Міністерство освіти і науки України

Львівський національний університет імені Івана Франка

Мазуренко Віктор Володимирович

УДК 517.91+517.927

ДИСКРЕТНО-НЕПЕРЕРВНІ КРАЙОВІ ЗАДАЧІ ДЛЯ

УЗАГАЛЬНЕНИХ КВАЗІДИФЕРЕНЦІАЛЬНИХ РІВНЯНЬ

01.01.02 - диференціальні рівняння

А В Т О Р Е Ф Е Р А Т

дисертації на здобуття наукового ступеня

кандидата фізико-математичних наук

Львів – 2003

Дисертацією є рукопис.

Робота виконана в Національному університеті “Львівська політехніка” Міністерства освіти і науки України.

Науковий керівник:

доктор фізико-математичних наук, професор

Тацій Роман Мар’янович,

завідувач кафедри будівельної механіки

Національного університету “Львівська політехніка”.

Офіційні опоненти:

доктор фізико-математичних наук, професор

Лазакович Микола Вікторович,

професор кафедри функціонального аналізу

Білоруського державного університету, м. Мінськ;

кандидат фізико-математичних наук, доцент

Головатий Юрій Данилович,

доцент кафедри диференціальних рівнянь

Львівського національного університету імені Івана Франка.

Провідна установа:

Інститут математики НАН України, м. Київ,

відділ диференціальних рівнянь та теорії коливань.

Захист відбудеться  20 березня 2003 р. о 15.20 год. на засіданні спеціалізованої вченої ради
К 35.051.07 у Львівському національному університеті імені Івана Франка за адресою:

79000, м. Львів, вул. Університетська, 1, ауд. 377.

З дисертацією можна ознайомитись у науковій бібліотеці Львівського національного університету імені Івана Франка (м. Львів, вул. Драгоманова, 5).

Автореферат розісланий 18 лютого р.

Вчений секретар спеціалізованої вченої ради М.М. Бокало

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальність теми. Дослідження реальних фізичних явищ і процесів, які враховують природ-ну єдність дискретного й неперервного, приводить до необхідності створення адекватних матема-тичних моделей. Багато зі згаданих моделей описуються диференціальними і квазідиферен-ціаль-ними рівняннями з узагальненими функціями у коефіцієнтах і правих частинах.

У 60-х роках минулого століття в роботах І. С. Каца, М. Г. Крейна і Ф. Р. Гантмахера детально вивчались крайові задачі для звичайних диференціальних рівнянь другого й четвертого порядків, що описують відповідно вільні коливання струни та балки, які, крім неперервно розподіленої маси, несуть на собі зосереджені точкові маси.

Диференціальні рі-в-нян-ня такого типу, загалом, є не-ко-ре-к-т-ни-ми, бо мі-с-тять до-бу-т-ки уза-галь-не-них фу-н-к-цій на роз-ри-в-ні, ко-т-рі (до-бу-т-ки), як ві-до-мо, не зав-жди іс-ну-ють у се-н-сі те-о-рії уза-галь-не-них фу-н-к-цій. Ви-ко-ри-с-то-ву-ю-чи рі-з-ні під-хо-ди до по-нят-тя роз-в’я-з-ку, ва-ж-ли-вий вне-сок у роз-ви-ток те-о-рії уза-галь-не-них ди-фе-ре-н-ці-а-ль-них та, по-в’я-за-них з ни-ми, ін-те-г-ра-ль-них си-с-тем зроб-ле-но в роботах Ф. Аткінсона, Д. Векслера, Ю.В. Єгорова, С. Т. Заваліщина, Я. Курцвейля, Я. Лігези, Д. І. Мар-тинюка, Н. А. Пе-рестюка, Ю. В. Покорного, Я. В. Радино, А. М. Самойленка, О. М. Сєсєкіна, В. Є. Слюсарчука, Т. Гільдебрандта, С. Швабіка та інших авторів.

В роботах Р. М. Тація та його учнів М. Ф. Стасюк, Б. Б. Пахолка, В. В. Кісілевича започатковано і розвинуто напрям у теорії узагальнених диференціальних рівнянь, для яких справджуються ефективні критерії коректності розв’язку. Розроблено основи теорії лінійних і квазілінійних систем з мірами у коефіцієнтах та вивчено елементи теорії стійкості таких систем. На основі розвитку концепції квазіпохідних та вивченні структури фундаментальної матриці побудована лінійна теорія скалярних і векторних квазідиференціальних рівнянь з коефіцієнтами-мірами і правими частинами – узагальненими похідними високих порядків від функцій локально обмеженої варіації. Для скалярних квазідиференціальних рівнянь парного порядку для одного класу крайових умов на скінченному проміжку отримано основні положення спектральної теорії.

Поряд з отриманими результатами залишились невивченими сингулярні крайові задачі для ска-ляр-них квазідиференціальних рівнянь непарного порядку, для рівнянь парного порядку з крайовими умовами загального вигляду, для систем квазідиференціальних рівнянь. Власне, ці задачі є предметом дослідження у дисертаційній роботі.

Зв’язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Дисертаційне дослідження проведене в рамках плану наукової роботи кафедри будівельної механіки Національного університету “Львівська політехніка”.

Ме-та і за-да-чі до-слі-джен-ня. Метою роботи є вивчення дискретно-неперервних крайових задач для узагальнених квазідиференціальних рівнянь довільного скінченного порядку у просторі вектор-функцій.

Для досягнення поставленої мети необхідно розв’язати такі задачі: 1) використо-вуючи відомі критерії, виділити класи коректних квазідиференціальних рівнянь і систем рівнянь довільного скінченного порядку з узагальненими функціями у коефіцієнтах і правих частинах; 2) встановити умови існування розв’язків неоднорідних крайових задач для вказаних класів рівнянь і систем; 3) з’ясувати можливість розвинення “довільної” вектор-функції в ряд Фур’є за повною орто-нормованою системою власних векторів; 4) здійснити граничний перехід у послідов-ності крайових задач, визначених на скінчен-ному проміжку , з’ясувавши при цьому поведінку характеристичних та спектральних матриць вказаних задач.

Наукова новизна одержаних результатів. У дисертації отримано такі нові результати:

-

-

-

-

-

Практичне значення одержаних результатів. Результати дисертації мають теоретичний характер і є певним внеском у побудову теорії дискретно-неперервних крайових задач. Вони розширюють і доповнюють відомі результати у цьому напрямку та можуть бути використані при дослідженні математичних моделей реальних фізичних процесів і явищ дискретно-неперервного характеру: коливання і стійкість систем з дискретно-неперервним розподілом параметрів (зосереджені маси, моменти, узагальнені зовнішні зусилля і т.п.), теплопровідність тіл з точковими внутрішніми і зовнішніми джерелами тепла тощо.

Особистий внесок здобувача. Основні результати дисертації отримані автором самостійно. У спільних роботах [2-6, ] науковому керівникові Р. М. Тацію належать постановки задач та огляди відомих результатів. В роботі [4] автору дисертації належать пункти  і , а співавторам М.Ф. Стасюк та В.В. Кісілевичу – пункт . У статті [5] автором дисертації проведено доведення теореми , сформульовано наслідок з неї та доведено теорему , співавтору М.Ф. Стасюк належить формулювання та ідея доведення теореми . В роботі [6] співавтором М.І. Копачем побудовано рекурентні співвідношення для визначення коефіцієнтів розвинення розв’язку розглянутої задачі в ряд за параметром, автором дисертації доведено теорему.

Апробація результатів дисертації. Результати дисертації доповідались та обговорювались на Міжнародній Боголюбівській конференції “Проблеми теоретичної та математичної фізики” (Київ, 4-6 жовтня 1999р.); на науковій конференції “Математика і механіка у Львівському універ-ситеті (історія і сучасні проблеми)” (Львів, 25-27 листопада 1999р.); на V Міжнародній науковій конференції “Математичні проблеми механіки неоднорідних структур” (Львів-Луцьк, 25-29 верес-ня 2000р.); на II всеукраїнській науковій конференції “Нелінійні проблеми аналізу” (Івано-Фран-ківськ, 26-29 вересня 2000р.); на IX Міжнародній науковій конференції імені академіка М. Кравчу-ка (Київ, 16-19 травня 2002р.); на засіданнях Львівського міського семінару з диферен-ці-аль-них рівнянь (Львів, 1999-2002рр.); наукових семінарів кафедри обчислювальної ма-те-ма-тики і про-гра-му-вання та кафедри будівельної механіки НУ “Львівська політехніка” (Львів, 1998-2002рр.);

Публікації. За матеріалами проведених досліджень опубліковано 8 статей і тез конференцій. Серед публікацій праць у наукових фахових виданнях з переліку, затвердженого ВАК України.

Структура і обсяг роботи. Дисертаційна робота складається з переліку умовних позначень, вступу, чотирьох розділів, висновків та списку використаних джерел, що містить 120 наймену-вань (на 12 сторінках). Повний обсяг роботи становить 140 сторінок.

ОСНОВНИЙ ЗМІСТ РОБОТИ

У вступі розкрито суть і стан наукової проблеми, якій присвячене дисертаційне дослід-ження, обґрунтовано актуальність теми дисертації, сформульовано мету і задачі до-слідження.

У першому розділі окреслено основні етапи розвитку наукової думки за тематикою роботи, викладено загальну методику проведення дисертаційного дослідження і наведено деякі допоміжні відомості, що використовуються у наступних розділах.

Другий розділ присвячений дослідженню крайових задач для систем лінійних диференціаль-них рівнянь першого порядку з мірами у коефіцієнтах і правих частинах.

У пункті 2.1.1 на відрізку розглядається неоднорідна крайова задача

, (1)

, (2)

де , – невідома вектор-функція, – пара-метр, . Припус-кається, що і матри-ця  – неспад-на на відрізку . Крім того, крайові матриці задовольняють умову , причому .

Під розв’язком диференціальної системи (1) розуміємо вектор-функцію з класу , що задоволь-няє рівняння (1) в сенсі теорії узагальнених функцій: .

Розв’язок існує у такому сенсі, якщо і тільки якщо для довіль-но-го виконуються умови коректності .

Задачу визначення розв’язку системи (1), що для деякого вектора v задовольняє крайові умови (2), називатимемо неоднорідною крайовою задачею. Відповідно задача на власні значення ставиться таким чином: знайти ті значення параметра , при яких однорідна система

(3)

У пункті .1.2 досліджуються властивості розв’язувального ядра задачі (1), (2), що має вигляд

(4)

Теорема 2.2. Якщо і не є власними значеннями задачі (3), (2) то ядро за умови задовольняє резольвентне рівняння , а при – рівняння

Нехай – послідовність дійсних власних значень задачі (3), (2), – відповідна їй повна ортонормована (в тому сенсі, що ) система власних векторів

Теорема 2.3. Якщо не дійсне, то

Зокрема, при та отримуємо, що (5)

У пункті 2.1.3 досліджуються умови розв’язності неоднорідної крайової задачі (1), (2) з допо-могою методу, що базується на зведенні цієї задачі до еквівалентного навантаженого інтеграль-ного рівняння типу Фредгольма-Стільтьєса.

Теорема 2.6. Нехай не збігається з жодним із власних значень задачі (3), (2). Тоді задача (1), (2) має єдиний розв’язок з класу , що зображається у формі Шмідта ,

до того ж ряд у правій частині є абсолютно і рівномірно збіжним на відрізку .

Якщо ж є власним значенням кратності , то неоднорідна задача (1), (2) має роз-в’язки якщо і тільки якщо (теорема 2.7) виконуються такі r умов:

У підрозділі 2.2 до розвинення (7) в ряд Фур’є за власними векторами, точніше до його еквіваленту – рівності Парсеваля, застосовано граничний перехід .

Найперше, у пункті 2.2.1 досліджується поведінка характеристичних матриць при , кожна з яких при фіксованих і належить до “геометричного місця”, яке можна розглядати у матричних термінах як аналог кола (теореми 2.8, 2.9):

з центром (8)

лівим і правим радіусами

(9)

Відповідний йому матричний круг при зростанні має характерну властивість містити в собі круги, що відповідають більшим значенням (теоре-ма .10).

У пункті 2.2.2 з’ясовується гранична поведінка величин (8),), які можна переписати ще так:

Показано, що при фіксованому ці величини мають границі при , тому й матричний круг має границю. Можливими є такі два випадки: перетин кругів є кругом, або перетин кругів є точка. Перший випадок (“граничного круга”) має місце тоді, коли обидва радіуси відмінні від нуля, другий випадок (“граничної точки”) – коли один з них дорівнює нулеві.

Означення 2.1. Розв’язок системи (3) на інтервалі назвемо розв’язком з “інтегровним квадратом”, якщо (10)

Встановлено, що у випадку граничного круга усі розв’язки системи (3) мають інтегровний квадрат на інтервалі .

Теорема 2.11. Нехай матриця має від’ємних і додатних власних значень. Тоді система (3) на інтервалі має принаймні лінійно незалежних розв’язків, що задовольняють умову (10), коли , і щонайменше таких розв’язків, коли .

У пункті 2.2.3 проведено розширення проміжку до інтервалу .

Теорема 2.14. Нехай вектор-функція інтегровна з квадратом у тому розумінні, що , а вектор-функція на інтервалі задовольняє рівняння за умови . Тоді існує спектральна матриця така, що для вектор-функції , яка перетворюється в нуль при достатньо великих , справджуються формули обернення ,

та рівність типу Парсеваля .

Результат підрозділу .3 є ефективним засобом для розв’язання задач двох наступних розділів. На відрізку розглядається неоднорідна крайова задача

(11)

(12)

У теоремі .15 з’ясовано умови, за яких крайова задача (11),) еквівалентна, задачі (1),).

У третьому розділі результати попереднього розділу поширені на випадок векторних КДР парного порядку з узагальненими функціями у коефіцієнтах і правих частинах.

У підрозділі 3.1 розглядається задача на власні значення

, (13)

, (14)

де , , – узагальнена матрична вага, – деякі числові матриці, для яких справджуються рівності (15)

– квазіпохідні, які доцільно ввести так:

(16)

Крім того, вважаємо, що – неспадна матриця-функція і .

Рівняння (13) є ко-рект-ним, бо з допомогою квазіпохідних (16) й на підставі припущень стосовно коефіцієнтів КДВ приводиться до коректної диференціальної системи з мірами: (17)

Означення 3.2. Під розв’язком КДР (13) розуміємо першу блокову компоненту вектор-розв’язку системи (17), що задовольняє його в сенсі теорії узагальнених функцій: .

Теорема .2. Усі власні значення задачі (13),) є дійсними й їх множина не має скінченної граничної точки . Власні вектор-функції , що відповідають різним власним значенням, ортогональні у тому розумінні, що

(18)

Підрозділ 3.2 присвячений дослідженню неоднорідної крайової задачі для векторних КДР парного порядку з коефіцієнтами-мірами і правими частинами – узагальненими похідними високих порядків від функцій обмеженої варіації.

На відрізку розглядається неоднорідне векторне КДР

(19)

Теорема 3.4. Якщо не є власним значенням задачі (13),), то неоднорідна крайова задача (19), (14) має єдиний розв’язок з класу , що зображається у вигляді

(20)

де – матриця Гріна, яку побудовано в явному вигляді і досліджено її властивості (теорема 3.5).

У випадку, коли не збігається з жодним із власних значень задачі (13),), розв’язок задачі (19), (14), отримано (теорема 3.6) також у формі Шмідта

(21)

де ряд у правій частині збігається абсолютно і рівномір-но на відрізку . Якщо ж є r-кратним власним значенням задачі (13),), то неоднорідна задача (19), (14) має розв’язки якщо і тільки якщо (теорема 3.7) виконуються такі r умов: .

Проблему розвинення вектор-функції на проміжку в ряд Фур’є за власними векто-рами задачі (13),) розв’язано у підрозділі 3.3.

Теорема 3.8. Нехай вектор-функція є абсолютно неперервною на відрізку , а вектор-функція задовольняє на цьому відрізку векторне КДР та крайові умови . Тоді ряд

(22)

коефіцієнти якого обчислюють-ся за формулами , збігаючись на відрізку абсолютно і рів-номірно, наближає функцію у такому розумінні: (23)

У підрозділі 3.4, зберігши фіксованим і крайову умову в точці , застосовано гранич-ний перехід до аналогу рівності Парсеваля. Однак в цьому випадку замість розвинення в ряд (22) отри-муємо інтегральне зображення вектор-функції  (теорема .9). Це обумовлено, очевидно, тим, що спектр, крім дискрет-ної, може містити також неперервну частину .

Нехай розмірність лінійного многовиду розв’язків КДР (13) з “інтегровним квадратом” на інтервалі .

Теорема 3.10. Для справджується оцінка . До того ж, якщо для деякого комплексного , то для всіх комплексних .

У четвертому розділі на основі результатів розділу досліджено крайові задачі для вектор-них КДР непарного порядку з узагальненими функціями у коефіцієнтах і правих частинах.

Підрозділ 4.1 присвячений вивченню задачі на власні значення (теореми .1- 4.3).

У підрозділі 4.2 вивчається неоднорідна крайова задача. Остання приводиться до задачі (11), (12), для якої на підставі теореми 2.15 можна використати результати підрозділу 2.1. Доведено існування та єдиність розв’язку неоднорідної задачі з просто-ру , коли не є власним значенням; в інших випадках знайдено необхідні й достатні умови існування розв’язків (теореми 4.4-4.7).

У підрозділі 4.3 з’ясовано умови розвинення вектор-функції в ряд Фур’є за власними векторами на проміжку . При цьому встановлено також характер наближення функції та спосіб обчислення її коефіцієнтів Фур’є.

У підрозділі 4.4 побудовано формули обернення й рівність Парсеваля, що відповідають теоремі про розвинення на інтервалі (теореми 4.8, 4.9). Встановлено оцінки для кількості розв’язків з “інтегровним квадратом” на інтервалі (теорема .10).

ВИСНОВКИ

Дисертація присвячена дослідженню дискретно-неперервних крайових задач для деяких класів диференціальних рівнянь і систем рівнянь з узагальненими функціями у коефіцієнтах і правих частинах. У дисертації отримано такі результати:

-

-

-

-

-

-

СПИСОК ОПУБЛІКОВАНИХ ПРАЦЬ ЗА ТЕМОЮ ДИСЕРТАЦІЇ

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

Анотація

Мазуренко В. В. Дискретно-неперервні крайові задачі для узагальнених квазі-диферен-ціаль-них рівнянь. – Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01.01.02 – диференціальні рівняння. – Львівський національний університет імені Івана Франка, Львів, 2003.

Дисертація присвячена дослідженню дискретно-неперервних крайових задач для векторних квазідиференціальних рівнянь довільного скінченного порядку з коефіцієнтами-мірами і правими частинами – узагальненими похідними високих порядків від функцій обмеженої варіації. Автором використано методику, що базується на зведенні таких задач (з допо-могою відомої ідеї введення квазіпохідних) до коректних систем лінійних диференціальних рівнянь першого порядку з мірами. Застосування цього підходу дало можливість встановити спектральні властивості задач на власні значення, отримати зображення розв’язків неоднорідних крайових задач в інтегральній формі (з допомо-гою конструктивно побудованої матриці Гріна) та у формі Шмідта, довести теореми про розвинен-ня вектор-функції в ряд Фур’є за повною ортонормованою системою власних векторів на скінченному проміжку, побудувати формули обернення та рівність Парсеваля, що відповідають теоремі про розвинення для напів-нескінченного інтервалу. Також узагальнено теорію граничної точки й граничного круга Вейля на випадок систем диферен-ціальних рівнянь першого порядку та квазідиференціальних рівнянь довільного скінченного порядку з мірами. Встанов-лено двосторонні оцінки для розмірності лінійного многовиду розв'язків з "інтегровним квадратом" на .

Ключові слова: дискретно-неперервна крайова задача, система диференціальних рівнянь з мірами, квазіпохідна, векторне квазі-диференціальне рівняння, матриця Гріна, формула Шмідта, випадок граничної точки або граничного круга, формули обернення, розв’язки з “інтегровним квадратом”.

Аннотация

Мазуренко В. В. Дискретно-непрерывные граничные задачи для обобщенных квази-дифференциальных уравнений. – Рукопись.

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук по спе-циальности 01.01.02 – дифференциальные уравнения. – Львовский национальный университет имени Ивана Франко, Львов, 2003.

Диссертация посвящена исследованию дискретно-непрерывных граничных задач для векторных квазидифференциальных уравнений произвольного конечного порядка с коэффициен-тами-мерами и правыми частями – обобщенными производными высоких порядков от функций ограниченной вариации. Автором использована методика, которая базируется на сведении таких задач (с помощью известной идеи введения квази-производных) к системам обобщенных дифференциальных уравнений первого порядка.

Применение указанного подхода дало возможность установить спектральные свойства задач о собственных значениях, получить изобра-жения решений неоднородных граничных задач в инте-гральной форме (с помощью конструктивно построенной матрицы Грина) и в форме Шмидта, доказать теоремы о разложении некоторой вектор-функции в ряд Фурье по полной ортонор-маль-ной системе собственных векторов на конечном промежутке, построить формулы обращения и равенство Парсеваля, отвечающие теореме о разложении для бесконечного интервала. Обобщено также теорию предельной точки и предельного круга Вейля на случай систем дифференциальных уравнений первого порядка и квази-дифферен-циаль-ных уравнений произвольного конечного по-рядка с мерами в коэффи-циентах. Получены двусторонние оценки для размерности линей-ного многообразия реше-ний с "интегри-руемым квадратом" на интервале . В случае, когда все решения имеют интегрируемый квадрат установлено постоянность .

Ключевые слова: дискретно-непрерывная граничная задача, система дифферен-циаль-ных уравнений с мерами, квазипроизводная, векторное квазидифференциальное уравнение, матрица Грина, формула Шмидта, случай предельной точки или предельного круга, формулы обращения, решения с “интегрируемым квадратом”.

Abstract

MazurenkoDiscrete-continuous boundary value problems for generalized quasidifferential equations. – Manuscript.

Thesis for search of Candidate of Science (Physics and Mathematics) degree (Ph. D.) by speciality 01.01.02 – differential equations. – Lviv National Ivan Franko University, Lviv, 2003.

The thesis is devoted to the research of discrete-continuous boundary value problems for vectorial quasidifferential equations of any finite order with measures as coefficients and with generalized derivatives of high orders of functions of bounded variation as right parts. Author applies approach that is based on a reduction (with the help of known idea of the quasiderivatives introducing) of these problems to correct systems of linear differential equations of the first order with measures. The application of this approach has permitted to establish spectral properties of problems on eigenvalues, to obtain formulae for solutions of nonhomogeneous boundary value problems in integral form (with the aid of a structurally constructed the Green matrix) and in the form of Schmidt, to prove the theorems of development of some vector-function in the form of series in the eigenvectors of the conforming problems on eigenvalues on a finite interval, to construct inversion formulae and Parseval equality, respective to the theorems of development on an infinite interval. Weyl theory of limit-point and limit-circle for linear differential systems of the first order with measures is also generalized. It is transferred to a case of the generalized quasidifferential equations of any finite order in the space of vector-functions. The two-sided bounds for the dimension of a linear manifold of an integrable square in interval solutions are obtained.

Key words: discrete-continuous boundary value problem, system of differential equations with measures, quasiderivative, vectorial quasiequation, Green matrix, formula of Schmidt, limit-point or limit-circle case, inversion formulae, “integrable-square” solutions.

Підписано до друку 10.02.2003 р.

Формат 6084 1/16. Папір офсетний.

Друк на різографі. Друк. арк. 1,5.

Наклад 100 екз. Зам. 410.

* * * * * * * * * * * * * * * * * * *

Друк КП фірми “ЛІК”.

76015, м. Івано-Франківськ,

вул. Василіянок, 48.

Тел. (03422)4-80-27