НАЦІОНАЛЬНА АКАДЕМІЯ НАУК УКРАЇНИ

ІНСТИТУТ МАТЕМАТИКИ

ЛАГНО Віктор Іванович

УДК 517.95

РЕАЛІЗАЦІЇ АЛГЕБР ЛІ

ГРУП ЛОКАЛЬНИХ ПЕРЕТВОРЕНЬ

ТА ГРУПОВИЙ АНАЛІЗ НЕЛІНІЙНИХ

ДИФЕРЕНЦІАЛЬНИХ РІВНЯНЬ

01.01.02 – диференціальні рівняння

Автореферат

дисертації на здобуття наукового ступеня

доктора фізико-математичних наук

Київ – 2003

Дисертацією є рукопис.

Робота виконана в Інституті математики НАН України.

Наукові консультанти:

доктор фіз.-мат. наук, професор, академік НАН України

САМОЙЛЕНКО Анатолій Михайлович,

Інститут математики НАН України, директор;

член-кореспондент НАН України,

доктор фіз.–мат. наук, професор

Офіційні опоненти:

доктор фіз.-мат. наук, професор,

КЛІМИК Анатолій Улянович,

Інститут теоретичної фізики ім. М.М. Боголюбова НАН України,

завідувач відділу математичних методів в теоретичній фізиці;

доктор фіз.-мат. наук,

КОРНЯК Володимир Васильович,

Об'єднаний інститут ядерних досліджень, м. Дубна, Росія,

провідний наук. співр. лабораторії інформаційних технологій;

доктор фіз.-мат. наук, професор

ПАРАСЮК Ігор Остапович,

Київський національний університет імені Тараса Шевченка,

професор кафедри інтегральних та диференціальних рівнянь

Провідна установа: Інститут прикладної математики і механіки

НАН України, м. Донецьк

Захист відбудеться “

14 ” жовтня 2003 р. о 15 год.

на засіданні спеціалізованої вченої ради Д 26.206.02

Інституту математики НАН України за адресою:

01601 Київ 4, вул. Терещенківська, 3.

З дисертацією можна ознайомитися в бібліотеці

Інституту математики НАН України.

Автореферат розісланий “ 11 ” вересня 2003 р.

Вчений секретар

спеціалізованої вченої ради

доктор фіз.-мат. наук ПЕЛЮХ Г.П.

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальність теми. Вирішення багатьох фундаментальних проблем різної природи потребує побудови і розв'язування математичних моделей процесів, що досліджуються. У багатьох випадках поняттю “математична модель процесу” відповідають деякі цілком визначені диференціальні рівняння, відомі розв'язки яких дозволяють з певною точністю описати даний процес. Як правило, диференціальні рівняння і додаткові умови (початкові, крайові) випливають як із загальних законів (наприклад, законів зберігання), так і зі специфічних законів, які притаманні кожному конкретному процесові (вони відображають його найбільш характерні риси). Найбільш прості і, в той же час, найменш точні формулювання законів приводять до лінійних задач. Hаступному (більш точному) наближенню реального процесу відповідає нелінійна математична модель, для дослідження якої (на відміну від лінійних моделей) в арсеналі дослідника є досить обмежений математичний аппарат.

У той же час точні розв'язки (в замкненому вигляді) диференціальних рівнянь завжди відігравали і продовжують відігравати велику роль у формуванні правильного розуміння якісних особливостей багатьох явищ і процесів в різних областях природознавства. Точні розв'язки нелінійних диференціальних рівнянь дозволяють розібратися в механізмі таких складних нелінійних ефектів, як просторова локалізація процесів перенесення, множинність або відсутність стаціонарних станів при певних умовах, існування режимів із загостренням тощо.

Більшість рівнянь прикладної та теоретичної фізики, хімії, біології містять парaметри або функції, які знаходяться експериментально і тому не є строго фіксованими. У той же час рівняння, які моделюють реальні явища та процеси, повинні бути досить простими для того, щоб їх можна було успішно проаналізувати та розв'язати. В якості одного із можливих критеріїв простоти можна взяти вимогу, щоб модельне рівняння допускало розв'язок у замкненому вигляді. З іншого боку, особливий інтерес для різних застосувань викликають рівняння, що залежать від довільних функцій або містять багато вільних параметрів, які можна задавати за розсудом дослідника. А для таких рівнянь відсутні загальні методи точного інтегрування.

Ця ситуація суттєво змінюється, якщо нелінійне диференціальне рівняння, яке відповідає деякій моделі, має нетривіальні симетрійні властивості. У цьому випадкові для аналізу і побудови точних розв'язків рівняння можна використовувати методи групового аналізу диференціальних рівнянь.

У дисертаційній роботі розглядаються задачі, що належать до класичних проблем сучасного групового аналізу диференціальних рівнянь, на яких ми зупиняємося нижче.

Витоки теорії групового аналізу диференціальних рівнянь знаходяться у фундаментальних роботах Софуса Лі та його учнів. Саме Лі створив і першим використав (для двовимірного рівняння теплопровідності) механізми теоретико-групової редукції, коли розв'язок досліджуваного диференціального рівняння шукається у вигляді підстановки спеціальної будови (анзацу).

Подальший розвиток теоретико-групових методів дослідження диференціальних рівнянь, перш за все, пов'язаний з роботами Г. Біркгофа, Л.І. Сєдова, А. Моргана, В.Г. Костенка, Л.В. Овсяннікова, Н.Х. Ібрагімова та ряду інших математиків. Підсумком цього періоду є опублікування в 1978 році відомої монографії Л.В. Овсяннікова, після чого в математичній науці остаточно оформився важливий напрямок, який за пропозицією Л.В. Овсяннікова отримав назву ”Груповий аналіз диференціальних рівнянь”. Слід відзначити, що суттєвий вклад в розвиток як класичних, так і некласичних групових методів дослідження диференціальних рівнянь було зроблено Київською школою математиків, яку в середині сімдeсятих років минулого століття створив і очолив В.І. Фущич.

Однією з основних задач класичного групового аналізу диференціальних рівнянь є вивчення дії групи перетворень, яку допускає дане диференціальне рівняння (система рівнянь), на множині розв'язків рівняння. Дія групи інваріантності вносить у множину розв'язків певну алгебраїчну структуру, яку в подальшому можна використовувати для вирішення ряду проблем.

Як правило, під час побудови математичних моделей різних процесів отримуються диференціальні рівняння, симетрійні властивості яких невідомі. Тому принципово важливою є чисто технічна задача знаходження найбільш широкої (максимальної) групи симетрії, яку допускає задане диференціальне рівняння (система рівнянь). На сьогоднішній день вивчено симетрійні властивості багатьох відомих модельних рівнянь механіки, газової динаміки, квантової фізики. Відзначимо, що вагомий вклад у розв'язування цієї проблеми внесли вчені Росії (перш за все Л.В. Овсянніков і його учні) та України (В.І. Фущич і його учні). Виявилося, що багато модельних диференціальних рівнянь допускають нетривіальні групи інваріантності. Це означає, що явно чи неявно під час відбору диференціального рівняння в якості математичної моделі деякого реального процесу певну роль відіграє симетрія.

За наявності ж у диференціального рівняння нетривіальних симетрійних властивостей конструктивним стає використання методу симетрійної редукції для побудови його точних розв'язків. Так, із використанням вказаного методу було отримано класи багатопараметричних точних розв'язків ряду нелінійних диференціальних рівнянь. Слід підкреслити, що груповому аналізові важливих модельних рівнянь присвячено ряд відомих монографій українських математиків В.І. Фущича, А.Г. Нікітіна, Р.З. Жданова, А.Ф. Баранника, Л.Ф. Баранника, М.І. Сєрова та В.М. Штеленя.

Не дивлячись на те що у вирішенні проблеми симетрійної редукції нелінійних диференціальних рівнянь досягнуто значного прогресу, її розв'язання для ряду рівнянь і систем рівнянь залишається актуальним і сьогодні. Особливо це має місце тоді, коли інші відомі методи інтегрування нелінійних диференціальних рівнянь виявляються малоефективними або й взагалі не можуть бути використаними. А, як відзначав один із фундаторів методу оберненої задачі розсіювання В.Є. Захаров у передмові до російського видання відомої монографії Ф. Калоджеро та А. Дегаспіса, до ряду важливих задач нелінійної математичної фізики, які мають універсальне значення (зокрема, до рівнянь Янга–Міллса у просторі Мінковського), математика ще не знайшла ефективних підходів.

Перш за все, у зв'язку з можливістю використання теоретико-групових методів для аналізу та інтегрування диференціальних рівнянь, які допускають нетривіальні групи інваріантності, важливою є задача виділення із заданого класу рівнянь тих, що мають найвищі симетрійні властивості, тобто задача грyпової класифікації диференціальних рівнянь. Розв'язування цієї задачі є важливим не лише із суто математичних міркувань, a й мотивується можливістю використання отриманих результатів у різних прикладних проблемах.

Як відзначалося вище, модельні диференціальні рівняння часто містять параметри або функції, які не є строго фіксованими (вони містять деякий довільний елемент). Саме повний опис таких специфікацій довільного елемента даного диференціального рівняння, для яких це рівняння допускає найбільш широкі групи інваріантності, і складає суть задачі групової класифікації диференціальних рівнянь.

Історія розв'язування задачі групової класифікації диференціальних рівнянь бере початок ще з робіт С. Лі, де він, зокрема, довів теорему, яка стверджує, що лінійне диференціальне рівняння другого порядку з двома незалежними змінними допускає не більш ніж трипараметричну групу нетривіальних перетворень.

Сучасну постановку задачі групової класифікації диференціальних рівнянь було здійснено в 1959 році Л.В. Овсянніковим у відомій класичній статті, де він запропонував метод (Лі–Овсяннікова) для її розв'язування та здійснив групову класифікацію нелінійного рівняння теплопровідності. Ця стаття поклала початок численним циклам робіт з групової класифікації диференціальних рівнянь. Відзначимо, що стійкий інтерес до розв'язування задачі групової класифікації спостерігається й в останні роки (див., наприклад, роботи С.В. Мелешка, А.Г. Нікітіна, Р.Вілтшіра (R.Wiltshire), Р.З. Жданова, П. Олвера, Ф. Гунгора (F. Gыngor) ?а інших).

Але, як показує аналіз відомих робіт з групової калсифікації диференціальних рівнянь, використання методу Лі–Овсяннікова дозволяє здійснити повне розв'язання цієї задачі лише для тих рівнянь, які містять довільні функції однієї змінної. Очевидним є те, що подальший прогрес у розв'язуванні задачі групової класифікації вимагає нових підходів до роз'язування цієї проблеми.

Нарешті, щe однією важливою задачею групового аналізу диференціальних рівнянь, на якій ми тут зупиняємося, є задача побудови найбільш загального диференціального рівняння з частинними похідними, яке допускає в якості групи інваріантності деяку відому групу локальних перетворень. Добре відомо, що найбільш загальний розв'язок цієї задачі передбачає побудову повної множини диференціальних інваріантів певного порядку для даної групи локальних перетворень, знаючи яку, можна визначити структуру всіх диференціальних рівнянь, які допускають цю групу в якості групи інваріантності.

В.І. Фущич та І.А. Єгорченко знайшли повну множину диференціальних інваріантів другого порядку для відомих реалізацій (зображень) алгебр Лі груп Евкліда, Пуанкаре та Галілея в класі лінійних диференціальних операторів першого порядку. Повне ж розв'язання вказаної задачі для деякої групи локальних перетворень передбачає наявності повного переліку реaлізацій алгeбри Лі цієї групи в класі векторних полів Лі. Тому, Дж. Рідо (G. Rideau) та П.Вінтернітц, вивчаючи найбільш загальний вигляд хвильових і еволюційних рівнянь у двовимірному пpосторі-часі, які інваріантні відносно груп Пуанкаре та Галілея, попередньо провели опис реалізацій алгебр Лі цих груп в одному класі векторних полів Лі й отримали ряд нових, ще невідомих реалізацій. Саме бажання отримати ще невідомі у певному сенсі нелінійні реалізації алгебр Лі важливих груп локальних перетворень і було спонукальним мотивом появи ряду робіт В.І. Фущича, Р.З. Жданова, В.М. Бойка та інших, в яких були побудовані нові реалізації алгебр Лі груп Пуанкаре P(1,2), P(1,3) та Галілея G(1,1), G(1,3). У зв'язку з цим природно виникає інтерес до розв'язування задачі повного опису реалізацій алгебр Лі найбільш важливих і відомих груп локальних перетворень в класі лінійних диференціальних операторів першого порядку, які у подальшому можуть розглядатися як алгебри інваріантності диференціальних рівнянь з частинними похідними.

Таким чином, подальше розвинення методів класичного групового аналізу диференціальних рівнянь є важливим і актуальним на сучасному етапі розвитку загальної теорії диференціальних рівнянь і набуває особливо важливого значення тоді, коли інші методи дослідження і розв'язування диференціальних рівнянь є неефективними.

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Дисертація виконана в Інституті математики НАН України в рамках тем “Аналітичні та симетрійні методи досліджень диференціальних моделей математичної фізики” (номер держреєстрації 0198U001993) та “Теоретико-груповий аналіз нелінійних проблем математичної фізики, хімії, біології та економіки” (номер держреєстрації 0101U000098).

Мета і задачі дослідження. Метою дисертаційної роботи є повне розв'язання задачі групової класифікації для нелінійних (квазілінійних) рівнянь еволюційного типу найбільш загального вигляду у двовимірному просторі-часі, симетрійна редукція до систем звичайних диференціальних рівнянь і побудова інваріантних розв'язків SU(2) рівнянь Янга–Міллса в просторі Мінковського та повний опис в одному класі векторних полів Лі реалізацій алгебр Лі ряду важливих груп локальних перетворень, які розглядаються як групи інваріантності диференціальних рівнянь з частинними похідними.

Для цього поряд з класичними методами групового аналізу диференціальних рівнянь, відомими методами інтегрування звичайних диференціальних рівнянь та рівнянь з частинними похідними, використовуються новий підхід до групової класифікації диференціальних рівнянь та лінійна конструкція конформно-інваріантних анзаців для довільного векторного поля, яким відповідає редукція конформно-інваріантних систем диференціальних рівнянь з частинними похідними до систем звичайних диференціальних рівнянь.

Наукова новизна одержаних результатів. У дисертації вперше одержано такі результати.

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

Практичне значення одержаних результатів. Дисертаційна робота має теоретичний характер. Її результати та розвинені в ній методи можна використати в подальших дослідженнях нелінійних диференціальних рівнянь. При вирішенні прикладних проблем її результати можна застосовувати для дослідження конкретних модельних диференціальних рівнянь.

Особистий внесок здобувача. Усі результати, що виносяться на захист, одержано здобувачем самостійно. В роботах, які опубліковано разом з іншими авторами і включено до автореферату, особистий внесок дисертанта такий. У роботах [10, 16] В.І. Фущичу належить загальна постановка задач, дисертанту—розробка методів дослідження і доведення теорем. У роботах [2, 4, 5, 6, 18] В.І. Фущичу належить загальна постановка задач, дисертанту— розробка методів дослідження, доведення теорем і симетрійна редукція диференціальних рівнянь, Р.З. Жданову— уточнення методів дослідження й обговорення отриманих результатів. У роботах [1, 3, 13, 17, 20, 22, 28, 29] Р.З. Жданову належать обговорення постановки задач, методів дослідження та отриманих результатів, дисертанту– -розробка методів дослідження та розв'язання задач. В оглядах [21] та [22] дисертанту належать результати II, III, V та I, II, III частин відповідно. У роботах [23, 24] А.М. Самойленку належать обговорення результатів й уточнення деяких формулювань тверджень, дисертанту— розробка методів дослідження і розв'язання задачі групової класифікації. А.О. Абраменко [24], А.М. Онищенку [21] та В.Ф.Смалію [7] належить перевірка складних технічних викладок.

Апробацiя результатів дисертації. Результати дисертації доповідалися на Всеукраїнській конференції “Розробка та застосування математичних методів в науково-технічних дослідженнях” (Львів, 1995), V Міжнародній конференції ім. академіка М.Кравчука (Київ, 1996), Українській конференції “Моделирование и исследование устойчивых систем” (Київ, 1996), Міжнародній конференції “Modelling and Investigation of Systems Stability” (Київ, 1997), I, II, III та IV Міжнародних конференціях “Symmetry in Nonlinear Mathematical Physics” (Київ, 1995, 1997, 1999, 2001), XXXI Симпозіумі з математичної фізики (Торунь, Польща, 1999), VIII Міжнародній конференції “Modern Group Analysis” (Уфа, Росія, 2000), XVI Міжнародному симпозіумі з нелінійної акустики (Москва, Росія, 2002), Міжнародній конференції “Inverse Problem and Nonlinear Equations” (Харьків, 2002).

Окрім цього, результати дисертації були предметом доповідей на наукових семінарах відділу прикладних досліджень Інституту математики НАН України (керівники член-кореспондент НАН України, професор Фущич В.І., професор Нікітін А.Г., 1995–2002), на науковому семінарі з нелінінійного аналізу Інституту математики НАН України (керівник академік НАН України, професор Скрипник І.В., 1999), на семінарі відділу звичайних диференціальних рівнянь та теорії нелінійних коливань Інституту математики НАН України (керівник академік НАН України, професор Самойленко А.М., 2001), на науковому семінарі “Алгебраїчні питання функціонального аналізу”' Інституту математики НАН України (керівник професор Самойленко Ю.С., 2001, 2002), на об'єднаному семінарі з математичної фізики відділів математичних методів в статистичній механіці та прикладних досліджень Інституту математики НАН України (керівники член-кореспондент НАН України, професор Петрина Д.Я. та професор Нікітін А.Г., 2002).

Публiкацiї. Основні результати дисертації опубліковано в 24 роботах [1–24] у профільних наукових виданнях. Частково вони також висвітлені в статтях [25–29] в інших математичних часописах та в матеріалах [30, 31] міжнародних конференцій.

Структура та об'єм дисертації. Дисертація містить зміст, вступ, п'ять розділів, висновки, список використаних джерел, що містить 212 найменувань, три додатки та 11 таблиць. Повний обсяг дисертації 347 сторінок, з них список використаних джерел, додатки та таблиці займають 54 сторінки.

Подяки. Я із вдячністю згадую свого першого наукового керівника члена-кореспондента НАН України, професора Фущича В.І., котрий сформулював ряд задач, розв'язання яких увійшло в дану роботу. Я висловлюю щиру подяку академіку НАН України, професору Самойленку А.М., який зацікавився науковою тематикою дисертанта і підтримка якого сприяла завершенню роботи над дисертацією. Також я дуже вдячний доктору фіз.-мат. наук Жданову Р.З. за довголітню плідну наукову співпрацю; професору Нікітіну А.Г. та всім співробітникам відділу прикладних досліджень Інституту математики НАН України за постійний інтерес до моїх результатів, підтримку і допомогу.

ОСНОВНИЙ ЗМІСТ РОБОТИ

У вступі обґрунтовано актуальність, розкрито суть, мету і наукову новизну проведених досліджень та коротко викладено зміст основної частини роботи.

Кожен розділ роботи починається з короткого вступу, в якому перераховано задачі, що в ньому розглядаються, і подано зміст розділу за підрозділами. В заключному підрозділі кожного розділу сформульовано висновки зі стислим викладенням отриманих в розділі результатів.

Розділ 1, що складається з чотирьох підрозділів, присвячений розв'язуванню задачі групової класифікації диференціальних рівнянь.

У першому підрозділі, перш за все, здійснено постановку задачі групової класифікації нелінійних рівнянь еволюційного типу

(1)

які є основним об'єктом досліджень першого та другого розділів дисертації.

Щодо рівняння (1) ця задача звучить так: описати всі нелінійні рівняння вигляду (1), які мають найвищі симетрійні властивості.

Подальший огляд і аналіз робіт, в яких досліджувалася групова класифікація нелінійних рівнянь вигляду (1), показав, що повністю ця задача була розв'язана лише для рівнянь, які містять довільні функції одного аргументу, оскільки класичний метод розв'язування задачі групової класифікації (метод Лі–Овсяннікова) є ефективним у тих випадках, коли вдається здійснити повний аналіз деякого класифікуючого співвідношення (як правило, це є звичайне диференціальне рівняння або система звичайних диференціальних рівнянь для визначення значень функцій, що входять в досліджуване рівняння). Якщо ж досліджуване рівняння містить функції двох або більше змінних, повний аналіз відповідної системи визначальних рівнянь (яка вже є системою диференціальних рівнянь з частинними похідними першого порядку), взагалі кажучи, стає неможливим.

Так, Л.В. Овсянніков (Журн. прикл. мех. и техн. физ., № 3 (1960), С.126–145), прoвів повну групову клaсифікацію лінійного рівняння другого порядку гіперболічного типу

(2)

увівши до розгляду інваріанти Лапласа h = At +AB-C, k=Bx +AB-C цього рівняння і взявши в якості класифікуючого співвідношення не наслідки системи визначальних рівнянь, а відношення інваріантів Лапласа.

З іншого боку, в груповому аналізі диференціальних рівнянь є добре відомим ряд положень, на яких і грунтується новий підхід, який запропоновано нами для розв'язування задачі групової класифікації диференціальних рівнянь з частинними похідними у просторах з невеликою кількістю незалежних змінних. У прикладанні до рівняння (1) він полягає у виконанні такого алгоритму.

I.

II.

III.

Результатом групової класифікації повинен бути перелік нееквівалентних рівнянь досліджуваного вигляду з наведеними максимальними алгебрами інваріантності цих рівнянь. Основна відмінність запропонованого методу від методу Лі–Овсяннікова полягає у тому, що в класичному методі на чільному місці знаходяться специфікації довільних функцій, від яких приходять до відповідних їм алгебр Лі операторів симетрії, а в запропонованому методі вирішальну роль в груповій класифікації відіграють саме алгебри Лі операторів симетрії (реалізації алгебр Лі), які і визначають відповідні специфікації довільних функцій в досліджуваному рівнянні.

На закінчення підрозділу в якості ілюстративного прикладу використання запропонованого методу проведено групову класифікацію рівняння (2), i показано, що отриманий результат збігається з результатом відповідної класифiкаційної теореми Л.В. Овсяннікова.

Другий і третій підрозділи першого розділу присвячені розв'язуванню задачі групової клаcифікації рівняння теплопровідності з нелінійним джерелом

(3)

У першому пункті другого підрозділу виконано перший крок алгоритму методу.

Твердження 1.2.1. Група симетрії рівняння (3) генерується інфінітезимальними операторами вигляду

(4)

де функції a, b, f, F задовольняють рівність

(5)

Твердження 1.2.2. Групу еквівалентноcті E рівняння (3) складають перетворення

(6)

де

Як випливає із твердження 1.2.1, коли на функцію F не накладено ніяких додаткових умов, окрім її гладкості за аргументами, оператор Q є нульовим, а рівняння (3) у загальному випадкові не допускає ніякої групи інваріантності. Також очевидно, що безпосередній аналіз і побудова розв'язків рівняння (5) (класифікуючого рівняння) є неможливими. Тому у другому пункті підрозділу здійснено другий крок алгоритму методу. Перший класифікаційний результат є наслідком такої теореми.

Теорема 1.2.1. Існують перетворення (6) із групи E, які зводять оператор (4) до одного із таких операторів:

Наслідок 1.2.1. Якщо нелінійне рівняння вигляду (3) допускає одновимірну алгебру інваріантності , то з точністю до еквівалентності воно збігається з одним із таких трьох рівнянь:

Максимальні алгебри інваріантості цих рівнянь відповідно мають вигляд

Далі проведено опис реалізацій двовимірних дійсних алгебр Лі (які з точністю до ізоморфізму вичерпуються двома алгебрами ( ) та ( )) в класі операторів (4) з точністю до еквівалентності, яку визначає дія перетворень (6) із групи E. Подальший розгляд цих реалізацій як алгебр інваріантності нелінійних рівнянь вигляду (3) привів до такого результату. Далі ми використовуємо такі позначення:

Теорема 1.2.2. Нелінійні рівняння вигляду (3), які допускають двовимірні алгебри інваріантності, з точністю до еквівалентності вичерпуються такими рівняннями:

У третьому пункті другого підрозділу завершено виконання другого кроку алгоритму методу. Тут описано усі нелінійні рівняння вигляду (3), які інваріантні відносно тривимірних алгебр Лі операторів симетрії . Зокрема виявилося, що існує лише одне рівняння заданого вигляду, яке інваріантне відносно напівпростої алгебри Лі операторів симетрії. Ця алгебра є ізоморфною алгебрі sl(2,R) ( ).

Теорема 1.2.3. Нелiнiйнi рівняння вигляду (3), які допускають алгебри інваріантності ізоморфні напівпростим алгебрам Лі, з точністю до еквівалентності вичерпуються рівнянням

де G — довільна гладка функція змінної . У випадку довільного значення функції G максимaльною алгеброю інваріантності цього рівняння є така реалізація алгебри sl(2,R):

.

Також тут отримано ще 27 нееквівалентних нелінійних рівнянь вигляду (3), максимальними алгебрами інваріантності яких є тривимірні розв'язні алгебри Лі операторів симетрії.

Завершення групової класифікації нелінійних рівнянь вигляду (3) проведено в трьох пунктах третього підрозділу, де отримано перелік нееквівалентних рівнянь вигляду (3) з найвищими симетрійними властивостями.

Теорема 1.3.1. З точністю до еквівалентності нелінійні рівняння вигляду (3), які допускають алгебри інваріантності, ізоморфні алгебрам Лі операторів симетрії з нетривіальним розкладом Леві, вичерпуються рівнянням Бюргерса , максимальна алгебра інваріантності якого є ізоморфною алгебрі .

Виявляється, що саме рівняння Бюргерса, яке знайшло широкі застосування у фізиці, має найвищі симетрійні властивості серед рівнянь досліджуваного вигляду. Ще одинадцять нелінійних рівнянь вигляду (3) є інваріантними відносно чотиривимірних розв'язних алгебр Лі операторів симетрії.

Основним об'єктом досліджень другого розділу дисертації є рівняння вигляду

(7)

Тут основною задачею є групова класифікація нелінійних рівнянь вигляду (7), яка розв'язується в перших двох підрозділах розділу.

У підрозділі 2.1, який розбито на два пункти, проводиться опис рівнянь, які інваріантні відносно алгебр Лі операторів симетрії з нетривіальним розкладом Леві. У першому пункті підрозділу проведено попередню групову класифікацію рівняння (7).

Твердження 2.1.1. Група симетрії рівняння (7) генерується інфінітезимальними операторами вигляду

(8)

де дійсні гладкі функції a, b, c, F, G задовольняють такі дві рівності:

Тут і далі і т.п.

Твердження 2.1.2. Групу E складають перетворення

(9)

де .

Теорема 2.1.1. Iснують заміни змінних (9), які зводять оператор (83) в один із таких двох операторів: .

Наслідок 2.1.1. Якщо нелінійне рівняння вигляду (7) допускає одновимірну алгебру інваріантності A1, то з точністю до еквівалентності воно збігається з одним із таких двох рівнянь:

Алгебри інваріантності цих рівнянь відповідно мають вигляд

Опис рівнянь, які інваріантні відносно алгебр Лі операторів симетрії з нетривіальним розкладом Леві проведено у другому пункті першого підрозділу. Для цього спочатку проведено опис рівнянь досліджуваного вигляду, які інваріантні відносно напівпростих алгебр Лі операторів симетрії. Далі де .

Теорема 2.1.2. З точністю до еквівалентності в класі операторів (8) існує одна реалізація алгебри so(3)

(10)

яка є алгеброю інваріантності рівняння вигляду (7). При цьому в (7)

(11)

Якщо в (11) — довільна функція свого аргументу, то реалізація (10) є максимальною алгеброю інваріантності цього рівняння.

Теорема 2.1.3. З точністю до еквівалентності в класі операторів (8) існують п'ять реалізацій алгебри sl(2,R), які є алгебрами інваріантності рівнянь вигляду (7):

(12)

(13)

(14)

(15)

(16)

Значення функцій F і G у відповідних інваріантних рівняннях такі:

sl(2,R) | F | G

(12)

(13)

(14)

(15)

(16)

Якщо в інваріантних рівняннях функції і є довільними функціями своїх аргументів, то відповідні реалізації алгебри sl(2,R) є максимальними алгебрами інваріантності цих рівнянь. Максимальною алгеброю інваріантності рівняння (третього в перелікові) є п'ятивимірна алгебра Лі операторів симетрії, ізоморфна алгебрі , де sl(2,R) збігається з реалізацією (14), а .

Теорема 2.1.4. В класі операторів (8), окрім отриманих реалізацій алгебр so(3) та sl(2,R), не існують іншi реалізації напівпростих алгебр Лі, які були б алгебрами інваріантності нелінійних рівнянь вигляду (7).

Оскільки рівняння, які отримано в теоремах 2.1.2, 2.1.3, містять довільні функції однієї змінної, то для їх аналізу було використано стандартний метод Лі–Овсяннікова. В результаті досліджeння було отримано, що нелінійні рівняння вигляду (7), максимальними алгебрами інваріантності яких є алгебри Лі операторів симетрії з нетривіальним розкладом Леві, з точністю до еквівалентності сімома рівняннями.

Опис нелінійних рівнянь вигляду (7), які інваріантні відносно розв'язних алгебр Лі операторів симетрії проведено в другому підрозділі розділу. Для цього у першому пункті підрозділу проведено попередню класифікацію таких рівнянь. Тут отримано, що з точністю до еквівалентності існують п'ять та двадцять вісім нелінійних рівнянь вигляду (7), які інваріантні відповідно відносно дво- та тривимірних розв'язних алгебр Лі операторів симетрії.

Завершення групової класифікації нелінійних рівнянь вигляду (7), які інваріантні відносно розв'язних алгебр Лі операторів симетрії, здійснено у дрyгому пункті підрозділу. Тут описано всі такі рівняння з найвищими симетрійними властивостями. Виявилося, що з точністю до еквівалентності такі рівняння вичерпуються тридцятьма рівняннями, максимальними алгебрами інваріантності яких є чотиривимірні розв'язні алгебри Лі операторів симетрії, та трьома відомими рівняннями із теорії фільтрації

максимальними алгебрами інваріантності яких є п'ятивимірні розв'язні алгебри Лі операторів симетрії.

Проблемі використання високих симетрійних властивостей нелінійних рівнянь вигляду (7) для побудови їх точних розв'язків присвячений третій підрозділ другого розділу. У першому пункті підрозділу розглянуто класичну симетрійну редукцію i побудовано точні розв'язки для ряду рівнянь вигляду (7), максимальними алгебрами інваріантності яких є чотиривимірні розв'язні алгебри Лі операторів симетрії. Так, зокрема, для рівняння

отримано такі нетривіальні точні розв'язки:

де

Повний перелік результатів cиметрійної редукції розглянутих рівнянь подано в додатку 1.

У другому пункті третього підрозділу розглянуто питання про можливості використання некласичних (Q-умовних) локальних симетрій для інтегрування рівнянь еволюційного типу

(17)

частинним випадком яких є розглянуті вище рівняння.

Згідно із загальною процедурою пошуку Q–умовних симетрій, оператори умовної симетрії розглядалися у вигляді

(18)

де T=1 або T=0, X=1.

Теорема 2.3.1. Нехай рівняння вигляду (17) є умовно інваріантним відносно оператора (18), в якому T =0, X=1. Тоді визначальнe для функції U(t,x,u) рівняння є еквівалентним рівнянню (17).

Згідно з результатaми теореми 2.3.1 проблема знаxодження нових (неліївських) операторів симетрії (18) (T=0, X=1) для рівняння вигляду (17) є еквівалентною задачі побудови нових (які не можна отримати в класичному підході Лі) розв'язків цього рівняння. Далі показано, що коли в (18) T=1, то для ряду розглянутих рівнянь оператори Q–умовної симетрії збігаються з операторами класичної (в сенсі Лі) симетрії цих рівнянь. Отже, не зважаючи на певний прогрес у використанні некласичних симетрій для побудови нових розв'язків ряду нелінійних диференціальних рівнянь з частинними похідними, метод класичної симетрійної редукції залишається основним генератором точних розв'язків для рівнянь з нетривіальними симетрійними властивостями.

Саме проблемі симетрійної редукції конформно–інваріантних систем диференціальних рівнянь з частинними похідними присвячено два наступних розділи дисертації.

У третьому розділі проведено побудову універсальної лінійної конструкції конформно-інваріантних анзаців, яким відповідає редукція ряду відомих систем диференціальних рівнянь з частинними похідними до систем звичайних диференціальних рівнянь.

Для цього у першому підрозділі проведено аналіз загальної процедури симетрійної редукції і показано, що коли локальна група перетворень G генерується інфінітезимальними операторами вигляду

то G–інваріантний анзац для векторного поля u = u(x)=(u1, u2, …, uq), x = (x1, x2,…, xp), можна подати в лінійному вигляді

(19)

де — деяка відома невирoджена –матриця, s— ранг групи G.

Відомі ж реалізації в класі векторних полів Лі груп P(1,3), , C(1,3) можна подати у вигляді

(20)

У формулах (20) — cуть –матриці, що реалізують зображення алгебри Лі o(1,3) групи перетворень Лоренца O(1,3), тобто мають місце комутаційні співвідношення

де — тензор простору Мінковського ; E— одинична –матриця,

символ означає скалярний добуток. Тут і далі, піднімання та опускання індексів здійснюється за допомогою метричного тензора простору Мінковського , а за індексами, що повторюються, передбачено підсумовування в межах їх зміни: від 0 до 3 за індексами та від 1 до 3 за індексом a. Число k— деяке цілком визначене число, яке називається степенем конформності алгебри c(1,3).

У відповідності з цим природним є пошук конформно–інваріантних анзаців у вигляді (19), де матриця має вигляд

(21)

Тут — відомі матриці , — довільні гладкі функції, визначені в деякій області простору Мінковського незалежних змінних R1,3.

Оскільки основною метою третього розділу є побудова конформно-інваріантних анзаців, яким відповідає симетрійна редукція до систем звичайних диференціальних рівнянь (в аназаці (19) є вектор-функцією однієї змінної), то в другому підрозділі здійснено опис підалгебр рангу 3 (s=3) алгебр Лі p(1,3), , c(1,3) груп P(1,3),, C(1,3) з точністю до конформної спряженості.

Безпосередній побудові конформно-інваріантних анзаців присвячений третій підрозділ розділу. Тут, з використанням базису алгебри o(1,3), який складають мариці () для кожної із підалгебр рангу 3 алгебр p(1,3), , c(1,3) здійснено побудову відповідних анзаців (19), в яких матрицю взято у вигляді

(22)

де — довільні гладкі функції, визначені в деякій відкритій області

Явний вигляд функцій у кожному анзаці було знайдено в результаті інтегрування відповідної системи рівнянь

(23)

де визначаються виглядом базисних операторів кожної підалгебри конформної алгебри рангу 3, H— матриця (22),

При цьому для інтегрування другої групи рівнянь (23) було використано результати наступного твердження, що значно скоротило об'єм обрахунків.

Теорема 3.3.1. Друга група рівнянь (23) зводиться до такої системи диференціальних рівнянь з частинними похідними для визначення значень функцій :

(24)

В (24) =0,1,2,3; a=1,2,3. Вигляд лінійних опеpаторів та функцій визначається базисними операторами деякої підалгебри рангу 3 алгебри c(1,3).

У четвертому підрозділі третього розділу, в якості ілюстративного прикладу, лінійну конструкцію конформно-інваріантних анзаців було використано для симетрійної редукції системи рівнянь Максвелла у вакуумі

(25)

Це дозволило побудувати десять сімей точних розв'язків рівнянь (25), які не можна отримати прямою редукцією за раxунок зменшення кількості незалежних змінних.

Четвертий розділ дисертації присвячений симетрійній редукції і побудові точних розв'язків SU(2) рівнянь Янга–Міллса в просторі Мінковського. Класичні рівняння Янга–Міллса SU(2) калібровної теорії в просторі Мінковського R1,3 складають систему дванадцяти нелінійних диференціальних рівнянь з частинними похідними другого порядку, яка має такий явний вигляд:

(26)

У цьому розділі роботи індекси їх піднімання та опускання здійснюється за допомогою метричного тензора простору Мінковського, — вектор–потенціали поля Янга–Міллса (надалі ми називаємо їх просто полями Янга–Міллса), .

Максимальною (в сенсі Лі) групою інваріантності рівнянь (26) є група C(1,3) SU(2), де C(1,3)— 15–параметрична група локальних перетворень, а SU(2)— нескінченно–параметрична унітарна група калібровних перетворень.

Оскільки група C(1,3) генерується операторами вигляду (20), то є можливість використання побудованих в третьому розділі анзаців для симетрійної редукції рівнянь (26). Але пряме використання побудованих анзацiв для симетрійної редукції рівнянь (26) є досить незручним. Тому у першому підрозділі проведено зведення P(1,3)– та –інваріантних анзаців до більш зручного (коваріантного) вигляду. Так, зокрема, використання процедури розмноження розв'язку перетвореннями із групи Лоренца дозволило подати P(1,3)–інваріантні анзаци для полів Янга–Міллса у вигляді

(27)

де

(28)

Тут довільні параметри, які задовольняють співвідношення В (27), (28) функції мають цілком конкретний вигляд для кожної із підалгебр рангу 3 алгебри p(1,3).

Коваріантна форма P(1,3)– та –інваріантних анзаців дозволила провести в другому підрозділі симетрійну редукцію рівняння (26) у загальному вигляді.

Теорема 4.2.1. Анзац (27), (28) редукує систему (26) до системи звичайних диференціальних рівнянь другого порядку

(29)

При цьому коефіцієнти редукованої системи мають вигляд

(30)

де — деякі функції незалежної змінної , які визначаються із співвідношень

Значення коефіцієнтів (30) для кожної із підалгебр рангу 3 мають цілком конкретний вигляд.

До аналогічного результату привела і –інваріантна редукція рівнянь (26). Повний перелік редукованих систем, відповідних підалгебрам рангу 3 алгебри наведено в додатку 2.

Також в другому підрозділі розглянуто і симетрійну редукцію самодуальних рівнянь Янга–Міллса

(31)

де — тензор поля Янга–Міллса, — антисиметричний тензор четвертого рангу. Оскільки симетрія рівнянь (31) збігається із симетрією рівнянь (26), то для їх редукції було використано ті ж самі анзаци.

Повний перелік редукованих систем для рівнянь (31) за підалгебрами рангу 3 алгебр p(1,3), наведено в додатку 3.

Аналіз редукованих систем та побудовy точних розв'язків рівнянь Янга–Міллса (26) проведено в третьому підрозділі четвертого розділу. Для інтегрування редукованих систем було використано метод, який полягає у зведенні цих систем до систем з меншою кількістю рівнянь за допомогою спеціально підібраних підстановок. В результаті було побудовано 28 сімей багатопараметричних неабелевих розв'язків рівнянь Янга–Міллса (26).

Також тут розглянуто деякі узагальнення отриманих розв'язків системи (26).

П'ятий розділ дисертації присвячений побудові реалізацій в класі лінійних диференціальних операторів (векторних полів Лі) алгебр Лі ряду груп локальних перетворень простору залежних та незалежних змінних (груп Пуанкаре P(n,m), Евкліда E(k) та їх природних узагальнень— груп Галілея, розширених груп Евкліда та Пуанкаре, конформних груп). Особлива увага тут звернута на коваріантні реалізації алгебр Лі груп P(1,2), P(2,2), E(3), E(4), які є групами інваріантності ряду важливих модельних диференціальних рівнянь та систем диференціальних рівнянь.

Перший підрозділ розділу має допоміжний характер. У ньому введено в розгляд основні поняття та означення, які використовуються у подальшому.

Нехай є p +q-вимірний простір дійсних змінних та , які надалі ми розрізняємо як незалежні та залежні ( ) змінні, G— локальна група перетворень, яка діє в V й векторні поля Лі якої мають вигляд

(32)

де — деякі дійсні гладкі функції змінних та , визначені в деякій області просторy V, i=1,2,…, p, j=1,