НАЦІОНАЛЬНА АКАДЕМІЯ НАУК УКРАЇНИ

ІНСТИТУТ МАТЕМАТИКИ

КОФАНОВ Володимир Олександрович

УДК 517.5

НЕРІВНОСТІ ТИПУ КОЛМОГОРОВА

І ЕКСТРЕМАЛЬНІ ЗАДАЧІ АНАЛІЗУ

01.01.01- математичний аналіз

Автореферат

дисертації на здобуття наукового ступеня

доктора фізико-математичних наук

Київ2003

Дисертацією є рукопис

Робота виконана на кафедрі теорії функцій Дніпропетровського національного університету Міністерства освіти і науки України.

Науковий консультант: доктор фізико-математичних наук, професор

БАБЕНКО Владислав Федорович,

Дніпропетровський національний університет,

завідувач кафедри.

Офіційні опоненти: доктор фізико-математичних наук

КОНОВАЛОВ Віктор Миколайович,

Інститут математики НАН України,

провідний науковий співробітник;

доктор фізико-математичних наук, професор

ЛИГУН Анатолій Олександрович,

Дніпродзержинський державний технічний

університет, професор;

доктор фізико-математичних наук, професор

ВАКАРЧУК Сергій Борисович,

Дніпропетровська академія митної служби

України, проректор з наукової роботи.

Провідна установа: Київський національний університет імені Тараса

Шевченка.

Захист відбудеться “23 ” грудня 2003 року о 15 годині на засіданні спеціалізованої вченої ради Д 26. 206. 01 в Інституті математики НАН України за адресою: 01601, Київ 4, вул. Терещенківська, 3.

З дисертацією можна ознайомитись у науковій бібліотеці Інституту математики НАН України.

Автореферат розісланий " 11 " листопада 2003 р.

Вчений секретар

спеціалізованої вченої ради Романюк А. С.

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальність теми. Нерівності, що оцінюють - норму проміжної похідної функції через - норму функції і - норму її старшої похідної, мають велике значення для багатьох областей математики та їх застосувань (математичний аналіз, теорія апроксимації, диференціальні рівняння, теореми вкладення, обчислювальна математика, теорія некоректних задач, оптимізація алгоритмів та інших). Найбільш цікавими є непокращувані нерівності такого типу тому, що саме вони мають найяскравіші застосування і протягом майже сторіччя, починаючи з Е. Ландау, Ж. Адамара, Г. Харді, Дж. Літлвуда і Д. Поліа, зусилля математиків багатьох країн світу були направлені на отримання саме таких нерівностей. Кожне досягнення у цьому напрямку вимагало і вимагає створення своїх методів дослідження, і як самі точні нерівності, так і методи, розроблені для їх отримання, знаходили важливі застосування.

Одним з фундаментальних результатів в цій тематиці є результат А.М. Колмогорова. Саме тому нерівності для норм проміжних похідних диференційовних функцій і їх аналоги стали називати нерівностями типу Колмогорова. Для доведення своєї нерівності А.М. Колмогоров отримав так звану теорему порівняння. Ця теорема стала важливим інструментом при дослідженні проблеми про точні сталі в нерівностях типу Колмогорова. Зокрема, теорема порівняння Колмогорова була успішно застосована в роботах В.М. Габушина. В його роботах на основі теореми порівняння Колмогорова був створений метод локального порівняння похідних функцій малої гладкості, який виявився дуже корисним при розв'язанні ряду задач даної дисертації. Не менш важливим є метод порівняння переставлень і -переставлень М.П. Корнєйчука. Зокрема, ці методи були успішно застосовані в роботах А.О. Лигуна, в яких було отримано суттєве узагальнення результату А.М. Колмогорова для періодичних функцій і доведено нерівності типу Колмогорова, що враховують число змін знаку похідних функцій. Ці методи також широко використовувались при проведенні досліджень задач даної дисертації.

Б.С. Надь для функцій, що задані на числовій прямій і мають там похідну 1-го порядку, одержав точні нерівності, що оцінюють - норму функції через - норму функції і - норму її похідної. Нерівності такого типу називають нерівностями типу Надя або нерівностями різних метрик. Їх можна розглядати як спеціальний випадок нерівностей типу Колмогорова, коли оцінюється похідна нульового порядку, тобто сама функція. Л. Хермандер отримав узагальнення нерівності А.М. Колмогорова, в якому оцінюються норми додатних і від'ємних частин похідних і враховуються обмеження на додатні і від'ємні частини старших похідних (несиметричний варіант нерівності А.М. Колмогорова). І. Шенберг і А. Каваретта отримали аналог нерівності А.М. Колмогорова на півпрямій.

Нерівності типу Колмогорова для функцій багатьох змінних мають велике значення в теорії диференціальних рівнянь з частковими похідними і в теорії вкладення класів гладких функцій. Питання про нерівності такого типу досліджувались в роботах О.В. Бєсова, І.П. Ільїна, С.М. Нікольського та інших. Деякі точні нерівності для норм "проміжних" похідних функцій багатьох змінних представлені в роботах В.М. Коновалова, Дінь-Дзунга і В.М. Тихомирова, А.П. Буслаєва і В.М. Тихомирова, В.Г. Тимофєєва, В. Чена і З. Діціана, О.А. Тимошина.

При дослідженні багатьох екстремальних задач аналізу з'ясувалось, що вони тісно пов'язані з точними нерівностями типу Колмогорова. Важливу роль в цьому плані відіграли роботи М.П. Корнєйчука, в яких метод проміжного наближення був успішно застосований для точного розв'язання задачі найкращого наближення класів функцій тригонометричними поліномами, і роботи С.Б. Стєчкіна про наближення необмежених операторів обмеженими. Дослідженню цих взаємозв'язків присвячені також роботи Л.В. Тайкова і В.В. Арестова (для функцій, що задані на прямій або півпрямій), а також роботи А.О. Лигуна і Б.Є. Клоца (для періодичних функцій). В роботах А.О. Лигуна за допомогою точних нерівностей типу Колмогорова отримані нові точні нерівності типу Бернштейна для тригонометричних поліномів і поліноміальних сплайнів.

В зв'язку з великою складністю задач про точні константи в нерівностях типу Колмогорова повний розв'язок задач такого типу одержано лише у невеликій кількості ситуацій. Це стосується і функцій однієї змінної, і особливо функцій багатьох змінних, де дослідження направлені на отримання точних нерівностей типу Колмогорова по суті справи тільки розпочинаються.

Тому задача про точні константи в нерівностях типу Колмогорова залишається актуальною. Особливо важливим завданням в цьому напрямку є вдосконалення відомих методів розв'язання задач такого типу (деякі з них були зазначені вище), а також створення нових методів дослідження.

Важливим завданням залишається виявлення подальших взаємозв'язків нерівностей типу Колмогорова з іншими екстремальними задачами аналізу.

Дослідження даної дисертації як раз і присвячені розв'язку вищевказаних задач.

Зв’язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Дисертація виконувалась в рамках науково-технічного проекту (науковий керівник – проф. В.Ф. Бабенко), який отримав в 1995–1996 р.р. фінансову підтримку Міжнародного наукового фонду і уряду України (соросівській грант U92200), в 1997 р. – додатковий грант цього фонду, а в 1998 р. – грант Міжнародної науково-освітньої програми.

Крім того, дисертацiя виконувалась в рамках держбюджетних тем N 09-95-58 "Екстремальні задачі аналізу та їх застосування", номер державної реєстрації N 0198U003742 і N 09-207-01 "Нерівності для похідних і екстремальні задачі аналізу",

номер державної реєстрації N 0101V001526, що проводились на кафедрі математич-ного аналізу Дніпропетровського національного університету.

Мета і завдання дослідження. Об’єктом дослідження є нерівності типу Колмогорова. Предметом дослідження є точні нерівності такого типу та їх взаємозв'язки з іншими екстремальними задачами аналізу. Мета і основні задачі дослідження полягали у наступному.

– Одержання нових точних нерівностей типу Колмогорова-Надя для періодичних функцій, а також для функцій, що визначені на півосі, осі та скінченому інтервалі.

– Одержання точних нерівностей типу Колмогорова для функцій багатьох змінних.

– Дослідження взаємозв'язків нерівностей типу Колмогорова з іншими екстремальними задачами аналізу.

– Застосування отриманих результатів до дослідження екстремальних властивостей поліномів та сплайнів, точного розв'язку таких екстремальних задач, як наближення одного класу функцій іншим, дослідження екстремальних властивостей підпросторів в задачі про поперечники за Колмогоровим, обчислення характеристик типу K-функціоналу та інших задач.

– Подальше вдосконалення методу порівняння похідних функцій та їх переставлень, як одного з найдійовіших методів дослідження задачі про точні нерівності типу Колмогорова.

Охарактеризуємо коротко методи розв'язання поставлених задач. В першому розділі при доведенні точних нерівностей типу Колмогорова для періодичних функцій однієї змінної застосовувались класичні методи дослідження задачі про точні константи в нерівностях типу Колмогорова: методи порівняння похідних функцій та їх переставлень. Крім того, подальший розвиток отримав метод локального порівняння Габушина. Це дало змогу отримати точні нерівності типу Колмогорова для періодичних функцій малої гладкості з рівномірно обмеженою старшою похідною в найбільш загальній ситуаії, а також одержати точні нерівності типу Колмогорова з так званими локальними "нормами". Зокрема, було отримано підсилення нерівності і теореми порівняння Колмогорова. Доведення деяких нерівностей типу Колмогорова з першого розділу базується на новій теоремі порівняння - переставлень Корнєйчука.

В другому розділі наведені нові точні нерівності типу Надя для періодичних функцій довільної гладкості. Метод доведення цих нерівностей заснований на нових теоремах порівняння переставлень.

В третьому розділі розглядаються застосування нових нерівностей типу Колмогорова - Надя, отриманих в попередніх розділах, до дослідження екстремальних властивостей поліномів і сплайнів. А саме, отримано ряд нових нерівностей типу Бернштейна - Нікольського для поліномів і сплайнів. Зокрема, отримані нерівності такого типу з локальними "нормами". Для розв'язання цих задач ефективним є метод дослідження, що був розроблений в роботах А.О. Лигуна.

В четвертому розділі наведено несиметричний аналог результату І. Шенберга і А. Каваретти. Схема доведення цього результату така ж, як і в роботі І. Шенберга і А. Каваретти, але метод доведення істотно відрізняється від методу І. Шенберга і А. Каваретти. Крім того, в четвертому розділі (в підрозділі 4.3) запропонована схема доведення адитивних нерівностей типу Колмогорова. Зокрема, виявлено взаємозв'язок між точною константою при нормі функції в адитивній нерівності типу Колмогорова і точною константою у відповідній нерівності типу Маркова - Нікольського для алгебраїчних поліномів. А саме, доведено, що ці константи збігаються. Згадана схема доведення адитивних нерівностей типу Колмогорова заснована на розвиненні функцій в ряд Тейлора з подальшим застосуванням методу проміжного наближення, причому в якості класу "проміжних" функцій виступає множина алгебраїчних многочленів фіксованої степені. Поєднання цих двох методів виявилося простим і ефективним способом знаходження точної константи при нормі функції в адитивних нерівностях типу Колмогорова.

В п'ятому розділі наведено нові точні нерівності типу Колмогорова для функцій багатьох змінних. В підрозділі 5.1 розглядаються мультиплікативні нерівності типу

Колмогорова для періодичних функцій багатьох змінних. У випадку функцій однієї змінної нерівності типу Колмогорова для похідних можуть розглядатися як нерівності для первісних. У випадку функцій багатьох змінних це вже не так і саме нерівності для первісних виявилися корисними для проблем апроксимації класів функцій іншими класами (див. розділ 6). В підрозділі 5.1 представлені точні нерівності, що оцінюють L2 - норми "проміжних" (змішаних) похідних періодичних функцій багатьох змінних через L8 - норми цих функцій і їх часткових похідних (вищого порядку) з кожної змінної. Крім того, представлені точні нерівності, що оцінюють L2 - норми "проміжних" (змішаних) первісних через L8 - норми функцій і їх первісних (вищого порядку) з кожної змінної. Метод доведення цих нерівностей заснований на класичному гармонічному аналізі функцій багатьох змінних з використанням концепції дробових похідних і первісних в смислі Вейля.

В підрозділі 5.2 розглядаються адитивні нерівності типу Колмогорова для диференційовних відображень банахових просторів, зокрема для функцій багатьох змінних. А саме, представлені узагальнення результатів підрозділу 4.3 на такі відображення.

В шостому розділі наведена теорема еквівалентності, що описує взаємозв'язки нерівностей типу Колмогорова, записаних у формі нерівностей для опорних функцій опуклих множин, з іншими екстремальними задачами аналізу. При її доведенні використовувались методи опуклого аналізу. Розглянуто різноманітні застосування цієї теореми і точних нерівностей типу Колмогорова, що наведені в попередніх розділах. Зокрема, за допомогою точних нерівностей для первісних періодичних функцій багатьох змінних були отримані оцінки найкращих наближень в інтегральній метриці класів функцій, що визначаються обмеженнями на L2 - норми змішаних похідних фіксованого порядку сумами функціональних класів, які визначаються обмеженнями на L1 - норми часткових похідних (вищого порядку) з кожної змінної. За допомогою методу проміжного наближення були отримані точні значення наближень квазіполіномами в L1-метриці класів функцій, що визначаються обмеженнями на L2 - норми змішаних похідних .

В сьомому розділі отримані точні значення наближень алгебраїчними многочленами в інтегральній метриці класів функцій Рімана-Ліувілля, що задаються обмеженнями на старшу похідну дробового порядку. Метод дослідження задач даного розділу полягає в поєднанні класичних методів теорії наближення і теорії екстремальних задач з оригінальними технічними прийомами.

Наукова новизна одержаних результатів. Всі результати дисертації є новими і становлять значний інтерес для теорії наближень. Наступні результати відносяться до числа основних.

1. Отримано ряд нових точних нерівностей типу Колмогорова-Надя як для функцій однієї змінної, так і для функцій багатьох змінних.

2. Доведено теореми еквівалентності, що описуюють взаємозв'язки між нерівностями типу Колмогорова та рядом важливих екстремальних задач аналізу, такими як наближення одного класу функцій іншим, точні оцінки верхніх граней функціоналів на класах функцій, оцінки характеристик типу K-функціоналу.

3. Виявлено взаємозв'язок між точними константами при нормі функції в адитивних нерівностях типу Колмогорова і точними константами у відповідних нерівностях типу Маркова-Нікольського для алгебраїчних поліномів. А саме доведено, що ці константи збігаються. Тим самим вдалося знайти точні константи при нормі функції в адитивних нерівностях типу Колмогорова в тих випадках, коли константи у відповідних нерівностях типу Маркова-Нікольського відомі.

4. За допомогою одержаних нерівностей типу Колмогорова доведено ряд нових точних нерівностей типу Бернштейна-Нікольського для тригонометричних поліномів і поліноміальних сплайнів.

5. Одержано нові оцінки в задачі наближення класів періодичних функцій іншими функціональними класами. Це дало змогу, зокрема, отримати нові точні результати по наближенню класів функцій багатьох змінних квазіполіномами.

6. Отримано нові теореми порівняння похідних функцій, їх переставлень і -переставлень Корнєйчука.

7. Відомі результати М.П. Корнєйчука і А.О. Лигуна про верхні грані функціоналів на класах представлені як нерівності типу Колмогорова для опорних функцій опуклих множин, що дало змогу включити їх за допомогою теореми еквівалентності в ряд еквівалентних між собою тверджень і отримати нові твердження, що еквівалентні вказаним вище результатам М.П. Корнєйчука і А.О. Лигуна.

8. Одержані точні нерівності типу Колмогорова з локальними "нормами".

9. Знайдені точні значення найкращих наближень алгебраїчними многочленами в інтегральній метриці класів функцій Рімана-Ліувілля, тобто класів функцій, що є дробовими інтегралами від сумовних на відрізку функцій, інтегральні норми яких не перевищують 1.

Практичне значення одержаних результатів. Результати, отриманi в дисертацiї носять теоретичний характер, але вони мають i практичне значення, яке полягає в наступному. При побудові чисельних алгоритмів необхідно вміти оцінювати похибку даного алгоритму. Для цього, в свою чергу, необхідно знати точне значення величини, що обчислюється. А оскільки всі основні результати дисертації дають остаточний розв'язок відповідних проблем, то це дає можливість обчислювати точне значення констант в розглянутих задачах з будь-якою точністю, що в свою чергу дає змогу оцінювати похибки відповідних чисельних алгоритмів.

Результати, одержані в роботі сприяють подальшому розвитку досліджень в галузі теорії наближень і можуть знайти застосування у дослідженнях екстремальних задач теорії наближення, які проводяться в Інституті математики НАН України, Інституті прикладної математики і механіки НАН України, Київському, Дніпропетровському, Львівському, Донецькому, Одеському університетах.

Особистий внесок здобувача. Результати роздiлу 7, пiдроздiлiв 1.3 – 1.5, 3.4, 4.2, 6.7, а також теореми 2.1.8, 2.2.2, 3.1.3, 3.2.3, 3.3.3, 6.3.3 отримані автором одноособово. З результатів, що опубліковані в сумісних з В.Ф. Бабенком і С.О. Пічуговим і М.П. Корнєйчуком роботах, автору належать теореми 1.1.3, 1.1.5, перше твердження теореми 2.1.1, теореми 4.1.3, 4.3.2, 6.3.5, 6.5.1, 6.8.2. Результати підрозділу 6.9 отримані у спiвавторствi з М.П. Корнєйчуком, В.Ф. Бабенком і С.О. Пічуговим, решта результатів – у спiвавторствi з В.Ф. Бабенком і С.О. Пічуговим.

Апробація результатів дисертації. Результати роботи доповідались автором на

- міжнародній конференції "First conference of program designers" (Будапешт, 1985);

- міжнародній конференції, присвяченій 75-річчю Дніпропетровського державного університету (Дніпропетровськ, 1993 р.);

- міжнародній конференції “Теорія функцій і математична фізика”, присвяченій 100-річчю Н. І. Ахієзера (Харків, 2001 р.);

- Українському математичному конгресі, присвяченому 200-річчю з дня народження М. В. Остроградського (Київ, 2001 р.);

- міжнародній конференції з функціонального аналізу та його застосувань, присвяченій 110-річчю з дня народження С. Банаха (Львів, 2002 р.);

- розширеному науковому семiнарi Iнституту математики НАН України;

- міждержавних науково-практичних конференціях "Комп’ютерне моделювання" (Дніпродзержинськ, 2000, 2001 рр.);

- підсумкових конференціях Дніпропетровського національного університету (Дніпропетровськ, 1998 – 2002 рр.);

- наукових семінарах з теорії функцій (Дніпропетровський національний університет, керівники семінару: член-кор. НАН України, проф. Моторний В. П., проф. Бабенко В.Ф.).

Публікації. Основні результати дисертації опубліковано в роботах [131], опубліковано також 12 тез доповідей, що були представлені на різні наукові конференції.

Структура і обсяг дисертації. Дисертація обсягом 302 сторінки машинописного тексту складається з вступу, семи розділів, висновків і списку літератури, який містить 127 найменувань.

ОСНОВНИЙ ЗМІСТ ДИСЕРТАЦІЙНОЇ РОБОТИ

У вступі визначено об’єкт і предмет дослідження, обґрунтовано актуальність теми дисертації, сформульовані мета і задачі, визначаються методи дослідження, його наукова новизна, теоретичне і практичне значення, коментується повнота викладення матеріалу в наукових працях та його ступінь апробації, наведено також структуру дисертаційної роботи.

Символом G будемо позначати скінченний інтервал I, дійсну вісь R, піввісь R+, одиничне коло T, що реалізоване у вигляді проміжку [р, р] з ототожненими кінцевими точками. Будемо розглядати простори Lp(G), , всіх вимірних функцій x: G > R таких, що , де

якщо , і .

Позначимо через найкраще наближення функції в -метриці, , константами. Для скорочення замість будемо писати , а замість . Для через позначимо простір функцій таких, що локально абсолютно неперервна, а . Для покладемо .

Важливу роль в багатьох екстремальних задачах аналізу відіграють нерівності

, , , (1)

для функцій , і їх аналоги, в яких норми замінено найкращими наближеннями константами. Усі такі нерівності називають нерівностями типу Колмогорова. Найбільш цікавими є нерівності з непокращуваними константами (точні нерівності).

Перший розділ дисертаційної роботи присвячено отриманню точних нерівностей типу (1) для періодичних функцій. Серед таких нерівностей найбільш цікавими є нерівності з максимально можливим показником. Клоц встановив, що такий показник визначається співвідношенням:

. (2)

Відомо порівняно небагато випадків, коли точні нерівності типу (1) з показником доведено для всіх . Це такі випадки:

1)

2)

3)

4)

5)

В першому розділі отримано точні нерівності типу (1) для періодичних функцій з показником для всіх () у наступних випадках:

1)

2)

3)

4)

У підрозділі 1.3 отримано нову теорему порівняння -переставлень Корнєйчука

(теорема 1.3.9), що складає основу доведення точних нерівностей у випадках 2) і 4).

В підрозділах 1.4 і 1.5 для функцій отримані точні нерівності типу

, , , (3)

з локальними "нормами"

, (4)

де , для довільних , . Зазначимо, що показник в (3) максимально можливий. При нерівність (3) є підсиленням нерівності Лигуна.

Другий розділ присвячено отриманню точних нерівностей типу Надя, тобто нерівностей типу (1) при . Вперше точні нерівності такого типу для функцій отримав Надь. В нерівності Надя .

В другому розділі отримано точні нерівності типу Надя для періодичних функцій довільної гладкості , які мають нулі, у випадку

, , (теорема 1.2.1).

Вимога про те, що має нулі в цій теоремі істотна. Отримано також різноманітні варіанти нерівностей типу Надя для , в яких норми замінено на найкращі та найкращі односторонні наближення константами, а також на характеристики типу , де константа найкращого наближення функції в метриці простору (теореми 2.2.2 2.2.5). Зокрема, доведені точні нерівності виду

для довільних , , де , (теорема 2.2.2).

В підрозділі 2.1 отримано нові теореми порівняння переставлень (теореми 2.1.1 2.1.8), що складають основу доведення нерівностей другого розділу.

Третій розділ присвячено застосуванням нерівностей типу Колмогорова-Надя, що отримані в розділах 1 і 2, для дослідження екстремальних властивостей поліномів і сплайнів. А саме отримано ряд точних нерівностей типу Бернштейна-Нікольського

, , (5)

для тригонометричних поліномів порядку не вище n () та -періодичних поліноміальніх сплайнів порядку дефекту 1 з вузлами в точках , , (). Точні нерівності типу (5) для відомі у випадках:

1)

2)

3)

Для точні нерівності типу (5) відомі у випадках:

1)

2)

В третьому розділі отримано точні нерівності типу (5) як для , так і для у випадках:

1)

2)

3)

Отримано також різноманітні варіанти точних нерівностей типу (5), в яких норми замінено найкращими та найкращими односторонніми наближеннями і величинами типу .

В підрозділі 3.4 отримано точні нерівності типу Бернштейна-Нікольського

, , (6)

з локальними "нормами", що означені рівністю (4), як для , так і для при довільних q ? 1 і p > 0 (теореми 3.4.1 і 3.4.3). Точна нерівність (6) у випадку p = 8 є підсиленням нерівностей Бернштейна і Тайкова (для ) та Тихомирова і Лигуна (для ). Зазначимо, що показник в (6) найменший з можливих.

Четвертий розділ дисертаційної роботи присвячено отриманню точних нерівностей типу Колмогорова-Хермандера для функцій, що задані на півосі . Відомо, що для функцій, що задані на чи , задача отримання точної нерівності типу (1) еквівалентна наступній екстремальній задачі:

; , . (7)

Для функцій ( у випадку ) ця задача розв'язана Ландау, Маторіним, Шенбергом і Кавареттою. Для функцій, що задані на прямій (у випадку ), Хермандер розв'язав більш загальну задачу:

; , , . (8)

В четвертому розділі задача (8) розв'язана для функцій, що задані на півпрямій (теорема 1.2.6). Тим самим отримано узагальнення результату Шенберга-Каваретти.

Для функцій, що задані на відрізку , задача (7) вже не еквівалентна нерівності (1). Більше того, для функцій нерівність (1) взагалі не виконується. Природною формою нерівностей для норм проміжних похідних функцій є адитивна форма:

. (9)

Буренков встановив, що , де береться по таких , що (9) з деякою константою виконується для всіх . З іншого боку , де береться по таких , що (9) з деякою константою виконується для всіх . Таким чином, важливою є задача знаходження цього . При ця задача розв'язана Буренковим (дослідження питання про пари можливих констант в нерівності (9) у випадку проводились в роботах Шадріна).

В розділі 4 повністю розв'язана задача про знаходження цього . Нехай

(p,q):=

точна константа в нерівності Маркова, де простір алгебраїчних многочленів

степені не вищої за . В теоремі 4.3.2 доведено, що (9) для всіх виконується якщо і тільки якщо . При цьому .

В розділі 5 це твердження (у випадку q = p = s = ?) узагальнене на довільні диференційовні відображення банахових просторів (теорема 5.2.1), зокрема на функції багатьох змінних (теорема 5.2.5).

П'ятий розділ дисертаційної роботи присвячено отриманню точних нерівностей типу Колмогорова для функцій багатьох змінних. Окрім щойно згаданого результату про точну константу при нормі функції в адитивній нерівності, в цьому розділі отримані точні нерівності типу Колмогорова для періодичних з кожної змінної функцій.

Нехай , ; ; дробова похідна (первісна) порядку в смислі Вейля; ,…, стандартний базис в Rm.

Для періодичних функцій багатьох змінних x таких, що , , одержано точну нерівність виду

, (10)

де () (теорема 5.1.4).

Крім того, для сумовних періодичних функцій багатьох змінних x таких, що , , отримано точну нерівність виду

, (11)

де (), найкраще наближення в -метриці функції множиною функцій, що не залежать від -ї змінної (теорема 5.1.5).

Зазначимо, що для функцій однієї змінної нерівності (10) і (11) еквівалентні і є спеціальним випадком нерівності Лигуна. Для функцій багатьох змінних ці нерівності вже не еквівалентні, і саме точні нерівності типу (11) знаходять застосування в теорії наближення (див. розділ 6).

Шостий розділ дисертаційної роботи присвячено застосуванням точних нерівностей типу Колмогорова, що отримані в попередніх розділах, до розв'язання різноманітних екстремальних задач аналізу. Головну роль тут відіграє теорема еквівалентності (теорема 6.2.1), що описує взаємозв'язки точних нерівностей типу Колмогорова з іншими екстремальними задачами.

Нехай X лінійний простір, p(x) норма (взагалі кажучи несиметрична), X' алгебраїчно спряжений простір,

, ,

, ,

опорна функція множини , ,

поляра множини М,

,

, де сублінійний функціонал.

Для і покладемо

,

де випукла конічна оболочка множини . Через позначимо множину півнеперервних знизу вігнутих функцій . Покладемо

, якщо , і , якщо , і нехай

, , перетворення Лежандра.

Теорема 6.2.1. Нехай H, H1,…,Hm опуклі множини в , що містять нуль; . Тоді наступні твердження еквівалентні:

1)

.

2) Якщо такий же, як і в п 1), і , то

.

3) Для довільного

.

4) Для довільного сублінійного функціоналу такого, що і , , і довільного

.

5) Якщо сублінійний функціонал такий, як в п. 4), причому , то

.

6) Для довільних і

.

У випадку коли , і одиничні кулі в і відповідно, а , , еквівалентність тверджень 1), 3) і 5) доведена раніше А.О. Лигуном.

Твердження 1) і 2) теореми 6.2.1 це абстрактні версії нерівностей типу Колмогорова для опорних функцій опуклих множин, 3) абстрактна версія наближення одного класу функцій іншим, 4) і 5) абстрактні версії нерівностей для верхніх граней функціоналів на класах функцій, 6) оцінка характеристики типу -функціоналу.

Для , ; , розглянемо соболевські простори

,

де множина -періодичних з кожної змінної функцій таких, що , ; множина функцій, що представимі у вигляді , , ,…, . Через позначимо відповідні соболевські класи .

За допомогою нерівності (11) і теореми еквівалентності 6.2.1 отримано оцінку для величини наближення в -метриці класу класом (теорема 6.4.5). Використовуючи цю оцінку методом проміжного наближення отримано точні значення наближень в -метриці класу функцій квазіполіномами. Для , покладемо

,

де , , .

Теорема 6.5.1. Нехай , , , . Тоді для довільних Nj > 0, ,

,

де , ідеальний сплайн Ейлера порядку .

Теорема 6.5.3. Нехай ,, , , . Тоді

,

де .

У випадку квазіполіноми стають тригонометричними поліномами і теорема 6.5.1 зводиться до результату Нікольського, а теорема 6.5.3 до результату Тайкова (при ).

Застосування нерівностей типу Колмогорова-Надя для періодичних функцій, що були отримані в розділах 1 і 2, проілюструємо на прикладі нерівності

, , , (12)

для функцій ( теорема 1.3.10).

Для і покладемо .

Теорема 6.3.3. Нехай , . Тоді для довільних

, (13)

.

Константи при і непокращувані.

Твердження, що аналогічні теоремі 6.3.3, виводяться за допомогою теореми еквівалентності також з інших нерівностей, що отримані в розділах 1 і 2 .

За допомогою оцінки (13) наближення одного класу функцій іншим отримано наступне твердження про екстремальні підпростори в задачі про поперечники. Нехай

,

поперечник за Колмогоровим множини в , де береться по всіх підпросторах розмірності не більшої . Кажуть, що підпростір , , реалізує поперечник , якщо .

Теорема 6.5.1. Нехай . Якщо підпростір розмірності , m = 2n - 1 або m = 2n, реалізує поперечник , то цей же підпростір реалізує поперечники для всіх , .

Вперше твердження такого типу були отримані Лигуном.

Символом позначимо клас неперервних -періодичних функцій таких, що , t > 0, де – модуль неперервності функції , а – заданий модуль неперервності. Нехай далі , , – клас -періодичних r раз неперервно диференційовних функцій таких, що . Символом позначимо множину 2?-періодичних функцій обмеженої варіації.

В роботах Корнєйчука і Лигуна були отримані оцінки верхніх граней функціоналів на класах , r=0,1,…, які стали основою розв'язання багатьох принципово важливих задач теорії наближень. В підрозділах 6.8 і 6.9 показано (теореми 6.8.2 і 6.9.10), що ці результати можна розглядати як нерівності типу Колмогорова для опорних функцій опуклих множин. Це дозволило за допомогою теореми еквівалентності 6.2.1 включити ці результати Корнєйчука і Лигуна в ряд еквівалентних тверджень і, зокрема, отримати нові результати, що їм еквівалентні.

Теорема 6.8.2. Нехай – довільний модуль неперервності. Тоді справедливі наступні еквівалентні твердження:

1)

.

2)

.

3)

.

4) Для будь-яких і t > 0

.

Для a > 0 нехай , якщо і , якщо t ? a. Для покладемо , якщо і , якщо . Для заданого модуля неперервності , , , , означимо функцію

, ,

де . Нехай далі

, .

Теорема 6.9.10. Нехай – опуклий угору модуль неперервності, або ; . Тоді справедливі наступні еквівалентні твердження:

1)

.

2)

.

3)

.

4)

.

5)

.

6) Для будь-якої функції і довільного t > 0

.

Сьомий розділ присвячено отриманню точних значень верхніх граней наближень алгебраїчними многочленами в інтегральній метриці класів дробових інтегралів (в смислі Рімана-Ліувіля) від сумовних на відрізку функцій, інтегральні норми яких не перевищують 1. Нехай . Для покладемо

,

; ,

де ?(r) - гамма-функція Ейлера, ? множина алгебраїчних многочленів степені не вищої за .

Нікольський знайшов асимптотичну поведінку величин при . В кандидатській дисертації автором знайдені точні значення величин для . А саме доведено, що

, n = r - 1 , (14)

де .

В сьомому розділі доведена

Теорема 7.1.1. Для всіх , , і , , виконується рівність (14).

В дисертаційній роботі подальший розвиток отримав метод порівняння похідних функцій, їх переставлень та -переставлень. Наведемо деякі з таких тверджень, що склали основу доведення багатьох точних нерівностей типу Колмогорова з перших двох розділів.

Наступна теорема є підсиленням теореми порівняння Колмогорова.

Для і ? > 0 покладемо , де константа ar обрана таким чином, щоб сплайн зростав на проміжку .

Теорема 1.4.4. Нехай , і число обрано за умовою

.

Нехай далі – проміжок монотонності функції такий, що для всіх ; . Тоді якщо для точки точка обрана так, що

або ,

то

.

Теорема 1.4.4 є основою доведення нерівностей (3) з локальними "нормами".

Наступна теорема є підсиленням відомої теореми порівняння -переставлень КорнєйчукаЛигуна. Нехай -переставлення Корнєйчука 2?-періодичної функції x, а -переставлення звуження на , де a нуль сплайну .

Теорема 1.3.9. Нехай , r = 3. Якщо для функції , що має нулі, число обрано так, що

, (15)

то майже для всіх

. (16)

Якщо при цьому в (15) виконується рівність, то для будь-якого

.

Якщо ж число обрано за умовою

,

то виконується (15) і для довільного

.

Основним твердженням теореми є імплікація (15) (16). За теоремою КорнєйчукаЛигуна (16) виконується при сильнішій за (15) умові . Теорема 1.3.9 є основою доведення точної нерівності (1) для періодичних функцій у випадках: , (теорема 1.3.10) і , , (теорема 1.3.11).

Для L-періодичної, L > 0, вимірної за Лебегом функції x нехай r(|x|, •) переставлення звуження її модуля |x| на [0, L].

Теорема 2.1.8. Нехай , . Якщо існує (0,8) таке, що

||x+||s = ||x_||s, а число обрано за умовою

,

де (0, s), то

для довільного t > 0. Зокрема, ||x||q для будь-якого q > p .

Теорема 2.1.8 і інші теореми такого типу (теореми 2.1.1 - 2.1.7) є основою доведення нерівностей типу Надя з другого розділу.

ВИСНОВКИ

Дисертація присвячена отриманню точних нерівностей типу Колмогорова для функцій з різноманітними областями визначення та їх застосуванням до розв'язання різноманітних екстремальних задач аналізу.

В дисертаційній роботі подальший розвиток отримали методи розв'язання вищевказаних задач, що дозволило одержати істотні результати, які полягають в наступному.

1. Отримано ряд нових нерівностей типу Колмогорова-Надя для періодичних функцій, для функцій, що задані на півосі та скінченному відрізку, а також для функцій багатьох змінних.

2. Виявлено взаємозв'язки точних нерівностей типу Колмогорова, записаних у найбільш загальному вигляді (у вигляді нерівностей для опорних функцій опуклих множин), з рядом важливих екстремальних задач аналізу, таких як наближення одного класу функцій іншим, точні оцінки верхніх граней функціоналів на класах функцій, оцінки характеристик типу K-функціоналу. Також виявлено взаємозв'язок точних констант при нормі функції в адитивних нерівностях типу Колмогорова з точними константами у відповідних нерівностях типу Маркова-Нікольського для алгебраїчних поліномів.

Виявлені взаємозв'язки дозволили розв'язати ряд важливих екстремальних задач аналізу, зокрема отримати нові точні результати по наближенню класів функцій багатьох змінних квазіполіномами.

3. За допомогою отриманих нерівностей типу Колмогорова-Надя доведено ряд нових точних нерівностей типу Бернштейна-Нікольського для тригонометричних поліномів і поліноміальних сплайнів.

4. Отримано нові теореми порівняння похідних функцій, їх переставлень і -переставлень Корнєйчука.

5. Знайдені точні значення найкращих наближень алгебраїчними многочленами в інтегральній метриці класів дробових інтегралів (в смислі Рімана-Ліувілля) від сумовних на відрізку функцій, інтегральні норми яких не перевищують 1.

Список опублікованих праць за темою дисертації:

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

12.

13.

14.

15.

16.

17.

18.