НАЦIОНАЛЬНА АКАДЕМІЯ НАУК УКРАЇНИ

ІНСТИТУТ ФІЗИКИ КОНДЕНСОВАНИХ СИСТЕМ

На правах рукопису

МАРКОВИЧ Богдан Михайлович

УДК 530.415

ТЕРМОДИНАМІЧНІ ТА СТРУКТУРНІ ХАРАКТЕРИСТИКИ НЕОДНОРІДНОГО ЕЛЕКТРОННОГО ГАЗУ

01.04.02 – теоретична фізика

А В Т О Р Е Ф Е Р А Т

дисертації на здобуття наукового ступеня

кандидата фізико-математичних наук

Львів – 2003

Дисертацією є рукопис.

Роботу виконано в Національному університеті “Львівська політехніка”

Науковий керівник— | кандидат фізико-математичних наук, професор Костробій Петро Петрович, Національний університет “Львівська політехніка”, завідувач кафедри прикладної математики, проректор.

Офіційні опоненти:— | доктор фізико-математичних наук, професор Мельничук Степан Васильович, Чернівець-кий Національний університет імені Ю.Федько-ви-ча, проректор;

кандидат фізико-математичних наук Сов’як Євген Миколайович, старший науковий спів-ро-біт-ник, відділ теорії нерівноважних про-це-сів в рідинах і плазмі, Інститут фізики кон-ден-со-ва-них систем НАН України—

Провідна організація: — | Інститут теоретичної фізики НАН України імені М. М. Боголюбова, відділ теорії та моде-лю-ва-ння плазмових процесів, м. Київ.

Захист відбудеться “4” лютого 2004 р. о “1530”на засіданні спеціалізованої вченої ради Д .156.01 при Інституті фізики конденсованих систем Національної академії наук України за адресою:

79011, м. Львів, вул. Свєнціцького, .

З дисертацією можна ознайомитись у науковій бібліотеці Інституту фізики конденсованих систем НАН України за адресою:

79026, м. Львів, вул. Ко-зель-ницька, .

Автореферат розіслано “26” грудня 2003 р.

Вчений секретар

спеціалізованої вченої ради Д .156.01,

кандидат фіз.-мат. наук Т. Є. Крохмальський

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальність теми досліджень. Сучасна фізика поверхні переживає швидкий розвиток як у теоретичному, так і експериментальному напрямках дослідження. Ба-га-то практично важливих явищ пов'язано з процесами, які відбуваються на поверхні поділу газ — метал, газ — рідина, рі-ди-на — тверде тіло. Так, процеси адсорбції, де-сорбції, дифузії атомів, іонів, полярних та магніт-них мо-ле-кул чи кластерів на поверхні металів, діелектриків, напівпровідників відіграють одну з цент-раль-них ро-лей для розвитку наноструктурних, тонкоплівкових технологій у мікро- та оп-то-електроніці. Такі процеси є важливими в отриманні тонкоплівкових структур, острів-цевих ланцюж-кових струк-тур, квантових точок, надграток, самоорганізуючих адсорбатів (Кукуш-кин С. А., Осипов А. В. // Усп. физ. наук, 1998, 168, с.1083-1116).

Дифузійні процеси, механізми адсорбції, десорбції є визначальними також в каталітичних ре-ак-ціях на активних поверхнях (Behm// Acta Phys. Polon. A, 1998, 93, p.259-272), структура, електронна будова яких у цих процесах відіграють центральну роль. Такі процеси та явища є об'єк-тами інтенсивних експе-ри-мен-тальних досліджень (скануюча тунельна мікроскопія, скануюча ту-нельна спектро-скопія, польова іонна мікроскопія та їх модифікації), які дають усе більш деталь-ну інформацію про електронну будову, дифузійні процеси, структурні перетворення на поверхні ме-та-лів, діелектриків, напівпровідників, високотемпературних над-про-від-ників (Moriarty// Rep. Prog. Phys., 2001, 64, p.297-381). Неважко собі уявити як важливо було б детально розібратися у ме-ха-ніз-мах та характерах проходження цих процесів, а це неможливо зробити без вивчення електрон-ної структури біля поверхні поділу. У представленій роботі дос-лід-жу-ють-ся властивості поверхні поділу метал (модель “желе”) – вакуум, і вже тут виникають фун-да-мен-тальні труднощі, пов’язані з сильною неоднорідністю електронної гутини у приповерхневій області.

На сьогоднішній день основними методами дослідження таких просторово не-однорідних сис-тем є метод функціоналу густини та квантові методи Монте-Карло. За останні три з половиною де-ся-тиліття майже усі розрахунки електронної струк-ту-ри з перших принципів були виконані за до-по-могою методу функціоналу густини (JonesGunnarsson// Rev. Mod. Phys., 1989, 61, p.689-746) у наближенні локальної густини та при різних модифікаціях градієнтних розкладів (PerBurkeErnzerhof// Phys. Rev. Lett., 1996, 77, p.3865-3868). Проте в методі функ-ціо-налу густини, який є адекватним для опи-су систем із плавною зміною електрон-ної густини, що не є характерним для згаданих вище систем, існує відома проб-ле-ма коректності розкладів за гус-ти-ною та її градієнтів у випадку великих градієнтів електрон-ної густини. Крім того, метод функціо-налу густини не дає можливості знай--ти бінарну функцію розподілу електронів, а отже, неможливо коректно враху-вати обмінно-кореляцій-ні ефек-ти у просторово неоднорідному електронному газі.

Квантові методи Монте-Карло (FoulkesMitasNeedsRajago// Rev. Mod. Phys., 2001, 73, p.33-83) є, по-суті, комп'ютерними експе-ри-мен-тами, успішність яких у знач-ній мірі залежить від адекватності вибраної пробної хвильо-вої функції розглядуваній системі.

Усі вище наведені чинники, а також відсутність загальної методологічної ба-зи для тео-ре-тич-ного дослідження просторово неоднорідного електронного газу, зу-мов-люють актуальність дос-лід-жень у цьому напрямі. Зокрема, важливим є розгляд термо-динамічних та структурних функ-цій напівобмеженого металу в найпростішій моделі — моделі “желе”, оскільки ця система може бути використана як ба-зо-ва при дослідженні більш складних систем.

Зв’язок роботи з науковими програмами, планами і темами. Дисертаційна робота ви-ко-на-на в Національному університеті “Львівська політехніка” згідно з пла-нами науково_дос-лід-них ро-біт за темами:

·

·

Мета дослідження.

Об’єктом досліджень є просторово неоднорідний електронний газ.

Предмет досліджень дисертаційної роботи — термодинамічні та структурні ха-рак-теристики напівобмеженого металу в моделі “желе”.

За метод досліджень обрано метод функціонального інтегрування.

Метою роботи є розрахунок термодинамічних та структурних характеристик просторово неоднорідного електронного газу для випадку напівобмеженого металу, який описується в рамках моделі “желе”. Це передбачає: побудову представлення для великої статистичної суми у вигляді функціонального інтегралу та роз-роб-лення підходу для його розрахунку, роз-ра-ху-нок ефективного потенціалу міжелектронної вза-є-модії, побудову представлення для _час-тин-кової функції роз-по-ді-лу електронів у вигляді функціонального інтегралу та отримання за-галь-ного виразу для неї. Чи-сель-ний розрахунок унарної та бінарної електронних функцій розподілу, по-рів-няль-ний аналіз розрахованих значень поверхневих характеристик на-пів-об-ме-же-но-го ме-талу (ди-поль-ний бар'єр, по-верх-нева енергія) із експериментальними даними та ві-до-ми--ми результатами, які отримані за до-по-мо-гою інших методів також становить мету виконаних досліджень.

Наукова новизна отриманих результатів полягає в наступному:

запрoпоновано новий підхід для обчислення термодинамічного потенціалу, який по-ля-гає у зве-ден-ні відповідного не-гаусівського функціонального інтегралу до гау-сівсь-кої форми із пе-ре-нор-мо-ва-ним ко-ре-лятором “гус-тина-густина”; показано, що в та-ко-му підході для розрахунку цього по-тен-ціалу достатньо знати ефективний потенціал міжелектронної взаємодії. Отримано рівняння для ефективного по-тен-ціалу між-електронної взаємодії та знайдено його аналітичні розв’язки у наближенні Тома-са_Фер-мі для кореляційної функціїї “гус-тина-густина” при використанні набли-жен-ня “пос-тій-ної гус-ти-ни” для електронної квантово-механічної імовірності. Чисельно роз-в'язано інтегральне рівняння для ефектив-но-го потенціалу у наближенні Томаса-Фермі без використання наближення “постійної густини” та показано, що це набли-ження є добрим при великих (, – імпульс в площині паралельній до по-верх-ні) імпульсах пе-ре-да-чі між електронами.

Знайдено аналітичний вираз для екранованого потенціалу, що побудований на дво--частин-ковій кореляційній функції “гус-тина-густина”, в якій враховано куло-нівсь-ку взаємодію між електронами. Для цієї кореляційної функції отримано інтегральне рівняння типу згортки та знай-де-но його аналітичний розв'язок у випадку низьких температур.

Методом функціонального інтегрування знайдено загальний вираз для s-час-тин-кової функції розподілу електронів просторово неоднорідної системи. Пока-зано, що для розрахунку цієї функції дос-татньо знати s-частинкову функцію роз-по-ділу іде-аль-ної системи (тобто без врахування ку-ло-нівської взаємодії) та ефективний по-тен-ціал міжелектронної взаємодії розглядуваної системи.

Отримано аналітичні вирази для унарної та бінарної функцій розподілу електро-нів у гра-нич-них випадках низьких та високих температур. Показано, що от-ри--мані вирази для унарної та бі-нар-ної функ-цій розподілу при високих темпе-ра-турах узгоджуються із відомими виразами; у загаль-но-му випадку для бінарної функ-ції роз-поділу електро-нів виконується прин-цип ослаблення ко-ре-ля-цій. При низьких тем-пе-ра-турах для певних значень електронних концентрацій чисельно роз-ра-хо-ва-но унар-ну та бінарну функції розподілу електронів. Результати розрахунків унарної функції роз-по-ділу по-рів-ня-но із отриманими за допомогою методів функціоналу гус-ти-ни та Мон-те_Карло.

Проведено розрахунки дипольного бар'єру, електростатичного потенціалу та по-верхневої енер--гії напівобмеженого металу у моделі “желе”. Для розрахунку цих поверхневих характеристик ви-користано попередньо розраховані унарну та бінарну електронні функції розподілу. Величину дипольного бар'єру порівняно із ре-зуль-та-тами інших дос-лід-ни-ків (метод функціоналу густини) та напівемпіричними даними; виявлено, що метод функціо-на-лу густини дає завищені значення (у порівнянні з на-півемпіричними даними та розрахованими у представленій роботі) в області , де -параметр Бракнера. В області результати роз-ра-хун-ків не-по-га-но уз-год-жують-ся із розрахованими методом функ-ціоналу густини. Порівняння роз-рахованих значень поверхневої енергії із ре-зуль-татами ін-ших дослідників та експериментальними даними показало, що в області спос-те-рі-гається добре узгодження із експериментом та отри-ма-ни-ми да-ни-ми за допомогою методу функ-ці-о-на-лу густини; в області результати відносно добре узгод-жу-ються із експе-ри-ментальними даними, тоді як для поверхневої енергії всі відомі розрахунки дають занижені, а в області нефізичні від’ємні значення.

Теоретичне та практичне значення отриманих результатів. Знайдені аналі-тич-ні вирази для ефективних потенціалів та функцій розподілу електронів мають фун-даментальне значення та можуть бути використані у тео-ре-тич-ному та експе-ри-мен-тальному вивченні взаємодії заряджених час-тинок біля поверхні ме-талу, електронної структури у приповерхневій області, а це є важливим при дослідженні процесів ад-сорб-ції, десорбції. Отримані результати в моделі “желе” можуть бути ви-ко-ристані як ба-зо-ві при врахуванні дискретності іонної підсистеми, а також при дос-лідженні слабонерівноважних дифузійно-реакційних процесів. У методичному пла-ні отримані результати є корисними з точки зору численних засто-су-вань до інших більш складних сис-тем, наприклад, “метал — адсорбат — газ”.

Особистий внесок здобувача. Основні результати дисертації отримані автором самостійно. У спільних працях автору належить:

·

·

·

·

·

·

Автор приймав безпосередню участь в аналізі та інтерпретації усіх отриманих ре-зуль--татів.

Апробація роботи. Основні результати дисертаційної роботи доповідались та об--го-во-рю-ва-лись на наступних конференціях:

1.

2.

3.

4.

5.

Матеріали роботи також доповідалися на семінарах кафедри прикладної математики На-ці-о-наль-но-го університету “Львівська політехніка” та на семінарах Інституту фізики конденсованих систем НАН України.

Публікації. За матеріалами дисертації опубліковано 12 робіт, а саме: 5 статей в наукових жур--на-лах, визначених переліком ВАК України, 5 тез конференцій та 2 препринти. Перелік пуб-лі-ка-цій подано в кінці автореферату.

Структура та об’єм дисертації. Дисертаційна робота складається зі вступу, чотирьох роз-ді-лів, двох додатків, списку використаних джерел. Кожний розділ ди-сертації розпочинається зі всту-пу та завершується висновками. Робота викладена на 115 сторінках (разом з літературою – 131 сто-рін-ка машинописного тексту). Спи-сок використаної літератури містить 156 най-ме-ну-ван-ь науко---вих пуб-лікацій у віт-чиз-ня-них та закордонних виданнях

ЗМІСТ РОБОТИ

У вступі обґрунтовується актуальність досліджень, що проводяться у ди-сер-тації, фор-му-лю-єть-ся мета роботи, відзначається наукова новизна отриманих ре-зуль-та-тів.

У першому розділі коротко аналізуються основні праці, які стосуються експе-риментальних та теоретичних досліджень просторово неоднорідного електрон-но-го газу. Обговорюються різні су-час-ні підходи, що використовуються для теоре-тич-ного опису таких систем, а саме: метод функ-ці-о-на-лу густини, метод функцій Гріна та кван-тові методи Монте-Карло. Відзначено необхідність ко-рект-ного врахування об-мін-но-кореляційних ефектів при розрахунку структурних функцій та тер-мо-ди-на-міч-них характеристик просторово неоднорідних систем. Приведено основні тео-ре-тич-ні спів--від-ношення та результати для моделі “желе”.

У другому розділі проведено розрахунок термодинамічного потенціалу прос--торово не-од-но-рід-ного електронного газу методом функціонального інтег-ру-ван-ня; показано, що для роз-ра-хун-ку достатньо знати ефективний потенціал між-електрон-ної взаємодії такої системи.

Розглядається система електронів у полі додатного однорідно роз-по-ді-ле-но-го заряду, який обмежений площиною (площина поділу). В силу симетрії задачі вважаємо, що рухові електрона в площині, яка паралельна до поверхні поділу, відповідають плоскі хвилі. Внаслідок притягання додатний заряд створює деякий потенціал (поверхневий потенціал) для електронів, що робить енергетично неви-гід-ним покидання електроном металу. У дисертаційній роботі цей по-верхне-вий по-тенціал моделюється потенціальним бар’єром

,

для якого існують точні розв’язки. Гамільтоніан розглядуваної системи у пред-став-ленні вторинного кванту-вання, яке по-бу-до-ване на хвильових функціях електрона (що розв’язками рівняння Шредінгера із потенціалом ), має такий вигляд:

, | (1)

де змішане фур’є-представлення локальної густини електро-нів, індекс відповідає за розклад Фур’є по нормальній координаті до поверхні поділу, а двовимірний вектор за розклад Фур’є у площині паралельній до по-верхні поділу; та відповідно три- та двовимірний фур’є-образ куло-нівської взаємодії, , відповідно оператори на-роджен-ня та знищен-ня електрона в стані ; імпульс електрона у площині поділу, деяке кван-то--ве число, яке характеризує нормальний до поверхні поділу рух електрона, енер-гія електрона, площа поверхні поділу, визначає область зміни нормальної координати. Пер-ший доданок гамільтоніану (1) відповідає ідеальній системі (не враховано кулонівську взає-мо-дію між електронами), решта враховують електронні кореляції за рахунок кулонівської взаємодії.

Велика статистична сума у представленні взаємодії має вигляд:

, | (2)

де велика статистична сума ідеальної системи (тобто без врахування ку-ло-нівської взаємодії між електронами, перший доданок гамільтоніану). Розрахунок у методі функціонального інтегрування зводиться до розрахунку негаусівського інтегралу:

, , | (3)

де -частинкова кореляційна функція “густина-густина”, , , , бозівська частота, . Внаслідок негаусівської форми функ-ці-о-наль-ного інтегралу (3) його роз-ра-ху-нок є нетривіальною задачею. Нами за-про---по-но-ва-но апроксимувати підінтегральну функ-цію гаусівською формою:

, | (4)

де невідомий оператор, який шукаємо з рівняння:

, | (5)

де введено такі позначення:

. | (6)

Розв’язок рівняння (5) у матричному вигляді є таким:

, | (7)

де , , одинична матриця, двочастинкова кореляційна функція “гус-ти-на-густина”, причому, на відміну від кореляційної функції , усе-ред-нення проводиться по усій сис-те-мі (а не по ідеальній). У цьому випадку тер-мо-динамічний потенціал можна представити так:

, | (8)

де термодинамічний потенціал невзаємодіючої системи, ефек-тив-ний потенціал міжелектронної взаємодії:

. | (9)

Як бачимо із виразу (8), для розрахунку термодинамічного потенціалу достатньо зна-ти ефектив-ний потенціал парної між-електрон-ної взаємодії.

Для розрахунку ко-ре-ля-ційної функції у ди-сер-та-цій-ній роботі ви-ко-ристано ме--тод, який за-про-поно-вано у праці: Ва-кар-чук И. А., Рудав-ский Ю. К., По-не-ди--лок Г. В. // Преп-ринт АН УССР ИТФ-81-34P (1981). Знайдено аналітичний ви-раз для двочастинкової ко-ре-ляційної функції, обме-жив--шись враху-ванням чо-ти-ри--час-тин-кових кореля-цій. Така коре-ляційна функ-ція у набли-жен-ні іде-аль--но-го обміну має дельта-подібний пік при снівпа-дан-ні координат електро-нів, врахування ку-ло--нівсь-ких кореляцій приз-водить до розмиття цього пі-ку: електро-ни від-чувають один од-но-го вже на деякій від-далі. У граничних ви-пад----ках низь-ких та високих темпе-ратур у на-бли-женні “пос--тій-ної гус-ти-ни” знай-де-но ана-лі-тич-ні вирази для ефек-тив-них потенціалів. Про-ве-дено дос-лідження ко-рект-нос-ті на-б-ли-ження “пос-тій-ної гус-ти-ни” шля-хом по-рів-няння цих аналі-тичних ви-разів із чи-сель-ним роз-в’яз-ком ін-тег-рального рів-няння для ефек-тивного по-тен--ці-алу без вико-рис-тання на-бли--жен-ня “пос-тійної гус-ти-ни” (рис.1 та рис.2). По-рів-няння по-ка-зало, що при великих ім-пуль--сах передачі () ре--зультати практично спів-па-дають (рис.2), що і фі-зич-но зро-зу-міло: збільшення ім-пульсу пе-ре-да-чі між електро-нами при-зво-дить до розмиття квантово-меха-ніч-ної гус-тини імовірності та встановлення пев-ного квантово-статис-тич-но-го роз-по-ді-лу, який добре опи-сується та-ким прос-тим на-бли-женням яким є на-бли-ження “постійної гус-ти-ни”. Крім цього у другому роз-ділі роз-гля-нуто взаємодію двох за-ряджених частинок бі-ля по-верхні металу та по-ка-зано, що у викла-деному підході коректно враховано сили зображення, що є проб-лемою в інших підходах (зокрема, використання методу функціоналу густини в наб-лиженні локальної густини дає неправильну асимпто-ти-ку сил зображення).

У третьому розділі побудовано функціональне представлення для -частин-кової функції роз-по-ділу електронів та отримано загальний вираз для неї. Роз-раховано унарну та бінарну функції розподілу електронів для напівобмеженого металу в моделі “желе”. Результати розрахунків по-рів-ня-но із результатами інших дослідників, які використовували метод функціоналу густини та кван-тові методи Мон-те-Карло.

Виходячи з означення -частинкової функції розподілу згідно Бо-го-любова:

, | (10)

де радіус-вектор -ої частинки, об’єм системи, хімічний потенціал, та скориставшись функціональним представленням, вперше отримано загальний вираз для неї:

, | (11)

де -частинкова функція розподілу електронів без врахування ку-ло-нівської взає-мо-дії між ними,

.

Показано, що у кла-сичному випадку вираз (11) уз-год-жується із відомими ре-зуль-та-та-ми. Проведено чисельні роз----ра-хун-ки унар-ної функ-ції роз-по-ді-лу при кон-цент--ра--ці-ях електрон--ів, які ха-рак-тер---ні для ме-талів ( ) у ви-пад-ку , хі--міч-ний по-тен-ціал не-взає-мо-ді-ючого електрон-но-го га-зу. На рис.3 наведено ре-зуль-та-ти розра-хунків згід---но фор-му-ли (11) у по-рів-нян-ні із от-ри-ма-ни-ми за до-по-мо-гою ме-то-ду функ-ці--на-лу гус-ти-ни у наб-ли-жен-ні ло-каль-ної гус-ти-ни (Zhang LangPer// Phys. Rev. B, 1990, 41, p.5674-5684) та ме-тоду Мон-те-Карло (AcioCeper// Phys. Rev. B, 1996, 54, p. 17199-17207) для (гра-фі-ки при-ве-де-ні до сис-те--ми коор-ди-нат, яка ви-ко-рис-то-ву-єть-ся в цих пра-цях, тоб-то до-дат-ний за-ряд зна--хо-дить---ся при , по-тен--ці-аль--ний бар'єр у точ-ці , де деякий па-ра-метр, який виз-на-чаєть-ся з умо-ви електро-нейт-раль-нос-ті сис-те-ми). Як бачимо із по-рів-нян-ня, розрахун-ки згід-но фор-му-ли (11) добре узгоджу-ют-ься із роз-ра-хун-ка-ми, які виконані методами Мон-те-Карло та функціоналу гус-ти-ни. Крім того, на рис.4 на-ведено ре-зуль-та-ти розра-хунків згідно фор-му-ли (11) для випадку не-скін-ченно ви-сокого та скін-че-но-го по-тен-ціальних бар’є-рів у по--рів-нян-ні із роз-ра-хун-ками Лен-га (LangKohn// Phys. Rev. B, 1970, 1, p.4555-4567). З рис.4 видно, що зрос-тання висо-ти по-тенці-аль-но-го бар’єру приз-во-дить до більш швидкого спа-дання електрон-ної гус-ти-ни за ме-жами додатного заряду. Роз-ра-хунки для потенціального ба-р’єру скінченої висоти добре уз-год-жу-ються із розрахунками Ленга.

Про-ве-де-но чи-сель-ні розрахунки бінар-ної функції роз-по-ді-лу , де відстань між електронами у площині поділу, та нормальні координати електронів. На рис.5a та рис.5c подано бінарну функцію розподілу електронів у випадку коли один електрон знаходиться в точці (, ) та (, ) відповідно, а інший – в області (, ). З рис.5a та рис.5c видно, що бінарна функція розподілу електронів має мінімум при , , що є наслідком кулонівського від-штов-ху-ван-ня між електронами та неможливості перебування двох електронів в одній точці. Спадання функції у цій області є більш різким, ніж у випадку врахування лише обмінних ефектів. З рис.5b та рис.5d видно, що при наближенні одного із електронів до потенціального бар'єру (площина ) бі-нар-на функція розподілу електронів в області (, ) деформується, тоді як в області (,) вона є аксіально симетричною, оскільки це відпо-ві-дає однорідній системі (два електрони знаходяться в глибині металу). Тобто, електрон при підході до поверхні розділу відчуває не лише ефективне від-штовхування з боку інших електронів, а й починає відчувати по-тен-ціальний бар'єр. Фізично це означає, що електрону енергетично не-ви-гід-но покидати метал.

У четвертому розділі представлено результати розрахунків дипольного бар’єру та по-верх-невої енергії з використанням унарної та бінарної функцій розподілу електронів, які отри-мані у попередньому розділі.

Електростатичний потенціал , який створюється електронами та додатним зарядом, за-до-воль-няє рівняння Пуассона (– концентрація електронів)

,

розв’язок якого є таким:

,

де .

Внаслідок туне-лю-ван-ня електронів за межі додатного заряду виникає дипольний електрич-ний шар, заряд якого за-ва-жає по-даль-шому виходу елек-т-ронів. є по-тен-ці-а-лом такого ди-поль-но-го ба-р'є-ру, а–

його ве-ли-чи-ною.

Електро--ста-тич-ний по---тен-ціал від-ра-хо-ву-є-мо від зна-чен-ня , результати роз-ра-хун-ків пред-став-ле-но на рис.6. Як видно із рис.6, при зрос-тан-ні висоти по-тен-ціаль-но-го бар'є-ру (який відіграє роль по-верх-не-вого по-тен-ці-а-лу) ди-поль-ний бар'єр змен-шу-єть-ся, ос-кіль-ки функ-ція роз-по-ділу електронів швид-ше спа-дає до нуля (елек-тро-нам стає менш енер-ге-тич-но ви-гід--но ту-не-лю-ва-ти-ся крізь по--тен-ці-аль-ний бар'єр). Роз-ра-хун-ки ве-ли-чини ди-поль-ного бар'є-ру у по-рів-нян-ні із ре-зуль-та-та-ми роз-ра-хунків ін--ших до-слід-ни-ків при-ве-де-но на рис.7. Су-ціль-на лінія мо-дель скін-че-ного по-тен-ці-аль-но-го ба-р'є-ру, штри-хо--ва не-скін-чен-но ви-со-кий по-тен-ці-а-ль-ний бар'єр, штрих-пунк-тир-на – роз-ра-хун-ки Лен-га (LangKohn W. // Phys. Rev. B, 1973, 3, p.6010-6012), на-пів-ем-пі-рич-ні да-ні Хей-не і Ходжеса (Дос-ти-жения элек-трон-ной тео-рии метал-лов В 2 т. / Под ред. П. Цише, Г. Ле-ман-на. -М.: Мир, 1984.). З рис.7 видно, що наші роз-ра-хун-ки добре уз-год-жу-ють-ся із на-пів-ем-пі-рич-ни-ми да-ни-ми. Ме-тод функ-ці-оналу гус-тини дає занадто ве-ли-кі зна-чен-ня ди-поль-ного бар'єру в облас-ті високих електрон-них кон-центра--цій у по-рів-нян-ні із напів-ем-пі-рич-ними да-ними.

Поверхневу енергію мож-на представити як суму трьох до-дан-ків (Lang N. D., Kohn// Phys. Rev. B, 1970, 1, p.4555-4567):

,

де кінетична складова поверхневої енергії, електростатична, об-мін-но-кореляційна.

де , – імпульс Фермі;

.

Найбільшу проблему складає розрахунок величини

,

де обмінно-кореляційна енергія (з розрахунку на одну частинку) у точці , оскільки для її роз-ра-хун-ку необхідно знати двочастинкову функцію розподілу електронів. Саме через це не-до-лі-ком роз-ра-хун-ків, які проведені за допомогою методу функціоналу густини, є використання наближення ло-каль-ної густини для величини , тоді, як відомо, її необхідно розраховувати на основі парної функції роз-по-ділу електронів, тобто

,

де

,

функція від-різ-няється від бі-нар-ної функції розподілу заміною на . Проведено роз-ра-ху-нок ве-ли-чи-ни по-верх-не-вої енергії як функ-ції параметра , у ви-пад-ку скін-че-но-го по-тен-ці-аль-но-го бар’є-ру. На рис.8 при-ве-де-но на-ші розра-хун-ки (су--ціль-на лінія), роз-ра-хун-ки Ленга та Ко-на (штри-хо-ва лі-нія), ре-зуль-та-ти пра-ці (PiEgui// Phys. Rev. B, 2001, 63, p.045116-1 – 045116-11) та екс-пе-ри-мен-таль-ні да-ні для де-яких металів (Kiej// Prog. Surf. Sci., 1999, 61, p.85-125). Як видно із рис.8 наші роз-ра-хун-ки кра-ще уз-год-жу-ють-ся із екс--пе---ри-мен-таль-ни-ми да--ни-ми для прос-тих ме---талів. Крім то-го по--верх-нева енер-гія є до---дат-ною в усій області електронних кон-центра-цій (що є фі-зич-но пра-виль-но) на від-міну від усіх по-пе-ред-ніх ре-зуль-татів для моделі “же-ле”. В облас-ті низьких електрон--них кон-цен-тра-цій наші резуль-та-ти добре уз-годжу-ють-ся із отри-ма-ни-ми за до-по-могою ме-тоду функ--ціоналу гус--ти-ни. От-же, ви-ко-рис-тан-ня по---тен-ці-аль-но-го бар'є-ру скін--че-ної ви--со-ти в якос-ті по-верх-не-во-го по-тен-ці-а-лу та ко-рек-тне вра-ху-ван-ня об-мін-но_ко--ре--ля-цій-них ефек--тів доз--во-ляє на-віть у прос-тій мо-делі “желе” от-ри-ма-ти не лише фі-зич-но пра-виль-ну по-ве-дін-ку по-верх-не-вої енер-гії, а й ро-зум-не уз-год-жен-ня із експе-ри-мен-том.

Основні результати та висновки

1.

2.

3.

4.

5.

6.

Результати дисертації опубліковані в таких роботах:

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

12.

АНОТАЦІЇ

Маркович Б. М. Термодинамічні та структурні характеристики не-одно-рід-но-го електронного газу. –Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01.04.02 – теоретична фізика. Національний університет “Львівська політехніка”, Львів, 2003.

Дисертація присвячена теоретичному дослідженню термодинамічних та струк-турних характеристик неоднорідного електронного газу в полі напівобмеженого додатного заряду (модель “желе”). Запрoпоновано новий підхід для обчислення тер-мо-динамічного потенціалу, який полягає у зведенні відповідного негаусівського функціонального інтегралу до гаусівської форми із пе-ре-нор-мованою кореляційною функцією “густина–густина”; показано, що в такому підході для розрахунку цього потенціалу достатньо знати ефективний потенціал міжелектронної взаємодії. У цьо-му ж підході знайдено загальний вираз для -частинкової функції розподілу електро-нів. Роз-ра-хо-ва-но унарну та бінарну функції розподілу електронів у випадку мо-делювання поверхневого по-тен-ці-алу потенціальною сходинкою. На їх основі про-ве-дено розрахунок поверхневих ха-рак-те-рис-тик на-пів-обмеженого металу: ди-поль-ного бар’єру та поверхневої енергії. Порівняння із ре-зуль-татами ін-ших дослідників та експериментальними даними показало: в області спос-терігається добре узгодження із експериментом та отриманими за допомогою методу функ-ці-о-на-лу гус-тини да-ни-ми; в області результати відносно добре узгоджуються із експе--ри-мен-тальними даними, тоді як для дипольного бар’єру метод функціоналу густини дає завищені значення, а для поверхневої енергії занижені, а в області нефізичні від’ємні значення.

Ключові слова: функціональне інтегрування, модель “желе”, функції роз-по-ділу, ефективний потенціал, дипольний бар’єр, поверхнева енергія.

Маркович Б. М. Термодинамические и структурные характеристики не-одно-родного электронного газа. –Рукопись.

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук за специальностью 01.04.02 – теоретическая физика. Национальный университет “Львовская политехника”, Львов, 2003.

Диссертация посвящена теоретическому исследованию термодинамических и структурных характеристик неоднородного электронного газа в поле полуог-ра-ниченного положительного заряда (модель “желе”). Предложен новый подход к расчету термодинамического потенциала, который состоит в приведении соот-ветству-ющего негауссовского интеграла к гауссовой форме из пе-ре-нор-ми-ро-ва-ной корреляционной функцией “плотность – плотность”; показано, что в этом под-ходе для расчета этого потенциала достаточно иметь эффективный потенциал меж-электронного взаимо-действия. В этом же подходе получено общее выражение -частичной функции распре-де-ления электронов. Рас-счи-тано унарную и бинарную функции распределения электронов в случае моделирования поверхностного по-тен-циала потенциальной ступенькой. На их основании про-ве-ден расчет поверхностных характеристик полуограниченого металла: дипольного барьера и по-верхностной энергии. Сравнение с результатами других исследователей и экспериментальными данными показало: в области наблюдается хорошее согласие с экспе-ри-ментом и полу-чен-ными с помощью метода функционала плотности данными; в области результаты от-но-сительно хорошо согласуются с экспери-мен-таль-ными данными, тогда как для дипольного барьера метод функционала плотности дает слишком большие значения, а для поверхностной энергии слишком малень-кие, а в области нефизические отрицательные значения.

Ключевые слова: функциональное интегрирование, модель “желе”, функции рас-пре-де-ле-ния, эффективный потенциал, дипольный барьер, поверхностная энергия.

MarkovychThermodynamic and structural characteristics of an inhoelectron gas. –Manuscript

Thesis for a candidate’s degree by speciality 01.04.02 – Theoretical Physics. Lviv Polytechnic National University, Lviv, 2003.

The work deals with a theoretical study on thermodynamic and structural characteof an inhomogeneous electron gas in the field of a semi-bounded positive charge (jellium model). To calculate the thermodynamic potential a new approach based on reducing the relevant non-Gaussian functional integral to the Gaussian form with a renormalized “density-density” correlator has been proposed. Knowledge on the effective potential of the inter-electronic interactions is shown to be sufficient to calculate the thermo-dynamic potential within the advanced approach. Analytic solutions have been found to the integral equation for the effective potential under low temperatures in a “constant density” approximation for an electronic quantum-mechanical probability, within the framework of an ideal exchange for the “density-density” correlator when modeling the surface potential by means of a potential barrier of finite height.

An integral equation has been obtained for a double-particle “density-density” correlator taking into account the Coulomb interactions between electrons within the system of averaging, and its analytical solution has been found for a low-temperature case. An analytical expression for the screened potential has been found, which is constructed on this correlator.

A general expression for the s-particle electron distribution function of a spatially bounded system has been obtained by means of the functional integration method. Analytical expressions for the one-particle and two-particle electron distribution functions are obtained in the low- and high-temperature limits. The calculation results of the one-particle distribution function have been compared with those obtained by means of the density functional and the Monte-Carlo methods, agreement being revealed.

Calculations have been made of the dipole barrier, the electrostatic potential and the surface energy of a semi-bounded metal within the jellium model. The dipole barrier value has been compared with the results of other researchers (density functional method) and with semi-empirical data; the density functional method has been revealed to yield somewhat high values (as compared to the semi-empirical data and those calculated in this paper) in domain where rs is Brueckner’s parameter. In domain , the calculation results are in good agreement with those calculated by means of the density functional method.

The comparison of the calculated surface energy values with the results of other researchers and with experimental data has revealed that in domain there is a good agreement with the experiment and with the data obtained by means of the density functional method; in domain the results are in a relatively good agreement with the experimental data, whereas for the surface energy all the known calculations yield somewhat low values, and non-physical negative values in domain .

The analytical expressions found for screened potentials and electron distribution functions are of basic importance and can be used in theoretical and experimental study of charged particles interaction near to the surface domain, of electron structure in a near-surface domain, which is important when studying adsorption and desorption processes. The results obtained in a jellium model can be used as assumption data in studying weakly non-equilibrium diffusion-reaction processes. Methodically the results obtained are useful from point of view of numerous applications to other more complex systems, such as the “metal-adsorbat-gas” system.

Key words: functional integration, jellium model, distribution function, effective potential, dipole barrier, surface energy.