Міністерство освіти і науки України

Львівський національний університет імені Івана Франка

РОВЕНЧАК

Андрій Адамович

УДК 538.941+539.186

Самоузгоджений розрахунок
міжатомних потенціалів
та термодинамічних функцій гелію-4
в надплинній і нормальній фазах

01.04.02 — теоретична фізика

Автореферат

дисертації на здобуття наукового ступеня

кандидата фізико-математичних наук

ЛЬВІВ — 2003

Дисертацією є рукопис.

Робота виконана на кафедрі теоретичної фізики Львівського національного університету імені Івана Франка Міністерства освіти і науки України

Науковий керівник: доктор фізико-математичних наук, професор
Вакарчук Іван Олександрович,
ректор Львівського національного університету імені Івана Франка, завідувач кафедри теоретичної фізики

Офіційні опоненти: доктор фізико-математичних наук, професор
Швець Валерій Тимофійович,
завідувач кафедри вищої математики
Одеської державної академії холоду;

доктор фізико-математичних наук, професор
Ваврух Маркіян Васильович,
завідувач кафедри астрофізики Львівського національного університету імені Івана Франка.

Провідна установа: Інститут теоретичної фізики ім. М. М. Боголюбова НАН України (м. Київ)

Захист відбудеться “25” червня 2003 р. об 1100 годині на засіданні спеціалізованої Вченої ради Д 35.051.09 при Львівському національному університеті імені Івана Франка за адресою: 79005, м. Львів, вул. Драгоманова 50, фізичний факультет, аудиторія 1

З дисертацією можна ознайомитись у бібліотеці Львівського національного університету імені Івана Франка за адресою: 79005, м. Львів, вул. Драгоманова 5

Автореферат розісланий 23 травня 2003 р.

Вчений секретар

cпеціалізованої Вченої ради

доктор фіз.-мат. наук, професор Павлик Б. В.

Загальна характеристика роботи

Актуальність теми. За останні декілька років у дослідженнях квантових Бозе-систем досягнуто значного проґресу. На сучасному етапі, крім рідкого гелію-4 та сумішей квантових рідин 3He–4He, предметом вивчення, як теоретичного, так і експериментального, стали спін-поляризований водень, екситонний газ в напів-провідниках, високотемпературні надпровідники, лазерно-охолоджені розріджені гази лужних металів. Влітку 1995 року ґрупі вчених в Баулдері (Колорадо) вдалося експериментально отримати стан речовини, який є Бозе-конденсатом, охолодивши 2000 атомів 87Rb до температури 20 нK, а приблизно тоді ж аналоґічні досліди було проведено з натрієм у Масачусетському технолоґічному інституті. Ці експерименти стимулювали нові теоретичні дослідження в галузі квантових газів і рідин, до яких зокрема належить і рідкий гелій-4, який був історично першим об’єктом вивчення у цьому напрямку, однак, попри значні зусилля, вже протягом кількох десятиліть теорія процесів у 4He залишається ще остаточно не створеною.

Якщо, скажімо, для газів лужних металів можна застосувати модель слабо-неідеального Бозе-газу, а екситони в оксиді міді Cu2O взагалі можна трактувати як ідеальний квантовий газ, то явища в рідкому гелії-4 чи в сумішах 3He–4He потре-бують спеціального підходу, пов’язаного з описом сильновзаємодіючих квантових систем. Найпопулярнішою методикою в цьому напрямку зараз є числові роз-рахунки, успіх яких значною мірою пов’язаний як з розробкою нових методів, так і з появою великих обчислювальних потужностей, за допомогою яких ці методи можна реалізовувати. Проте доброї теоретичної моделі, яка би працювала без залучення спеціальних числових методик для різних температур, у надплинній і нормальній фазах, створити не вдалося. У роботі продемонстровано один з мож-ливих підходів до розв’язання цієї проблеми.

Зв’язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Дисертаційна робота виконана у Львівському національному університеті імені Івана Франка та згідно держбюджетної теми Фф-39Б “Нелінійні флюктуації в квантових рідинах” (номер державної реєстрації № 0100U001447).

Мета і задачі дослідження. Головною метою дисертаційної роботи є побудова опису багатобозонної системи, якою є рідкий гелій-4, в широкому температурному інтервалі. При цьому завдання полягає в отриманні аналітичних виразів з перших принципів, тобто з використанням якнайменшої кількости експериментальної інформації. Мається на увазі, що в остаточні вирази якщо й будуть входити експериментальні величини, то лише такі, які добре, безпосередньо і надійно вимірюються (наприклад, статичний структурний фактор або швидкість звуку). Далі за цими формулами можна провести чисельні розрахунки залежностей термодинамічних і структурних функцій 4He від температури.

Таким чином, об’єктом дослідження виступають явища, які відбуваються у квантовій багатобозонній системі, а предметом дослідження є термодинаміка і структурні властивості однієї з таких систем, а саме рідкого гелію-4, в надплинній і нормальній фазах.

Для дослідження безмежної бозонної системи у роботі використано метод колективних змінних, при цьому для розрахунку температурних залежностей термодинамічних величин застосовано формалізм двочасових температурних функцій Ґріна. Для опису системи, що складається з небагатьох бозонів, використано 1/N-розклад (де N — кількість частинок) з подальшою екстраполяцією результатів на випадок N ® Ґ.

Наукова новизна отриманих результатів. У дисертаційній роботі вперше розраховано з перших принципів через структурний фактор потенціали міжатомних взаємодій багатобозонної системи з використанням зображення колективних змінних: парний — у наближенні “двох сум за хвильовим вектором” (зокрема, із явно заданими короткосяжними взаємодіями, для яких запропоновано модель “майже твердих сфер”); тричастинковий — у наближенні хаотичних фаз.

Вперше на підставі рівнянь руху для двочасових температурних функцій Ґріна типу “густина–густина”, побудованих на операторах колективних змінних, записано вираз, що дає можливість самоузгодженим чином розрахувати енерґію і теплоємність багатобозонної системи в широкому температурному інтервалі.

Вперше отримано розклади термодинамічних функцій взаємодіючої багатобозонної системи за степенями 1/Ne, де N — кількість частинок. Для моделі взаємодії у вигляді твердих сфер методом числової інтерполяції визначено показник степеня e і розраховано питому теплоємність гелію-4, при цьому “пікове” значення становить 13.6 (відповідні експериментальні дані становлять приблизно 16 без врахування поправок на скінченність зразка).

Практичне значення одержаних результатів. Отримані в роботі кількісні та якісні результати сприяють глибшому розумінню фізичних явищ у багатобозонній системі, якою є рідкий гелій-4, зокрема, з погляду ролі багаточастинкових ефектів порівняно з двочастинковими. Отримані аналітичні вирази можна використовувати з метою розрахунків термодинамічних функцій, потенціалів, конденсатної фракції рідкого гелію-4 у вищих наближеннях, застосовуючи відповідні обчислювальні потужності. Розроблену методику опису безмежних систем після певних модифікацій можна застосувати для заряджених бозонних систем, для спін-поляризованого атомарного водню, а техніку розкладу за степенями 1/Ne — для дослідження нових квантових газів лазерно-охолоджених атомів лужних металів.

Особистий внесок здобувача. Постановку задач дослідження здійснено науковим керівником проф. І. О. Вакарчуком. Основні результати та висновки дисертації отримано здобувачем самостійно. У роботах, виконаних зі співавторами, здобувачу належить:

· виконання чисельних розрахунків фур’є-зображення потенціалу міжатомної взаємодії в рідкому гелії-4 та отримання на його основі потенціальної кривої [1];

· вибір способу задання короткосяжних взаємодій у вигляді “майже твердих сфер” [2], моделювання їх за допомогою функції Маєра, аналіз залежности форми кривої потенціалу від способу задання короткосяжних взаємодій та впливу на неї неаналітичностей короткосяжного потенціалу;

· аналітичні розклади для статистичної суми взаємодіючої Бозе-системи, обчислення на їх підставі термодинамічних функцій в наближенні твердих сфер, аналіз отриманих залежностей від кількости частинок та вибір послі-довностей для екстраполяції результатів на випадок безмежної системи [3].

Апробація результатів дисертації. Результати досліджень, включені до дисертації, були представлені автором особисто на таких конференціях і семінарах:

· “Ізинґівські читання–99” (Львів, 1999) [6];

· Звітна наукова конференція Львівського національного університету імені Івана Франка за 2000 рік (Львів, 2001);

· Conference on Computational Physics 2001 (Aachen, Germany, 2001) [7];

· Physics of Liquid Matter: Modern Problems (Київ, 2001) [8];

· Звітна наукова конференція Львівського національного університету імені Івана Франка за 2001 рік (Львів, 2002);

· семінар Інституту теоретичної фізики університету Йогана Кеплера (Лінц, Австрія, 2002);

· II Робоча нарада-семінар молодих вчених (Львів, ІФКС, 2002).

Крім того, стендова доповідь була представлена на конференції “EPS-11: Trends in Physics” 11th General Conference of the European Physical Society (London, 1999) [9].

Результати, подані в роботі, також неодноразово обговорювалися на семінарах кафедри теоретичної фізики Львівського національного університету імені Івана Франка.

Публікації. Матеріали дисертації опубліковано у 5 статтях у фахових виданнях, визначених переліком ВАК України, та 4 тезах доповідей на конференціях.

Структура та об’єм дисертації. Дисертація складається зі вступу, п’яти розділів, висновків, списку використаних джерел та двох додатків. Обсяг дисертації становить 135 сторінок, включно зі списком використаних джерел, що містить 139 найменувань. Результати роботи проілюстровано в 7 таблицях і на 21 рисунку.

Основний зміст роботи

У вступі викладено обґрунтування актуальности досліджень, що становлять зміст дисертації, висвітлено новизну отриманих результатів, подано зв’язок досліджень із науковими темами, у роботі над якими брав участь автор, окреслено мету роботи.

У першому розділі проаналізовано історію досліджень багатобозонних систем, представником яких є рідкий гелій-4, починаючи від праць Бозе, Айнштайна, Лондона, та подано сучасний стан цієї проблеми, з урахуванням останніх досягнень у виявленні експериментальних свідчень існування Бозе-конденсації в розріджених газах лужних металів.

У другому розділі розглянуто задачу про відновлення потенціалу міжатомної взаємодії за експериментальними даними про розсіяння (нейтронне та X-променеве). На відміну від класичної системи, де така задача розв’язується відносно просто, для квантової, якою є гелій_, отримати вираз для міжатомного потенціалу через структурний фактор значно складніше. Розраховано також парний потенціал із явно заданою моделлю для короткосяжних відштовхувальних взаємодій. У цьому розділі, крім парного, розраховано також тричастинковий потенціал міжатомної взаємодії.

Вихідним пунктом є запис гамільтоніана системи N бозонів з урахуванням багаточастинкових ефектів

у зображенні колективних змінних:

(1)

де введено оператори , а .

Використовуючи вираз для хвильової функції основного стану багатобозонної системи через колективні змінні

можна з рівняння Шредінґера , позбиравши доданки при відповідних “степенях” змінних , у наближенні “двох сум за хвильовим вектором” отримати систему рівнянь, що пов’язує коефіцієнтні функції з фур’є-зображеннями потенціалів і .

Спочатку у цьому розділі виконано розрахунки парного потенціалу без врахування тричастинкових взаємодій. Між функцією a2 і парним статичним структурним фактором системи існує зв’язок

де є складним функціоналом a2.

Рівняння для визначення фур’є-зображення парного потенціалу має вигляд:

де коефіцієнти a3 і a4 виражаються через a2. Визначивши , після фур’є-перетворення знайдемо і сам парний потенціал . Як видно з табл. 1 і рис. , відповідна крива є дещо зсунутою порівняно з модельним потенціалом. У роботі показано, що врахування тричастинкових ефектів дозволяє отримати положення мінімуму, близьке до 3.0 Е.

Таблиця 1. Порівняння деяких параметрів потенціальної кривої |

rmin, Е | F(rmin), K | F(0), K

(0-ве) RPA-наближення | 3.31– | 17.08 | 242

(1-ше) постRPA-наближення | 3.34– | 10.58 | 230

Модельний потенціал Азіза | 2.99– | 11.04 | 2 · 6

Рис. 1. Потенціал взаємодії між атомами гелію-4.

1 — результати розрахунку цієї роботи; 2 — модельний потенціал Азіза; 3 — модельний потенціал Леннарда-Джонса.

Короткосяжні взаємодії можна явно врахувати, певним чином переозначивши a2:

,

де — структурний фактор модельної системи. У роботі показано, що модель “майже твердих сфер”, якій відповідає функція Маєра з параметрами A .1 Е, n= , дає добрі результати для потенціальної енерґії основного стану і швидкости звуку.

Тричастинковий потенціал пов’язаний з тричастинковим структурним фактором, для якого справджується таке співвідношення:

яке пов’язує його з функцією a3. Приймаючи для S3 конволюційне наближення (факторизацію в імпульсному просторі) , вдається отримати такий вираз для фур’є-зображення тричастинкового потенціалу:

,

який у координатному просторі дає просту залежність:

де C(R) — пряма кореляційна функція, а штрихи означають похідну за арґументом.

Для оцінки впливу тричастинкових взаємодій на результати для термодинамічних функцій проведемо порівняльний аналіз результатів для питомої потенціальної енерґії F/N, отриманої за допомогою різних потенціалів. Розраховуватимемо її в координатному просторі, використовуючи експериментальну функцію розподілу F2(R):

де F(R) — парний потенціал. Внесок тричастинкових взаємодій DE3 в енерґію визначається виразом:

Щоб оцінити цю величину, використаємо для функції суперпозиційне наближення. У результаті отримаємо значення

Така поправка відповідає кількавідсотковому внеску в потенціальну енерґію, що свідчить про потребу врахування тричастинкових ефектів. Порівняння наших обчислень з іншими (модельними) потенціалами наведено в табл. 2.

Таблиця 2. Порівняння потенціальної енерґії для різних потенціалів.

Потенціал | F/N, K

парний, постRPA – | 15.5

парний, з короткосяжним AHS – | 21.6

з виокремленими 3-част. ефектами – | 23.8

з урахуванням 3-част. ефектів – | 22.2

Азіз та ін. – | 22.1

Ленард-Джонс – | 21.3

Слетер–Кірквуд – | 21.0

У третьому розділі за допомогою методу двочасових температурних функцій Ґріна отримано вирази для термодинамічних та структурних функцій рідкого гелію_. Відповідні функції побудовані на операторах колективних змінних. У наближенні “двох сум за хвильовим вектором” одержано замкнену систему рівнянь руху для цих функцій. На підставі отриманих виразів із використанням самоузгодженого наближення для врахування поза-RPA ефектів розраховано термодинамічні функції гелію-4 в широкому інтервалі температур. Особливу увагу звернено на поведінку теплоємности. Досліджено також питання ефективної маси атома гелію-4.

Енерґія системи дається усередненням гамільтоніана:

де кутові дужки означають одночасно конфіґураційне й термодинамічне усереднення. Враховуючи (1), отримаємо для енерґії:

(2)

де — енерґія основного стану.

Для розрахунку середніх від добутків операторів використано двочасові температурні функції Ґріна, визначені таким чином:

де оператори задано у зображенні Гайзенберґа, а є функцією Гевісайда. Самі середні розраховуватимемо, використовуючи частотне зображення функцій Ґріна:

де позначення використано для функції . Ми вважатимемо, що часові арґументи операторів та збігаються: . Це дасть статичні властивості системи, у протилежному випадку можна отримати динамічні характеристики, наприклад, динамічний структурний фактор як . Використовуватимемо позначення для функції , для і для і т. д.

З точністю до однієї суми за хвильовим вектором отримуємо таку систему рівнянь руху:

Ця система рівнянь для функцій Ґріна у наближенні хаотичних фаз (при відкиданні доданків із підсумовуванням за хвильовим вектором) виявляється замкненою, тому середні від попарних добутків операторів у цьому ж наближенні легко отримати. Результати мають вигляд:

де вираз для величини збігається з відповідним результатом Боголюбова:

У роботі записано також систему рівнянь для потрійних функцій Ґріна  і т. д., які достатньо мати в RPA, оскільки відповідні доданки в енерґії входять із додатковим підсумовуванням. Їх легко отримати на підставі RPA-рівнянь для функцій  і т. д. Далі розглянемо, як поза-PRA ефекти можна врахувати певним ефективним способом.

Варто відзначити, що замкнену систему рівнянь у постRPA-наближенні можна отримати, використовуючи дещо інші оператори, а саме, та

При цьому в наближенні хаотичних фаз зручно ввести оператор (т. зв. струм або потік)

(3)

де використано звичне означення оператора імпульсу: .

Можна також показати, що оператор кінетичної енерґії через згадані записується так (пор. з відповідними доданками (2)):

Цей набір операторів дає змогу отримати у наближенні хаотичних фаз замкнену систему рівнянь, як і в попередньому випадку. Якщо ж використати точний вираз для кінетичної енерґії то виявляється, що розв’язати систему рівнянь руху відносно (рискою над літерою позначатимемо величини у випадку точного задання кінетичної енерґії) навіть у наближенні хаотичних фаз неможливо. Проблема полягає в тому, що в кожному наступному рівнянні виникають нові функції з вищими степенями оператора , пор. з (3). Це пов’язано з дією оператора кінетичної енерґії: у рівняннях руху він ґенерує нові оператори виду

які не можна виразити через та (ані через або й ). Використаємо тут позначення для випадку n , відповідна функція Ґріна — . Для того, щоб отримати замкнену систему рівнянь, потрібно застосувати якесь наближення. Розглянемо систему двох рівнянь для функцій і , припускаючи таку властивість:

Тепер система рівнянь руху замикається, однак у розв’язку замість величини виникне інша, дещо переозначена:

(4)

де є невідомою функцією. Зрозуміло, що у низькотемпературній границі , це приводить до теорії Боголюбова. У високотемпературній границі, застосувавши вираз для структурного фактора, з яким пов’язана , вдається отримати , де — кінетична енерґія системи.

В області низьких температур з метою отримання співвідношення для розрахунку використаємо співвідношення, яке схематично можна зобразити так:

Розв’язати це рівняння відносно безпосередньо не вдається, тому можна скористатись розкладом в ряд за .

Вільну енерґію можна обчислити за співвідношенням:

де — параметр увімкнення взаємодії, а — потенціальна енерґія. У цьому виразі зручніше інтеґрувати за змінною замість l, що спричиняє появу похідної , вираз для якої невідомий, для неї запишемо так звану першу різницю: , оскільки ( відповідає ідеальному газові). Для спрощення ще приймемо, що залежності від хвильового вектора і температури у величинах і розділяються:

Це означає виділення “першорядної” температурної залежности порівняно з “другорядною” залежністю від хвильового вектора, яка при обчисленні термодинамічних функцій заінтеґрується. Умова ж — це просто своєрідне нормування.

В області розклад в ряд некоректно використовувати, оскільки вже не можна вважати малою величиною. Замінивши її на високотемпературну границю, , де K — кінетична енерґія системи, вдається отримати рівняння для визначення (K0 — кінетична енерґія ідеального Бозе-газу).

Після проведення всіх згаданих розрахунків для енерґії системи отримаємо такий результат для теплоємности (саме ця крива є зручною для демонстрації з погляду наочности особливостей):

Рис. 2. Теплоємність рідкого гелію-4. Суцільна лінія — обчислена теплоємність; штрихова лінія — теплоємність ідеального Бозе-газу; штрих-пунктирна лінія — наближення Боголюбова. Кружечки показують експериментальні дані, зібрані з різних джерел.

Як видно з рис. , якісне узгодження досягнуто в широкому температурному діапазоні, включно з навколокритичною областю (існування розриву на кривій вказує на фазовий перехід), де кількісного узгодження очікувати не можна, враховуючи застосовані наближення. Зокрема, в області низьких температур (ліворуч від точки переходу) розклад в ряд за коректинй якраз для температур T/Tc < 0.65.

Треба зауважити, що описаний підхід залишає температуру фазового переходу на тому значенні, яке отримується у випадку ідеального Бозе-газу, тобто 3.14 К. Введенням ефективної маси атома гелію, самоузгоджений розрахунок якої здійснено в межах описаного формалізму двочасових температурних функцій Ґріна та колективних змінних, вдається перенормувати температуру переходу до значення Tc .99 К, що добре узгоджується з експериментальним значенням 2.17 К. Для самої ефективної маси m* отримано значення m* .58 m.

У четвертому розділі досліджено властивості системи небагатьох взаємодіючих Бозе-частинок. На підставі методу, який дає добрі результати у випадку ідеального Бозе-газу, сконструйовано формули, за допомогою яких можна обчислювати термодинамічні величини для взаємодіючих систем.

Статистичну суму ідеальної Бозе-системи можна подати в такому рекурентному вигляді:

Наа підставі цього виразу легко розрахувати теплоємність для систем з різною кількістю частинок. У роботі проаналізовано значення N від 1 до 1200. У результаті чисельного аналізу виявлено, що у випадку ідеального газу лінійна (за ) залежність описує послідовність максимумів цілком добре:

(5)

Аналоґічний підхід було використано для взаємодіючої системи. З міркувань простоти потенціал взаємодії вибрано у формі класичних твердих сфер. Статистичну суму можна записати так (у загальному випадку для довільного потенціалу коефіцієнт , взагалі кажучи, може залежати від температури):

Припускаючи, що послідовність максимумів і в цьому випадку збереже форму (5), отриману для ідеальної системи, можна отримати такі значення параметрів для взаємодіючої системи: і e .0608. Залежність матиме вигляд:

що означає максимальне значення теплоємности безмежної системи 13.6. Порівняння обчислених теплоємностей для різних N з експериментом наведено на рис. .

П’ятий розділ містить розрахунок конденсатної фракції в гелії-4 при T на підставі означення цієї величини через одночастинкову функцію розподілу. Показано, що явне врахування короткосяжної відштовхувальної частини потенціалу, що має ефект часткового підсумовування ряду поза наближенням хаотичних фаз, дає добре узгодження результатів розрахунку з даними експерименту. Отримано також залежність конденсатної фракції від температури, що якісно узгоджується з експериментом.

Рис. 3. Питома теплоємність у наближенні вільного об’єму та в кільцевому наближенні. Кружечками показано дані NIST [ArpMcCartyFriend // Natl. Inst. Stand. Technol. (U.Tech. Note 1334 (revised).— 1998.— 145для CV.

Конденсатна фракція розраховується безпосередньо з одночастинкової функції розподілу як її далекосяжна границя: де — кількість частинок з нульовим імпульсом, а — загальна кількість частинок у системі. Для розрахунку конденсатної фракції використано формули, отримані в [Вакарчук І. О. // Укр. физ. журн.— 1990.— Т. , № .— С. –1267].

Обчислені значення такі:

· без явного задання короткосяжних взаємодій f %;

· короткосяжний потенціал AHS (“майже тверді сфери”) f %;

· короткосяжний потенціал HS (“тверді сфери”) f .8%.

У цьому розділі розраховано також температурну залежність конденсатної фракції на підставі означення (4) для . Якісний збіг визначається, зокрема, тим, що при наближенні до температури фазового переходу частка Бозе-конденсату зменшується більше, ніж на два порядки, тобто практично до нуля.

Завершується дисертаційна робота Висновками, Списком використаних джерел та Додатком А, в якому у вигляді таблиць зібрано інформацію про деякі розраховані в роботі величини, і Додатком Б з рівняннями руху для функцій Ґріна, що не ввійшли в основний текст.

Основні результати та висновки дисертації можна викласти у вигляді таких тверджень:

· отримано потенціали міжатомних взаємодій, парний і тричастинковий, причому перший розраховано в наближенні постRPA, а другий — у наближенні RPA, що в результаті дає той самий порядок точности. Розглянуто також різні підходи до проблеми явного задання короткосяжних взаємодій в гелії-4. Обчислені фур’є-зображення потенціалів згодом використано для розрахунку термодинамічних характеристик та частки Бозе-конденсату;

· у межах формалізму колективних змінних і двочасових температурних функцій Ґріна записано аналітичні вирази для термодинамічних функцій, за якими проведено числові розрахунки. Результати для теплоємности дають добре узгодження з експериментальними даними на температурних ділянках 0 T/Tc .65 та T/Tc .32, де Tc — температура фазового переходу, оцінена як Tc .99порівняно з експериментальним 2.17;

· для системи небагатьох бозонів отримано розклад за степенями величини, оберненої до кількости частинок, за яким виконано екстраполяцію результатів на безмежну систему;

· конденсатну фракцію (частку Бозе-конденсату) розраховано при T для трьох різних способів задання короткосяжних взаємодій. Обчислене у першому наближенні значення 11% у моделі майже твердих сфер добре узгоджується з останніми експериментальними оцінками та даними комп’ютерного моделювання. Отримано також температурну залежність конденсатної фракції, що якісно відтворює спостережувані факти.

Результати розрахунків, здійснених у дисертаційній роботі, добре узгоджуються з відомими експериментальними даними, що є підтвердженням відповідности прийнятої моделі та застосованих наближень. Розроблену методику можна поширити для опису інших, як сильно-, так і слабовзаємодіючих квантових систем, суттєвий прорив ув експериментальному дослідженні яких зроблено останнім часом, що відкриває можливості перевірки теоретичних моделей.

Основні результати дисертації опубліковано в таких роботах:

[1] VakarchukBabinRovenchak A potential energy of interaction between helium atoms // Journal of Physical Studies.— 2000.— V. , №1.— P. –22.

[2] VakarchukRovenchak Representation of the short-range interactions in liquid helium via modified hard sphere potentials // Journal of Physical Studies.— 2001.— V. , №2.— P. –130.

[3] VakarchukRovenchak Thermodynamics of the Bose-system with a small number of particles // Condens. Matter Phys.— 2001.— V. , No. (27).— P. –447.

[4]Rovenchak A. A. Helium-4 Energy and Specific Heat in Superfluid and Normal Phase // Journal of Physical Studies.— 2002.— Vol. 6, No. 3.— P. –304.

[5] Rovenchak A. A. Effective mass of atom and the excitation spectrum in liquid helium-4 at T = 0 K // Fiz. Nizk. Temp.— 2003.— Vol. , No. .— P. –148.

[6] Ровенчак А. Потенціал взаємодії між атомами гелію // “Ізинґівські читання–99”, Львів, 20 травня 1999 р. / Препр. Ін_ту фіз. конденс. систем ICMP–99–16.— С. –18.

[7] Rovenchak A.Vakarchuk I. Calculation of the condensate fraction in liquid Helium-4 // Europhysics Conference on Computational Physics, Aachen, Germany, 5–8 September 2001: Book of Abstracts / Ed. by F.K. Binder.— P..

[8] Rovenchak A. A. Calculation of Bose-Liquid Thermodynamics via Green’s Functions of “Density-Density” Type // International Conference Physics of Liquid Matter: Modern Problems, Kyiv, September 14–19, 2001: Abstracts.— P. .

[9] Vakarchuk I.Babin V.Rovenchak A. He4 Interatomic Potential Restoring Using Experimental Scattering Data // EPS–11: Trends in Physics, London, 6–10 Sept. : Abstr. Book.— London, 1999.— P. .

Анотація

Ровенчак А. А. Самоузгоджений розрахунок міжатомних потенціалів та термодинамічних функцій гелію-4 в надплинній і нормальній фазах.— Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01.04.02 теоретична фізика, Львівський національний університет імені Івана Франка, Львів, 2003.

Дисертацію присвячено описові сильновзаємодіючої Бозе-системи, а саме гелію_, у широкому температурному діапазоні. Для обчислень застосовано формалізм колективних змінних, а отримання температурних залежностей забезпечується застосуванням методу двочасових температурних функцій Ґріна. За допомогою 1/N-розкладу (де N — кількість частинок) вивчено зв’язок між системою небагатьох взаємодіючих бозонів і безмежною багатобозонною системою. Міжатомні потенціали визначено з рівнянь, які пов’язують їх фур’є-зображення з парним та тричастинковим статичними структурними факторами. При розрахунку термодинамічних функцій запропоновано самоузгоджений спосіб врахування поправок до наближення хаотичних фаз ефективним чином. Добре узгодження розрахованої та експериментальної теплоємностей досягнуто для температур 0 T/Tc .65 та T/Tc .32, де Tc — температура фазового переходу. Розглянуто також питання ефективної маси атома гелію-4. Конденсатну фракцію при T  К оцінено як 11%.

Ключові слова: рідкий гелій-4, конденсатна фракція, термодинамічні функції, теплоємність, парний потенціал, тричастинковий потенціал, ефективна маса, система небагатьох бозонів.

Аннотация

Ровенчак А. А. Самосогласованный расчёт межатомных потенциалов и термодинамических функций гелия-4 в сверхтекучей и нормальной фазах.

Диссертация на соискание научной степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.04.02 теоретическая физика, Львовский национальный университет имени Ивана Франко, Львов, 2003.

Диссертация посвящена описанию сильновзаимодействующей Бозе-системы, а именно гелия-4, в широком температурном диапазоне. Для вычислений использован формализм коллективных переменных, а получение температурных зависимостей обеспечивается применением метода двухвременных температурных функций Грина. При помощи 1/N-разложения (где N — число частиц) изучена связь между системой немногих взаимодействующих бозонов и безконечной многобозонной системой. Межатомные потенциалы определены из уравнений, связывающих их фурье-изображения с парным и трёхчастичным статическими структурными факторами. При расчёте термодинамических функций предложен самосогласованный способ учета поправок к приближению хаотических фаз эффективным образом. Хорошее согласие рассчитанной и экспериментальной теплоёмкостей достигнуто для температур 0 T/Tc .65 и T/Tc .32, где Tc — температура фазового перехода. Рассмотрен также вопрос эффективной масы атома гелия-4. Конденсатная фракция при T  К оценена как 11%.

Ключевые слова: жидкий гелий-4, конденсатная фракция, термодинамические функции, теплоёмкость, парный потенциал, трёхчастичный потенциал, эффективная масса, система немногих бозонов.

Abstract

A. A self-consistent calculation of interatomic potentials and thermodynamic functions of helium-4 in superfluid and normal phase.

A thesis for a Candidate of Sciences degree on the speciality 01.04.02 – theoretical physics, Ivan Franko National University of Lviv, 2003.

The thesis is devoted to the description of a strongly interacting Bose-system, namely helium-4, in a wide temperature range. The collective variables formalism is applied for the derivation of analytical expressions used in the numerical calculations. The application of the two-time temperature Green’s functions techniques provides for the obtaining of the temperature dependencies.

Two- and three-body interatomic potentials are calculated, for the first one the approximation next to the random phases (RPA) is used, for the latter the RPA result is obtained, providing the same order of accuracy. Interatomic potentials are defined from the equation connecting their Fourier images with pair and three-body static structure factor. The first sound velocity is calculated as 231while the experiment gives 237The obtained well depth is –10.58and the minimum positions being 3.34 Е, compare with the Aziz model potential (–11.04and 2.99 Е, respectively). It is shown that the minimum position is immidiately shifted to the correct value when the three-body effects are taken into consideration, however, the well depth becomes larger in this case.

Different approaches to the short-range interaction in liquid helium are considered. The obtained potential Fourier images are used to calculate the thermodynamic functions and condensate fraction. The contribution of three-body effects is found to be significant, reaching several per cent in the ground-state energy.

The set of the equations of motion for the Green functions of ‘density–density’ type is obtained. It appears to be closed in the approximation next to RPA but the equations for triple functions are too complicated to be treated analytically. Therefore, a self-consistent method to take into account the corrections to the random phase approximation in an effective manner is proposed. A good agreement between the calculated and experimental specific heats is achieved for temperatures 0 T/Tc .65 and T/Tc .32, where Tc stands for the phase transition temperature. A problem of the effective mass m* of helium-4 atom is also considered. A self-consistent calculation allows for obtaining the value m*.58 m, where m is the mass of free helium_4 atom. Using this result, the phase transition temperature is estimated as Tc .99in comparison with the experimental one 2.17

For the system of few bosons the expansions of thermodynamic functions over the powers of 1/N (with N being a number of particles) are obtained. These results are utilized for the extrapolation to the bulk case. It is shown that already the system with N , 13 behaves almost as a bulk in a wide temperature range. The value of bulk heat capacity maximum is estimated as 13.6 while experimental result is close to 16. Quite good qualitative and satisfactory quantitative agreement with the experimental data has been achieved.

The condensate fraction at T is calculated for three types of short-range interactions. The results of 11% in the so-called ‘almost hard spheres’ potential case (with Meyer function slightly smoothed in comparison with hard spheres) agrees with recent experimental and simulation data well. The calculated temperature dependence of the condensate fraction qualitatively reflects the experiment.

The results of the work agree with known experimental facts well. This is the proof of the compliance of the accepted model and the approximation applied. The developed techniques might be extended to describe both strongly and weakly interacting quantum systems, which have been under successful experimental investigations during last years providing a possibility for testing theoretical models.

Key words: liquid helium-4, condensate fraction, thermodynamic functions, specific heat, pair potential, three-body potential, effective mass, few-boson system.

Підп. до друку 20.05.03 Формат 60ґ84/16. Папір друк. №3

Друк офсет. Умовн. друк. арк. 1,0. Обл.-вид. арк. 1,2.

Умовн.-фарб. відб. 1,0 Тираж 100. Зам. 101.

Видавничий центр Львівського національного університету імені Івана Франка 79000, Львів,
вул. Університетська, 1.