ХАРКІВСЬКИЙ НАЦІОНАЛЬНИЙ УНІВЕРСИТЕТ ім
ХАРКІВСЬКИЙ НАЦІОНАЛЬНИЙ УНІВЕРСИТЕТ ім. В.Н. КАРАЗІНА
КУЗНЕЦОВА ТЕТЯНА ОЛЕГІВНА
УДК 544.3.032+544.163
Теоретичне моделювання фазових переходів у низькорозмірних магнетиках
та плівках складних рідин
02.00.04 – фізична хімія
АВТОРЕФЕРАТ
дисертації на здобуття наукового ступеня
кандидата хімічних наук
Харків – 2003
Дисертацією є рукопис
Роботу виконано на кафедрі теоретичної хімії Харківського національного університету ім. В.Н. Каразіна Міністерства освіти та науки України
Науковий керівник доктор фізико-математичних наук Черановський Владислав Олегович, Харківський національний
університет ім. В.Н. Каразіна,
професор кафедри теоретичної хімії
Офіційні опоненти доктор хімічних наук,
старший науковий співробітник
Сахно Тамара Вікторівна,
Полтавське відділення Академії наук
технологічної кібернетики,
заступник керівника
доктор фізико-математичних наук, професор
Єрмолаєв Олександр Михайлович,
Харківський національний
університет ім. В.Н. Каразіна,
завідувач кафедри теоретичної фізики
Провідна установа Інститут хімії поверхні НАН України,
відділ медико-біологічних
проблем поверхні, м.Київ
Захист відбудеться 6 лютого 2004 р. о 1400 годині на засіданні спеціалізованної вченої ради Д 64.051.14 Харківського національного університету ім. В.Н. Каразіна (61077, м. Харків, пл.Свободи, 4, ауд.7-80).
З дисертацією можна ознайомитися в Центральній науковій бібліотеці Харківського національного університету ім. В.Н. Каразіна (61077, м. Харків, пл.Свободи, 4).
Автореферат розісланий “22” грудня 2003 р.
Вчений секретар
спеціалізованої вченої ради Чепелєва Л.В.
ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ
Актуальність теми: теоретичні дослідження фізико-хімічних низькорозмірних магнетиків відносяться до однієї з галузей науки, які отримали найбільш інтенсивний розвиток за останні десятирічча. Успіх експериментаторів при одержанні нових матеріалів для електронної техніки, особливо в галузі нанотехнологій, стимулював появу нових граткових моделей таких магнетиків та розробку ефективних методів їх дослідження. Деякі з цих моделей також застосовувалися для опису термодинаміки плівок складних рідин типу мікроемульсій, що дало можливість дослідити особливості поведінки низькорозмірних магнетиків та плівок мікроемульсій з єдиних позицій. Зацікавленість у дослідженнях подібного роду у значній мірі викликана успіхами у застосуванні граткових моделей для опису особливостей поведінки рідин, обмежених поверхнями твердих тіл.
Термодинаміку граткових спінових моделей в окрузі фазових переходів як правило досліджують за допомогою різніх варіантів наближення середнього поля та методу Монте-Карло. Проте наближення середнього поля погано підходить для опису критичних властивостей низькорозмірних систем, а метод Монте-Карло потребує застосування потужної компютерної техніки. В зв’язку з цим гарною альтернативою традиційним підходам є чисельний метод групи перенормування Уайта (DMRG), який для моделі Ізінга на двовимірних гратках призводить до значно кращих результатів відносно точності розрахунків в порівнянні з класичним методом Монте-Карло. Тому поряд з моделюванням особливостей спінового впорядкування у низькорозмірних магнетиках та фазових переходів у плівках мікроемульсій, актуальною задачею являється дослідження меж застосування методу Уайта для опису подібних систем та пошук шляхів підвищення його обчислювальної ефективності.
Зв’язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Дисертаційну роботу виконано в рамках держбюджетної НДР “Конденсовані азотовмісні речовини – продукти реакції циклоконденсації карбонільних сполук з азабінуклеофілами; квазідвовимірні провідники і надпровідники на основі сірковмісних сполук”, № держреєстрації 0100U003271.
Мета дослідження – виявити особливості фазових переходів у граткових моделях сполук перехідних та рідкісноземельних елементів, що мають властивості низькорозмірних магнетиків, та двовимірних спінових моделях плівок складних рідин типу мікроемульсій.
Для досягнення поставленої мети передбачалося розв’язати такі задачі:
·
вивчити особливості фазових переходів у плівках мікроемульсій, які описуються двовимірною моделлю Ізінга з конкуруючими взаємодіями, за допомогою чисельного методу DMRG та дослідити ефективність та межі застосування цього методу;
·
провести аналітичне та чисельне дослідження енергетичного спектру прямокутної спінової гратки, що складається з кінцевої кількості XY ланцюжків спіну s=1/2 та впливу на цей спектр подовжнього магнітного поля;
·
встановити залежності енергії та спіну основного стану моделі Хаббарда з нескінченним відштовхуванням на анізотропній трикутній гратці типу смуги, яка має один електрон на елементарну комірку, від величини взаємодії між комірками.
Об’єкт дослідження низькорозмірні магнетики та плівки мікроемульсій, які описуються гратковими моделями.
Предмет дослідження фазові переходи у низькорозмірних магнетиках та плівках мікроемульсій.
Наукова новизна отриманих результатів. У дисертації вперше:
·
для квазідвовимірних магнетиків та плівок мікроемульсій, термодинаміка яких описується моделлю Ізінга з конкуруючими взаємодіями, одержано теоретичні оцінки відносно температурної залежності внутрішньої енергії та теплоємності при різних значеннях параметрів моделі та встановлено, що модель має принаймі два типи фазових переходів другого роду;
·
проведено дослідження точного спектру прямокутної спінової гратки типу смуги, яка містить кінцеву кількість XY s=1/2 ланцюжків, які зв’язані взаємодією ізінговського типу. В тому числі показано, що на відміну від ізотропної спінової гратки, точний спектр вивченої моделі має безщілинний характер при будь-якій кількості ланцюжків, які утворюють гратку;
·
показано, що при збільшенні феромагнітної взаємодії між сусідніми XY ланцюжками анізотропної спінової гратки типу смуги кінцевої ширини можлива поява зв’язаних n-магнонних станів. Для заданої кількості магнонів ці стани відповідають найменшій енергії;
·
встановлено, що при гранично сильній феромагнітній міжланцюжковій взаємодії гамільтоніан, який описує нижню частину спектра спінової гратки типу трубки, що складається з трьох XY ланцюжків, зводиться до одновимірної з антіферомагнітною взаємодією XXZ моделі, яка має точне рішення. Одержана оцінка для критичної величини поля, при якому гратка переходить у феромагнітний стан;
·
виявлено, що при умові слабкої феромагнітної міжланцюжкової взаємодії нижні енергетичні рівні нескінченної гратки типу трубки, яка складається з трьох XY ланцюжків, у присутності магнітного поля мають вигляд суми одномагнонних, двомагнонних та тримагнонних станів;
·
за допомогою методу DMRG показано, що для анізотропної трикутної гратки типу смуги з одним електроном на елементарну комірку гратки, яка описується моделлю Хаббарда з безмежним відштовхуванням, збільшення взаємодії між комірками призводить до стрибкоподібного переходу із стану з мінімальним значенням повного спіну у стан, який характеризується максимальним значенням повного спіну. Відмітимо, що для досліджень спектру анізотропної трикутної гратки типу смуги, які проводилися раніше, застосовувалися, як правило, методи прямої диагоналізації матриць гамільтоніанів кінцевих граткових кластерів та аналіз по теорії збурень.
Практична цінність роботи.
·
Результати дисертаційної роботи є корисними для планування експериментальних досліджень, спрямованих на одержання нових магнітних матеріалів із сполук перехідних та рідкісноземельних елементів.
·
Отримані залежності та розрахунки у галузі теоретичного моделювання поведінки складних рідин типу мікроемульсій у пористих середовищах мають цінність для збільшення ефективності процесів екстракції.
·
Висновки відносно характеру точного спектру анізотропних спінових моделей типу граток можуть застосовуватися для прогнозування магнітних властивостей нових перспективних наноматеріалів, наприклад, невуглецевих нанотрубок.
·
Результати чисельного моделювання та закономірності, які одержані у дисертаційній роботі, мають важливе значення для дослідження адекватності різних наближень у теорії фазових переходів у класичних та квантових низькорозмірних системах.
Особистий внесок здобувача полягає в участі у постановці наукової задачі, розробці чисельних алгоритмів, написанні компютерних програм, проведенні чисельних розрахунків та аналітичних викладок, обговоренні результатів, формулюванні висновків та наукових положень дисертації.
Публікації та апробація результатів дисертації. Матеріали дисертації викладені у трьох статтях та шести тезах конференцій.
Результати досліджень апробовано на International conference physics of liquid matter: modern problems (Київ, 2001 р.), ХIV Міжнародній конференції з хімічної термодинаміки (Санкт-Петербург, 2002 р.), 5-th cession of the V. A. Fock School on quantum and computational chemistry and 1-th all-Russian meeting on electronic structure of nanomatеrials (Новгород, 2002 р.) та 5-ій конференції “Применение персональных компьютеров в научных исследованиях и учебном процессе” (Харків, 2002 р.).
Структура та обсяг роботи. Результати дисертаційної роботи представлені на 143 сторінках машинописного тексту. Дисертація складається із вступу, літературного огляду, опису методів дослідження, трьох розділів, у яких відображено результати теоретичних досліджень та проведено їх обговорення, а також висновків, списку застосованних літературних джерел (111 найменувань) та списку публікацій автора. Робота містить 36 малюнків та 8 таблиць.
ОСНОВНИЙ ЗМІСТ РОБОТИ
Теоретичне дослідження фазових переходів у квазідвовимірних магнетиках та плівках мікроемульсій, термодинаміка яких адекватно описується моделлю Ізінга з конкуруючими взаємодіями.
Одним з популярних методів дослідження фазових переходів у складних системах є метод Монте-Карло. Проте цей метод потребує застосування потужної компютерної техніки. Метод молекулярної динаміки являє собою дуже потужний метод моделювання, але дозволяє розглядати відносно малі кластери (приблизно 1000 молекул на кубічну комірку, проте 50% з них розташовані на гранях кубу), а при дослідженні фазових переходів потрібно враховувати сильні флуктуації, тому розміри системи, яка розглядається, повинні бути дуже великими. Точність методу залежить від розмірів об’єкту, що розглядається, а також від того, наскільки повно враховуються усі можливі взаємодії у системі. Наскільки складніший буде вигляд потенціалу, який описує ці взаємодії, настільки меншу кількість часток, з яких складається система, ми будемо мати можливість розглянути, застосовуючи однакові комп’ютерні можливості. Значно спростити ситуацію при дослідженні фазових переходів у складних системах можна за допомогою накладення обмежень, наприклад, задати модель на гратці з чітко встановленим потенціалом взаємодії між частками, які знаходяться у вузлах цієї гратки. Незважаючи на те, що граткові моделі досить прості, вони дозволяють одержати якісне уявлення про те, яким чином можуть вести себе реальні системи біля точки фазового переходу. Якщо система, що досліджується, та граткова модель мають однакові розмірність, симетрію потенціалу, який враховує взаємодію між частками системи, та характерізуються однаковим радіусом взаємодії, тоді згідно з принципом універсальності, їх критичні показники співпадають. Деякі з граткових моделей мають точні рішення.
Для дослідження термодинаміки граткових моделей як правило застосовують різні варіанти наближення середньго поля та методу Монте-Карло. Проте перше наближення погано описує поведінку моделей у критичних областях, особливо для низькорозмірних систем, а застосування методу Монте-Карло як правило потребує використання потужної комп’ютерної техніки. В зв’язку з цим гарною альтернативою традиційним підходам є варіант чисельного методу групи пернормування Уайта (DMRG), який з’явився декілька років тому. Цей метод для двовимірної моделі Ізінга призводить до значно кращих результатів відносно точності та швидкості розрахунків в порівнянні з класичним методом Монте-Карло.
Особливе місце серед граткових статистичних моделей займає модель Ізінга на прямокутній гратці, яка має точне рішення. До узагальнень цієї моделі відносяться восьмивершинна модель та модель Відома. Ці моделі можна застосовувати для опису фазових переходів у магнетиках та складних рідинах. Узагальнення восьмивершинної моделі зводиться до двовимірної моделі Відома. Модель Відома являє собою модель мікроемульсії, яка у спіновому формулюванні подібна до ANNNI моделі для опису фазових переходів у магнетиках. Тому на наш погляд модель Відома може служити так званим “містком”, який зв’язує опис фазових переходів у магнетиках та складних рідинах. Так, наприклад, для потрійної системи масло-ПАВ-вода перехід від мікроемульсії до фази, яка насичена маслом або водою, має анологію з фазовим переходом другого роду феромагнетик-парамагнетик. При цьому мікроемульсія відповідає парамагнітній фазі, а фаза, яка насичена маслом або водою, феромагнітній фазі з позитивним або від’ємним об’ємним намагнічуванням.
Рівноважна термодинаміка тривимірної моделі Відома на цей час вивчена достатньо добре. Значно менше відомо про двовимірну модель, яка викликає цікавість, пов’язану не тільки з описом низькорозмірних магнетиків, але також у контексті термодинаміки мікроемульсій у пористому середовищі.
Розглянемо двовимірну модель Ізінга з конкуруючими взаємодіями, яка задається на квадратній гратці розмірами , яка містить рядків шириною з періодичними граничними умовами у вертикальному напрямку. Якщо враховувати сусідні та діагональні взаємодії така модель буде описуватися гамільтоніаном, загальний вигляд якого:
, (1)
де , класична змінна, яка може приймати чисельні значення +1 або –1. Ця змінна пов’язана з z-проекцією одноелектронного спінового оператора для i–го вузла гратки за допомогою співвідношення . Параметр описує “феромагнітну” взаємодію сусідніх спінів, а відповідає “антіферомагнітним” діагональним взаємодіям у квадраті гратки. Сусідні вузли гратки відмічені індексами i та j, а вузли з діагональною взаємодією m та n. Параметр відповідає циклічним взаємодіям спінів, які розташовані навколо грані гратки. Ці вузли відмічені i, j, k, l відповідно. Параметр Н враховує взаємодію кожного спіну з накладеним полем.
Модель Ізінга, яка описується гамільтоніаном (1) при умові відрізняється від симетричної моделі Відома з однаковими значеннями хімічних потенціалів води та масла тільки наявністю членів, які описують взаємодію спінів, розташованих по головним осям гратки на відстані двох періодів. Ці взаємодії найбільш слабкі і у нашій роботі не враховувалися. Згідно моделі Відома параметри гамільтоніана (1) та пов’язані з хімічними потенціалами компонентів.
Статистична сума гратки у формалізмі трасфер-матриці має вигляд:
,
,
де Т- трансфер-матриця ряд-ряд, W- больцмановська вага для квадрату, який розташований “між” стовбчиками гратки, а , , , .
Вільна енергія гратки, яка приходиться на один вузел, пов’язана з максимальним власним значенням трансфер-матриці, а внутрішню енергію та питому теплоємність можна одержати за допомогою стандартних формул:
, , .
Для одержання ми застосовували два методи: пряму діагоналізацію матриці для граток типу смуг з шириною та чисельний метод групи перенормування Уайта (DMRG), який був модифікований Нішино для формалізму трансфер-матриці.
У методі прямої діагоналізації ми знаходили найбільші власні значення трансфер-матриць смуг з шириною при фіксованих значеннях параметрів взаємодії. Ширина смуг була обмежена можливостями доступної комп’ютерної техніки (за літературними джерелами, у подібних розрахунках вона, як правило, не буває більше 20). Температури фазових переходів оцінювали за допомогою екстраполяції значень температур, які відповідають локальним максимумам теплоємностей смуг кінцевої ширини, на випадок .
У методі групи перенормування гратка типу смуги кінцевої ширини розбивалася на ліву та праву підгратки з однаковими розмірами. Ці підгратки описувалися трансфер-матрицями та . Далі для повної трансфер-матриці гратки розраховувалося точне значення та відповідний власний вектор. Після цього одержувалися зредуковані матриці густини і для підграток та будувалися проектори А і В з m власних векторів, які відповідають максимальним власним значенням та .
, .
Далі гратка збільшувалася на два вузли у кожному ряді, а матриці A та B використо-вувалися для перенормування нових трансфер-матриць лівої та правої підграток:
,
.
За допомогою цих матриць будувалася трансфер-матриця збільшеної гратки і далі знову визначалася пара та власний вектор. Процес повторювався до тих пір, поки питомі значення термодинамічних характеристик, які визначалися, не переставали змінюватися із встановленою точністю. З метою перевірки збіжності ітераційного процесу також застосовувався спектральний критерій, який запропонував Уайт для оцінки впливу власних функцій зредукованих матриць густини, які не враховувалися у процесі перенормування трансфер-матриць підграток. Адекватність обчислювальних алгоритмів та комп’ютерних програм, які застосовувалися, перевірялася також за допомогою відомого точного рішення для моделі Ізінга на прямокутній гратці, в якій враховуються тільки взаємодії між сусідніми вузлами гратки. Порівняння результатів чисельного моделювання методом DMRG з цим рішенням виявило, що достатньої точності можна досягти вже після 100 ітерацій при застосуванні чотирьох власних векторів відповідних зредукованих матриць густини для кожної з підграток.
На відміну від методу прямої діагоналізації при застосуванні методу DMRG на графіку температурної залежності питомої теплоємності спостерігався різкий максимум. При застосуванні методу прямої диагоналізації локальні максимуми були розмиті. Температури фазового переходу, які були одержані за допомогою цих методів, відрізнялися у середньому на 2-5%. Обидва методи виявили безперервну зміну внутрішньої енергії при наявності істотно немонотонної зміни питомої теплоємності на протязі усього дослідженого інтервалу параметрів моделі, що характерно для фазових переходів другого роду. Для мікроемульсій при малих значеннях параметра діагональних взаємодій цей перехід можна інтерпретувати таким чином. При температурі нижче термодинамічно стабільними будуть фази, які збагачені одним з компонентів водою або маслом, а вище буде стабільною невпорядкована фаза, яку, як правило, розглядають як мікроемульсію. При збільшенні діагональної взаємодії вище значення 0.5 спостерігалося різке збільшення температури фазового переходу при значному погіршенні збіжності методу DMRG. Ми інтерпретували це явище як фазовий перехід з утворенням просторово модульованих структур (для мікроемульсій це може відповідати утворенню рідкокристалічної фази).
Таким чином були одержані теоретичні оцінки температурних залежностей внутрішньої енергії та теплоємності при різних значеннях параметрів моделі (рис. 1, 2, 3), було показано, що модель має принаймі два типи фазових переходів другого роду та отримані оцінки для відповідних критичних значень температур.
Рис.1. Залежність температури фазового Рис.2. Залежність температури фазового переходу від параметра . Крива 1 переходу від параметра для . методом DMRG, а крива 2 прямою Крива 1 методом DMRG, а крива 2 діагоналізацією трансфер-матриць для прямою діагоналізацією трансфер- смуг кінцевої ширини. матриць для смуг кінцевої ширини.
Рис.3. Залежність температури фазового переходу від прикладеного поля при та . Крива 1 методом DMRG, а крива 2 прямою діагоналізацією трансфер-матриць для смуг кінцевої ширини.
Енергетичний спектр анізотропної спінової гратки, яка складається з спін-1/2 XY ланцюжків.
До сполук, які мають анізотропні спінові підгратки драбинної типології, відноситься велика кількість квазідвовимірних сполук, наприклад SrCu2O3 и CuGeO3, драбинна структура спінової підгратки яких складається з двох ланцюжків, Sr2Cu3O5 зі структурою підгратки типу драбини з трьох ланцюжків, ряд сполук La4n+4Cu2n+8O8n+14, для яких у деяких випадках драбинні структури підграток можуть складатися з чотирьох або п’яти ланцюжків (рис. 4).
При накладенні періодичних умов вздовж ланцюжків на драбинні системи, можна одержати циліндричні гратки спінові моделі нанотрубок (рис.5). Відмітимо, що більшість невуглецевих нанотрубок була одержана на основі речовин, які мають подібно до графіту шаруваті квазідвовимірні кристалічні структури.
Рис. 4. Драбинна структура , яка складається Рис. 5. Модель спінової трубки, яка з чотирьох ланцюжків. складається з п’яти ланцюжків.
Для дослідження ізотропних спінових систем драбинної типології застосовувалися різні аналітичні та чисельні методи. Це пов’язано з тим, що електронні властивості таких систем залежать від парності кількості ланцюжків, з яких складається гратка. Проте на цей час існує досить мало інформації відносно властивостей аналогічних анізотропних систем. Низькорозмірні системи драбинної типології можуть мати незвичайні властивості в зв’язку з сильними квантовими флуктуаціями.
У нашій роботі ми розглянули анізотропну спінову систему драбинної типології, яка складається з m спін-? XY ланцюжків, які пов’язані взаємодією ізінговського типу, та вивчили нижню частину спектра цієї системи. Спінова гратка такого типу описується гамільтоніаном:
, (2)
де спін-? оператор електрона на i-ому вузлі j-ого ланцюжка;
м магнетон Бора;
h подовжнє магнітне поле;
N кількість вузлів у ланцюжку.
Треба відмітити, що в зв’язку з циліндричною формою гратки (рис. 5).
Власні функції цього гамільтоніану (2) можна характеризувати набором з m квантових чисел, які описують кількість перевернутих спінів на кожному XY ланцюжку. Такий характер спектра значно спрощує подальший аналіз. При наявності тільки одного перевернутого спіну на усю систему гамільтоніан можна легко привести до XY ланцюжкової моделі, яка має точне рішення. Для системи з двома квантовими числами, які не дорівнюють нулю та відповідають сусіднім ланцюжкам, гамільтоніан моделі є еквівалентним гамільтоніану лінійної моделі Хаббарда у подовжньому магнітному полі, для якої відомо точне рішення.
За допомогою аналітичних розрахунків було показано, що спектр моделі не залежить від знаку , та згідно з теоремою Перрона-Фробеніуса, стан з найменшою енергією з підпростору, який характеризується певним набором квантових чисел, є не виродженим:
, =0 при ,
,
де основний стан (відповідає нижньому енергетичному рівню) у підпросторі з фіксованими значеннями квантових чисел ;
лінійна комбінація власних векторів, які відповідають збудженим станам системи.
Також була визначена верхня межа для енергії першого збудженого рівня у підпросторі із заданими значеннями квантових чисел :
У термодинамічній границі ця різниця прямує до нуля при умові, що принаймні хоч одне з квантових чисел задовільняє умові . Тому точний енергетичний спектр моделі має безщілинний характер при любій кінцевій кількості ланцюжків. Для ізотропних спінових граток драбинної типології такий характер спектра спостерігається тільки у випадку непарної кількості ланцюжків.
За допомогою перетворення Іордана-Вігнера гамільтоніан моделі приводиться до гамільтоніану моделі, яка подібна до одновимірної моделі Хаббарда:
, .
Застосування частково-діркового перетворення для ланцюжків з парними номерами: дає нетривіальну властивість симетрії енергетичного спектра, яка є узагальненням аналогічної властивості, яка була знайдена Лібом для гамільтоніану Хаббарда:
.
Особлива увага приділялася розгляду спектра спінової трубки, яка складається з трьох XY ланцюжків. Енергія одномагнонного стану () системи та зв’язаного двомагнонного мають вигляд:
, .
Коли =0 ми маємо систему, яка складається з невзаємодіючих комірок трикутників. Спектр такої спінової трубки є сильно виродженим. Для великих від’ємних значень та обмеженої кількості перевернутих спінів простий аналіз показує, що найбільш вигідніми є стани з розподілом спінів на різних трикутниках. Для позитивних значень структура енергетичного спектра набагато складніша. Якщо N1=N2=N3=1, то стану з трьома перевернутими спінами, які розташовані на одній трикутній комірці (триспіновий комплекс), відповідає найменша енергія. Для =0 енергія такого стану співпадає з енергією феромагнітного стану. Енергію триспінового комплексу можна оцінити за допомогою теорії збурень для вироджених станів:
де позначає поправку шостого порядку теорії збурень.
Триспіновий комплекс взаємодіє з одномагнонним станом тільки у второму порядку теорії збурень по J1. Тому, якщо добавити ще один перевернутий спін до необмеженної системи, яка містить триспіновий комплекс, найнижча енергія буде відповідати сумі енергій цього комплексу та вільного одномагнонного стану (рис.6).
3 1 3 1
2 2 2 1
Рис. 6. Схема розподілів перевернутих спінів та відповідні найнижчі енергії для спінової трубки, яка складається з трьох XY ланцюжків з N1=2, N2=1, N3=1, при гранично сильній міжланцюжковій феромагнітній взаємодії. Темні кружки відповідають трикутним коміркам трубки.
При наявності п’яти перевернутих спінів у системі у нульовому порядку теорії збурень по J1 найнижчій енергії відповідає конфігурація поряд розташованих двоспінового та триспінового комплексів. Ці комплекси взаємодіють у першому порядку теорії збурень по J1. Відповідна оцінка для найнижчої енергії має вигляд:
.
Найнижча енергія стану з шістьма перевернутими спінами дорівнює подвоєній найменшій енергії триспінового комплексу, що було підтверджено розрахунками методом DMRG. Випадок з сьома перевернутими спінами є аналогічним до ситуації з чотирма перевернутими спінами, тому що конфігурація з найменшою енергією у нульовому порядку теорії збурень має вигляд (3+3+1). Винятком є ситуація з вісьма перевернутими спінами у системі. У цьому випадку для конфігурації спінів (3+2+3) взаємодія описується у першому порядку теорії збурень по J1.
У загальному вигляді різниця між енергією спінового комплексу, який утворений (3n+2) перевернутими спінами, та сумою найменших енергій (3n-1) спінового комплексу і одного триспінового комплексу при великих значеннях n має вигляд:
.
Очевидно, що (3n+2) спіновий комплекс буде мати найменшу енергію при умові, що n не перевищує таке критичне значення:
.
Результати розрахунків методом DMRG для n=5, 8 також показали, що стани з найменшою енергією мають зв’язаний характер, коли феромагнітна взаємодія між ланцюжками гратки перевищує деяке критичне значення (рис. 7).
Рис. 7. Залежність енергій зв’язування від для станів
з п’ятьма та вісьма перевернутими спінами.
За допомогою аналогічного аналізу по теорії збурень для спінової трубки, яка складається з m>3 XY ланцюжків, було встановлено, що найнижчий енергетичний рівень у підпросторі, який характеризується N перевернутими спінами, має зв’язаний характер, якщо N=ml-1, l=2,3....
При застосуванні операторної теорії збурень та перетворення Іордана-Вігнера також було показано, що нижня частина спектра спінової трубки, яка складається з трьох XY ланцюжків, при сильній феромагнітній взаємодії між ланцюжками, адекватно описується точною XXZ моделлю, гамільтоніан якої має вигляд:
.
Тому основний стан спінової трубки при умові сильної феромагнітної взаємодії між сусідніми ланцюжками має мінімальне значення z-проекції повного спіну. При накладенні подовжнього магнітного поля відбувається фазовий перехід у стан з максимальним значенням z-проекції повного спіну.
За допомогою розрахунків методом DMRG було показано, що при умові слабкого феромагнітного зв’язування (J0>0) найменші енергетичні рівні нескінченної спінової трубки у присутності магнітного поля являють собою суми одномагнонних, двомагнонних та тримагнонних станів (табл. 1).
Таблиця 1
Значення нижніх енергій N магнонних станів спинової трубки в залежності від величини магнітного поля h при =1.
h
N=1 | N=2 | N=3 | N=4 | N=5 | N=6
0,05 | 0,10019 | - 0,03587 | - 0,71929 | - 0,61887 | - 0,75492 | - 1,43835
0,15 | 0,30020 | 0,36412 | - 0,11928 | 0,18113 | 0,24745- 0,23835
0,2 | 0,40020 | 0,56412 | 0,18071 | 0,58113 | 0,74514 | 0,36164
Дослідження залежності енергії основного стану від параметра анізотропії у моделі Хаббарда з нескінченним відштовхуванням на анізотропній трикутній гратці типу смуги.
Серед великого різноманіття сполук, які мають магнітну підгратку драбинної топології, трикутну підгратку типу смуги мають CuGeO3, KCuCl3, TlCuCl3 та інші. Визначення меж інтервалу стійкості феромагнітного стану у таких системах представляє значний інтерес для ціленаправленого пошуку нових магнітних матеріалів.
Гамільтоніан Хаббарда з нескінченним відштовхуванням на анізотропних гратках може застосовуватися як проста багатоелектронна модель для вивчення впливу різних факторів, а саме параметрів взаємодії та електронної концентрації, на стійкість феромагнітного стану сильно корельваних систем драбинної типології. На цей час існує досить мала кількість макроскопічних моделей магнетизму, тому люба нова модель представляє інтерес.
Для анізотропної трикутної гратки типу смуги, яка складається з двоцентрових сегментів (рис. 8) та містить один електрон на сегмент, гамільтоніан Хаббарда з нескінченним відштовхуванням має вигляд:
, (3)
де P - оператор проектування на стани без двократного заповнення вузлів гратки;
оператор народження електрона з проекцією спіну на i-му вузлі m-го сегмента (i=1,2);
параметри t1 и t2 , t3 описують перескоки електронів усередині та між сегментами відповідно.
Рис. 8.Трикутна гратка типу смуги, взаємодії на якій задаються гамільтоніаном (3). Елементарна комірка, яка містить два вузли, обведена переривистою лінією.
Чисельні розрахунки точного спектра малих граткових кластерів для позитивних значеннь параметрів та вказують на існування критичних значень параметра анізотропії , при яких відбувається стрибкоподібна зміна спіну основного стану між мінімальним та максимальним значеннями. Однією з можливих причин виникнення такого переходу може бути конкуренція вкладів взаємодій між двома сегментами та взаємодій між трьома сегментами у четвертому порядку теорії збурень.
Для вивчення залежності енергії основного стану та спіну нескінченної гратки від величини взаємодії між елементарними комірками ми застосовували нескінченний алгоритм чисельного методу групи перенормування Уайта для квантових систем. У цьому методі гратку зображують у вигляді суперблока, який складається з чотирьох блоків: , де блок, який містить l вузлів, – блок, який складається з узлов, а являє собою окремий вузел. В основі методу лежить перенормування матриць гамільтоніанів блоків, з яких складається повна гратка, за допомогою власних векторів зредукованої матриці густини, яку одержують з хвильової функції повного гамільтоніану суперблока. Матричні елементи зредукованої матриці густини для блока системи мають вигляд:
.
Матричні зображення операторів для двоблокової (1-2) частини системи через оператори окремих блоків записуються так:
, .
Новий блок будується за допомогою перетворення базису до векторів - власних векторів зредукованої матриці та зрізання m станів.
, , .
Далі блок 1 замінюється новим блоком 1', тобто , а блок 4 відбиттям блока 1'. Таким чином, одержуємо новий суперблок, який ширше попереднього на два вузли, та подібно до розрахунків, які були проведені тільки що, алгоритм повторюється з новим суперблоком.
На відміну від методу DMRG у формалізмі трансфер-матриці, у методі DMRG для квантових систем на кожній ітерації здійснюється розширення системи та відбувається відповідне ренорм-групове перетворювання гамільтоніану, а для класичних систем замість гамільтоніану перенормується трансфер-матриця системи. Як і для класичного випадку, ренорм-групове перетворення гамільтоніану здійснюється за допомогою m станів, які відповідають найбільшим власним значенням зредукованих матриць густини підсистем.
Алгоритм методу DMRG для квантових систем тестувався за результатами прямої діагоналізації для кінцевих граткових кластерів та за оцінками, які були одержані за допомогою теорії збурень. Залежність від , яка була одержана при застосуванні методу DMRG, у підпросторі з для m=18 добре узгоджується з аналізом по теорії збурень (рис. 9).
Рис. 9. Залежність енергії основного стану (в одиницях t1) від параметра анізотропії у підпросторі з .
Для визначення спіну основного стану, ми порівнювали результати розрахунків повної енергії нижнього стану з та максимальним значенням . Це порівняння показало, що перехід від синглетного до феромагнітного стану відбувається при значенні з інтервалу (0.64-0.66), що добре узгоджується з результатами екстраполяції точних розрахунків для малих граткових кластерів на нескінченну гратку (табл. 2).
Таким чином, за допомогою методу перенормування Уайта для моделі Хаббарда з нескінченним відштовхуванням на анізотропній трикутній гратці типу смуги, яка складається з двоцентрових сегментів, була встановлена наявність стрибка спіну основного стану від мінімального значення до максимального при величині параметра анізотропії з інтервалу (0.64-0.66) для . Необхідно відмітити, що попередні дослідження спектра анізотропної трикутної гратки типу смуги проводилися в основному методами прямої діагоналізації матриць гамільтоніанів кінцевих граткових кластерів та, головним чином, стосувалися границі слабої взаємодії між елементарними комірками гратки.
Таблиця 2
Значення повної енергії нижнього стану для , и ,
які одержані методом DMRG, в інтервалі .
М
=0,5 | =0,63 | =0,64 | =0,65 | =0,66 | =0,7
0 | -1,08373 | -1,16248 | -1,17020 | -1,17908 | -1,18733 | -1,21734
1 | -1,08372 | -1,15953 | -1.17016 | -1,17888 | -1.18622 | -1.22065
L/2 | -1,06331 | -1.15967 | -1,16929 | -1.17910 | -1,18781 | -1,22912
ВИСНОВКИ
1.Для квазідвовимірних магнетиків та плівок мікроемульсій, термодинаміка яких адекватно описується моделлю Ізінга з конкуруючими взаємодіями, одержані теоретичні оцінки для температурних залежностей внутрішньої енергії та теплоємності при різних значеннях параметрів моделі. Показано, що модель має принаймні два типи фазових переходів другого роду, та одержані оцінки для відповідних критичних значень температур.
2. Встановлено, що точний спектр прямокутної спінової спінової гратки типу смуги, яка складається з кінцевої кількості XY s=1/2 ланцюжків, які зв’язані взаємодією ізінговського типу, не має щілини у спектрі збуджень при будь-якій кількості ланцюжків.
3. Показано, що нижня частина спектра спінової трубки, яка містить будь-яку кількість триспінових комплексів, при гранично сильній феромагнітній взаємодії у середині елементарних комірок, адекватно описується одновимірною антиферомагнітною XXZ моделлю, яка має точне рішення. Тому при гранично сильній феромагнітній взаємодії модель має фазовий перехід по полю.
4.
Для граток циліндричної типології, які утворені XY ланцюжками, при гранично сильній феромагнітній взаємодії у середині елементарних комірок визначено, що найнижчі енергетичні рівні у кожному секторі з кінцевою кількістю перевернутих спінів r мають зв’язаний характер, якщо r=mL-1, (m=1,2...).
5.
Встановлено, що при умові слабкого феромагнітного зв’язування (J0>0) найнижчі енергетичні рівні нескінченної спінової трубки, яка складається з XY ланцюжків, у присутності магнітного поля являють собою суми одномагнонних, двомагнонних та тримагнонних станів.
6.
За допомогою квантового методу DMRG показано, що для квазідвовимірних магнетиків, які описуються моделлю Хаббарда з нескінченним відштовхуванням на анізотропній трикутній гратці типу смуги з одним електроном на елементарну комірку, при збільшенні взаємодії між комірками спостерігається стрибкоподібний перехід із стану з мінімальним значенням повного спіну у стан з максимальним спіном.
Основні результати дисертації опубліковано в роботах:
1.
Кузнецова Т.О., Черановский В.О. Термодинамика жидких плёнок, описываемых двумерной моделью Изинга с конкурирующими взаимодействиями // Вестник Харьков-ского университета. Химия. – 2001. – № 532, Вып. 7(30). – С. 41-43.
2.
Cheranovskii V.O., Ezerskaya E.V., Кuznetsova T.O. On the energy spectrum of a spin lattice formed by finite number of coupled spin Ѕ XY chains // J. Phys.: Condens. Matter. – 2002. – V. 14. – P. 8025-8032.
3.
Черановский В.О., Кузнецова Т.О. Основное состояние модели Хаб-барда с бесконечным отталкиванием на анизотропной треугольной решетке типа лестницы // Вестник Харьков-ского университета. Химия. – 2000. – № 495, Вып. 6(29). – С. 15-17.
4.
Cheranovskii V.O., Kuznetsova T.O. The density matrix renormalization group and the thermodynamics of 2D Widom model // Abstracts. International conference physics of liquid matter: modern problems. – Kyiv. – 2001. – P. 96.
5.
Черановский В.О., Кузнецова Т.О. Термодинамика жидких плёнок, описываемых двумерной моделью Изинга с конкурирующими взаимодействиями // Тезисы докладов. ХIV Международная конференция по химической термодинамике.– Санкт-Петербург. – 2002. – С. 404.
6.
Cheranovskii V.O., Кuznetsova T.O. Numerical simulation of phase transitions in 2D Ising model with competing interactions // Abstracts. 5-th cession of the V. A. Fock School on quantum and computational chemistry. 1-th all-Russian meeting on electronic structure of nanomaterials. – Novgorod the Great .– 2002. – P. 110.
7.
Cheranovskii V.O., Ezerskaya E.V., Кuznetsova T.O. On the energy spectrum of anisotropic spin tube formed by three coupled chains // Abstracts. 5-th cession of the V. A. Fock School on quantum and computational chemistry. 1-th all-Russian meeting on electronic structure of nanomatеrials. – Novgorod the Great .– 2002. – P. 111.
8.
Cheranovskii V.O., Ezerskaya E.V., Кuznetsova T.O. The DMRG study of the energy spectrum of a spin tube formed by three coupled spin-Ѕ XY chains in magnetic field // Материалы 5-й конференции “Применение персональных компьютеров в научных исследованиях и учебном процессе”. – Харьков. – 2002. – С. 14.
9.
Кузнецова Т.О., Черановский В.О. Численное моделирование фазовых переходов в двумерной модели Изинга с конкурирующими взаимодействиями // Материалы 5-й конференции “Применение персональных компьютеров в научных исследованиях и учебном процессе”. –Харьков.– 2002. – С. 22.
АНОТАЦІЯ
Кузнецова Т.О. Теоретичне моделювання фазових переходів у низькорозмірних магнетиках та плівках складних рідин.- Рукопис.
Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата хімічних наук за спеціальністю 02.00.04 – фізична хімія.- Харківський національний університет ім. В.Н. Каразіна, Харків, 2002.
Дисертаційна робота присвячена теоретичному моделюванню фазових переходів у низкорозмірних магнетиках та та плівках мікроемульсій.
Для квазідвовимірних магнетиків та плівок микроемульсій, термодинамика яких адекватно описується моделлю Ізінга с конкурующими взаємодіями одержано теоретичні оцінки відносно температурної залежності внутрішньої енергії та теплоємності при різних значеннях параметрів цієї моделі та показано, що модель має два типи фазових переходів другого роду. Проведено аналітичне та чисельне дослідження енергетичного спектру анізотропної спінової гратки, яка складається з L спін-1/2 XY ланцюжків, звязаних взаємодією ізінговського типу. Встановлено, що для моделі Хаббарда з безмежним відштовхуванням на анізотропній трикутній гратці типу смуги з одним електроном на елементарну комірку гратки, збільшення взаємодії між сегментами викликає перехід із стану з мінімальним значенням повного спіну у стан з максимальним значенням спіну.
Ключові слова: фазові переходи, квазідвовимірні магнетики, плівки мікроемульсій, модель Ізінга, енергетичний спектр, анізотропна спінова гратка, модель Хаббарда, спін.
АННОТАЦИЯ
Кузнецова Т.О. Теоретическое моделирование фазовых переходов в низкоразмерных магнетиках и пленках сложных жидкостей. – Рукопись.
Диссертация на соискание ученой степени кандидата химических наук по специальности 02.00.04 – физическая химия. – Харьковский национальный университет им. В.Н. Каразина, Харьков, 2003.
Диссертация посвящена теоретическому моделированию фазовых переходов в низкоразмерных магнетиках и пленках микроэмульсий.
Для квазидвумерных магнетиков и пленок микроэмульсий, термодинамика которых адекватно описывается моделью Изинга с конкурирующими взаимодействиями, получены теоретические оценки температурных зависимостей внутренней энергии и теплоемкости при различных значениях параметров модели. Установлено, что модель имеет, по крайней мере, два типа фазовых переходов второго рода и получены оценки для соответствующих критических значений температур.
Для прямоугольной спиновой решетки типа полосы, состоящей из конечного числа XY s=1/2 цепочек, связанных взаимодействием изинговского типа, установлен безщелевой характер точного спектра при любом числе цепочек и показана нетривиальная симметрия энергетического спектра, аналогичная найденной Либом для гамильтониана Хаббарда.
Для решеток цилиндрической топологии образованных L XY цепочками в пределе сильного ферромагнитного взаимодействия внутри элементарных ячеек показано, что нижние энергетические уровни в каждом секторе с конечным числом повернутых спинов r имеют связанный характер, если r=mL-1, (m=1,2...).
Для решеток цилиндрической топологии образованных тремя XY цепочками в пределе сильного ферромагнитного взаимодействия внутри элементарных ячеек показано показано, что нижняя часть спектра модели адекватно описывается точно решаемой одномерной антиферромагнитной XXZ моделью. Получена оценка для критического значения продольного магнитного поля, при котором происходит фазовый переход в ферромагнитное состояние.
Установлено, что наименьшие по энергии уровни бесконечной спиновой трубки, образованной тремя XY цепочками, при условии слабого ферромагнитного связывания между цепочками в присутствии магнитного поля представляют собой суммы одномагнонных, двухмагнонных и трехмагнонных состояний.
Методом группы перенормировки Уайта для модели Хаббарда с бесконечным отталкиванием на анизотропной треугольной решетке типа полосы с одним электроном, приходящимся на двухцентровую элементарную ячейку, было установлено наличие скачка спина основного состояния от минимального значения до максимального при увеличении взаимодействия между ячейками.
Ключевые слова: фазовые переходы, квадидвумерные
