Міністерство освіти і науки України

Львівський національний університет імені Івана Франка

Шувар Орест Богданович

УДК 513.88

ДИФЕРЕНЦІАЛЬНО-ГРАНИЧНІ ОПЕРАТОРИ

В ПРОСТОРАХ ВЕКТОР-ФУНКЦІЙ

01.01.01 – математичний аналіз

АВТОРЕФЕРАТ

дисертації на здобуття наукового ступеня

кандидата фізико-математичних наук

Львів – 2003

Дисертацією є рукопис

Робота виконана у Львівському національному університеті імені Івана Франка на кафедрі математичного і функціонального аналізу

Науковий керівник: доктор фізико-математичних наук, професор

Сторож Олег Георгійович,

професор кафедри математичного і функціонального аналізу

Львівського національного університету імені Івана Франка.

Офіційні опоненти: доктор фізико-математичних наук, професор

Арлінський Юрій Мойсійович,

завідувач кафедри математичного аналізу

Східноукраїнського національного університету (м. Луганськ),

кандидат фізико-математичних наук, старший науковий співробітник

Сироїд Ігор-Петро Петрович,

старший науковий співробітник відділу функціонального аналізу

Інституту прикладних проблем механіки і математики НАН України (м. Львів).

Провідна установа: Інститут математики НАН України (м. Київ),

відділ диференціальних рівнянь з частинними похідними

Захист відбудеться “06” листопада 2003 р. о 1520 год. на засіданні спеціалізованої вченої ради К 35.051.07 у Львівському національному університеті імені Івана Франка за адресою:

79000, м. Львів, вул. Університетська, 1, ауд. 377.

З дисертацією можна ознайомитися у бібліотеці Львівського національного університету імені Івана Франка за адресою: м. Львів, вул. Драгоманова, 5.

Автореферат розісланий 4 жовтня 2003 р.

Вчений секретар спеціалізованої вченої ради _________________Бокало М. М.

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальність теми. Теорія лінійних диференціальних операторів (як зі скалярними, так і з операторними коефіцієнтами) відіграє важливу роль у сучасному функціональному аналізі. Її основні положення викладено у багатьох відомих підручниках і монографіях. Дальшого розвитку ця теорія набула у працях М.Г. Крейна, Ф.З. Зіатдінова, Ф.С. Рофе-Бекетова, В.І. Горбачук, М.Л. Горбачука, А.Н. Кочубея, В.А. Михайлеця, у яких широко застосовувалася і частково розвивалася теорія розширень лінійних операторів у гільбертовому просторі. Відзначимо, що різноманітні питання теорії розширень (зокрема, у зв’язку зі застосуваннями до диференціальних операторів) досліджували також Р.С. Філліпс, А.В. Штраус, а згодом – В.М. Брук, Л.Й. Вайнерман, А.Н. Кочубей, О.В. Кужель, Ю.М. Арлінський, В.О. Деркач, М.М. Маламуд, Е.Р. Цекановський.

У працях цих авторів, зокрема, описано різні класи розширень симетричного оператора з точки зору їхньої розв’язності та секторіальності відповідних квадратичних форм (наприклад, самоспряжені, дисипативні, невід’ємні розширення). У більшості цих праць використовується введене А.Н.Кочубеєм та В.М.Бруком поняття простору граничних значень – абстрактного аналогу системи крайових форм. Використання цього поняття дає можливість у випадку диференціальних операторів формулювати результати в термінах крайових умов.

З іншого боку, увагу багатьох математиків, зокрема Ю. І. Любича, Б. С. Павлова, А. М. Седлецького, А. А. Шкалікова, привертали диференціальні оператори з різного роду некласичними крайовими умовами (інтегральними, багатоточковими і т. п.). Деякі з таких умов наведено у відомому довіднику Е. Камке. А.М. Кралл розглянув в просторі оператор Штурма–Ліувілля з інтегральними крайовими умовами і побудував спряжений з ним. Останній, зрозуміло, вже не є диференціальним. Він був названий диференціально–граничним оператором (ДГО). Породжені звичайними диференціальними виразами ДГО, а також деякі їхні узагальнення і відповідні абстрактні теоретико-операторні моделі вивчали Р.С. Браун, Е.А. Кодінгтон, А. Дійксма і Г. Сноо , Р. Кемп і С. Лі, О. М. Гомілко і Г. В. Радзієвський та інші математики. Зокрема, в в циклі праць О. М. Гомілка та Г. В. Радзієвського вказано умови, які гарантують, що кореневі підпростори розглядуваного диференціально-функціонального оператора з некласичними крайовими умовами утворюють базу з підпросторів і знайдено асимптотичні формули для власних значень цього оператора.

Що ж стосується згаданих теоретико-операторних моделей, то одну з них у 1972 р. запропонував В.Е. Лянце. Він, зокрема, показав, що оператор, спряжений до ДГО з інтегральними крайовими умовами, також є ДГО з інтегральними крайовими умовами. Результати В.Е. Лянце знайшли розвиток в працях О.Г. Сторожа, який встановив умови самоспряженості та максимальної дисипативності деяких ДГО, породжених диференціальними виразами в просторі вектор–функцій зі значеннями у (взагалі кажучи, нескінченновимірному) гільбертовому просторі. Щоправда, це зроблено при досить жорстких припущеннях, з яких, зокрема, випливає, що різниця резольвент досліджуваного ДГО (який трактується як збурений) і деякого диференціального оператора з класичними крайовими умовами (який трактується як незбурений) є компактною.

Тому актуальною є задача про поширення результатів, про які йшла мова в попередньому абзаці, на ширші класи операторів. Саме цій задачі і присвячена пропонована дисертаційна робота.

Зв’язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Напрямок досліджень, вибраний в дисертації, передбачений планами наукової роботи Львівського національного університету імені Івана Франка. Значна частина результатів, викладених в роботі, пов’язана з темою ДКНТ Мт513Б (номер державної реєстрації 0193 U041400) “Застосування рядів експонент та розширень операторів для дослідження крайових задач” (умови взаємної спряженості та максимальної дисипативності ДГО типу Штурма–Ліувілля з операторним потенціалом), а також з держбюджетною темою Ма-80Б (номер державної реєстрації 0101U001436) “Функціонально-аналітичні методи в комплексному аналізі і теорії операторів” (спектральні властивості ДГО з матричними коефіцієнтами).

Мета і задачі дослідження. Мета дисертації – поширити відомі раніше результати , що стосуються збурень замкненого оператора в гільбертовому просторі, які змінюють не тільки закон дії оператора, а й його область визначення, на ширші класи збурень, застосувати отримані абстрактні результати для дослідження диференціально-граничних операторів у просторах (взагалі кажучи, нескінченновимірних) вектор-функцій.

Об’єкт дослідження – диференціально-граничні оператори в просторах вектор-функцій та їхні абстрактні аналоги.

Предмет дослідження – збурення замкнених лінійних операторів в гільбертовому просторі, які (збурення) змінюють як закон дії оператора, так і його область визначення.

Методи дослідження. В роботі використовуються методи теорії лінійних операторів в гільбертовому просторі, перш за все – теорії розширень та теорії збурень, а також методи теорії диференціальних рівнянь та теорії функцій комплексної змінної.

Наукова новизна одержаних результатів. Результати, викладені у роботі, є новими. В дисертації

1) побудовано резольвенту ДГО з інтегральними крайовими умовами у просторі скінченновимірних вектор-функцій на відрізку, а у випадку, коли крайові форми, якими визначаються ці умови, є регулярними за Біркгофом, знайдено асимптотичні формули для власних значень та власних функцій розглядуваного оператора і встановлено умови, які гарантують повноту системи цих функцій;

2) відомі раніше результати про замкненість та щільну визначеність збурень замкненого оператора, які змінюють не тільки закон дії оператора, а й область його визначення, перенесено на ширші класи операторів;

3) встановлено умови максимальної дисипативності та самоспряженості розглядуваних операторів;

4) отримані результати застосовано при дослідженні деяких конкретних ДГО з операторними коефіцієнтами;

5) знайдено розв’язок задачі про мінімум однієї квадратичної форми, яка індукує ДГО типу Штурма – Ліувілля з операторним потенціалом.

Практичне значення одержаних результатів. Дисертація носить теоретичний характер. Отримані в ній результати можуть знайти застосування в дослідженнях з теорії збурень лінійних операторів, а також при розв’язуванні конкретних задач математичної фізики.

Особистий внесок здобувача. Викладені в роботі результати отримані автором самостійно. У спільних публікаціях науковому керівнику належать постановка задач і загальне керівництво роботою. Крім того, сформульовані в [1, 2, 7] властивості ДГО встановлені ним в одному частковому випадку.

Апробація результатів дисертації. Основні результати дисертації доповідались на 16-ій школі з теорії операторів у функціональних просторах (Нижній Новгород – 1991), на Міжнародній математичній конференції, присвяченій пам’яті академіка М. П. Кравчука (Київ, Луцьк – 1992), на Всеукраїнській науковій конференції “Нові підходи до розв’язання диференціальних рівнянь” (Дрогобич – 1994), на науковій конференції випускників, викладачів та співробітників механіко-математичного факультету Львівського національного університету ім. І. Франка (Львів – 1999), на Міжнародній конференції з функціонального аналізу (Київ – 2001), на Міжнародній науковій конференції “Нові підходи до розв’язування диференціальних рівнянь” (Дрогобич – 2001), на Київському міському семінарі з функціонального аналізу (кер. академік НАН України Ю. М. Березанський, член-кореспондент НАН України М. Л. Горбачук), на Львівському міжвузівському семінарі з функціонального аналізу (кер. проф. В. Е. Лянце), на Львівському регіональному семінарі з математичного аналізу (кер. проф. М. М. Шеремета).

Публікації. Основні результати дисертації опубліковано у працях [1–12] (чотири без співавторства), з яких шість журнальних статей (одна без співавторства) у виданнях із переліку ВАК України та п’ять у матеріалах Міжнародних і Всеукраїнських математичних конференцій.

Структура і об’єм роботи. Дисертація складається зі вступу, чотирьох розділів, розбитих на підрозділи (деякі з підрозділів розбито на пункти), висновків, двох додатків і списку використаних джерел. Повний обсяг дисертаційної роботи 139 сторінок. Додатки займають 4 сторінки. Список використаних джерел займає 8 сторінок і включає 81 найменування.

ОСНОВНИЙ ЗМІСТ РОБОТИ

У вступі обгрунтовано актуальність теми дисертації, визначено мету і задачі дослідження, а також коротко сформульовані нові наукові положення, що виносяться на захист.

У розділі 1 викладено огляд літератури та методів досліджень, а також огляд основних результатів дисертації. Крім цього, роз’яснено позначення, які систематично використовуються в роботі:

– скалярний добуток та норма в гільбертовому просторі Х; – тотожне перетворення цього простору;

, – відповідно область визначення, область значень, многовид нулів та спектр оператора Т;–

сукупність лінійних неперервних (відповідно компактних) операторів де X, Y – гільбертові простори, таких, що D(T)=X ;;

– клас замкнених лінійних щільно визначених операторів

замикання множини Е;

скалярний добуток і норма графіка оператора тобто

;

D[T] – передгільбертів простір, що співпадає як множина з D(T) і наділений скалярним добутком

Т* – оператор, спряжений з оператором Т;

, ? – символи ортогональної суми та ортогонального доповнення, зокрема, , ?T – відповідні символи в D[T] ;

col(y1,...,ym) – вектор-стовпець, транспонований з вектор-рядком (y1,...,ym);

якщо – лінійні оператори, то запис означає, що

Далі в розділі 1 наведено деякі положення теорії розширень та теорії збурень лінійних операторів, які використовувались при дослідженні.

Припустимо, що Н – фіксований комплексний гільбертів простір зі скалярним добутком , a , причому .

Означення 1.1.1 (В. Е. Лянце, О.Г. Сторож). Нехай G – гільбертів простір, а. Пара (G,U) називається крайовою для (L,L0), якщо R(U)=G, kerU=D(L0).

Приймемо Якщо D – один з просторів: D[L] або D[M], G – довільний гільбертів простір, а, то під розумітимемо спряжений оператор, тобто

Теорема 1.1.1 (В. Е. Лянце, О.Г. Сторож). Нехай G1, G2 – гільбертові простори, ,. Якщо (G,U) є крайовою парою для (L,L0), то існують єдині, такі, що є крайовою парою для (M, M0) i

Означення 1.1.2 (А. Н. Кочубей). Нехай – симетричний оператор з однаковими дефектними числами. Трійка, де – гільбертів простір, – лінійні відображення, називається простором граничних значень (ПГЗ) оператора , якщо і

.

А. Н. Кочубеєм і В. М. Бруком дано опис усіх максимально дисипативних, зокрема, самоспряжених розширень симетричного оператора з однаковими дефектними числами. В одній з праць О. Г. Сторожа дано опис максимально дисипативних розширень симетричного оператора з довільним індексом дефекту. При цьому корисним виявилося поняття антисиметричного ПГЗ.

Означення 1.1.3 (О. Г. Сторож). Нехай симетричний оператор з індексом дефекту (m+, m-). Четвірка, де – гільбертові простори, , називається антисиметричним ПГЗ оператора L0 , якщо:

Нагадаємо, що оператор називається симетричним, якщо При цьому пара чисел (m+, m-), де називається індексом дефекту оператора L0 , а самі числа m+, m- – його дефектними числами. Лінійний оператор називаємо дисипативним (акумулятивним), якщо для всякого і максимально дисипативним (максимально акумулятивним), якщо, крім цього, він не має в Н нетривіальних дисипативних (акумулятивних) розширень.

У розділі 2 досліджуються деякі спектральні властивості ДГО з матричними коефіцієнтами. Точніше кажучи, тут мова йде про певний клас операторів, споріднених в сенсі означення, запропонованого В. Е. Лянце, з парою, яка складається з максимального та мінімального операторів, породжених в гільбертовому просторі диференціальним виразом

де визначені на [0,1] неперервні значні функції, а множина лінійних операторів у просторі , причому кожний такий оператор ототожнюємо з відповідною матрицею. Через m позначаємо одиничний оператор в .

Підрозділ 2.1 має допоміжний характер. У ньому сформульовано постановку задачі і наведено необхідні для її розв’язання відомості.

Нехай , нормовані системи крайових форм, причому перша з них – лінійно незалежна, а Визначимо оператор Т за допомогою співвідношень

(1)

(2)

Підрозділ 2.2 присвячено дослідженню рівняння Нехай

а всі різні корені степеня n з числа –1, занумеровані так, що

У випадку, коли , позначимо через множину тих, для яких Вважаючи, що міститься в деякій фіксованій області (у випадку непарного n – в одній з двох підобластей : ), приймемо

Теорема 2.2.1. Рівняння відносно значної функції Y має при достатньо великих за модулем рівно n лінійно незалежних розв’язків які разом з їхніми похідними до порядку n-1 включно аналітично залежать від і задовольняють співвідношення

В підрозділі 2.3 виведено асимптотичні формули для власних значень оператора Т за припущення, що система є регулярною за Біркгофом.

В підрозділі 2.4 встановлено асимптотичні формули для власних (вектор–) функцій оператора (1), (2) за припущення, що відповідні власні значення є простими.

Метою підрозділу 2.5 є побудова резольвенти досліджуваного оператора. Тут доведено, що вона є інтегральним оператором з ядром, яке задовольняє умову Гільберта–Шмідта.

В підрозділі 2.6 встановлено умову повноти системи власних елементів оператора (1), (2) за припущення, що система форм – регулярна за Біркгофом. У цьому випадку в комплексній – площині існує послідовність кіл радіуса Rk з центром в початку координат, що мають такі властивості:

1)

2) існує таке , що прообрази в власних значень оператора Т для достатньо великих k знаходяться на віддалі від прообразів кожного з кіл .

Позначимо через круг, обмежений колом . Має місце

Теорема 2.6.1. Нехай система – регулярна за Біркгофом, а всі полюси резольвенти оператора Т є полюсами першого порядку. Тоді

(3)

де поширюється на всі власні значення оператора Т, які занумеровані так, що власні значення, які містяться в , передують власним значенням, які містяться в, а та – біортогональні бази просторів та відповідно. Ряд в правій частині (3) збігається рівномірно на [0, 1].

Відзначимо, що деякі з наведених в розділі 2 дисертації тверджень випливають з результатів праць О. М. Гомілка та Г. В. Радзієвського, присвячених спектральній теорії диференціально-функціональних операторів, частковим випадком яких є ДГО. Крім цього, виходячи зі сказаного в цих працях, неважко зміркувати, що якщо система регулярна за Біркгофом, але не всі полюси резольвенти оператора Т є полюсами першого порядку, то система власних та приєднаних елементів цього оператора є повною в .

У розділі 3 розглядаємо один клас збурень замкненого оператора, які змінюють його область визначення. Під Н тут розуміємо фіксований комплексний гільбертів простір зі скалярним добутком та з нормою , а за висхідний об’єкт приймаємо пару операторів таких, що . За припущення, що справджується умова, такі збурення (з дещо інших позицій) розглядали А.М. Кралл, Р.С. Браун, Е.А. Кодінгтон, А. Дійксма і Г. Сноо, Р. Кемп і С. Лі та інші математики. Ми від цього припущення відмовляємося.

В підрозділі 3.1 описано основний об’єкт дослідження. Нехай G1, G2 – (допоміжні) гільбертові простори, –

лінійні оператори такі, що

– крайова пара для (L, L0),

– крайова пара для (M, M0),

де

(4)

(див. означення 1.1.1, теорему 1.1.1).

Нижче скрізь припускаємо, що L-грань оператора U та М-грань оператора дорівнюють нулю, тобто,

(5)

(6)

Нехай Визначимо оператори S та T за допомогою співвідношень

(7)

, (8)

Оператори S та T трактуються в роботі як збурення операторів L1 та M1, визначених таким чином:

(9)

Але ці збурення змінюють не тільки закон дії оператора, а й область його визначення. У випадку диференціальних операторів це означає збурення, що зачіпає також крайові умови, якими описується область визначення оператора.

Підрозділ 3.2 присвячений доведенню замкненості, щільної визначеності та взаємної спряженості операторів S та Т.

Теорема 3.2.2. Нехай справджуються умови (5), (6). Тоді

Наслідок 3.2.1. Нехай, крайові пари для (L,L0) та (M,M0) відповідно, причому L–грані операторів U1, U2 та М-грані операторів V1, V2 дорівнюють нулю, а Визначимо оператор S за допомогою співвідношень (7), (8), а оператор за допомогою співвідношень

ОператориS та взаємно спряжені тоді і тільки тоді, коли

а)

де P1 (P2) – ортопроектор (відповідно ), а оператор J визначено за (4);

б) незбурені оператори L1 (див. (9)) та , визначений за допомогою співвідношень

є взаємно спряженими.

П р и к л а д 3. 2. 1. Нехай L0 – симетричний оператор з однаковими дефектними числами, ПГЗ оператора L0, причому L-грані операторів дорівнюють нулю, , бієкція,

(10)

(11)

. З теореми 3.2.2 випливає, що

Наслідок 3.2.2. Оператор (10), (11), розглянутий в прикладі 3.2.1, є самоспряженим тоді і тільки тоді, коли його можна подати в одному з таких виглядів:

або

де відповідно самоспряжений і унітарний оператори,

Метою підрозділу 3.3 є встановлення умов максимальної дисипативності, зокрема, самоспряженості, оператора (7), (8) за припущення, що L0 – симетричний оператор з індексом дефекту (m+, m-), , причому L-грань оператора U, а, отже, й оператора , дорівнює нулю. У випадку, коли L0 має рівні дефектні числа, а ці умови встановлено О. Г. Сторожем. Якщо S – максимально дисипативний оператор, то неважко переконатись в існуванні операторів таких, що

(12)

(13)

Тому далі мова йтиме про оператор вигляду (12), (13). Позначимо через Р ортопроектор а через L1, як і вище, оператор, що визначається співвідношенням (9).

Теорема 3.3.1. Для того, щоб оператор (12), (13) був максимально дисипативним, необхідно і достатньо, щоб справджувалася умова

і щоб був максимально дисипативним оператор L1.

Аналогічним чином формулюються умови максимальної акумулятивності та самоспряженості цього оператора.

Наслідок 3.3.3. Нехай антисиметричний ПГЗ оператора L0 (див. означення 1.1.3), причому L-грані операторів дорівнюють нулю, , P – ортопроектор такі, що – оборотний в

Оператор S, визначений за допомогою співвідношень

є максимально дисипативним (максимально акумулятивним, самоспряженим) тоді і тільки тоді, коли (відповідно:).

У підрозділі 3.4 вказано умову, достатню для резольвентної порівняності двох максимально дисипативних збурених операторів.

У розділі 4 викладені вище абстрактні результати застосовані у ситуації, коли оператори L та L0 , які відігравали роль висхідних об’єктів в розділі 3, є відповідно максимальним і мінімальним операторами, породженими в гільбертовому просторі (H0 – сепарабельний гільбертів простір) зі скалярним добутком

деяким диференціальним виразом l[y].

У підрозділі 4.1 розглядається випадок, коли

де p(x) – обмежений самоспряжений оператор в Н0 , причому оператор-функція є сильно неперервною на [a, b]. Позначимо через L та L0 відповідно максимальний та мінімальний оператори, породжені в Н виразом l[y].Відомо, що трійка , де

є ПГЗ оператора L0 (див. означення 1.1.2).

Лема 4.1.1. Оператори мають нульові L-грані.

Припустимо, що причому оператор – оборотний в

Покладемо

і визначимо оператор S за допомогою співвідношень

(14)

(15)

В роботі доведено замкненість та щільну визначеність оператора (14), (15), побудовано спряжений оператор S*, а також знайдено умови максимальної дисипативності і самоспряженості оператора S.

Зазначимо, що символи та вживаємо в підрозділі 4.1 для позначення відповідно одиничного та нульового операторів в Н0 , і що тут використовуються такі позначення:

(пор. з (4)).

Розглянемо умови максимальної дисипативності оператора вигляду (14), (15). При цьому, для спрощення запису, припускаємо, що

Наслідок 4.1.3. Оператор S, визначений за допомогою співвідношень

є максимально дисипативним тоді і тільки тоді, коли

де Р – ортопроектор

У підрозділі 4.2, який є продовженням попереднього, розглядаємо випадок, коли потенціал p(x) виразу l[y], яким породжені ці оператори, є невід’ємним: , і використовуюємо такі позначення:

(i=1,2).

Нехай тепер (i=1,2). Приймемо + +

+,

(f – фіксований елемент з простору). Розглянемо оператор T, область визначення якого складається з усіх , що задовольняють умови

,

і який діє за законом:

.

В роботі встановлено умови додатної визначеності оператора Т і обгрунтовано, що за цих умов розв’язок рівняння Tu=f є (єдиним) розв’язком варіаційної задачі .

У підрозділі 4.3 розглядається питання про знаходження резольвенти оператора S, про який йшла мова в підрозділі 4.1.

Підрозділ 4.4 присвячено дослідженню ДГО першого порядку на півосі.

ВИСНОВКИ

Досліджені класи збурень замкнених лінійних операторів в гільбертовому просторі, які (збурення) змінюють не тільки закон дії оператора, а й його область визначення. Особливу увагу приділено ситуації, коли незбурений оператор є диференціальним оператором в просторі (скінченновимірних або нескінченновимірних) вектор-функцій.

В роботі отримано такі нові результати.

1. Встановлено асимптотичні формули для власних значень та власних елементів диференціально-граничного оператора з матричними коефіцієнтами, область визначення якого описується за допомогою інтегральних крайових умов (за припущення, що справджуються умови регулярності типу Біркгофа).

2. Доведено, що резольвента оператора, описаного в попередньому пункті, є інтегральним оператором з ядром Гільберта–Шмідта і отримано оцінку для цього ядра, яка дає змогу встановити, що (при певних обмеженнях) будь-яка вектор-функція з області визначення досліджуваного оператора розкладається в ряд за його власними елементами.

3. Доведено замкненість, щільну визначеність та знайдені умови взаємної спряженості деяких лінійних операторів в гільбертовому просторі, завдяки чому відомі раніше результати В.Е. Лянце і О.Г. Сторожа поширені на нові класи операторів.

4. В термінах абстрактних граничних операторів, тобто у вигляді, який у випадку диференціальних операторів приводить безпосередньо до крайових умов, встановлені критерії максимальної дисипативності та максимальної акумулятивності певних збурень звужень операторів, спряжених до симетричних зі, взагалі кажучи, різними дефектними числами.

5. Отримані абстрактні результати застосовані для дослідження деяких диференціально-граничних операторів з операторними коефіцієнтами.

6. Доведено розв’язність і знайдено розв’язок задачі про мініміум однієї квадратичної форми, яка індукує диференціально-граничний оператор типу Штурма–Ліувілля.

СПИСОК ОПУБЛІКОВАНИХ ПРАЦЬ ЗА ТЕМОЮ ДИСЕРТАЦІЇ

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

12.

АНОТАЦІЇ

Шувар О. Б. Диференціально-граничні оператори в просторах вектор-функцій – Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01.01.01 – математичний аналіз. – Львівський національний університет імені Івана Франка, Львів, 2003.

В дисертації досліджуються певні класи збурень лінійних необмежених операторів у гільбертовому просторі. Ці збурення змінюють не тільки закон дії оператора, але й його область визначення. В роботі доведено замкненість та щільну визначеність досліджуваних збурень, а, при певних обмеженнях, – критерії максимальної дисипативності та самоспряженості цих збурень. Отримані результати використано для дослідження деяких конкретних диференціально-граничних операторів. Зокрема, встановлено умову, яка гарантує повноту системи власних (вектор-)функцій диференціально-граничного оператора з матричними коефіцієнтами.

Ключові слова: гільбертів простір, диференціально-граничний оператор, збурення, спектр, резольвента, максимальна дисипативність.

Shuvar O. B. Differential-boundary operators in the spaces of vector-functions. – Manuscript.

The thesis for candidate’s degree (physics and mathematics) on the speciality 01.01.01 – mathematical analysis. – Lviv National University named after Ivan Franko, Lviv, 2003.

Some classes of perturbations of linear unbounded operators in Hilbert space are investigated. These perturbations change as action of operator, as its domain. It is proved the closeness and the dense definity of investigated perturbations. The criteria of maximal dissipativity and selfadjointness of these perturbations are established (under some assumptions). Obtained results are applicated to some concrete differential-boundary operators. In particular, the conditions , under which the system of eigen (vector-)functions of differential-boundary operator with matrix coefficients is total, are established.

Key words: Hilbert space, differential-boundary operator, perturbation, spectrum, resolvent, maximal dissipativity.

Шувар О. Б. Дифференциально-граничные операторы в пространствах вектор-функций. – Рукопись.

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.01.01 – математический анализ. – Львовский национальный университет имени Ивана Франко, Львов, 2003.

В диссертации исследуются определенные классы возмущений линейных неограниченных операторов в гильбертовом пространстве, изменяющие не только закон действия оператора, но и его область определения. Диссертация состоит из введения, четырех разделов, приложений и списка используемых источников.

Первый раздел носит вспомогательный характер. В нем приведены обзор литературы и основных результатов работы.

Раздел 2 посвящен изучению некоторых спектральных свойств действующих в гильбертовом пространстве конечномерных вектор-функций дифференциально-граничных операторов с интегральными краевыми условиями. В частности, установлены условия, гарантирующие полноту системы собственных элементов исследуемых операторов.

В третьем разделе указаны условия, достаточные для замкнутости и плотной определенности рассматриваемых операторов. В этом разделе роль исходного объекта играет пара (L,L0) линейных операторов, действующих в комплексном гильбертовом пространстве, причем . В случае, когда L0 – симметрический оператор, а L=, установлены критерии максимальной диссипативности (в частности, самосопряженности) рассматриваемых операторов.

В четвертом разделе упомянутые выше абстрактные результаты применены для исследования некоторых конкретных дифференциально-граничных операторов. Кроме того, приведены условия, достаточные для корректной разрешимости одной неклассической вариационной задачи.

Ключевые слова: гильбертово пространство, дифференциально-граничный оператор, возмущение, спектр, резольвента, максимальная диссипативность.

Підписано до друку 22.09.2003 р. Формат 60х84\16

Гарнітура Times New Roman Cyr. Папір офс.

Ум. друк. арк. 1,0. Обл. вид. арк. 1,0.

Друк на різографі. Наклад 100. Зам. 538.

ТзоВ “Компанія “Манускрипт””,

Вул. Руська, 16, м. Львів, 79008.

Тел. (0322) 97-81-00