НАЦІОНАЛЬНА АКАДЕМІЯ НАУК УКРАЇНИ
ІНСТИТУТ МАТЕМАТИКИ

СТЕПАНЕНКО Наталія Вікторівна

УДК 517.9

ЗНАКОЗМІННІ ФУНКЦІЇ ЛЯПУНОВА В ТЕОРІЇ

ДИФЕРЕНЦІАЛЬНИХ РІВНЯНЬ

01.01.02 – диференціальні рівняння

Автореферат

дисертації на здобуття наукового ступеня

кандидата фізико-математичних наук

Київ 2003

Дисертацією є рукопис

Робота виконана в Інституті математики НАН України

Науковий керівник

академік НАН України,

доктор фізико-математичних наук, професор

САМОЙЛЕНКО Анатолій Михайлович,

Інститут математики НАН України,

директор інституту

Офіційні опоненти:

доктор фізико-математичних наук, професор

Петришин Роман Іванович,

Чернівецький національний університет імені Юрія Федьковича,

декан математичного факультету

кандидат фізико-математичних наук, доцент

Грод Іван Миколайович,

Тернопільський державний педагогічний університет,

доцент кафедри інформатики і методики викладання інформатики

Провідна установа: Київський національний університет ім. Тараса Шевченка, кафедра математичної фізики

Захист відбудеться “17червня 2003р. о 15 годині на засіданні спеціалізованої вченої ради Д 26.206.02 в Інституті математики НАН України за адресою: 01601, м.Київ, вул. Терещенківська, 3.

З дисертацією можна ознайомитись у бібліотеці Інституту математики НАН України (01601, м.Київ, вул. Терещенківська, 3).

Автореферат розісланий “13” травня 2003р.

Вчений секретар

спеціалізованої вченої ради Пелюх Г.П.

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальність теми. Однією з важливих галузей математики є теорія нелінійних коливань, яка виникла при дослідженні задач фізики, техніки, біології і т.д. Математичні дослідження нелінійних коливань вперше почали проводись в роботах Пуанкаре, який досліджував структуру розв’язків диференціальних рівнянь у фазовому просторі на двовимірному торі. Дослідження в цьому напрямку виявились надзвичайно плідними, тому пізніше вже досліджувались структури інтегральних кривих на m- вимірному торі.

Основоположниками сучасної теорії нелінійних коливань вважають Крилова М.М. і Боголюбова М.М., які першими отримали глибокі результати в теорії інваріантних многовидів систем нелінійної механіки. Пізніше ідеї, висловлені ними, знайшли застосування в роботах Ю.О.Митропольського і вилились в метод інтегральних многовидів нелінійної механіки. Це призвело до подальшого розвитку цієї теорії і отримання багатьох глибоких результатів.

Початком нового циклу досліджень стала робота А.М.Самойленка, в якій введено поняття функції Гріна (Гріна-Самойленка) задачі про інваріантні тори лінійного розширення динамічної системи. Поняття функції Гріна-Самойленка дало поштовх до нових досліджень. Ефективним методом дослідження питання існування функцій Гріна-Самойленка виявився метод знакозмінних функцій Ляпунова, які розглядаються у вигляді квадратичних форм. Розвитку цього напрямку присвячено роботи багатьох вчених.

Дослідження множин знакозмінних функцій Ляпунова в теорії регулярних на осі лінійних систем диференціальних рівнянь і лінійних розширень динамічних систем на торі є досить перспективною і актуальною темою, оскільки ці дослідження дають можливість відповідати на питання величини збурення, яке не порушує властивості регулярності лінійних систем і лінійних розширень динамічних систем на торі. Слід зазначити, що результати, отримані в даному напрямку, мають досить важливе значення не тільки в теорії інваріантних і інтегральних многовидів, а також в теорії оптимального керування і теорії автоматичного регулювання.

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами.

Робота проводилась в Інституті математики НАН України згідно з загальним планом дослідження в рамках науково-дослідної роботи "Методи аналізу диференціальних, імпульсних та еволюційних рівнянь". Номер держреєстрації 0198U001998.

Мета і задачі дослідження. Метою даної роботи є дослідження множин квадратичних форм, похідна яких вздовж розв'язків лінійних розширень динамічних систем на торі є знаковизначеною. Провести аналогічні дослідження для лінійних систем диференціальних рівнянь.

Основні задачі дослідження:

1. Виділити і дослідити класи лінійних розширень динамічних систем, які залишаються регулярними при будь-яких збуреннях фазових змінних і при цьому не існує квадратичної форми з постійними коефіцієнтами, яка має знаковизначену похідну в силу відповідної системи. Побудувати аналог отриманих результатів для лінійних систем диференціальних рівнянь зі змінними коефіцієнтами.

2. Дослідити множини функцій Ляпунова, які зображуються в інтегральному вигляді.

3. Знайти необхідні і достатні умови регулярності лінійних канонічних систем диференціальних рівнянь і відповідних лінійних розширень динамічних систем на торі.

Наукова новизна одержаних результатів. Основні результати, які визначають наукову новизну і виносяться на захист, такі:

1. Встановлено, що існують лінійні розширення динамічних систем на торі, які є регулярними при довільних фіксованих вектор-функціях a()CLip(Tm) і, в той же час, для них не існує квадратичних форм з постійними коефіцієнтами, які мають знаковизначену похідну.

2. Для лінійних розширень динамічних систем на торі знайдено класи матриць A() таких, що при довільних фіксованих вектор-функціях a()CLip(Tm) відповідна система є регулярною і зберігає цю властивість при розширенні кількості фазових змінних.

3. Досліджено множини квадратичних форм, що зображуються в інтегральному вигляді, залежних від двох різних додатно визначених симетричних матриць. Встановлено, що для спряжених до строго слабо регулярних систем множини з двома симетричними матрицями є більш широкими, ніж множини з однією матрицею.

4. Досліджено властивість регулярності лінійних розширень динамічних систем на торі, нормальні змінні яких записано в канонічному вигляді. В термінах двох функцій Ляпунова знайдено нові умови регулярності лінійних розширень динамічних систем на торі та лінійних систем диференціальних рівнянь.

Практичне значення одержаних результатів. Дисертаційна робота має теоретичний характер. Отримані в роботі результати можуть бути застосовані при розв'язуванні багатьох прикладних задач небесної механіки, фізики, а також використані в теорії управління і автоматичного регулювання.

Особистий внесок здобувача. Всі основні результати дисертації отримано дисертантом особисто. Визначення загального плану діяльності і постановка задач належать науковому керівнику – А.М.Самойленку. Результати робіт, написаних у співавторстві з В.Л.Куликом і А.М.Самойленком, були отримані автором самостійно, співавторам належать вибір напрямку досліджень, постановка задач та обговорення теоретичних результатів.

Апробація результатів дисертації. Результати дисертації доповідались і обговорювались на семінарах відділу диференціальних рівнянь та теорії коливань Інституту математики НАН України, а також на конференціях:

-

- Українському математичному конгресі (Київ, 21-23 серпня 2001 р.);

- Дев’ятій Міжнародній науковій конференції ім. акад. М.Кравчука (Київ, 16-19 травня 2002 р.);

- VI Кримській Міжнародній математичній школі (м.Алушта, 2002р.).

Публікації. Основні результати дисертації опубліковано в роботах [1–6] і тезах міжнародних конференцій [7–10].

Структура та об’єм дисертації. Дисертація складається зі вступу, чотирьох розділів та списку використаних джерел і містить 127 сторінок друкованого тексту. Список використаних джерел містить 92 найменування.

ОСНОВНИЙ ЗМІСТ

У вступі подано огляд робіт, пов’язаних із темою дисертації, обґрунтовано актуальність теми, сформульовано мету дослідження, наведено стислу анотацію отриманих результатів.

Перший розділ присвячений огляду літератури. В ньому окреслено основні етапи розвитку наукової думки, проведено аналіз робіт попередників.

Другий розділ складається з чотирьох підрозділів, присвячених дослідженню питання збереження регулярності при розширенні кількості фазових змінних для лінійних розширень динамічних систем на торі, а також регулярності лінійних систем диференціальних рівнянь, які залежать від двох параметрів.

В першому підрозділі наведено вже відомі результати, що стосуються лінійних розширень динамічних систем на торі. Так називають системи вигляду:

, (1)

де =(1, 2,,m), x= (x1,, xn)Rn, a(), f() – вектор-функції, A() – nn-вимірна матриця, елементами якої є неперервні 2- періодичні функції від . Оскільки праві частини системи (1) є періодичними функціями по змінних j , то часто говорять, що функції A(), f() задані на m-вимірному торі Tm. Припустимо, що вектор-функція a() задовольняє умову Ліпшиця, простір таких функцій позначаємо через CLip(Tm), C(Tm)–простір неперервних по сукупності змінних функцій A(), f(). Оскільки a()CLip(Tm), то задача Коші

має єдиний розв’язок t() при кожному фіксованому значенні Tm і цей розв’язок є визначеним при всіх tR і неперервно залежить від початкових умов. Позначимо через підпростір простору неперервних функцій C(Tm), який складається з таких функцій F(), що суперпозиція F(t()) є неперервно диференційовною функцією по t і за означенням .

Означення 1. Говорять, що система рівнянь (1) має інваріантний тор, який задається рівністю x=U(), якщо і виконується тотожність .

Поряд з системою (1) запишемо систему рівнянь (f0)

. (2)

Позначимо через фундаментальну матрицю розв’язків лінійної системи рівнянь: , нормовану в точці , де In n-вимірна одинична матриця.

Означення 2. Система (2) має функцію Гріна-Самойленка G0(,), якщо існує nn-вимірна матриця C()C(Tm) така, що для функції

(3)

виконується оцінка

||G0(,)|| Kexp{-||} (4)

з додатними постійними K,, незалежними від Tm , R.

Означення 3. Систему диференціальних рівнянь (2) називають регулярною, якщо вона має єдину функцію Гріна-Самойленка (3). Якщо ж відомо тільки те, що система (2) має принаймні одну функцію (3) з оцінкою (4), то цю систему називають слаборегулярною. У випадку, коли відомо, що система (2) має безліч різних функцій Гріна-Самойленка, таку систему називають строго слаборегулярною.

Відомо [47], що необхідною і достатньою умовою регулярності системи (2) є існування квадратичної форми

V=S()x,x(5)

з неперервно диференційовною, невиродженою симетричною матрицею коефіцієнтів S()C1(Tm), похідна якої в силу системи (2) є додатно визначеною

. (6)

У цьому випадку можна записати іншу квадратичну форму

, (7)

де , похідна якої в силу спряженої системи

(8)

буде додатно визначеною:

(9)

Існування квадратичної форми (7), яка задовольняє нерівність (9), є необхідною і достатньою умовою слабої регулярності системи (2). У випадку, коли при деяких 0Tm, система (2) буде строго слабо регулярною.

Становить інтерес задача дослідження таких систем диференціальних рівнянь), які є регулярними при будь-яких вектор-функціях a()CLip(Tm). Якщо в квадратичній формі (5) матриця коефіцієнтів S постійна і виконується умова (6), тобто

[SA()+AT()S]x,x||x||2, (10)

то при довільних фіксованих вектор-функціях a()CLip(Tm) система (2) буде регулярною. Виникло питання: чи завжди буде існувати постійна матриця S, для якої виконується умова (10), якщо відомо, що система (2) є регулярною при будь-якій фіксованій вектор-функції a()CLip(Tm)? Виявилось, що це буде так лише у випадку n=1 (коли x–скаляр, A() – скалярна функція). При n2 завжди знайдуться такі матриці A(), що система (2) буде регулярною при будь-якій фіксованій вектор-функції a(), і в той же час не існує постійної симетричної матриці S, для якої виконувалась би умова (9). Найпростіший приклад (n=2) такої матриці , де – скаляр, розглянуто в другому підрозділі другого розділу. Даний приклад ілюструє, що є нетривіальним наступне питання: якщо система (2) є регулярною при кожній фіксованій вектор-функції a()CLip(Tm), то чи буде регулярною система

(11)

де =(1,…,k)Tk, при довільних фіксованих вектор-функціях b1,b2CLip(TmTk)? Повністю відповісти на це питання поки що не вдається. У даній роботі пропонується розглядати різні класи матриць A() таких, що система (2) є регулярною при кожній a()CLip(Tm), при цьому досліджувати квадратичну форму (5) і застосовувати її до системи (11).

В третьому підрозділі проведено дослідження таких класів матриць A():

I.

B()x1, x1 ||x1||2 , ()x2, x2 ||x2||2 , , –додатні сталі,

а для матриці P() існує постійна симетрична матриця S така, що

[SPT()+P()S]x, x –||x||2. (12)

II.

де pi – натуральні числа, =1+2+…+k+, 1 k m, =const, Bi – додатно визначені, а для P() виконується умова (12).

III. ,

де C – деяка постійна невироджена симетрична матриця, Bj(), j=1,…,k, – симетричні матриці, які мають властивості:

.

Скалярні функції j (), j () C1(Tm) мають такі властивості: j () 0, j=1,2,…,k, і для будь-яких сталих K, L існує достатньо велике значення параметра  таке, що при всіх Tm виконується оцінка

,

де ()=min{1,…,k. При цьому припускається, що для матриці P()=CM() виконується умова (12) з деякою постійною матрицею S.

Четвертий підрозділ другого розділу присвячено дослідженню збереження регулярності для лінійних систем диференціальних рівнянь.

Відомо, що лінійна неоднорідна система диференціальних рівнянь

(13)

з неперервною і обмеженою на осі матрицею A(t) (A(t)C(R)) має єдиний обмежений розв’язок при кожній фіксованій вектор-функції f(t)C(R) тоді і тільки тоді, коли існує квадратична форма

(14)

з симетричною, невиродженою, неперервно диференційовною і обмеженою на R матрицею коефіцієнтів S(t), похідна якої в силу відповідної однорідної системи рівнянь

(15)

є додатно визначеною, тобто

. (16)

В цьому випадку систему (15) називають регулярною на осі R. У випадку, коли матриця коефіцієнтів квадратичної форми (14) є постійною, тобто S(t) S=const, нерівність (16) набуде вигляду

, (17)

а це означає, що при довільних фіксованих параметрах система рівнянь

(18)

є регулярною на R. Отже, становить інтерес така задача: якщо система (18) є регулярною на R при будь-яких фіксованих параметрах , то чи завжди існує постійна матриця S, для якої виконувалась би умова (17)? Виявилось, що це не так. У четвертому підрозділі другого розділу виділено клас таких матриць A(t)C(R).

Третій розділ присвячено інтегральному представленню функцій Ляпунова для лінійних розширень динамічних систем на торі і для лінійних систем диференціальних рівнянь.

Припускаючи, що система (2) є регулярною, в першому підрозділі розглядається множина квадратичних форм вигляду

, де

В цьому випадку при довільних фіксованих додатно визначених матрицях H1(), H2()C(Tm) завжди існує матриця H() така, що

і її можна вибрати, наприклад, у вигляді

.

Оскільки припускається, що система (2) є регулярною, то кожна квадратична форма, яка має знаковизначену похідну в силу цієї системи, буде невиродженою. У даному випадку різниця матриць повинна бути невиродженою.

Відомо, що похідна квадратичної форми

W = –[S1(;H1)–S2(;H2)]-1y, y(19)

в силу спряженої системи (8) є додатно визначеною.

З іншого боку, якщо розглянути квадратичну форму

, де (20)

то при довільній додатно визначеній симетричній матриці її похідна в силу системи (8) буде також додатно визначеною. Становить інтерес задача порівняння квадратичних форм (19) і (20). У першому підрозділі третього розділу доведено теорему, яка стверджує, що множини цих квадратичних форм співпадають.

У другому підрозділі показано, що у випадку строгої слабої регулярності множина квадратичних форм з двома матрицями є більш широкою, ніж з однією, тобто не при довільних симетричних додатно визначених матрицях H1(), H2()C(Tm) існує матриця H() така, що

.

В третьому підрозділі проведено аналогічні дослідження множин функцій Ляпунова , що зображуються в інтегральному вигляді, для лінійних систем диференціальних рівнянь.

У першому підрозділі четвертого розділу досліджується регулярність системи вигляду

(21)

. Зауважимо, що у випадку, коли в системі (21) обидві матриці B1,B2 є додатно визначеними

, (22)

система рівнянь (21) регулярна на при будь-якій матриці , оскільки похідна квадратичної форми в силу системи (21) додатно визначена. Виникла задача дослідження регулярності системи (21) при послабленні умов (22), а саме при виконанні умов

,. (23)

Задача ставиться так: які умови повинні задовольняти матриці , крім виконання нерівностей (23), для того, щоб система (21) була регулярною наМає місце наступна теорема.

Теорема 4.1.1. Нехай система рівнянь (15) є регулярною на R. Тоді при будь-яких матрицях , для яких виконуються умови (23) і хоча б одна з яких є симетричною , система рівнянь (21) буде регулярною на R.

Доведення теореми базується на лемі, яка теж має самостійне значення для теорії квадратичних форм.

Лема 4.1.1.. Нехай для деякої nґn-вимірної симетричної матриці B(t)ОC(R) виконується умова

бB(t)x,xсі0 , xОRn, tОR . (24)

Тоді для будь-якої nґn-вимірної матриці H(t)ОC(R) завжди знайдеться достатньо велике значення параметра p>0 таке, що квадратична форма

(25)

буде додатно визначеною:

Слід зазначити, що у випадку, коли матриця В(t) не є симетричною, хоча і виконується умова (24), квадратична форма (25) може і не бути додатно визначеною ні при яких значеннях параметра p>0. Цікавим є той факт, що умовою симетричності хоча б однієї з матриць в умові теореми не можна знехтувати. Наведені в цьому підрозділі приклади показують, що навіть якщо система рівнянь (15) є регулярною, матриці задовольняють умови (23) і не є симетричними, система (21) може і не бути регулярною. Твердження наведеної вище теореми буде справедливим і у випадку, коли умову невід’ємної визначеності обох матриць , замінити на протилежну: .

У другому підрозділі розглядаються питання регулярності на R лінійної системи диференціальних рівнянь, записаної в такому вигляді:

(26)

– деяка симетрична, неперервно диференційовна, обмежена на R, невироджена матриця, BT(t) B(t), MT(t) –M(t), B, MC(R). У випадку, коли n=2n1 – парне і

,

система (26) матиме вигляд (21).

Доведено наступне твердження.

Теорема 4.2.1. Нехай система рівнянь

(27)

при деякій кососиметричній матриці є слаборегулярною (тобто неоднорідна система при кожній фіксованій вектор-функції має хоча б один обмежений на R розв’язок). Тоді система (27) буде регулярною, n=2n1 – парне і система (26) при будь-якій невід'ємній симетричній матриці B(t)C(R) буде також регулярною на R.

У підрозділі 3 розглядаються лінійні розширення динамічних систем вигляду

а також їх узагальнення

і

, (28)

де C()–деяка невироджена симетрична матриця, а матриці B(), M()C(Tm) такі, що

BT()B() , MT()M() , B()x,x. (29)

Доведено наступне твердження.

Теорема 4.3.2. Нехай система (28) при B() є слаборегулярною. Тоді обов’язково вона є регулярною, розмірність n=2n1–парна і при довільній симетричній матриці B()C(Tm) з умовою (29) система (28) буде регулярною.

Також у цьому підрозділі доведено ще більш загальну теорему про регулярність системи (28).

В четвертому підрозділі розглянуто досить важливий приклад, а саме доведено, що система рівнянь

має безліч різних функцій Гріна-Самойленка тоді і тільки тоді, коли виконується така умова:

.

На завершення поданої роботи у п'ятому підрозділі досліджуються умови існування функції Гріна задачі про обмежені розв'язки G(t,,p1,,pm) системи рівнянь

, (30)

де скалярні параметри pjR, Aj – постійні, nn-вимірні матриці.

Доведено наступне твердження.

Теорема 4.5.1. Нехай в системі рівнянь (30) постійні матриці Aj є симетричними і від'ємновизначеними: Ajx,x –||x||2, = const > 0, крім цього виконується умова

при будь-яких цілих числах kj. Тоді система (30) має безліч різних функцій Гріна G(t,,p1,,pm) задачі про обмежені розв'язки з експоненціальною оцінкою ||G(t,,p1,,pm)|| Kexp{-|t-|}, де K, – додатні сталі, незалежні від t,,p1,,pmR.

ВИСНОВКИ

Дисертаційну роботу присвячено вивченню питань існування і інтегрального представлення функцій Ляпунова для лінійних систем диференціальних рівнянь, а також для лінійних розширень динамічних систем. У роботі отримано наступні нові результати:

· Встановлено, що існують лінійні розширення динамічних систем на торі, які є регулярними при довільних фіксованих вектор-функціях a()CLip(Tm) і, в той же час, для них не існує квадратичних форм з постійними коефіцієнтами, які мають знаковизначену похідну.

· Для лінійних розширень динамічних систем на торі знайдено класи матриць A() таких, що при довільних фіксованих вектор-функціях a()CLip(Tm) відповідна система є регулярною і зберігає цю властивість при розширенні кількості фазових змінних.

· Досліджено множини квадратичних форм, що зображуються в інтегральному вигляді, залежних від двох різних додатно визначених симетричних матриць. Встановлено, що для спряжених до строго слабо регулярних систем множини з двома симетричними матрицями є більш широкими, ніж множини з однією матрицею.

· Досліджено властивість регулярності лінійних розширень динамічних систем на торі, нормальні змінні яких записано в канонічному вигляді. В термінах двох функцій Ляпунова знайдено нові умови регулярності лінійних розширень динамічних систем на торі та лінійних систем диференціальних рівнянь.

Одержані результати і методика доведень мають, в основному, теоретичне значення. Строге математичне обґрунтування цих результатів визначає їх достовірність. Результати, отримані в даному напрямку, мають досить важливе значення в теорії інваріантних і інтегральних многовидів, в теорії автоматичного регулювання та в інших областях науки і техніки.

СПИСОК ОПУБЛІКОВАНИХ ПРАЦЬ

ЗДОБУВАЧА ЗА ТЕМОЮ ДИСЕРТАЦІЇ

1. Кулик Н.В. Знакозмінні функції Ляпунова і функція Гріна-Самойленка лінійних розширень динамічних систем // Нелінійні коливання.– 2000. –3, №3. – С.383 – 389.

2. Самойленко А.М., Степаненко Н.В. Про деякі властивості поведінки лінійних розширень динамічних систем на торі при збуренні фазових змінних // Укр. мат. журн. – 2002. –54, №3. – С.408 – 412.

3. Stepanenko N.V. On some properties of the set of Lyapunov’s functions in the theory of linear extensions of dynamical systems on the torus // Nonlinear Oscillations. – 2001. – 4, Num.4. – P.539 – 546.

4. Кулик В.Л., Степаненко Н.В. Про властивість регулярності деяких лінійних розширень динамічних систем на торі // Укр. мат. журн. – 2002. – 54, №4. – С.568 – 574.

5. Кулик Н.В., Кулик В.Л. Про властивість регулярності на осі деяких лінійних систем диференціальних рівнянь. // Вісник Київського національного університету імені Тараса Шевченка (мат., мех.). – 2002. – Вип. 7 – 8. – С.33 – 37.

6. Степаненко Н.В. Регулярні на осі лінійні системи диференціальних рівнянь: Препр./ НАН України. Ін-т математики; 2002.4.– К.:2002. – 47с.

7. Самойленко А.М., Кулик В.Л., Кулик Н.В. Сохранение свойства регулярности линейного расширения динамической системы на торе при возмущениях // Тез. II Междунар. конф. “Проблемы дифференциальных уравнений, анализа и алгебры” (Актобе, 15–19 жовтня 1999). – С. 47.

8. Кулик Н.В. Збереження регулярності при збуренні фазових змінних для лінійних розширень динамічних систем на торі // Український математичний конгрес – 2001: Тези доп. (додатковий том) (Київ 21 – 23 серп. 2001 р.). – Київ, 2001. – С. 12.

9. Степаненко Н.В. Вигляд квадратичних форм для регулярних лінійних систем диференціальних рівнянь // Дев’ята Міжнародна Наукова Конференція ім. акад. М. Кравчука (Київ 16 – 19 трав. 2002 р.). – Київ, 2002. – С. 192.

10. Кулик В.Л., Степаненко Н.В. Функції Ляпунова в теорії лінійних розширень динамічних систем на торі // Тезисы VI Крымской Международной математической школы МФЛ – 2002. – Крым, Алушта, 2002. – С.82.

Автор висловлює щиру подяку своєму науковому керівнику доктору фізико-математичних наук, професору, академіку НАН України Самойленку Анатолію Михайловичу за постановку задач, постійну увагу і допомогу в роботі.

Анотація

Степаненко Н.В. Знакозмінні функції Ляпунова в теорії диференціальних рівнянь. – Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01.01.02 – диференціальні рівняння. Інститут математики НАН України. Київ, 2003.

Дисертаційна робота присвячена вивченню питань існування і інтегрального представлення функцій Ляпунова для лінійних систем диференціальних рівнянь, а також для лінійних розширень динамічних систем.

Встановлено, що існують лінійні розширення динамічних систем на торі, які є регулярними при довільних фіксованих вектор-функціях a()CLip(Tm) і, в той же час, для них не існує квадратичних форм з постійними коефіцієнтами, які мають знаковизначену похідну. Для лінійних розширень динамічних систем на торі знайдено класи матриць A() таких, що при довільних фіксованих вектор-функціях a()CLip(Tm) відповідна система є регулярною і зберігає цю властивість при розширенні кількості фазових змінних. Досліджено множини квадратичних форм, що зображуються в інтегральному вигляді, залежних від двох різних додатно визначених симетричних матриць. Встановлено, що для спряжених до строго слабо регулярних систем множини з двома симетричними матрицями є більш широкими, ніж множини з однією матрицею. Досліджено властивість регулярності лінійних розширень динамічних систем на торі, нормальні змінні яких записано в канонічному вигляді. В термінах двох функцій Ляпунова знайдено нові умови регулярності лінійних розширень динамічних систем на торі та лінійних систем диференціальних рівнянь.

Ключові слова: знакозмінна функція Ляпунова, лінійне розширення динамічних систем на торі, регулярність на осі лінійних систем і лінійних розширень динамічних систем на торі, збурення фазових змінних, функція Гріна-Самойленка.

Abstract

Stepanenko N.V. Variable-polarity Ljapunov’s functions in the theory of differential equations. – Manuscript.

Thesis for the Candidate degree by speciality 01.01.02 – differential equations. Institute of mathematics of NASU. Kyiv, 2003.

The thesis devoted to study the questions of existence and integral conception of Ljapunov’s functions for linear systems of differential equations and for linear expansions of dynamical systems.

It was established that there exist linear expansions of dynamical systems on torus regular at any constant vector function a() and at the same time there is no quadratic form with constant coefficient which would have derivative of fixed sign. For the linear expansions of dynamical systems on torus there were found classes of matrixes A() such that at any constant vector function a() the corresponding system is regular and keeps this feature at the phasic arguments increasing. There were explored the sets of quadratic forms represented in integral form depend on two different symmetric matrixes. It was determined that the sets with two symmetric matrixes conjugated to strictly weakly regular systems are more wide than the sets with the single matrix. The property of regularity of the linear expansions of dynamical systems on torus, normal arguments of which are represented in canonical form were explored. New conditions of regularity for linear expansions of dynamical systems on torus and linear systems of differential equations in terms of two Lyapunov’s functions were found.

Key words: variable-polarity Ljapunov’s function, linear expansions of dynamical systems on torus, regular on axis linear systems and linear expansions of dynamical systems on torus, perturbation of phase variables, Green-Samoilenko’s function.

Аннотация

Степаненко Н.В. Знакопеременные функции Ляпунова в теории дифференциальных уравнений.– Рукопись.

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.01.02 – дифференциальные уравнения. Институт математики НАН Украины, Киев, 2003.

Диссертационная работа посвящена исследованию множеств знакопеременных функций Ляпунова, рассматриваемых в виде квадратичных форм от нормальных переменных для линейных расширений динамических систем на торе. Установлено существование таких линейных расширений, которые при любых изменениях фазовых переменных остаются регулярными, и при этом не существует квадратичной формы с постоянными коэффициентами, которая имела бы знакоопределенную производную в силу исходной системы. В связи с этим возникла задача об исследовании свойства сохранения регулярности линейных расширений динамических систем при добавлении новых фазовых переменных. Это послужило отправной точкой к обнаружению и исследованию новых классов линейных расширений, которые имеют единственную функцию Грина-Самойленко при каждом изменении векторного поля фазовых переменных. Кроме того, предложено рассматривать два множества квадратичных форм со знакоопределенной производной в силу линейных расширений динамических систем. На примерах показано, что эти множества содержат формы, которые удобны в практическом применении. В случае регулярных линейных расширений доказаны утверждения о совпадении предложенных множеств квадратичных форм. Показано, что в случае существования многих различных функций Грина-Самойленко для линейных расширений на торе предлагаемые множества квадратичных форм с двумя различными знакоопределенными матрицами увеличиваются. Рассмотрены вопросы обобщения дополненных систем дифференциальных уравнений до регулярных. При ослабленных условиях на боковые матрицы в предположении симметричности хотя бы одной из них доказана регулярность предлагаемых линейных расширений. Предложены важные примеры, которые указывают на возможности исследования линейных расширений динамических систем, правые части которых представимы рядами Фурье по части фазовых переменных.

Также проведены исследования знакопеременных функций Ляпунова, рассматриваемых в виде квадратичных форм для линейных систем дифференциальных уравнений с непрерывной и ограниченной на всей оси матрицей коэффициентов. Установлено, что существуют экспоненциально дихотомичные на оси линейные системы дифференциальных уравнений, которые сохраняют это свойство для определенного множества замен независимой переменной, и при этом не существует квадратичной формы с постоянными коэффициентами, которая имела бы знакоопределенную производную в силу таких систем, а существуют такие формы только с переменными коэффициентами. Найдены условия регулярности на оси линейных систем каноничного вида и их обобщения. Рассмотрен вопрос о равномерной регулярности на оси систем линейных дифференциальных уравнений, зависящих от многих независимых параметров. Предложено рассматривать множества квадратичных форм в виде интегралов с некоторыми произвольными функциями, стоящими под интегралами. Доказано совпадение таких множеств при условиях регулярности для сопряженных систем.

Ключевые слова: знакопеременная функция Ляпунова, линейное расширение динамических систем на торе, регулярность на оси линейных систем дифференциальных уравнений и линейных расширений динамических систем на торе, возмущение переменных.

Підп. до друку 16.04.2003. Формат 60x90/16. Папір офс. Офс. друк.

Ум. друк. арк. 1,16. Ум. фарбо-відб. 1,16. Обл.-вид. арк. 0,9.

Тираж 100 пр. Зам. 75. Безкоштовно.

Інститут математики НАН України

01601 Київ-4, МСП, вул. Терещенківська, 3