НАЦІОНАЛЬНА АКАДЕМІЯ НАУК УКРАЇНИ

ІНСТИТУТ ЕЛЕКТРОДИНАМІКИ

МАЗУРЕНКО Ірина Леонідівна

УДК 621.3.011

ЗМІННЕ ЕЛЕКТРОМАГНІТНЕ ПОЛЕ

ПРОВІДНИКІВ ЗІ СТРУМОМ, РОЗТАШОВАНИХ

НАД ПЛОСКОЮ МЕЖЕЮ ПОДІЛУ СЕРЕДОВИЩ

Спеціальність 05.09.05 – теоретична електротехніка

АВТОРЕФЕРАТ

дисертації на здобуття наукового ступеня

кандидата технічних наук

Київ-2003

Дисертацією є рукопис.

Робота виконана у відділі теоретичної електротехніки Інституту

електродинаміки НАН України, м. Київ

Науковий керівник – доктор технічних наук, с.н.с

Васецький Юрій Макарович,

провідний науковий співробітник відділу

теоретичної електротехніки Інституту

електродинаміки НАН України, м. Київ.

Офіційні опоненти : доктор технічних наук, професор,

член – кореспондент НАН України

Рєзцов Віктор Федорович,

завідувач Відділення комплексних енергетичних

систем відновлюваних джерел енергії

Інституту електродинаміки НАН України, м. Київ ;

кандидат технічних наук

Кучаєв Олександр Андрійович,

старший науковий співробітник відділу

магнітної гідродинаміки Фізико– технологічного

інституту металів і сплавів НАН України, м. Київ.

Провідна установа: Національний технічний університет України “КПІ” МОН України,

кафедра теоретичної електротехніки, м. Київ.

Захист дисертації відбудеться “28” травня 2003 р. об 11-00 годині на засіданні спеціалізованої вченої ради Д 26.187.01 в Інституті електродинаміки НАН України за адресою: 03680, м. Київ-57, проспект Перемоги, 56.

З дисертацією можна ознайомитись у бібліотеці Інституту електродинаміки НАН України (03680, м. Київ-57, проспект Перемоги, 56).

Автореферат розіслано “22” квітня 2003 р.

Вчений секретар

спеціалізованої вченої ради В.С. Федій

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Вступ. При розробці та вдосконаленні ряду електротехнічних пристроїв (ЕТП), зокрема пристроїв термічної обробки металів, левітації, електроімпульсних систем, виникає задача розрахунку тривимірного електромагнітного поля (ЕМП), яке збуджується контуром зі струмом, з урахуванням вихрових струмів у провідних середовищах. Дослідження тривимірних ЕМП в ЕТП являє собою складну в розрахунковому відношенні задачу теорії ЕМП, коли необхідно враховувати як геометрію електромагнітної системи, так і електрофізичні параметри провідного середовища. Задача ще більш ускладнюється, якщо необхідно визначити оптимальні геометричні параметри електромагнітних систем. Такі задачі відносяться до задач синтезу  однієї з найбільш складних проблем у теорії ЕМП.

Розробці методів розрахунку ЕМП та їх дослідженню в ЕТП різного призначення присвячена велика кількість робіт як теоретичного, так і прикладного характеру. Значною мірою прогресу у цьому напрямку досягнуто завдяки науковим основам, які закладено в роботах вчених: Г.А. Гринберга, О.В. Тозоні, К.С. Демирчяна, Ю.П. Емця, А.М. Кравченка, А.П. Ращепкіна, Ю.М. Васецького, О.Д. Подольцева та інш.

Незважаючи на значний прогрес у розробці математичного забезпечення для рішення тривимірних задач ЕМП, проблема розробки ефективних математичних моделей для його розрахунку поблизу провідного середовища і визначення оптимальних геометричних параметрів контурів зі струмом в ЕТП і на теперішній час вирішена недостатньо.

Актуальність теми. Розмаїтість геометричних форм ЕТП із тривимірною структурою ЕМП висуває необхідність розробки у кожному конкретному випадку спеціальних методів розрахунку з урахуванням всіх основних факторів, що визначають електромагнітний процес.

Вирішенню проблеми розрахунку тривимірних ЕМП в ЕТП різного призначення у великій мірі може сприяти розробка нових математичних моделей, які враховують основні геометричні особливості та електрофізичні параметри пристроїв. Причому у зв’язку з великими труднощами, які мають місце при розрахунках, актуальною є розробка, перш за все, наближених математичних моделей. Це дозволить провести дослідження тривимірного ЕМП та визначити оптимальні геометричні параметри просторових контурів зі струмом для розробки нових та вдосконалення існуючих технологічних електромагнітних систем.

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Науково-дослідна робота з теми дисертації проводилася відповідно до планів досліджень НАН України по темі "Система-4" (Шифр .7.3.169), затвердженої постановою Бюро ВФТПЕ НАН України, протокол № від 17.03.1998 р., № ДР 0197U005316, у якій здобувач приймав безпосередню участь. При виконанні науково-дослідної роботи автору належить:– 

розробка математичних моделей для розрахунку тривимірних ЕМП контурів із струмом з урахуванням їх геометричних особливостей та електрофізичних властивостей провідних середовищ;– 

дослідження впливу струмопроводів з просторовою конфигурацією контура на розподіл ЕМП.

Мета і задачі дослідження. Метою роботи є подальший розвиток асимптотичних методів розрахунку змінного тривимірного електромагнітного поля, створеного провідниками зі струмом над плоскою межею поділу середовищ, та розробка на цій основі наближених математичних моделей з урахуванням електрофізичних властивостей провідних середовищ, геометрії просторових контурів та визначення їх геометричних параметрів для забезпечення необхідної щільності потоку електромагнітної енергії в провідне середовище.

Для досягнення поставленої мети необхідно вирішити наступні задачі: 

обґрунтувати та проаналізувати особливості використання асимптотичного методу розрахунку квазістаціонарних ЕМП у системі “просторовий контур зі струмом – провідний півпростір” поблизу межі поділу середовищ;  

розробити наближену математичну модель для розрахунку ЕМП і щільності потоку електромагнітної енергії (ЕМЕ) поблизу струмового контура на основі заміни тривимірного поля локально двовимірним; 

розробити та науково обґрунтувати розрахункову модель для визначення ЕМП контура зі струмом з урахуванням краю провідної поверхні; 

розв’язати задачу по визначенню геометричних параметрів електромагнітних систем з контурами просторової конфігурації для забезпечення необхідної щільності потоку ЕМЕ в провідне середовище.

Об'єктом дослідження є визначений клас електромагнітних систем із просторовими контурами змінного струму, розташованими поблизу плоскої межі поділу середовищ.

Предмет дослідження – змінне квазістаціонарне ЕМП, яке створюється контурами просторової конфігурації для забезпечення визначеного розподілу потоку ЕМЕ в провідне середовище.

Методи дослідження. Задачі, що поставлені у роботі, вирішувались за допомогою асимптотичних та чисельно-аналітичних методів, методів рішення диференціальних рівнянь математичної фізики, методів теорії збурень та теорії інтегральних перетворень.

Наукова новизна отриманих результатів полягає в наступному: 

отримали подальший розвиток асимптотичні методи розрахунку змінного тривимірного електромагнітного поля, створеного провідниками зі струмом, розташованими поблизу плоскої межі поділу середовищ; 

встановлено раніше невідомі особливості використання асимптотичних розкладань для розрахунку ЕМП у безпосередній близькості від провідного середовища. Ці особливості полягають у необхідності вибору числа членів асимптотичного ряду, при якому похибка обчислення буде мінімальною;  

запропоновано і науково обґрунтовано нову наближену математичну модель для розрахунку ЕМП на основі локальної заміни тривимірного ЕМП двовимірним; 

вперше обгрунтовано геометричні параметри просторових контурів з конфігурацією визначеного класу, що забезпечують необхідний характер розподілу щільності потоку ЕМЕ в провідному середовищі.

Практичне значення отриманих результатів. Використання розроблених наближених математичних моделей дозволило значно спростити розрахунки змінного тривимірного ЕМП, врахувати основні геометричні параметри контурів зі струмом та електрофізичні властивості провідних середовищ, ефективно проводити пошук конфігурацій просторових контурів, які забезпечують рівномірне нагрівання електропровідних середовищ із плоскою поверхнею. Результати дисертаційного дослідження використані в промислово-дослідному інституті зварювально-ізоляційних технологій “Нафтогазбудізоляція" (м. Київ) у вигляді методик і рекомендацій для розрахунку ЕМП та джоулевих тепловиділень при термічній обробці зварювальних швів ділянок трубопроводів, які нагріваються індукторами з струмовими контурами просторової конфігурації.

Особистий внесок здобувача. У наукових працях, опублікованих у співавторстві, автору дисертації належить: у [1,2] – оцінка похибки застосування асимптотичного розкладання при розрахунку ЕМП з урахуванням наведених у провідному середовищі вихрових струмів; у [3] – розробка моделі з двовимірним розподілом ЕМП та аналіз похибок розрахунку потоку ЕМЕ; у [4] – розробка математичної моделі і пошук геометричних параметрів контурів; у [5,6] – пошук геометричних параметрів контура та аналіз розподілу ЕМЕ.

Апробація результатів дисертації. Основні теоретичні положення, результати та висновки доповідалися й обговорювалися на наукових семінарах Інституту електродинаміки НАН України "Проблеми теорії полів і ланцюгів в електроенергетичних установках" (м. Київ, 1999 –  рр.), на Міжнародній науково-технічній конференції "Моделювання електронних, енергетичних і технологічних систем" (м. Алушта, 1999 р.), на Міжнародних науково-технічних конференціях "Проблеми сучасної електротехніки" (м. Київ, 2000 р., 2002 р.), Міжнародній науково-технічній конференції "Проблеми силової електроніки" (м. Алушта, 2001 р.), Міжнародній науково-технічній конференції "Електроенергетичні й електромеханічні системи" (м. Шацьк, 2001 р.) та на Міжнародних українсько-польських школах-семінарах "Актуальні проблеми теоретичної електротехніки. Наука і дидактика" (м. Алушта, 2001 р.; м. Закопане (Польща), 2002 р.).

Публікації. За темою дисертації опубліковано вісім наукових праць, у тому числі шість статей у фахових наукових виданнях України та дві доповіді на науково–технічних конференціях.

Структура та обсяг дисертації. Дисертація складається із вступу, чотирьох розділів, висновків, списку використаних джерел та додатку. Загальний обсяг роботи складає 149 сторінок, в тому числі 135 сторінок основного тексту, рисунків –43, таблиць – 5, список використаних джерел з 122 найменувань та 1 додаток.

ОСНО ВНИЙ ЗМІСТ РОБОТИ

У вступі обгрунтовано актуальність роботи, зв’язок роботи з науковими програмами та темами, сформульовано мету та задачі дослідження, вказано об’єкт та предмет дослідження, викладено наукову новизну, наведено перелік використаних методів дослідження, дані про практичне значення одержаних результатів, апробацію, публікації.

У першому розділі розглянуто сучасні чисельні, аналітичні та чисельно–аналітичні методи розрахунку тривимірного ЕМП контурів зі струмом з урахуванням вихрових струмів в навколишніх провідних середовищах. Методи розглянуто з позиції особливостей їх практичного використання для розрахунку поля в ЕТП, зокрема у пристроях термічної обробки металів, електроімпульсних системах, у пристроях левітації та інших. Показано переваги чисельно-аналітичних методів розрахунку поля, доцільність розробки для розрахунку поля наближених математичних моделей з використанням асимптотичного ряду. Це значно скорочує об’єм обчислень та сприяє спрощенню розрахункової моделі для визначення поля поблизу контурів, розташованих достатньо близько до поверхні провідного середовища. Використання асимптотичного ряду в моделях робить їх особливо ефективними у випадку розрахунку тривимірного поля електромагнітних систем з контурами просторової конфігурації і пошуку їх оптимальних геометричних параметрів для забезпечення необхідної щільності потоку ЕМЕ в провідне середовище

Вибрано і розглянуто математичну модель для розрахунку ЕМП, яку доцільно взяти за основу при розробці наближених моделей з використанням асимптотичного розкладання в ряд. Ця модель являє собою модель контура зі струмом у загальному випадку довільної конфігурації, розташованого над плоскою межею поділу двох однорідних середовищ. На рис. показано ділянку контура та її дзеркальне відображення, довільну точку М, яка розташована на висоті від межі поділу,  – електропровідність, і  – відносні магнітні проникності середовищ. Магнітне поле визначається в точці над провідною поверхнею. Контур ділиться на нескінченно малі елементи , орієнтовані по дотичній до нього, причому кожний такий елемент розкладається на горизонтально та вертикально орієнтовані елементи () і розглядається як диполь. Горизонтальний елемент , орієнтований паралельно межі поділу середовищ, має дві складові векторного потенціалу, а вертикальний елемент , орієнтований перпендикулярно до межі – одну компоненту векторного потенціалу.

Вибір такої моделі обумовлено тим, що вона дозволяє враховувати геометричну конфігурацію контурів зі струмом, електрофізичні властивості середовища та частоту змінного поля. Дослідження за допомогою моделі можливе, якщо контур зі струмом не виходить за межі провідного середовища. Глибина проникнення поля в декілька разів менше товщини провідної поверхні , тобто (23), де .

Особливості використання в моделі розкладання в асимптотичний ряд і похибка, яка при цьому виникає, визначаються параметром . Відомо, що цей параметр на великих відстанях від провідного середовища завжди має невелику величину. Це не можна сказати про параметр, якщо поле визначається поблизу межі поділу середовищ, коли , а висота розташування контура мала. Тому необхідно дослідити можливість використання асимптотичного розкладання для цього випадку розрахунку поля, а також визначити похибки, які при цьому виникають.

Викладені у даному розділі результати аналізу методів розрахунку тривимірних полів контурів зі струмом дозволили сформулювати мету та задачі роботи.

У другому розділі отримано наближені аналітичні вирази для розрахунку векторного потенціалу та індукції тривимірного квазістаціонарного ЕМП контура зі струмом над провідним півпростором, обґрунтовано можливість використання асимптотичного ряду для розрахунку такого поля поблизу контурів, розташованих достатньо близько від провідного середовища.

При виведенні аналітичних виразів для розрахунку тривимірного квазістаціонарного ЕМП над плоскою межею поділу середовищ нехтують струмами зміщення, а також враховують при необхідності замкненість контура.

Показано, що в цьому випадку при переході від рішення для нестаціонарної задачі до виразів для квазістаціонарного поля не порушуються умови відсутності нормальної компоненти електричного поля Ezi на межі поділу середовищ і враховуються всі складові електричного поля. Тому вирази дозволять у квазістаціонарному випадку розрахувати як магнітні, так і електричні поля, а також щільність потоку ЕМЕ у провідне середовище. За умови замкненості контурів отримані формули для векторного потенціалу та індукції магнітного поля в області над провідним середовищем, на відміну від відомих, в явному вигляді містять лише складові для поля контурів зі струмом. Ці формули для отриманого асимптотичного ряду справедливі при і мають вигляд:

(1)

(2)

де ;  – хвильовий параметр. Ряд повинен бути обмежений скінченою кількістю членів .

Кожний із інтегралів в (1), (2) дає поле лінійного струму контура, розрахунок і аналіз якого може бути виконаний відомими методами. За допомогою (1), (2) легко розраховується і розподіл щільності потоку ЕМЕ в області над провідним середовищем: .

Проаналізовано похибки, які виникають при використанні асимптотичного ряду для розрахунку поля безпосередньо біля межі поділу середовищ і близькому розташуванні контура зі струмом до провідного середовища. Встановлено, що для кожного значення малого параметру існує таке число членів ряду, при якому відносна похибка заміни точного виразу рядом буде мінімальною і у подальшому її величину при збільшенні зменшити не можна (рис. ).

Оптимальний вибір числа членів ряду в залежності від величини може бути виконано і за допомогою оцінки похибки останнього врахованого члена ряду. Незалежно від значення параметра із збільшенням номера члена ряду зростає і похибка його визначення, хоча при цьому зменшується його відносний вклад в загальну суму. Число членів ряду не повинно перевищувати те значення, при якому відносна похибка останнього члену ряду буде дорівнювати одиниці: .

Проаналізовано величину малого параметру в залежності від частоти поля і висоти розташування контура зі струмом для ряду металевих середовищ (латунь, алюміній, сталь). Наведено результати розрахунку числа членів асимптотичного ряду, при якому похибка розрахунку мінімальна, для тих же металевих середовищ, в тому же діапазоні частот та висот розташування. Залежність та результати розрахунку числа членів N асимптотичного ряду для латуні показано відповідно на рис. і .

Встановлено, що наближений метод на основі асимптотичного розкладання в ряд добре адаптований для розрахунку ЕМП контура зі струмом, розташованого близько до немагнітних провідних середовищ. У цьому випадку малий параметр має значення, при яких легко забезпечити необхідну точність результатів розрахунку поля вибором необхідного числа членів асимптотичного ряду. Для магнітних середовищ використання асимптотичного ряду можливе при більших частотах, ніж для немагнітних і значному насиченні матеріалу. У випадку магнітних середовищ при розрахунках частота змінювалась в діапазоні 104…105 Гц (діапазон зміни частоти, коли середовище немагнітне, ілюструють рис. і ).

Результати розрахунку векторного потенціалу, індукції та щільності потоку ЕМЕ підтверджують ефективність використання асимптотичного розкладання в ряд для їх визначення у випадку контурів, які мають геометричну форму кола та еліпса.

Порівняння результатів розрахунку квазістаціонарного ЕМП, одержаних за допомогою наближеного методу з використанням асимптотичного розкладання в ряд та методу на основі інтегральних перетворень і розкладання у подвійні ряди Фур’є, підтвердило основні теоретичні положення роботи (розбіжність – 10..15%).

У третьому розділі вирішено задачу розробки нових математичних моделей для розрахунку квазістаціонарного ЕМП поблизу контура зі струмом, розташованого над провідним півпростором та над провідною поверхнею обмеженої ширини, які основані на локальній заміні тривимірного поля двовимірним з використанням асимптотичних розкладань, оцінено сумарну похибку розрахунку щільності потоку ЕМЕ та похибки, які вносяться першими членами асимптотичного ряду при використанні локально двовимірної моделі для розрахунку векторного потенціалу.

При розробці моделей для розрахунку поля над провідним півпростором прийнято, що параметри r/R, r/D, h/R, h/D, r1/R, r1/D є малими величинами:

, (3)

де  – радіус кривини контура поблизу точки спостереження ,  – характерний розмір контура (для контура кругової форми – це діаметр).

Магнітне поле поблизу контура зі струмом, розташованого над провідним півпростором, буде таким, як і поле від дії прямолінійного провідника нескінченної довжини, який дотичний до контура. Тому для опису ЕМП доцільно використовувати плоскопаралельну модель. Заміну контура прямолінійним провідником ілюструє рис. .

На рис.  б пунктиром позначено вісь прямолінійного провідника, струм в якому протікає у напрямку дотичного вектора t, перпендикулярно якому орієнтована локальна координата . Необхідно зазначити, що локальна заміна реального конту-ра прямолінійним провідником можлива, коли вектор t паралельний межі поділу середовищ. Якщо ця умова порушується, то прямолінійний провідник повинен бути орієнтований вздовж компоненти вектора, яка паралельна межі поділу середовищ.

З врахуванням припущень і позначення

(4)

вирази для визначення векторного потенціалу та магнітної індукції поблизу провідника зі струмом мають вигляд

(5)

(6)

(7)

де і  – одиничні вектори локальної системи координат. Функції визначаються послідовним диференціюванням по координаті z функції . При цьому складові індукції и в (6) визначаються із виразів

(8)

(9)

Наближені формули для векторного потенціалу і складової індукції значно спрощуються для точок на поверхні поділу середовищ безпосередньо під провідником зі струмом, коли , а має мінімальну величину.

Дійсна частина вертикальної компоненти вектора Пойнтинга на поверхні зі знаком “–“ визначає щільність потоку тепла pz у провідне середовище. В довільній точці поблизу провідника зі струмом маємо

. (10)

Із (10) при випливають вирази для визначення щільності потоку тепла, яке використовується при індукційному нагріванні середовище. Найбільше значення щільності потоку ЕМЕ буде безпосередньо під провідником зі струмом, коли . Аналітичні вирази, які одержано вище, для розрахунку векторного потенціалу, магнітної індукції та щільності потоку ЕМЕ в провідне середовище не містять операції інтегрування по контуру, що значно скорочує обсяг обчислень.

Оцінку похибок наближеного розрахунку поля за допомогою локально двовимірної моделі з використанням асимптотичного розкладання в ряд виконано на основі порівняння результатів такого розрахунку з результатами, які отримано по виразам (1) і (2). Порівняння результатів виконано для контурів кругової форми з різним співвідношенням R/h в точках на межі поділу середовищ. Розглянуто похибки для кожного члена ряду, а також сумарну похибку.

Встановлено, що найбільша похибка при заміні реального контура прямолінійним провідником буде для першого члена асимптотичного ряду n= , вклад якого в загальну суму найбільший. Відносна похибка для кожного члена ряду зменшується з ростом . Тому для забезпечення необхідної точності розрахунку поля поблизу провідника необхідно враховувати реальну геометрію контура лише для перших членів ряду. При похибка буде незначною для всіх використаних членів ряду. По мірі віддалення від контура точність розрахунку поля при використанні локально двовимірної моделі зменшується. У зв’язку з цим для визначення поля у віддалених від провідника точках рекомендується використовувати модель, яка містить операцію інтегрування по контуру.

Сумарна похибка при заміні реального контура прямолінійним провідником ілюструється на прикладі розрахунку вертикальної компоненти щільності потоку ЕМЕ в провідне середовище (латунь, сталь). Порівняння залежностей (де  –розраховано по виразам з інтегруванням вздовж контура;  –значення для прямолінійного нескінченно довгого провідника при ) від координати показує, що при похибка обчислень не перевищує 3,5%, а у випадку, коли  – вона вже близько 20% і тому модель локально двовимірного поля використовувати недоцільно.

Обгрунтовано вибір математичної моделі для розрахунку ЕМП контура зі струмом над провідною поверхнею обмеженої ширини. В моделі використовується метод багатократних дзеркальних відображень. Однак за умови, що відстані від контура до межі поділу середовищ і до краю провідної поверхні є малими в порівнянні з характерним розміром контура, достатньо враховувати поле лише одного відображеного контура з зустрічним напрямком струму. Тому математична модель для розрахунку поля над провідною поверхнею обмеженої ширини – це фактично раніше розглянута локально двовимірна модель, в якій результуюче поле є суперпозицією полів двох симетричних відносно границі контурів.

Наведено результати розрахунку дійсної складової вертикальної компоненти вектора Пойнтинга під круговим контуром при різних відстанях від нього до краю провідної поверхні. Ряд результатів, одержаних за допомогою простої локально двовимірної моделі, в якій враховано поле відображеного контура, практично збігаються з результатами, отриманими для порівняння методом інтегральних перетворень і розкладання у подвійні ряди Фур’є (розбіжність складає не більше 10%).

У четвертому розділі розглянуто питання визначення геометричних параметрів просторових контурів зі струмом, які забезпечують необхідний характер розподілу джоулевих тепловиділень в провідному середовищі. Дослідження контурів такої конфігурації при індукційному способі нагрівання провідної поверхні як необмеженої ширини, так із урахуванням її краю здійснено з використанням наближених математичних моделей на основі заміни тривимірного поля двовимірним.

Результати аналізу розподілу температури при індукційному способі нагрівання показують, що при взаємному переміщенні контурів зі змінним струмом і тонких металевих стрічок нагрівання індукованими струмами може бути таким, що температура у будь-якій точці по товщині стрічки постійна, а в напрямку вздовж поверхні процес нагрівання можна вважати адіабатичним. При цьому температура в будь-якій точці стрічки буде – швидкість стрічки, с – питома теплоємність металу;  щільність провідного середовища. Величина лінійної щільності тепловиділень є основною характеристикою для забезпечення визначеного характеру розподілу температур по ширині провідної поверхні. Необхідну щільність тепловиділень можна одержати, якщо використати просторовий контур, краї якого підняті і віддалені від провідної поверхні на відстань більшу, ніж його центральна частина. Причому вважається, що такий контур розташований на циліндричній поверхні (рис. ), в проекції на площину поділу середовищ являє собою коло радіуса . Геометрію контура можна описати параметрично рівняннями , , , де – полярний кут. Параметри і визначають на скільки віддалені від поверхні краї контура у порівнянні з відстанню між центральною частиною контура і поверхнею. Показник ступеня дозволяє змінювати крутість підняття країв контура над провідною поверхнею. Сказане вище проілюстровано на рис. . При малій крутості підняття країв контура спостерігається значний ріст відносної величини лінійної щільності тепловиділень у країв поверхні (рис. , крива ). Збільшенням відстані від країв контура до поверхні, що нагрівається, за допомогою варіювання параметра вдається зменшити максимальні значення і домог-тися значного вирівнювання сумарних тепловиділень по ширині поверхні (кривіі 2).

Розглянуто геометричні параметри просторових контурів зі струмом для нагріву локальної області металевої поверхні необмеженої ширини при таких умовах необхідного тепловиділення: 1. Температура по ширині локальної області не менше заданого значення; 2. Температура по ширині не перевищує заданого максимального значення; 3. Температура по ширині достатньо рівномірна.

У першому випадку задача пошуку геометричних параметрів контура вирішується відповідно за умови, що , де – максимальний поперечний розмір, на якому необхідно забезпечити задані умови нагрівання. У другому випадку – за умовами і , де – максимальне значення лінійної щільності ТЕ, яке досягається в деякій проміжній точці ( визначається в процесі розрахунку). Аналіз розподілу лінійної щільності ТЕ під контуром радіуса дозволив визначити параметри просторового контура і , які відповідають умові мінімального відхилення лінійної щільності ТЕ від заданих значень у центрі. Відзначено, що забезпечення умови по п.2 дозволяє одержати значно менші відхилення температури у порівнянні з умовою по п.1.

У третьому випадку мінімізовано відхилення лінійної щільності ТЕ, що виділилася, по заданій ширині без виконання умов по п.1 і п.2. Результати досліджень на різній ширині для показали, що величина максимального відхилення тепловиділень різко знижується при зменшенні ширини у порівнянні з радіусом контура (рис. ). Знайдені параметри і забезпечують мінімально можливі значення відхилення при обраних і або мінімальний радіус при заданому рівні і ширині , на якій ці відхилення допускаються. На рис. показано мінімально можливе відхилення лінійної щільності ТЕ для даного класу геометрії контура.

Визначено оптимальні геометричні параметри і для контурів у випадках провідних середовищ обмеженої ширини із латуні і сталі для різних співвідношень . Мінімальна нерівномірність тепловиділень у цих випадках не перевищує декількох відсотків (<5%), тому можна досягти практично однорідного розподілення температури по ширині виробу.

Аналіз одержаних результатів показує, що геометрія контурів для рівномірного нагріву виробів обмеженої ширини відрізняється від геометрії контурів, необхідних для нагріву локальної області поверхні необмеженої ширини. При врахуванні краю виробу контури оптимальної конфігурації повинні бути віддалені від поверхні на більшу відстань і мати меншу крутизну підйому країв, ніж контури для нагріву локальної області. При цьому наявність краю провідної поверхні дозволяє одержати значно меншу нерівномірність лінійної щільності ТЕ, що виділилася, в порівнянні з випадком необмеженого середовища.

Таким чином, використання просторових контурів дозволяє одержати практично рівномірне нагрівання як в локальній області металевої поверхні, так і по всій його ширині. Наближена модель, яка використана для дослідження, дозволяє проаналізувати основні геометричні фактори і врахувати електрофізичні властивості виробів, які нагріваються.

ВИСНОВКИ

В дисертаційній роботі одержали подальший розвиток асимптотичні методи розрахунку електромагнітного поля, створеного провідниками зі струмом над плоскою межею поділу середовищ. Розроблені наближені математичні моделі з урахуванням електрофізичних властивостей провідних середовищ і геометрії просторових контурів, алгоритми і програми для визначення геометричних параметрів контурів зі струмом над провідною поверхнею, а також нові науково обгрунтовані результати дослідження в сукупності є суттєвими при вирішенні задач побудови та підвищення ефективності технологічних електромагнітних систем.

1. Обгрунтовано необхідність розробки ефективних математичних моделей для розрахунку ЕМП поблизу провідного середовища і визначення за їх допомогою оптимальних геометричних параметрів контурів зі струмом в ЕТП. Моделі дозволять значно скоротити об’єм обчислень при розрахунку ЕМП, створених контурами як плоскої, так і просторової конфігурації, розташованими близько до провідної поверхні, та дослідити вплив геометрії просторових контурів ЕТП на розподіл щільності потоку ЕМЕ в провідному середовищі.

2. Доведено, що для аналізу розподілу тривимірних змінних ЕМП і виконання багатоваріантних розрахунків систем зі струмовими контурами просторової конфігурації, розташованими над плоскою межею поділу середовищ, ефективним є використання асимптотичних методів розрахунку, які дозволяють значно зменшити обсяг обчислень та враховувати основні геометричні особливості систем і електрофізичні властивості провідних середовищ.

3. Оцінено похибки асимптотичного розкладання для визначення розподілу ЕМП в безпосередній близькості від провідного середовища, коли висота розташування контура над ним мала. Показано, що при використанні асимптотичних розкладань необхідно обмежувати число членів ряду, враховуючи при цьому мінімальну похибку обчислення.

4. Розроблено наближену математичну модель для розрахунку квазістаціонарного поля поблизу контура зі струмом над провідним півпростором з використанням асимптотичного розкладання в ряд на основі локальної заміни тривимірного ЕМП контура двовимірним. Отримані аналітичні вирази для векторного потенціалу та індукції поля значно спрощують початкову тривимірну постановку і можуть бути використані як основне наближення при рішенні задач оптимізації геометричних параметрів технологічних електромагнітних систем з контурами просторової конфігурації.

5. Оцінено похибки розрахунку при використанні моделі локально двовимірного поля. Встановлено, що похибка для кожного члена ряду зменшується з ростом його номера. Коли радіус кривини значно більший, ніж висота розташування контура над провідною поверхнею, то похибка буде незначною для всіх членів ряду, по мірі віддалення від контура точність розрахунку поля при використанні моделі зменшується.

6. Обгрунтовано вибір математичної моделі для розрахунку ЕМП поблизу контурів, розташованих над провідною полосою обмеженої ширини. Модель описує вихідний контур і контур з зустрічним напрямком струму, який одержано як дзеркальне відображення від нормальної площини, що проходить через край стрічки. Це фактично локально двовимірна модель, в якій враховано обмежену ширину стрічки за допомогою відображеного контура. Запропоновану модель доцільно використовувати, коли характерні розміри контура великі в порівнянні з відстанями від нього як до провідної поверхні, так і до її краю.

7. Результати розрахунку характеристик ЕМП в електромагнітних системах “круговий контур-провідний півпростір” та “круговий контур-провідне середовище” обмеженої ширини, отриманих за допомогою розроблених наближених моделей, адекватні результатам, які отримані для порівняння методом інтегральних перет-ворень і розкладання в ряди Фур’є. Це підтверджує теоретичне положення роботи про можливість використання асимптотичного розкладання для розрахунку ЕМП поблизу межі поділу середовищ, коли висота розташування контура над ним мала.

8. Запропоновано для забезпечення визначеного характеру тепловиділень в електропровідних середовищах з плоскою поверхнею використовувати просторові контури з припіднятими над поверхнею краями. Отримано і обгрунтовано геометричні параметри контурів, розташованих над провідним середовищем обмеженої та необмеженої ширини, котрі забезпечують мінімальну нерівномірність нагрівання. У випадку середовища (сталь, латунь) обмеженої ширини розрахункова нерівномірність щільності ТЕ не перевищує 5%.

9. Вірогідність та обгрунтованість наукових результатів забезпечена використанням коректних методів досліджень, апробацією основних положень та одержаних результатів на наукових конференціях, результатами їх практичного застосування при розробці пристроїв термічної обробки зварювальних швів ділянок трубопроводів.

10. Результати дисертаційного дослідження використані в промислово – дослідному інституті зварювально ізоляційних технологій “Нафтогазбудізоляція" (м. Київ) у вигляді методик та рекомендацій для розрахунку ЕМП і джоулевих тепловиділень при розробці пристроїв термічної обробки зварювальних швів ділянок трубопроводів, котрі нагріваються індукторами з струмовими контурами просторової конфігурації.

ПУБЛІКАЦІЇ ЗА ТЕМОЮ ДИСЕРТАЦІЇ

1. Васецкий Ю.М., Городжа Л.В., Мазуренко И.Л. Приближенная модель для расчета переменного магнитного поля произвольного контура с учетом вихревых токов в проводящем полупространстве Технічна електродинаміка. Темат. вип.: Моделювання електронних, енергетичних та технологічних систем.– 1999.– Ч. .– С. –93.

2. Васецкий Ю.М., Городжа Л.В., МазуренкоИ.Л. Аналитический метод расчета электромагнитного поля и плотности потока мощности в системе токовый контур–проводящее полупространствоТехнічна електродинаміка. Темат. вип.: Проблеми сучасної електротехніки.– 2000.– Ч. .– С. 16–19.

3. Васецкий Ю.М., Мазуренко И.Л. Приближенный способ расчета электромагнитного поля вблизи токового контура, расположенного над проводящим полупространствомЕлектротехніка і електроенергетика.– 2000.– № 2.– С. –89.

4. Васецкий Ю.М., Городжа Л.В., Мазуренко И.Л. Геометрия токовых контуров для равномерного индукционного нагрева плоских металлических изделий ограниченной шириныТехнічна електродинаміка. Темат. вип.: Силова електроніка та енергоефективність.– 2001.– Ч. .– С. –95.

5. Васецький Ю.М., Мазуренко І.Л. Конфігурація просторових контурів зі струмом для забезпечення необхідного характеру тепловиділень у провідному середовищіВісник національного універстету "Львівська політехніка".– 2001.– № 421.– С. –28.

6. Васецкий Ю.М., Городжа Л.В., Мазуренко И.Л. Приближенные матема-тические модели электромагнитных систем с пространственными токовыми контурами, расположенными над проводящей средойТехнічна електродинаміка. Темат. вип.: Проблеми сучасної електротехніки.– 2002.– Ч. .– С. –7.

АНОТАЦІЇ

Мазуренко І.Л. Змінне електромагнітне поле провідників зі струмом, розташованих над плоскою межею поділу середовищ.– Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата технічних наук за спеціальністю 05.09.05 – теоретична електротехніка.– Інститут електродинаміки НАН України, Київ, 2003.

Дисертація присвячена розробці наближених математичних моделей розрахунку тривимірного квазістаціонарного електромагнітного поля (ЕМП) з урахуванням геометричних особливостей просторових контурів зі струмом і електрофізичних властивостей провідних середовищ та дослідженню ЕМП і геометрії контурів для забезпечення необхідної щільності потоку електромагнітної енергії в провідне середовище. Оцінено похибки асимптотичного розкладання в ряд при розрахунку поля в безпосередній близькості від провідного середовища. Розроблено наближену математичну модель для розрахунку квазістаціонарного поля контура зі струмом на основі локальної заміни тривимірного поля двовимірним. Розглянуто похибки розрахунку поля за допомогою такої моделі з використанням асимптотичного розкладання в ряд. Обґрунтовано, що для визначення ЕМП поблизу контурів, розташованих над провідною поверхнею обмеженої ширини, можливе використання моделі, яка містить вихідний контур і контури з зустрічним напрямком струму. Запропоновано використовувати для забезпечення визначеного характеру тепловиділень в електропровідних середовищах з плоскою поверхнею просторові контури з припіднятими над поверхнею краями. Отримано геометричні параметри таких контурів, розташованих над провідним середовищем обмеженої та необмеженої ширини. Основні результати дослідження використані у вигляді методик та рекомендацій для розрахунку ЕМП при розробці пристроїв термічної обробки зварювальних швів трубопроводів.

Ключові слова: квазістаціонарне електромагнітне поле, математичні моделі, асимптотичний ряд, геометричні параметри контурів.

Mazurenko I.L. Variable electromagnetic field of conductors with a current located above a flat demarcation of mediums.– Manuscript.

Thesis for candidate degree of technical sciences by speciality 05.09.05 – Theoretical electrical engineering.– Institute of Еlectrodynamics of NAS of Ukraine, Kуіv, 2003.

The thesis is devoted to development of approximated mathematical models of calculation of a three-dimensional quasistationary electromagnetic field (EMF) in view of geometrical singularities of spatial circuits with a current and physical characteristics of conducting mediums, research of an EMF and geometry of circuits for security of particular character of allocation of fluency of an electromagnetic energy in a conducting medium. The inaccuracies of an asymptotic expansion in a series evaluated at calculation of a field in immediate proximity from a conducting medium. The approximated mathematical model for calculation of a quasistationary field of a current circuit designed on the basis of local substitution of a three-dimensional field two-dimensional. The inaccuracies of calculation of a field with the help of such model with usage of an asymptotic expansion in a series surveyed. Is justified, that for definition of an EMF near to circuits, which one are located above a conducting surface of a restricted breadth, usage of model is possible, which one contains an initial circuit and circuits with an opposing direction of a cur-rent. It is offered to use for security of particular character of developments of heat in electroconductive mediums with a flat surface spatial circuits with edges, uplifted above a surface. The geometrical parameters of such circuits located above a conducting medium of a restricted and unlimited breadth are obtained. The basic outcomes of a research utilised as procedures and guidelines for calculation EMF at development of devices of heat treatment of welding welds of algorithm manifolds.

Key words: quasistationary electromagnetic field, mathematical models, asymptotic series, geometrical parameters of circuits.

Мазуренко И.Л. Переменное электромагнитное поле проводников с током, расположенных над плоской границей раздела сред.– Рукопись.

Диссертация на соискание ученой степени кандидата технических наук по специальности .09.05 – теоретическая электротехника.– Институт электродина-мики НАН Украины, Киев, 2003.

Диссертация посвящена разработке приближенных математических моделей для расчета трехмерных электромагнитных полей (ЭМП), позволяющих определять характеристики поля вблизи проводящих сред с учетом основных геометрических особенностей электромагнитных систем и электрофизических свойств проводящих сред. Рассмотрены современные численные, аналитические и численно–аналитические методы расчета трехмерного ЭМП контуров с током с учетом вихревых токов в проводящих средах. Показано, что численно – аналитические методы расчета квазистационарных ЭМП дают возможность исследовать геометрию электромагнитных систем с токовыми контурами для обеспечения определенного характера распределения плотности потока электромагнитной энергии (ЭМЭ) в проводящую среду.

Рассмотрен приближенный метод расчета квазистационарного ЭМП произвольного контура с током, расположенного над проводящим полупространством, на основе представления решений в виде разложения в асимптотический ряд по малому параметру. Обоснована возможность перехода от нестационарной задачи расчета поля к квазистационарным токам с учетом замкнутости контура и расчета не только магнитных, но и электрических полей как при плоской, так и пространственной геометрии. Обоснована замена несобственных интегралов конечной суммой членов асимптотического ряда. Проведена оценка применимости используемой в диссертационной работе модели для расчета электромагнитного поля при непосредственной близости контуров к проводящей среде путем анализа значений относительной погрешности по малому параметру и числу членов ряда при различных электрофизических свойствах проводящей среды и высоте расположения контура.

Предложена приближенная математическая модель для расчета квазистационарного поля вблизи токонесущего контура, расположенного над проводящей средой, на основе замены трехмерного ЭМП реального контура локально двумерным полем с использованием асимптотических разложений. Модель позволяет определять характеристики ЭМП в ограниченной области пространства на малых, по сравнению с характерными размерами контура, расстояниях до проводника с током произвольной конфигурации и учитывать основные геометрические параметры контуров и электрофизические параметры проводящей среды. Полученные аналитические выражения для расчета поля значительно упрощают начальную трехмерную постановку и могут быть использованы как основное приближение при решении задач оптимизации геометрических параметров электромагнитных систем с контурами пространственной конфигурации.

Оценены погрешности расчета плотности потока ЭМЭ, а также погрешности, вносимые первыми членами асимптотического ряда при использовании локально двумерной математической модели. Установлено, что наибольшей погрешность при замене реального контура прямолинейным проводником будет для первого члена асимптотического ряда и относительная погрешность вычисления каждого члена ряда падает с увеличением его номера. Поэтому для обеспечения необходимой точности расчета квазистационарного ЭМП вблизи проводника необходимо учитывать реальную геометрию контура лишь для первых членов ряда.

Обоснован выбор расчетной модели для определения локально двумерного ЭМП с учетом ограниченной ширины проводящей среды. Предложенная модель содержит исходный контур и контур со встречным направлением тока, полученный как зеркальное отражение от нормальной плоскости, проходящей через края полосы. Основным условием для использования модели является малость расстояния от контура как до границы раздела сред, так и края проводящей среды по сравнению с характерными размерами всего контура.

Исследованы пространственные контуры с геометрией определенного класса, характеризующиеся приподнятыми над поверхностью краями, для обеспечения определенного характера джоулевых тепловыделений в электропроводных изделиях с плоской поверхностью. Показано, что выбором геометрических параметров контуров такой конфигурации удается существенно влиять на характер распределения плотности потока ЭМЭ в проводящую среду и добиться значительного снижения степени неравномерности температур в изделиях в сравнении с традиционным подходом, при котором используются плоские контуры с током. Найдены некоторые оптимизационные решения по определению геометрических параметров пространственных контуров определенной геометрии, расположенных над средой ограниченной и неограниченной ширины, которые обеспечивают минимальную неравномерность нагрева при практических важных условиях: линейная плотность потока ЭМЭ не превышает заданного максимального значения, не опускается ниже заданного минимального значения, имеет минимальное отклонение от среднего значения на определенной ширине. Основные результаты исследования использованы в виде методик и рекомендаций для расчета ЭМП и джоулевых тепловыделений при разработке устройств термической обработки сварочных швов трубопроводов.

Ключевые слова: квазистационарное электромагнитное