НАЦІОНАЛЬНА АКАДЕМІЯ НАУК УКРАЇНИ

ІНСТИТУТ МЕХАНІКИ ІМ. С.П. ТИМОШЕНКА

Рожок Лілія Степанівна

УДК 539.3

ВИЗНАЧЕННЯ НАПРУЖЕНОГО СТАНУ НЕКРУГОВИХ ПОРОЖНИСТИХ НЕОДНОРІДНИХ ЦИЛІНДРІВ НА ОСНОВІ АПРОКСИМАЦІЇ ФУНКЦІЙ ДИСКРЕТНИМИ РЯДАМИ ФУРЄ

01.02.04 – механіка деформівного твердого тіла

Автореферат

дисертації на здобуття наукового ступеня

кандидата фізико – математичних наук

Київ 2003

Дисертацією є рукопис.

Робота виконана в Інституті механіки ім. С.П. Тимошенка НАН України (м. Київ).

Науковий керівник - академік НАН України

доктор технічних наук, професор

Григоренко Ярослав Михайлович,

головний науковий співробітник відділу обчислювальних методів

Інституту механіки ім. С.П. Тимошенка НАН України (м. Київ);

Офіційні опоненти: доктор фізико-математичних наук, професор

Мольченко Леонід Васильович,

професор кафедри механіки суцільних середовищ

Київського національного університету ім. Тараса Шевченка,

доктор фізико-математичних наук

Хома Іван Юрійович,

провідний науковий співробітник відділу реології

Інституту механіки ім. С. П. Тимошенка НАН України (м. Київ).

Провідна установа: Інститут прикладних проблем механіки і математики ім. Я.С. Підстригача НАН України (м. Львів).

Захист відбудеться “10” червня 2003 р. о 1000 годині на засіданні

спеціалізованої вченої ради Д 26.166.01 Інституту механіки ім. С.П.Тимошенка

НАН України за адресою: 03057, м. Київ-57, вул. Нестерова, 3.

З дисертацією можна ознайомитись у бібліотеці Інституту механіки ім. С.П. Тимошенка

НАН України за адресою: 03057, м. Київ-57, вул. Нестерова, 3.

Відгук на автореферат просимо надсилати за адресою: 03057, м. Київ-57, вул. Нестерова, 3, вченому секретарю спеціалізованої вченої ради Д 26.166.01

Автореферат розісланий “8” травня 2003 р.

Вчений секретар

спеціалізованої вченої ради Д 26.166.01

доктор фізико – математичних наук Жук О.П.

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальність теми. Порожнисті циліндри кругового та некругового поперечного перерізу знаходять широке застосування в різноманітних галузях техніки як елементи конструкцій та деталі машин. Знання напруженого стану таких циліндрів необхідне для забезпечення міцності та надійності цих конструкцій. Умови експлуатації конструкцій, елементи яких виконані у вигляді порожнистих циліндрів, вимагають їх розрахунку з урахуванням довільного поперечного перерізу. Прагнення найбільш точного урахування реальних властивостей матеріалів, з яких виготовлено порожнисті циліндри, виявлення крайових та локальних ефектів, що мають місце в товстостінних пружних тілах приводять до необхідності розглядати цей клас задач в просторовій постановці. При цьому напружений стан товстостінних циліндрів описується системою диференціальних рівнянь в частинних похідних зі змінними коефіцієнтами просторової теорії пружності.

Для розв’язання задач про напружений стан порожнистих циліндрів з круговим поперечним перерізом існує ряд розроблених підходів. В деяких працях задачі про напружений стан кругових порожнистих циліндрів зводяться до одновимірних за допомогою розкладу факторів напруженого стану в подвійні ряди Фурє уздовж твірної та напрямної за певних граничних умов на торцях циліндра.

Задачам про напружений стан некругових порожнистих циліндрів присвячена незначна кількість робіт. Деякі з них стосуються уточнених моделей, де розглядаються циліндричні оболонки середньої товщини. В інших роботах розглядалися порожнисті циліндри, форма поперечного перерізу яких мало відрізняється від кругової. Такі задачі розв’язувалися за допомогою асимптотичного методу, методу малого параметру та ін. Деякі роботи присвячені задачам про напружений стан некругових порожнистих циліндрів при певних умовах на торцях в просторовій постановці. При цьому апроксимація розв’язку по товщині виконується за допомогою методу скінчених різниць і тому граничні умови на бокових поверхнях задовольняються наближено.

Таким чином, вказане свідчить про те, що розв’язання класу задач про напружений стан порожнистих некругових циліндрів в просторовій постановці пов’язане зі значними математичними та обчислювальними труднощами.

Тому розробка ефективного підходу до розв’язання класу задач про напружений стан некругових порожнистих неоднорідних по товщині циліндрів під дією довільного навантаження на бокових поверхнях в строгій просторовій постановці є актуальною проблемою і має практичне значення.

Звязок роботи з науковими програмами. Робота виконана в рамках планів наукових досліджень відділу обчислювальних методів Інституту механіки ім. С.П.Тимошенка НАН України, отримані результати увійшли до звітів відділу обчислювальних методів за темами: 326 в. “Розробка чисельно-аналітичних підходів до розв’язання статичних та динамічних задач для просторових тіл і оболонок різної форми та структури з врахуванням анізотропії і неоднорідності” (№ ДР 0101U002861) та 428 п. “Побудова нових розв’язків задач про напружений стан циліндричних оболонок різної кривизни і неоднорідної структури в лінійній і нелінійній постановках” (№ ДР 0101U004815).

Мета і задачі дослідження. Мету даної роботи можна сформулювати таким чином :

- розробка ефективного підходу до розвязання класу задач про напружений стан порожнистих неоднорідних циліндрів з некруговим поперечним перерізом під дією нерівномірного навантаження, прикладеного на бокових поверхнях;

- виведення розвязувальної системи диференціальних рівнянь в частинних похідних на основі рівнянь тривимірної теорії пружності;

- побудова алгоритму, в якому задача про напружений стан некругових порожнистих неоднорідних циліндрів за рахунок відокремлення змінних в напрямку твірної та напрямної зводиться до одновимірної, що стає можливим внаслідок введення в розв’язувальну систему диференціальних рівнянь додаткових функцій, які містять в собі члени, що не дозволяють відокремити змінні вздовж напрямної циліндра і визначаються за допомогою рядів Фур’є для дискретно заданих функцій (дискретних рядів Фур’є). Одновимірна крайова задача розв’язується стійким чисельним методом дискретної ортогоналізації;

- реалізація алгоритму в програмному комплексі на ПК в такій формі, що дозволяє проводити дослідження напруженого стану порожнистих циліндрів з поперечним перерізом різної форми з урахуванням неоднорідності матеріалу по товщині, під дією нерівномірного та локального навантаження за мінімальною вхідною інформацією;

- розв’язання різних класів задач на базі запропонованого підходу та проведення аналізу напруженого стану порожнистих циліндрів в залежності від форми поперечного перерізу, неоднорідності матеріалу та різних видів прикладеного навантаження на бокових поверхнях.

Наукова новизна одержаних результатів полягає в таких основних положеннях, що виносяться на захист:

- побудовано на базі основних рівнянь тривимірної теорії пружності розв’язувальну систему диференціальних рівнянь в частинних похідних зі змінними коефіцієнтами, що описує напружений стан некругових неоднорідних порожнистих циліндрів та сформульовано граничні умови на обмежуючих поверхнях та умови контакту шарів у випадку складених тіл;

- розроблено ефективний підхід до розв’язання класу нових задач про напружений стан порожнистих циліндрів довільного поперечного перерізу під дією нерівномірного навантаження при певних граничних умовах на торцях циліндра, що базується на застосуванні методів відокремлення змінних, дискретних рядів Фур’є та чисельному розв’язанні отриманої одновимірної крайової задачі методом дискретної ортогоналізації, реалізованому в програмному комплексі на ПК, що дозволяє отримати достатньо точний розв’язок;

- розвязано задачі та проведено аналіз напруженого стану некругових (еліптичних та гофрованих у поперечному перерізі) порожнистих циліндрів, в залежності від форми поперечного перерізу, виду прикладеного навантаження з урахуванням неоднорідності матеріалу по товщині циліндра при певних граничних умовах на торцях циліндра та виявлено ряд закономірностей у розподілі полів переміщень та напружень.

Достовірність отриманих результатів забезпечена використанням як вихідних основних рівнянь просторової теорії пружності, коректністю формулювання задачі, тестуванням розробленого підходу на ряді задач даного класу та контролем точності розрахунків на базі індуктивних оцінок.

Практичне значення одержаних результатів. Розроблено підхід до розвязання класу задач про напружений стан некругових порожнистих неоднорідних циліндрів при певних умовах на торцях, що реалізовано в програмному комплексі на ПК; результати проведеного аналізу напруженого стану циліндрів указаного класу в залежності від зміни форми поперечного перерізу, виду прикладеного навантаження дозволяють за рахунок вибору товщини циліндрів, жорсткості шарів, у випадку неоднорідних по товщині циліндрів, знайти найбільш раціональний розподіл факторів напруженого стану, дослідити вплив локального навантаження на розподіл полів переміщень та напружень і можуть бути використані в науково – дослідних організаціях та конструкторських бюро для проведення розрахунків з оцінки міцності та надійності подібних елементів конструкцій та деталей машин. Отримані розв’язки на основі розробленого підходу до розв’язання класу задач про напружений стан некругових неоднорідних порожнистих циліндрів дозволяють оцінити границі застосування прикладних теорій оболонок.

Особистий внесок здобувача. В роботах [1-4,6], які опубліковані у співавторстві з науковим керівником, дисертанту належить побудова розвязувальної системи диференціальних рівнянь, розробка алгоритму та його реалізація в програмному комплексі на ПК, розвязання конкретних задач, співавтору належить постановка задачі та обговорення результатів.

В роботі [5] дисертантом досліджено вплив локального навантаження на напружений стан порожнистих циліндрів еліптичного поперечного перерізу в залежності від зміни показника еліптичності та інтервалу прикладання навантаження.

Апробація результатів дисертації. Основні результати дисертаційної роботи доповідалися та обговорювалися на:

1) II Всеукраїнській науковій конференції “Математичні проблеми технічної механіки” (Україна, Дніпродзержинськ, 2002);

2) наукових семінарах відділу обчислювальних методів Інституту механіки ім. С.П. Тимошенка НАН України (Київ, 1999-2003);

3) наукових семінарах Інституту механіки ім. С.П. Тимошенка НАН України з напрямку “Механіка оболонкових систем” (Київ, 2003);

4) семінарі кафедри теоретичної та прикладної механіки Національного транспортного університету Міністерства освіти та науки України (Київ, 2003);

5) семінарі кафедри механіки суцільних середовищ механіко – математичного факультету Київського національного університету ім. Тараса Шевченка (Київ, 2003);

6) семінарі відділу термомеханіки Інституту прикладних проблем механіки і математики ім. Я.С. Підстригача НАН України (Львів, 2003);

7) семінарі факультету прикладної математики Львівського державного університету ім. І.Франка (Львів, 2003).

Публікації. За матеріалами дисертації опубліковано 6 наукових робіт [1-6], в тому числі [1-5] у провідних спеціалізованих журналах.

Структура дисертації. Робота складається зі вступу, чотирьох розділів, висновків та списку використаних джерел.

Загальний обсяг дисертації становить 168 сторінок, в тому числі 21 рисунок, 28 таблиць, список використаних джерел із 143 найменувань на 14 сторінках.

ОСНОВНИЙ ЗМІСТ РОБОТИ

У вступі характеризується сучасний стан проблеми, яка розглядається в дисертаційній роботі, обґрунтовується актуальність вибраної теми. Сформульовано мету та задачі дослідження, розкривається наукова новизна та практичне значення одержаних результатів.

У першому розділі наведено огляд наукових робіт, присвячених проблемі розвязання задач про напружений стан пружних тіл у вигляді товстостінних оболонок на основі уточнених і просторової моделей.

Важливу роль в розробці підходів до розв’язання задач просторової теорії пружності відіграли праці С.П. Тимошенка, А.І. Лур’є, М.О. Кільчевського, В.Д. Купрадзе, В.В. Новожилова та ін.

Розв’язанню деяких класів задач та аналізу напруженого стану присвячені роботи Я.Й. Бурака, А.Т. Василенка, В.М. Вігака, Я.М. Григоренка, В.Т. Грінченка, О.М.Гузя, В.А. Ломакіна, Ю.М. Неміша, Ю.М. Подільчука, А.Ф. Улітка та ін.

Проведений аналіз робіт даного класу задач показав, що з проблеми розв’язання задач та дослідження напруженого стану некругових порожнистих неоднорідних циліндрів в просторовій постановці опубліковано обмежену кількість робіт, в яких наводяться наближені розв’язки. Тому виникає необхідність розробки ефективного підходу до розв’язання вказаного класу задач.

У другому розділі розглянуто задачу про напружений стан некругового порожнистого циліндра, замкненого уздовж напрямної .

Розглядаються ізотропні неоднорідні по товщині порожнисті циліндри з некруговим поперечним перерізом під дією розподілених поверхневих навантажень, виходячи з просторової теорії пружності, які віднесені до ортогональної системи координат s,t, , де s=const, t=const – лінії головних кривизн координатної поверхні (сімейства напрямних та твірних), а - нормальна координата до бокових поверхонь. Квадрат довжини лінійного елемента циліндра у вибраній системі координат має вигляд

де - радіус кривизни напрямної координатної поверхні.

Нехай, розглядуване тіло обмежено двома боковими некруговими циліндричними поверхнями та площинами на торцях. Тіло може бути як одношаруватим, так і багатошаруватим, при цьому в другому випадку, поверхнями контакту шарів будуть поверхні . Нехай -й шар обмежено поверхнями та . Будемо розглядати тіла, складені із шарів, жорстко зв'язаних між собою по поверхнях так, що виключається можливість їхнього проковзування і відриву. Умови контакту шарів запишемо у вигляді

(1)

Наведено основні співвідношення просторової теорії пружності для неоднорідного ізотропного пружного тіла: вирази деформацій через переміщення, рівняння рівноваги та співвідношення закону Гука, виходячи з яких після ряду перетворень отримано розв’язувальну систему диференціальних рівнянь в частинних похідних, що описує напружений стан некругових порожнистих циліндрів для кожного шару у випадку шаруватих циліндрів. За розвязувальні приймаємо функції, в яких формулюються умови контакту шарів для складених тіл та граничні умови на бокових поверхнях , тобто обираємо три компоненти напружень і три компоненти переміщень . Тоді розвязувальна система диференціальних рівнянь буде мати вигляд (2)

Розв’язок шукається в області , де - довжина циліндра, відповідають перерізам, що обмежують циліндр по напрямній і нормальній координаті відповідно.

На зовнішній і внутрішній поверхнях необхідно виконати граничні умови

при ,

при . (3)

Розглядаються замкнені по напрямній некругові порожні циліндри, тому будуть виконуватися умови періодичності (4)

де , P - периметр поперечного перерізу координатної поверхні.

Будемо розглядати задачу про напружений стан порожнистих циліндрів, коли на торцях задаються такі граничні умови, що дозволяють звести тривимірну задачу до двовимірної: (5)

що відповідає наявності на торцях діафрагми, абсолютно жорсткої у своїй площині і гнучкої з неї.

Таким чином, задача про напружений стан некругових порожнистих циліндрів описується системою диференціальних рівнянь у частинних похідних (2) з граничними умовами (3-5), у випадку шаруватих циліндрів мають місце умови контакту шарів (1).

У третьому розділі розроблено методику розв’язання отриманої тривимірної крайової задачі. Запропонований підхід базується на таких положеннях: за рахунок відокремлення змінних в напрямку твірної та напрямної тривимірна задача зводиться до одновимірної, це стає можливим внаслідок введення в розв’язувальну систему диференціальних рівнянь додаткових функцій, які містять в собі члени, що не дозволяють відокремити змінні вздовж напрямної циліндра. Одновимірна крайова задача розв’язується стійким чисельним методом дискретної ортогоналізації. На кожному кроці застосування чисельного методу, додаткові функції визначаються за допомогою дискретних рядів Фур’є.

Для зведення тривимірної крайової задачі, що описується системою рівнянь (2), до двовимірної застосовується метод відокремлення змінних вздовж твірної. З цією метою всі шукані функції і компоненти навантаження подамо у вигляді рядів Фур'є по координаті (6)

Після підстановки виразів (6) у систему рівнянь (2) та відповідні граничні умови і відокремлення змінних по в отриману для кожного члена з номером рядів (6) систему диференціальних рівнянь, що залежить від змінних , вносимо додаткові функції, які включають у себе члени, що перешкоджають відокремленню змінних уздовж напрямної циліндра

, ;

;; (7)

; ;

;.

При цьому отримуємо систему диференціальних рівнянь в частинних похідних, коефіцієнти якої не залежать від координати , хоча самі додаткові функції залежать від неї (8)

Подамо тепер усі функції, що входять до розв’язувальної системи рівнянь (8) та компоненти навантаження у вигляді рядів Фур'є по координаті

(9)

Після підстановки розкладів (9) у розв’язувальну систему рівнянь, що утримує додаткові функції, які визначаються в процесі обчислення, і граничні умови, приходимо до системи звичайних диференціальних рівнянь для кожного члена з номером (номер в позначеннях додаткових та розв’язувальних функцій опускаємо для простоти), щодо амплітудних значень розв’язувальних та додаткових функцій (9)

;

; (10)

;

, ,

з граничними умовами:

(11)

До системи (10) крім шести розв’язувальних функцій входять ще і 16 додаткових, тобто кількість невідомих функцій перевищує кількість рівнянь.

Отриману крайову задачу (10),(11) будемо розв’язувати стійким чисельним методом дискретної ортогоналізації, який дозволяє отримати розв’язок з достатньою точністю. Цей метод базується на редукції крайової задачі до задач Коші та розв’язанням останніх методом Рунге-Кутта з ортогоналізацією векторів - розв’язків в дискретних точках інтервалу інтегрування, вибір яких залежить від заданої точності. У процесі інтегрування системи (10) необхідно обчислювати значення додаткових функцій, що входять до неї. Для цього будемо використовувати їхні розкладання в дискретні ряди Фур'є по координаті . Використовуючи поточні значення амплітуд розв’язувальних функцій, при фіксованому значенні координати відрізка , обчислюємо в ряді, обраних на напрямній, точок величини

; ;

;

; , (12)

.

Використовуючи стандартну процедуру обчислення коефіцієнтів рядів Фур'є для функції, яку задано таблицею, знаходимо ці коефіцієнти для додаткових функцій (12). Значення коефіцієнтів використовуємо для визначення таких величин:

Тоді в ряді точок обчислюємо

; ; . (13)

Визначаємо коефіцієнти рядів Фур'є для функцій (13). Отримані коефіцієнти Фур'є для функцій (12)-(13) підставляємо в систему рівнянь (10) і робимо інтегрування, переходячи від точки до точки . На початку інтегрування при , враховуючи відповідні граничні умови, задаються початкові значення амплітуд розв'язувальних функцій системи (10).

Знайдені амплітудні значення розв’язувальних функцій підставляються у співвідношення (6), (9) і, таким чином, знаходяться всі необхідні фактори напруженого стану циліндра в будь – якій точці твірної та напрямної.

Наведено блок – схему алгоритму, розробленого на базі викладеної методики, перелік підпрограм загального призначення та зазначено принципи побудови спеціальних підпрограм програмного комплексу в залежності від форми поперечного перерізу циліндрів під дією поверхневого навантаження на прикладі розв’язання задачі про напружений стан еліптичного однорідного порожнистого циліндра, який знаходиться під дією внутрішнього тиску.

У четвертому розділі на основі розробленого підходу розв’язано задачі про напружений стан порожнистих некругових (еліптичних та гофрованих в поперечному перерізі) циліндрів та проведено аналіз впливу форми поперечного перерізу, неоднорідності матеріалу, виду прикладеного на бокових поверхнях навантаження на напружений стан цих циліндрів.

Обґрунтовується достовірність отриманих результатів та на базі ряду індуктивних засобів показано оцінку точності розв’язання задач вказаного класу.

Були розв’язані задачі про напружений стан еліптичних циліндрів, серединна поверхня яких задається параметрично формулами

де - півосі еліпса , - кутовий параметр в поперечному перерізі.

При цьому показник еліптичності характеризує відхилення форми поперечного перерізу від кругової. При маємо круговий циліндр з радіусом . Тоді параметри еліпса мають вигляд

Розглядалися циліндри з такими параметрами: . Товщина циліндра =10.

1) Проведено аналіз напруженого стану еліптичних однорідних циліндрів в залежності від зміни показника еліптичності, що знаходяться під дією поверхневого навантаження .

На рис.1 наведено графіки напруження в залежності від зміни показника еліптичності по товщині циліндра в зонах максимальної (суцільна лінія) та мінімальної (пунктирна лінія) жорсткості циліндра в перерізі .

2) Для еліптичного циліндра з показником еліптичності проводився аналіз напруженого стану в залежності від зміни товщини циліндра. Приймалося . Далі досліджувався вплив зміни товщини циліндра та показника еліптичності на розподіл полів переміщень та напружень в еліптичних циліндрах. На рис.2 показано як впливає на значення переміщень зміна товщини в циліндрах з різним значенням показника еліптичності в перерізі для серединної поверхні циліндра. Суцільна лінія означає криві переміщень в зоні найбільшої жорсткості (), а пунктирна – найменшої ().

3) Проводився аналіз напруженого стану еліптичних неоднорідних по товщині тришаруватих циліндрів в залежності від зміни жорсткості середнього шару, при цьому загальна товщина несучих шарів дорівнює , модуль пружності ,товщина заповнювача , модуль пружності . Приймалося, що . Було показано, що найбільше на розподіл переміщень і напружень впливає зміна жорсткості середнього шару в циліндрах з найбільшим значенням показника еліптичності . На рис.3 наведено графіки залежності переміщень від жорсткості середнього шару та показника еліптичності в перерізі . Пунктирна лінія відповідає переміщенням в зоні найменшої жорсткості при , суцільна – в зоні найбільшої при .

4) Розглядалися однорідні і неоднорідні по товщині порожнисті еліптичні циліндри під дією нерівномірного локального навантаження виду

(14)

яке можна подати у вигляді ряду Фур’є

Спочатку розглядалися еліптичні циліндри з різним значенням показника еліптичності під дією локального навантаження (14), коли . Далі досліджувався вплив на значення переміщень та напружень зміни інтервалу прикладання навантаження в однорідних циліндрах. Змінюючи параметр , змінювався інтервал прикладання навантаження, при цьому значення вибиралося таким чином, щоб загальне навантаження залишалось однаковим. Приймалося . Було показано, що збільшення інтервалу прикладання навантаження призводить до зменшення значень переміщень та напружень в зоні , в зоні вільній від навантаження для переміщення і напруження мають приблизно однакове значення як для кругового, так і для еліптичних циліндрів.

Розглядалися неоднорідні по товщині тришаруваті циліндри під дією локального навантаження (14), коли для циліндрів з різними значеннями показника еліптичності в залежності від зміни жорсткості середнього шару. Вихідні дані обиралися як у попередній задачі. Було показано, що змінюючи жорсткість середнього шару та показник еліптичності, можна впливати на розподіл переміщень та напружень .

5) Розглядалися циліндри з гофрами в поперечному перерізі під дією внутрішнього тиску. Напрямна серединної поверхні таких циліндрів задається в полярних координатах

де - полярный радіус, - полярний кут, - радіус середнього круга, - амплітуда, - частота гофрування. Приймалося :

. Досліджувався вплив зміни товщини циліндрів на фактори напруженого стану при постійній амплітуді та частоті гофрування. На рис.4 показано як впливає зміна товщини на розподіл переміщень в перерізі на зовнішній поверхні по напрямній циліндра для .

Досліджувався вплив амплітуди b при постійній частоті m гофрування на фактори напруженого стану циліндрів.

Проводився аналіз впливу частоти гофрування m при постійній амплітуді b на значення переміщень та напружень в циліндрах з гофрами в поперечному перерізі.

Було показано, що за рахунок вибору параметрів гофрування та зміни товщини можна впливати на розподіл факторів напруженого стану гофрованих у поперечному напрямку циліндрах.

Зазначені ефекти та інші виявлені закономірності наведені у дисертації на графіках та в таблицях.

ВИСНОВКИ

В дисертаційній роботі розроблено ефективний підхід до розв’язання класу задач про напружений стан некругових неоднорідних порожнистих циліндрів під дією різних видів навантаження при певних граничних умовах на торцях циліндра, який базується на: відокремленні змінних уздовж твірної і зведенні задачі до двовимірної; на введенні додаткових функцій в розв’язувальну систему рівнянь, які містять в собі члени, що не дозволяють відокремити змінні вздовж напрямної циліндра і обчислюються з використанням дискретних рядів Фур’є; зведенні задачі до одновимірної та розв’язанні останньої стійким чисельним методом дискретної ортогоналізації. Проведено аналіз впливу форми поперечного перерізу, виду нерівномірного прикладеного навантаження, неоднорідності матеріалу на напружений стан циліндрів, в результаті якого виявлено ряд закономірностей розподілу полів переміщень та напружень, що має значення при оцінюванні міцності та надійності конструкцій та деталей машин, елементи яких мають форму циліндрів зазначеного класу.

При цьому отримано такі конкретні результати:

1. На базі основних співвідношень тривимірної теорії пружності неоднорідного тіла виведено розв’язувальну систему диференціальних рівнянь в частинних похідних зі змінними коефіцієнтами, що описує напружений стан некругових порожнистих неоднорідних циліндрів при навантаженнях, що прикладені на бокових поверхнях.

2. Розроблено методику розрахунку порожнистих неоднорідних циліндрів довільного поперечного перерізу при певних умовах на торцях, що базується на сумісному використанні відокремлення змінних, дискретних рядів Фур’є та чисельного методу дискретної ортогоналізації.

3. Запропонований підхід реалізовано в обчислювальному комплексі на ПК, що дозволяє проводити розрахунки багатоваріантних задач за розробленою методикою при різних формах поперечного перерізу, видах навантаження з урахуванням неоднорідності по товщині циліндрів по мінімальній вхідній інформації.

4. Достовірність отриманих у роботі результатів зумовлена використанням основних рівнянь просторової теорії пружності, коректністю формулювання задачі, тестуванням розробленого підходу на ряді задач указаного класу та контролем точності на базі індуктивних оцінок. Наведено приклади оцінки збіжності обчислювального процесу.

5. На основі запропонованого підходу отримано розв’язки ряду нових задач даного класу та проведено аналіз напруженого стану некругових порожнистих циліндрів в залежності від форми поперечного перерізу при певних граничних умовах на торцях, під дією різних видів навантаження: розв’язано задачі про напружений стан еліптичних однорідних та неоднорідних по товщині порожнистих циліндрів під дією поверхневого навантаження з метою дослідження впливу зміни товщини циліндра, відхилення форми поперечного перерізу від кругової та зміни жорсткості середнього шару тришаруватих циліндрів на фактори напруженого стану циліндрів; досліджено вплив локального навантаження на напружений стан однорідних і неоднорідних еліптичних циліндрів; проведено аналіз впливу товщини на напружений стан порожнистих циліндрів з гофрами в поперечному перерізі під дією внутрішнього тиску; досліджено вплив амплітуди при постійній частоті та вплив частоти при фіксованій амплітуді гофрування на фактори напруженого стану гофрованих у поперечному перерізі циліндрів.

6. Виявлені ефекти та отримані закономірності наведено на графіках та в таблицях.

7. Розроблені на базі запропонованого підходу алгоритм, обчислювальний комплекс для ПК та отримані в роботі результати можуть бути використані в науково – дослідних організаціях для оцінки міцності та надійності елементів конструкцій та деталей машин, виконаних у вигляді порожнистих циліндрів некругового поперечного перерізу та для оцінки границь застосування прикладних теорій оболонок.

СПИСОК ОПУБЛІКОВАНИХ ПРАЦЬ

1. Григоренко Я.М., Рожок Л.С. Об одном подходе к решению задач о напряженном состоянии некруговых полых цилиндров // Прикл.механика.-2002.-38, №5.-С.61-71.

2. Григоренко Я.М., Рожок Л.С. Исследование напряженного состояния полых эллиптических цилиндров при изменении их эксцентриситета и толщины // Прикл.механика.-2002.-38, №8.- С.69-82.

3. Григоренко Я.М., Рожок Л.С. Напряженное состояние полых слоистых цилиндров при поверхностной нагрузке // Прикл.механика.-2002.-38, №9.- С.87-96.

4. Григоренко Я.М., Рожок Л.С. Расчет напряженного состояния полых цилиндров с гофрами в поперечном сечении // Прикл.механика.-2002.-38, №12.-С. 72-81.

5. Рожок Л.С. Дослідження впливу локального навантаження на напружений стан порожнистих циліндрів з еліптичним поперечним перерізом // Вісник Киівськ.університету. Сер.фіз.-мат.науки.-2002.- №3.-С.134-141.

6. Григоренко Я.М., Рожок Л.С. К расчету напряженного состояния полых неоднородных эллиптических цилиндров // Тези доповідей II Всеукр. наук. конф. “Математичні проблеми технічної механіки”.-Дніпродзержинськ.-2002.-С.102.

АНОТАЦІЯ

Рожок Л.С. Визначення напруженого стану некругових порожнистих неоднорідних циліндрів на основі апроксимації функцій дискретними рядами Фурє.- Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико – математичних наук за спеціальністю 01.02.04 – механіка деформівного твердого тіла. - Інститут механіки ім. С.П. Тимошенка НАН України, Київ, 2003.

Дисертація присвячена розробці ефективного підходу до розв’язання класу задач про напружений стан некругових порожнистих неоднорідних циліндрів під дією поверхневого навантаження на бокових поверхнях при певних умовах на торцях, що описується системою диференціальних рівнянь у частинних похідних, який базується на сумісному використанні відокремлення змінних, дискретних рядів Фур’є та чисельного методу дискретної ортогоналізації.

На основі розробленого підходу проведено розрахунки задач про напружений стан некругових (еліптичних та гофрованих в поперечному перерізі) порожнистих циліндрів при певних умовах на торцях в залежності від форми поперечного перерізу, виду прикладеного навантаження з урахуванням неоднорідності по товщині.

Ключові слова: просторова задача теорії пружності, некругові неоднорідні порожнисті циліндри, метод відокремлення змінних, метод дискретної ортогоналізації, дискретні ряди Фур’є, локальне навантаження, еліптичні циліндри, гофровані в поперечному напрямку циліндри.

АННОТАЦИЯ

Рожок Л.С. Определение напряженного состояния некруговых полых неоднородных цилиндров на основе аппроксимации функций дискретными рядами Фурье. - Рукопись.

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.02.04 – механика деформируемого твердого тела. - Институт механики им. С.П. Тимошенко НАН Украины, Киев, 2003.

Диссертация посвящена разработке эффективного подхода к решению класса задач о напряженном состоянии некруговых полых неоднородных цилиндров под действием нагрузки, приложенной на боковых поверхностях при определенных граничных условиях на торцах на основе совместного применения разделения переменных, дискретных рядов Фурье и численного метода дискретной ортогонализации.

Задача о напряженном состоянии некруговых полых цилиндров в трехмерной постановке описывается системой дифференциальных уравнений в частных производных шестого порядка с переменными коэффициентами и граничными условиями на ограничивающих цилиндр поверхностях.

Для решения данной задачи предлагается подход, основанный на сведении трехмерной краевой задачи к двумерной на основе разделения переменных вдоль образующей цилиндра; введении в разрешающую систему уравнений дополнительных функций, включающих в себя члены, препятствующие разделению переменных вдоль направляющей цилиндра; сведении двумерной задачи к одномерной на основе разделения переменных вдоль направляющей и решении полученной одномерной задачи устойчивым численным методом дискретной ортогонализации. В процессе интегрирования значения дополнительных функций определяются с помощью дискретных рядов Фурье.

На основе предложенного подхода разработан алгоритм, реализованный в программном комплексе на языке FORTRAN для ПК, с помощью которого был проведен расчет ряда новых задач о напряженном состоянии некруговых полых цилиндров при определенных условиях на торцах под действием поверхностной нагрузки.

Проводился анализ влияния изменения толщины цилиндра и степени отклонения формы поперечного сечения от круговой на напряженное состояние полых изотропных цилиндров эллиптического поперечного сечения, находящихся под действием распределенной внешней нагрузки.

Исследовалось напряженное состояние неоднородных по толщине трехслойных эллиптических цилиндров в зависимости от изменения жесткости заполнителя. Показано, что, варьируя жесткостью среднего слоя и степенью эллиптичности цилиндра можно добиться более плавного распределения перемещений и напряжений.

Рассматривались однородные и неоднородные по толщине эллиптические цилиндры, находящиеся под действием локальных и неравномерных нагрузок. В частности, исследовалось влияние на факторы напряженного состояния изменения интервала приложения локальной нагрузки при сохранении величины общей нагрузки.

Рассматривались полые цилиндры с гофрами в поперечном сечении, находящиеся под действием внутреннего давления. Исследовалось влияние изменения толщины и параметров гофрировки: частоты и амплитуды – на напряженное состояние цилиндров.

Полученные закономерности и выявленные эффекты, приведенные в работе на графиках и в таблицах, могут быть использованы для оценки прочности и надежности элементов конструкций и деталей машин, выполненных в виде некруговых полых цилиндров, а также для оценки пределов применимости прикладных теорий оболочек.

Ключевые слова: пространственная задача теории упругости, некруговые неоднородные полые цилиндры, метод разделения переменных, метод дискретной ортогонализации, дискретные ряды Фурье, локальная нагрузка, эллиптические цилиндры, цилиндры с гофрами в поперечном сечении.

SUMMARY

Rozhok L.S. Determination of stressed state of noncircular hollow inhomogeneous cylinders on the basis of function approximation by discrete Fourier series. – Manuscript.

Thesis for candidate’s degree of physical and mathematical sciences on speciality 01.02.04 – mechanics of deformable solid.- S.P. Timoshenko Institute of mechanics of National Academy of Sciences of Ukraine, Kyiv, 2003.

The Thesis is devoted to development of the effective approach to solving of the class of problems on stressed state of the noncircular hollow inhomogeneous cylinders under the action of surface loads on the side surfaces at certain conditions on the edges. It is given by the system of partial differential equations, which based on the joint use of the separation of variables, discrete Fourier series and numerical discrete orthogonalization method.

On the basis of the developed approach it was calculated the problems on stressed state of the noncircular (elliptical and goffer in cross section) hollow cylinders at certain conditions on the edges depending on shape of cross section, kind of applied loads with taking into account the inhomogeneity along the thickness.

Key words: the space problem of the theory of elasticity, noncircular inhomogeneous hollow cylinder, separation of variables method, discrete orthogonalization method, discrete Fouries series, local loads, elliptical cylinders, goffer in cross section cylinders.