НАЦІОНАЛЬНА АКАДЕМІЯ НАУК УКРАЇНИ

ХАРКІВСЬКИЙ ФІЗИКО-ТЕXНІЧНИЙ ІНСТИТУТ

НИЗЬКИХ ТЕМПЕРАТУР

ГОРЬКАВИЙ Василь Олексійович

УДК 514

ВИЗНАЧЕННЯ ПІДМНОГОВИДІВ

ЗА ЗАДАНИМ ГРАСМАНОВИМ ОБРАЗОМ

Спеціальність 01.01.04 -- геометрія і топологія

Автореферат дисертації на здобуття наукового ступеня

кандидата фізико-математичних наук

Харків -- 1998

Дисертацією є рукопис

Робота виконана у Фізико-технічному інституті низьких температур iм.Б.I.Вєркiна

Національної Академії Наук України

Науковий керiвник: доктор фiзико-математичних наук професор

Амiнов Юрiй Ахметович,

ведучий науковий спiвробiтник ФТIНТ НАН України

Офiцiйнi опоненти:

доктор фiзико-математичних наук професор Дiскант Валентин Iванович,

Черкаський iнженерно-технологiчний iнститут, завідувач кафедрою

кандидат фiзико-математичних наук Масальцев Леонiд Олександрович,

Харкiвський державний унiверситет, доцент

Провiдна установа:

Московський державний унiверситет iм. Ломоносова, Москва

Захист вiдбудеться " 7 " червня 1999 р. о 15-00 годинi на засiданнi спецiалiзованої вченої ради Д 64.175.01 у Фiзико-технiчному iнститутi низьких температур iм. Б.I.Вєркiна НАН України за адресою: м. Харкiв, пр. Ленiна, 47.

З дисертацiєю можна ознайомитись у бiблiотецi Фiзико-технiчного iнституту низьких температур iм.Б.I.Вєркiна НАН України за адресою: 310164, м. Харкiв, пр.Ленiна, 47.

Автореферат розiсланий " 28 " квітня 1999 р.

Вчений секретар спецiалiзованої вченої ради Котляров В.П.

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальність теми.

Одним iз найбільш потужних засобів класичної диференціальної геометрії є сферичне відображення. Введене Гаусом, воно займає важливе місце у вивченні багатьох геометричних об’єктів: так, наприклад, неможливо уявити теорію мінімальних поверхонь без поняття сферичного відображення.

У сучасній диференціальній геометрії підмноговидів існує низка об’єктів, що узагальнюють поняття сферичного відображення у тому чи іншому напрямку. Один з таких об’єктів, що є найбільш природнім узагальненням , - це грасманове відображення , що будується наступним чином. Позначимо через G(m,n+m) многовид Грасмана, елементами якого є -вимірні підпростори -вимірного євклідового простора E n+m , що проходять через фіксовану точку O E n+m. Розглянемо C1-гладке занурення :Mn E n+m n-вимірного многовида M n у простір E n+m у вигляді підмноговида F n E n+m. Побудуємо відображення : M n G(m,n+m), яке ставить у відповідність точці m-вимірний підпростір у , що проходить через точку O паралельно нормальному просторові підмноговида F n E n+m у точці (v). Відображення називається відображенням Грасмана, індукованим зануренням . Образ многовида Mn при відображенні називається грасмановим образом підмноговида F n E n+m. Відображення також іноді називають гаусовим відображенням або узагальненим сферичним відображенням; відповідно , замість терміну грасманів образ використовують терміни гаусів образ або узагальнений сферичний образ.

Сучасну теорію грасманового відображення було розвинено у роботах Obata M., Chen B.Y., Ferus D., Muto Y., Ю.А.Амінова, О.А.Борисенко, Ю.А.Ніколаєвского, Hoffmann D., Osserman R., Palmer B. та інш. Та потрi бно зазначити, що ця галузь геометричного знання найтіснішим чином пов’язана з теорією самих многовидів Грасмана, котрими цікавився ще Elie Cartan, і вивчення яких було продовжено у роботах Leichtweiss K., Wong Y.C., Wolf J. : на многовиді Грасмана можна ввести природну ріманову структуру, яка перетворює його на глобально симетричний ріманів простір, що пояснює цікавість до нього у рамках ріманової геометрії та знаходить застосування у теорії грасманового образу.

Одним iз невирішених й досі питань теорії грасманових відображень залишається

Питання існування. Нехай задано відображення : M n G(m,n+m). Чи існує C-глад-ке занурення : M n E n+m, яке індукує відображення Грасмана, що співпадає з ?

Зауважимо, що вимірність многовида G(m,n+m) дорівнює n m. Тому при n>2 , m 2 та при n 2, m > 2, тобто коли dim G(m,n+m) > dim , існують відображення M n G(m,n+m), що не можуть бути відображеннями Грасмана, індукованими зануреннями M n E n+m ; в цих випадках цікаво знайти спершу необхідні, а потім - достатні умови для того, щоб задане наперед відображення M n G(m,n+m) було відображенням Грасмана, індукованим якимось зануренням M n E n+m. Ця ситуація частково повторюється і випадку n = m = 2 , тобто коли dim G(m,n+m)= dim E n+m, але тут вона вже не є очевидною. Якщо ж або n=1, або m=1, то тоді dim G(m,n+m)< dim E n+m, тому в цих випадках накладають додаткові умови на шукане занурення M n E n+m. Як аналог, можна привести класичну проблему Мінковського для опуклих гіперповерхонь, вирішення якої було отримано завдяки зусиллям таких видатних вчених, як Minkovskii G., Miranda C., Levy H., Nirenberg L., Погорєлов О.В.

Питання існування при довільних n,m було поставлено Ю.А.Аміновим у статтi О грассмановом образе двумерной поверхности в четырехмерном евклидовом пространстве // Украинский геометрический сборник. - 1980. - В.23. -- С.3--16. При n=2, m2 його достатньо повне вирішення було отримано в роботах Ю.А.Амінова, Weiner J., Hoffman D. та Osserman R. Iз використанням різноманітних методів: теорія диференційних рівнянь другого порядку у часткових похідних застосовується Аміновим Ю.А., Weiner J. спирається на методи теорії зовнішніх форм, Hoffman D. та Osserman R. використовують теорію функцій комплексної змінної у застосуванні до мінімальних поверхонь. Однак у випадку n>2 ніяких результатів щодо питання iснування до недавнього часу отримано не було, що говорить про достатню складність проблеми.

Вказане питання існування має глобальний характер, тому його вирішення значно ускладнюється впливом топологічної структури многовида M n. Щоб відокремити суто геометричний аспект проблеми, доцільно розглядати

Локальний варіант питання існування. Нехай задано відображення : M nG(m,n+m). Зафіксуємо довільну точку v M n. Чи існує C-гладке занурення : U n E n+m деякого околу U n M n точки v, яке індукує відображення Грасмана, що співпадає з на U n?

З питанням існування тісно пов'язано

Питання однозначості. Для заданого С-гладкого занурення : M n E n+m, чи існує С-гладке занурення M n E n+m, що індукує те ж саме відображення Грасмана, що і ? Як багато таких занурень?

Зауважимо, що занурення, яке є композицією занурення : M n E n+m з гомотетією або паралельним переносом євклідового простора E n+m, індукує те ж саме відображення Грасмана, що і . Занурення такого типу дають тривіальний розв'язок питання єдиності, тому природню цікавість викликає знаходження нетривіальних розв'язків. Питання однозначності при n=2 вивчалося Ю.А.Аміновим, J.Weiner , Hoffman D. та Osserman R., а при довільних n, m - Muto Y., Борисенком О.А., Фоменком В.Т. та іншими.

Теорія грасманових відображень, індукованих зануреннями у євклідів простір, отримала достатньо широкий розвиток. Для занурень у сферичний простір S n+m також існує аналог відображення Грасмана, що був запропонований Obata M. і будується наступним чином. Нехай : M n S n+m - С-гладке занурення M n у S n+m у вигляді підмноговида F n S n+m. Для кожної точки v M n існує єдина n-вимірна цілком геодезична сфера S n S n+m, яка проходить через точку P=(v) так, що

TP F n = TP S n.

Відображення , що ставить у відповідність кожній точці v таку n-вимірну цілком геодезичну сферу, називається відображенням Грасмана, індукованим зануренням . Відображення відображає многовид M n у "сферичний" многовид Грасмана GS (n,n+m), елементами якого є n-вимірні цілком геодезичні сфери у S n+m.

На жаль, грасманови відображення у сферичному випадку досліджено не так повно, як у євклідовому, тому теорія грасманового відображення потребує подальшого розвитку і у цьому напрямку. Цілком природно ставити сформульовані вище питання існування та єдиності для відображень у "сферичний" многовид Грасмана та занурень у сферичний простір: можливо, що ситуація тут буде аналогічною до євклідового випадку, але небезпідставним виглядає припущення, що в деяких аспектах ситуація буде істотно відрізнятися. Зауважимо, що раніше занурення у сферичний простір у цьому планi не досліджувалися.

Дисертацію присвячено вирішенню питань існування та однозначностi як у євклiдовому випадку, так i у сферичному. Тему дисертації було затверджено на засіданні Вченої ради математичного відділення ФТІНТ НАНУ протоколи N8 вiд 9.12.92 та N1 вiд 15.4.97). Тема є складовою частиною планової теми відділу геометрії ФТІНТ НАНУ "Геометрiя "в цiлому" поверхонь i метрик та її застосування" (шифр 1.1.6)

Мета дослідження.

Головна мета дослiдження полягає в вирiшеннi наступних проблем:

·

· знаходження необхідних та достатніх умов для того, щоб задане відображення у "сферичний" многовид Грасмана було грасмановим відображенням, індукованим деяким зануренням у сферичний простір;

· однозначність вiдновлення занурення у сферичний простір індукованим ним відображенням Грасмана.

Наукова новизна.

Результати дисертації є новими. Вивчення питань існування та однозначностi вперше проведено із застосуванням стандартних підмноговидів многовида Грасмана. Отримано розв'язок питання існування занурення многовида M n у євклідів простір E n+m, для якого задане відображення : M n G(m,n+m) є відображенням Грасмана, у випадках:

-- відображень : M n G(m,n+m), що є зануреннями, при n=3, m6,

-- відображень : M n G(m,n+m) постійного ранга 1 при n2, m2,

-- відображень : M n G(m,n+m) постійного ранга 2 при n3, m2,

а також у випадку занурень : M n E n+m з плоскою нормальною зв'язністю при n, m2.

Вперше поставлено питання існування та однозначності занурення многовида M n у сферу S n+m, для якого задане відображення M n GS (n,n+m) є відображенням Грасмана--Обати. Знайдено повний розв'язок цих питань у випадку, коли M n GS (n,n+m) є зануренням.

Отримано нову інтегральну нерівність для замкненої кривої у євклідовому просторі, що доповнює класичну нерівність Фенхеля.

Загальна методика дослідження.

У дисертації використано методи диференціальної геометрії підмноговидів, лінійної алгебри, теорії систем диференційних рівнянь у частинних похідних.

Практичне та теоретичне значення.

Робота має теоретичний характер. У дисертації встановлено зв'язок властивостей підмноговида євклідового (або сферічного) простора з властивостями грасманового образу (відповідно -- образу Грасмана-Обати). Зокрема, знайдено вирази деяких характеристик підмноговидів у термінах суто грасманового образу. Результати можуть бути використані для подальших досліджень у теорії підмноговидів. Також вони можуть знайти застосування у викладанні спеціальних курсів для студентів-математиків старших курсiв.

Апробація роботи.

Результати дисертації доповiдалися на міжнародних конференціях з геометрії в Черкасах (1995 та 1997 рр.) та на геометричнiй сателіт-конференції Європейского конгресу математиків (Будапешт--1996), а також обговорювалися на Харківському міському семінарі з геометрії (керівник - академік О.В.Погорєлов) i на семінарах кафедри геометрії ХДУ (керівники -- чл.-кор. НАН України док.фіз.-мат.наук О.А. Борисенко та док.фіз.-мат.наук Ю.А.Амінов).

Публікації.

Основний зміст дисертації опубліковано в статтях [1--6] та в тезах доповідей [7--9].

Об'єм i структура дисертації.

Дисертацію викладено українською мовою на 142 сторінках тексту, зверстаного за допомогою LaTeX. Текст містить: зміст, вступ, основну частину (розділи 1--4), висновки, список використаних джерел (59 найменувань).

ОСНОВНИЙ ЗМІСТ

Перший розділ починається стислим оглядом основних понять та фактів теорії многовидів Грасмана. Далi дається детальний опис головного інструмента досліджень - стандартних підмноговидів многовида Грасмана G(m,n+m): многовид G(l,k+l) при kn, lm може бути аналітично ізометрично вкладено в G(m,n+m) у вигляді цілком геодезичного підмноговида, що позначається через (l,k+l) і називається стандартним. Кожне (l,k+l) можна уявляти як сукупність підпросторів E m E n+m, що містять в собі фіксований підпростір E m-l E n+m та ортогональних фіксованому підпростору E n-k E n+m. Стандартні підмноговиди утворюють хоч і широкий, та все ж спеціальний клас підмноговидів у G (m,n+m).

У першому розділі встановлюються властивості гладких відображень M q G(m,n+m), пов'язані із стандартними підмноговидами. Вводяться поняття першого та другого індексів, що відіграють суттєву роль при вирішенні питання існування. Нехай : M q - довільне С-гладке відображення і v -- довільна точка з M q. Позначимо через dдиференціал відображення і через P образ точки v при відображенні .

Означення. Першим індексом відображення у точці v називається найменше ціле число k таке, що через точку P у G (m,n+m) проходить (m,k+m), яке задовольняє умову

d(Tv M q) TP (m,k+m) | (1)

Означення. Другим індексом відображення у точці v називається найменше ціле число l таке, що через точку P у G (m,n+m) проходить (l,n+l), яке задовольняє умову

d( Tv M q) TP (l,n+l) | (2)

У підрозділі 1.2.2 розглядається С-гладке відображення : M q G(m,n+m), чий перший індекс дорівнює тотожньо деякому k, де k<n, тобто для кожної точки v M q існує (m,k+m), яке проходить через (v) та задовольняє умову (1). Взагалі, для різних точок v стандартні підмноговиди (m,k+m) також різні. Підпростори E E , що відповідають точкам із M q за відображенням , ортогонально проектуються на зафіксований спеціальним чином підпростір E E . Якщо кожне проектується однозначно, то тоді кожній точці v буде відповідати m-вимiрний підпростір у E ; ця відповідність визначає відображення 1: M q G(m,n+m), яке називається редукцією першого типу відображення . Доводиться, що для звуженого на достатньо малу область U q M q відображення можна побудувати редукцію першого типу 1, яка матиме ті ж "дотичні" властивості, що і : її ранг, перший та другий індекси будуть дорівнювати відповідно рангу, першому та другому індексам всюди в U q.

У підрозділі 1.2.3 розглядається С-гладке відображення : M q G(m,n+m), чий другий індекс дорівнює деякому l тотожньо, де l<m, тобто для кожної точки v M q існує (l,n+l), яке проходить через (v) та задовольняє умову (2). Взагалі, для різних точок у M q стандартні підмноговиди (l.n+l) також різні. У підпросторах E m E n+m, що відповідають точкам з M q за відображенням , спеціальним чином виділяються l-вимірні підпростори, що потім ортогонально проектуються на спеціальним чином зафіксований підпростір E E n+m. Якщо проектуються вони однозначно, то тоді кожній точці у M q буде відповідати l-вимірний підпростір у E , і ця відповідність визначає відображення 2: M q G(l,n+l), що називається редукцією другого типу відображення . Доводиться, що для звуженого на достатньо малу область U q M q відображення можна побудувати редукцію другого типу 2, яка матиме ті ж "дотичні" властивості, що і : її ранг, перший та другий індекси будуть дорівнювати відповідно рангу, першому та другому індексам всюди в U q.

Завершується перший розділ доведенням характеристичних властивостей стандартних підмноговидів (1,n+1) та (m,1+m) у термінах зовнішньої геометрії многовида G(m,n+m), зануреного у дійсний проективний простір за допомогою плюкерових координат.

Другий розділ дисертації присвячено безпосередньо питанню існування. Спочатку, у підрозділі 2.1, доведено основні необхідні умови на грасманове відображення, що проясняють значення понять першого та другого індексів. Зокрема, мають місце два наступних твердження.

Наслідок 2.1. Нехай : M n G(m,n+m) - відображення Грасмана, індуковане С-гладким зануренням : M n E n+m. Для довільної точки v M n перший індекс відображення у точці v дорівнює рангу відображення у цій точці.

Наслідок 2.2. Нехай : M n G(m,n+m) - відображення Грасмана, індуковане С-гладким зануренням : M n E n+m. Для довільної точки v M n другий індекс відображення у точці v дорівнює дорівнює точковій ковимірності занурення у цій точці.

Під точковою ковимірністю розуміється вимірність першого нормального простора занурення .

Необхідно відмітити, що між точковою ковимірністю занурення та рангом відображення (тобто рангом диференціала d відображення ) існує тісний зв'язок, який призводить завдяки Наслідкам 2.1--2.2 до того, що перший та другий індекси відображення Грасмана повинні задовольняти нерівність (Наслідок 2.3)

MIN (m , (+1) / 2).

У пункті 2.2.1 подано головні системи лінійних диференційних рівнянь у часткових похідних (2.12) та (2.15), до вирiшення яких зводиться питання існування, а також додаткові "умови регулярності" (2.14).

У пункті 2.2.2 розглядається довільне С-гладке відображення : M n G(m,n+m), ранг якого є постійним і дорівнює k, де k<n. Для будь-якої точки v M n існує достатньо малий окіл U n, котрий С r-гладко розшаровується на (n-k)-вимірні листи, вздовж яких є стаці-онарним; при цьому ми можемо вибрати k-вимірну базу U k цього розшарування так, щоб звуження відображення на U k було С r --гладким зануренням. Беручи до уваги Наслідок 2.1, необхідно припускати, що перший індекс відображення тотожно дорівнює k. Для відображення , звуженого на U k, будується редукція першого типу 1: U k G(m,k+m), котра є С r-гладким зануренням і чий перший індекс тотожньо дорівнює k. Доведено наступну теорему (Теорема 2.3) про редукцію першого типу: існує С r -гладке занурення : U n E n+m, яке індукує грасманове відображення, що співпадає з : M n G(m,n+m) всюди в U n, тоді і тільки тоді, коли існує С r-гладке занурення 1: U k E n+m, яке індукує грасманове відображення, що співпадає з 1: U k G(m,k+m). Таким чином, вирішення локального варіанту питання існування для відображення M n G(m,n+m) постійного ранга k<n (вироджений випадок) зводиться до вирішення проблеми існування для занурення M n G(m,k+m) (невироджений випадок).

Доведене твердження є цікавим у застосуванні до тангенціально вироджених занурень : M n E n+m, що індукують вироджені відображення Грасмана (тобто грасмановi відображення, чий ранг є меншим, ніж n, всюди в M n). Тангенціально вироджені занурення мають спеціальну параболічну структуру, що викликає зацікавленість у їх вивченні (роботи Борисенка О.А., Abe K., Chern S.S. та Kuiper N., Ferus D., O'Neill B. та Stiel E., Maltz A. та інших).

У пункті 2.2.3 розглядається довільне С-гладке, , відображення : M n G(m,n+m), чий другий індекс є постійним і дорівнює деякому l, де l<m. Зафіксувавши довільну точку v M n та розглядаючи звуженим на достатньо малий окіл U n точки v, ми будуємо редукцію другого типу 2: U n G(l,n+l) відображення , яка є С r -гладким відображенням, чий другий індекс тотожно дорівнює l. Доведено наступне твердження про редукцію другого типу (Теорема 2.4): існує С r -гладке занурення : U n E n+m, яке індукує грасманове відображення, що співпадає з : M n G(m,n+m) всюди в U n, тоді і тільки тоді, коли існує С r -гладке занурення 2: U n E n+l, яке індукує грасманове відображення, що співпадає з 2: U n G(l,n+l) . Відмітимо, що у наведеній вище теоремі точкові ковимірності занурень та 2 тотожно дорівнюють l. Отже, доведене твердження може бути цікавим у світлі результатів про редукцію ковимірності занурень (роботи Erbacher J., Rodriguez L. та Tribuzy R., Santos F.G. та інших).

Таким чином, завдяки Теоремі про редукцію першого типу питання існування достатньо розглядати тільки для занурень (тобто - у невиродженому випадку), при цьому, завдяки Теоремі про редукцію другого типу, для кожного фіксованого n питання існування достатньо розглядати лише для m(n2+n)/2.

Далі в другому розділі питання існування розглядається у деяких конкретних випадках.

Підрозділ 2.3 присвячено питанню існування для гладких відображень :M n G(m,n+m) постійного ранга 1 (говорять, що відображення є виродженим у лінію), де n2. Многовид G(m,n+m) у цьому випадку розглядається вкладеним у M-вимірний проективний простір RP M за допомогою плюкерових координат, де M =-1. Доведено наступну характеризаційну властивість виродженого в лінію відображення Грасмана:

Теорема 2.5.

1. Якщо є відображенням Грасмана постійного ранга 1, індукованим деяким С 2-гладким зануренням : M n E n+m, n2, тоді є асимптотичною кривою підмноговида G(m,n+m) RP M .

2. Якщо є С r -гладкою асимптотичною кривою підмноговида G(m,n+m) RP M , де n2, r3, тоді для будь-якої точки v M n існує окіл U n M n та С r-1-гладке занурення : U n E n+m, яке індукує відображення Грасмана, що співпадає з всюди в U n.

Твердження, подібне до Теореми 2.5, було отримано у випадку n=m=2 Ю.А.Аміновим і Т.С.Тарасовою з використанням інших методів. Результати підрозділу 2.3 опубліковано у [3].

У підрозділі 2.4 питання існування (локальний варіант) розглядається для C r -гладкого, r3, відображення : M n G(m,n+m) постійного ранга 2, де n2. У цьому випадку перший індекс відображення повинен тотожно дорівнювати 2, а другий індекс не повинен перевершувати 3 завдяки наведенiй вище нерiвностi з Наслiдку 2.3. За допомогою результатів із пунктів 2.2.1--2.2.3 узагальнюються твердження, доведені Аміновим Ю.А., що дають розв'язок питання існування у випадку занурень M 2 G(m,2+m) при m2.

У випадку, коли другий індекс відображення тотожно дорівнює 3 та m3, вказано необхідні та достатні умови для того, щоб задане відображення було відображенням Грасмана, індукованим С r -гладким зануренням : M n E n+m з постійною точковою ковимірністю 3 (Теорема 2.6); ці умови подано у вигляді алгебраїчних та диференційних спiввiдношень для функцій, що задають відображення відносно спеціальних координат на G(m,n+m).

У випадку, коли другий індекс відображення тотожно дорівнює 2, доведено наступне твердження:

Теорема 2.7. Нехай : M n G(m,n+m) - С r -гладке відображення постійного ранга 2, де n, m2, r3. Нехай перший та другий індекси відображення тотожно дорівнюють 2. Припустимо, що для точки v M n секційна кривина многовида G(m,n+m) в точці (v) у напрямку двувимірного підпростора d(Tv M n) не є рівною 1. Тоді існують окіл U n точки v та С r -гладке занурення : U n E n+m, яке індукує відображення Грасмана, що співпадає з всюди в U n.

Результати підрозділів 2.1-2.2, 2.4 викладено у [1, 5].

Підрозділ 2.5 присвячено питанню існування для довільного С r -гладкого, r4, занурення : M 3 G(m,3+m) при m6. За Наслідком 2.1, перший індекс відображення повинен тотожно дорівнювати 3, а другий індекс не повинен перевершувати 6 завдяки наведенiй вище нерiвностi з Наслiдку 2.3. Доведено необхідні та достатні умови для того, щоб задане відображення було грасмановим відображенням, індукованим деяким С r -гладким зануренням M 3 M 3+m з постійною точковою ковимірністю 6 (Леми 2.7--2.9 та Теорема 2.8). Як і в Теоремі 2.5, ці умови викладено у вигляді алгебраїчних та диференційних спiввiдношень для функцій, що задають відображення відносно спеціальних координат на G(m,n+m). Використані у підрозділі 2.5 методи можуть бути застосовані для вирішення питання існування у випадку занурень : M n G(m,n+m) з постійним другим індексом, що дорівнює (n2+n)/2, при будь-яких n>3, m (n2+n)/2.

Доведені у підрозділі 2.5 твердження опублiковано у [6].

У підрозділі 2.6 доведено твердження, яке доповнює відому теорему Алендорфера (Allendoerfer C.D.) про те, що занурення з постійною точковою ковимірністю 1 є зануренням з глобальною ковимірністю 1.

Теорема 2.9. Нехай : M n G(m,n+m) - C 2 -гладке відображення, чий ранг є більшим, ніж 1, всюди в M n, n2. Припустимо, що другий індекс відображення не перевершує 1. Якщо многовид M n зв'язний, тоді існує єдиний стандартний підмноговид (1,n+1)G(m,n+m), що містить в собі образ многовида M n при відображенні .

Якщо у Теоремі 2.9 є відображенням Грасмана, ми отримуємо теорему Алендорфера. Доведення опубліковано у [5].

Нарешті, у підрозділі 2.7 проблема існування вирішується для одного спеціального класу занурень M n G(m,n+m).

Означення 2.2. C 2 -гладке занурення : M n G(m,n+m), n,m2, називається A*-зануренням, якщо воно має наступні властивості:

1) при будь-яких k<n та v M n, нiяке (m,k+m), що проходить через точку (v), не задовольняє умову d(Tv M n) T (m,k+m);

2) для будь-якої точки v M n існують окіл U n та координати v1,... ,v n на U n такі, що:

С_1) образи координатних ліній на U n при відображенні є асимптотичними лініями многовида Грасмана G(m,n+m), вкладеного в проективний простір RP M за допомогою плюкерових координат;

С_2) для будь-якої точки v* U n та ij, підпростір в T M n дотичних векторів vi, vj відображається диференціалом dна підпростір в T G(m,n+m), що не є асимптотичним для G(m,n+m) RP M.

Виявляється, що довільне A*-занурення є локально відображенням Грасмана. А саме, має мiсце

Теорема 2.10. Нехай : M n G(m,n+m) -- С r -гладке A*-занурення, де r4, n,m2. Тоді для будь-якої точки v M n існують окіл U n та С r -гладке занурення : U n E n+m , яке індукує відображення Грасмана, що співпадає з всюди в U n.

Поняття A*-занурень може здатися дещо штучним. Насправді, воно є дуже природним, що доводить наступне твердження.

Теорема 2.11. Нехай С3-гладке занурення : M n E n+m, n,m 2, має наступні властивості: для будь-якої точки v M n існують окіл U n та координати v1,... ,v n на U n такі, що:

C1) координатнi лінії v i на U n -- лінії кривини занурення ;

C2) для будь-якої точки v* U n та будь-яких ij, вектори нормальної кривини занурення у точці v* відносно дотичних векторів vi, vj не є колінеарними.

Тоді відображення Грасмана, індуковане зануренням , є A*-зануренням.

Властивості, вказані у Теоремі 2.11, мають деякі занурення просторів постійної кривини (наприклад - тор Кліфорда T nE 2 n або локальне занурення прострорa Лобачевського H n E2n-1), тому вивчення A*-занурень може бути корисним у теорії занурень цих просторів. Результати підрозділу 2.7 наведено у [9].

У Розділі 3 вивчаються занурення многовидів M n у сферичний простір S n+m. Як зазначалося вище, аналог грасманового відображення в цьому випадку був запропонований Obata M. і являє собою вiдображення M n у GS(n,n+m). Сферичний многовид Грасмана GS(n,n+m) є дифеоморфним звичайному многовиду Грасмана G(m,n+1+m). А саме, будемо вважати сферу S n+m стандартно вкладеною у євклідів простір E n+1+m. Тоді кожній n-вимірній цілком геодезичній сфері S n S n+m відповідає (n+1)-вимірний підпростір E n+1E n+1+m, що проходить через центр S n+m та містить в собі вказану S n. Виникає відображення I, що співставляє кожній n-вимірній цілком геодезичній сфері S nS n+m m-вимірне ортогональне доповнення відповідного підпростора E n+1E n+1+m. Вiдомо, що I є аналітичним ізометричним дифеоморфізмом GS(n,n+m)G(m,n+1+m); це дозволяє зводити вивчення властивостей GS(n,n+m) до вивчення властивостей G(m,n+1+m). Зокрема, замість "сферичного" відображення Грасмана доцільно розглядати композицію = I: M n G(m,n+1+m), що в дисертації названо відображенням Грасмана--Обати, індукованим зануренням .

У підрозділі 3.1 доведено загальні необхідні умови для того, щоб довільне відображення M n G(m,n+1+m) було відображенням Грасмана-Обати, індукованим деяким C 2 -гладким зануренням M n S n+m. Ці умови пов'язані з поняттями першого і другого індексів, та аналогічні Наслідкам 2.1--2.2 для євклідового випадку. Зокрема, доведено

Наслідок 3.1. Нехай :M n G(m,n+1+m) -- відображення Грасмана-Обати, індуковане C 2 -гладким зануренням : M n S n+m, n2. Для довільної точки v має місце:

1) перший індекс відображення у точці v дорівнює рангу відображення у цій точці;

2) другий індекс відображення у точці v дорівнює точковій ковимірності занурення у цій точці.

У підрозділі 3.2 вивчається питання однозначностi вiдновлення занурення : M n S n+m індукованим ним відображенням Грасмана--Обати. Позначимо через sym : S n+m S n+m відображення симетрії сфери, що ставить у відповідність кожній точці сфери діаметрально протилежну їй точку. Очевидно, що занурення * : M n S n+m, яке є композицією занурення : M n S n+m та відображення sym, індукує те ж саме відображення Грасмана--Обати, що і . Доведено наступне твердження однозначності:

Теорема 3.3. Нехай C 2-гладкі занурення 1, 2 : M n S n+m, n2, індукують одне і те ж відображення Грасмана--Обати , що є зануренням. Тоді2 співпадає або з 1, або з композицією sym 1.

Таким чином, занурення M n S n+m, яке індукує відображення Грасмана--Обати, що також є зануренням, повністю визначається ним з точністю до симетрії обхопної сфери S n+m.

У випадку занурень M n G(m,n+1+m) вирішується також і питання існування. А саме, нехай :M n G(m,n+1+m) -- C r-гладке занурення, де n2, r3. Беручи до уваги Наслідок 3.1, необхідно припускати, що перший індекс відображення тотожно дорівнює n. Тоді для кожної точки v виконано умову:

*) через точку P=(v) у G(m,n+1+m) проходить стандартний підмноговид (m,n+m) так, що

d(Tv M n ) TP (m,n+m).

Будемо розглядати значення другої квадратичної форми II(*,*) занурення в точці P як вектор у TPG(m,n+1+m). Ненульовий дотичний вектор XTv M n називається квазі-асимптотичним вектором занурення у точці v, якщо для будь-якого вектора YTv M n значення II(X,Y) належить дотичному просторові підмноговида (m,n+m), асоційованого з точкою v за умовою *). Доведена

Теорема 3.4. Нехай задано C r-гладке занурення : M n G(m,n+1+m), n2, r 3. Існує C r-1-гладке занурення : M n S n+m, що індукує відображення Гpасмана--Обати , тоді і тільки тоді, коли задовольняє наступні умови:

1) перший індекс занурення тотожно дорівнює n;

2) занурення не має квазі-асимптотичних векторів.

Результати Роздiлу 3 опублiковано у [4].

У додатковому Розділі 4 за допомогою методiв теорiї грасманового образу доведено нову інтегральну нерівнiсть для замкненої кривої у євклідовому просторі.

Теорема 4.1. Нехай - C r-гладка замкнена крива у євклідовому просторі E n, де n4. Припустимо, що кривини k1, . . . ,km кривої є додатними функціями від довжини дуги s, де 3m n-1, m r-3. Тоді

Наведено приклади, що підтверджують оптимальність доведеної нерівності при деяких значеннях n та m. Нерівність Фенхеля узагальнювалася раніше Мілнором (для вузлів), Черном та Лашофом (для замкнених підмноговидів довільної вимірності у E n), але вказане в дисертації узагальнення має принципово інший характер, описуючи властивості "в цілому" нормального розшарування замкненої кривої в євклідовому просторі. Результати Розділу 4 опубліковано у [2].

ВИСНОВКИ

Отримано достатньо повне вирішення питання існування (локального) для занурень M 3 G(m,m+3), m 6: вказано необхідні та достатні умови для того, щоб задане занурення занурень M 3 G(m,m+3) було локально грасмановим відображенням, iндукованим C 2 -гладким зануренням занурень M 3 E m+3 з постiйною точковою ковимiрнiстю 6.

В дисертації вирішено проблему існування (локальний варіант) також для відображень M n G(m,n+m) постійного рангу 1 та постійного рангу 2 при довільних n2, m1. Доведені твердження узагальнюють результати, отримані Ю.А.Аміновим при n=2.

Також показано, що локально відновлення занурення M n E m+n за індукованим ним грасмановим відображенням рангу k<n (вироджений випадок) зводиться до відновлення занурення M k E m+k за індукованим ним відображенням Грасмана, що також є зануренням (невироджений випадок); аналогічно, відновлення занурення M n E m+n, чий перший нормальний простір має постійну вимірність l<m, за індукованим ним відображенням Грасмана зводиться до відновлення занурення M n E n+l за індукованим ним відображенням Грасмана.

У дисертації вперше ставляться і вирішуються питання існування та однозначності M n S m+n із заданим відображенням Грасмана-Обати M n G (m,n+1+m). Знайдено необхідні та достатні умови для того, щоб задане наперед відображення M n G (m,n+1+m) було відображенням Грасмана--Обати, індукованим деяким зануренням M n S m+n. Показано, що занурення M n S m+n визначається індукованим ним відображенням Грасмана--Обати з точністю до центральної симетрії обхопної сфери S m+n , якщо відображення Грасмана-Обати також є зануренням.

Властивості грасманового образу торсових поверхонь знайшли неочікуване застосування у геометрії кривих. У дисертації доведено нову інтегральну нерiвнiсть для кривин замкненої кривої у E n, яка доповнює класичну нерівність Фенхеля. Вивчено питання її оптимальності, де чiтко прослiджується рiзниця у поведiнцi замкнених кривих у парно- та непарновимiрних євклiдових просторах.

ПУБЛІКАЦІЇ

1.

1.

1.

1.

1.

1.

1.

1.

1.

АНОТАЦІЇ

Горькавий В.О. Визначення підмноговидів за заданим грасмановим образом. -- Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико - математичних наук за спеціальністю 01.01.04 -- геометрія і топологія. -- Фізико-технічний інститут низьких температур ім. Б.І.Вєркіна НАН України, Харків, 1997.

Досліджено задачу існування занурень у євклідів (сферичний) простір, для яких задане відображення у многовид Грасмана є грасмановим відображенням (відповідно - відображенням Грасмана-Обати). Отримано вирішення вказаного питання у низці загальних випадків. Вирішено питання однозначностi визначення занурення у сферичний простір індукованим ним відображенням Грасмана-Обати. Доведено нову інтегральну нерівність для замкнених кривих євклідового простора.

Ключові слова: грасманові многовиди, грасмановий образ, занурення

Горькавый В.А. Определение подмногообразий по заданному грассманову образу. -- Рукопись.

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико - математических наук по специальности 01.01.04 -- геометрия и топология. -- Физико-технический институт низких температур им. Б.И.Веркина НАН Украины, Харьков, 1997.

Исследована задача существования погружений в евклидово (сферическое) пространство, для которых заданное отображение в многообразие Грассмана является грасмановым отображением (соответственно - отображением Грассмана-Обаты). Получено решение указаной задачи в ряде общих случаев. Решена задача однозначной определенности погружения в сферу инуцированным им отображением Грассмана-Обаты. Доказано новое интегральное неравенство для замкнутых кривых евклидового пространства.

Ключевые слова: грассманово многообразие, грассманов образ, погружение

Gorkaviy V.A. Determination of submanifolds from a given Grassmann image. -- Manuscript

Thesis for a candidate's degree in Physics and Mathematics by speciality 01.01.04 -- geometry and topology. -- B.I.Verkin Institut for Low Temperature Physics and Engineering of National Academy of Sciences of Ukraine , Kharkiv, 1997.

It is studied the problem of the existence of an immersion into Euclidean (spherical) space whose Grassmann map (respectively, Grassmann--Obata map) coincides with a given map into Grassmann manifold. Solutions of this problem are given in some general cases. The question of the determining of an immersion into the sphere by its Grassmann--Obata map is solved. A new integral inequality for closed