Київський національний університет імені Тараса Шевченка

Равський Олександр Віталійович

УДК 515.12

ТОПОЛОГО-АЛГЕБРАЇЧНІ ВЛАСТИВОСТІ ПАРАТОПОЛОГІЧНИХ ГРУП

01.01.06 - алгебра і теорія чисел

АВТОРЕФЕРАТ

дисертації на здобуття наукового ступеня

кандидата фізико-математичних наук

Київ – 2003

Дисертацією є рукопис.

Робота виконана на кафедрі алгебри і топології Львівського національного університету імені Івана Франка, Міністерство освіти і науки України

Науковий керівник: кандидат фізико-математичних наук, доцент

Гуран Ігор Йосипович,

Львівський національний університет імені Івана Франка,

доцент кафедри алгебри і топології

Офіційні опоненти: доктор фізико-математичних наук, доцент

Зеленюк Євген Григорович,

Київський національний університет

імені Тараса Шевченка,

доцент кафедри дослідження операцій

доктор фізико-математичних наук, професор

Чобан Митрофан Михайлович,

Тираспольский Державний Університет,

професор кафедри геометрії

Провідна установа: Інститут математики НАН України, відділ топології,

м. Київ

Захист відбудеться 22 грудня 2003 року о 14.00 год. на засіданні спеціалізованої вченої ради Д 26.001.18 Київського національного університету імені Тараса Шевченка за адресою: 02127, м. Київ-127, пр. акад. Глуш-кова, 6, Київський національний університет імені Тараса Шевченка, механіко-математичний факультет

З дисертацією можна ознайомитись у бібліотеці Київського національного університету імені Тараса Шевченка (вул. Володи-мирська, 58).

Автореферат розіслано 21 листопада 2003 року

Вчений секретар

спеціалізованої вченої ради ________________________ Плахотник В.В.

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальність теми. Паратопологiчною групою називається група наділена топологією, причому так, що операція множення на групі є неперервною. Ясно, що кожна топологічна група є паратопологiчною групою. Найпростішим прикладом паратопологiчної групи, яка не є топологічною групою, є стрілка Зоргенфрея –адитивна група дійсних чисел R з базою топології, що складається з напівінтервалів [a;b), де a<b. Напівтопологічною групою називається група наділена такою топологією, що операція множення на групі є нарізно неперервною, тобто є неперервною по кожній координаті. Отже, кожна паратопологічна група є напівтопологічною групою, хоча існують приклади напівтопологічних не паратопологічних груп.

Поняття паратопологiчної групи виникло у результаті об'єднання понятть групи і топологічного простору. Дослідження подібних тополого-алгебраїчних об'єктів сягає у 1826 рік, до праці Н.-Х. Абеля. У своїй наступній праці у журналі Крелля Абель ввів певні структури на дійсній прямій, які тепер відомі як напівгрупи, групи та кільця.

Поняття паратопологiчної групи було введене значно пізніше за поняття топологічної групи. Вперше, мабуть, паратопологічні групи з'явилися при дослідженні групи гомеоморфізмів локально-компактних просторів у компактно-відкритій топології. Ця група є паратопологічною групою, але, взагалі кажучи, не є топологічною групою. Паратопологічні та напівтопологічні групи виникають також при дослідженні групи гомеоморфізмів топологічних просторів у так званій set-set топології.

Виявляється, що при певних умовах на топологічний простір паратопологічної групи, остання є топологічною групою. Аналогічну властивість мають і напівтопологічні групи.

В 1936 році Монтгомері довів, що кожна метризовна повною метрикою паратопологічна група є топологічною. У 1953 році Воллес на засіданні Американського Математичного Товариства сформулював питання: чи кожна локально компактна регулярна паратопологічна група є топологічною групою? У 1957 році Елліс отримав позитивну відповідь на запитання Воллеса. У 1960 році Желязко, використовуючи результат Монтгомері довів, що кожна метризовна повною метрикою напівтопологічна група є топологічною групою. Оскільки як локально компактні регулярні, так і метризовні повною метрикою топологічні простори є повними за Чехом, то це обумовило у 1985 році питання Пфістера: чи кожна повна за Чехом напівтопологічна група є топологічною групою? Близько 1996 року Боузіад отримав позитивну відповідь на запитання Пфістера. Для цього йому було достатньо довести, що кожна повна за Чехом напівтопологічна група є паратопологiчною групою, бо раніше Бранд довів, що кожна повна за Чехом паратопологічна група є топологічною групою. Доведення Бранда пізніше було покращене та спрощене Пфістером.

Також слід відмітити, що крім вищезгаданих авторів багато інших дослідників вивчали умови, при яких напівтопологічна група є топологічною групою, серед них: Бокало, Гуран, Као, Кендеров, Кортезов, Кюнці, Лоусон, Морс, Наміока, Пьотровський, Рєзніченко, Ромагуера, Сомасундаранам, Троуллік, Хансел, Хелмер та інші. Кількість результатів, які відносяться до цієї проблеми, постійно зростає.

Згадані вище дослідження також тісно пов'язані з так званою Проблемою Воллеса. У 1953 році на щорічному засіданні Американського Математичного Товариства у Балтиморі Воллес зауважив, що декілька авторів довели: гаусдорфова компактна топологічна напівгрупа S зі скороченням є топологічною групою. Він запитав: чи кожна гаусдорфова зліченно компактна топологічна напівгрупа S зі скороченням є топологічною групою? Роббі та Свєтлічний нещодавно навели у припущенні CH контрприклад до Проблеми Воллеса. Томіта довів існування контрприкладу до Проблеми Воллеса в припущенні MAcountable. (MAcountable – це Аксіома Мартіна, обмежена на зліченні класи. Вона еквівалентна до сильної форми Теореми Бера про категорію: Коло не є об'єднанням менш ніж континуума замкнених ніде не щільних множин). До цього часу немає контрприкладів до цієї проблеми в ZFC. Проблемі Воллеса присвячені також огляди Комфорта ”Topologіcal groups” Comfort W. W. Topological groups // Kunen K., Vaughan J. E. Handbook of set theoretic topology. – Elsevier, 1984. –P.1143-1263. та “Problems on topologіcal groups and other homogeneous spaces” Comfort W. W. Problems on topological groups and other homogeneous spaces // van Mill J., Reed G.M. Open Problems in Topology. – North-Holland, 1990. – P.311-347. та Крістенсена “Joіnt contіnuіty of separately contіnuous functіons” Christensen J. P. R. Joint continuity of separately continuous functions // Proc. Amer. Math. Soc. – 1981. – 82. – P.455-461.. Але, накладаючи на напівгрупу S дещо сильніші умови, ніж зліченна компактність, можна довести, що S є групою. Бокало та Гуран отримали позитивну відповідь у випадку гаусдорфової секвенціально компактної напівгрупи S. Томіта отримав позитивну відповідь у випадку, коли напівгрупа S – гаусдорфова, і Sexp exp – зліченно компактний простір.

Кюнці, Марін, Ромагуера та Сіпачева розглядають паратопологічні групи, використовуючи поняття квазі-рівномірності.

Тарас Банах та автор досліджували H-замкнені паратопологічні групи, тобто такі, що є замкненими підгрупами у будь-якій паратопологічній групі, яка їх містить. Виявляється, що у абельовому випадку ці групи тісно пов'язані з мінімальними топологічними групами. Зокрема, техніка дослідження їх близька до тої, що використовується при доведенні класичної теореми Проданова та Стоянова про повну обмеженість мінімальних абельових груп.

Топологія на тілі називається кільцевою топологією, якщо множення, додавання і віднімання на тілі неперервні, тобто коли адитивна група тіла є топологічною групою, а мультиплікативна група тіла є паратопологiчною групою. Топологія на тілі називається тіловою топологією, якщо адитивна і мультиплікативна групи тіла є топологічними групами. Нагадаємо, що наступна проблема досі відкрита: чи довільна гаусдорфова кільцева топологія на тілі може бути послабленою до гаусдорфової тілової топології? Це зумовило питання І. Й. Гурана: чи кожна гаусдорфова топологія паратопологiчної групи може бути послаблена до гаусдорфової групової топології?

Зв’язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Тематика ди-сер-таційної роботи пов’язана з тематикою наукових досліджень кафедри алгебри і логіки та кафедри геометрії і то-по-логії механіко-математичного факультету Львівського національного уні-вер-си-те-ту імені Івана Франка. Результати дисертації частково використані при ви-ко-нан-ні завдань держбюджетної теми МГ 79 Б “Асимптотичні властивості го-ло-морф-них функцій, алгебро-топологічні структури та їх застосування”.

Мета і задачі дослідження. В зв'язку з вищезгаданими проблемами виникла необхідність вивченння властивостей паратопологічних груп. Зокрема, у даній роботі ми розглядаємо наступні питання.

1. Якими властивостями топологічних груп володіють паратопологічні групи?

2. Які властивості має паратопологічна група гомеоморфізмів топологічного простору наділена set-set топологією?

3. Добре відомо, що кожна T0 топологічна група є цілком регулярною. Якими є властивості паратопологічних груп, що задовольняють різним аксіомам відокремлення?

4. Чи існує взаємозв'язок між груповими топологіями та топологіями паратопологiчної групи на групі?

5. Які нерівності між кардинальними інваріантами топологічних просторів можуть бути посилені у випадку паратопологічних груп?

6. При яких умовах на топологічний простір паратопологiчної групи остання є топологічною групою?

7. Чи кожна гаусдорфова топологія паратопологiчної групи може бути послаблена до гаусдорфової групової топології?

8. Охарактеризувати H-замкнені паратопологічні групи.

Наукова новизна одержаних результатів. Усі одержані наукові результати є новими. У дисертаційній роботі

1. Встановлені взаємозв’язки між груповими топологіями та топологіями паратопологiчної групи на групі.

2. Досліджені кардинальні інваріанти паратопологічних та напівтопологічних груп.

3. Отримані достатні умови, коли паратопологічна група є топологічною групою. Побудовані приклади, які показують необхідність цих умов для певних класів топологічних просторів.

4. Доведено, що довільна локально компактна паратопологічна група є топологічною групою. Побудована берівська цілком регулярна напівтопологічна група зі зліченним характером, яка не є паратопологiчною групою.

5. Побудований приклад паратопологiчної групи з нульвимірною гаусдорфовою

топологією, яка не може бути послаблена до гаусдорфової групової топології.

6. Доведено, що абельова топологічна група (G,) є H-замкнена у класі паратопологічних груп тоді і тільки тоді, коли (G,) є повна за Райковим та для довільної (гаусдорфової) групової топології на G фактор-група /G є періодичною, де є поповнення за Райковим групи (G, ).

Практичне значення одержаних результатів. Отримані в дисертаційній роботі результати мають теоретичний характер і можуть знайти застосування у функціональному аналізі та топологічній алгебрі. Вони можуть бути використані у Львівському національному університеті, Інституті математики НАН України, Інституті прикладних проблем механіки і математики НАН України.

Особистий внесок здобувача. Всі наукові результати, включені у дисертацію, одер-жа-ні здобувачем самостійно. Деякі з результатів опубліковані у співавторстві з Т. Банахом та Є.Рєзніченко.

Апробація результатів дисертації. Основні результати дисертації до-по-ві-да-лись на Львівському міському топологічному семінарі (м. Львів, 1999-2002 рр.); на семінарі з топологічної алгебри в Інституті прикладних проблем механіки і математики НАН України (м. Львів, 1999-2002 рр.); на Міжнародній конференції з функціонального аналізу, присвяченій 110-річчю Стефана Банаха (м. Львів, 28-31 травня 2002 р.); на Наукових читаннях, присвячених пам'яті академіка Я. С. Підстригача (м. Львів, 23-24 травня, 2002 р.); на Українському математичному конгресі (м. Київ, 2001 р.); на Третій Міжнародній алгебраїчній Конференції в Україні, (м. Суми, 2-8 липня 2001 р.).

Публікації. Основні результати дисертації опубліковано у роботах [1–8], з яких 3 – у виданнях з переліку, затвердженого ВАК України.

Структура та об’єм дисертації. Дисертація складається зі вступу, шести роз-ді-лів, висновків і списку використаних джерел. Обсяг дисертації – 125 сторінок. Спи-сок використаних джерел включає 105 найменувань.

Автор висловлює щиру подяку своєму науковому керівникові Ігорю Йосиповичу Гурану, який надихнув мене на написання цієї роботи.

ОСНОВНИЙ ЗМІСТ ДИСЕРТАЦІЇ

Коротко охарактеризуємо зміст роботи.

У вступі обґрунтована актуальність дисертаційного дослідження, визначена ме-та і об’єкти дослідження. Основна частина дисертації поділена на 7 розділів.

У розділі 1 робиться огляд літератури і дається короткий виклад результатів дисертаційної роботи.

Розділ 2 присвячений загальним властивостям паратопологічних та напівтопологічних груп. Розглянуто поведінку цих груп по відношенню до стандартних операцій: множення, взяття підгруп, неперервних гомоморфізмів та ін.

Досліджені спільні властивості паратопологічних та топологічних груп. Розглянуто властивості паратопологічних груп з різними аксіомами відокремлення. Встановлено залежності між різними топологіями на групі. Розглянуто паратопологічні групи гомеоморфізмів топологічних просторів, наділені set-set топологією.

І.Й. Гуран ввів наступний клас паратопологічних груп. Паратопологічна група G називається насиченою, якщо для кожного околу UG одиниці, множина має непорожню внутрішність в G. Стандартним прикладом насиченої паратопологiчної групи з розривним взяттям оберненого елемента є стрілка Зоргенфрея. І.Й. Гуран сформулював наступне питання: чи кожна берівська регулярна паратопологічна група G – насичена? У роботі побудовано приклад нульвимірної гаусдорфової берівської паратопологiчної групи G з першою аксіомою зліченності, яка містить непорожню відкриту множину UG таку, що int U-1=, тобто не є насиченою.

Топологічний простір називається квазірегулярним, якщо довільна непорожня відкрита підмножина містить замикання деякої непорожньої відкритої множини.

Твердження 2.11. Довільна насичена паратопологічна група є квазі-регулярною.

Груповою корефлексією паратопологiчної групи (G,) називається найслабша групова топологія q на групі G, сильніша за . Є. Рєзніченко сформулював наступне питання. Чи можна довільну гаусдорфову паратопологічну групу (G,) вкласти в добуток (G1,1)(G2,2) паратопологічних груп, де топологія 1q дискретна і

(G2,2) – топологічна група? Побудовано приклад, який дає негативну відповідь на це питання.

Розділ 3 присвячений дослідженню кардинальних інваріантів напівтопологічних та паратопологічних груп. Функція , визначена на класі C паратопологічних груп, називається кардинальною функцією, якщо вона ставить у відповідність кожному члену GC нескінченне кардинальне число (G).

Наведемо означення тих кардинальних функцій, які використовуються в даній роботі. Зауважимо, що у наведених нижче означеннях min*{}=min{} і sup*{}=sup{}.

Вага:w(G)=min*{|U|:U – відкрита база топології простору G}.

Сім’я B відкритих підмножин називається -базою простору G, якщо для довільної відкритої підмножини U в G існує підмножина VB така, що VU.

-вага: w(G)=min*{|B|:B – -база G}.

Екстент: e(G)=sup*{|S|:SG, S – замкнений дискретний підпростір в G}.

Індекс прекомпактності:. Нехай – кардинал. Напівтопологічна група G є ліво (право) -прекомпактною, якщо для довільної відкритої множини U, існує множина AG така, що |A| і AU=G (UA=G). Напівтопологічна група є ліво (право) прекомпактною, якщо для довільної відкритої множини U існує скінченна множина AG така, що AU=G (UA=G), і є прекомпактною якщо вона одночасно є ліво і право прекомпактною. Підмножина K напівтопологічної групи G є ліво (право) прекомпактною, якщо для довільної відкритої множини UG існує скінченна множина AK, така AUK (UAK). Підмножина K напівтопологічної групи G є ліво (право) наслідково прекомпактною, якщо довільна множина LK є ліво (право) прекомпактною. Покладемо prl(G)=min*{Card: G є ліво -прекомпактна}. Аналогічно визначається функція prr(G).

Клітковість: c(G)=sup*{|U|:U – диз'юнктна сім'я відкритих підмножини в G}.

Слабе число Ліндельофа: wl(G)=min*{Card: для довільного відкритого покриття V простору G існує підсім'я UV така, що =G і |U|}.

Сім'я U називається сіткою топологічного простору G, якщо для довільної точки xG і довільного околу точки x існує множина WU така, що xWV.

Сіткова вага: nw(G)=min*{|U|:U – сітка для G}.

Характер: (G)=min*{|B|:B – база околів одиниці групи G}.

Сім'я B відкритих підмножин простору G називається p-базою в точці x, якщо для довільної відкритої підмножини U, яка містить x, існує множина VB така, що VU.

p-характер: p(G)=min*{|B|:B – p-база в одиниці групи G}.

Щільність: d(G)= min*{|S|:SG, =G}.

Твердження 3.1. Довільна ліво прекомпактна паратопологічна група є право прекомпактною і насиченою. Довільна ліво -прекомпактна берівська паратопологічна група є право -прекомпактною.

Підмножина A групи G є інваріантною, якщо A=x-1Ax для довільного елемента xG. Паратопологічна група G називається SІN-групою, якщо група G має базу околів одиниці, яка складається з інваріантних околів. Груповою рефлексією паратопологічної групи (G,) називається найсильніша групова топологія g на групі G, слабша за .

Відомо, що для топологічної групи G справджується нерівність wl(G,)(G,)l(G,). Вдалося отримати наступне узагальнення цього факту для паратопологічних груп.

Твердження 3.2. Нехай (G,) – паратопологічна SІN-група. Тоді wl(G,)(G,)l(G,g).

І. Й. Гуран сформулював наступне питання: Нехай G – паратопологічна група і c(G) (відповідно wl(G)). Чи є група G -прекомпактною? У роботі побудований приклад нульвимірної гаусдорфової паратопологічної групи G з першою аксіомою зліченності такої, що c(G) і wl(G), але група G не є -прекомпактною.

Доведено, що w(G)=(G)prl(G) для кожної паратопологічної групи G.

Твердження 3.6. Якщо G є T1-паратопологічною групою, то w(G)=(G)l(G2).

У розділі 4 досліджується проблема метризовності паратопологічних груп. Добре відомо, що T0-топологічна група G є метризовною ліво-інваріантною метрикою тоді і тільки тоді, коли група G має зліченний характер. Марін та Ромагуера довели, що паратопологічна група G є квазі-метризовною ліво-інваріантною квазі-метрикою тоді і тільки тоді, коли група G має зліченний характер.

Твердження 4.2. Паратопологічна група G є квазі-метризовною двосторонньо-інваріантною квазі-метрикою тоді і тільки тоді, коли група G має зліченний характер та є SІN-групою.

Твердження 4.3. Якщо паратопологічна група G метризовна ліво-інваріантною метрикою, то G – топологічна група.

Наведено приклад метризовної паратопологічної групи, яка не є топологічною групою.

У розділі 5 вивчається неперервність операцій у групах, наділених топологією. Розглянуто наступні питання. Коли паратопологічна група є топологічною групою?

Коли напівтопологічна група є паратопологічною групою? Коли топологічна напівгрупа зі скороченням є групою? Коли напівтопологічна напівгрупа зі скороченням є групою? Наведений огляд відомих результатів з цієї проблематики.

У другій частині розділу наведені наступі результати

Отримані достатні умови, коли паратопологічна група є топологічною групою. Побудовані приклади, які вказують на необхідність цих умов для певних класів топологічних просторів.

1. Паратопологічна група G є топологічною групою тоді і тільки тоді, коли для довільного околу V одиниці int .

2. Нехай G – паратопологічна група, така, що для довільного околу U одиниці існує натуральне число n таке, що nG={xn: xG}U. Тоді G – топологічна група.

Твердження 5.3. Нехай G – паратопологічна група і H – нормальна підгрупа групи G. Якщо H та G/H – топологічні групи, то G – теж топологічна група.

Класична теорема Елліса стверджує, що довільна локально компактна регулярна паратопологічна група є топологічною групою. Отримане наступне узагальнення цього факту.

Твердження 5.5. Довільна локально компактна паратопологічна група є топологічною групою.

Нехай G – топологічний простір. Покладемо Ca(G)=min{|U|: U – сім'я ніде не щільних підмножин простору G і G=U}. Є.Рєзніченко та автор у праці [3] довели, що кожна T1 берівська паратопологічна група G така, що e(GG) є топологічною групою. В дисертації доведене наступне узагальнення цього результату.

Твердження 5.9. Нехай G – паратопологічна група, яка є T1-простором і існує відкрита підмножина U групи G така, що e({(x,x-1):xU})<Ca(G). Тоді G – топологічна група.

Якщо відмовитись від обмеження, що простір паратопологічної групи є T1-простором, то справджується наступне твердження.

Твердження 5.10. Нехай G – паратопологічна група і s(G2)<Ca(G). Тоді G – топологічна група.

І. Й. Гуран сформулював задачу: чи кожна берівська регулярна напівтопологічна група зліченного характеру є паратопологічною групою? В дисертації побудовано приклад берівської цілком регулярної напівтопологічної групи зліченного характеру, яка не є паратопологічною групою.

Нехай (X,) – топологічний простір. Через S(X) позначимо множину всіх відображень з X в . Введемо наступні позначення: So(X)={gS(X): xg(x) для всіх xX}, Sd(X)={gS(X): xint для всіх xX}, Sc(X)={gS(X): x для всіх xX}. Для відображення gS(X) і підмножини M простору X покладемо g(M)=g(x). Визначимо асоціативну операцію на множині S(X): для довільних відображень g, hS(X) і точки xX покладемо gh(x)=h[g(x)]. Легко перевірити, що множини So(X), Sd(X) і Sc(X) є піднапівгрупами напівгрупи S(X) відносно цієї операції.

Нехай n – натуральне число і e – один з індексів c або d. Топологічний простір X називається -простором, якщо для довільних відображень gSe(X) і hSo(X) існують точки x, yX такі, що yg(x) і xhn(y). Зрозуміло, що кожний -простір є -простором. Топологічний простір X називається -простором, якщо для довільних відображень gSe(X) і hSo(X) існують точки x, yX такі, що yg(x) і x. Довільний -простір є -простором і довільний -простір є -простором.

Введені класи просторів є достатньо широкими. Довільний берівський квазірегулярний -простір (зокрема квазірегулярний зліченно-компактний; регулярний -простір; регулярний w-простір; регулярний p-простір; морівський простір; регулярний M-простір; повний за Чехом простір) є -простором. Довільний -простір є берівським.

Довільна паратопологічна група G яка є -простором для деякого натурального n, є топологічною групою.

Твердження 5.13. Довільний берівський простір з другою аксіомою зліченності є -простором.

Топологічний простір називається псевдокомпактним, якщо довільна локально скінченна сім'я відкритих підмножин цього простору є скінченною. Тихонівський простір є псевдокомпактним тоді і тільки тоді, коли довільна дійснозначна неперервна функція на цьому просторі є обмеженою. Довільний зліченно компактний простір є псевдокомпактним. Довільний регулярний берівський -простір та довільний регулярний псевдокомпактний простір є -просторами.

Довільна квазірегулярна паратопологічна група G, яка є -простором для деякого натурального n, є топологічною групою.

Кюнці, Ромагуера та Сіпачева сформулювали наступне питання: нехай (G,) – паратопологічна група і існує непорожня відкрита наслідково ліво прекомпактна множина UG. Чи є (G,) топологічною групою? Кюнці, Ромагуера та Сіпачева отримали позитивну відповідь на це питання у випадку регулярної групи G. У дисертації побудований приклад, який дає негативну відповідь на це питання і отримане наступне посилення результату Кюнці, Ромагуери та Сіпачевої.

Твердження 5.14. Нехай (G,) – паратопологічна група і існує непорожня відкрита множина UG така, що – наслідково ліво прекомпактна. Тоді (G,) – топологічна група.

У дисертації доведено, що довільна ліво прекомпактна паратопологічна група, яка є -простором для деякого натурального n, є топологічною групою. Отже, довільна зліченно компактна -прекомпактна паратопологічна група є топологічною групою.

Побудований приклад функціонально гаусдорфової псевдокомпактної паратопологічної групи з першою аксіомою зліченності, яка не є топологічною групою.

Гаусдорфова паратопологічна група G називається H-замкненою, якщо вона є замкненою у довільній гаусдорфовій паратопологічній групі, яка містить G як підгрупу. У розділі 6 досліджуються H-замкнені паратопологічні групи, переважно абельові.

Для випадку абельової топологічної групи отримано наступний критерій H-замкненості.

Теорема 6.4. Абельова топологічна група (G,) є H-замкнена у класі паратопологічних груп тоді і тільки тоді коли (G,) є повна за Райковим та для довільної (гаусдорфової) групової топології на G, фактор-група /G є періодичною, де є поповнення за Райковим групи (G,).

Наслідок 6.5. Поповнення за Райковим ізоморфного ущільнення H-замкненої абельової топологічної групи є H-замкненою топологічною групою.

Нехай G – повна за Райковим топологічна група, а H її H-замкнена у класі паратопологічних груп підгрупа. Якщо група G/H має скінченну експоненту, то G є H-замкненою групою у класі паратопологічних груп.

Нехай G – паратопологічна група і K – компактна нормальна підгрупа групи G. Якщо група G/K – H-замкнена, то група G – теж H-замкнена.

Твердження 6.6. Нехай (G,) є абельовою паратопологічною групою. Якщо (G,g) – H-замкнена, то і (G,) – H-замкнена. Якщо (G,) – H-замкнена та (G,g) – повна за Райковим, то (G,g) – H-замкнена (через (G,g) позначена групова рефлексія групи (G,)).

Доведено, що замкнена підгрупа H-замкненої абельової групи є H-замкнена.

Отримані наступні результати про будову H-замкнених абельових топологічних груп.

Твердження 6.8. Нехай G – H-замкнена абельова топологічна група. Тоді K=nN – компакт, і для кожного околу U нуля в G існує натуральне n таке, що K+U.

Наслідок. Подільна абельова H-замкнена топологічна група – компактна.

Твердження 6.9. Довільна H-замкнена абельова топологічна група є об'єднанням компактних груп.

Тарас Банах сформулював наступну гіпотезу: абельова топологічна група G є H-замкненою тоді і тільки тоді, коли G – повна за Райковим і група nG є цілком обмежена для деякого натурального n.

У частковому випадку вдалося отримати підтвердження цієї гіпотези. Доведено, що гіпотеза Банаха справджується, якщо топологічна група (G,) задовольняє наступні умови:

(1) Існує -компактна підгрупа L групи G така, що група G/L – періодична.

(2) Існує групова топологія на групі G така, що поповнення за Райковим групи (G, ) є берівським простором.

Розділ 7 присвячений послабленню топології на паратопологічній групі до гаусдорфової групової.

Доведено, що довільна гаусдорфова кільцева SІN-топологія на тілі може бути послаблена до гаусдорфової тілової SІN-топології.

І. Й. Гуран сформулював питання: чи кожна гаусдорфова топологія паратопологічної групи може бути послаблена до гаусдорфової групової? Побудований приклад паратопологічної групи з нульвимірною гаусдорфовою топологією, яка не може бути послаблена до гаусдорфової групової топології.

Нехай (G,) – паратопологічна група і B – база околів одиниці групи (G,). Група (G,) називається 2-осцилюючою (відп. 3-осцилюючою), якщо множини UU-1

(відп. UU-1U) з UB утворюють базу околів одиниці топологічної групи (G,g).

Паратопологічна група (G,) називається b-віддільною, якщо її групова рефлексія (G,g) гаусдорфова. Паратопологічна група G називається паратопологічною LSІN-групою, якщо для довільного околу U одиниці групи G існує окіл WG одиниці такий, що g-1WgU для довільного gW. Ясно, що кожна топологічна група є паратопологічною LSІN-групою.

Доведено, що кожна паратопологічна SІN-група є паратопологічною LSІN-групою. Навпаки, кожна ліво прекомпактна паратопологічна LSІN-група є паратопологічною SІN-групою.

Твердження 7.7. Клас паратопологічних 2-осцилюючих груп містить всі топологічні групи, всі паратопологічні LSІN-групи і всі насичені паратопологічні групи.

Підмножину F паратопологічної групи (G,) будемо називати b-замкненою, якщо F замкнена в топології g. Скажемо, що паратопологічна група є b-регулярною, якщо кожний окіл U одиниці групи G містить b-замкнений окіл одиниці.

Твердження 7.8. Довільна гаусдорфова (регулярна) 3-осцилююча паратопологічна група G є b-віддільною (і b-регулярною).

ВИСНОВКИ

У дисертації автором отримані наступні результати.

1. Встановлені взаємозв’язки між груповими топологіями та топологіями паратопологічної групи на групі.

2. Досліджені кардинальні інваріанти паратопологічних та напівтопологічних груп.

3. Отримані достатні умови, коли паратопологічна група є топологічною групою. Побудовані приклади, які вказують на необхідність цих умов для певних класів топологічних просторів.

4. Доведено, що довільна локально компактна паратопологічна група є топологічною групою. Побудована берівська цілком регулярна напівтопологічна група із зліченним характером, яка не є паратопологічною групою.

5. Побудований приклад паратопологічної групи з нульвимірною гаусдорфовою топологією, яка не може бути послаблена до гаусдорфової групової топології.

6. Доведено, що абельова топологічна група (G,) є H-замкнена у класі паратопологічних груп тоді і тільки тоді, коли (G,) є повна за Райковим та для довільної (гаусдорфової) групової топології на G фактор-група /G є періодичною, де є поповнення за Райковим групи (G,).

СПИСОК ОПУБЛІКОВАНИХ РОБІТ ЗА ТЕМОЮ ДИСЕРТАЦІЇ

1. Ravsky O. V. Paratopological groups I // Matematychni Studii. – 2001. – 16, №1 – P.37-48.

2. Ravsky O. V. Paratopological groups II // Matematychni Studii. – 2002. – 17, №1 – P.93-101.

3. Ravsky O. V., Reznichenko E. A. The continuity of inverse in groups // International Conference on Functional Analysis and its Applications Dedicated to the 110th anniversary of Stefan Banach, Book of Abstracts, May 28-31. – Lviv, 2002. – P.170-172.

4. Ravsky O. V. The periodicity and the continuity of the inverse in paratopological groups // Наукові читання, присвячені пам'яті академіка Я. С. Підстригача, 23-24 травня, 2002 р. – Львів, 2002. – С.13-14.

5. Ravsky O. V. On H-closed paratopologіcal groups // Вісник Львівського університету, серія механіко-математична. – Львів, 2003. – 61. – C.172–179.

6. Banakh T. O., Ravsky O. V. Oscyllator topologіes on paratopologіcal groups and related group іnvarіants // Алгебраические структуры и их приложения. – Київ: Інститут математики НАНу, 2002. – С.140–153.

7. Ravsky O. V. An example of a Hausdorff paratopological group having no weaker Hausdorff group topology // Третя Міжнародна алгебраїчна Конференція в Україні, 2-8 липня 2001 р. – Суми, 2001. – P.98-99.

АНОТАЦЇЇ

Равський О.В. Тополого-алгебраїчні властивості паратопологічних груп. – Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01.01.06 – алгебра і теорія чисел. – Київський національний уні-вер-ситет імені Тараса Шевченка, Київ, 2002.

У роботі встановлені взємозв'язки між груповими топологіями та топологіями паратопологічної групи на групі. Досліджені кардинальні інваріанти пара-топологічних та напівтопологічних груп. Отримані достатні умови коли паратопологічна група є топологічною групою. Побудовані приклади, які вказують на необхідність цих умов для певних класів топологічних просторів. Доведено, що довільна локально компактна паратопологічна група є топологічною групою. Побудована берівська цілком регулярна напівтопологічна група зі зліченним характером, яка не є паратопологічною групою. Побудований приклад паратопологічної групи з нульвимірною гаусдорфовою топологією, яка не може бути послаблена до гаусдорфової групової.

Ключові слова: паратопологічна група, напівтопологічна група, кардинальний інваріант, неперервність інверсії.

Равский А.В. Тополого-алгебраические свойства паратопологических групп. – Рукопись.

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.01.06 – алгебра и теория чисел. – Киевский национальный уни-вер-ситет имени Тараса Шевченко, Киев, 2002.

В работе установлены связи между групповыми топологиями и топологиями паратопологической группы на группе. Исследованы кардинальные инварианты паратопологических и полутопологических групп. Получены достаточные условия, когда паратопологическая группа является топологической группой. Построены примеры, которые показывают необходимость этих условий для определенных классов топологических пространств. Доказано, что произвольная локально компактная паратопологическая группа является топологической группой. Построена бэровская вполне регулярная полутопологическая группа со счетным характером, не являющаяся топологической группой. Построен пример паратопологической группы с нульмерной хаусдорфовой топологией, которая не может быть ослаблена до хаусдорфовой групповой топологии.

Ключевые слова: паратопологическая группа, полутопологическая группа, кардинальный инвариант, непрерывность инверсии.

Ravsky O.V. The topological and algebraical properties of paratopological groups. – Manuscript.

Thesis of dissertation for obtaining the degree of candidate of sciences in physics and mathematics, speciality 01.01.06 – algebra and number theory. – Kyiv National Taras Shevchenko University, Kyiv, 2002.

In the dissertation are investigated properties of semitopological and paratopological groups. Considered the behavior of these groups with relation to the standard operations: products, subgroups, continuous homomorphisms etc. Investigated the properties which are common of both topological and paratopological groups. Investigated the properties of the paratopological groups with different separation axioms. Established the relations between different topologies on a group. Considered the paratopological groups of homeomorphisms of a topological space endowed with the set-set topology.

Investigated the cardinal invariants of the semitopological and paratopological groups.

Considered metrization-like properties of paratopological group. We show that a paratopological group is quasimetrizable by a two-side invariant metric if and only if it is a first countable SIN-group. Also it is proved that every paratopological group metrizable by a left invariant metric is a topological group.

Investigated the continuity in paratopological groups. We consider the following questions. When a paratopological group is a topological group? When a semitopological group is a paratopological group? When a cancellative topological semigroup is algebraically a group? When a cancellative semitopological semigroup is algebraically a group? Are listed all known results about these questions. Obtained some necessary and sufficient conditions when paratopological group is a topological group. It is proved that every locally compact paratopological group is a topological group, which generalizes the well-known Ellis theorem that every locally compact regular paratopological group is a topological group. It is constructed a first countable Baire Tychonoff semitopological group which is not a topological group.

A Hausdorff paratopological group is H-closed provided it is closed in every Hausdorff paratopological group containing it as a subgroup. Obtained the criterion when an abelian topological group is H-closed in the class of paratopological groups. It is showed that the Rajkov completion of an isomorphic condensation of H-closed abelian topological group is H-closed. We found the necessary and sufficient conditions when a topological group is H-closed in the class of paratopological groups. We prove that a closed subgroup of an H-closed abelian group is H-closed. It is formulated the following conjecture: an abelian topological group G is H-closed if and only if G is Rajkov complete and nG is precompact for some natural . It is proved that the conjecture is true if G is divisible or periodic Baire.

Investigated the condensations of Hausdorff paratopological groups. It is showed that every Hausdorff SIN-topology of a paratopological group can be weakened to a Hausdorff group SIN-topology. Constructed an example of a paratopological group with zero-dimensional Hausdorff topology, which cannot be weakened to a Hausdorff group topology.

Key words: paratopological group, semitopological group, cardinal invariant, continuity of the inverse.

Підписано до друку 14.10.2003 р. Формат 60x84/16. Папір офсетний. Друк офсетний. Ум. друк. арк. 1.0. Наклад 100.Зам. 353.

Надруковано у видавництві Львівського національного університету

імені Івана Франка.

79000, м. Львів, вул. Університетська, 1