МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ УКРАЇНИ

КИЇВСЬКИЙ НАЦІОНАЛЬНИЙ УНІВЕРСИТЕТ

БУДІВНИЦТВА І АРХІТЕКТУРИ

КОВТУН ОЛЕГ МИКОЛАЙОВИЧ

УДК 514. 18

КОНСТРУЮВАННЯ ДИСКРЕТНИХ ТОЧКОВИХ КАРКАСІВ КВАЗІКАНАЛОВИХ ПОВЕРХОНЬ ЗА НАПЕРЕД ЗАДАНИМИ УМОВАМИ

Спеціальність 05.01.01 –

Прикладна геометрія, інженерна графіка

АВТОРЕФЕРАТ

дисертації на здобуття наукового ступеня

кандидата технічних наук

Київ – 2003

Дисертацією є рукопис.

Робота виконана в Київському національному університеті будівництва і архітектури

Міністерства освіти і науки України

Науковий керівник: доктор технічних наук, професор

Ковальов Сергій Миколайович,

професор кафедри нарисної геометрії, інженерної і машинної графіки

Київського національного університету будівництва і архітектури

Офіційні опоненти: доктор технічних наук, професор

Ванін Володимир Володимирович,

завідувач кафедри нарисної геометрії,

інженерної та комп’ютерної графіки

Національного технічного університету України

“Київський політехнічний інститут”;

кандидат технічних наук, доцент

Несвідомін Віктор Миколайович,

доцент кафедри нарисної геометрії,

інженерної та комп’ютерної графіки,

Національного аграрного університету України

Провідна установа: Національний авіаційний університет

Міністерства освіти і науки України

Захист відбудеться “ 19 ” лютого 2003 р. о 13 годині на засіданні спеціалізованої

вченої ради Д 26.056.06 у Київському національному університеті будівництва

і архітектури за адресою: 03640, Київ-37, Повітрофлотський проспект, 31, ауд. 466

З дисертацією можна ознайомитись у бібліотеці Київського національного університету будівництва і архітектури за адресою: 03640, Київ-37, Повітрофлотський проспект, 31

Автореферат розісланий “ 17 ” січня 2003 р.

Вчений секретар

спеціалізованої вченої ради Плоский В.О.

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Сучасна прикладна геометрія дозволяє мобілізувати засоби низки фундаментальних наук і дисциплін на розв’язання складних задач сучасної промисловості та покликана вирішувати науково-інженерні проблеми геометричного моделювання об’єктів, явищ і процесів.

Найбільш актуальною проблемою прикладної геометрії була й залишається розробка та вдосконалення інженерних методів проектування, розрахунку, конструювання й відтворення поверхонь складних технічних форм із врахуванням наперед заданих умов. Ці умови виникають у практиці конструювання поверхонь технічних форм і визначаються різноманітними вимогами: точності, динамічності, компонування, стикування, технології, естетики і т. д.

Актуальність теми. Серед різноманіття поверхонь технічних форм до числа найбільш складних у проектуванні відносяться каналові та квазіканалові (далі квазіканалові) поверхні, до яких ставиться великий комплекс інженерно-геометричних вимог, що призводить до ускладнення їх форми. Звертається особлива увага на методи моделювання квазіканалових поверхонь із перерізами змінної форми, тому що форма поверхні впливає на характеристики пов’язаних із нею явищ і процесів, і навпаки, зовнішні умови диктують ту чи іншу форму поверхні. Цим обумовлюється необхідність проектування, розрахунку й відтворення квазіканалових поверхонь із простою або складною плоскою чи просторовою напрямною віссю (лінією струму середовищ) з урахуванням різного положення плоскої чи просторової твірної кривої щодо цієї напрямної лінії.

Відомі геометричні методи моделювання стосуються окремих видів квазіканалових поверхонь і тому відсутній узагальнюючий апарат математичного забезпечення для їх проектування.

В загальному випадку під квазіканаловими (термін проф. В.А. Осипова) будемо розуміти поверхні, які за спрямовують (трасують) середовище (газ, рідину, сипучу суміш та інші) при її транспортуванні, кабель (сукупність дротів, замкнених у загальну еластичну оболонку, яка дозволяє змінювати форму переріза кабелю) або використовуються для швидкісних переміщень спортивних приладів (санних чи бобслейних трас, трамплінів, вело-, авто-, картингових та інших “треків”) або інших об`єктів (автомобільні траси, залізничні колії) за заданою траєкторією. З кінематичної точки зору така поверхня формується рухом плоскої твірної змінної форми, яка може бути як замкненою так і дугою кривої лінії, вздовж плоскої (у даній дисертації) або просторової криволінійної напрямної. При цьому площина твірної постійно залишається нормальною до траєкторії переміщення (напрямної лінії).

Необхідність покращення якісних характеристик квазіканалових поверхонь потребує підвищення порядку гладкості складених твірних і напрямних ліній.

В залежності від призначення квазіканалової поверхні до зміни параметрів її форми можуть ставитися різні вимоги. Найактуальнішими з таких вимог є монотонна зміна форми твірної при незмінній площі або при закономірній зміні площі, яку вона обмежує, та монотонна зміна кривини вздовж напрямної осі поверхні за умови проходження її через задані точки.

Забезпечення цих умов вимагає від апарату геометричного моделювання поверхонь значної гнучкості та широких можливостей при розв’язанні прикладних задач, як за вихідними даними, так і за методами їх обробки.

В найбільш повному обсязі розв’язанню визначених проблем відповідає дискретне геометричне моделювання методи якого, у порівнянні з неперервним геометричним моделюванням, мають низку переваг: незалежність від кількості точок; висока швидкодія; контроль розрахунків та їх похибок для забезпечення заданої точності обчислень; попередження виникнення осциляцій поверхні шляхом її цілеспрямованого коригування; висока ефективність для автоматизованого процесу моделювання поверхонь складних форм; універсальність, як у відношенні геометричних характеристик вихідних точкових масивів, так і у використанні результатів моделювання.

Дослідженням і моделюванням поверхонь займалося багато вчених-геометрів. Опубліковані роботи свідчать про актуальність цих досліджень, а також і про наявність низки ще не розв’язаних питань і проблем, які стосуються геометричного моделювання поверхонь складних форм.

За висновками огляду літератури однією з не розв’язаних актуальних є задача перепуску квазіканалових поверхонь з перерізами заданої площі через певні отвори і щілини з визначеними параметрами та задача управління кривиною напрямної осі таких поверхонь за умови її монотонної зміни з використанням для розв’язання цих задач апарата дискретного геометричного моделювання.

Зв’язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Дисертаційна робота виконувалась у Київському національному університеті будівництва і архітектури у відповідності з планом науково-дослідних робіт кафедри нарисної геометрії, інженерної і машинної графіки.

Мета дослідження - розробити способи геометричного моделювання й алгоритми формування дискретних моделей точкових каркасів квазіканалових поверхонь різного призначення, що дозволяють уникнути позапланових самоперетинів поверхні, при збереженні заданих параметрів, необхідних для швидкісного спрямування переміщуваних у них середовищ.

Для досягнення поставленої мети необхідно розв’язати наступні задачі:

- розробити способи формування й алгоритми керування формою дискретно представлених

кривих ліній (ДПК), що обмежують задану площу;

- розробити спосіб вписування замкнених ДПК, що обмежують задану площу (надалі зона ДПК), у багатокутники з визначеними параметрами;

- розробити способи формування простих дуг ДПК із лінійною залежністю кривини й радіуса кривини від параметрів кривої;

- створити алгоритми дискретної одновимірної інтерполяції заданих точок на площині псевдоспіральними кривими;

- дослідити питання точності дискретного представлення плоских кривих із заданими диференціально-геометричними характеристиками та збіжність алгоритмів їх формування;

- провести параметричний аналіз умов стикування простих дуг складеної ДПК із врахуванням різних сполучень вихідних даних;

- створити геометричний алгоритм формування дискретних точкових каркасів квазіканалових поверхонь за наперед заданими умовами;

- впровадити результати теоретичних досліджень у практику, для розв’язання задач, що стосуються трасування та конструювання технічних поверхонь складних форм.

Об’єкт дослідження – дискретне геометричне моделювання поверхонь технічних форм.

Предмет дослідження – квазіканалові поверхні з перерізами змінної форми.

Методи дослідження. Для розв’язання поставлених у роботі задач використовувались положення й методи нарисної, аналітичної та диференціальної геометрій, комп’ютерної графіки, методи дискретного моделювання поверхонь, чисельного аналізу, обчислювальні методи, теорія кривих та поверхонь, теорія параметризації та інші. В якості основних у дисертації прийнято графоаналітичний метод дослідження та метод послідовних наближень на основі статико-геометричний способу дискретного моделювання плоских кривих ліній та поверхонь.

Теоретичною базою для проведених досліджень стали роботи провідних вчених:

- в галузі прикладної геометрії кривих ліній і поверхонь: Іванова Г. С., Ковальова С.М., Котова І.І., Михайленка В.Є., Надолинного В.О., Обухової В.С., Павлова А.В., Підгорного О.Л., Підкоритова А.М., Рижова М.М., Тевліна А.М., Філіпова П.В., Якуніна В.І. їх учнів та інших фахівців;

- в галузі геометричного моделювання технічних об’єктів для транспортування середовищ різної природи: Обухової В.С., Осипова В.А., Павлова А.В., Якуніна В.І. їх учнів та інших фахівців;

- в галузі дискретного моделювання об’єктів, процесів та явищ: Грибова С.М., Верещаги В.М., Ковальова С.М., Лі В.Г., Михайленка В.Є., Найдиша А.В., Найдиша В.М. їх учнів та ін. фахівців;

- в галузі параметричного аналізу геометричних об’єктів: Ковальова С.М., Рижова М.М., Підгорного О.Л. та інших.

Автоматизація розрахунків геометричних параметрів кривих і поверхонь у роботі виконувалась за допомогою програмного пакета для символьних, чисельних і графічних обчислень “Maple 6”.

Наукова новизна одержаних результатів:

- розроблено спосіб формування й алгоритм керування формою ДПК, що обмежує задану площу;

- розроблено графоаналітичне визначення центра ДПК, що обмежує задану площу й алгоритм вписування її у довільний опуклий чотирикутник;

- розроблено узагальнений спосіб вписування ДПК певної площі у задані окремі чотирикутники (квадрат, прямокутник, ромб, паралелограм);

- визначено екстремальні межі варіювання площі, що обмежує ДПК при вписуванні її у квадрат заданої площі;

- розроблено спосіб дискретної одновимірної інтерполяції точок на площині псевдоспіральними кривими (логарифмічна спіраль, клотоїда, евольвента кола) із 2-им порядком гладкості на стиках;

- проведено параметричний аналіз умов стикування простих дуг плоскої складеної ДПК за різним сполученням вихідних даних;

- розроблено способи управління кривиною напрямної осі та параметрами перерізів для уникнення самоперетину квазіканалових поверхонь.

Практичне значення одержаних результатів досліджень полягає в уніфікації й узагальненні розрахунків дискретних точкових каркасів поверхонь, підвищенні точності й швидкості моделювання квазіканалових поверхонь за рахунок управління кривиною їх напрямної осі та управління параметрами перерізів поверхні ще у процесі розрахунків. Усе це призводить до економії матеріальних і фінансових ресурсів на етапі проектування поверхонь.

Одержані в роботі результати є науковою основою для розвитку дискретного геометричного моделювання поверхонь складних форм за наперед заданими умовами. Створення комплексу універсальних, узагальнюючих і компактних алгоритмів відкриває широкі можливості для подальшої комп’ютерної обробки одержаних у дисертаційній роботі результатів.

На підставі розроблених у дисертації способів розраховано поверхню повітропроводу складної форми швидкісної дії та внутрішню поверхню перехідного патрубка гідророзподільчого механізму за наперед заданими умовами, що підтверджує практичну цінність одержаних результатів.

Запропоновані в роботі способи та їх реалізація прийняті до впровадження в Українському державному інституті з проектування підприємств харчової промисловості “УКРГІПРОХАРЧОПРОМ” для проектування повітропроводів складної форми швидкісної дії та в колективному підприємстві “КИЇВТРАКТОРОДЕТАЛЬ” для впровадження методики конструювання квазіканалових перепускних патрубків швидкісної дії.

Особистий внесок здобувача у статтях, що написані у співавторстві, полягає в доведенні властивості ДПК та формули залежності вектора зовнішнього зусилля від радіуса кривини ДПК, а також створенні алгоритму формування простої дуги ДПК із заданою кривиною або радіусом кривини у крайових вузлах ДПК та способу формування ДПК, що обмежує задану площу.

Апробація результатів дисертації здійснювалася на 59-й науково-практичній конференції КНУБА (м. Київ, 1998р.), на 6-й Міжнародній науково-практичній конференції “Сучасні проблеми геометричного моделювання” (м. Мелітополь, 1999 р.), на Міжнародній науково-практичній конференції “Современные проблемы геометрического моделирования” (м. Донецьк, 2000 р.), на щорічних наукових семінарах кафедри нарисної геометрії, інженерної і машинної графіки КНУБА під керівництвом академіка, д. т. н., професора Михайленка В. Є. (м. Київ, 1998-2002 рр.).

Публікації. За результатами наукових досліджень опубліковано 6 праць (4 статті у міжвідомчих та міжвузівських тематичних науково-технічних збірниках, які затверджені ВАК України, як фахові, 2 статті у матеріалах та тезах науково-практичної конференції), із них 3 роботи без співавторства.

Структура і обсяг дисертаційної роботи. Дисертація складається з вступу, чотирьох розділів та висновків до них, загальних висновків, списку літературних джерел із 175 найменувань (17 стор.) і додатків (2 стор.). Загальний обсяг роботи становить 163 стор. (із них 113 стор. тексту, 35 таблиць та 76 рисунків, із яких 28 таблиць і 16 рисунків розміщено на 30 окремих сторінках).

ОСНОВНИЙ ЗМІСТ РОБОТИ

У вступі подано загальну характеристику роботи, обгрунтовано актуальність теми досліджень, наукову новизну та практичне значення результатів дисертації.

У першому розділі висвітлено сучасний стан проблеми конструювання каналових і квазіканалових поверхонь різного призначення, зроблено огляд і критичний аналіз відповідної наукової літератури. Проаналізовано роботи, які не мають прямого відношення до конструювання квазіканалових поверхонь, але містять методи, що використовуються у даній дисертації.

На основі аналізу літератури виявлено не вирішені до останнього часу задачі, пов’язані з конструюванням квазіканалових поверхонь, зокрема, задача перепуску поверхні з перерізами змінної форми через отвори й щілини із заданими параметрами та задача управління кривиною напрямної осі поверхні за умови її монотонної зміни.

У другому розділі запропоновано спосіб дискретного формування твірної квазіканалової поверхні у вигляді плоскої центрально-організованої ДПК, яка обмежує задану площу, і проходить через визначені точки або вписана у заданий багатокутник. ДПК утворюється методом сил, суть якого полягає в тому, що крива формується як розтягнута нитка під дією множини зосереджених зовнішніх зусиль, прикладених до її вузлів.

Площа, яку обмежує ДПК, може враховуватись як параметр кривої на основі доведеної властивості: якщо вектори зовнішніх зусиль Pi , прикладених до вузлів плоскої ДПК, перетинаються в спільній точці Т на прямій, що з’єднує початковий О та кінцевий N вузли ДПК, то вектори цих зусиль Pi поділяють зону, яка обмежена ДПК і прямою ON, на рівновеликі трикутники (рис. 1).

Ця властивість дозволяє визначити абсцису довільного вузла також і замкненої ДПК за заданими абсцисами нульового та першого вузлів та визначеними ординатами всіх вузлів:

,

де (n+1) - число вузлів ДПК, i -номер поточного вузла ДПК, , -координати і-го вузла ДПК, S -площа, яку обмежує ДПК.

У такому випадку система різницевих рівнянь рівноваги вузлів (де k - коефіцієнт пропорційності зусиль і довжин відповідних в’язей ДПК, - проекції зовнішніх зусиль, прикладених до вузлів ДПК, на відповідні осі) налічує (n-1) рівнянь і 2(n-2) невідомих. Для приведення у відповідність в системі числа невідомих до числа рівнянь задаємо кусково-лінійний графік розподілу проекцій зовнішніх зусиль на вісь ординат. При цьому за незалежні невідомі приймаються (n-3) проекцій зовнішніх зусиль на вісь ординат, а решта проекцій зусиль є залежними від призначених незалежних.

Елементом практичної задачі перепуску квазіканалової поверхні з постійною або змінною площею перерізів через певні отвори й щілини є вписування зони замкненої ДПК заданої площі, у багатокутник із визначеними параметрами. Причому, контур перерізу поверхні повинен торкатися сторін цього багатокутного отвору для використання його як обойми для утримання квазіканалової поверхні.

Обмежимося вивченням можливостей побудови зони ДПК заданої площі, що вписується у чотирикутники із визначеними параметрами.

При вписуванні центрально організованої ДПК у заданий чотирикутний отвір, виникає задача визначення положення їх центру. Центр Т необхідно обирати таким чином, щоб площі трикутників , , були однаковими (рис. 2.). Тобто щоб зона, що обмежена ДПК, поділялася на рівновеликі трикутники.

Гладкість стикування дуг HE, EF, FG, GH складеної ДПК забезпечується за рахунок закономірної зміни координатних складових зовнішніх зусиль , прикладених до її вузлів. Графіки розподілу цих зусиль можуть мати злами, але не можуть мати розривів. Відсутність розривів графіків забезпечується за рахунок неперервності (у дискретному уявленні) сил і довжин в’язей ДПК. Закономірність зміни довжин в’язей може бути забезпечена за рахунок пропорційності числа в’язей у кожному із секторів HET, EFT, FGT, GHT та площ цих секторів. Якщо площа сектора пропорційна площі чотирикутника , то і число в’язей буде пропорційне площі відповідного чотирикутника. Якщо площі чотирикутників HKET, ELFT, FMGT і GNHT рівні, то і число в’язей ДПК в них буде однаковим.

Доведено ряд властивостей, які дозволили запропонувати графічний і аналітичний алгоритми побудови центра Т ДПК, вписаної у заданий чотирикутник. Через середину R діагоналі МК чотирикутника (рис. 3) проводиться пряма l'||LN. Через середину Q діагоналі LN проводиться пряма l''||МК. Центр Т визначається в результаті перетину прямих l' і l''.

Але спосіб формування зони ДПК заданої площі при кусково-лінійному розподілі однієї з координатних складових зовнішніх зусиль має істотний недолік, який полягає в тому, що при симетрично заданих вихідних даних, зона ДПК буде асиметричною. Це відбувається тому, що завдання закономірного розподілу однієї з координатних складових зусиль (наприклад, Py,i) вже визначає закономірність розподілу іншої координатної складової (Px,i) і ці закономірності різні. Виправляємо такий недолік, задаючи закономірний розподіл не координатних складових Px,i, Py,i, а модулів зусиль Pi, із якого вже визначаємо координатні складові зовнішніх зусиль. Але у цьому випадку система різницевих рівнянь рівноваги вузлів ДПК стає нелінійною, тому що розраховані координатні складові зовнішніх зусиль нелінійно залежать від координат вузлів ДПК.

Тому задача розв’язується методом послідовних наближень на основі статико-геометричного способу формування ДПК. А саме: за допомогою геометричних розрахунків на кожному кроці ітераційного процесу уточнюється положення всіх вузлів ДПК відносно суміжних із ними вузлів. Розраховані значення координатних складових зусиль, що утримують вузли у новому положенні, підставляються до системи лінійних рівнянь рівноваги вузлів, у якій невідомими є координати шуканих вузлів і коефіцієнти пропорційності зусиль і довжин відповідних в’язей ДПК:

Розв’язання системи дає чергове наближення значень координат вузлів ДПК в ітераційному процесі.

Закономірність у положенні вузлів ДПК визначається кусково-лінійним графіком розподілу зусиль між ними. За незалежні змінні приймаються зовнішні зусилля у вузлах (рис. 4). Ці зусилля є сталими заданими на кожному кроці ітераційного процесу та уточнюються в процесі розв’язання задачі. Модулі зусиль в інших вузлах ДПК задаються як лінійно залежні від призначених незалежних.

Координатні складові зовнішніх зусиль, прикладених до вузлів ДПК, визначаються на кожному кроці ітераційного процесу за формулами:

; ,

де – модуль зовнішнього зусилля, що діє на вузол ДПК, і – номер інтервалу,

j – номер вузла на інтервалі, , - координати вузла попереднього наближення.

На практиці, як правило, отвори, через які проходить квазіканалова поверхня, мають не довільну форму, а форму квадрата, прямокутника, паралелограма або ромба.

Зона ДПК заданої площі, що вписана у такі чотирикутники може бути одержана за допомогою ланцюга афінних перетворень, в яких будується квадрат, рівновеликий заданій вихідній фігурі. У такий постійний квадрат вписується зона ДПК заданої площі, яка у ланцюзі зворотних перетворень повертається у вихідну фігуру.

Відомо, що квадрат є центрально й дзеркально симетричною фігурою, тому і ДПК, що вписана в нього запропонованим способом, теж буде симетричною. Така симетрія дозволяє скоротити число рівнянь рівноваги вузлів ДПК у вісім разів.

За допомогою обчислювального експерименту складено алгоритми для визначення екстремальних меж варіювання площі зони ДПК при вписуванні її у заданий квадрат, та одержано вираз для наближеного прогнозування меж можливої зміни відношення площі, яку обмежує ДПК до площі описаного квадрата в залежності від числа вузлів у ДПК:

% %,

де S – площа зони ДПК, - площа квадрата, в який вписана ДПК, n – число вузлів у ДПК.

У третьому розділі викладено теоретичні дослідження для розробки способу дискретного моделювання напрямної осі квазіканалової поверхні. В основу формування напрямної покладено дискретну одновимірну інтерполяцію точок на площині із заданими дотичними і кривиною у цих точках. В якості додаткової прийнято вимогу, яка регламентує рівність довжин в’язей ДПК.

Аналіз проведених розрахунків дозволив зробити висновок, що спосіб визначення дискретного аналога кривини ДПК практично не впливає на точність одержаного результату.

Управління кривиною напрямної осі поверхні здійснюється на основі доведеної властивості: кривина ДПК, утвореної під дією нормальних зовнішніх зусиль Pi, прикладених до її вузлів, прямо пропорційна довжині вектора сили, що діє на даний вузол:

kPi = l2 ,

де l - довжина в’язі рівноланкової ДПК,

- коефіцієнт пропорційності зусиль і довжин відповідних в’язей ДПК.

Рівність в’язей ДПК забезпечується за рахунок того, що напрям вектора зовнішнього зусилля збігається з бісектрисою кута між суміжними в’язями ДПК.

Тоді формули для визначення координатних складових зовнішніх зусиль, що діють на вузли

ДПК, приймають вигляд:

;

або ,

де - довжина відрізка, що з’єднує (і-1) та (і+1) вузли ДПК,

- множник, що дорівнює одиниці, але змінює знак, в залежності від знаку кривини .

Алгоритм формування простої дуги ДПК за відомою кривиною або радіусом кривини у заданих початковому й кінцевому вузлах, виглядає наступним чином:

1. Задаються вихідні дані:

а) координати крайових вузлів ДПК; б) число вузлів у ДПК; в) кривина або радіуси кривини у крайових вузлах; г) графік зміни кривини або радіусів кривини.

2. Першим наближенням положення вузлів ДПК призначається їх розподіл із рівномірний кроком вздовж відрізка прямої, що з’єднує початковий і кінцевий вузли ДПК.

3. За формулами (2) або (3) розраховуються координатні складові зовнішніх зусиль, прикладених до вузлів ДПК, та підставляються до системи рівнянь рівноваги вузлів ДПК (1).

4. Розв’язання системи рівнянь рівноваги вузлів ДПК (1) дає чергове наближення шуканих координат вузлів ДПК в ітераційному процесі.

5. Якщо різниця між значеннями координат тих самих вузлів у двох останніх ітераціях не перевищує припустимої величини похибки, ітераційний процес припиняється. У протилежному випадку процес повторюється з пункту 3.

Наведено приклади формування простих дискретно представлених дуг логарифмічної спіралі та клотоїди, які утворюється за заданими координатами крайових вузлів й віповідно радіусами кривини та кривиною у них, а також при лінійній залежності відповідно радіусів кривини та кривини від довжини цих кривих.

При формуванні ДПК особливого значення набуває точність результату, бо дискретні аналоги неперервних образів завжди є наближеними. Використовуючи дослідження Ю.І. Бадаєва з питань точності дискретного представлення плоских кривих, створено алгоритм формування простої плоскої дуги ДПК із заданим постійним допуском на похибку точності вздовж кривої. На прикладі формування дискретного аналога простої дуги евольвенти кола за заданими координатами крайових вузлів та графіком зміни радіусів кривини вздовж неї показано спроможність створеного алгоритму.

Оскільки формування дискретних аналогів простих дуг псевдоспіральних кривих здійснюється методом послідовних наближень, у роботі проведено аналіз збіжності ітераційного процесу. Обчислювальний експеримент показав, що число вузлів у ДПК, за інших рівних умов, практично не впливає на швидкість збігу ітераційного процесу. Число ітерацій залежить від співвідношення радіусів кривини у крайових вузлах ДПК і зростає в міру відхилення цього співвідношення від одиниці або при зменшенні значень радіусів кривини у цих крайових вузлах.

Прості дуги ДПК є елементами складених кривих у задачах дискретної одновимірної інтерполяції точок на площині. Координати вузлів таких ДПК визначаються при розв’язанні системи рівнянь рівноваги вузлів (1). У найпростішому випадку число рівнянь системи відповідає числу невідомих координат вузлів, тому що для кожного невідомого вузла складаються рівняння рівноваги однойменних координатних складових зовнішніх зусиль, що діють на даний вузол.

В задачах інтерполяції у системі рівнянь (1) з’являються додаткові рівняння, що описують умови стикування простих дуг ДПК, і тому порушується рівновага між числом рівнянь і числом невідомих. Таку рівновагу можна відновити за рахунок вільних параметрів зовнішніх зусиль, прикладених до вузлів ДПК.

Тому у роботі проведено параметричний аналіз різних сполучень умов стикування простих дуг ДПК і для кожного випадку визначено число зовнішніх зусиль, які повинні бути незалежними параметрами у системі рівнянь рівноваги вузлів (1). Решта зовнішніх зусиль Pi розподіляється між вузлами ДПК, як лінійно залежні від призначених незалежних.

У четвертому розділі розглянуто реальні практичні приклади конструювання дискретних точкових каркасів квазіканалових поверхонь швидкісної дії за наперед заданими умовами.

Комплексна задача формування дискретного точкового каркасу квазіканалової поверхоні з урахуванням заданих вимог, перерахованих у третьому розділі, розв’язується в три етапи.

На першому етапі формується напрямна вісь поверхні, як складена рівноланкова ДПК із кусково-лінійною зміною кривини або радіусів кривини вздовж неї. Контроль за зміною кривини напрямної осі дозволяє уникнути випадків самоперетину поверхні. На другому етапі задається закон зміни параметрів отворів, які є обоймою для нормальних перерізів поверхні і формуються самі перерізи, що обмежують задану площу. Третій етап – це розміщення отворів із вписаними у них перерізами вздовж сформованої напрямної осі поверхні.

Як обмеження, що накладаються на параметри перерізів каналу, розглядаються прямокутні (квадратні) отвори або щілини, через які повинна пройти поверхня. До умов, що обмежують параметри перерізів заданої площі, можна також віднести кривину напрямної осі поверхні. Габаритний розмір осі симетричного перерізу, що збігається з нормаллю до напрямної осі поверхні, не може перевищувати подвоєного радіуса кривини цієї напрямної, тому що поверхня матиме самоперетин (рис. 5 а). Такого самоперетину можна уникнути при зменшенні параметра b перерізу (рис. 5 б) до необхідної величини. Тоді параметр а збільшується й визначається за заданою площею цього перерізу. Такий контроль дозволяє уникнути випадків самоперетину поверхні ще в процесі розрахунків.

а б

Рис. 5. Формування квазіканалової поверхні:

а - випадок самоперетину поверхні: (1-плоска напрямна, 2-контур поверхні, 3-зона самоперетину); б - умови уникнення самоперетину поверхні (4-нормальний переріз поверхні).

Проектування дискретного точкового каркаса складної поверхні повітропроводу швидкісної дії замовлене державним інститутом з проектування підприємств харчової промисловості “УКРГІПРОХАРЧОПРОМ”.

Задано наступні параметри й умови (рис. 6): напрямна вісь повітропроводу повинна мати кусково-монотонну зміну кривини та точки випрямлення у вузлах А0 (0; 0); В12 (800; 600); С24 (1600; 0). Число вузлів у напрямній осі - n = 24, у нормальних перерізах поверхні - m = 32. Постійна площа перерізів S = 38000 кв. од. Обмеження на параметри отворів, через які повинен пройти повітропровод: а). отвір, площина якого проходить через вузол А0 напрямної є квадратом із стороною а =200 лін. од. (==100 лін. од.); б). у вузлах В12 і С24 напрямної осі поверхня повинна пройти через щілини шириною b12 =100 лін. од. і b24 = 160 лін. од.

Порядок стикування складених ліній каркаса поверхні повинен бути не нижче другого.

Рис. 6. Формування напрямної осі квазіканалової поверхні.

Напрямна вісь повітропроводу формується за алгоритмом, наведеним у третьому розділі.

За алгоритмом наведеним у другому розділі в квадратний отвір вписано переріз поверхні повітропроводу, що обмежує площу S=3500 кв. од. Щілини, що задано у вузлах В12 і С24 напрямної, перетворено в прямокутники, рівновеликі заданому квадратному отвору.

Обмежуючі прямокутники проміжних перерізів поверхні одержано за допомогою параболічної інтерполяції їх параметрів із збереженням заданої площі. В ці прямокутники, використовуючи афінні перетворення, вписано перерізи поверхні заданої площі.

Для визначення положення перерізів поверхні у координатній системі Охуz (рис. 7) з метою спрощення обчислювального процесу виведено комплексні формули перетворення координат їх вузлів, які враховують як перенесення перерізів у простір, так і їх афінні перетворення:

, , , де а - довжина півсторони прямокутника, що паралельна горизонтальній осі абсцис;

-площа прямокутника, описаного навколо перерізу поверхні;

, , , , , - координати вузлів рівноланкової напрямної осі поверхні;

, - локальні координати вузла замкненої ДПК, вписаної у квадрат.

Розрахований дискретний каркас поверхні повітропроводу побудовано на рис. 7.

Рис. 7. Дискретний каркас поверхні повітропроводу.

Конструювання дискретного точкового каркасу внутрішньої поверхні перепускного патрубка гідророзподільчого механізму замовлене колективним підприємством “КИЇВТРАКТОРОДЕТАЛЬ”.

Напрямну вісь каналу патрубка сформовано як рівноланкову ДПК, що є дискретним аналогом простої дуги клотоїди, тобто кривої, яка монотонно змінює кривину.

На параметри крайових отворів каналу патрубка площею 1500 мм2 накладено обмеження положенням отворів для закріплення патрубка у його фланцях (рис. 8), тому площі прямокутників, описаних навколо цих крайових отворів неоднакові (S0 = 2100 мм2, S6=1950 мм2). Для забезпечення закономірної зміни форми перерізів каналу патрубка вздовж його осі, прийнято лінійну інтерполяцію площ прямокутників, що обмежують перерізи каналу та лінійну інтерполяцію відношення bj/aj сторін цих прямокутників.

Усі прямокутники, що описані навколо перерізів поверхні патрубка, афінно перетворено у рівновеликі їм квадрати. За алгоритмом, наведеним у другому розділі, у ці перетворені квадрати вписано перерізи каналу, що обмежують однакову площу S=1500 мм2. Після цього зворотнім перетворенням квадратів, разом із вписаними в них ДПК, одержано шукані перерізи

каналу патрубка із описаними навколо них вихідними прямокутними отворами.

Розрахований дискретний каркас поверхні перепускного патрубка гідророзподільчого механізму побудовано на рис. 9.

Рис. 8. Параметри перепускного патрубка гідророзподільчого механізму

Рис. 9. Дискретний каркас перепускного патрубка гідророзподільчого механізму

ВИСНОВКИ

На підставі проведених у дисертаційній роботі геометричних досліджень, що спрямовані на вдосконалення та розвиток методів дискретного геометричного моделювання каналових та квазіканалових поверхонь, розв’язана актуальна задача перепуску таких поверхонь, представлених дискретним точковим каркасом з постійною або змінною площею перерізів, через задані отвори й щілини за умови уникнення самоперетину поверхні за допомогою керування параметрами її напрямної та перерізів. Для цього розроблено спосіб управління кривиною дискретно представленої складеної (або простої) напрямної осі поверхні, яка для забезпечення кусково-монотонної зміни кривини вздовж неї, формується з другим порядком гладкості на стиках із застосуванням псевдоспіралей (логарифмічна спіраль, клотоїда, евольвента кола) у якості інтерполянтів. Розроблено також спосіб монотонної зміни форми твірної, представленої у вигляді замкненої або дуги центрально організованої дискретно представленої кривої, із збереженням площі, яку вона обмежує.

Значення для науки запропонованих способів полягає в розвитку теорії дискретного геометричного моделювання кривих та поверхонь у напрямку керування їх формою.

Проведений параметричний аналіз умов стикування простих дуг складеної ДПК, за різним сполученням заданих вихідних даних, розкриває широкі можливості для розв’язання задач дискретної одновимірної інтерполяції точок на площині.

Використання одержаних результатів доцільно у наукових дослідженнях при розробці нових способів дискретного геометричного моделювання кривих і поверхонь з урахуванням наперед заданих конструктивних, технологічних, диференціально-геометричних й інших вимог та умов.

Значення для практики проведених досліджень полягає в більш ефективному й швидкому проектуванні, розрахунку й конструюванні неосцилюючих квазіканалових поверхонь за умови керування їх параметрами для уникнення небажаних самоперетинів поверхні та перепуску її через задані отвори й щілини різної форми, при збереженні заданих вихідних умов і окремих параметрів поверхні. Одержані результати можуть знайти використання у практиці при розв’язанні задач дискретної одновимірної інтерполяції заданих точок на площині при розробці й конструюванні нових моделей поверхонь складних форм.

В дисертаційній роботі одержано наступні результати, що мають наукову й практичну цінність:

1. Аналіз існуючих методів і способів моделювання квазіканалових поверхонь показав відсутність розв’язання задачі перепуску таких поверхонь з перерізами заданої площі через певні отвори й щілини та недостатню ефективність у вирішенні пов’язаних із цим проблем:

- складність розрахунків при континуальному поданні кривих та поверхонь;

- вирішення задач інтерполяції точок на площині або побудова обводів із трансцендентних кривих традиційними способами приводить до розв’язання систем нелінійних рівнянь, що представляє собою об’єктивні труднощі;

- відсутність узагальнюючих методів математичного забезпечення проектування квазіканалових поверхонь;

- не розв’язано задачу управління параметрами напрямної осі та перерізів квазіканалової поверхні для уникнення її самоперетину при збереженні напряму цієї осі й площі перерізів поверхні;

- відсутній уніфікований спосіб вписування ДПК, що обмежують задану площу, в окремі чотирикутники (квадрат, прямокутник, ромб, паралелограм) заданої площі.

2. На основі синтезу метода послідовних наближень і статико-геометричного способа формування ДПК розроблено спосіб формування твірних квазіканалових поверхонь у вигляді плоских центрально організованих ДПК, які обмежують задану площу і можуть бути вписаними у чотирикутники з визначеними параметрами. Цей спосіб дозволяє вирішувати задачу перепуску квазіканалової поверхні через отвори та щілини із заданими параметрами за умови збереження необхідних для її конструювання вихідних даних і параметрів.

3. Розроблено уніфікований спосіб вписування центрально організованих ДПК, що обмежують задану площу, в окремі чотирикутники (квадрат, прямокутник, ромб, паралелограм) визначеної площі, та розраховано екстремальні межі варіювання площі, яку зможе обмежувати ДПК, при вписуванні її у квадрат заданої площі.

4. Розроблено спосіб конструювання простої дуги плоскої рівноланкової ДПК. Для її формування, у якості інтерполянтів при дискретній одновимірній інтерполяції точок на площині, використано низку дискретних аналогів псевдоспіральних кривих (логарифмічна спіраль, клотоїда, евольвента кола), які монотонно змінюють кривину або радіус кривини вздовж кривої. Це дозволяє використовувати їх у якості напрямних квазіканалових поверхонь, призначених для швидкісного перепуску переміщуваних у них середовищ. Рівність в’язей таких ДПК забезпечує рівномірну загущеність каркасу квазіканалової поверхні будь якої щільності.

5. Виконаний параметричний аналіз умов стикування простих дуг ДПК, за різною сукупністю та сполученням вихідних даних, дозволяє формувати складені дискретно представлені напрямні осі квазіканалових поверхонь із забезпеченням при цьому кусково-монотонної зміни кривини вздовж них та другого порядку гладкості на їх стиках.

6. Запропоновані в роботі методи, способи й алгоритми дозволяють підвищити точність моделювання, скоротити терміни проектування й одержати більш збалансовані проектні рішення за рахунок дискретного характеру моделювання та алгоритмічної спрямованості

розробок, які орієнтовані на дискретний характер комп’ютерних розрахунків.

7. Розроблені в дисертації методи, способи й алгоритми підтверджуються розрахунками й супроводжуються тестовими проілюстрованими прикладами.

Розв’язання реальних практичних задач конструювання дискретних точкових каркасівквазіканалових поверхонь повітропроводу складної форми швидкісної дії за заданими технічними вимогами та внутрішньої поверхні перепускного патрубка гідророзподільчого механізму з урахуванням заданих проектних умов підтверджує вірогідність, обгрунтованість, наочність, достовірність і практичну цінність теоретичних результатів досліджень.

8. Запропоновані в роботі методи, способи й алгоритми прийнято до впровадження в Українському державному інституті з проектування підприємств харчової промисловості “УКРГІПРОХАРЧОПРОМ” при проектуванні повітропроводів складної форми швидкісної дії та в колективному підприємстві “КИЇВТРАКТОРОДЕТАЛЬ” при конструюванні квазіканалових перпускних патрубків швидкісної дії.

Доцільно рекомендувати запропоновані в роботі методи, способи та алгоритми до впровадження у розрахункових відділах НДІ і КБ, які проводять моделювання нової техніки, що містить квазіканалові поверхні.

9. Подальший розвиток запропонованих у роботі способів доцільно вести в напрямку побудови квазіканалових поверхонь із просторовою дискретно представленою напрямною, вирішення проблеми вирівнювання довжин в’язей на суміжних інтервалах складених ДПК та дослідження обмежень на завдання кривини у різних вузлах при формуванні ДПК.

ПУБЛІКАЦІЇ ЗА ТЕМОЮ ДИСЕРТАЦІЇ

1. Ковтун О.М. Формули для визначення координат вузлів дискретно представленої кривої // Прикладна геометрія та інженерна графіка: Міжвідомчий науково-технічний збірник. Вип. 63., К., КДТУБА, 1998, с. 184 - 186.

2. Ковалёв С.Н., Ковтун О.Н. Формирование центрально организованной Д.П.К., ограничивающей заданную площадь // Прикладная геометрия и инженерная графика. Труды / Таврическая государственная агротехническая академия. - вып. 4. - Т.2. - Мелитополь: ТГАТА, 1998, с. 43 - 47.

3. Ковтун О.М. Формування центрально організованої замкненої дискретно представленої кривої, що обмежує задану площу // Прикладна геометрія та інженерна графіка: Міжвідомчий науково-технічний збірник. Вип. 65., К., КНУБА, 1999, с. 197 - 200.

4. Ковальов С.М., Ковтун О.М. Формування рівноланкової дискретно поданої кривої з заданою кривиною // Прикладна геометрія та інженерна графіка: Міжвідомчий науково-технічний збірник. Вип. 67., К., КНУБА, 2000, с. 33 - 35.

5. Ковтун О.Н. Дискретное конструирование квазиканаловых поверхностей // Тезисы докладов международной научно-практической конференции “Современные проблемы геометрического моделирования”. Донецк: ДонГТУ, 2000, с. 71 - 73.

6. Ковалёв С.Н., Ковтун О.Н. Дискретная интерполяция псевдоспиральными кривыми // Тезисы докладов международной научно-практической конференции “Современные проблемы геометрического моделирования”. Донецк: ДонГТУ, 2000, с. 73 - 74.

Ковтун О.М. Конструювання дискретних точкових каркасів квазіканалових поверхонь за наперед заданими умовами. – Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата технічних наук за спеціальністю 05.01.01-“Прикладна геометрія, інженерна графіка”. – Київський національний університет будівництва і архітектури. – Київ, 2003.

Дисертацію присвячено вдосконаленню та розвитку методів дискретного геометричного моделювання каналових і квазіканалових поверхонь, призначених для швидкісного спрямування переміщуваних у них різноманітних середовищ. У роботі вирішено задачу перепуску таких поверхонь, представлених дискретним точковим каркасом із нормальними перерізами заданої площі, через отвори й щілини різної форми, за умови уникнення позапланових самоперетинів поверхні та при збереженні вихідних параметрів конструювання. Для цього на основі синтезу метода послідовних наближень і статико-геометричного способу формування дискретно представлених кривих розроблено спосіб монотонної зміни форми твірної, представленої у вигляді замкненої або дуги центрально організованої дискретно представленої кривої, яка може бути вписаною в чотирикутники з визначеними параметрами, із збереженням площі, що вона обмежує, та спосіб управління кривиною плоскої дискретно представленої складеної напрямної осі поверхні, яка для забезпечення монотонності зміни кривини (другий порядок гладкості на стиках) формується із застосуванням у якості інтерполянтів простих рівноланкових дуг псевдоспіралей (логарифмічна спіраль, клотоїда, евольвента кола).

Ключові слова: квазіканалова поверхня, дискретний каркас, управління кривиною, перепуск поверхні через отвори.

Ковтун О.Н. Конструирование дискретных точечных каркасов квазиканаловых поверхностей по наперёд заданным условиям. – Рукопись.

Диссертация на соискание научной степени кандидата технических наук по специальности 05.01.01-“Прикладная геометрия, инженерная графика”. – Киевский национальный университет строительства и архитектуры. – Украина, Киев, 2003.

Диссертация посвящена совершенствованию и развитию методов дискретного геометрического моделирования каналовых и квазиканаловых поверхностей, предназначенных для скоростного перемещения сред различного