Національна академія наук України

Інститут гідромеханіки

УДК 534.1

МАЦИПУРА Володимир Тимофійович

АКУСТИЧНІ ПОЛЯ В

НЕКАНОНІЧНИХ ОБЛАСТЯХ

01.04.06 - Акустика

Автореферат

дисертації на здобуття наукового ступеня

доктора фізико-математичних наук

Київ - 2003

Дисертація є рукопис

Робота виконана в Інституті гідромеханіки НАН України

і на кафедрі акустики та акустоелектроніки НТУУ “КПІ |

Науковий консультант: | академік НАН України,

доктор фізико-математичних наук, професор | Грінченко Віктор Тимофійович, | Інститут гідромеханіки НАН України, директор | Офіційні опоненти: | Доктор фізико-математичних наук, професор

Селезов Ігор Тимофійович,

Інститут гідромеханіки НАН України, завідувач

відділу гідродинаміки хвильових процесів |

Доктор фізико-математичних наук

Коміссарова Галина Леонідівна,

Інститут механіки НАН України,

провідний науковий співробітник |

Доктор технічних наук, професор

Сторожев Валерій Іванович,

Донецький державний університет,

декан математичного факультету |

Провідна установа: | Інститут прикладних проблем механіки і математики

ім. Я.С. Підстригача НАН України (м. Львів)

Захист відбудеться “ 26 “ лютого 2004 р. о 14 годині на засіданні спеціалізованої вченої ради Д26.196.01 в Інституті гідромеханіки НАН України за адресою: 03680, м. Київ, вул. Желябова, 8/4.

З дисертацією можна ознайомитись в бібліотеці Інституту гідромеханіки НАН України за адресою: 03680, м. Київ, вул. Желябова, 8/4.

Автореферат розіслано “ 25 ” грудня 2003 р.

Вчений секретар

спеціалізованої ради Д26.196.01

доктор технічних наук С.І.Криль

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальність теми. Визначаючи актуальність поданої дисертаційної роботи, слід зупинитися на двох моментах:

· перший – характеризує загальну ідею і спрямованість роботи;

· другий – визначає актуальність конкретних задач, які розглядаються в дисертації.

Сучасна акустика являє собою розділ фізики, в якому для великої кількості прикладних задач можливо сформулювати адекватні математичні моделі. Робота над складними проектами в різних областях науки дозволила сформулювати концепцію ієрархії спрощених моделей. Можна сказати, що основним досягненням і основною метою досліджень при вирішені складних задач є побудова ієрархії спрощених моделей. При цьому повинно бути встановлено, який рівень моделі доречно використовувати в тих чи інших випадках.

В теперішній час дослідник використовує персональний компютер, як правило, більш потужний, ніж ЕОМ, котрі мали учасники перший ядерних або космічних проектів. Йому самому доводиться будувати моделі, вибирати алгоритми, створювати або використовувати існуючі програми. На жаль, досить часто дослідник використовує модель, властивості котрої незрозумілі і, не замислюючись над алгоритмами, застосовує будь-який стандартний пакет компютерних програм. Такі дії рідко приводять до успіху і майже ніколи не дають розуміння процесів, які вивчаються.

Отже можна відзначити таке:

· модель повинна бути узгоджена з тими даними, котрі відомі і з тими питаннями, відповіді на котрі мають намір отримати з її допомогою;

· розвиток обчислювальної техніки в останні кілька десятиріч учинив великий вплив на формування нових методів в математичні фізиці. Але одним з цікавих результатів цього процесу є розуміння того, що орієнтація тільки на збільшення продуктивності обчислювальних машин є нераціональною, оскільки аналіз результатів виявляється занадто складним.

Відмічена обставина, очевидно, є основним стимулом до розвитку різного типу чисельно-аналітичних методів в математичній фізиці. Мова йде про попередню аналітичну роботу при дослідженні граничної задачі. По суті можна говорити про виникнення і розвиток нової технології наукових досліджень. Ця тенденція характерна практично для всіх прикладних напрямків математичної фізики.

В акустиці, в задачах випромінювання і розсіювання звуку, побудова базових математичних моделей обумовлена, в основному, визначенням звукових полів в канонічних областях. (Під неканонічними будемо розуміти області, котрі не допускають вирішення граничної задачі методом безпосереднього розділення змінних). Прикладом можуть служити задачі розсіювання або випромінювання звуку канонічними тілами (сфера, циліндр та інші). Одначе, природа неканонічних областей широка і різноманітна. Механізми їх утворення можна умовно розділити на природні і інженерні. Тому із задачами випромінювання і розсіювання звуку в неканонічних областях досліднику доводиться зустрічатися буквально на кожному кроці.

Отже актуальність загальної тематики дисертаційної роботи є очевидною і зараз слід звернутися до другого моменту, тобто до актуальності конкретних граничних задач, які розглядаються в дисертації. В третьому розділі досліджується розповсюдження звуку в нерегулярних хвилеводах. Хвилеводні системи з неоднорідностями знаходять широке використання в акустичних і радіоелектронних пристроях. Аналіз звукового поля в хвилеводі зі зламом і хвилеводі з відгалуженням, вирішення задачі проходження звуку крізь зону спряження плоского і клиновидного хвилеводів, дослідження випромінювання звуку із відкритого кінця клиновидного хвилеводу з асиметричними поверхнями знаходить своє застосування в архітектурній акустиці, в електроакустиці, при вирішенні проблем екології, обумовлених захистом від шуму, при проектування медичних акустичних апаратів. В четвертому розділі досліджується розсіювання звуку на клиновидних обєктах кінцевих розмірів, що дає корисну інформацію при проектуванні локаційних систем. Нарешті, в пятому розділі вивчаються енергетичні і направлені властивості випромінювача у вигляді гратки із пєзокерамічних оболонок з торцевими екранами у формі зрізаних кульових секторів. Ці дослідження актуальні при проектуванні ефективних гідроакустичних випромінювачів.

Слід підкреслити, що особлива роль математичного моделювання в теорії випромінювання і розсіювання звуку міститься в розширенні можливостей пізнання. Моделі дають можливість розглянути такі ситуації, котрі практично неможливо охопити в межах експериментальних досліджень.

Звязок роботи з науковими програмами, планами, темами. Дослідження, результати яких викладено в дисертації, передбачені планами і програмами наукових досліджень з природничих наук Інституту гідромеханіки НАН України на 1995-2003 роки. Зокрема: "Дослідження динамічних характеристик пружних систем, які взаємодіють з рідиною" (№ ГР 0100V004750), "Розробка фізико-математичних моделей для визначення акустико-механічних властивостей гетерогенних середовищ, насичених рідиною і газом" (№ ГР 0102V002958), "Дослідження закономірностей генерації та розповсюдження звуку в пружньо-рідинних системах" (№ ГР 0103V000048).

Мета і задачі дослідження. Метою роботи є дослідження основних закономірностей формування звукових полів в неканонічних областях, структура котрих визначає базові математичні моделі взаємодії звукових хвиль з реальними обєктами складної конфігурації. В якості математичних моделей в роботі розглянуто:

· розповсюдження звуку в нерегулярних хвилеводах з неоднорідностями типу злам і відгалуження, проходження звуку крізь зону спряження плоского і клиновидного хвилеводів, випромінювання звуку із відкритого кінця клиновидного хвилеводу з асиметричними межами;

· розсіювання звуку на клиновидних обєктах кінцевих розмірів;

· випромінювання звуку граткою із пєзокерамічних оболонок з торцевими екранами.

Ця мета досягається завдяки аналітичній роботі, котра базується на розвитку метода часткових областей, із подальшим використанням обчислювальної техніки.

Об’єктом дослідження є математичні моделі випромінювання і розсіювання звуку, для котрих характерною рисою є взаємодія звукових хвиль з тілами складної (неканонічної) форми.

Предметом дослідження є аналіз звукових полів, які мають місце в даних задачах випромінювання або розсіювання звуку і характеристик випромінюючої системи.

Методи досліджень звукових полів базуються на застосуванні метода часткових областей і його подальшого розвитку. Звукове поле в часткових областях записувалося у вигляді суперпозиції часткових рішень рівняння Гельмгольця в даній області, котрі визначаються як моди (нормальні хвилі) даної області. Пошук коефіцієнтів, визначаючих амплітуди нормальних хвиль в кожній з часткових областей зводиться до рішення нескінченних лінійних систем алгебраїчних рівнянь другого роду. Рішення нескінчених систем рівнянь визначалося методом редукції.

Наукова новизна отриманих результатів полягає:

· у розвитку метода часткових областей, завдяки чому виникає можливість досліджувати звукові поля в неканонічних областях;

· встановлення закономірностей проходження звуку крізь зону спряження плоского і клиновидного хвилеводів при довільному куті розкриву клиновидного хвилеводу;

· у вивченні впливу асиметрії меж відкритого клиновидного хвилеводу на структуру ближнього і дальнього полів випромінювання;

· у детальному дослідженні перерізу розсіювання клиновидних обєктів кінцевих розмірів в залежності від геометрії і хвильових розмірів обєкту;

· у дослідженні енергетичних і направлених властивостей гратки із пєзокерамічних оболонок з торцевими екранами у формі зрізаних сферичних секторів при різних акустичних властивостях і розмірах поверхонь, які утворюють торцеві екрани;

· у проведенні порівняльного аналізу роботи гратки із пєзокерамічних оболонок з торцевими екранами в імпульсному і неперервному режимах;

· встановлено, що в хвильових задачах, в котрих враховується умова на ребрі, при знаходженні розвзку відповідних нескінчених систем лінійних алгебраїчних рівнянь другого роду методом редукції, можливо порушення послідовного поліпшення виконання граничних умов при збільшенні порядку скінченої системи рівнянь.

Достовірність наукових результатів забезпечується:

· коректною постановкою граничних задач та застосуванням математично обгрунтованого підходу до їх розвязання;

· контролем точності виконання граничних умов і збіжністю отриманого рішення;

· відповідністю окремих результатів з відомими теоретичними даними.

Практична значимість отриманих результатів полягає у тому, що шляхи розвитку метода часткових областей, які використані в дисертаційній роботі, відкривають широкі можливості в побудові математичних моделей звукових полів в складних (неканонічних) областях, котрі описують реальні явища розсіювання і випромінювання звуку тілами неканонічної форми.

Розроблені алгоритми і програми, а також результати рішення конкретних задач використовувалися при виконанні науково-дослідних праць відділу гідродинамічної акустики Інституту гідромеханіки НАН України, а також увійшли в лекційні курси, які читає автор на кафедрі акустики та акустоелектроніки Національного технічного університету України "Київський політехнічний інститут".

Особистий внесок здобувача. Теоретичні та практичні розробки дисертації належать здобувачу особисто, що відображено у 13 самостійних статтях [12-24]. У працях, опублікованих разом з науковим консультантом академіком НАН України В.Т.Грінченком [8, 9, 10], В.Т.Грінченко належить вибір загального напрямку досліджень, участь в обговоренні отриманих результатів; у працях, опублікованих разом з д.ф.-м.н. І.В.Вовком [2, 3, 4], І.В.Вовку належить постановка задач та участь в обговоренні результатів; у роботі, яка виконана разом з І.Ю.Гончаровою [7], І.Ю.Гончаровій належить проведення чисельних розрахунків та участь в обговоренні результатів; у працях, які виконані разом з д.т.н. М.І.Карновським, к.т.н. В.Б.Галаненко, к.т.н. І.Л.Обозненко, к.ф.-м.н. В.Г.Лозовиком, к.т.н. К.В. Ковальчуком, к.т.н. Ю.Н. Рябухою та іншими співавторами [1, 5, 6, 11], здобувач приймав участь в обговоренні постановки задачі, розробці алгоритму і аналізу отриманих результатів.

Апробація результатів дисертації. Матеріали дисертації доповідались на:

· 141st Meeting Acoustical Socsienty of America. Chicago, Illinois, 4-8 June 2001;

· VI Міжнародній науковій конференції "Математичні проблеми механіки неоднорідних структур" (Львів, 26-29 травня 2003 р.);

· Міжнародній науковій конференції "Моделювання і дослідження стійкості динамічних систем - DSMSI-2003" (Київ, 27-30 травня 2003 р.);

· Міжнародному акустичному симпозіумі – КОНСОНАНС-2003 (Київ, 1-3 жовтня 2003р.).

У повному обсязі дисертаційна робота обгорювалася на семінарі кафедри теоретичної і прикладної механіки Київського Національного університету ім. Тараса Шевченка (2003 р.), на семінарі Інституту гідромеханіки НАН України (2003 р.) і на семінарі кафедри акустики та акустоелектроніки Національного технічного університету України "Київський політехнічний інститут" (2003 р.).

Публікації. За матеріалами дисертації, у фахових журналах, опубліковано 24 наукові статті.

Структура та обсяг дисертації. Дисертація складається зі вступу, пяти розділів, висновків та списку літератури. Загальний об’єм дисертації становить стор., разом із 96 рисунками на 75 стор. і 3 таблицями. Список літературних джерел становить 166 найменувань.

Подяка. Автор висловлює глибоку вдячність своєму науковому консультанту академіку НАНУ Віктору Тимофійовичу Грінченку і доктору фізико-математичних наук, професору Ігорю Володимировичу Вовку за постійну увагу до роботи та допомогу при її виконанні.

ОСНОВНИЙ ЗМІСТ РОБОТИ

У вступі показано актуальність роботи, її зв’язок з науковими програмами, сформульовано мету дослідження, відзначено наукову новизну та практичне значення роботи, сформульовано основні результати, одержані в дисертації.

Перший розділ присвячено огляду теоретичних робіт, в котрих проводиться аналіз звукових полів в складних (неканонічних) областях.

Дослідження багатьох акустичних ситуацій можливо здійснити в рамках моделі, яка приводить до вирішення граничних задач для рівняння Гельмгольця. Для самого рівняння побудовані часткові рішення в різних системах координат. Для тих випадків, коли форма випромінюючого або розсіючого тіла є канонічною, накопичено багатий матеріал по вирішенню граничних задач. Мабуть в найбільш закінченому вигляді такий матеріал систематизовано і узагальнено в монографії: Bowman J.I., Senior N.B.A., Usleghi P.L.E. Electromagnetic and acoustic scattering by simple shaper. – Amsterdam: North-Holland Publ.Co., 1969. – 727 p. У всіх задачах, розглянутих в монографії, реалізовано єдиний підхід, котрий використовується в багатьох задачах математичної фізики. Суть його заключається у тому, що для області існування звукового (електромагнітного) поля на основі вибору відповідних часткових рішень рівняння Гельмгольця будується така їх сукупність, котра має можливість задовольнити довільним граничним умовам для швидкості або тиску на поверхні, яка обмежує область існування поля. Коло задач, котрі можуть бути розглянуті подібним чином, досить обмежений. Практично в зазначеній вище монографії воно окреслено повністю.

Як зазначається вище, актуальною проблемою є рішення задач випромінювання і розсіювання звуку для неканонічних областей. Серед методів дослідження таких задач можна виділити два основних напрямки: чисельні і чисельно-аналітичні методи, котрі суттєво відрізняються між собою по сфері застосування і ефективності кінцевого рішення.

Головне достоїнство прямих чисельних методів – їх універсальність, оскільки формальні обмеження на конфігурацію розсіювача або випромінювача в більшості з них відсутні. Але практична реалізація прямих методів може наштовхнутися на чуттєві складності. Серед великої кількості літературних джерел по чисельним методам відзначимо роботи А.А.Самарського, В.Ю.Завадського, П.Н.Вабищева, Р.Міттри, К.Мея, М.Моргана, Р.Харінгтона. Слід зазначити, що мабуть тільки метод скінцевих різниць може трактуватися як чисто чисельний. Інші методи в тій чи іншій формі використовують деякі аналітичні рішення для побудови загальної процедури метода. В якості прикладу укажемо на роботи С.М.Балабаєва, Н.Ф.Івіної, Н.Д.Векслера, Bossut R., Decаrpigny J.-N., в котрих використовано комбінований метод кінцевих і граничних елементів при дослідженні коливань і випромінювання тіл кінцевих розмірів.

Чисельно-аналітичні методи, програючи в простоті побудови і запису кінцевих алгоритмів, суттєво виграють в ефективності і точності розрахунків в порівнянні з прямими методами. Значний обєм досліджень, повязаний з питаннями випромінювання та розсіювання звукових (електромагнітних) хвиль в неканонічних областях проведено В.П.Шестопаловим і його колегами. Використання, в якості бази для побудови уявлення хвильових полів, рішення класичної задачі Рімана-Гільберта дозволило побудувати метод, здатний ефективно відобразити структуру хвильових полів в складних областях. Серед авторів багатьох статей і монографій слід відзначити В.А.Марченко, З.С.Аграновича, С.А.Масалова, Л.Н.Литвиненко, В.В.Щербака, В.Г.Сологуба, Є.Н.Подольського, А.Г.Адоніна, Ш.Є.Таранова, Ю.К.Сіренко, А.А.Кіриленко, Л.А.Рудь. В поточному році вийшла із друку монографія Ю.К.Сіренко, в котрій розглянуті початково-крайові задачі для несталих електромагнітних полів.

Хвилеводні системи для звукових і електромагнітних хвиль, поруч з роботами харківських радіофізиків, досліджувалися в роботах Л.Левіна, Є.Л.Шендерова, М.І.Карновського, В.Б.Галаненко, В.Г.Ямпольського, В.Ш.Суханова, Г.В.Воскресенського, Є.А.Галстяна, С.Н.Журав, Altintas A., Pathak P.H., Joseph P., Morfey C.L. В статті Г.В.Воскресенського, Є.А.Галстяна, С.Н.Журав на прикладі задачі дифракції електромагнітної хвилі на уступі круглого хвилеводу проведено порівняльний аналіз різних методів рішення, які базуються на зшиванні полів.

Велика кількість робіт присвячена застосуванню інтегральних рівнянь в задачах випромінювання і розсіювання звукових і електромагнітних хвиль. Це роботи Є.Л.Шендерова, І.Л.Обозненко, В.Г.Лозовика, Є.Н.Васильєва, А.Г.Свешникова, В.В.Кравцова, А.С.Ільїнського, З.Т.Назарчука, Н.А.Хижняка. Як приклад відмітимо роботу Є.Л.Шендерова, де розглядається випромінювання звуку осцилюючим диском без екрану і роботу А.Н.Хижняка, де досліджується дифракція плоскої хвилі на тонкому диску. Перша задача є дуже важливою в теорії випромінювання звуку, а друга може розглядатися як ключова в широкому класі складних граничних задач.

В теорії дифракції широке застосування отримав метод Вінера-Хопфа. Можливості застосування цього методу для рішення дифракційних задач найбільш повно викладені в книгах Л.А.Вайнштейна, Б.Нобла.

Задачі випромінювання і розсіювання звукових (електромагнітних) хвиль кінцевим набором обєктів розглядалися О.М.Гузем, Е.А.Івановим, О.Г.Лейко, І.І.Клюкіним, В.Г.Маяцьким, Lin W.H., Raptis A.C. В цих роботах використовуються теореми додавання для відповідних функцій.

Ефективний підхід до вирішення задач дифракції на симетричних неоднорідностях викладено в монографії І.Т.Селезова, а для розрахунку звукових полів в областях з циліндричною симетрією в роботах Ф.Є.Григоряна.

Питанню про особливості хвильових полів поблизу кутових точок дослідники приділили багато уваги. Тут слід відмітити праці В.Т.Грінченко, А.Г. Власова, В.А.Бабешко, І.В.Вовка, В.В.Мелешко, О.М.Гомілко, В.Б.Галаненко, Н.С.Городецької, М.Б.Мануілова, В.Н.Шведова, Г.П.Сінявського. В цих роботах можна познайомитися з різними підходами щодо урахування умови особливості звукових полів поблизу кутових точок.

Підводячи підсумок аналізу літературних джерел, можна сказати, що не дивлячись на значні зусилля багатьох вчених, дослідження звукових полів в неканонічних областях залишається актуальною проблемою. Подана дисертаційна робота вносить певний внесок в її вирішенні.

У другому розділі на прикладі задачі про розповсюдження звуку у плоскому з жорсткими межами складеному хвилеводі (I - II - х та у – декартові координати) розглянуто основні положення методу часткових областей. Для низки задач розсіювання і випромінювання звуку граничні умови формулюються на поверхнях, котрі включають ребра (наприклад, складений хвилевод). Така ситуація дуже ретельно обговорювалася в літературі з акустики і електродинаміки. Але для динамічних задач було встановлено деякі особливості побудови алгоритмів розвязків, котрі в дисертаційній роботі проаналізовані на прикладі задачі про складений хвилевод.

Звукові поля в областях I і II представляються у вигляді суперпозиції мод плоского хвилеводу з амплітудами та відповідно; набігаючою є плоска хвиля. Виконуючи умови спряження, на межі областей I і II, та проводячи алгебраїзацію функціональної системи, отримаємо нескінченну систему алгебраїчних рівнянь. Перехід до скінченої системи порядку N виконується з урахуванням характеру локальної особливості по швидкості в околі ребра при заміні значення всіх невідомих для n>N їхніми асимптотичними величинами:

Врахувати характер локальної особливості на ребрі можна декількома способами. Перший, використовуючи асимптотичні значення у вигляді зазначених формул для невідомих An і Bn (n>N); другий, використати записане співвідношення для одного типу невідомих, наприклад An (n>N), а для знаходження невідомих Bn (n>N) використати умову рівності швидкості на ребрі. Для цієї умови звязок між AN і BN (тут введемо позначення ) має вигляд:

Порівняння величин BN (отримане при вирішенні кінцевої системи рівнянь порядку N) і наведено на рис.1, де представлено залежність від порядку N алгебраїчної системи рівнянь. В розрахунках приймалося h1/=0,9, h2/=1,9, кількість мод, які враховувались при розрахунках для n>N дорівнювало 1000. Лінії проведені для зручності сприйняття результатів обчислення. Видно, що залежність В від N має осцилюючий характер. Це обумовлено самим характером поведінки коефіцієнтів Bn.

Розглянемо більш детально два випадки: коли величина В приймає найменше значення (N=63) і коли В велика (N=71). Виявилось, що у випадку N=63, при використанні асимптотичних властивостей для невідомих, значно підвищується точність виконання умов спряження в порівнянні з випадком простої редукції.

Для випадку N=71 ситуація зовсім інша. При використанні асимптотичних властивостей невідомих точність виконання умов спряження не тільки не підвищилась, але і впала в порівнянні з простою редукцією нескінченої системи.

Таким чином, осцилюючий характер невідомих в хвильових граничних задачах з локальною особливістю вимагає не тільки враховувати асимптотичні властивості невідомих, але і проводити додаткові дослідження для вибору оптимального порядку скінченої системи. В аналогічних статичних граничних задачах з локальною особливістю на ребрі такі дослідження можна не проводити за рахунок того, що невідомі високих номерів слабо осцилюють.

Якщо не цікавитись полем безпосередньо поблизу ребра, то не використання умови на ребрі є цілком обґрунтовано.

Далі в першому розділі дисертації розглянуті шляхи розвитку метода часткових областей, котрі дозволяють використовувати його при дослідженні звукових полів в складних областях, а саме:

· використання різних систем координат;

· продовження граничних умов на нефізичні ділянки меж.

Ідейну сторону такого розвитку метода розглянуто при аналізі наступних трьох задач.

Перша задача є простою і виступає в якості демонстраційної. Мова йде про плоску задачу визначення потенціалу звукового поля в області прямокутної форми (ха, уb) при заданому потенціалі на сторонах прямокутника. Як відомо, загальне рішенні задачі можна записати у вигляді сукупності частинних рішень рівняння Гельмгольця для прямокутної області. Подібне загальне рішення можна записати і для більшої за розміром прямокутної області: xL, yb, L>a. Зрозуміло, що друге рішення також може виступати у ролі загального рішення задачі для вихідної області ха, уb. Але система функцій , котра формує один з рядів Фур’є в загальному рішенні, неортогональна на відрізку ха. Ось тут і виникає ідея продовження граничних умов на увесь відрізок xL. Причому, і це принципово, функція, яка визначає продовження граничних умов на відрізки axL може бути довільною. Процедура продовження граничних умов надає можливість визначити невідомі коефіцієнти у явному вигляді. Хоча продовжити граничні умови можна довільним чином, слід це робити при можливості без наявності стрибка, оскільки, в реальних розрахунках нескінченні суми замінюються на скінченні.

В якості другої задачі розглянуто плоску задачу випромінювання звуку двома перетинними циліндрами з паралельними вісями, рис.2. Згідно рисунку введені дві полярні системи координат з центрами О1 і О2. Випромінююча поверхня утворена частинами кіл r1=a1, і r2=a2, . На цих поверхнях задана нормальна складова швидкості частинок ідеальної рідини (часовий множник не пишемо):

r(a1,1)=F1(1), r(a1,2)=F2(2).

Загальне представлення функції потенціалу звукового поля має вигляд:

У випадку рознесених циліндрів, коли граничні умови задаються на повних колах, ситуація цілком зрозуміла. В даній задачі, оскільки, система функцій ортогональна на відрізку [0,2], то безпосереднє застосування записаного рішення до граничних умов приводить до нескінченної системи лінійних алгебраїчних рівнянь першого роду. Як відомо з літературних джерел, така ситуація з обчислювальної точки зору є дуже небажаною. Система другого роду може бути отримана тільки у тому випадку, коли граничні умови будуть продовжені на штрихові ділянки кіл, котрі взагалі не є фізичними границями області. При цьому, на штрихову ділянку лівого циліндру слід продовжити рішення , а на штрихову ділянку правого циліндру – рішення . Отже матимемо такі граничні умови:

Кількісні характеристики звукового поля не будуть залежати від виду функцій 1(1) і 2(2), продовжуючих граничні умови.

Третьою задачею є осесиметрична задача випромінювання звуку циліндром кінцевої довжини, закритого з торців напівсферичними акустично жорсткими кришками, рис.3. Циліндр виконує радіальні коливання за гармонічним законом. Для побудови рішення задачі вводимо чотири системи координат: три сферичні - (r1,1) з центром О1, (r2,2) з центром О2, (r,) з центром О і циліндричну (z, R) з центром О. Введення такої кількості координатних систем дозволяє розмістити окремі поверхні випромінювача і поверхню розподілу часткових областей на координатних поверхнях відповідних систем координат.

Згідно рис.3 часткових областей дві, для котрих потенціали звукового поля мають вигляд:

в області I | в області II

Якщо для області I набір часткових рішень рівняння Гельмгольця являє собою загальне рішення, тобто дозволяє задовольнити довільним граничним умовам на поверхні циліндру і границі між областями І і ІІ, то для рішення в області II це не так. Рішення повинно гарантувати виконання граничних умов на верхній кришці, рішення - на нижній, а - забезпечити спряження полів між областями І і ІІ. Одначе для кожного з цих рішень відсутні визначені граничні умови на всій координатній поверхні, де відповідна система функцій Pn(cos1), Pn(cos2), P2n(cos), n=0,1,2,… володіє повнотою і ортогональністю. Продовження граничних умов на нефізичні ділянки меж як раз і дозволяють отримати такі поверхні. Таким чином граничні умови будуть мати вигляд:

, R = a, .

Як бачимо, нефізична поверхня r1=a, /21 задається акустично жорсткою для рішення , а нефізична поверхня r2=a, 02/2 – акустично жорсткою для рішення . На нефізичній поверхні r=r0, 00, -0 задається деяка швидкість r – тут продовжується рішення .

На рис.4 зображені графіки відхилу по швидкості V на межі областей І і ІІ для двох варіантів величини r: r=0 (штрихові) і r=V0sin0 (суцільні лінії). При цьому a/=0,225, H/=1,67; 0=31; кількість врахованих мод в області І складало 7, а в області ІІ – 15. (Відхил визначався як відношення модуля різниці поля зліва і справа від межі до модуля їх суми). У варіанті r=V0sin0 маємо краще виконання граничних умов, по тиску і особливо по швидкості, на межі розподілу областей І і ІІ. В цілому, згідно рис.4, виконання граничних умов є задовільним за винятком зони кутів , прилеглих до кута 0=31. Це обумовлено тим, що швидкість r в точці =0 має розрив першого роду. Звідси поведінка кривих на рис.4 є характерною для рядів Фурє розривних функцій.

Зазначимо, що у дальньому полі випромінювання графіки діаграм направленості, у випадку двох варіантів величини r, в графічному зображенні практично не відрізняються.

Нескінченні системи лінійних алгебраїчних рівнянь другого роду, до яких зводились граничні задачі, розглянуті в дисертаційні роботі, розвязувались методом редукції. Можливість такого розвязку визначалася в ході чисельного експерименту, результатом якого повинно було бути виконання наступних двох умов:

· виконання граничних умов з прийнятою точністю;

· наявність збіжності отриманого розвязку при збільшенні порядку кінцевої системи в процесі редукції нескінченої системи рівнянь.

Отже розглянуті три задачі засвідчують, що запропоновані шляхи розвитку метода часткових областей значно розширюють клас задач, які допускають побудову загального рішення. Далі в дисертаційній роботі детально досліджена низка таких задач.

У третьому розділі розглядаються нерегулярні хвилеводи. Хвилеводні системи з неоднорідностями знаходять широке застосування в акустичних і радіоелектронних пристроях. Якщо теорія одномодових хвилеводів добре розвинута, а для хвилеводів, у котрих характерні розміри великі в порівнянні з довжиною хвилі, можна застосувати методи геометричної теорії дифракції, то теорія хвилеводів з неоднорідностями, коли характерний розмір порівняний з довжиною хвилі, розвинута слабкіше. Разом з тим, виявилось, що цей діапазон зміни хвильових розмірів багатий різними хвилеводними ефектами.

Прикладом може служити плоский хвилевод зі зламом, рис.5. Вся область існування звукового поля розділяється на три області. Використання двох декартових систем координат дозволяє записати загальні представлення звукового поля в кожній з областей. Зліва в області І на злам набігає одна з мод цієї області.

Енергетичний коефіцієнт проходження q-ої моди області І крізь злам в область ІІ визначається виразом:

.

Тут 0=1, n=0,5 при n>0; , , k=/c – хвильове число; Вn – амплітуда n-ої моди області ІІ.

Формулу для W(q) можна трактувати як суму енергетичних коефіцієнтів збудження розповсюджуючих мод області ІІ. На рис.6 представлені частотні характеристики коефіцієнта проходження W(0) нульової моди при кутах зламу 90 і h1=h2: 1 - =5, 2 - =45, 3 - =65, 4 - =90. Спостерігається зниження коефіцієнта проходження при збільшенні кута зламу з наявністю провалів в характеристиках при розмірі хвилевода кратному половині довжини хвилі.

На рис.7 показані частотні залежності коефіцієнтів збудження мод області ІІ при =65 (крива 3 на рис.6). Як бачимо, кратність половині довжини хвилі відповідає збудженню чергової моди хвилеводу, для котрої з ростом величині h1/ характерно збільшення амплітуди збудження. Таким чином, можна казати про трансформацію енергії нульової моди області І в моди області ІІ з більш високими номерами. Можлива і зворотна трансформація енергії – від вищої моди в нижчу. Для хвилеводів з кутом зламу >90, при досягненні певного хвильового розміру, злам стає практично звукопрозорим, що природно визначається суперпозицією мод, збуджуємих в області ІІ.

Подібний детальний аналіз модової структури дозволяє дослідити проходження звуку у хвилеводі з відгалуженням.

Далі в роботі розглянуто проходження звуку крізь спряження плоского і клиновидного хвилеводів з акустично жорсткими поверхнями, рис.8. Тут вся область існування звукового поля розділяється на три області. Зліва в області І набігає одна з мод плоского хвилеводу. Впровадження двох систем координат (декартової і полярної з центром О) дозволяє записати загальні представлення для звукових полів в областях І і ІІІ. Потенціал звукового поля в перехідній області ІІ є суперпозиція мод плоского і клиновидного хвилеводів:

Причому рішення має різне представлення для кутів розкриву клиновидного хвилеводу 090 і 0>90. Річ у тому, що при 0>90 центр системи координат знаходиться всередині області ІІ, а значить, кутові функції в рішенні повинні бути періодичними з періодом 2, тобто від набору функцій {cos(n, n=n/0, n=0,1,2,…} для 090 слід перейти до функцій {cos(n), n=0,1,2,…} для 0>90. Але конфігурація межі області ІІ не дозволяє скористатися ортогональністю системи функцій cos(n). Зазначену складність можна подолати, якщо доповнити для рішення межу до повного кола радіусу r0 (штрихова лінія в області І). Тоді для кутів розкриву 0>90 зявляються два варіанти формування умов спряження звукових полів. Перший при продовженні швидкості на додаткову ділянку, другий – тиску. Зрозуміло, що обидва варіанти є рівноправні і вибір одного з них визначається кращим виконанням граничних умов при вирішенні нескінчених систем рівнянь методом редукції. В даній задачі кращим з цієї точки зору був варіант з продовженням тиску. На рис.9 представлені частотні характеристики коефіцієнту проходження нульової моди W(0) плоского хвилеводу при різних кутах розкриву клиновидного хвилеводу: 1 - 0=5, 2 - 0=25, 3 - 0=45, 4 - 0=90, 5 - 0=110, 6 - 0=140, 7 - 0=180 (крива 7 побудована за формулою Л.А.Вайнштейна). Згідно рис.9 зона спряження хвилеводів виступає фільтром верхніх частот, у якого частота зрізу визначається кутом розкриву 0 клиновидного хвилеводу. Цікаво, що при 2h/>0,6 практично вся енергія падаючої хвилі проходить в клиновидний хвилевод. При кінцевих розмірах рупора виникне додаткове відбиття енергії, але представленні дані важливі для якісного розуміння особливостей узгоджуючого рупора.

Для більш повного розуміння цих особливостей в роботі розглянуті дані про просторовий розподіл енергії в клиновидному хвилеводі. Цей розподіл визначається сукупністю факторів, а саме: хвильовим розміром плоского хвилеводу 2h/, кутом розкриву клиновидного хвилеводу 0 і структурою

набігаючої хвилі. Виявилося, що специфічною особливістю випромінювання в клин є, при певних співвідношеннях величин 0 і 2h/, зменшення інтенсивності випромінювання в осьовому напрямку. Як приклад, на рис.10 представлені енергетичні діаграми направленості при куті розкриву 0=25 (набігає нульова мода; параметром кривих є величина 2h/).

Далі досліджувалася задача випромінювання звуку з відкритого клиновидного хвилеводу, у котрого кінці обмежуючих площин не лежать на одному колі, рис.11. Така геометрія хвилеводу дозволяє в певній мірі керувати як енергетичною ефективністю випромінювання з відкритого кінця, так і просторовою структурою поля. Ділянку верхньої межі s, яка визначає асиметрію меж будемо називати екраном. Відмітимо, що при збільшенні довжини екрану від нуля до нескінченності конфігурація часткових областей змінюється шість разів. На рис.12 показані нормовані (до амплітуди набігаючої хвилі в перерізі r=r0, r0/=1) значення амплітуд тиску вздовж екрану і на деякій ділянці його продовження при куті розкриву хвилеводу 0=90. Набігаючою є нульова мода клиновидного хвилеводу. Номера кривих відповідають різним довжинам екрану: 1 – s=0, 2 – s/=, 3 – s/=2, 4 – s/=3. Частина кривої з індексом "а" характеризує розподіл тиску на освітленій поверхні екрану, а частина кривої з індексом "s" – тіньовій поверхні екрану. Частини кривих з індексами "s" ілюструють екраніруючий ефект. Яскраве проявлення дифракційного ефекту спостерігається в освітленій зоні – на деякій відстані від початку екрану формується максимум тиску.

Енергетичні потоки у дальньому полі характеризуються діаграмами направленості для різних кутів розкриву 0 і довжини екрану s/, рис.13,14 (набігає нульова мода): 1 – s=0, 2 - s/=0,5, 3 - s/=1, 4 - s/=2; r0/=1. Для невеликого кута розкриву 0=30 (рис.13) діаграма направленості з ростом хвильової довжини екрану зберігає свою форму, а максимум діаграми переміщується до кута дзеркального відбиття плоскої хвилі від нескінченої поверхні. Подальше зростання довжини екрану призводить тільки до загострювання діаграми. Для кута розкриву 0=90 (рис.14) спостерігається значний вплив екрану на структуру дальнього поля. Як бачимо, з ростом довжини екрану виникає значний за величиною боковий пелюсток, в зону котрого потім переміщується основний пелюсток і максимум випромінювання прямує до кута дзеркального відбиття плоскої хвилі.

В четвертому розділі досліджено плоску задачу розсіювання хвилі на клиновидних обєктах кінцевих розмірів. Аналіз поля розсіювання хвиль на подібних обєктах є цікавим при проектуванні різноманітних локаційних систем. На рис.15 показано один з варіантів обєкту: сторони клина замкнуті

дугою АВ; 0 – кут падіння плоскої хвилі, - кут спостереження, де визначаються параметри звукового поля. На рис.16 представлені нормовані залежності повного перерізу розсіювання S/R (крива 1), двопозиційного перерізу розсіювання (=0,0)/R (крива 2, кут спостереження =0), зворотного перерізу розсіювання L/R як функції кута падіння 0 плоскої хвилі. Хвильовий розмір kR=15, а кут розкриву клину 21=90 (в цьому випадку довжина дуги АВ становить R/2). Отже маємо значні хвильові розміри поверхонь обєкту, причому їх лінійні розміри досить близькі. Як результат, повний переріз розсіювання (крива 1) практично не залежить від кута падіння, в двопозиційному перерізу розсіювання (крива 2) присутній значний тіньоутворюючий пелюсток, а крива зворотного розсіювання (крива 3) має яскравий "блік" в околиці кута 0=135 (відбиття від плоскої поверхні великого хвильового розміру). В дисертаційній роботі досліджено залежності перерізу розсіювання при зміні параметрів об’єкту () і при інших конфігураціях об’єкту (сторони клину замкнуті хордою АВ і незамкнуті).

У пятому розділі досліджено вісесиметричну задачу випромінювання звуку граткою із співвісних пєзокерамічних оболонок, закритої з торці екранами у формі зрізаних сферичних секторів, рис.17. Гратки такого типу дуже широко застосовуються в гідроакустичній техніці. Така популярність обумовлена, перед усім, високою енергетичною ефективністю цього типу випромінювачів, поряд з технологічністю, яка забезпечує порівняльну простоту їх виготовлення.

Для опису геометрії задачі і побудови рішення вводяться дві системи координат с загальним центром О – сферичну (r,) і циліндричну (R,z). Торцеві екрани формуються трьома поверхнями. Так, для верхнього екрану межовими являються поверхня сферичного сегменту r=r1, 00, бокова поверхня зрізаного конуса r0rr1, =0 і поверхня кільця R1RR2, z=H. Кожна з них може бути або акустично жорсткою, або акустично мякою.

На електроди кожного перетворювача подається гармонічна напруга кругової частоти , яка в загальному випадку має індивідуальні значення амплітуди і фази. Перетворювачі поляризовані радіально, а електроди розміщені на циліндричних поверхнях. Щілини між оболонками відсутні. Випромінююча система занурена в ідеально стисливу рідину з густиною =103 кгм-3 і швидкістю звуку с = 1,5103 мс-1. Всередині гратки середовище може бути присутнім або відсутнім.

Постановка такої "наскрізної" задачі дозволяє визначити важливі для практики локальні і інтегральні польові характеристики (акустичний тиск, потужність випромінювання, діаграму направленості та інші) з урахуванням реакції середовища яке оточує коливну поверхню перетворювачів, їх акустичної взаємодії, фізичних і геометричних параметрів пєзооболонок, а також амплітуд і фаз електричних напруг, які подаються на електроди. В дисертаційній роботі досліджено вплив розмірів і властивостей поверхонь торцевих екранів на звукове поле, котре випромінюється граткою.

Рішення задачі побудовано на базі методу часткових областей із залученням рівнянь, які описують вимушені коливання пєзокерамічних оболонок під впливом прикладеної до них електричної напруги. Згідно рис.17 вся область існування звукового поля розбивається на пять часткових областей.

В кожній з часткових областей можливо записати загальні рішення рівняння Гельмгольця як суперпозицію відповідних часткових рішень. При описанні радіальних коливань тонкої пєзокерамічної оболонки рахуємо, що:

· по-перше, товщина стінки оболонки значно менша радіусу її серединної поверхні, що дозволяє нехтувати змінами механічних і електричних величин в радіальному напрямку і, тим самим, розглядати коливання серединної поверхні оболонки;

· по-друге, висота оболонки настільки менша її радіусу, щоб можна було нехтувати енергією згинними і осьовими деформаціями і рахувати, що в межах однієї оболонки зміщення її серединної поверхні не змінюється вздовж координати z.

Тоді для гармонічної електричної напруги можна перейти від диференційного рівняння коливань тонких низьких оболонок до рівняння виду

Fj+VjZj=NjUj,

де j – номер оболонки, Vj – коливальна швидкість j-ої оболонки, Fj – різниця сил реакції середовища на зовнішню і внутрішню бокові поверхні j-ої оболонки, Zj – власний механічний опір оболонки, Nj – коефіцієнт електромеханічної трансформації. Записане рівняння широко використовується для дослідження акустичних полів, які утворюються циліндричними випромінювачами.

Розписуючи рівняння руху оболонки, граничні умови на їх бокових поверхнях і умови зшивання звукових полів на межах часткових областей, утворюємо систему функціональних рівнянь. Її подальша алгебраїзація приводить до нескінченої системи лінійних алгебраїчних рівнянь другого роду, котра вирішувалася методом редукції.

В проведених розрахунках вважалося, що оболонки однакові і їх загальна кількість дорівнює пять; H/R1=1,67; R1=0,075 м; h=0,05 м. Оболонки виготовлені із пєзокераміки ЦТБС-3: d31=1,610-10 КлН-1; =11,310-12 м2Н-1; к=7,2103 кгм-3; ск =3,5103 мс-1; маса оболонки m=1,5 кг, її добротність Q=25, а власна частота у вакуумі f07400 Гц. На всі оболонки подається електрична напруга з однаковою амплітудою U0=103 B. В силу симетрії задачі мають місце