристик стінок судини на механічні і гідродинамічні параметри системи з використанням пружних потенціалів реальних біологічних матеріалів стінок судин.

5. Вивчено вплив зміни початкового поздовжнього натягу оболонки на характеристики потоку. Показано, що нехтування ступенем поздовжнього натягу в окремих випадках може призвести до серйозних перекручувань результатів.

6. Вивчено вплив зменшення просвіту судини (стенозу) на гемодинаміку; отримані характеристики системи в районі стенозу. Звуження просвіту спричиняє значні зміни в розподілах напружень зсуву і швидкостей потоку в області поблизу стенозу; ці ефекти зростають зі збільшенням ступеня стенозу.

7. Запропоновано метод оцінки характеристик кровоносної системи (податливість системи, гідравлічний опір) за даними експериментів. Отримані залежності використовуються у вигляді граничних умов при постановці задач гідропружності великих кровоносних судин для більш точного моделювання умовно відсіченої частини кровоносного русла.

8. Методи і результати дисертаційної роботи можуть бути використані в механіці біологічних об’єктів при дослідженні процесів, що відбуваються в аорті, артеріях та артеріолах. Розвинуті теорія і програма дозволяють дати кількісні оцінки змін НДС та гемодинаміки, що має велике значення для прогнозування перебігу хвороби й оптимізації її лікування. Методика, розроблена в дисертації, також може знайти застосування в інженерних розрахунках при вивченні руху в’язких рідин по трубопроводах з податливими (гумоподібними) стінками.

СПИСОК ОПУБЛІКОВАНИХ ПРАЦЬ ЗА ТЕМОЮ ДИСЕРТАЦІЇ

1. Кантор Б. Я., Кунделев А. Ю. Моделирование периодического течения вязкой жидкости в толстостенном сосуде // Пробл. машиностроения. – 1998. – 1, № . – С. 94–101.

2. Кунделев А. Ю. Исследование распространения волн в подверженных начальному натяжению толстостенных сосудах с жидкостью // Пробл. машиностроения. – 1998. – 1, № –4. – C. –121.

3. Кантор Б. Я., Кунделев А. Ю. Анализ влияния начального натяжения толстостенных сосудов на поток жидкости в них // Доповiдi НАН України. – 1999. – № 11. – С. 167–170.

4. Кунделев А. Ю. Поток вязкой жидкости в гиперупругих цилиндрических сосудах при наличии локального утолщения стенки // Пробл. машиностроения. – 2002. – 5, № 1. – С. 73–79.

5. Кунделев А. Ю. Влияние изменения физических характеристик цилиндрической оболочки на поток вязкой жидкости в ней // Пробл. машиностроения. – 2000. – 3, № 1–2. – С. 136–140.

6. Кунделев А. Ю., Кантор Б. Я. Распространение волн давления в сужающихся цилиндрических сосудах с жидкостью // Пробл. машиностроения. – 2000. – 3, № 3–4. – С. 118–122.

7. Кунделев А. Ю., Кантор Б. Я. Применение моделей упругого резервуара при расчете параметров кровеносной системы // Пробл. машиностроения. – 2002. – 5, № 3. – С. 71–75.

АНОТАЦІЯ

Кунделєв А. Ю. Гідропружне деформування фізично нелінійних циліндричних оболонок. – Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата технічних наук за спеціальністю 01.02.04 – механіка деформівного твердого тіла. – Інститут проблем машинобудування ім. А. М. Підгорного НАН України, Харків, 2003.

У дисертації вивчено деформування гіперпружних циліндричних оболонок під впливом нестаціонарного потоку в’язкої рідини в них.

На основі теорії великих деформацій і рівнянь Нав’є–Стокса для нестисливої в’язкої ньютонівської рідини розроблена уточнена математична модель товстостінної гіперпружної оболонки, що містить нестаціонарний потік рідини.

Запропоновано ефективний чисельний метод розв’язання поставленої задачі, заснований на комбінуванні розкладання Гальоркіна по радіальній координаті і наближенні похідних невідомих функцій по поздовжній координаті скінченними різницями.

Розроблені методика та програма застосовувались для рішення ряду задач гемодинаміки великих кровоносних судин. На прикладі течії крові в артерії людини чисельно вивчено НДС стінки судини, розподіл у часі тиску, швидкості потоку і напруження зсуву на стінці. Показано, що вплив деяких фізичних та геометричних характеристик стінок судини (поздовжній натяг, поступове звуження та ін.) на механічні та гідродинамічні параметри системи може буди істотним.

Ключові слова: гідропружність, циліндрична оболонка, гіперпружність, напружено-деформований стан, в’язка рідина, хвиля тиску.

АННОТАЦИЯ

Кунделев А. Ю. Гидроупругое деформирование физически нелинейных цилиндрических оболочек. – Рукопись.

Диссертация на соискание ученой степени кандидата технических наук по специальности 01.02.04 – механика деформируемого твердого тела. – Институт проблем машиностроения им. А. Н. Подгорного НАН Украины, Харьков, 2003.

В диссертации изучено деформирование гиперупругих цилиндрических оболочек под воздействием нестационарного потока вязкой жидкости в них.

На основе теории больших деформаций и уравнений Навье–Стокса для несжимаемой вязкой ньютоновской жидкости разработана уточненная математическая модель толстостенной гиперупругой оболочки, содержащей нестационарный поток жидкости.

Предложен новый эффективный численный метод решения поставленной задачи, основанный на комбинировании разложения Галеркина по радиальной координате и приближении производных неизвестных функций по продольной координате конечными разностями.

Разработанные методика и программа применялись для решения ряда задач гемодинамики крупных кровеносных сосудов. На примере течения крови в артерии человека численно изученно НДС стенки сосуда, распределение во времени давления, скорости потока и напряжения сдвига на стенке. Показано, что влияние некоторых физических и геометрических характеристик стенок сосуда (продольное натяжение, постепенное сужение и др.) на механические и гидродинамические параметры системы может быть существенным.

Ключевые слова: гидроупругость, цилиндрическая оболочка, гиперупругость, напряженно-деформированное состояние, вязкая жидкость, волна давления.

SUMMARY

Kundelyev A.Hydroelastic deformation of physically nonlinear cylindrical shells. – Manuscript.

Thesis for the candidate degree by speciality 01.02.04 – Mechanics of deformable solid body. – Institute of mechanical engineering problems, National Academy of Sciences, Ukraine.

The subject of the thesis is the deformation of hyperelastic cylindrical vessels caused by inner time-varying flow of viscous liquid.

On the basis of the theory of large deformations and the Navier–Stokes equations for incompressible viscous Newtonian liquid, an improved mathematical model of thick-walled hyperelastic vessel is developed. The Navier–Stokes equations are simplified using “long-wave” approximation. The longitudinal wall motion is neglected, that is acceptable for the large arteries under normal flow conditions. The appropriate boundary conditions are specified taking into account the axial symmetry of the velocity profile.

The artery is assumed as an orthotropic thick-walled cylinder with incompressible homogeneous hyperelastic walls; wall inertia is neglected. A pressure–radius relation is derived from the constitutive equation written for a segment of thick-walled cylinder subject to the internal pressure.

In order to solve the resulting equations, a new effective numerical method is proposed. The axial velocity component is decomposed using Galerkin method. The series of functions are orthonormated by Gram–Schmidt method. Partial derivatives of unknown functions with respect of axial coordinates are approximated with the help of a finite difference centered scheme.

Adams’ forth-order “predictor-corrector” method with varying time step was used to integrate the system of differential equation.

The results, obtained by the new nonlinear model, were compared with those obtained by means of linear models. We made this comparison with the classic model based on Womersley’s theories. The results indicate that both models give similar responses for the case of vessel with rigid walls. The difference is as small as 5

Developed methods and computer programs were used for solving problems from the domain of hemodynamics of large blood vessels of mammals.

The modes of deformation, pressure distribution on time, velocity of the flow and stress strains at the wall of human aorta are numerically studied.

The effect of the longitudinal stretch ratio on the characteristics of a flow is investigated. It is shown that the influence of longitudinal stretch ratio on the flow characteristics is wall material dependent. The neglect of axial stretch ratio may lead to serious distortion of results like underestimation of wall shear stress.

It is shown that the local thickening of the wall (stenosis), caused by atherosclerotic process, involves significant changes to the distribution of wall shear stresses and flow velocity field near stenosis area. This effect increases when local thickening grows. This means that atherosclerosis tends to self-development.

The analysis of changes to the physical parameters is presented. These changes have effect to the mechanical and hydrodynamic parameters of the system. It is shown that the age-specific rigidity of the vessel causes increasing of the systolic pressure with almost invariable diastolic pressure.

Hydrodynamics of the vessel with stenosis is investigated. It is determined that even mild stenosis implies significant changes to the hydrodynamic characteristics of the system (pressure wave propagation, velocity field).

Computations are carried out in order to find out the modes of deformation when pressure wave develops. Stresses and stress strain energy grows nonlinear, the rate is increases to the inner wall direction.

Several windkessel models are compared. Windkessel models are frequently used to describe the load faced by the heart in pumping blood through the arterial system, and the relation between blood pressure and blood flow in the aorta or the pulmonary artery. These models are used as boundary conditions in the developed model. A new method of blood system’s characteristics (arterial system compliance, hydraulic resistance) is proposed. The method is based on the Levenberg–Markar optimization algorithm. The input parameters to the method are mean pressure and mean flow.

The methods and the results presented in this thesis can be used in the clinic and physiology when studying processes in the aorta, arteries and arterioles. The theory and methods being developed in this paper allow giving the quantitative estimation of changes to the modes of deformation and hemodynamic, which is important for the disease prediction and treatment. The developed principles can be used in the engineering decisions when investigating viscous flows in the pipelines with deformable (rubber-like) walls.

Keywords: