НАЦІОНАЛЬНА АКАДЕМІЯ НАУК УКРАЇНИ

ІНСТИТУТ МАТЕМАТИКИ

КОВАЛЬ Валерій Олександрович

УДК 519.21

ГРАНИЧНІ ТЕОРЕМИ

ДЛЯ ОПЕРАТОРНО-НОРМОВАНИХ МАРТИНГАЛІВ

ТА РОЗВ’ЯЗКІВ СТОХАСТИЧНИХ РІВНЯНЬ

01.01.05 – теорія ймовірностей і математична статистика

АВТОРЕФЕРАТ

дисертації на здобуття наукового ступеня

доктора фізико-математичних наук

Київ - 2003

Дисертацією є рукопис.

Робота виконана в Національному технічному університеті України “КПІ”

МОН України.

Науковий консультант:

доктор фізико-математичних наук, професор

БУЛДИГІН Валерій Володимирович,

Національний технічний університет України “КПІ”,

завідувач кафедри математичного аналізу та теорії ймовірностей.

Офіційні опоненти:

доктор фізико-математичних наук, старший науковий співробітник

ДОРОГОВЦЕВ Андрій Анатолійович,

Інститут математики НАН України,

провідний науковий співробітник;

доктор фізико-математичних наук, старший науковий співробітник

ІВАНОВ Олександр Володимирович,

Міжнародний християнський університет – Київ,

завідувач кафедри загально-економічних дисциплін;

доктор фізико-математичних наук, професор

КНОПОВ Павло Соломонович,

Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України,

завідувач відділу “Математичні методи дослідження операцій”.

Провідна установа: Київський національний університет імені Тараса Шевченка, кафедра теорії ймовірностей та математичної статистики.

Захист відбудеться “ 16 ” грудня 2003 р. о 15 годині на засіданні спеціалізованої вченої ради Д 26.206.02 в Інституті математики НАН України за адресою:

01601, м. Київ–4, вул. Терещенківська, 3,

Інститут математики НАН України.

З дисертацією можна ознайомитись у бібліотеці Інституту математики НАН України за адресою: 01601, м. Київ–4, вул. Терещенківська, 3.

Автореферат розіслано “ 4 ” листопада 2003 р.

Вчений секретар

спеціалізованої вченої ради ______________________ Пелюх Г.П.

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Нижче використовується та ж сама нумерація формул та тверджень, що і в основному

тексті дисертації. Наприклад , “теорема 1.3.1” означає теорему 3.1 розділу 1. В поси-

ланнях на літературні джерела також використовується та ж сама нумерація , що і в

основному тексті дисертації. Наприклад , “[135]” означає роботу , включену під номе-

ром 135 в список використаних джерел у дисертації. Список праць автора, вміщений в

авторефераті , починається з того ж номеру, що і в списку використаних джерел у

дисертації.

Актуальність теми. Дослідження асимптотичної поведінки майже напевно послідовностей випадкових векторів та багатовимірних випадкових процесів, нормованих операторами (матрицями), є актуальним напрямком сучасної теорії ймовірностей. Це пов’язано як з внутрішніми тенденціями розвитку теорії ймовірностей, так і з важливими задачами теорії стохастичних рівнянь, математичної статистики та стохастичної апроксимації. Використання операторних нормувань при дослідженні асимптотичної поведінки послідовностей випадкових векторів є природним, а в ряді випадків і необхідним, розширенням класичної схеми з скалярними нормуваннями. Операторні нормування більш адекватно відображають асимптотичну поведінку послідовностей випадкових векторів. Серед таких послідовностей в першу чергу розглядаються послідовності сум незалежних випадкових векторів та векторнозначні мартингали.

При скалярних нормуваннях для послідовностей сум незалежних випадкових величин значну роль відіграють підсилені закони великих чисел і закони повторного логарифма, розвиток яких пов’язаний з іменами видатних математиків О.Я.Хінчина, А.М.Колмогорова, В.Феллера, Ф.Хартмана і А.Вінтнера, Ю.В.Прохорова, М.Лоева та інших. Цей напрямок отримав подальший розвиток в роботах В.В.Петрова [51], О.І.Мартікайнена [45], Й.С.Чоу і Г.Тейчера [92], Р.Вітмана [157], О.В Булінського [12], О.І.Клесова і А.Росалскі [118], О.В.Булінського і С.В.Ділмана [13], О.І.Клесова [34], Х.Фінкельштайн [106], П.Дехевелса і Г.Тейчера [95], М.Леду і М.Талаграна [131], Х.Чена [88]. Для мартингалів аналогічні результати були отримані в роботах Й.С.Чоу [90,91], В.Стаута [148,149], В.А.Єгорова [31], Г.Тейчера [151].

При використанні операторних нормувань розглядалися задачі про збіжність до нуля майже напевно (підсилений закон великих чисел з операторними нормуваннями) та обмеженість майже напевно (обмежений закон повторного логарифма та його аналоги) операторно-нормованих послідовностей сум незалежних випадкових векторів. Фундаментальні результати були отримані В.В.Булдигіним і С.О.Солнцевим [9, 10, 85] для послідовностей сум незалежних випадкових векторів , нормованих невипадковими операторами . Зокрема, для симетричних були знайдені необхідні і достатні умови (у формі Прохорова-Лоева), при яких має місце підсилений закон великих чисел з операторним нормуванням

(А) м.н. ,

та аналог обмеженого закону повторного логарифма

(Б) м.н.

В [61] С.О.Солнцев узагальнив ці результати на суми незалежних не обов’язково

симетричних випадкових векторів. Але для операторно-нормованих мартингалів відповідних результатів не було. Пряме перенесення методів робіт В.В.Булдигіна і С.О.Солнцева на мартингали наштовхується на значні труднощі.

В літературі розглядалися деякі окремі випадки операторно-нормованих мартингалів. Наприклад, при вивченні сильної слушності оцінок найменших квадратів невідомих параметрів в багатовимірній лінійній регресії виникає необхідність дослідження збіжності майже напевно до нуля сум незалежних випадкових векторів або багатовимірних мартингалів, нормованих матрицями спеціального виду. Така задача розглядалась в роботах Т.Андерсона і Д.Тейлора [73], Т.Лая, Г.Роббінса і Ц.Вея [128]. Подальший розвиток цей напрямок отримав в роботах А.В.Мельникова [47], Х.Кауфмана [114], А.Ле Бретона і М.Мушели [130], К.Джапарідзе і П.Спрея [100], в яких досліджувалась збіжність майже напевно до нуля матрично-нормованих багатовимірних мартингалів, як з дискретним, так і неперервним часом (детальний огляд цього напрямку можна знайти в роботах М.Дюфло], У.Кюхлера і М.Соренсона [121]). В цих роботах основні результати були отримані за допомогою індивідуальних підходів, які суттєво використовували різні обмеження на норму- вальну послідовність матриць. Це звужує можливі застосування отриманих результатів, особливо при дослідженні асимптотичної поведінки розв’язків багатовимірних лінійних стохастичних рівнянь.

Таким чином, виникає задача дослідження умов, за яких співвідношення (А) і (Б) виконуються для операторно-нормованих мартингалів, та знаходження таких достатніх умов, які були б близькими до оптимальних і давали б можливість з загальних позицій об’єднати відомі результати для сум незалежних випадкових векторів та мартингалів.

Крім того, в рамках існуючої теорії для операторно-нормованих сум незалежних випадкових векторів мало що можна сказати про їх точну асимптотичну поведінку. Тому для завершення теорії сильних граничних теорем для сум незалежних випадкових векторів з операторними нормуваннями потрібно мати аналоги закону повторного логарифма:

(В) м.н.,

де – деяка послідовність додатних чисел. Зауважимо, що закони повторного логарифма для випадкових векторів в іншій формі вивчались Д.Вайнером, С.Сепанським, Ю.С.Хохловим, Х.П. Шефлером.

Розвиток теорії сильних граничних теорем для операторно-нормованих послідовностей випадкових векторів тісно пов’язаний також з дослідженням асимптотичної поведінки майже напевно розв’язків багатовимірних стохастичних рекурентних рівнянь. Вивчення багатовимірних стохастичних рекурентних рівнянь у значній мірі стимулювало розвиток загальної теорії граничних теорем для операторно-нормованих випадкових векторів (див. О.М.Ядренко [71], В.В.Булдигін і С.О.Солнцев [9, 10]). Розглядалося, наприклад, лінійне стохастичне рекурентне рівняння першого порядку в

(СР)

де – послідовність невипадкових матриць розміру; – послідовність випадкових векторів в. Дослідження асимптотичної поведінки розв’язку рівняння (СР) можна звести до вивчення граничних теорем для послідовностей сум випадкових векторів, нормованих деякими матрицями.

Серед стохастичних рекурентних рівнянь за своєю прикладною направленістю важливу роль відіграють рівняння авто регресії . Асимптотична поведінка процесів авторегресії (розв’язків рівняння авторегресії) та їх узагальнень досліджувалась в роботах В.Ф.Гапошкіна [18], М.А.Денісєвського [26], А.А.Дороговцева [28], А.Я.Дороговцева [29], Д.Боска [81, 82], Г.Чена і Л.Гуо [89], М.Дюфло [99]. В роботах М.Арато [1], Г.Чена і Л.Гуо [89] та М.Дюфло [99] наведені також різні застосування процесів авторегресії, зокрема, до фільтрів Калмана та задач контролю стохастичних систем. Останнім часом значна увага приділяється багатовимірним процесам авторегресії, породженим мартингал-різницями (див., напр., Г.Чен і Л.Гуо [89], М.Дюфло [99]). В цьому випадку знаходження асимптотичної поведінки процесу авторегресії зводиться до дослідження співвідношень (А) і (Б) для мартингалів. Відкритою залишається задача про точну асимптотичну поведінку майже напевно процесів авторегресії навіть для незалежних, яка, зрозуміло, зводиться до дослідження співвідношення (В).

Аналогічно до лінійних стохастичних рекурентних рівнянь, дослідження асимптотичної поведінки розв’язків багатовимірних лінійних стохастичних диференціальних рівнянь можна звести до вивчення граничних теорем для операторно-нормованих багатовимірних випадкових процесів, зокрема, мартингалів з неперервним часом. Збіжність майже напевно до нуля матрично-нормованих багатовимірних мартингалів з неперервним часом досліджувалась в роботах А.В.Мельникова [47, 48], К.Джапарідзе і П.Спрея [100], В.Ліна [133] при певних обмеженнях на матрично-значну нормувальну функцію. Таким чином, тут виникає задача знаходження загальних достатніх умов збіжності майже напевно до нуля та обмеженості майже напевно операторно-нормованих багатовимірних мартингалів з неперервним часом.

Серед стохастичних рекурентних рівнянь важливу роль відіграють процедури стохастичної апроксимації, які започатковано в роботах Г.Роббінса і С.Монро [142] та Дж.Кіфера і Дж.Вольфовиця [117]. Теорія та застосування процедур стохастичної апроксимації та їх узагальнень викладені в монографіях М.Б.Невельсона і Р.З.Хасьмінського [49], Ю.М.Каніовського, П.С.Кнопова і З.В.Некрилової [33], О.П.Коростельова [37], С.П.Урясьєва [65], Г.Кушнера і Г.Іна [124]. При вивченні процедур стохастичної апроксимації важливе місце займають задачі про швидкість їх збіжності. Для одновимірних процедур стохастичної апроксимації точні оцінки швидкості збіжності (закон повторного логарифма та його аналоги) у спеціальних випадках були знайдені в роботах В.Ф.Гапошкіна і Т.П.Красуліної [20], О.П.Коростельова [37], К.Хейді [111], Г.Керстінга [115], Д.Рупперта [143]. В.Соло [146] розглядав процедури стохастичної апроксимації загального виду, але при надто жорстких обмеженнях. Для багатовимірних процедур відомі лише деякі оцінки швидкості збіжності (обмежений закон повторного логарифма та його аналоги) у спеціальних випадках (О.П.Коростельов [37], Е.Бергер [75], Г.Волк [153], М.Пеллетір [138]). Таким чином, актуальною є задача знаходження швидкості збіжності (з точними константами) одновимірних та багатовимірних процедур стохастичної апроксимації загального виду ( див. співвідношення (В) ).

Останнім часом значна увага приділяється вивченню асимптотичної поведінки

розв’язків стохастичних рекурентних рівнянь в нескінченновимірних просторах. Так, в сепарабельних банахових просторах процеси авторегресії та їх узагальнення досліджувались в роботах М.А.Денісєвського [26], А.Я.Дороговцева [29], Д.Боска [81, 82], А.Пехтла [137], а процедури стохастичної апроксимації – в роботах Г.Марка [134], Е.Бергера [75], Г.Волка [153, 154], Ю.Діппона і Ю.Ренца [98]. Як було зазначено вище, в скінченновимірних прос- торах для дослідження асимптотичної поведінки майже напевно розв’язків стохастичних рекурентних рівнянь можна скористатись загальною теорією сильних граничних теорем для операторно-нормованих послідовностей випадкових векторів. А в нескінченновимірних просторах ця задача значно ускладнюється, оскільки принципові результати цієї теорії не допускають узагальнення на нескінченновимірний випадок, В.В.Булдигін і С.О.Солнцев [10]. Тому для розвитку цього напряму необхідно розробити нові методи дослідження.

Зв’язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Дисертаційну роботу виконано в рамках наукової програми “Лінійні та нелінійні проблеми теорії випадкових процесів та математичної фізики” кафедри математичного аналізу та теорії ймовірностей Національного технічного університету України “КПІ”(номери держреєстрації 0197V012272, 0100U000831).

Мета роботи:

1) розробити методи дослідження асимптотичної поведінки майже напевно операторно-нормованих послідовностей випадкових векторів, які дозволяють з загальної точки зору вивчати асимптотичну поведінку операторно-нормованих мартингалів, та з’єднати ці результати з існуючою теорією для сум незалежних випадкових векторів;

2) встановити граничні теореми про асимптотичну поведінку майже напевно операторно-нормованих мартингалів як загального виду так і з додатковими обмеженнями;

3) застосувати загальні теореми до дослідження асимптотичної поведінки майже напевно розв’язків стохастичних рівнянь з дискретним та неперервним часом;

4) дослідити закон повторного логарифма для операторно-нормованих сум незалежних випадкових векторів;

5) встановити точну асимптотичну поведінку майже напевно процесів авторегресії;

6) знайти точні оцінки швидкості збіжності для одновимірних та багатовимірних процедур стохастичної апроксимації загального виду;

7) дослідити асимптотичну поведінку процесів авторегресії (та їх узагальнень) і процедур стохастичної апроксимації у нескінченновимірних просторах.

Наукова новизна одержаних результатів. В дисертації отримано такі основні результати:

1) знайдено загальні достатні умови типу Прохорова-Лоева збіжності до нуля та обмеженості майже напевно операторно-нормованих послідовностей випадкових векторів;

2) знайдено достатні умови збіжності до нуля та обмеженості майже напевно для операторно-нормованих багатовимірних мартингалів загального виду та для мартингалів з додатковими обмеженнями (мартингали з моментами вищих порядків, субгауссівські
мартингали тощо);

3) досліджено асимптотичну поведінку майже напевно розв’язків рівнянь авторегресії

(та їх узагальнень) в , збурених мартингал-різницями і послідовностями ортогональних випадкових векторів, при загальних припущеннях про спектр оператора (збіжність до нуля та

обмеженість майже напевно, підсилений закон великих чисел, обмежений закон повторного

логарифма і його аналоги);

4) досліджено асимптотичну поведінку майже напевно розв’язків рівнянь авторегресії з стискаючим оператором та їх узагальнень в сепарабельному банаховому просторі при загальних припущеннях про характер збурень;

5) доведено обмежений закон повторного логарифма та його аналоги для розв’язків лінійних стохастичних диференціальних рівнянь в ;

6) доведено новий варіант закону повторного логарифма в для сум незалежних випадкових векторів;

7) доведено закон повторного логарифма для сум незалежних випадкових векторів з довільними матричними нормуваннями;

8) знайдено точні константи в законах типу повторного логарифма для розв’язків багатовимірних рівнянь авторегресії з стискаючим оператором та їх узагальнень;

9) доведено закон повторного логарифма для процедур стохастичної апроксимації загального виду в ;

10) доведено обмежений закон повторного логарифма для процедур стохастичної апроксимації загального виду в сепарабельному банаховому просторі.

Практичне значення одержаних результатів. Робота має теоретичний характер. Результати роботи можуть бути використані в дослідженнях з теорії граничних теорем теорії ймовірностей, зокрема при дослідженні сум незалежних випадкових векторів та векторних мартингалів, в задачах багатовимірної стохастичної апроксимації та математичної статистики.

Особистий внесок здобувача. Всі результати дисертаційної роботи отримані автором самостійно. В роботах [170], [173], [174], [177], опублікованих у співавторстві з науковим консультантом професором В.В.Булдигіним, В.В.Булдигіну належать загальні постановки задач та визначення загального плану досліджень, а В.О.Ковалю належить розробка теорії та її технічна реалізація. В роботі [165], опублікованій у співавторстві з Р.Швабе (Німеччина), Р.Швабе належить наслідок. Всі інші результати роботи належать В.О.Ковалю. В роботі [166], опублікованій у співавторстві з Р.Швабе (Німеччина), Р.Швабе належать результати розділу 5. Всі інші результати роботи належать В.О.Ковалю. В роботі [167], опублікованій у співавторстві з Р.Швабе (Німеччина), Р.Швабе належать теореми 3, 4 і твердження 4, 5. Всі інші результати роботи належать В.О.Ковалю. Результати, що належать Р.Швабе, не входять до основних результатів дисертації, які виносяться на захист.

Апробація результатів дисертації. Результати дисертації доповідались на шостій Міжнародній Вільнюській конференції з теорії ймовірностей та математичної статистики (Вільнюс, 1993), на Фрайбергських стохастичних днях (Німеччина, 1996), на V, VII, VIII Міжнародних наукових конференціях ім. акад. М.Кравчука (Київ, 1996, 1998, 2000), на Донецькому колоквіумі “Ймовірність і статистика” (Донецьк, 1998), на третій Українсько-Скандинавській конференції з теорії ймовірностей та математичної статистики (Київ, 1999), на третьому Європейському математичному конгресі (Барселона, 2000), на Українському математичному конгресі (Київ, 2001), на Міжнародній конференції з нагоди 90-річчя Б.В.Гнеденка (Київ, 2002), на семінарах з теорії ймовірностей Берлінського Вільного університету (Німеччина, 1995–1996), університету Тюбінгена (Німеччина, 2000), Національного технічного університету України “КПІ” (1997–2003), Інституту математики НАН України (1999, 2002, 2003), Інституту кібернетики НАН України (2003).

Публікації. Основні результати дисертації опубліковано в 24 наукових статтях,

список яких наведено в кінці автореферату.

Структура та об’єм дисертації. Робота складається з вступу, основної частини, яка містить чотири розділи, висновків, списку використаних джерел, додатку та списку основних позначень. Загальний обсяг роботи становить 346 сторінок, основний текст дисертації викладено на 262 сторінках, список використаних джерел складається з 193 найменувань. Додаток містить допоміжні твердження та поняття, які використовуються в основному тексті дисертації.

ОСНОВНИЙ ЗМІСТ РОБОТИ

У вступі розкрито стан наукової проблеми, обґрунтовано актуальність та сформу- льовано мету дисертаційної роботи, наведено огляд літературних джерел за темою і подано основні результати дисертації.

Основний текст дисертації можна розбити умовно на дві частини.

В першій частині (розділи 1 та 2) досліджується збіжність майже напевно до нуля та обмеженість майже напевно операторно-нормованих багатовимірних мартингалів та розв’язків багатовимірних лінійних стохастичних рівнянь.

Друга частина ( розділи 3 та 4 ) присвячена дослідженню закону повторного логарифма для операторно-нормованих послідовностей сум незалежних випадкових векторів та розв’язків багатовимірних стохастичних рекурентних рівнянь, зокрема для багатовимірних процедур стохастичної апроксимації .

Розділ 1. Досліджується збіжність майже напевно до нуля та обмеженість майже напевно операторно-нормованих послідовностей випадкових векторів. Головний об’єкт –мартингали з дискретним часом. В заключних підрозділах (1.11–1.13) деякі результати узагальнюються на мартингали з неперервним часом.

В підрозділі 1.1 встановлюються достатні умови типу Прохорова-Лоева збіжності майже напевно до нуля та обмеженості майже напевно довільних послідовностей випадкових векторів, нормованих операторами. Результати даного підрозділу ґрунтуються на методах, які розвинені В.В.Булдигіним і С.О.Солнцевим [9, 10] та удосконалені здобувачем.

В роботі ([10], розділ 3) досліджувався підсилений закон великих чисел у формі Прохорова-Лоева ([54], [43]) для послідовностей сум незалежних симетричних випадкових векторів, нормованих операторами. Під цим законом розуміють твердження, які встановлюють еквівалентність збіжності майже напевно до нуля послідовності,

(a)

із збіжністю майже напевно до нуля послідовностей незалежних випадкових векторів, що еквівалентно умові: для будь-якого

(б)

де послідовності пробігають деяку підмножину множини , яка містить всі монотонно (не обов’язково строго) зростаючі до нескінченності послідовності натуральних чисел. Основна задача полягає в описі множини та у виділенні додаткових умов, при яких співвідношення (а) і (б) еквівалентні. Множина була визначена в роботі [9]. Вона залежить тільки від нормувальної послідовності і є скінченною. Надалі цю множину будемо позначати через і називати тестовим класом для послідовності . В підрозділі 1.1 показано, що тестовий клас можна ефективно використовувати при дослідженні підсилених законів великих чисел для довільних операторно-нормованих послідовностей випадкових векторів.

В цьому підрозділі позначаємо через , довільну послідовність випадкових векторів в , заданих на ймовірнісному просторі, а через  – послідовність невипадкових лінійних операторів, які діють з в . Основним результатом підрозділу є наступна теорема.

Теорема 1.1.2. Нехай – тестовий клас для послідовності . Якщо для будь-якого виконується умова і для будь-якої послідовності при всіх

, | (1)

то

м.н. . (2)

Зауваження 1. Оскільки конструктивна реалізація класу може бути складною, то часто доцільно умову (1) перевіряти для будь-якої послідовності .

Зауваження 2. Якщо – послідовність сум незалежних симетричних випадкових векторів, то в силу теореми Булдигіна і Солнцева ([10], теорема 3.2.3) та нерівності Леві умови теореми 1.1.2 є необхідними для співвідношення (2).

Теорема 1.1.2 широко використовується в роботі при дослідженні асимптотичної поведінки багатовимірних мартингалів. Але зауважимо, що вона є новою також і для класичної схеми, в якій використовуються скалярні нормування, тобто, де  – тотожний оператор,  – послідовність додатних чисел така, що. В наступних підрозділах показано, що з теореми 1.1.2 випливає ряд класичних і нових результатів про підсилений закон великих чисел в одновимірному випадку. Відзначимо також, що в цьому випадку складається з однієї послідовності, яка визначається за правилом , де  – довільне фіксоване більше за одиницю число.

Розглянемо загальні умови обмеженості майже напевно.

Теорема 1.1.7. Нехай . Якщо для будь-якої послідовності знайдеться (яке може залежати від ) таке, що виконується умова (1), то

м.н.

З наведених теорем бачимо, що задача про збіжність майже напевно до нуля або обмеженість майже напевно операторно-нормованих послідовностей випадкових векторів зводиться до оцінювання ймовірності, яка входить в співвідношення). Вигляд оцінки буде залежати від ймовірнісних характеристик послідовності. В якості розглядаються головним чином мартингали і, як ілюстрація можливостей запропонованого загального підходу, послідовні суми ортогональних випадкових векторів.

В підрозділі 1.2 встановлюються умови збіжності майже напевно до нуля операторно-нормованих сум ортогональних випадкових векторів (див. означення в підрозділі 1.2).

Теорема 1.2.2. Нехай  – ортогональна послідовність в і для будь-якого виконується умова . Якщо |

(3)

то

м.н.

Теорема 1.2.2 є наслідком теореми 1.1.2 та нерівності Радемахера-Меньшова (див., напр., М.Лоев [43], стор. 479), узагальненої на випадкові вектори. Якщо і, то з умови (3) випливає класична умова виконання підсиленого закону великих чисел для послідовностей ортогональних випадкових величин – (див., напр., М.Лоев [43], стор. ).

В підрозділі 1.3 досліджуються умови збіжності майже напевно до нуля та обмеженості майже напевно операторно-нормованих мартингалів. Нехай  – мартингал, заданий на ймовірнісному просторі з фільтрацією . Позначимо через відповідну мартингал-різницю. Для скорочення записів використовуємо позначення: . Індикатор випадкової події позначаємо через.

Теорема 1.3.1. Нехай – тестовий клас для послідовності . Якщо для будь-якого

| (4)

і для будь-якої послідовності при всіх виконується умова

або, еквівалентна їй, умова

, (5)

то

м.н. . | (6)

Теорема 1.3.1 є наслідком теореми 1.1.2 та нерівності Б.Брауна [84], узагальненої на векторні мартингали.

Зауважимо, що і в одновимірному випадку умова (5) є новою достатньою умовою виконання підсиленого закону великих чисел для мартингалів.

Проаналізуємо умову (5).

Твердження 1.3.1. Умова (5) еквівалентна таким двом умовам:

(i) для будь-якої послідовності при всіх;

(ii) для будь-якої послідовності знайдеться (яке може залежати від ) таке, що.

Розглянемо питання про точність умов теореми 1.3.1. Якщо – послідовність незалежних симетричних випадкових векторів, то умови (4) та (i) є необхідними і достатніми для виконання співвідношення

| (7)

( В.В.Булдигін і С.О.Солнцев [10], §3.2). Якщо – послідовність незалежних центрованих випадкових векторів, то з роботи С.О.Солнцева [61] випливає, що для виконання співвідношення (7) достатніми є умови (4), (i) та умова . |

(8)

Відзначимо, що така форма підсиленого закону великих чисел в одновимірному випадку бере початок з роботи К.Л.Чжуна [93] (див. також В.Стаут [149], стор. 160). Нами побудовано приклад (див. приклад 1.3.1), який показує, що в загальному випадку для мартингалів умова (ii) не може бути послаблена до умови (8), щоб гарантувати (6).

Зауваження 3. В підрозділі 1.6 виділяється клас мартингалів, для яких умова (i) (разом з (4)) буде достатньою для виконання (6). Тут лише відзначимо, що коли знайдеться стала така, що м.н. при всіх, то умова (i) буде достатньою.

Розглянемо умови обмеженості майже напевно операторно-нормованих мартингалів.

Теорема 1.3.3. Нехай виконується умова . Якщо для будь-якої послідовності знайдеться (яке може залежати від) таке, що

то

м.н. (9)

Порівнюючи теорему 1.3.3 з твердженням 1.3.1, бачимо,що умова (ii) (виконана для) гарантує лише співвідношення (9), тобто обмеженість майже напевно.

В підрозділі 1.4 розглядається ряд наслідків теореми 1.3.1 для мартингалів, у яких існує абсолютний момент порядку. Підсилені закони великих чисел з скалярними нормуваннями для мартингалів при різних моментних припущеннях досліджувались в роботах В.Феллера [66], Й.Чоу], В.Стаута], П.Холла і К.Хейді], В.А.Єгорова], Г.Тейчера]. Наслідком теореми 1.3.1 є таке твердження.

Теорема 1.4.1. Нехай – тестовий клас для послідовності і виконується умова (4). Якщо при деякому для будь-якої послідовності

то має місце (6).

З теореми 1.4.1 випливає наступна теорема.

Теорема 1.4.3. Якщо виконується умова (4) і при деякому

то має місце (6).

Наслідками теореми 1.4.3 є відомі результати:

1) В.В.Булдигіна і С.О.Солнцева ([10], теорема 3.3.1), якщо – послідовність незалежних симетричних випадкових векторів з скінченним другим моментом;

2) Х.Кауфмана ([114], теорема 2), якщо послідовність є монотонною, тобто задовольняє умову: для будь-яких та (наслідок 1.4.1).

Розглянемо тепер мартингали, у яких існує абсолютний момент порядку .

Теорема 1.4.5. Якщо виконується умова (4) і при деякому

то має місце (6).

Теорема 1.4.5 є наслідком теореми 1.4.1 та нерівності С.Дхармадхікарі, В.Фабіана і К.Йогдео], узагальненої на випадкові вектори. В одновимірному випадку з нор- мувальною послідовністю з теореми 1.4.5 випливає відома теорема Й.Чоу].

В підрозділі 1.5 досліджується збіжність майже напевно до нуля та обмеженість майже напевно операторно-нормованих субгауссівських мартингалів. В одновимірному випадку субгауссівські мартингали вивчались К.Азумою [74] та В.Стаутом]. Нехай – субгауссівська мартингал-різниця в (див. означення 1.5.3). Якщо  – умовно субгауссівський випадковий вектор, то через позначаємо його стандарт (див. означення 1.5.2). Покладемо . Тоді – субгауссівський мартингал в .

Теорема 1.5.1. Нехай – тестовий клас для послідовності. Якщо виконується умова (4) і для будь-якої послідовності при всіх

то має місце (6).

Теорема 1.5.1 є наслідком теореми 1.3.1 та відповідної оцінки ймовірності в (5).

При розгляді субгауссівських мартингалів становить інтерес вивчення асимптотичної поведінки зважених сум мартингал-різниць у припущенні, що. В одновимірному випадку така задача розглядалась в роботі В.Стаута]. З теореми 1.5.1 випливає наступне твердження.

Теорема 1.5.2. Нехай – тестовий клас для послідовності і – субгауссівська мартингал-різниця в така, що. Нехай  – послідовність лінійних операторів, які діють з в. Якщо виконується умова (4) і для будь-якої послідовності при всіх |

(10)

то.

Розглянемо умови обмеженості майже напевно операторно-нормованих субгауссівських мартингалів. Наведемо лише аналог теореми 1.5.2.

Теорема 1.5.3. Нехай і – субгауссівська мартингал-різниця в така, що. Нехай – послідовність лінійних операторів, які діють з в . Якщо для будь-якої послідовності знайдеться таке, що виконується умова (10), то м.н.

В підрозділі 1.6 виділяється клас мартингалів, для яких умову (5) можна послабити до умови (і) з твердження 1.3.1. Розглядається також питання про необхідні умови виконання підсиленого закону великих чисел з операторними нормуваннями для мартингалів.

В підрозділі 1.7 встановлюються достатні умови експоненціального типу збіжності майже напевно до нуля та обмеженості майже напевно операторно-нормованих сум незалежних випадкових векторів. В одновимірному випадку аналогічні результати були встановлені в роботі Д.Х.Фука і С.В.Нагаєва [67], а у випадку сум незалежних симетричних випадкових векторів – в роботі В.В.Булдигіна і С.О.Солнцева], §4.1).

Теорема .7.1. Нехай – тестовий клас для послідовності і – послідовність незалежних центрованих випадкових векторів в. Припустимо, що для будь-якого виконується умова і для будь-якої послідовності знайдеться (яке може залежати від) таке, що

Якщо для будь-якої послідовності при всіх виконується умова , то м.н.

Доведення теореми 1.7.1 ґрунтується на теоремі 1.3.1 та на нерівності А.Бікяліса].

Аналогічно формулюються умови обмеженості майже напевно (теорема 1.7.2).

В підрозділі 1.8 показано, що результат Х.Кауфмана ([114], теорема 2) допускає узагальнення на нескінченновимірні сепарабельні гільбертові простори, а теорема 1.4.3 – ні.

В підрозділі 1.9 дано застосування теореми 1.3.1 до дослідження асимптотичної поведінки майже напевно добутків випадкових матриць.

В підрозділі 1.10 розглядається сильна слушність оцінок найменших квадратів невідомого параметра в багатовимірній лінійній регресії. Показано, що з теореми 1.4.1 випливає результат Т.Лая], теорема 3), який встановлює сильну слушність оцінок при мінімальних припущеннях.

В підрозділах 1.11–1.13 досліджується збіжність майже напевно до нуля та обмеженість майже напевно операторно-нормованих мартингалів з неперервним часом.

В підрозділі 11.1 наведено умови збіжності майже напевно до нуля та обмеженості майже напевно довільних операторно-нормованих випадкових процесів. Позначимо через простір лінійних операторів, які діють з в. Нехай – функція без розривів другого роду з значеннями в, а – множина всіх монотонно зростаючих до нескінченності послідовностей додатних чисел. Нехай  – довільний сепарабельний випадковий процес з значеннями в .

Теорема 1.11.1. Якщо і для будь-якої послідовності при всіх виконується умова |

(11)

то

м.н.

Теорема 1.11.1 випливає з теореми 1.1.2 та з модифікації леми В.В.Булдигіна і С.О.Солнцева], лема 4.4.2).

Теорема 1.11.2. Якщо і для будь-якої послідовності знайдеться таке, що виконується умова (11), то м.н.

Теорема 1.11.2 випливає з теореми 1.1.7.

В підрозділі 1.12 досліджується збіжність майже напевно до нуля операторно-нормованих мартингалів. Дана задача вивчалась в роботах А.В.Мельникова, 48], К.Джапарідзе і П.Спрея], В.Ліна], А.Ле Бретона і М.Мушели]. Надалі простори та будемо вважати просторами вектор-стовпців, а оператор – ототожнювати з деякою матрицею розміру, яку позначатимемо також через. Нехай  – сепарабельний мартингал з значеннями в .

Теорема 1.12.1. Нехай . Якщо при деякому для будь-якої послідовності виконується умова, то

м.н. (12)

Теорема 1.12.1 випливає з теореми 1.11.1 та з відомої оцінки ймовірності в (11) для

мартингалів (див., напр., Ж.Неве], стор.190).

З теореми 1.12.1 при отримуємо наступний результат. Покладаємо , і через позначаємо слід матриці .

Теорема 1.12.2. Нехай . Якщо для будь-якої послідовності виконується умова ,

то має місце (12).

Наслідок 1.12.1. Припустимо, що при деякому матриця невироджена. Якщо , то м.н.

Цей результат був отриманий в роботі К.Джапарідзе і П.Спрея] при додатковому припущенні, що , де  – квадратична характеристика мартингала.

Будемо надалі припускати, що функція не має розривів другого роду.

З теореми 1.12.2 випливає наступний результат.

Теорема 1.12.3. Якщо і виконується умова

то має місце (12).

Для монотонних матричнозначних функцій з теореми 1.12.3 випливає аналог теореми Х.Кауфмана ([114], теорема 2).

Наслідок 1.12.2. Нехай і функція задовольняє умову: при будь-яких і . Якщо ,

то має місце (12).

В підрозділі 1.13 досліджується збіжність майже напевно до нуля та обмеженість майже напевно субгауссівських мартингалів. Нехай  – субгауссівський мартингал в з характеристикою (див. означення 1.13.1).

Теорема 1.13.1. Якщо і для будь-якої послідовності при всіх виконується умова

| (13)

то

м.н.

Розглянемо умови обмеженості майже напевно.

Теорема 1.13.2. Якщо і для будь-якої послідовності знайдеться таке, що виконується умова (13), то м.н.

В даному підрозділі досліджуються також операторно-нормовані стохастичні інтеграли по гауссівських мартингалах. Розглянемо стохастичний інтеграл

де – гауссівський мартингал в ; – борелівська функція, значеннями якої є матриці розміру, така, що для кожного виконується умова, де .

Теорема 1.13.3. Нехай. Для того щоб

м.н.

необхідно і достатньо, щоб для будь-якої послідовності при всіх виконувалась умова

| (14)

Теорема 1.13.3 випливає з теореми 1.13.1 та в необхідній частині з відповідного результату В.В.Булдигіна і С.О.Солнцева ([10], наслідок 3.4.3).

Для обмеженості майже напевно має місце наступне твердження.

Теорема 1.13.4. Нехай . Для того щоб

м.н.

необхідно і достатньо, щоб для будь-якої послідовності знайшлося таке, щоб виконувалась умова (14).

Основні результати розділу 1 опубліковані в роботах [169]–[177], [180].

Розділ 2. В підрозділах 2.1–2.8 досліджується асимптотична поведінка майже напевно розв’язків багатовимірних рівнянь авторегресії та їх узагальнень. Близькі задачі вивчались в роботах В.Ф.Гапошкіна [18], Д.Боска [81, 82], Х.Ф.Чена і Л. Гуо [89], М.Дюфло [99]. В підрозділі 2.9 досліджується асимптотична поведінка майже напевно розв’язків лінійних стохастичних диференціальних рівнянь в . Результати підрозділів 2.1–2.5, 2.9 сформульовано в термінах спектральних характеристик матриці.

В підрозділі 2.1 досліджується збіжність майже напевно до нуля процесів авторегресії, породжених мартингал-різницями. Розглянемо в рівняння авторегресії

, , | (15)

де  – квадратна матриця порядку ;  – мартингал-різниця;  – випадковий вектор. Введемо позначення:  – спектральний радіус матриці, тобто максимальний з модулів її власних значень;  – максимальна кратність коренів мінімального многочлена матриці , модуль яких дорівнює . Нехай  – довільна фіксована послідовність додатних чисел.

Теорема 2.1.1. Нехай . Якщо при деякому виконується умова

,

то

м.н. . | (16)

Доведення теореми 2.1.1 ґрунтується на теоремі 1.4.3. Відзначимо, що обмеженість майже напевно розв’язків рівняння (15) досліджувалась в роботі М.Дюфло], теорема 2.3.22) при додаткових припущеннях, що м.н., , де – невипадкова матриця, і м.н. при деякому .

Особливий інтерес становлять так звані “нестійкі” моделі авторегресії.

Наслідок 2.1.2. Нехай і . Якщо при деякому виконується умова ,

то має місце (16).

Розглянемо рівняння авторегресії -го порядку в

де – довільні випадкові величини;  – мартингал-різниця. Запишемо для рівняння авторегресії характеристичне рівняння

Позначимо через максимальне значення модулів його коренів, а через  – максимальну кратність коренів, які рівні по модулю .

Теорема 2.1.3. Нехай . Якщо при деякому виконується умова

то

м.н.

Теорема 2.1.3 випливає з теореми 2.1.1.

В підрозділі 2.2 досліджується підсилений закон великих чисел для розв’язків рівняння (15). Введемо додаткові параметри. Якщо одиниця є коренем мінімального многочлена матриці , то позначимо її кратність через ; в противному випадку покладемо. Позначимо:

Теорема 2.2.1. Нехай . Якщо при деякому виконується умова

то м.н.

В підрозділі 2.3. досліджується асимптотична поведінка майже напевно процесів авто- регресії, породжених субгауссівськими мартингал-різницями. Розглянемо в рівняння авторегресії

| (17)

Де  – квадратні матриці порядку; – випадковий вектор; – субгауссівська мартингал-різниця (див. означення 1.5.3), яка задовольняє умову (див. означення 1.5.2).

Введемо позначення: , де ;

Теорема 2.3.1. Якщо

| (18)

то

м.н. | (19)

Доведення теореми 2.3.1 ґрунтується на теоремі 1.5.2. Якщо – стандартна гауссівська послідовність в і послідовність задовольняє деякі додаткові обмеження, то умова (18) буде також необхідною для співвідношення (19).

В наступній теоремі встановлюється аналог обмеженого закону повторного логарифма для розв’язків рівняння (17).

Теорема 2.3.3. Має місце співвідношення

м.н.

Відзначимо, що завжди при .

Розглянемо аналог обмеженого закону повторного логарифма для послідовностей

часткових сум .

Введемо позначення: , де, (параметри і введені вище).

Теорема 2.3.5. Має місце співвідношення

м.н.

В підрозділі 2.4 досліджується збіжність майже напевно до нуля та підсилений закон великих чисел для процесів авторегресії, породжених ортогональними послідовностями. Розглянемо рівняння авторегресії в

| (20)

де – ортогональна послідовність в (див. означення в підрозділі 1.2). Розглянемо збіжність майже напевно до нуля розв’язків даного рівняння.

Теорема 2.4.1. Нехай . Якщо виконується умова

то

м.н.

Доведення теореми 2.4.1 ґрунтується на теоремі 1.2.2.

В даному підрозділі доводиться також підсилений закон великих чисел для розв’язків рівняння (20) (теорема 2.4.2) та для розв’язків рівняння авторегресії -го порядку в (теорема 2.4.3). Простим наслідком теореми 2.4.3 є результат В.Ф.Гапошкіна ([18], теорема а).

В підрозділі 2.5 встановлюється аналог обмеженого закону повторного логарифма для процесу авторегресії в

| (21)

де  – послідовність незалежних центрованих випадкових векторів в таких, що . Введемо позначення: , де .

Теорема 2.5.1. Нехай і при деякому виконується умова. Тоді

м.н.,

де  – невипадкова стала з інтервалу .

Доведення теореми 2.5.1 ґрунтується на теоремі 1.7.1. Теорема 2.5.1 доповнює відповідний результат М.Дюфло ([99], теорема 2.3.22), в якому було встановлено обмежений закон повторного логарифма та його аналоги для розв’язків рівняння (21) у припущенні, що – послідовність незалежних центрованих однаково розподілених випадкових векторів з скінченним другим моментом.

В підрозділах 2.6 та 2.8 досліджуються “стійкі” моделі авторегресії та їх узагальнення в сепарабельних банахових просторах. Простим наслідком теореми 2.8.1 є результат Д.Боска ([82], теорема 6.2). Відзначимо також, що в цих підрозділах використовуються інші підходи до дослідження, ніж в попередніх підрозділах, оскільки результати підрозділів 1.4, 1.5 та 1.7, на які спираються підрозділи 2.1–2.5, в загальному випадку не переносяться на нескінченновимірні простори (див. підрозділ 1.8).

В підрозділі 2.7 досліджується асимптотична поведінка майже напевно розв’язків деяких узагальнень рівняння авторегресії.

В підрозділі 2.9 досліджується асимптотична поведінка майже напевно розв’язків лінійних стохастичних диференціальних рівнянь в. У випадку для розв’язків нелінійних стохастичних диференціальних рівнянь така задача вивчалась в роботах І.І.Гіхмана і А.В.Скорохода ([23], §§16, ), Г.Л.Кулініча [38], А.В.Мельникова [48]. В даному підрозділі будемо позначати через простір дійсних матриць розміру з евклідовою нормою матриці. Розглянемо в стохастичне диференціальне рівняння (див., напр., І.І.Гіхман і А.В.Скороход [25], розділ 4)

, , | (22)

де  – стандартний вінерівський процес в; – матриця розміру; – випадковий вектор; – борелівська функція з значеннями в така, що для будь-якого виконується умова. Нехай – власні значення матриці. Покладемо, де – дійсна частина комплексного числа. Позначимо через максимальну кратність коренів мінімального многочлена матриці, для яких .

Нехай – довільна фіксована функція без розривів другого роду, яка приймає додатні значення.

Розглянемо достатні умови, при яких

м.н. | (23)

Теорема 2.9.5. 1) Нехай . Припустимо, що і знайдуться сталі та такі, що при всіх

| (24)

Якщо для будь-якого

| (25)

то має місце (23).

2) Нехай . Припустимо, що , де . Якщо для будь-якого

| (26)

то має місце (23).

3) Нехай . Припустимо, що

| (27)

Якщо

| (28)

то має місце (23).

Доведення теореми 2.9.5 ґрунтується на теоремі 1.13.3.

В підрозділі також показано (теорема 2.9.6), що при деяких додаткових припущеннях умови (25), (26) та (28) відповідно при, та будуть також необхідними для співвідношення (23).

Розглянемо обмежений закон повторного логарифма та його аналоги для розв’язків рівняння (22).

Теорема 2.9.8. 1) Нехай . Припустимо, що виконується умова (24). Тоді

м.н.

2) Нехай . Припустимо, що . Тоді

м.н.

3) Нехай . Припустимо, що виконується умова (27). Тоді

м.н.

Наслідок 2.9.1. Нехай в рівняння (22) . Тоді:

1) якщо , то м.н.;

2) якщо , то м.н.;

3) якщо , то м.н.

Основні результати розділу 2 опубліковані в роботах [160], [170], [173], [174], [176], [177].

Розділ 3. Досліджується точна асимптотична поведінка операторно-нормованих сум незалежних випадкових векторів та розв’язків стохастичних рекурентних рівнянь.

В підрозділі 3.1 доведено новий варіант закону повторного логарифма в . Нехай  – послідовність незалежних випадкових векторів в з нульовими середніми. Покладемо

, , .

Позначимо через спектральну норму матриці , тобто, де  – максимальне власне значення симетричної матриці.

Закон повторного логарифма детально досліджувався в наступній формі (див., напр., М.Леду і М.Талагран [131], Х.Чен [88], П.Дехевелс і Г.Тейчер]):

м.н., | (29)

де для достатньо великих . В роботі вивчається закон повторного логарифма в такій формі:

м.н., (30)

де  – квадратний корінь з оберненої матриці до матриці . Тут і надалі припускається, що матриця невироджена і, значить, при всіх визначені матриці .

Відзначимо, що у випадку закони повторного логарифма (29) та (30) співпадають.

Позначимо через стандартний гауссівський вектор в , тобто , де  – одинична матриця.

Теорема 3.1.1. Припустимо, що

| (31)

і виконується наступна умова: знайдеться таке, що для будь-якого і всіх достатньо великих

, | (32)

де  – деяка додатна стала (яка може залежати від ). Тоді

м.н.

У