Мiнiстерство освiти і науки України

__________________

Днiпропетровський національний унiверситет

КАГАДIЙ Тетяна Станiславiвна

УДК 539.3

МЕТОД ЗБУРЕННЯ В МЕХАНIЦI ПРУЖНИХ

(ВЯЗКОПРУЖНИХ) АНІЗОТРОПНИХ І КОМПОЗИЦIЙНИХ

МАТЕРIАЛIВ

01.02.04 - Механiка деформiвного твердого тiла

А В Т О Р Е Ф Е Р А Т

дисертацiї на здобуття наукового ступеня

доктора фiзико-математичних наук

Днiпропетровськ - 2003

Дисертацією є рукопис.

Робота виконана на кафедрі вищої математики Національного гірничого університету Міністерства освіти і науки України.

Науковий консультант – доктор фізико-математичних наук, професор

Павленко Анатолій Васильович,

Національна металургійна академія України,

завідувач кафедри вищої математики.

Офіційні опоненти: доктор фізико-математичних наук, професор

ПРОЦЕНКО Володимир Сидорович,

Національний аерокосмічний університет

ім. М.Є. Жуковського “ХАІ”,

професор кафедри вищої математики,

доктор фізико-математичних наук, професор

ОСАДЧУК Василь Антонович,

Національний університет “Львівська

політехніка”,

завідувач кафедри зварювального виробництва,

діагностики і відновлення металоконструкцій,

доктор фізико-математичних наук, професор

СМИРНОВ Сергій Олександрович,

Дніпропетровський національний університет,

директор інститута економіки.

Провідна установа: Донецький національний університет, кафедра

теорії пружності та обчислювальної математики,

Міністерство освіти і науки України, Донецьк.

Захист відбудеться “_14_”__листопада__2003 р. о 14-00 годині на засіданні спеціалізованої вченої ради Д 08.051.10 при Дніпропетровському національному університеті за адресою: вул. Наукова, 13, корп. 3, ауд. 57.

З дисертацією можна ознайомитись у науковій бібліотеці Дніпропетровського національного університету.

Автореферат розісланий “_7_”_жовтня_2003 р.

Вчений секретар

спеціалізованої вченої ради Дзюба А.П.

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальнiсть теми. Сучаснi машини i технологiї, побудованi на застосуваннi пiдвищених швидкостей, агресивних середовищ, нових композицiйних матерiалiв мають складний комплекс властивостей. Розраховуючи мiцнiсть деталей та конструкцiй з таких матерiалiв, дослiджуючи тi чи iншi складнi задачi механiки доводиться удаватися до спрощення систем диференцiальних рiвнянь, тобто завдяки деяким апріорним геометричним та фiзичним припущенням будувати моделi, якi дозволяють знайти аналітичні розвязки. Володіючи важливими позитивними якостями (простота та наочнiсть), спрощенi моделi мають не досить зрозумiлу область застосування.

Природним математичним апаратом, який дає можливiсть побудувати обгрунтованi наближенi рiвняння та оцінити області застосування рiзних гiпотез, є асимптотичний аналiз. Звичайно, в певнiй мiрi потреби iнженерної практики можуть бути задовiльненi завдяки розвитку чисельних методiв та отримання результатiв за допомогою ЕОМ, але потреба в аналiтичних розвязках, навiть наближених, залишається дуже значною. Це пояснюється тим, що урахування реальних властивостей матерiалу, тобто внесення в модель, яка розглядається, анiзотропiї або вязкопружностi i, тим бiльше, нелiнiйностi, призводять до значних, iнколи нездоланних математичних складностей. В таких випадках наближенi аналiтичнi рiшення допомагають зясувати якiснi особливостi задач, отримати асимптотики, проаналiзувати особливi точки (лiнiї) та побудувати вiдповiднi розвязки, а часто бувають основою для чисельних методiв.

В теорiї пружностi методи малого параметру (геометричного або фiзичного) знайшли широке застосування. Ефективнi пiдходи запропонованi В.М. Александровим, I.I. Воровичем О.Л. Гольденвейзером, О.М. Гузем, О.С. Космодамiанським, С.Г. Лехницьким, Ю.М. Немiшем, Г.Я. Поповим. У роботах Л.I. Маневича та А.В. Павленка асимптотичний аналiз рiвнянь теорiї пружностi ортотропних середовищ виконано з використанням параметрiв, якi характеризують анiзотропiю, що дозволило розвязати ряд складних задач.

В iнженернiй практицi все частiше використовуються анiзотропнi та композицiйнi матерiали. Для описання процесу руйнування останнiх iснує кiлька пiдходiв: класична механiка руйнування, яка застосовується на мiкрорiвнi; класична механiка руйнування, яка застосовується до “ефективних” матерiалiв на макрорiвнi та iнженерний пiдхiд, у якому припускається, що волокна (у випадку волокнистого композиту) працюють тiльки на розтяг, а матриця на зсув.

Питанням поведiнки та руйнування композицiйних матерiалiв з включеннями та трiщинами присвяченi роботи А.Є.Андрейкiва, Л.Т. Бережницького, О.М. Гузя, Д.В. Грилицького, С.А. Калоєрова, В.А. Осадчука, В.В. Панасюка, В.С. Проценка, Г.Т. Сулима, М.П. Саврука, М.В. Хая та iн.

Застосування точних методiв аналiзу композитiв на рiвнi складових компонент не дозволяє одержати аналiтичний розвязок вiдповiдної задачi теорiї пружностi. Спрощений iнженерний пiдхiд не враховує можливу сингулярнiсть контактних напружень в мiсцях стику волокна i матрицi на вiльнiй межi. Крiм того виникає питання про застосування вiдповiдних розвязкiв навiть поза околом концентраторiв напружень.

Таким чином, актуальнiсть теми, обраної для дисертацiйної роботи, обумовлена як обєктивною потребою розвитку аналiтичних методiв розвязку задач мiцностi елементiв конструкцiй, виробiв i споруд з анiзотропних вязкопружних матерiалiв, так i необхiднiстю оцiнки процесiв у нелiнiйних середовищах та композицiйних волокнистих матерiалах з трiщинами.

Звязок роботи з науковими програмами, планами, темами. Робота виконувалась за особистою iнiциативою автора та вiдповiдно до тематики держбюджетної наукової роботи кафедри вищої математики Національного гiрничого університету “Розробка i аналiз математичних моделей механiки суцiльних середовищ та їх застосування в задачах гiрничого виробництва”.

Мета i задачi дослiдження. Основною метою дисертаційної роботи є розширення кола задач нелінійної та лінійної теорії пружності (вязкопружності), які можна розвязати аналітичними методами, та розробка самих методів збурення. У звязку з цим розглянуті такі проблеми дослідження:

- розробка аналiтичних методiв дослiдження напружено-деформо-ваного стану тривимiрних вязкопружних тiл;

- створення пiдходiв до розвязку плоских та просторових задач теорії пружності з урахуванням скінченних деформацій або фiзично нелiнiйної теорiї пружностi;

- розробка нового методу розвязку суттєво нелiнiйних рiвнянь у частинних похiдних;

- розвязок на основi запропонованого пiдходу ряду нових складних задач теорiї пружностi та вязкопружностi, дослiдження яких iншими методами утруднене;

- застосування одержаних результатiв до аналiзу руйнування волок-нистих композицiйних матерiалiв з урахуванням їх структурної не-однорiдностi.

Наукова новизна одержаних результатiв. Розроблено асимптотичний метод розвязку тривимiрних задач лiнiйної вязкопружностi ортотропних середовищ, який узагальнює метод асимптотичного iнтегрування диференцiальних рiвнянь лiнiйної теорiї пружностi Л.І. Маневича, А.В. Павленка. Автором запропоновано метод збурення для дослідження задач з урахуванням скінченних деформацiй в плоскiй i просторовiй постановцi та задач фiзично нелiнiйної теорiї пружностi у випадках прямолiнiйної та криволiнiйної анiзотропiї матерiалу.

Для розвязування суттєво нелiнiйних рiвнянь у частинних похiдних викладено новий асимптотичний метод. Розглянуто ряд плоских задач, у яких врахованi геометрична або фiзична нелiнiйнiсь, отримано деякi точнi розвязки, проведенi порiвняння з класичними результатами.

Вперше одержанi аналiтичнi розвязки ряду нових задач про передачу навантаження через пiдкрiплюючi елементи багатошаровим тiлам з пружних та вязкопружних матерiалiв у плоскiй та просторовiй постановках.

Дослiджено напружено-деформований стан волокнистого композиту з трiщиною в матрицi з урахуванням впливу сусiднiх волокон (плоска задача) та осесиметрична задача про волокнистий композит з дисковою трiщиною в матрицi. Одержанi аналiтичнi розвязки та чисельнi результати.

Достовірність одержаних результатів та висновків забезпечується використанням коректних підходів математичної теорії пружності, методів теорії функцій комплексної або дійсної змінної; строгим доведенням нових теорем; апробацією запропонованих підходів та методів на модельних задачах; збігом отриманих результатів та граничних переходів з існуючими аналітичними розвязками.

Теоретичне та практичне значення одержаних результатiв полягає в створеннi нового методу розвязання складних задач лiнiйної вязко-пружностi та нелiнiйної теорiї пружностi, який дозволяє перейти вiд розвязування складних мiшаних задач механiки до послiдовного розвязування задач теорiї потенцiалу, яка є найбiльш розробленим розділом математичної фiзики.

Метод збурення, запропонований для розвязування нелiнiйних диференцiальних рiвнянь у частинних похiдних, має теоретичне i практичне значення, є унiверсальним і може бути застосований для аналiзу рiзноманiтних задач математичної фiзики.

Одержанi завдяки запропонованому пiдходу розвязки ряду нових складних задач дають можливiсть аналiзувати напружено-деформований стан багатошарових тiл з пiдкрiплюючими елементами. Цi результати можуть використовуватись в iнженерних розрахунках пальових фундаментiв та шаруватих пiдвалин. Проведений аналiз поведiнки композита з трiщиною може бути використаний для оцiнки його руйнування в органiзацiях, якi створюють та застосовують анiзотропнi та композицiйнi матерiали.

Результати дисертацiйної роботи використовуються при читаннi спецiальних розділів вищої математики на електротехнiчному та механiкомашинобудiвельному факультетах Нацiонального гiрничого університету, при виконаннi студентами курсових i дипломних робiт, а також аспiрантами.

Особистий внесок здобувача. Здобувачем не використовувались результати, одержанi спiвавторами наукових праць. Зокрема, у працях [7-10, 22] здобувачеві належать метод та розвязки поставлених задач, у роботах [15-17, 19, 21, 23] здобувачем сформульованi задачi, запропоновано метод та одержана основна частина розвязкiв. У роботах [ 4,

26-29, 31-37, 51, 53] здобувачеві належать основна частина постановок задач, метод розвязання та одержанi результати. Роботи [30, 38-50, 52, 54] є тезами доповiдей або матерiалами мiжнародних конференцiй, де доповiдались особистi результати здобувача, якi викладенi у вказаних вище роботах.

Апробацiя результатiв дисертацiї. Окремi результати, що мiстяться в дисертації доповiдались i обговорювались на Мiжнародних конференцiях: “Проблемы контактн. взаимод., трения и износа” (Ростов-на-Дону, 1990р), “Современные проблемы механики конт. взаимод” (Днiпропетр. ДДУ,1990 р.), “Задачи со свободными границами в механ. сплошной среды” (Новосибiрськ, 1991р), Украинско-Польский семинар по механике материалов и конструкций (Днiпропетровськ, Варшава 1993,1994,1995,1996,1997, 1998, 2000,2001,2002, 2003 рр.) , 8-я Междунар. конфер. по разрушению (Київ, 1993р), “Асимптотика в механике” (С.Петербург,1994р.), “Аэрокосмический конгресс. Теория, приложения, технологии” (Москва, 1994 р.), “Материалы для строительных конструкций” (Днiпропетровськ, 1994 р.), 3-Межд. Конгр. по промышлен. и прикл. матем. (Гамбург,1995 р.), 9-й Межд. конф. по механике композиц. матер. (Рига, 1995 р.), 4 Межд. конф. по механике неоднор. структур (Тернопiль, 1995 р.), ХХ1, ХХП Югосл. конгр. по теоретич. и прикладн. механике (Югославия, 1995,1997 р.), 15-й Канадский Конгр. по прикладн. механике. (Вiкторiя, Канада, 1995 р.), Український математичний конгрес (Київ, 2001 р.), І, ІІ Міжнар. наук. конференція “Актуальные проблемы механики сплошных сред” (Донецьк, 2002, 2003), VІ Міжнар. конферен. “Математичні проблеми механіки неоднорідних структур” (Львів, 2003). Повнiстю робота обговорювалась на семiнарах Харкiвського авiацiйного iнституту (кер. проф. Проценко В.С., 1997 р.), Донецького державного унiверситету (кер. проф. Космодамiанський О.С., 1998), механiко-математичного факультету Нацiонального унiверситету України ім. Т.Г. Шевченка (кер. проф. Улiтко А.Ф., 1997 р.), каф. теоретичної механiки Днiпропетровського національного

унiверситету (кер. проф. Лобода В.В.), каф. обчислювальної механіки і міцності конструкцій Днiпропетровського національного унiверситету “Компютернi задачi механiки” (кер. проф. Моссаковський В.I.).

Публiкації. Основнi положення дисертацiї опублiкованi в 54 наукових публікаціях, в тому числi : монографiя - 1, статей в наукових виданнях – 36 (з них у фахових виданнях з механіки деформівного твердого тіла – 22), матерiали i тези мiжнародних конференцiй - 17.

Обсяг роботи. Дисертацiя складається з вступу, восьми роздiлiв, загальних висновкiв, списку лiтератури iз 251 найменування. Робота викладена на 305 сторiнках, в тому числі 22 сторінки списку літератури, iлюстрацiй - 24, таблиць - 2.

ОСНОВНИЙ ЗМIСТ РОБОТИ

У вступi обгрунтовується актуальнiсть теми дисертацiї, показано її новизну та практичну цiннiсть.

В першому роздiлi дається коротка довiдка з iсторiї розвитку асимптотичних методiв, застосування їх до розвязку задач теорiї пружностi та вязкопружностi а також висвiтлюються питання розвитку механiки руйнування. Наводиться стислий огляд одержаних в цiй областi результатiв Александрова А.Я., Александрова В.М., Андрейкiва А.Є., Бережницького Л.Г., Калоєрова С.А., Космодамiанського О.С., Грилицького Д.В., Кіта Г.С., Лободи В.В., Маневича Л.I. , Моссаковського В.I., Немiша Ю.Н., Осадчука В.А., Павленка А.В., Подiльчука I.Ю., Панасюка В.В., Попова Г.Я., Проценка В.С., Саврука М.П., Смирнова С.О., Улiтка А.Ф., Хая М.В., Цурпала І.А. i ряду iнших авторiв. Описується стан проблем, повязаних з розвязуванням задач лiнiйної теорiї вязкопружності та нелiнiйної теорiї пружностi.

У другому розділі викладено основи асимптотичного методу для випадку тривимiрної задачi лiнiйної теорiї вязкопружностi.

Припускається, що матерiал є ортотропним як у вiдношеннi пружних, так i вязкопружних властивостей. Головнi напрямки прямолiнiйної анiзотропiї спiвпадають з декартовими осями координат x, y , z. Вязкопружнi властивостi матерiалу описуються рiзницевими ядрами повзучостi. Спiввiдношення мiж деформацiями та напруженнями у такому матерiалi мають вигляд

(1)

Для одержання слiд у виконати кругову замiну iндексiв. Для апроксимацiї ядер повзучостi використовуються такi аналiтичнi вирази:

(2)

Після застосування перетворення Лапласа за часом t з параметром p до виразiв (1) та пiдстановки виразів для звязку напружень та деформацiй у рiвняння рiвноваги, приходимо до iнтегрування останнiх вiдносно трансформант перемiщень

(3)

- вiдомi коефiцiєнти, якi виражаються через функцiї

та жорсткiснi характеристики матерiалу.

Iндекси x, y ,z у рiвняннях (3) i далi позначають диференцiювання за вiдповiдними змiнними. В реальних матерiалах значення q i можуть бути рiзноманiтними (q1(1), 1(1)). У підрозділі 2.1 проведено аналiз рiвнянь (3) при q==1 та q=, = (iншi випадки розглядаються аналогiчно).

Рiвняння (3) аналогiчнi рiвнянням рiвноваги в перемiщеннях пружного ортотропного тiла, при їх асимптотичному аналiзi слiд вибрати малий параметр. Таким параметром може бути , тому що для реальних ортотропних матерiалiв він є дiйсно малим. Але якщо значення параметру перетворення Лапласа p не спiвпадає з нулями або полюсами функцiї , тодi це вiдношення не перебiльшує одиницю i можна вибирати за малий параметр. Нехай р не є особливою точкою i малий параметр дорiвнює .

Формальний граничний перехiд при 0 у рiвняннях (3) веде до найпростiшої схеми, яка вiдповiдає системi перехрещених стержнiв, що працюють на розтяг-стискання. При цьому фактично навязується певна поведiнка розвязкiв, а саме: компоненти вектора змiщення мають один i той же порядок по , а диференцiювання за координатами не веде до змiни порядку. У дiйсностi це не так.

Для того, щоб урахувати можливi спiввiдношення мiж компо-нентами вектора змiщення та швидкостями їх змiни за координатами, введенi афiннi перетворення змiнних, якi залежать вiд :

, (4)

, (5)

. (6)

Iз виду цих перетворень виходить, що розвязок вiдповiдних їм систем рiвнянь, якi одержуються при асимптотичному iнтегруваннi мають рiзнi властивостi, а саме: розвязок системи, одержаної з (3) пiсля введення (4) ((5) або (6)) вiдносно повiльнiше змiнюється за координатою x (y або z) нiж аналогiчнi розвязки систем, одержані пiсля застосування iнших перетворень.

Розвязок початкової крайової задачi розшукується як суперпозицiя складових, якi вiдповiдають вказаним типам напружено-деформованого стану.

Функцiї (n=1,2,3), а також коефiцiєнти ,,

наведено у виглядi рядiв по параметру

(7)

(8)

Пiсля застосування перетворень (4)-(6) до рiвнянь (3) з ураху-ванням (7), (8) одержуємо три системи рiвнянь вiдносно функцiй . У нульовому наближеннi основнi функцiї знаходяться з рiвнянь Лапласа, всi iншi (допомiжнi функцiї) знаходяться через основнi простим iнтегруванням.

Доведена теорема, що коли невiдомi коефiцiєнти (при ) розшукувати з формул

(9)

тодi основнi функцiї у кожному наближеннi знаходяться з рiвнянь Лапласа, а допомiжнi функцiї виражаються через основнi iнтегруванням:

(10)

(11)

(12)

Таким чином, ефективнiсть методу залежить вiд можливості сформулювати крайовi задачi для розшуку основних функцiй.

У підрозділі 2.2 показано, що у багатьох випадках це вдається зробити. Зокрема, якщо на обмежуючiй площинi x=const вiдомi напруження

, (13)

межовi умови для основних функцiй мають вигляд

(14)

У нульовому наближеннi (j=0) крайовi умови для U1,0 не залежать вiд бiльш високих наближень та вiд розвязкiв рiвнянь напруженого стану другого та третього типiв. Тому функцiя U1,0 знаходиться незалежно, а V1,0 , W1,0 визначаються простим iнтегруванням через U1,0. Пiсля цього формулюються межовi умови для знаходження iнших основних функцiй V2,0 , W3,0 з рiвнянь Лапласа. Після розвязання цих крайових задач та визначення всiх допомiжних функцiй, можна одержати межовi умови для знаходження U1,1 i так далi. Аналогiчнi результати мають мiсце для другої основної та мiшаної крайових задач. Звязок мiж трьома типами напружено-деформованого стану здiйснюється через крайовi умови для дотичних напружень.

Таким чином, крайовi задачi лiнiйної вязкопружностi для ортотропних тiл зводяться до послiдовного розвязування крайових задач теорiї потенцiалу.

В підрозділі 2.3 показана можливiсть повернення вiд зображень Лапласа до оригiналiв шуканих функцiй за допомогою апроксимацiй Паде.

Третій роздiл дисертацiї присвячено питанню про напружено-деформований стан ортотропного тiла в межах плоскої постановки задачі теорiї пружностi з урахуванням скiнченних деформацiй.

У підрозділі 3.1 проведено аналiз спiввiдношень мiж деформацiями та перемiщеннями

(15)

Показано, що пiсля введення перетворень

(16)

як i для лiнiйної задачi можуть бути видiленi два види деформованого стану з рiзними властивостями. Звязок мiж цими станами здiйснюється через зсувну компоненту деформацiї, яка мiстить рiвноцiннi складовi обох типiв.

Видiляються i два види напруженого стану, якi вiдповiдають вказаним типам деформованого, при чому дотичнi напруження мiстять однаковi складовi обох типiв.

У підрозділі 3.2 проведено асимптотичне iнтегрування рiвнянь рiвноваги

(17)

Розглядаючи рiвняння без пiдкреслених членiв та вважаючи величину G/E (як i для лiнiйної постановки) за малий параметр, пiсля застосування перетворень (16) вдається розщепити напружено-деформований стан на двi складовi з рiзними властивостями.

Функцiї U(i) , V(i) (i=1,2) та коефiцiєнти , розшукуються у виглядi рядiв по параметру (). Коефiцiєнти при однакових ступенях вдається пiдiбрати таким чином, що основнi функцiї U1,j , V1,j у кожному наближеннi розшукуються з рiвнянь Лапласа. Допомiжнi функцiї знаходяться через основнi iнтегруванням.

Якщо розглядаються повнi рiвняння (17), тодi у нульовому та першому наближеннях основнi функцiї розшукуються з рiвнянь Лапласа, для бiльш високих наближень необхiдно розвязувати рiвняння Пуасона, у правих частинах яких мiстяться вiдомi функцiї з попереднiх наближень. Однак i в цьому випадку маємо безсумнiвну перевагу, тому що є добре розробленi загальнi методи розвязування крайових задач для таких рiвнянь.

У підрозділі 3.3 проведено аналiз граничних умов, показано можливiсть їх формулювання для основних функцій.

В підрозділі 3.4 розвязано модельну задачу про дiю нормального навантаження

(18)

на межу (x=0) пружної ортотропної напiвплощини (x0, y<) при вiдсутностi дотичних напружень на межi. Одержанi значення перемiщень та напружень, наприклад для нормального напруження 1 на лiнiї у=0, маємо

(19)

Доданок, який мiстить С характеризує внесок геометричної нелiнiйностi.

Четветрий роздiл дисертацiї присвячено застосуванню запропоно-ваного пiдходу до просторових задач геометрично нелiнiйної теорїї пружностi. Просторовi крайовi задачi, як правило, бiльш точно моделюють виникаючi на практицi проблеми, однак розвязування таких задач аналiтичними методами ускладнене або зовсiм неможливе.

У підрозділі 4.1 зроблено аналiз деформованого стану в тривимiрнiй задачi геометрично нелiнiйної теорiї пружностi. До спiввiдношень, що вiдображають звязок мiж деформацiями та перемiщеннями застосовуються перетворення

(20)

Видiлено три типи деформованого стану з рiзними властивостями, а також три вiдповiдних напружених станів.

В підрозділі 4.2 питання про напружено-деформований стан тривимiрного геометрично нелiнiйного тiла зведено до iнтегрування рiвнянь рiвноваги в декартовiй системi координат x, y, z. Показано, що розвязування цих рiвнянь зведено до послiдовного iнтегрування рiвнянь Лапласа (у нульовому та першому наближеннях) та рiвнянь Пуасона при j>1.

У підрозділі 4.3 показано можливiсть постановки крайових задач для основних функцiй.

Аналiз осесиметричних задач теорiї пружностi з урахуванням кінцевих деформацій за допомогою запропонованого методу зроблено в підрозділі 4.4.

Таким чином, запропонований метод зводить і нелінійні задачi до послiдовного розвязку крайових задач теорiї потенцiалу або близьких до них.

Пятий роздiл присвячено застосуванню методу збурення до двомiрних задач фiзично нелiнiйної теорiї пружностi.

Матерiали, для яких має мiсце вiдхилення вiд закону Гука, грають в технiцi важливу роль. Звязок мiж деформацiями та напруженнями при цьому може бути рiзноманiтним, і вiдповiднi задачi механiки, як правило, приводять до нездоланних математичних труднощiв. В той же час застосування таких матерiалiв потребує розробки методiв розвязування практично важливих задач для вилучення додаткових резервiв мiцностi матерiалу.

Нехай закон мiж напруженнями та деформацiями виражається слiдуючими аналiтичними залежностями:

, (21)

де А1, А2, ( А12)- постiйнi матерiалу, аналоги модулiв пружностi (зсуву) в лiнiйному ортотропному пружному матерiалi вздовж головних напрямкiв анiзотропiї, якi спiвпадають з декартовими координатами х,у; - постiйна.

Пiсля пiдстановки у рiвняння рiвноваги виразiв (21) маємо

(22)

Тепер питання про визначення напружено-деформованого стану пружного фiзично нелiнiйного ортотропного тiла зведено до iнтегрування рiвнянь (22) при вiдповiдних граничних умовах.

Для реальних ортотропних матерiалiв 0 < 1 i цей параметр можна розглядати як малий. Тому, як i ранiше, вводяться перетворення (20) (i=1,2, i=1), якi визначають два типи напружено-деформованого стану.

Асимптотичний аналiз рiвнянь рiвноваги по 0 проводиться аналогiчно розділам 2 та 3, зокрема, в нульовому наближеннi по 0 маємо (q=1)

(23)

, (24)

.

Повне дотичне напруження 12,0 =(1)12,0 +(2)12,0..

Якщо буде знайдена функцiя U1,0 з першого рiвняння в (23), то V1,0 з другого рiвняння визначається простим iнтегруванням. Аналогiчно для функцiй V2,0 i U2,0 з рiвнянь (24). Але виникає питання: як розвязувати перше рiвняння в (23), або друге в (24). Для цього запропоновано новий метод збурення.

Вважаючи =1-1 , де 1 - деякий “малий” параметр, введемо новi незалежнi змiннi

(25)

і представимо функцiї U1,0 ,V1,0 ,1 ,1 у виглядi рядiв по параметру 1

(26)

Тодi з першого рiвняння в (23) для нульового та першого наближень по 1 матимемо, що основнi функцiї знаходяться з рiвнянь Лапласа:

, (27)

якщо функцiї 11 ,11 задовольняють спiввiдношенням

, (28)

а допомiжнi функцiї визначаються через основнi слiдуючим способом:

, (29)

. (30)

Для другого напружено - деформованого стану маємо аналогiчнi результати. Показана можливiсть сформулювати крайові умови для основних функцiй, звязок мiж двома типами напружено-деформованого стану вiдбувається через межові умови по дотичних напруженнях 12.

Оскiльки в нульовому наближеннi по параметру 0 вдається отримати аналiтичнi розвязки навiть дуже складних мiшаних задач, то основною проблемою є знаходження функцiй (та аналогiчних з iндексом два), якi залежать вiд розвязку тiєї чи iншої задачi в нульовому наближеннi. Але й ця проблема зведена до простого iнтегрування. Таким чином, нелiнiйна крайова задача знову зводиться до послiдовного розвязування задач теорiї потенцiалу.

У підрозділі 5.2 розглянуто задачу про фiзично нелiнiйну напiвплощину пiд впливом нормального навантаження виду (18).

Знайденi значення перемiщень та напружень. Наприклад, нормальнi напруження при t2 =0, (1 =1 = y = 0) мають вигляд

(31)

На рис. 1 в залежностi вiд координати t1 представленi напруження 1 =-(/P0 ) 11 (t1 ,0), де 11 ( t1 ,0) визначаєься з формули (31) (В=0, 1 =2/3, крива 1 відповідає лінійному матеріалу).

Рис. 1

Коли В збiльшується, 1 зменшується при малих значеннях t1 .

Якщо В зменшується, то напруження веде себе навпаки. Коли параметр 1 збiльшується (зменшується), 1 збiльшується (зменшується).

В підрозділі 5.3 розглядається напружено-деформований стан пластинок з криволiнiйною анiзотропiєю, головнi напрямки якої спiвпадають з криволiнiйними iзометричними координатами , такими, що

(32)

Питання про напружено-деформований стан пружної анiзотропної пластинки зводиться до iнтегрування рiвнянь рiвноваги i сумiсностi деформацiй

(33)

при вiдповiдних крайових умовах ( Н- параметр Ламе).

Для випадку полярних координат (цилiндрична анiзотропiя) маємо

(34)

Враховуючи залежностi (21) та слiдуючi рiвняння

,

одержимо

(35)

i рiвняння рiвноваги приймають вигляд

(36)

Пiсля розщеплення напружено-деформованого стану на двi складовi з рiзними властивостями у нульовому наближеннi по 0 матимемо

,

,

Після введення нових змiнних (25) та знаходження функцiй U, V, , у виглядi рядiв (26) у нульовому та першому наближеннях, як i в попереднiх випадках приходимо до iнтегрування рiвнянь Лапласа вiдносно основних функцiй. Функцiї задовольняють спiввiдношенням (28). Показано можливiсть постановки граничних задач для основних функцiй.

Якщо напружено-деформований стан не залежить вiд координати , тодi рiвняння (36) приймають вигляд

(37)

При цьому

(38)

Якщо дотичнi напруження дорiвнюють нулю, тодi система (37) переходить в одне рiвняння

. (39)

Розшукуючи u у виглядi рядiв по параметру 1 (якщо =1-1), одержимо, що в кожному наближеннi треба розвязувати звичайне лiнiйне диференцiальне рiвняння, у правiй частинi якого мiстяться вiдомi функцiї, знайденi в попереднiх наближеннях.

Якщо перемiщення u =0 , тодi система (37) переходить в рiвняння

, (40)

а спiввiдношення (38) мають вигляд

. (41)

Загальний розвязок рiвняння (40) легко знаходиться i буде слiдуючим:

де С, С1 - довiльнi сталi, якi знаходяться з крайових умов.

Розглянуто приклад про напружено-деформований стан ортотропної пластини з цилiндрiчною анiзотропiєю, яка послаблена круговим отвором радiусу R, при всебiчному розтягуваннi у нескiнченностi зусиллями iнтенсивностi р. Контур отвору вiльний вiд зовнiшнього навантаження. Знайдено розвязки для перемiщень та напружень у нульовому та першому наближеннях. Зокрема, на контурi отвору ( = 0 ) 11 = 0, 12 = 0

,

а при q = 1 ,

.

Якщо 1 = 0, то приходимо до лiнiйної задачi i одержуємо класичне для цього випадку значення концентрацiї напружень, яке дорiвнює двом.

У випадку, коли на контурi отвору ( = 0) заданi дотичнi напруження 12 = T0, а на нескiнченностi напруження дорiвнюють нулю, тодi дотичне напруження та компонента змiщення v визначаються з формул

.

Якщо пластина має вигляд кiльця, на внутрiшньому контурi якого ( = 0) 12 = T 0 , а на зовнiшньому ( = 0 ) v = 0, одержимо

. (42)

Коли на внутрiшньому контурi кiльця ( = 0 ) задане перемiщення v = v0 , а на зовнiшньому контурi ( = 0 ) v = 0, тодi розвязок набуває вигляду

.

Треба зауважити, що фiзична нелiнiйнiсть матерiалу може по-рiзному вiдображатися у виразах звязку деформацiй та напружень. Розглянуто, зокрема, класичний випадок, коли нелiнiйна частина записана у явному виглядi у дотичних напруженнях

(43)

де С2 - деяка стала.

Якщо напружений стан не залежить вiд координати , тодi рiвняння рiвноваги набувають вигляду

(44)

Пiсля введення функцiї друге рiвняння з (44) буде мати вигляд

, (45)

де D0- довiльна стала.

Якщо припустити, що =3 ( Каудерер , Цурпал І.А. ), тодi

(46)

Якщо , тодi маємо

. (47)

Розкладаючи f() в ряд за степенями 1 , для нульового та першого наближень одержимо

(48)

Вiдповiднi цим наближенням змiщення мають вигляд

,

а повне перемiщення можна записати таким чином:

Аналогiчно одержуються i бiльш високi наближення для f( ) та v, в кожному з яких множником при буде многочлен, порядок якого на одиницю вище, нiж у попередньому наближеннi.

Одержанi розвязки задач, аналогiчних розглянутим вище про напружено-деформований стан кiльця чи пластини з круговим отвором.

В наступних трьох розділах за допомогою запропонованого пiдходу одержанi розвязки плоских та просторових задач теорiї пружностi та вязкопружностi, дослiдження яких iншими методами утруднене. Зокрема, значне мiсце вiдведено важливим для практики задачам про передачу навантаження через пружнi пiдкрiплюючi елементи пружним багатошаровим та вязкопружним анiзотропним тiлам.

Шостий роздiл присвячено розвязанню плоских задач про передачу навантаження через пружнi пiдкрiплюючі елементи.

У підрозділі 6.1 розглянуто випадок двошарової пружної пластини та деякі граничні переходи. В таких задачах припускається, що стрiнгери розташованi симетрично вiдносно серединної поверхнi пластини перпендикулярно її краю та скрiпленi з нею. Пiдкрiплюючий елемент трактується як одновимiрний пружний стержень з жорсткiстю на розтяг - стискання, в той час, як деформацiя пластинки описується в межах двовимiрної теорiї узагальненого плоского напруженого стану. Розглядається схема контакту по лiнiї.

Одержані розвязки задач, якi схематично зображенi на рисунках 2, 3, 4.

Рис.2. Рис.3 Рис.4.

Знайдено значення зусиль в стержнi, нормальних та дотичних напружень в пластинi, а також контактних напружень мiж стержнем та пластиною.

Так, при розглядi задачi про пластину зі скiнченною товщиною шарiв (рис.2) змiна зусилля в стержнi N = N/P 0 має вигляд, показаний на рис. 5.

Рис. 5.

Крива 1 одержана при h1 = h2 , g1 = g2= 0,1, крива 2 - при h1 = h2,

g1 = 0,1, g2 =0,28, крива 3 вiдповiдає h1 = h2 , g1 = 0,1, g2 =0,56.

У підрозділі 6.2 розглянуто задачу про передачу навантаження від стрингера до пружної прямокутної пластини, закріпленої по бокових кромках, якщо у кінцевій точці прикладена сила P 0. Крім того, на стрингер діє деяке навантаження, пропорційне його зміщенню.

У підрозділі 6.3 розглядається випадок двошарової прямокутної пружної пластини, закріпленої по боковим кромкам, яка вздовж осі Ох підсилена навантаженим у кінцевій точці стрингером. Матеріали прямокутних шарів ортотропні та різні. Знайдені змінення зусилля в стрингері та розподіл контактних зусиль між стрингером та пластиною. Розглянуто деякі часткові випадки.

В сьомому роздiлi дослiджені просторовi контактнi задачi про передачу навантаження вiд пiдкрiплюючого елементу до шаруватої пiдвалини. При аналiтичному розвязанні таких задач виникають значнi математичнi труднощi, i тому просторовi задачi вивчено значно менше, нiж плоскi. Але iнтерес до цих задач дуже високий, тому що вони повязанi з будiвництвом, зокрема з механiкою фундаментiв на палях, та вiдносяться до механiки армованих волокнами композитiв.

У підрозділі 7.1 розглянуто осесиметричну контактну задачу про передачу навантаження вiд стержня кругового поперечного перерiзу до пружного тiла, яке складається з двох зчеплених мiж собою ортотропних шарiв з цилiндричною анiзотропiєю 0 z1 h1 , h1 z2 h2, r , z 1 = z, z 2 = z- h1. Стержень розмiщено перпендикулярно до обмежуючих тiло площин, середня лiнiя його спiвпадає з вiссю Оz.

Оскiльки у просторових задачах для тiл з включеннями модель одновимiрного пружного включення в поєднаннi з моделлю контакту по лiнiї безпосередньо не може бути застосована, припускається, що має мiсце модель одномiрного пружного стержня в поєднаннi з моделлю контакту по цилiндричнiй поверхнi для пiдвалини.

Знайдені зусилля в стержнi N(z) та зусилля контактної взаємодiї мiж стержнем i тiлом

,

де iндекси 1, 2 вказують на вiдповiднi шари, функцiї f(a), Mi(n) знаходяться в процесi розвязування.

Якщо h2=0, то приходимо до задачi про передачу навантаження шару висотою h1 (рис.4). На рис. 6 показано змiнення зусилля в стержнi N = N/4P0 , z = z/h при g = 0,1 (крива 1) та при g = 0,5 (крива 2)

Рис.6.

В підрозділі 7.2 розглянуто тривимiрну задачу про тонкий пружний стержень прямокутної форми у напiвнескiнченному в’язкопружному тiлi. Знайдено закон розподiлу контактних напружень мiж стержнем та напiвпростором, якщо в кiнцевiй точцi пiдкрiплюючого елемента дiє сила Р0, направлена по осi стержня. Показано можливiсть повернення до оригiналiв пiсля перетворення Лапласа.

У підрозділі 7.3 розглянуто осесиметричну задачу, аналогічну розвязаній в підрозділі 6.3.

Треба зауважити, що у розглянутих в сьомоу розділі задачах розвязки для зусилля контактної взаємодiї, одержанi запропонованим асимптотичним методом, справедливi всюди, крiм безпосереднього околу стику волокна i матрицi на вiльнiй межi (z=0 або х=0), де потрiбно використовувати особливий розвязок . Невiдомий постiйний коефiцiєнт А знаходиться з умов “зрощування” (в деякiй точцi спiвпадають як особливий та наближений розвязки, так i їх похiднi). Цi умови дозволяють визначити точку зрощування двох розвязкiв та константу особливого. Показано, що зона, в якiй необхiдно використовувати особливий розвязок, незначна. Одержанi на основi запропонованого пiдходу значення для контактних напружень разом з особливим розвязком дають рiвномiрно придатний в усiй областi контакту наближений розвязок задачi.

У восьмому роздiлi розглянутi деякi питання механiки волокнистих композицiйних матерiалiв.

В підрозділі 8.1 запропонованим методом знайдено розвязок задачi про передачу навантаження вiд стержня до ортотропної матрицi з мiшаними умовами на межi (рис.7). Ця задача, а також розглянутi у сьомому роздiлi та підрозділах 8.2, 8.3 безпосередньо вiдносяться до механiки армованих волокнами композитiв.

У підрозділі 8.2 одержано аналiтичний розвязок плоскої задачi про напружено-деформований стан однонаправленого волокнистого композиту з симетричною трiщиною в матрицi. Композит розтягується у напрямку волокон. Враховано вплив сусiднiх волокон.

У підрозділі 8.3 розвязано осесиметричну задачу про напружений стан волокнистого композиту, якщо в перерiзi z=0 в матрицi є дископодiбна трiщина (рис.8). Припускається, що має мiсце модель одновимiрного пружного волокна в поєднаннi з моделью контакта по цилiндричнiй поверхнi для матрицi.

Розглянуто два механiзми можливого руйнування, якi вiдповiдають розшаруванню на границi волокно-матриця або розриву волокна. В перерізі тріщини знайдено зусилля в волокнi , а також коефiцiєнт iнтенсивностi напружень у вершинi трiщини c. Якщо волокно не розiрване, тодi c значно менший нiж при розiрваному волокнi.

Рис. 7. Рис. 8.

У першому випадку питання руйнування зведене до визначення адгезiонної мiцностi при витягуваннi волокна з композицiйного матерiалу , якщо у кiнцевiй точцi волокна прикладене зусилля Р (задачi з розділу 7 та підрозділу 8.1)

,

Якщо волокно розiрване, то значення c визначає можливiсть подальшого просування трiщини в матрицю.

Зауважимо, що останні підрозділи кожного розділу містять висновки до відповідного розділу та посилання на публікації автора.

ОCНОВНI РЕЗУЛЬТАТИ ТА ВИСНОВКИ

1. Запропоновано метод розвязку просторових задач лiнiйної вязкопружностi для ортотропних середовищ, який є узагальненням вiдомого асимптотичного методу Л.І. Маневича та А.В. Павленка, розробленого для плоскої задачі лінійної теорії пружності.

2. Розроблено новий пiдхiд до розвязку задач нелiнiйної теорiї пружності, коли враховуються скiнченні деформацiї в плоскій та просторовій постановках. Малий параметр асимптотичного інтегрування є відношення жорсткiсних характеристик матерiалу.

3. Запропонований пiдхiд застосовано для дослідження плоских задач фiзично нелiнiйної теорiї пружностi анiзотропних матерiалiв з прямолiнiйною та криволiнiйною анiзотропiєю.

4. Для розвязування суттєво нелінійних рівнянь в частинних похідних розроблено новий метод збурення.

5. Доведено, що задачi лiнiйної теорії вязкопружності, геометрично та фізично нелінiйної теорії пружності ортотропних середовищ можуть бути зведенi до послiдовного розвязування крайових задач теорiї потенціалу, або близьких до них.

6. Запропонованi методи розрахунку анiзотропних середовищ мають достатньо широку область застосування, дозволяють одержати аналiтичнi розвязки задач в лiнiйнiй та нелiнiйнiй постановках, якi у багатьох випадках не можуть бути одержанi iншими методами.

7. Розглянуто ряд задач нелiнiйної теорiї пружності для ортотропних матерiалiв при прямолiнiйнiй та криволiнiйнiй анiзотропiї. Зокрема, дослiджено напружено-деформований стан напiвплощини, площини з отвором, кiльця при рiзних навантаженнях.

8. Розвязано ряд нових важливих для практики задач про передачу навантаження вiд пiдкрiплюючих елементiв до пружних багатошарових тiл (плоска та осесиметрична постановка) та до вязкопружних тiл (просторова постановка).

9. Дослiджено напружено-деформований стан однонаправленого волокнистого композиту з трiщиною в матрицi, яка перпендикулярна до волокна, при розтягуваннi його в напрямку волокон. У плоскому випадку враховується вплив сусiднiх волокон, в осесиметричному увага зосереджена на одиночному волокнi з симетричною дископодiбною трiщиною в матрицi. Проаналiзовано два механiзми можливого руйнування композиту, що вiдповiдають розшаруванню по границi волокно-матриця або розриву волокна.

10. Розроблений в дисертації підхід, що зводить лінійні та нелінійні задачі теорії пружності (в’язкопружності) анізотропних матеріалів до послідовного розв’язування крайових задач теорії потенціалу, і одержані на його основі результати можна кваліфікувати як новий науковий напрямок в механіці деформівного твердого тіла.

СПИСОК ОПУБЛIКОВАНИХ ПРАЦЬ ЗА ТЕМОЮ ДИСЕРТАЦIЇ

1. Кагадий Т.С. Метод возмущений в механике упругих (вязкоупругих) анизотропных и композиционных материалов.- Днепропетровск: РИК НГА України,1998.- 260 с.

2. Кагадий Т.С. Асимптотический метод в задачах нелинейной теории упругости с учетом криволинейной анизотропии материала//Вiсник Днiпропетровського унiверситету. Механiка.- Днiпропетровськ.: ДДУ.-1998.-Вип.1.-Т.1.-С.143-148.

3. Кагадий Т.С. К решению нелинейных уравнений в частных производных// Збірн. наук. праць ДДУ “Диференц. рiвняння та їх застосування”.- Днiпропетровськ: ДДУ.-1998.-С.62-66.

4. Павленко А.В., Кагадий Т.С., Моня А.Г. Решение систем дифференциальных уравнений методом возмущений// Збірн. наук. праць ДДУ “Диференц. рiвняння та їх застосування”.- Днiпропетровськ: ДДУ.-1998.-С.59-62.

5. Кагадий Т.С. Передача нагрузки стержнем ортотропной пластине со смешанными условиями на кромке// Сб.научных. тр. ДГУ “Вопросы механики деформирования и разрушения твердых тел”.-Днепропетровск: ДГУ.-1997.-С.41-44.

6. Кагадий Т.С.Метод возмущений для решения пространственной кон-

тактной задачи с учетом трения//Сб. научн. труд.ДГУ.“Вопросы прикл. математики и матем. моделир.”-Днепропетровск:ДГУ.-1997.-С.44-47

7. Кагадий Т.С., Моссаковская Л.В., Павленко А.В. Метод возмущений в пространственной задаче линейной вязкоупругости анизотропных тел// Прикладная математика и механика.-Т.1.-1992.- С. 167-171.

8. Кагадий Т.С., Павленко А.В. Передача нагрузки стержнем вязкоупругому анизотропному цилиндру // Гидроаэромеханика и теория упругости. -Днепропетровск: ДГУ.- 1991.-С.88-93.

9. Кагадий Т.С., Павленко А.В. Метод возмущений в двумерных нелинейных задачах теории упругости//Сб. науч. тр. ДГУ “Смешанные задачи механики деформируемых сред”-Днепропетровск: ДГУ-1995-С.67-71.

10. Кагадий Т.С., Павленко А.В., Чухнова Л.И. Некоторые контактные задачи линейной вязкоупругости с учетом трения и сцепления// Сб. научн. труд. ДГУ “Современ. проблемы механики контактного взаимодейств.”.- Днепропетровск: ДГУ.-1990.-С.20-22.

11. Кагадий Т.С. К решению некоторых задач нелинейной теории упругости//Збірн. наук. праць ДДУ “Диференц. рiвняння та їх застосування”.- Днiпропетровськ: ДДУ.-1999.-С.75-80.

12. Кагадий Т.С. Метод возмущений для задач с учетом вязкоупругих и нелинейных свойств материалов//В сб. научн. тр. ДГУ “Вопросы механики деформирования и разрушения твердых тел”.- Днепропетр.ДГУ.- 1999. -С.124-130.

13. Кагадий Т.С. Асимптотический метод в осесимметричных нелинейных задачах теории упругости// В збірн. наук. пр. ДДУ “Питання прикладної математики та математичного моделювання”.-Дніпропетр.-ДДУ.-1999. - С.46-49.

14. Кагадий Т.С. Метод возмущений для задач с учетом вязкоупругих свойств материалов// В зб. наук. праць “Проблеми обчислювальної механіки і міцності конструкцій”.-Т.4.-Дніпропетр.: “Навчальна книга”.- 1998. - С. 67-70.

15. Павленко А.В., Кагадий Т.С. О напряженном состоянии волокнистого композита с трещиной в матрице// В зб. наук. праць “Проблеми обчислювальної механіки і міцності конструкцій”.-Т.5.-Дніпропетр.: “Навчальна книга”.- 1999.- С. 151-160.

16. Кагадий Т.С., Павленко А.В. К вопросу о решении нелинейных задач теории упругости// В зб. наук. праць “Проблеми обчислювальної механіки і міцності конструкцій”.-Т.6.-Дніпропетр.: “Навчальна книга”.- 1999.- С. 129-137

17. Кагадій Т.С., Павленко А.В. Метод збурення в