ЛЬВІВСЬКИЙ НАЦІОНАЛЬНИЙ УНІВЕРСИТЕТ

ІМЕНІ ІВАНА ФРАНКА

На правах рукопису

НАЗАРЕНКО Андрій Володимирович

УДК 531.18, 531.19, 531.314, 531.51, 536.7, 537.8, 539.12

Редукція ступенів вільности у релятивістичній

гамільтоновій динаміці

01.04.02 – теоретична фізика

А В Т О Р Е Ф Е Р А Т

дисертації на здобуття наукового ступеня

кандидата фізико-математичних наук

ЛЬВІВ – 2003

Дисертацією є рукопис

Роботу виконано в Інституті фізики конденсованих систем Національної академії наук України.

Науковий керівник– | доктор фізико-математичних наук Третяк Володимир Іванович, провідний науковий співробітник Інституту фізики конденсованих систем НАН України, м. Львів

Офіційні опоненти–– |

доктор фізико-математичних наук, старший науковий співробітник Парновський Сергій Людомирович, провідний науковий співробітник астрономічної обсерваторії Київського національного університету імені Тараса Шевченка, м.Київ;

доктор фізико-математичних наук, професор Ваврух Маркіян Васильович, завідувач кафедри астрофізики Львівського національного університету імені Івана Франка, м.Львів

Провідна організація– | Інститут теоретичної фізики імені М.М.Боголюбова НАН України, м. Київ

Захист відбудеться “12” березня 2003 року о “1530” годині на засіданні спеціалізованої вченої ради Д 35.051.09 при Львівському національному університеті імені Івана Франка за адресою: 79005, м. Львів, вул. Драгоманова, 50, фізичний факультет, аудиторія №1.

З дисертацією можна ознайомитись у науковій бібліотеці Львівського національного університету імені Івана Франка (м. Львів, вул. Драгоманова, 5).

Автореферат розіслано 30.01.2003 року.

Вчений секретар

спеціалізованої вченої ради Д 35.051.09 | Б.В.Павлик

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальність теми. Дослідження різних можливостей формулювання динаміки систем багатьох частинок із взаємодією у рамках теорії прямих взаємодій (див. Гайда Р.П. // Физ. Эл. Част. Атом. Яд., 1982, 13; Владимиров Ю.С., Турыгин Ф.Ю. Теория прямого межчастичного взаимодействия // М.: Энергоатомиздат, 1986) є актуальною проблемою сучасної теоретичної фізики. Така теорія покликана описати Пуанкаре-інваріянтним чином релятивістичні системи частинок з використанням лише (скінченного) числа ступенів вільности самих частинок і може складати розрахункову альтернативу теорії поля. З іншого боку, така теорія є необхідною базою для побудови статистичної механіки.

Зазвичай виключення польових ступенів вільности здійснюється в інтеґралі дії системи за допомогою підставляння формального розв’язку польових рівнянь з відповідною функцією Ґріна (Hoyle F., Narlikar J.V. Action at a Distance in Physics and Cosmology // San Francisсo: W.H. Freeman and Co., 1974). Однак, у такому підході лаґранжіяни взаємодії залежать від похідних координат частинок всіх порядків. Гамільтонізація таких систем є складною задачею (Llosa J., Vives J. // J. Math. Phys., 1994, 35). Це ускладнює розвиток відповідного статистичного та квантового опису. Альтернативний шлях полягає у виключенні польових ступенів вільности після переходу до гамільтонового опису. Доцільно спершу знайти канонічну реалізацію ґенераторів групи Пуанкаре системи “частинки+поле”, коли частинкові та польові змінні трактуються на рівних правах, а потім виключати польові ступені вільности. Метою даної дисертаційної роботи і є опрацювання такої процедури виключення польових ступенів вільности. Очевидно, що ефективне зменшення ступенів вільности системи не є канонічним перетворенням. Тому така процедура редукції у гамільтоновій механіці повинна узгоджуватися з вимогою збереження структури групи Пуанкаре після виключення польових ступенів вільности та дозволяти встановити зв’язок між канонічними та коваріянтними координатами частинок, які згідно з відомою теоремою про невзаємодію не можуть збігатися (Currie D.G., Jordan J.F., Sudarshan E.C.G. // Rev. Mod. Phys., 1963, 35). Вимоги, накладені на процедуру редукції полів, відразу звужують коло методів, застосовних до її побудови. Адекватним методом виключення зайвих ступенів вільности у гамільтоновій механіці є теорія в’язей Дірака (Dirac P.A.M. // Can. J. Math., 1950, 2), добре розроблена у рамках теорії поля (Гитман Д.М., Тютин И.В. Каноническое квантование полей со связями // М.: Наука, 1986).

Редукцію польових ступенів вільности ми досліджуємо на прикладі релятивістичних систем частинок з електромагнетною, масивною векторною та скалярною взаємодіями. У дисертаційній роботі ми одержуємо канонічну реалізацію групи Пуанкаре в термінах лише частинкових канонічних змінних для зазначених систем в лінійному наближенні за константою взаємодії у миттєвій формі релятивістичної динаміки Дірака (Dirac P.A.M. // Rev. Mod. Phys., 1949, 21). Окрім того, ми демонструємо застосовність процедури до системи зарядів з електромагнетною взаємодією у фронтовій формі динаміки.

Запропоновані Діраком ідеї – гамільтонів формалізм із в’язями та концепція форм релятивістичної динаміки – набули свого розвитку у релятивістичній механіці систем частинок і в квантовій теорії поля. Однак у статистичній механіці їм не приділялася належна увага. Ми лише відзначимо працю (Miller D.E., Karsch F. // Phys. Rev. D, 1981, 24), в якій для обчислення класичної статистичної суми гадронів a priori використовувалася міра Фадєєва (Фаддеев Л.Д. // Теор. Мат. Физ., 1969, 1), запозичена з квантової теорії поля. Окрім того, результати праці (Блажиевский Л.Ф. // Препр. ИТФ-86-32Р) демонструють тотожність результатів обчислення квантової статистичної суми системи релятивістичних заряджених частинок із застосуванням різних калібрувань – Кулона чи Лоренца. Тому у дисертаційній роботі ми аналізуємо загальні особливості статистичного опису систем із в’язями. У рамках методу Ґіббса ми розвиваємо послідовний формалізм: вводимо функцію статистичного розподілу системи із в’язями, узагальнюємо відповідне рівняння Ліувіля, записуємо статистичну суму системи та доводимо її калібрувальну інваріянтність.

Конкретне застосування побудованої статистичної механіки систем із в’язями ми розглядаємо на прикладі релятивістичної системи заряджених частинок з електромагнетним полем. Також ми демонструємо, що, незважаючи на фізичну еквівалентність різних форм релятивістичної динаміки, вибір форми динаміки суттєво впливає на розрахунок статистичної суми. Так, у фронтовій формі динаміки, завдяки квадратичній залежності гамільтоніяну класичної електродинаміки від калібрувально-інваріянтних потенціялів поля, інтеґрування за польовими змінними можна здійснити точно.

Мета і задачі дослідження. Метою роботи є редукція польових ступенів вільности в класичних релятивістичних системах взаємодіючих частинок в рамках гамільтонової механіки із в’язями; перехід від теоретико-польового опису до теорії прямих взаємодій; модифікація рівнянь статистичної фізики у випадку динаміки із в’язями. Задачі дослідження:

–

–

–

–

Наукова новизна одержаних результатів. В дисертаційній роботі вперше отримується канонічна база діраківських спостережуваних частинок та електромагнетного поля.

Знайдено канонічне перетворення, яке дозволяє звести польові рівняння, які тлумачаться як в’язі, до канонічного вигляду. Це перетворення досліджено нами у лінійному наближенні за константою взаємодії.

Одержано канонічну реалізацію групи Пуанкаре для багаточастинкових систем з електромагнетною, масивною векторною та скалярною взаємодіями шляхом виключення польових ступенів вільности в лінійному наближенні за константою взаємодії. Знайдені ґенератори зберігають структуру групи Пуанкаре у миттєвій та фронтовій формах релятивістичної динаміки.

Встановлено зв’язок між позиційними та канонічними змінними частинок після редукції полів.

Доведено фізичну еквівалентність ґенераторів групи Пуанкаре системи зарядів з прямою взаємодією у миттєвій та фронтовій формах динаміки після виключення електромагнетного поля.

Узагальнено рівняння Ліувіля у випадку систем із в’язями. Рівноважна функція розподілу, яка задовольняє одержане рівняння, збігається з функцією розподілу стандартної теорії (без в’язей) на фізичному фазовому підпросторі системи, а також з відомою мірою статистичного усереднення на обмеженому в’язми фазовому просторі.

Вперше знайдено точний вираз для класичної статистичної суми системи зарядів з електромагнетною взаємодією шляхом відінтеґровування польових ступенів вільности у фронтовій формі релятивістичної динаміки.

У наближенні хаотичних фаз оцінено вплив релятивістичної взаємодії на термодинамічні характеристики системи точкових зарядів, що описується лінійним за взаємодією гамільтоніяном.

Практичне і наукове значення одержаних результатів. Отримані у роботі вирази для канонічної реалізації групи Пуанкаре в термінах частинкових змінних можуть служити базою для побудови статистичної та квантової механіки. Досліджена процедура редукції може бути застосована для виключення полів у вищих за лінійний порядках наближення за константою взаємодії, а також використана для систем з тензорною (ґравітаційною) взаємодією. Розроблений апарат статистичної механіки для систем із в’язями є базою для дослідження статистичних властивостей релятивістичних моделей з калібрувальною інваріянтністю і в’язями.

Особистий внесок здобувача. У спільних публікаціях авторові належить знаходження гамільтонових калібрувально-інваріянтних змінних релятивістичної системи частинок з електромагнетним полем у миттєвій та фронтовій формах релятивістичної динаміки. Автор брав безпосередню участь у розробці процедури редукції польових ступенів вільности, знаходженні канонічних реалізацій групи Пуанкаре в термінах частинкових змінних. Автором встановлено зв’язок між ґенераторами миттєвої та фронтової форм релятивістичної динаміки, які одержуються внаслідок редукції електромагнетного поля. Було знайдено узагальнене рівняння Ліувіля для систем із в’язями, ідея побудови якого була запропонована співавторами. Авторові належить ідея та реалізація відінтеґровування польових ступенів вільности у виразі для статистичної суми зарядів з електромагнетним полем у фронтовій формі динаміки, а також обчислення статистичної суми та термодинамічних функцій системи у кільцевому наближенні на базі одержаного в роботі гамільтоніяну в лінійному наближенні за константою взаємодії. Обговорення та інтерпретація результатів проведена разом із співавторами.

Апробація роботи. Основні результати дисертації доповідались (особисто) і обговорювались на таких конференціях та семінарах:

–

–

–

–

–

Публікації. За матеріалами дисертації опубліковано 8 робіт, в тому числі 7 статей в наукових журналах, передбачених переліками ВАК України. Перелік основних публікацій подано в кінці автореферату.

Структура та об'єм дисертації. Дисертаційна робота складається із вступу, трьох розділів, висновків, списку використаних джерел, додатків; кожен розділ дисертації починається із вступу та завершується висновками. Робота викладена на 115 сторінках (разом з літературою та додатками – 128 сторінок), включає 3 рисунки та бібліографічний список, що містить 83 найменування у вітчизняних та закордонних виданнях.

ЗМІСТ РОБОТИ

У вступі обґрунтовано актуальність досліджень, викладених у дисертації, сформульовано мету роботи, відзначено її наукову новизну.

У першому розділі подано стислий опис гамільтонової механіки з в’язями. Обговорюються типи інваріянтности інтеґралу дії релятивістичної системи точкових зарядів з електромагнетним полем: хронометрична інваріянтність, калібрувальна інваріянтність та Пуанкаре-інваріянтність. Демонструється фіксування хронометричної інваріянтности дії (відносно репараметризації світових ліній частинок) за допомогою концепції форм релятивістичної диаміки. Показано, що застосування геометрично означеної форми динаміки, яка визначається перетворенням

, | (1)

приводить до одночасового формалізму з еволюційним параметром , необхідного для побудови гамільтонового опису системи.

Пуанкаре-інваріянтність дії приводить до десяти збережних величин – 4-імпульсу та 4-моменту [у просторі-часі з метрикою ]. Виражені в термінах гамільтонових змінних збережні величини утворюють канонічну реалізацію групи Пуанкаре.

У рамках діраківської механіки із в’язями гамільтонів формалізм системи зарядів з електромагнетним полем описується в термінах пар канонічних змінних частинок та поля із в’язями першого класу (Lusanna L. // Int. J. Mod. Phys., 1997, 12):

, , | (2)

де – густина заряду; . Для позначення рівняння в’язей використовується “слабка рівність”. В’язі (2) ґенерують калібрувальні перетворення, а спряжені змінні та (оператор означено як , ) є нефізичними (калібрувальними). Для одержання однозначно детермінованого опису динаміки системи, згідно з Діраком, здійснюється розділення калібрувальних та калібрувально-інваріянтних ступенів вільности:

, . | (3)

Такому відокремленню ступенів вільности відповідає знайдене в роботі канонічне перетворення:

, ,

, , ;

, . | (4)

Після цього у гамільтоніяні та канонічних ґенераторах групи Пуанкаре враховуються в’язі (2), що усуває залежність динамічних величин від нефізичних змінних та . Це приводить до калібрувально-інваріянтного гамільтонового формулювання динаміки.

Так одержано калібрувально-інваріянтний гамільтонів опис та канонічна реалізація групи Пуанкаре у діраківській миттєвій () та фронтовій () формах релятивістичної динаміки, коли частинкові та польові змінні трактуються на рівних правах. Виявляється, що гамільтоніян системи заряджених частинок з електромагнетним полем у фронтовій формі динаміки є квадратичним за змінними поля : |

(5)

де ,

, , | (6)

а функція Ґріна визначається з рівняння:

. | (7)

Цей факт ми використовуємо у третьому розділі роботи для обчислення статистичної суми системи. Відсутність польових імпульсів у виразі (5) зумовлена наявністю додаткової пари в’язей другого класу у даній формі динаміки:

, . | (8)

Вони виключаються у динаміці за допомогою відповідної дужки Дірака. Показано, що існування даних в’язей пов’язано з ізотропністю фронтової форми динаміки, в котрій оператор Даламбера, який ґенерує еволюцію , є першого порядку за похідною , тобто .

Окрім того, побудовано гамільтонів формалізм та знайдено канонічні ґенератори групи Пуанкаре у миттєвій формі динаміки для систем частинок з масивним векторним та скалярним полями. На відміну від електромагнетного масивні поля не є калібрувальними, тому у динаміці системи з векторним масивним полем присутні в’язі другого класу, які ефективно зменшують число незалежних ступенів вільности, а у випадку скалярного поля – в’язі взагалі відсутні і ми маємо стандартний гамільтонів опис.

У другому розділі запропоновано процедуру редукції фізичних ступенів вільности, яка складається з трьох етапів:

1) знаходження розв’язку польових рівнянь за допомогою розвинення за константою взаємодії:

, . | (9)

Поля та ( – число фізичних компонент поля) задовольняють однорідні польові рівняння без джерел. Розв’язки , неоднорідних польових рівнянь з точковими джерелами виражаються в термінах канонічних частинкових змінних. У лінійному наближенні за константою взаємодії розв’язки, виражені через запізнену, випередну та симетричну функції Ґріна, збігаються. У нашій роботі ми використовуємо симетричну функцію Ґріна , інтеґрал від якої визначає нерелятивістичний потенціял (Гайда Р.П. // Физ. Эл. Част. Атом. Яд., 1982, 13):

, | (9)

за допомогою якого записуються функції та . Параметр – маса спокою частинок, що переносять взаємодію. У випадку електромагнетної взаємодії .

2) Канонічне перетворення до нових – вільнопольових – канонічних змінних та :

, ,

,

. | (10)

Це перетворення, знайдене нами в лінійному наближенні за константою взаємодії, забезпечує опис динаміки системи після виключення поля в термінах канонічних частинкових змінних. Тим самим воно принципово вирізняє запропоновану процедуру редукції полів від відомої вже процедури (Alba D., Lusanna L. // Int. J. Mod. Phys., 1998, 13), яка теж приводить до опису в термінах частинкових, але не канонічних змінних.

На даному етапі, після перетворення (10), канонічні ґенератори групи Пуанкаре, зокрема, гамільтоніян подаються у вигляді суми частинкового (з ефективною прямою взаємодією) та вільнопольового доданків.

3)

, . | (11)

У даній роботі вільне поле покладається рівним нулеві. Однак за допомогою в’язей вільному полю можна надати інших значень. Вирази (10), (11) встановлюють зв’язок між коваріянтними та канонічними змінними частинок:

. | (12)

Коваріянтні координати внаслідок теореми про невзаємодію не можуть бути канонічними після виключення поля, тобто

. | (13)

За допомогою запропонованої процедури в лінійному наближенні за константою взаємодії знайдено канонічну реалізацію групи Пуанкаре для систем з електромагнетною, масивною векторною та скалярною взаємодіями в термінах канонічних змінних та . Одержані результати (з явною залежністю від швидкості світла ) можна подати у вигляді:

,

, ,

, |

(14)

де , , , , для скалярної взаємодії та для векторної взаємодії. Вони задовольняють комутаційні співвідношення групи Пуанкаре у даному наближенні:

, ,

.

Таким чином, реалізована процедура виключення полів зберігає структуру групи Пуанкаре.

Наприкінці цього розділу продемонстровано еквівалентність канонічних ґенераторів групи Пуанкаре для системи зарядів з прямою електромагнетною взаємодією у миттєвій () та фронтовій () формах динаміки – вони пов’язані двохетапним канонічним перетворенням: |

(15)

Тут та – канонічні змінні частинок у миттєвій (“in”) формі динаміки, та – у фронтовій (“fr”) формі; , – густина гамільтоніяну взаємодії у фронтовій формі динаміки. На першому етапі здійснюється вільночастинкове перетворення (Соколов С.Н., Шатний А.Н. // Теор. Мат. Физ., 1978, 37), яке переводить кінематичні частини ґенераторів миттєвої форми у вирази фронтової форми. На другому етапі, запропонованому нами, за допомогою твірної функції перетворюються члени взаємодії. Знайдений вираз справедливий в лінійному наближенні і застосовний для розглянутих у роботі скалярної та векторної взаємодій, оскільки при його виведенні була використана лише залежність члену взаємодії від різниці координат .

Окрім того, продемонстровано еквівалентність канонічних реалізацій групи Пуанкаре системи зарядів з електромагнетною взаємодією, одержаних шляхом виключення поля у калібруванні Лоренца () та у рамках калібрувально-інваріянтного опису. Про це свідчить знайдене нами канонічне перетворення, яке пов’язує ґенератори у цих двох випадках. Показано зв’язок одержаних ґенераторів з відомими результатами у наближенні .

Третій розділ має назву “Статистичний опис релятивістичної системи точкових зарядів”. Він починається із дослідження особливостей побудови статистичного опису для систем із в’язями та калібрувальними ступенями вільности. Показано, що у випадку систем із в’язями функція статистичного розподілу задовольняє систему рівнянь, яка узагальнює рівняння Ліувіля, і зводиться до нього на фізичному фазовому просторі.

Так, функція розподілу системи заряджених частинок з електромагнетним полем, для якої – сукупність калібрувально-інваріянтних змінних, – сукупність калібрувальних змінних, повинна бути зосереджена на поверхні в’язей (2). Тому

, | (16)

де функція розподілу може довільним чином залежати від калібрувальних змінних та . Однак інтеґрал

, | (17)

який визначає фізичну (калібрувально-інваріянтну) функцію розподілу системи, не залежить від способу доозначення функції . Унаслідок збереження об’єму фізичного фазового підпростору системи фізична функція розподілу задовольняє рівняння Ліувіля:

. | (18)

Гамільтоніян є фізичним гамільтоніяном системи, записаним в термінах калібрувально-інваріянтних канонічних змінних частинок та електромагнетного поля. Тоді статистична сума системи буде визначатись з умови нормування функції у станах рівноваги, тобто теж є калібрувально-інваріянтною величиною.

У загальному випадку продемонстровано, що одержаний вираз для рівноважної функції розподілу, яка задовольняє послідовно знайдену систему рівнянь, збігається з a priori побудованою в літературі (Miller D.E., Karsch F. // Phys. Rev. D, 1981, 24) мірою статистичного усереднення для систем із в’язями.

Застосовуючи калібрувально-інваріянтний вираз для гамільтоніяну (5) системи зарядів з електромагнетним полем у фронтовій формі динаміки, здійснено точне відінтеґровування польових ступенів вільности у виразі для статистичної суми. У результаті одержано:

, |

(19)

У даному підході електромагнетне поле виступає не лише як носій взаємодії між частинками, але й володіє власними ступенями вільности. Властивість поля переносити взаємодію відобразилася в одержаному інтеґралі за змінними частинок з прямою ефективною взаємодією. Власні ступені вільности поля дали внесок у статистичну суму системи, який приводить до розбіжної енергії згідно із формулою Релея-Джинса. Розбіжність енергії вільного електромагнетного поля стимулювала появу квантової механіки та природньо усувається в її рамках.

Якщо за умов задачі вільне випромінювання є неістотним, то поле виступає лише у ролі носія взаємодії між зарядженими частинками. Це дозволяє виключити вільне поле на рівні динаміки та переформулювати її в термінах прямої міжчастинкової взаємодії, що було реалізовано у другому розділі нашої роботи в лінійному наближенні за константою взаємодії. Тоді обчислення статистичної суми релятивістичної системи взаємодіючих зарядів можна здійснити на основі знайденого нами гамільтоніяну, який залежить лише від канонічних частинкових змінних , :

,

, , , . | (20)

На його основі в роботі дана якісна оцінка внеску релятивістичної взаємодії у термодинамічні функції системи зарядів в наближенні хаотичних фаз. Таке наближення у виразі для вільної енергії враховує лише “кільця” з попарно взаємодіючих частинок (Исихара А. Статистическая физика // М.: Мир, 1973), та дозволяє дослідити ефекти, пов’язані з екрануванням заряду частинок. Відомі в літературі (Трубников Б.А., Косачев В.В. // Журн. Эксп. Теор. Физ., 1968, 54; Блажиєвський Л.Ф. // Укр. Фіз. Журн., 1975, 20; Blazhievskii L.F.// Theor. Math. Phys., 2001, 126) методи обчислення статистичної суми в наближенні хаотичних фаз для системи зарядів виходять із (слабкорелятивістичного) лаґранжіяну або одержаного з нього ефективного гамільтоніяну. Для обчислення статистичної суми на основі гамільтоніяну (20) в дисертаційній роботі пропонується заміна імпульсних змінних, яка (в лінійному наближенні) усуває релятивістичну взаємодію з гамільтоніяну і зводить проблему до розрахунку якобіяна переходу. Як результат, знайдено такі поправки на взаємодію , для вільної енергії та теплоємности (див. Рис. 1):

, ,

, , ,

, , | (21)

де – функції Макдональда.

Оскільки функція є обмеженою і на кінцях проміжку допустимих значень арґументу набуває значення: та , то

. | (22)

Це означає, що релятивістична взаємодія здатна конкурувати з кулонівською. Однак для електронного газу поправки на взаємодію до термодинамічних функцій є порядку , що практично не приводить до відхилення від ідеальности. У слабкорелятивістичному наближенні, коли , маємо . У цьому випадку знайдена поправка до вільної енергії збігається з відомим результатом (Блажиєвський Л.Ф. // Укр. Фіз. Журн., 1975, 20):

, | (23)

другий доданок якого не дає внеску у теплоємність системи.

Однак релятивістична система зарядів в наближенні потребує глибшого вивчення і створення нових підходів для розрахунку термодинамічних функцій в наближенні хаотичних фаз.

Рис. 1. Температурна залежність поправки до теплоємности електронної плазми при концентрації . Суцільна лінія відповідає газу із релятивістичною взаємодією, пунктирна – газу лише з кулонівською взаємодією.

У додатках подано допоміжні формули, які використовувалися у дисертаційній роботі. Зокрема, показано вигляд оператора Даламбера у просторово-подібній та ізотропній формах динаміки. Записано трансформаційні властивості розв’язків неоднорідних польових рівнянь, виражені через канонічні змінні частинок, в лінійному наближенні за константою взаємодії. Потреба в них виникає під час здійснення канонічних перетворень.

Основні результати та висновки

1.

2.

3.

4.

Результати дисертації опубліковано в таких роботах:

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

Назаренко А.В. Редукція ступенів вільности у релятивістичній гамільтоновій динаміці. – Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01.04.02 – теоретична фізика. Львівський національний університет імені Івана Франка, Львів, 2003.

Робота присвячена дослідженню редукції польових ступенів вільности у системах взаємодіючих частинок за допомогою методів узагальненої гамільтонової механіки з в’язями. Стартуючи з інтеґралу дії релятивістичної системи точкових зарядів з електромагнетним полем, знайдено канонічну реалізацію групи Пуанкаре у термінах калібрувально-інваріянтних змінних у діраківській миттєвій та фронтовій формах динаміки. Розроблено процедуру редукції польових ступенів вільности у рамках теорії в’язей Дірака. Вона зберігає структуру групи Пуанкаре та дозволяє встановити зв’язок між коваріянтними та канонічними частинковими змінними. Здійснюючи виключення електромагнетного поля, одержано ґенератори групи Пуанкаре у термінах частинкових змінних у першому порядку наближення за константою взаємодії. Показано, що ґенератори миттєвої форми та генератори фронтової форми пов’язані канонічним перетворенням. Такий самий підхід застосовано для знаходження канонічної реалізації групи Пуанкаре систем частинок з прямою векторною та скалярною взаємодіями у миттєвій формі динаміки. Узагальнено рівняння Ліувіля для функції розподілу на випадок систем із в’язями. Одержані вирази збігаються з відомими результатами у фізичному фазовому підпросторі. Досліджено вплив калібрувальних ступенів вільности. Здійснено точне відінтеґровування польових змінних у статистичній сумі системи зарядів з електромагнетним полем у фронтовій формі динаміки.

Знайдено термодинамічні функції в наближенні кільцевих діяграм для релятивістичної системи заряджених частинок з гамільтоніяном першого порядку наближення за константою взаємодії.

Ключові слова: форми релятивістичної динаміки, поля, гамільтонів формалізм із в’язями, група Пуанкаре, пряма взаємодія, рівняння Ліувіля, статистична сума.

Назаренко А.В. Редукция степеней свободы в релятивистской гамильтоновой динамике. – Рукопись.

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.04.02 – теоретическая физика. Львовский национальный университет имени Ивана Франко, Львов, 2003.

Работа посвящена исследованию редукции полевых степеней свободы в системах взаимодействующих частиц с помощью методов гамильтоновой механики со связями. Исходя из интеграла действия релятивистской системы точечных зарядов с электромагнитным полем, была найдена каноническая реализация группы Пуанкаре в терминах калибровочно-инвариантных переменных в дираковской мгновенной и фронтовой формах динамики. Разработана процедура редукции полевых степеней свободы в рамках теории связей Дирака. Она сохраняет структуру группы Пуанкаре и разрешает установить связь между ковариантными и каноническими переменными частиц. Осуществляя исключение электромагнитного поля, получены генераторы группы Пуанкаре в терминах переменных частиц в первом порядке приближения по константе взаимодействия. Показано, что генераторы мгновенной формы и генераторы фронтовой формы связаны каноническим преобразованием. Такой же подход использовано для нахождения канонической реализации группы Пуанкаре систем частиц с прямым векторным и скалярным взаимодействиями в мгновенной форме динамики.

Обобщено уравнение Лиувилля для функции распределения на случай систем со связями. Полученые выражения совпадают с известными результатами в физическом фазовом подпространстве. Исследовано влияние калибровочных степеней свободы. Произведено точное интегрирование по полевым переменным в статистической сумме системы зарядов с электромагнитным полем во фронтовой форме динамики.

Найдены термодинамические функции в приближении кольцевых диаграмм для релятивистской системы заряженых частиц с гамильтонианом первого порядка приближения по константе взаимодействия.

Ключевые слова: формы релятивистской динамики, поля, гамильтонов формализм со связями, группа Пуанкаре, прямое взаимодействие, уравнение Лиувилля, статистическая сумма.

Nazarenko A.V. Reduction of degrees of freedom within relativistic Hamiltonian dynamics. – Manuscript.

Thesis for the defending of the scientific degree of candidate of physical and mathematical sciences, speciality 01.04.02 – theoretical physics. Ivan Franko National University of Lviv, Lviv, 2003.

The subject of this work is the research of reduction of the field degrees of freedom within the systems of interacting particles by means of methods of the generalised Hamiltonian mechanics with constraints. Starting from an action integral of relativistic system of point-like charges with electromagnetic field, the canonical realization of the Poincarй group in the terms of gauge-invariant variables is found for the Dirac instant and front forms of dynamics. The procedure of elimination of the field degrees of freedom within the framework of the Dirac constraint theory is elaborated. It preserves the structure of Poincarй group and allows us to observe relation between covariant and canonical particle variables. Performing the electromagnetic field exclusion, the Poincarй generators in the terms of particle variables are obtained up to the first order in the coupling constant. It is shown that the instant form generators and front form ones are related by a canonical transformation. The same approach is applied for finding the canonical realization of the Poincarй group of the particle systems with direct vector and scalar interactions in the instant form of dynamics.

The Liouville equation for distribution function is generalised in the case of the systems with constraints. The obtained expressions coincide with well-known results in the physical phase subspace. Influence of the gauge degrees of freedom is studied. Integration over the field variables is performed explicitly for the partition function of the system of charges with electromagnetic field in the front form of dynamics.

The thermodynamic functions in the ring diagram approximation are found for relativistic system of the charged particles with the Hamiltonian of the first order in the coupling constant.

Key words: forms of relativistic dynamics, fields, Hamiltonian formalism with constraints, Poincarй group, direct interaction, Liouville equation, partition function.