КИЇВСЬКИЙ НАЦІОНАЛЬНИЙ УНІВЕРСИТЕТ

БУДІВНИЦТВА І АРХІТЕКТУРИ

КАРПІНСЬКИЙ ЮРІЙ ОЛЕКСАНДРОВИЧ

УДК 528.14/16

СКІНЧЕННОЕЛЕМЕНТНІ МОДЕЛІ

ГЕОДЕЗИЧНИХ ВИМІРІВ

Спеціальність 05.24.01 – Геодезія

АВТОРЕФЕРАТ

дисертації на здобуття наукового ступеня

доктора технічних наук

Київ 2003

Дисертацією є рукопис.

Робота виконана в Київському національному університеті будівництва і архітектури Міністерства освіти і науки України.

Науковий консультант:

доктор технічних наук, професор Войтенко Степан Петрович, Київський національний університет будівництва і архітектури, завідувач кафедри інженерної геодезії.

Офіційні опоненти:

доктор технічних наук, професор Могильний Сергій Георгійович, Донецький національний технічний університет, завідувач кафедри геоінформатики і геодезії;

доктор фізико-математичних наук, професор Зазуляк Петро Михайлович, Національний університет “Львівська політехніка”, завідувач кафедри математичної обробки геодезичних вимірів;

доктор технічних наук, професор Шимановський Олександр Віталійович, ВАТ “Український науково-дослідний проектний інститут сталевих конструкцій імені В.М. Шимановського”, голова правління.

Провідна установа:

Івано-Франківський національний технічний університет нафти і газу, кафедра інженерної геодезії, Міністерство освіти і науки України, м. Івано-Франківськ.

Захист відбудеться “3” липня 2003 р. о 10 годині на засіданні спеціалізованої вченої ради Д 26.056.09 по захисту дисертації на здобуття наукового ступеня доктора технічних наук при Київському національному університеті будівництва і архітектури за адресою: 03037, Київ, Повітрофлотський проспект, 31, ауд. 466.

З дисертацією можна ознайомитись у науково-технічній бібліотеці Київського національного університету будівництва і архітектури за адресою 03037, Київ, Повітрофлотський проспект, 31.

Автореферат розісланий 03.06. 2003 р.

Вчений секретар спеціалізованої вченої ради

кандидат технічних наук, доцент О.П. Ісаєв

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальність теми. Основні тенденції розвитку топографо-геодезичної та картографічної діяльності в Україні обумовлюються розвитком інформаційних технологій, глобальних систем визначення місцезнаходження об'єктів, аерокосмічних систем високої роздільної здатності для отримання інформації про Землю, цифрових методів обробки зображень та геопросторової інформації тощо. На стан справ у цій сфері здійснюють вирішальний вплив такі основні технологічні чинники, як розвиток глобальної та національної інфраструктури геопросторових даних, широке використання геоінформаційних систем і телекомунікаційних технологій як основного засобу забезпечення доступу суспільства до геопросторових даних та інформації; розширення сфери використання цифрових технологій, впровадження мультиспектральних систем дистанційного зондування Землі високої роздільної здатності, створення високопродуктивних засобів отримання просторової інформації про Землю в режимі реального часу на основі систем оптико-електронного сканування місцевості та цифрового аерофотознімання.

Використання цифрових методів геодезичних вимірів, які ґрунтуються на застосуванні глобальних супутникових радіонавігаційних систем GPS та електронних теодолітів і тахеометрів, виникнення нових схем та методів побудови геодезичних мереж, застосування топографічного знімання у вигляді методів блочної тахеометрії або вільного станціонування, що наблизилось до побудови геодезичних мереж, проведення аерофотознімань з визначенням координат центрів знімків з використанням GPS, уніфікація обмінних форматів результатів вимірювань та поширення комп’ютерної техніки в польових та камеральних умовах сприяють сумісному математичному опрацюванню результатів різнорідних вимірювань.

Таке широке використання геоінформаційного картографування для збору топографо-геодезичної, картографічної та фотограмметричної інформації, застосування геоінформаційних методів для просторового аналізу та моделювання просторових об’єктів та явищ вимагає адекватного розвитку відповідних комп’ютерних строгих математичних методів та моделей обробки результатів вимірювань.

Незважаючи на певні досягнення у сфері математичної обробки результатів геодезичних вимірювань, досі актуальною лишається проблема розробки таких математичних методів та моделей обробки геодезичних вимірів, растрових та векторних геопросторових об’єктів геоінформаційних систем, які б задовольняли такі вимоги:

1. підвищення точності результатів обробки;

2. уніфікація рішень широкого спектра задач математичної обробки результатів геодезичних вимірювань;

3. ефективне забезпечення програмної реалізації на сучасних комп’ютерних засобах.

Сучасний стан опрацювання результатів геодезичних вимірювань характеризується переходом до використання строгих математичних методів та моделей, застосуванням автоматизованих систем на всіх стадіях збирання, обробки та розповсюдження геопросторових даних в польових та камеральних умовах. Спектр задач математичної обробки результатів геодезичних вимірювань включає обробку вимірів однієї величини, вирівнювання геодезичних мереж, опрацювання даних топографічних знімань, побудову цифрових моделей місцевості, включаючи цифрові моделі рельєфу, інтерполяцію та апроксимацію одержаних значень функцій, числового інтегрування та інтерпретацію результатів вимірювань та їх функцій. Для рішення цих задач застосовуються різні числові методи: ймовірнісно-статистичний аналіз результатів вимірювань та їх похибок, метод найменших квадратів, прямі та ітераційні методи лінійної алгебри, методи лінійної, гармонічної, середньоквадратичної, чебишевської, сплайнової та інших методів інтерполяції та апроксимації та ін.

Враховуючи різноманітність задач математичної обробки результатів геодезичних вимірювань, нагальною є проблема розробки уніфікованих високоточних математичних методів та моделей, здатних на підставі єдиного методологічного підходу об’єднати рішення широкого спектра задач в єдине обчислювальне середовище. Особливої актуальності та важливості ця проблема набуває у зв’язку зі створенням в Україні нової національної геодезичної системи відліку, пов'язаної з європейськими та світовими системами координат, забезпеченням функціонування та розвитком державної геодезичної мережі та мережі постійно діючих станцій для супутникових радіонавігаційних спостережень.

Одним із засобів вирішення науково-прикладних проблем є порівняння, залучення та використання значних науково-технічних досягнень з інших областей знань. Для вирішення проблеми удосконалення математичної обробки результатів геодезичних вимірювань доцільно досліджувати не тільки сучасні числові методи прикладної математики, а й інші пов’язані з використанням цих методів області інженерних знань. Вирішення проблеми створення уніфікованих високоточних математичних методів та моделей обробки результатів геодезичних вимірювань на основі використання сучасного числового методу скінченних елементів є головним напрямом досліджень цієї дисертаційної роботи.

Зв’язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Обраний напрям досліджень пов’язаний із реалізацією завдань Програми топографо-геодезичного та картографічного забезпечення України на 1998-2002 роки, затвердженої Постановою Кабінету Міністрів України від 16 лютого 1998 р. №181, планів науково-дослідних та дослідно-конструкторських робіт Укргеодезкартографії у 1994-2000 рр. Базовими для цієї дисертації є науково-дослідні роботи, виконані в Науково-дослідному інституті геодезії і картографії. Автор дисертації був науковим керівником та відповідальним виконавцем робіт, виконаних на замовлення Укргеодезкартографії за темами: “Обробка геодезичних мереж, каталогізація та ведення банку даних” (1994-1997 рр., Науково-дослідний інститут геодезії і картографії) та “Розробка автоматизованої системи обробки результатів наземних топографо-геодезичних робіт” (2000 р.; Науково-дослідний інститут геодезії і картографії). Крім того, автор був науковим керівником таких науково-дослідних робіт (вказано номери державної реєстрації, найменування, рік та відповідальний виконавець):

0100V006145; Впровадження та ведення автоматизованої системи обробки кадастрових зйомок, 2000 р., Науково-дослідний інститут геодезії і картографії;

0102V005186; Розробка державної науково-технічної програми розвитку топографо-геодезичної діяльності та національного картографування в Україні на 2003-2010 рр., 2002 р., Науково-дослідний інститут геодезії і картографії;

Мета і задачі дослідження. Метою роботи є вирішення науково-прикладної проблеми розробки теоретичних основ і практичної реалізації високоточних комп’ютерних математичних методів та моделей скінченних елементів, здатних на основі єдиного методологічного підходу об’єднати рішення широкого спектра задач обробки результатів геодезичних вимірювань в єдине уніфіковане обчислювальне середовище.

Для досягнення поставленої мети в роботі поставлені та виконані такі завдання:

1. досліджено загальну математичну теорію методу скінченних елементів, обґрунтовано та розроблено теоретичні основи варіаційного підходу застосування методу скінченних елементів геодезичних вимірів;

2. створено методику перевірки та оцінки достовірності запропонованих моделей скінченних елементів;

3. розроблено дискретні одновимірні моделі скінченних елементів лінійних та кутових вимірів геодезичних мереж у прямокутних площинних, у прямокутних просторових та в геодезичних системах координат;

4. досліджено континуальні двовимірні моделі скінченних елементів геодезичних полів для рішення задач трансформування координат і побудови цифрових моделей рельєфу;

5. обґрунтовано кроковий процес диференціювання за параметром у методі скінченних елементів для нелінійного вирівнювання геодезичних мереж;

6. встановлено наукову аналогію між скінченними елементами геодезичних вимірів та скінченними елементами будівельних конструкцій;

7. розроблено методичні основи програмної реалізації методу скінченних елементів геодезичних вимірів, розроблено та впроваджено у практику програмно-методичні комплекси обробки результатів геодезичних вимірювань методом скінченних елементів.

Об’єкт дослідження. Об’єктом досліджень дисертаційної роботи є комплекс робіт математичної обробки результатів геодезичних вимірювань

Предмет дослідження. Предметом дослідження дисертаційної роботи є вирівнювання площинних та просторових геодезичних мереж у прямокутних і геодезичних координатах, обробка результатів топографічних знімань, інтерполяція та апроксимація виміряних значень функцій під час трансформування систем координат, растрових і векторних геопросторових об’єктів геоінформаційних систем.

Методи дослідження. В ході дослідження було використано числові методи скінченних елементів і найменших квадратів для побудови математичних моделей геодезичних вимірів, інтерполяції та апроксимації функцій забезпечення трансформування координат, системотехніки й побудови автоматизованих інформаційних систем при розробці програмної реалізації методу скінченних елементів.

Наукова новизна одержаних результатів. У роботі виконано теоретичне узагальнення та наведено практичні результати нового підходу, до розв’язання науково-прикладної задачі розробки математичних методів та моделей обробки геодезичних вимірів, растрових та векторних геопросторових об’єктів геоінформаційних систем, які задовольняють вимоги до підвищення точності отриманих результатів обробки, уніфікації рішень задач обробки результатів геодезичних вимірювань та ефективного забезпечення програмної реалізації на сучасних комп’ютерних засобах на основі застосування методу скінченних елементів, а саме:

a. Вперше розроблено теоретичні основи варіаційного підходу до застосування методу скінченних елементів геодезичних вимірів, які узагальнюють та об’єднують існуючі різноманітні моделі геодезичних вимірів;

b. На основі варіаційного підходу дістало подальший розвиток та вдосконалено дискретні одновимірні моделі скінченних елементів лінійних і кутових вимірів геодезичних мереж у прямокутних площинних та прямокутних просторових координатах;

c. Вперше розроблено дискретні одновимірні моделі скінченних елементів лінійних, кутових, астрономічних та GPS-вимірів геодезичних мереж в геодезичних координатах на еліпсоїді;

d. Запропоновано континуальні двовимірні та тривимірні моделі скінченних елементів геодезичних полів для рішення задач трансформування координат і побудови цифрових моделей рельєфу, які відрізняються від існуючих значним підвищенням точності отриманих результатів;

e. Вперше на основі застосування крокового способу диференціювання за параметром у методі скінченних елементів розроблено методику нелінійного вирівнювання геодезичних мереж, яка на відміну від існуючих не потребує високої точності наближених значень координат невідомих параметрів та дає значно вищу збіжність результатів;

f. Поглиблено наукову аналогію та доведено еквівалентність скінченних елементів геодезичних вимірів і відповідних елементів будівельних конструкцій;

g. Удосконалено методичні основи програмної реалізації методу скінченних елементів геодезичних вимірів, які на основі використання єдиного уніфікованого обчислювального середовища забезпечують об’єднання рішення задач вирівнювання геодезичних мереж, обробки результатів топографічних знімань, трансформування координат, побудови цифрових моделей рельєфу.

Практичне значення отриманих результатів. Теоретичні дослідження автора скінченноелементних моделей геодезичних вимірів доведено до практичної реалізації у таких програмних комплексах:

8. Топо-ГРАД – програмно-методичний комплекс обробки геодезичних мереж і топографічних великомасштабних знімань;

9. Інвент-ГРАД – програмно-методичний комплекс обробки результатів кадастрових знімань, що виконуються в ході інвентаризації земель;

10. Гео-ГРАД – програмно-методичний комплекс обробки геодезичних мереж та трансформування координат.

Програмно-методичні комплекси “Топо-ГРАД” та “Інвент-ГРАД” впроваджено у виробництво в сотнях організацій і підприємств в Україні та в країнах СНД, у тому числі: у всіх підприємствах Укргеодезкартографії, в земельно-кадастрових центрах Держкомзему України, в проектно-розвідувальних інститутах, у навчальних закладах – у програмах, методичних матеріалах та підручниках, які використовуються у процесі підготовки фахівців за спеціальностями “Геодезія” та “Землевпорядкування і кадастр”. Програмно-методичний комплекс “Гео-ГРАД” впроваджено в Укргеодезкартографії для обробки Державної геодезичної мережі України.

Особистий внесок здобувача. Всі нові наукові результати, викладені у дисертації, отримано особисто автором, що підтверджується більшістю одноосібних публікацій. У спільних публікаціях особистий внесок автора полягає в розробці програм досліджень і теоретичних положень, аналізі отриманих результатів, формуванні висновків. В ході реалізації програмно-методичних комплексів автор був науковим керівником та безпосереднім виконавцем розробки алгоритмів та програм обробки геодезичних мереж, обробки результатів топографічних знімань, трансформування координат методом скінченних елементів.

Апробація результатів дисертації. Основні положення дисертації доповідались і обговорювались на наукових конференціях та семінарах, а саме: на науково-практичних конференціях “Проблеми створення державного земельного кадастру та інвентаризації земель в Україні” (Київ, 1994 р.), “Впровадження сучасних технологій у містобудування” (Київ, 1995 р.), на Третій Всеукраїнській конференції з геоінформаційних технологій. “ Теорія, технологія впровадження ГІС” (Київ, 1997 р.), ”Сучасні досягнення геодезії, геодинаміки та геодезичного виробництва” (Львів, 1999 р.), на 2-й Міжнародній науково-практичної конференції “Кадастр, фотограмметрія, геоінформатика – сучасні технології і перспективи розвитку” (Львів, 2000 р.), на ГІС-форумі в м. Києві (2000 р.), “Сучасні досягнення геодезичної науки та виробництва” (Яворів, 2001 р.), на Міжнародній науково-практичній конференції “ГІС-форум” (Київ, 2001 р.), “Сучасні досягнення геодезичної науки та виробництва” (Яворів, 2002 р.).

Публікації. Основні положення дисертації опубліковані в центральних фахових виданнях та збірниках наукових праць конференцій, семінарів. Всього за темою дисертації опубліковано 40 наукових праць: 25 публікацій у фахових виданнях, з них 13 одноосібних, та 15 публікацій в періодичних наукових виданнях, збірниках і працях конференцій і семінарів.

Обсяг та структура дисертації. Дисертаційна робота складається з вступу, шести розділів і висновків загальним обсягом 302 сторінки, з них – 52 рисунки та 7 таблиць, список використаних джерел з 192 найменувань та додатки.

ОСНОВНИЙ ЗМІСТ РОБОТИ

У вступі обґрунтовано актуальність теми дисертаційної роботи, сформульовано мету, завдання і методи досліджень, наведено основні наукові результати роботи та їх практичне значення.

У розділі “Сучасний стан та основні тенденції розвитку комп’ютерних методів і моделей обробки результатів геодезичних вимірювань” наведено загальну характеристику стану інформатизації процесів топографо-геодезичного виробництва, вказано значення і рівень досягнень числових методів обробки даних та їх програмної реалізації.

Проведений аналіз і дослідження існуючого стану вирівнювальних обчислень геодезичних вимірів дозволяє зробити ряд узагальнень та виявити характерні тенденції, зокрема: застосування автоматизованих систем на всіх стадіях збирання, обробки та розповсюдження геопросторових даних у польових та камеральних умовах, уніфікація обмінних форматів результатів вимірювань та поширення комп’ютерної техніки в польових та камеральних умовах, перехід від використання наближених методів вирівнювання геодезичних вимірів до строгих, перехід від застосування в комп’ютерних системах корелатних методів вирівнювання до параметричних, значне збільшення розмірності геодезичних задач, оцінка точності геодезичних мереж та їх елементів з використанням оціночних кореляційних матриць. Відзначається, що широке використання параметричних методів вирівнювання обумовлено ефективною їх реалізацією у вигляді алгоритмів та комп’ютерних програм. В свою чергу це сприяє застосуванню нових схем та методів побудови геодезичних мереж, що приводить до уніфікації дослідження геодезичних мереж як комбінованих лінійно-кутових мереж без традиційного поділу на полігонометричні, тріангуляційні чи трилатераційні.

Іншим класом задач математичної обробки результатів геодезичних вимірювань є інтерполяція, апроксимація виміряних значень функцій, числове інтегрування та інтерпретація результатів вимірювань та їх функцій, пов’язаних в першу чергу з трансформуванням координат з однієї системи в іншу, з побудовами цифрових моделей місцевості, включаючи цифрові моделі рельєфу, та визначенням географічних центрів територій.

Відзначається, що можливим рішенням проблеми розробки уніфікованих високоточних математичних методів та моделей, здатних на підставі єдиного методологічного підходу об’єднати рішення цих задач в єдине обчислювальне середовище, є найбільш універсальний числовий метод рішення задач прикладної математики – метод скінченних елементів.

Історія методу скінченних елементів налічує кілька десятиліть. Як ефективний інструментарій його спочатку застосовували для розв’язання класичних задач будівельної механіки, а тому він використовувався переважно в цій галузі. В будівельній механіці цим методом мінімізується потенційна енергія, що дозволяє звести задачу розрахунку міцності будівельних конструкцій до вирішення системи лінійних рівнянь рівноваги. Зв’язок методу скінченних елементів з процесом мінімізації деякого функціонала спричинив широке використання його при вирішенні інших наукових та інженерних задач. Його застосовують і до рішення задач теорій пружності та розповсюдження тепла в гідромеханіці.

Сфера застосування методу скінченних елементів значно розширилась, коли було доведено, що рівняння, за якими визначають елементи в будівельній механіці, в теорії розповсюдження тепла, в гідромеханіці, можуть бути отримані за допомогою таких варіантів методу зважених нев’язок, як метод Гальоркіна або метод найменших квадратів. Встановлення цього факту відіграло важливу роль в теоретичному обґрунтуванні методу скінченних елементів. Відзначається розвинена наукова та програмно-методична інфраструктура використання методу скінченних елементів у задачах будівельної механіки взагалі та в Україні зокрема.

Уперше процедуру розрахунку за методом скінченних елементів для вирівнювання геодезичних мереж застосував N.F. Danial. Характерно, що в своїх дослідженнях Danial обмежився розглядом тільки мереж трилатерації, встановивши аналогію між виміряною віддалю та стрижнем з шарнірними вузлами, в яких можливі тільки лінійні переміщення. Використання методу скінченних елементів для вирівнювання лінійно-кутових геодезичних мереж на площині дістало подальший розвиток у працях автора, що втілилося в кандидатській дисертації. Разом з тим зазначається, що в проведених роботах не використовувався притаманний методу скінченних елементів варіаційний підхід, а сама предметна область виконаних досліджень обмежувалась тільки кутовими та лінійними вимірами в прямокутних координатах. Такі обмеження не дозволяли створити єдині теоретичні основи використання методу скінченних елементів для вирішення задач вирівнювання геодезичних вимірів, інтерполяції та апроксимації одержаних значень функцій, числового інтегрування, інтерпретації результатів вимірювань та їх функцій. Саме створення теоретичних основ варіаційного підходу до застосування методу скінченних елементів для обробки геодезичних вимірів є головним напрямом досліджень цієї дисертаційної роботи.

У другому розділі “Теоретичні основи варіаційного підходу до застосування методу скінченних елементів геодезичних вимірів” розкрито основну концепцію методу скінченних елементів геодезичних вимірів. Сформовано понятійно-термінологічний апарат скінченних елементів геодезичних вимірів. Запропоновано загальну схему вирівнювання геодезичних мереж, інтерполяції та апроксимації значень функцій геодезичних вимірювань методом скінченних елементів. Визначено спектр геодезичних задач для використання одно-, дво- та тривимірних скінченноелементних моделей. Запропоновано методику перевірки достовірності запропонованих моделей скінченних елементів.

Сформульовано основний варіаційний принцип методу скінченних елементів в геодезичних задачах:

у відповідності з умовою Лежандра - Гаусса з усіх можливих значень вектору необхідних невідомих - параметрів , які задовольняють заданим крайовим умовам, найбільш ймовірними є ті, які мінімізують функціонал поправок , де - вектор поправок до виміряних величин, - вагова матриця.

Показано, що головна ідея методу скінченних елементів полягає в тому, що будь-яку неперервну (континуальну) величину можна апроксимувати дискретною моделлю, яка будується на множині кусково-неперервних функцій, визначених на скінченному числі підобластей. Для цього в досліджуваній області фіксується скінченне число вузлів. Область визначення неперервної величини розчленовується на скінченне число елементів. Ці елементи мають загальні вузлові точки та в сукупності апроксимують форму області. Неперервна величина апроксимується на кожному елементі, наприклад поліномами, які визначають за допомогою вузлових значень цієї величини. Для кожного елемента визначається свій поліном таким чином, щоби зберегти неперервність величини вздовж границь елемента.

Досліджено загальну схему, за якою рішення задач методом скінченних елементів поділяється на два етапи. На першому етапі виконується побудова матриці нормального рівняння скінченного елемента, а на другому – складання та розрахунок системи нормальних рівнянь.

Для побудови матриці нормального рівняння скінченного елемента, яка повністю визначає геометричні та точностні параметри цього елемента, пропонується така послідовність операцій:

11. Побудова континуального (неперервного) функціонала на області . Континуальний функціонал , який підлягає мінімізації, має вигляд:

= min, (1)

де – невідома функція, що визначається, . Конкретний тип функціонала та множини встановлюється з умови вирішуваної задачі.

12. Розчленування області на ряд неперетинних підобластей . Область розчленовується на скінченні елементи , які не мають загальних внутрішніх точок. Визначаються вузли та їх ступені вільності . Вводиться поняття зірки елементів вузла , яке характеризується об’єднанням всіх скінченних елементів , які містять . Розглянуті типи скінченних елементів геодезичних вимірів одно-, дво- та тривимірні.

13. Вибір базисних функцій. Для кожної степені вільності встановлюються базисні функції , які не дорівнюють нулю тільки на зірці елементів вузла . Базисні функції повинні задовольняти такі умови: – обмежена величина; функції – лінійно незалежні; , де – символ Кронекера, сума базисних функцій дорівнює одиниці у довільній точці скінченного елемента , а сума похідних базисних функцій у будь-якій точці скінченного елемента дорівнює нулю: . Вказується, що базисні функції визначаються формою скінченного елемента.

14. Дискретизація континуального функціонала з використанням базисних функцій. Вводиться множина лінійних комбінацій базисних функцій типу

, (2)

де – числа та досліджується дискретизована задача мінімізації функціонала на .

15. Мінімізація дискретного функціонала. Функція , за якої функціонал досягає мінімуму, задовольняє при всіх рівності де – похідна функції .

16. Лінеаризація мінімізованого дискретного функціонала. Функція лінійна по . Якщо не є лінійною функцією від , то виконується лінеаризація. При цьому приймається, що , та використовується наближена формула:

, (3)

де – функція, достатньо наближена до точного рішення; – приріст, що визначається ; – друга похідна функції у точці , лінійна по та по .

17. Побудова матриці нормального рівняння та вектора правих частин скінченного елемента. Прийнявши, що , , та зобразивши інтеграл на у вигляді суми інтегралів по , можна отримати систему лінійних рівнянь методу скінченних елементів:

. (4)

Перший доданок визначає матрицю нормального рівняння скінченного елемента , другий – вектор правих частин.

Показано, що формування матриці нормального рівняння та вектора правих частин скінченного елемента при використанні методу скінченних елементів виконується в два етапи на окремому скінченному елементі.

На першому етапі будуються нові скінченні елементи. Вихідним результатом цього етапу є матриця нормального рівняння скінченного елемента. В ході розробок цих матриць формується бібліотека скінченних елементів. Якщо в бібліотеці вже є матриці нормальних рівнянь скінченних елементів, на які розчленовується область , то перший етап пропускається.

Другий етап складається з таких операцій:

18. Побудова системи нормальних рівнянь;

19. Рішення системи нормальних рівнянь;

20. Визначення оціночної кореляційної матриці та оцінка точності.

Аналогія скінченноелементних моделей геодезичних вимірів та елементів будівельних конструкцій встановлена на основі доведення еквівалентності матриць нормального рівняння скінченного елемента геодезичного виміру та матрицею жорсткості скінченного елемента будівельної конструкції.

Зазначається, що для перевірки достовірності матриць нормальних рівнянь скінченних елементів розроблено спеціальну методику, яка включає застосування двох методів:

21. аналітичний;

22. практичний розрахунок контрольних прикладів.

Суть аналітичного методу в тому, що матрицю нормального рівняння скінченного елемента можна отримати також за допомогою параметричних рівнянь методу найменших квадратів.

Так, якщо позначити рядок матриці коефіцієнтів рівнянь поправок , що відповідає -му виміру, через , то можна утворити елементарне нормальне рівняння , де – вага виміру, яке є еквівалентним нормальному рівнянню скінченного елемента.

Всі запропоновані методи перевірені в ході аналізу виконаних практичних розрахунків відомих контрольних прикладів.

У третьому розділі “Одновимірні скінченноелементні моделі геодезичних вимірів” досліджуються геодезичні виміри геодезичних мереж у прямокутних координатах на площині та в просторі і в геодезичних координатах на еліпсоїді. Виміри розглядаються як одновимірні фізичні поля. Вводиться поняття степені вільності пункту геодезичної мережі. Досліджуються прості моноскінченні елементи, яким відповідають геодезичні виміри, та узагальнені поліскінченні елементи для сукупності геодезичних вимірів.

Пропонується методика розробки одновимірних скінченних елементів геодезичних вимірів, яка включає:

23. варіаційний вивід матриці нормального рівняння простого моно- та узагальненого поліскінченного елемента геодезичного виміру;

24. дослідження скінченноелементних моделей з врахуванням вихідних пунктів на початку чи в кінці виміру;

25. вивід з узагальненого поліскінченного елемента простих моноскінченних елементів;

26. перевірка розробленого скінченного елемента на основі параметричних рівнянь поправок методу найменших квадратів;

27. встановлення аналогії з відповідним стрижнем будівельних конструкцій.

Геодезичні мережі в прямокутних координатах на площині та у просторі. На основі запропонованої методики розроблено такі скінченноелементні моделі вимірів у геодезичних мережах в прямокутних координатах:

28. на площині: напрям, віддаль, астрономічний азимут, дирекційний кут, базисний вектор GPS-вимірів;

29. у просторі: горизонтальний напрям, вертикальний кут, похила віддаль.

Узагальнений полі-скінченний елемент геоде-зичного виміру на площині включає горизонтальний напрям та віддаль, віднесену на площину, а узагальнений поліскінченний елемент у просторі включає горизонтальний напрям, вертикальний кут та похилу віддаль.

Доведено: для одновимірних скінченних елементів геодезичних вимірів треба використовувати кусково-лінійні (рис. ) та кусково-сталі (рис. ) базисні функції.

Вивід одновимірної скінченноелементної моделі геодезичного виміру проілюстровано на прикладі узагальненого поліскінченного елемента.

Апроксимація базисними функціями одновимірного узагальненого полі-скінченного елемента на площині має такий вигляд:

, (5)

де – функція, яка має бути апроксимована; – поточна координата ; , – значення функції на початку та в кінці вимірювання. У випадку апроксимації координат базисні функції та виглядають так: ; . У випадку апроксимації орієнтирного кута базисні функції та мають вигляд: ; . Функціонал узагальненого виміру - можна зобразити у вигляді:

Виконавши множення у виразі (8), отримуємо матрицю нормального рівняння узагальненого скінченного елемента геодезичного виміру на площині та його вектор правих частин у локальній системі координат у послідовності параметрів , , , , , :

; . (9)

Доведено: у випадку, коли перший або другий пункт геодезичного виміру є вихідним, то обнулюються ті рядки та стовпчики матриці нормального рівняння та вектора правих частин, які відповідають координатам вихідного пункту. Доведено, що для отримання матриці нормального рівняння простого моноскінченного елемента виміру: віддалі або напряму, з узагальненого поліскінченного елемента необхідно вилучити - обнулити ті рядки та стовпчики матриці, які відповідають необхідним невідомим – параметрам, що не залежать від виміру, що вилучається. Так, у випадку виміряної віддалі обнулюються рядки та стовпчики матриці , , , , а у випадку виміряного напряму – , .

Аналогічну матрицю нормального рівняння узагальненого скінченного елемента можна отримати з рівнянь поправок параметричного способу вирівнювання геодезичних мереж методом найменших квадратів: , де , , – рядки коефіцієнтів матриці рівнянь поправок віддалі , горизонтального напряму та дирекційного кута ; , , – їх ваги.

Для встановлення аналогій між скінченними елементами геодезичних вимірів геодезичних мереж та скінченними елементами стрижневих систем будівельних конструкцій виконано порівняння між матрицею нормального рівняння геодезичного виміру та матрицею жорсткості стрижня. Так, виведеному узагальненому поліскінченному елементу відповідає рамний стрижень з жорстким вузлом на початку та з шарнірним вузлом у кінці (рис. ).

Геодезичні мережі в геодезичних координатах на еліпсоїді. На основі запропонованої методики розроблено скінченноелементні моделі вимірів у геодезичних мережах в геодезичних координатах на еліпсоїді: горизонтальні напрями, астрономічні та геодезичні азимути, довжини геодезичних ліній.

Рівняння для напряму , що відраховується від нульового діаметра лімба, має вигляд ,де – азимут напряму 1–2, а – значення орієнтирного кута. Позначимо через вектор параметрів горизонтального напряму 1–2, що визначається.

При вирівнюванні геодезичних мереж з включенням виміряних віддалей треба зважити на те, що для редукування відстаней на еліпсоїд необхідні геодезичні висоти або висоти квазігеоїда, які в свою чергу можна отримати внаслідок вирівнювання. Якщо на стадії попередньої обробки до вирівнювання віддалей редукувати їх на середній рівень моря за допомогою нормальних висот, то подальше редукування на еліпсоїд необхідно передбачати у відповідних рівняннях поправок. Рівняння, яке зв’язує виміряне значення довжини геодезичної лінії з її вирівняним значенням має вигляд: . У відповідності до варіаційного формулювання задачі функціонал, який підлягає мінімізації, має вигляд: , де ; – вага довжини геодезичної лінії, – довжина геодезичної лінії, обчислена з оберненої геодезичної задачі за попередніми координатами пунктів, що визначаються; частинні похідні мають вигляд: , , , ; – головні радіуси кривизни в точках та ; Якщо позначити вільний член рівняння поправок , а рядок коефіцієнтів рівняння поправок для довжини геодезичної лінії на еліпсоїді – , то функціонал набуває вигляду: , де – скалярний добуток векторів та . Мінімізуючи функціонал , як і раніше отримаємо варіаційне рівняння , яке характерно для довільного вектора та матриці нормального рівняння геодезичної лінії. Тоді матрицю нормального рівняння довжини геодезичної лінії можна записати у вигляді:

, (12)

де – вектор правих частин: .

Виконані дослідження вказують на ефективне використання методу скінченних елементів для вирівнювання геодезичних мереж. Встановлені аналогії скінченних елементів геодезичних вимірів та відповідних скінченних елементів стрижневих конструкцій підкреслюють можливість використання в ході вирівнювання геодезичних мереж розвинених обчислювальних середовищ методу скінченних елементів будівельних конструкцій.

У четвертому розділі “Двовимірні та тривимірні скінченноелементні моделі геодезичних вимірів” досліджено застосування методу скінченних елементів для вирішення задач інтерполяції та апроксимації результатів вимірювань та їх функцій. Для інтерполяції та апроксимації в геодезичних задачах пропонується використання трикутних та чотирикутних скінченних елементів на площині й тетраедральних скінченних елементів у просторі. Визначено спектр геодезичних задач для використання дво- і тривимірних скінченноелементних моделей, який особливо ефективний для аналізу та моделювання геодезичних полів. До цього спектра задач належать: трансформування координат, побудова цифрових моделей рельєфу, визначення географічних центрів територій.

Для визначення системи базисних функцій трикутного скінченного елемента (рис. ) вводиться система барицентричних координат довільної точки , де . Значення координати лінійно змінюється в межах скінченного елемента: воно дорівнює одиниці в -й вершині трикутника та нулю – на протилежному боці: , де – площа локального трикутника з вершиною у точці ; – площа всього трикутника. Базисні функції лінійного трикутного елемента мають вигляд: ; ; . У тетраедральному просторовому скінченному елементі (рис. ) вводиться місцева система -координат, яка лінійно змінюється в межах скінченного елемента: ; Коефіцієнти , , , визначаються з умов, що в і-му вузлі та в інших вузлах. Базисні функції тетраедрального скінченного елемента мають вигляд: .

Трансформування координат методом скінченних елементів за суміщеними точками, координати яких визначені в обох системах.

Використання GPS-вимірів при побудові геодезичних мереж спричинило створення нових схем і методів побудови та обробки геодезичних мереж. Тому в більшості країн Європи формуються нові національні референцні геодезичні системи. Похибки визначення взаємного положення координат точок Державної геодезичної мережі у СК-42 на відстані 50-100 км можуть досягати 1 м і більше, тоді як аналогічні похибки координат точок, визначених із застосуванням супутникових радіонавігаційних систем GPS і ГЛОНАСС, не перевищують 5-10 см. Так само точність визначення координат точок інженерно-геодезичних мереж, будівельних сіток в умовних системах координат значно вища, ніж точність координат точок Державної геодезичної мережі, до якої вони прив’язуються.

Аналогічна проблема виникає при геометричній корекції растрових чи векторних геоінформаційних об’єктів. У цьому випадку опорними точками є, як правило, точки математичної основи картографічних матеріалів: вузли географічної або прямокутної сітки, точки геодезичної основи.

З урахуванням точності визначення координат точок в різних системах координат пропонуються такі вимоги до трансформування координат:

Негомогенність трансформування. Вона полягає в тому, що добираються такі параметри трансформування, в яких коефіцієнти зміни масштабу по кожній осі координат різні, що визначає неоднорідність систем координат. При цьому в результаті перетворення перерахованим координатам суміщених точок вхідної системи точно встановлюються значення координат точок вихідної системи.

Неперервність (континуальність) трансформування. Вона полягає в тому, що точка, яка лежить на межі областей в одній системі координат, трансформується в точку, яка так само лежатиме на межі цих же областей, причому її місцеположення буде однаковим при використанні параметрів трансформування тієї чи іншої області.

Незалежність локального трансформування, яке забезпечує послідовне локальне уточнення параметрів трансформування в областях, де щільність суміщених точок зростає. Причому параметри трансформування в інших областях залишаються незмінними.

Формулюється математична постановка задачі. Нехай є фізичних точок, координати яких визначені в двох просторових системах координат: та . Позначимо вектор координат -ї точки в системі координат як , а в системі координат – як , де . Координатам -ї точки в системах координат та відповідають коваріаційні матриці похибок та . Якщо припустити, що похибки координат точки кожного вектора можуть корелюватися, але немає кореляції між похибками координат точок різних векторів в одній чи в різних системах координат, то вектори координат точок та набувають вигляду: та , а коваріаційні матриці та є блочно-діагональні матриці з діагональними підблоками: та , де та – діагональні підблоки, тобто вини є коваріаційними матрицями похибок координат суміщених точок. Матриці та можна представити у вигляді та , де та – середні квадратичні похибки одиниць ваги координат точок; та – вагові матриці координат -ї точки відповідно в системах координат та ; та – діагональні елементи вагових матриць; , , , , , – ваги координат суміщених точок у системах координат та , , – середні квадратичні похибки координат -ї суміщеної точки відповідно в системах координат та . З умов трансформування відомо, що , , .

За векторами координат точок і та коваріаційними матрицями і треба знайти параметри трансформування координат із системи координат в систему .

Відзначається, що до рішення поставленої задачі існує два підходи: інтерполяція і апроксимація функцій. У випадку використання глобальної інтерполяції необхідно знайти таку інтерполяційну функцію трансформування координат, яка б наближала на її області визначення, причому її значення у вузлах інтерполяції точно збігалося б із заданими значеннями функції :. Апроксимація забезпечує визначення такої аналітичної функції трансформування координат, яка згладжує особливості табличної функції і також наближає на її області визначення, причому її значення у вузлах інтерполяції не збігаються із заданими значеннями функції :.

Досліджено такі методи трансформування: конформне трансформування Гельмерта, афінне перетворення, інтерполяційні поліноми другого та вищих порядків (метод множинної регре-сії), проективні методи, інтерпол-ляція кубічними сплайнами, метод колокації та інші. Зазначається, що при використанні всіх цих методів виникає задача вирівнювання па-раметрів транс-формування, а визначення пара-метрів перетво-рюється на задачу апроксимації, що обов’язково приводить до порушення прийнятих умов. Обґрунтовується виконання трансформування координат методом скінченних елементів.

Для рішення задачі у двовимірному полі на площині доцільно використовувати трикутний скінченний елемент, у тривимірному полі у просторі – тетраедральний скінченний елемент.

Афінне трансформування в просторових прямокутних координатах від системи координат до системи виконується за дев’ятьма параметрами: , де замість одного масштабного коефіцієнта визначаються три — по всіх осях простору, що забезпечує необхідні умови для негомогенності трансформування. Афінне трансформування можна відобразити у вигляді:

де – коефіцієнти трансформування.

Реалізується задача трансформування координат у двовимірному полі. Афінне трансформування будь-якої точки із системи координат у систему можна представити у вигляді: . Для визначення шести коефіцієнтів перетворення: необхідно і достатньо мати координати трьох суміщених точок, які не лежать на одній прямій. Ці три точки утворюють трикутник. Всю область, задану суміщеними точками, пропонується поділити на скінченні елементи – трикутники, вершинами яких є суміщені точки, що утворюють TIN-модель. Використання тріангулювання відомим методом Делоне для цієї задачі не є оптимальним. Пропонується свідоме розчленування на трикутники на основі поглибленого аналізу геодезичної мережі.

Після поділу області на трикутні скінченні елементи для кожного трикутника на основі рівняння складається та розв’язується лінійна система з шести рівнянь з шістьма невідомими: . Параметри транс-формування можна отримати через лінійні базисні функції трикутного скінченного елемента. Знайдені параметри трансформування використовуються тільки для тих точок, які належать даному скінченному елементу – трикутнику.

Для афінного трансформування методом скінченних елементів характерні такі особливості:

30. визначення параметрів трансформування для кожного трикутника залежить тільки від координат вершин трикутника;

31. при трансформуванні координат кожна точка (вершина трикутника) в одній системі координат точно “переходить” в ідентичну точку (вершину трикутника) в іншій системі координат;

32. трансформування є неперервним, оскільки точки, які лежать на ребрах трикутників в одній системі координат трансформуються в точки, які лежать на ребрах перетворених трикутників в іншій системі координат, незалежно від того, які при цьому використовувались параметри трансформування суміжних трикутників;

33. збільшення кількості та щільності суміщених точок у деяких областях викликає тільки локальне уточнення параметрів трансформування, причому параметри трансформування в інших областях залишаються незмінними.

Очевидно, що вказані характеристичні особливості афінного трансформування методом скінченних елементів повністю задовольняють всі вимоги, що висунуті до трансформування координат.

Числовий експе-римент з визначення пара-метрів трансформування координат із державної геодезичної системи у світову систему WGS-84. Для цього використано наявні суміщені пункти Державної геодезичної мережі в системі СК-42 та WGS-84, з яких по одних суміщених пунктах визначено параметри трансформування, по інших – проводилась оцінка точності трансформування.

Поділ на скінченні елементи області, утвореної Державною геодезичною мережею, здійснено методом Делоне (рис. ). Обраховано два варіанти визначення параметрів трансформування: традиційно відомим перетворенням за Гельмертом та афінним трансформуванням методом скінченних елементів. Оцінку точності, виконану по контрольних точках, відображено у таблиці.

З результатів визначення параметрів трансформування видно, як і очікувалось, що афінне трансформування методом скінченних елементів підвищило точність трансформування в 3 рази. У порівнянні з іншими методами запропоноване трансформування забезпечує вищу точність, оскільки локалізує спотворення геодезичних мереж, заданих менш точними пунктами, при переході до системи координат, заданої більш точними пунктами. Крім того, використання цього методу дозволяє перейти від TIN-моделі до GRID-моделі, сформувавши параметри трансформування для номенклатури карт будь-якого масштабу.

Побудова орографічно-тріангуляційної цифрової моделі рельєфу методом скінченних елементів. Однією з головних складових цифрової топографічної інформації є цифрова модель рельєфу (ЦМР). Пропонується нове визначення ЦМР