НАЦІОНАЛЬНА АКАДЕМІЯ НАУК УКРАЇНИ

ІНСТИТУТ ПРИКЛАДНИХ ПРОБЛЕМ МЕХАНІКИ І МАТЕМАТИКИ

ІМ. Я.С. ПІДСТРИГАЧА

СЕЛІВЕРСТОВ РОМАН ГРИГОРОВИЧ

УДК 539.3

ЗАДАЧІ ЗГИНУ ПЛАСТИН З ТРІЩИНАМИ НА ОСНОВІ УТОЧНЕНИХ ТЕОРІЙ

01.02.04. – механіка деформівного твердого тіла

АВТОРЕФЕРАТ

дисертації на здобуття наукового ступеня

кандидата фізико-математичних наук

Львів – 2003

Дисертацією є рукопис.

Робота виконана на кафедрі механіки

Львівського національного університету імені Івана Франка

Науковий керівник

кандидат фізико-математичних наук, доцент

Опанасович Віктор Костянтинович,

Львівський національний університет імені Івана Франка,

кафедра механіки

Офіційні опоненти

доктор фізико-математичних наук, професор

Осадчук Василь Антонович,

Національний університет “Львівська політехніка”, завідувач кафедри “Зварювальне виробництво, діагностика та відновлення металоконструкцій”

доктор технічних наук, кандидат фізико-математичних наук, професор

Шваб’юк Василь Іванович,

Луцький державний технічний університет, проректор з наукової роботи

Провідна установа

Фізико-механічний інститут ім. Г.В. Карпенка НАН України (м. Львів),

відділ механіки композиційних матеріалів

Захист відбудеться “4” вересня 2003 року о 1500 годині на засіданні спеціалізованої вченої ради Д. 35.195.01 при Інституті прикладних проблем механіки і математики імені Я. С. Підстригача за адресою: 79060, Львів-60, вул. Наукова 3-б.

З дисертацією можна ознайомитись у науковій бібліотеці Інститутуі прикладних проблем механіки і математики імені Я. С. Підстригача за адресою: 79060, м. Львів, вул. Наукова 3-б.

Автореферат розісланий “24” липня 2003 року.

Вчений секретар спеціалізованої вченої ради,

кандидат фізико-математичних наук П. Р. Шевчук.

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальність теми. Деталі машин і елементи конструкцій у вигляді пластин різної товщини широко застосовуються в інженерній практиці. Іх довговічність у багатьох випад-ках визначається наявністю в них концентраторів напружень типу тріщин. Тому значний теоретичний і практичний інтерес має вивчення розподілу напружень та деформацій поблизу таких дефектів при різних видах навантаження.

Розрахунок пластинчатих елементів конструкцій з використанням тривимір-них співвідношень теорії пружності пов’язаний зі значними матема-тичними труднощами. Тому актуальним є застосування двовимірних теорій згину пластин, що значно спрощує математичну модель їх деформування, але дозволяє врахувати вплив товщини пластини і анізотропії фізико-механічних характеристик матеріалу на напружено-деформований стан (НДС) пластини.

Переважна більшість досліджень НДС пластин за уточненими теоріями згину типу Рейсснера і типу Тимошенка проведені для випадку однієї тріщини або періодичної системи тріщин у одношаровій пластині при умові, що береги тріщин під час деформування пластини не контактують. Тому побудова розв’язків задач згину трансверсально-ізотропних і шаруватих пластин з системою довільно орієнтованих тріщин, а також урахування взаємодії берегів тріщин формує важливий та актуальний науковий напрям як з теоретичної, так і з прак-тич-ної точок зору, оскільки дозволяє визначити закономірності розподілу силових та моментних чинників, виробити рекомендації щодо оптимального вибору властивостей пластинчатих елементів залежно від умов експлуата----ції конструкцій та вказати режими безпечної роботи, щоб запобігти їх руйнуванню.

Зв’язок роботи з науковими темами. Робота виконувалась у рамках держбюджетних тем кафедри механіки Львівського національного університету імені Івана Франка “Задачі динамічної та квазістатичної термопружності для структурно-неоднорідних тіл і дослідження зв’язаних термомеханічних процесів при фрикційному контакті” (держреєстрація №0199U003622) та “Некласичні моделі та методи досліджень перехідних процесів у структурно-неоднорідних пружних середовищах” (держреєстрація № 0102U003570).

Метою дисертаційної роботи є: узагальнення підходу Опанасович В.К., Делявський М. В., Подхорецкі А. Новий підхід до розрахунку напруженого стану плити з тріщиною за теорією Рейсснера // Механіка руйнування матеріалів і міцність конструкцій: в 3-х т. / Під заг. ред. Панасюка В. – Т. 2: Аналітичні методи в механіці руйнування матеріалів. – 1999. – С. 186 –189. до дослідження НДС трансверсально-ізотропних і шаруватих пластин з прямолінійними наскріз-ними трі-щи-нами при заданому навантаженні з використанням відомих уточнених теорій згину тонких пластин шостого порядку, у тому числі і з урахуванням контакту берегів тріщин для одношарових пластин; одержання якісних та кількісних оцінок щодо рівня інтенсивності силових та моментних чинників поблизу вершин тріщин та побудова графічних залежностей коефіцієн-тів інтенсивності напружень (КІН), моментів (КІМ), поперечних сил (КІПС), а також контактного тиску для різних видів навантаження, геометричних та фізико-механічних параметрів.

Наукова новизна одержаних результатів полягає в тому, що на основі уточнених теорій розвинено підхід до дослідження НДС трансверсально-ізотропних і шаруватих пластин з наскрізними прямолінійними тріщинами, у тому числі і з урахуванням контакту їх берегів у випадку одношарових пластин; одержано систему сингулярних інтегральних рівнянь (СІР) задачі згину і кручення пластини з системою довільно орієнтованих тріщин; проведено аналіз рівня концентрації силових та моментних чинників поблизу вершин тріщин, а також розподілу контактного зусилля уздовж берегів тріщин у трансверсально-ізотропних пластинах; одержано та проаналізовано залежності зведених КІМ і КІПС для згину та кручення тришарових, симетричних відносно серединної площини, пластинах з тріщинами без урахування контакту їх берегів.

Обгрунтованість і достовірність наукових результатів забезпечується строгістю матема-тичних постановок задач з використанням основних положень теорії пружності; застосуванням відомих, перевірених іншими дослідниками аналітичних та числових методів; узгодженням одержаних результатів для деяких часткових випадків з відомими у науковій літературі.

Теоретичне й практичне значення одержаних результатів. Проведені у роботі дослідження дають можливість аналізувати напружений стан пластин з тріщинами, оцінювати рівень інтенсивності силових та моментних чинників. Результати дисертаційної роботи можуть знайти застосування при розрахунку міцності пластинчатих елементів конструкцій за відомими у науковій літературі критеріями руйнування.

Особистий внесок здобувача. За темою дисертації опубліковано 14 науко-вих праць [1 – 14], у тому числі: 5 – у наукових журналах, 9 – у збірниках мате-ріа--лів і тез наукових конференцій. Основні результати були одержані автором самостійно. У той же час роботи [1 – 8, 10 – 14] опубліковані в співавторстві. У публікаціях, які написані в співавторстві, особистий внесок здобувача складає: [4, 5] – побудова розв’язку задачі, аналіз числових результатів; [1, 3, 6, 8, 10 – 12, 14] – участь у постановці задачі, проведення математичних викладок і одержання числових результатів; [2, 7, 13]– одержання розв’язку та аналіз результатів.

Апробація роботи. Окремі етапи досліджень за темою дисертації, доповідалися на Науковій конференції “Математика і механіка у Львівському університеті (історія і сучасні проблеми)” (Львів, 1999), XV Відкритій науково-технічній конференції молодих науковців і спеціалістів Фізико-механічного інституту ім. Г.В.Карпенка НАН України (Львів, 2000), І Науковому симпозіумі “Сучасні проблеми інженерної механіки” (Луцьк, 2000), IV Міжнародному симпозіумі “Механіка і фізика руйнування будівельних матеріалів та конструкцій” (Тернопіль, 2000), V Міжнародній науковій конференції “Математичні проблеми механіки неоднорідних структур” (Луцьк, 2000), XVІВідкритій науково-технічній конференції молодих науковців і спеціалістів Фізико-механічного інституту ім. Г.В.Карпенка НАН України (Львів, 2001), IV Польсько-Українській конфе-ренції “Сучасні проблеми в механіці неодно-рідних середовищ” (Лодзь, 2001), V Міжнародному симпозіумі “Механіка і фізика руйнування будівельних матеріалів та конструкцій” (Луцьк, 2002), Міжнародній науково-технічній конференції “Проблеми математичного моделювання сучасних технологій” (Хмель-ницький, 2002).

У цілому дисертаційна робота обговорювалася на науковому семінарі кафед-ри механіки Львівського національного університету імені Івана Франка (2002 р.), науковому семінарі кафедри опору матеріалів Івано-Франківського інституту нафти і газу (2002 р.), науковому семінарі кафедри технічної механіки Луцького державного технічного університету (2003 р.), спільному семінарі відділів матема-тич-них методів механіки руйнування та контактних явищ і математичних проблем механіки неоднорідних тіл Інституту прикладних проблем механіки і математики ім. Я.С. Підстригача НАН України (2003р.), кваліфікаційному семінарі Інституту прикладних проблем механіки і математики ім. Я.С. Підстригача НАН України (2003 р.), науковому семінарі відділу механіки композиційних матеріалів Фізико-механічного інституту ім. Г.В.Карпенка НАН України (2003 р.).

Публікації. За матеріалами дисертації опубліковано 5 статтей у рецензованих наукових журналах та 9 матеріалів і тез доповідей на наукових конференціях.

Структура і обсяг роботи. Дисертаційна робота складається зі вступу, шістьох розділів, висновків, списку використаних джерел та двох додатків. Загальний обсяг становить 114 сторінок машинописного тексту. Робота містить 65 рисунків. Бібліографія розташована на 12 сторінках і складається з 128 джерел. Додатки в загальному обсязі займають 4 сторінки.

ЗМІСТ РОБОТИ

У вступній частині обгрунтовано актуальність роботи як з теоретичної, так і з практичної точок зору, подано її характеристику.

У першому розділі дисертації проведено огляд праць, що стосуються даної проблеми, та показано місце роботи серед них.

У другому розділі наведені визначальні співвідношення теорій згину тонких пластин типу Рейсснера та типу Тимошенка, а також одного варіанту уточненої теорії згину шаруватих пластин Бережницкий Л.Т., Делявский М.В., Рудницкий И.И. Изгиб слоистой пластины с трещиной при произвольном законе распределения перемещений по толщине // Проблемы прочности. – 1984. – №10. – С. 68 – 72., які у випадку відсутності попереч-ного навантаження на основах пластини можна подати у комплексному вигляді

(1)

де Мх, Му– згинальні моменти; Нху– крутний момент; Qx, Qy– поперечні сили; F(z), Y(z)– комплексні потенціали типу Колосова-Мусхелішвілі; функ-ція – розв’язок однорідного рівняння Гельмгольца

; (2)

значення сталих m і n залежать від механічних властивостей пластини: у випадку трансверсально-ізотропних пластин вони обчислюються за формулами n=D(1-n); n=–D(1+n); D=Eh3/(12(1–n2)); E, n і h – модуль пружності, коефіцієнт Пуассона і товщина пластини відповідно; коефіцієнт k* вибирається залежно від теорії згину пластин; у випадку шаруватих, симетрич-них відносно своєї серединної площини, пластин – ; ; ; ; ; – кількість шарів; j=(1, 2, ..., 2S) – поверх-ні поділу шарів;  – товщинна координата; Ej, nj, і – відповідно модуль пружності, коефіці-єнт Пуассона у площині ізотропії і модуль зсуву в поперечному напрямі для j-го шару пластини; – дійсні функції, які повинні задовольняти умовам спряження переміщень та дотичних напружень на поверхнях поділу шарів

(3)

У третьому розділі розглянуто безмежну трансверсально-ізотропну пластину завтовшки h з наскрізною прямолінійною тріщиною завдовжки 2l. Пластина перебуває у рівновазі під дією згинального навантаження, прикладеного до берегів тріщини та на нескінченності, зосереджених зусиль P(j) та моментів M(j) у точках з коор-дина-тами (xj; yj) (j=1,...,N) декартової сис-те-ми координат , початок якої знахо-дить-ся у геомет-ричному центрі тріщини, площина xOy збігається з серединною площиною пластини, а вісь Ox спрямована уздовж тріщини. Зосереджені сили P(j) вважаються перпен-дику-ляр-ни-ми до ос-нов пластини, а вектор моменту M(j) має дві складові – та . Крім того, вважається, що на нескінченності діють розтягуючі зусилля, які забезпечують відсутність кон-такту між берегами тріщини. Оскільки розв’язок плоскої задачі теорії пружності відомий, то досліджено напружений стан пластини лише від дії згинального та зосередженого навантаження.

Крайові умови задачі подано у вигляді

, , (|x|<l), (4)

де pi(x) (i=1, 2, 3) – відомі функції; індексами “+” та “–” тут і надалі позначено граничні значення функцій при y 0.

Враховуючи особливості комплексних потенціалів F(z), Y(z) у точках прикладання зосередженого навантаження, подамо їх у вигляді

(5)

де Aj = P(j)/(8D); ; zj=xj+iyj; F*(z), Y*(z) – голо-морф-ні функції, які заникають на нескінченності; сталі Г і враховують навантаження, яке прикладене на нескінченності.

Функції F*(z) та шукаємо у вигляді

; , (6)

де ; f(t) = f1(t) + if2(t); (t) = 1(t) + i2(t); f1(t), f2(t), 1(t), 2(t) – заздалегідь невідомі дійсні функції; Kj(x) – функції Макдо-нальда j-го порядку.

Врахувавши подання (5), (6) та ввівши до розгляду функцію

, (7)

залежності (1) перепишемо таким чином:

(8)

де ;

; q= – (1 + )/(1 – ); m1 = 4/(1 – ).

Задовольнивши за допомогою співвідношень (8) крайові умови (4), одержимо зв’язок між невідомими функціями

, ,

подання функції V(z):

, ,

а також і систему СІР для знаходження функцій g1(x) = f1(x), g2(x) = f2(x)та :

, (9)

де ; ;

; ;

; ; ;

Pi(x) (i = 1, 2, 3) – функції, які залежать від зовнішнього навантаження.

Систему рівнянь (9) доповнюємо умовами однозначності переміщень (кутів повороту) і прогину при обході тріщини по замкнутому контуру, які мають вигляд

, , . (10)

КІМ і КІПС обчислюються за формулами , , , де верхній (ниж-ній) знак відповідає вістрю x = l (x = – l) тріщини; X = x/l; .

Числовий аналіз задачі здійснювався на основі застосування методу механічних квадратур до розв’язування системи рівнянь (9), (10). Для випадків, коли до берегів тріщини прикладені розподілені сталі згинальні та крутні моменти, а зосереджене навантаження відсутнє, одержані результати збігаються з відомими у літературі. Проаналізовано також випадок, коли береги тріщини перебувають під дією розподілених поперечних сил. На рис. наведені графічні залежності зве-де-ного коефіцієнта інтенсивності зги-на-льних моментів для пластини з тріщиною, береги якої вільні від навантаження, а у симет-ричних відносно лінії тріщини точках з координатами (x0; y0) і (x0; –y0) діють зосереджені згинальні моменти –M та M відповідно, вектори яких паралельні до осі Ox. Суцільні лінії відповідають ближчій, а штрихові – віддаленій від точок прикладання моментів вершині тріщини, , X0=x0 /l, Y0=y0 /l.

Як видно з рис. , при Y0 , а коли точки прикладання зосереджених моментів наближаються до осі Ox (Y0 0), то маємо два випадки. Якщо моменти діють на продовженні тріщини, то . В протилежному випадку КІМ прямують до відповідних значень у задачі, коли зосереджені моменти прикладені до берегів тріщини. Якщо X0 1, тобто точки прикладання зосереджених моментів наближаються до вершин тріщини, то КІМ у віддаленій вершині тріщини заникає, а у ближній – прямує до нескінченності. Аналогічна поведінка КІН має місце і у плоскій задачі теорії пружності при дії зосереджених зусиль.

У четвертому розділі розглядається безмежна трансверсально-ізотропна пластина завтовшки h, яка містить N прямолінійних наскрізних тріщин довжинами (k = 1, 2,..., N), до берегів яких прикладені самозрівноважені згинальні моменти, крутні моменти і поперечні сили, а на нескінченності діє розтягуюче навантаження, яке забезпечує відстутність контакту між берегами тріщин. Крайові умови на берегах тріщини мають вигляд

, , ; (11)

. (12)

Для визначення силових і моментних чинників задачі записано співвідношення (1) у локальних системах координат Okxkyk з початками у геометричних центрах тріщин, а вирази для функцій Fk(zk), Yk(zk), та , з використанням формул переходу від однієї системи координат до іншої для комплексних потенціалів та принципу суперпозиції розв’язків, одержимо у вигляді

(13)

де ; ; ;;; – кут нахилу j-ї тріщини до осі Ox; – координати центру j-ї тріщини; зірочками позначені відповідні функції для пластини з однією j-ою тріщиною.

Як і у третьому розділі, задовольняючи крайові умови (11), (12), задача зводиться до розв’язування системи СІР.

Здійснено числовий аналіз коефіцієнтів інтенсивності моментів і поперечних сил для згину та кручення пластини з двома співвісними тріщинами різної довжини, двома паралельними незсунутими тріщинами, періодичною системою паралельних зсунутих тріщин. Проаналізовано вплив зсуву та нахилу однієї з двох тріщин на напружений стан пластини. У часткових випадках отримано відомі в літературі результати.

У п’ятому розділі вважається, що пластина послаблена ситемою довільно орієнтованих тріщин і складається з непарної кількості трансверсально-ізотропних шарів, які симетрично розміщені відносно її серединної площини. Одержана система СІР відрізняється від відповідної системи для трансверсально-ізотропної пластини лише значеннями деяких коефіцієнтів.

Здійснений числовий аналіз коефіцієнтів інтенсивності інтегральних характеристик напруженого стану тришарової пластини з однією та двома паралельними незсунутими тріщинами, коли до їх берегів прикладені згинальні і крутні моменти. У випадку однієї тріщини система СІР розділяється на дві незалежні системи, які стосуються дії згинальних і крутних моментів відповідно.

Функції шукались у вигляді , де сталі aj, bj залежать від геометричних та фізико-механічних параметрів пластини і визначаються з умов (3) та умови .

Результати числового аналізу показали, що поведінка коефіцієнтів інтенсивності згинальних і крутних моментів якісно подібна, а коефіцієнти інтенсивності поперечних сил порівняно незначно залежать від геометричних і механічних параметрів задачі. За умови, якщо коефіцієнти Пуассона матеріалів усіх шарів пластини однакові, значення коефіцієнтів інтенсивності моментів і поперечних сил можуть бути безпосередньо одержані з відповідних їх значень для одношарової трансверсально-ізотропної пластини за такого ж самого розташування тріщин у ній і за такого ж самого навантаження. Коли коефіцієнти Пуассона матеріалів шарів пластини різні, то одержати їх залежності через відповідні значення для одношарової трансверсально-ізотропної пластини не можна. Проте, оскільки для шаруватої пластини з однією тріщиною поведінка коефіцієнтів інтенсивності моментів і поперечних сил якісно така ж, як і у випадку одношарової пластини, то можна сподіватися, що для шаруватої пластини з системою тріщин ця тенденція зберігатиметься. Аналіз задачі для випадку двох паралельних тріщин підтверджує це припущення.

У шостому розділі розв’язані задачі згину трансверсально-ізотропної пластини з однією тріщиною, періодичною системою співвісних і періодичною системою паралельних тріщин за умови, що береги тріщин під час деформування пластини взаємодіють по всій довжині вздовж лінії, яка лежить на одній із основ пластини, залежно від знаку згинальних моментів.

Напружений стан пластини подається у вигляді суперпозиції плоского напруженого стану та напружень від згину пластини з крайовими умовами в локальних системах координат

; , , (14)

де – невідомі контактні зусилля (при цьому вважаємо, що T > 0).

Крім цього, повинна виконуватись умова контакту

, (15)

де – компонента вектора переміщення в напрямі осі Oyk, перпендикулярної до k-ої тріщини; індекси “п” і “з” позначають величини, пов’язані відповідно з плоским напруженим станом і задачею згину пластини.

На основі відомого розв’язку плоскої задачі теорії пружності та симетрії розглядуваних задач вираз для знаходження контактного тиску матиме вигляд

, . (16)

Згин пластини досліджується в межах теорії, запропонованої І.О.Прусовим Прусов И. А. Метод сопряжения в теории плит. – Минск: Изд–во Белорус. ун-та, 1975. – 256 с, для якої вираз для знаходження переміщень на основі пластини, де відбувається контакт між берегами тріщин, записується так:

(17)

де обчислюється за формулою .

Комплексний потенціал F(z), і функцію шукаємо за поданнями (13) та з врахуванням того, що для розглядуваних випадків задачу згину пластини можна розв’язувати незалежно від задачі кручення, тобто вони залежать лише від однієї дійсної функції f (x).

Беручи до уваги (16) і (17), з умови (15) одержимо зв’язок між функціями g (x) і f (x):

. (18)

Здійснюючи перетворення, як це було зроблено у четвертому розділі, та задовольняючи крайові умови (14) задачі згину пластини і беручи до відома (18), одержимо систему СІР для знаходження невідомої функції f (x).

Числовий аналіз розглядуваних задач показав, що врахування контакту між берегами тріщин під час згину пластини якісно не впливає на поведінку коефіцієнтів інтенсивності згинальних моментів, а кількісно зменшує їх щонайменше у два рази у порівнянні з випадком, коли контакт берегів тріщини до уваги не береться, який був розглянутий у третьому та четвертому розділах. Проте при врахуванні взаємодії берегів тріщин виникають коефіцієнти інтенсивності напружень, які пов’язані з коефіцієнтами інтенсивності згинальних моментів залежністю . Для прикладу на рис. 2, 3 поданий розподіл зведеного контактного тиску уздовж співвісних і паралельних тріщин відповідно при різних значеннях параметру і відносних відстанях між тріщинами. Тут c половина відстані між внутрішніми вершинами сусідніх співвісних тріщин; d – відстань між сусідніми паралельними тріщинами.

Для випадку періодичної системи співвісних тріщин, коли , контактний тиск сталий уздовж усієї тріщини, що узгоджується з результатами, одержаними на основі класичної теорії згину пластин, а зі зростанням параметра l та зі зближенням тріщин збільшується, набуваючи максимальних значень біля вершин тріщини. Зазначимо, що у цьому випадку вплив відстані між тріщинами на контактний тиск, у порівнянні з впливом параметра l, незначний. Що стосується згину пластини з періодичною системою паралельних тріщин, то, залежно від товщини пластини, контактний тиск може набувати максимального значення як посередині тріщини, так і у безпосередній близькості від її вершин.

У висновках сформульовано основні результати досліджень.

У додатку А перераховано властивості функцій Макдональда, які вико-рис-товуються в процесі розв’язування задач.

У додатку Б наведена схема застосування методу механічних квадратур до розв’язування систем сингулярних інтегральних рівнянь.

ОСНОВНІ РЕЗУЛЬТАТИ І ВИСНОВКИ

На даний час, попри те, що у науковій літературі є багато досліджень, присвячених згину пластин з тріщинами, особливості напружено-деформованого стану таких пластин вимагають подальшого вивчення. Особливо це стосується аналізу в межах уточнених теорій згину пластин шостого порядку напружено-деформованого стану шаруватих пластин, а також врахування контакту між берегами тріщин під час деформування пластини.

Одержані у роботі результати в сукупності спрямовані на вирішення поставленого наукового завдання –застосування апарату теорії функцій комплексної змінної до розв’язування в межах уточнених теорій шостого порядку задач згину тонких пластин з системами прямолінійних тріщин з урахуванням можливої багатошаровості пластини та контакту берегів тріщин під час її деформування.

Достовірність результатів і висновків забезпечується коректною математичною постановкою задач, використанням відомих у науковій літературі методів та порівнянням часткових випадків з результатами, одержаними іншими дослідниками.

Практична цінність результатів роботи полягає у можливості їх застосування при розрахунках на міцність пластинкових елементів конструкцій з тріщинами та розрізами, умови експлуатації яких передбачають згинальні та крутні навантаження.

Основними результатами роботи є:

1. Розроблено підхід до дослідження напружено-деформованого стану транс-вер-сально-ізотропних і шаруватих пластин з системою довільно орієн-тованих наскрізних прямолінійних розрізів (тріщин) при заданому навантаженні на їх берегах з використанням деяких відомих уточнених теорій згину тонких пластин шостого порядку. Запропонований підхід дозволяє чисельно аналізувати рівень інтенсивності силових та моментних чинників поблизу вершин тріщин, а також досліджувати контактний тиск між берегами тріщин у одношаровій пластині. Одержані значення коефіцієнтів інтенсивності моментів і поперечних сил можуть бути застосовані для обчислення критичного навантаження за відомими у науковій літератуті критеріями руйнування.

2. Побудовано систему сингулярних інтегральних рівнянь задачі згину безмежної трансверсально-ізотропної пластини з однією тріщиною, до берегів якої прикладене самозрівноважене навантаження, а у деяких точках пластини діють зосереджені поперечні сили і моменти без врахування контакту між берегами тріщини під час деформування пластини. Для часткових випадків чистого згину та кручення такої пластини з використанням методу механічних квадратур одержано значення коефіцієнтів інтенсивності моментів і поперечних сил, які збігаються з одержаними іншими дослідниками за допомогою інтегрального перетворення Фур’є. Досліджено в рамках теорій згину пластин шостого порядку задачі згину пластини з тріщиною поперечними силами, прикладеними до її берегів, і зосередженими моментами, діючими у точках, симетричних відносно площини тріщини.

3. З використанням розробленого в дисертаційній роботі підходу та методів теорії функцій комплексної змінної побудовано систему сингулярних інтегральних рівнянь задачі згину трансверсально-ізотропної пластини сталої товщини з системою довільно орієнтованих тріщин, береги яких не контактують під час деформування пластини. Проведено числовий аналіз коефіцієнтів інтенсивності силових і моментних чинників при різних геометричних і фізико-механічних параметрах задачі. У часткових випадках, за винятком кручення пластини з двома паралельними незсунутими тріщинами, числові результати збігаються з відомими у літературі. Вперше з врахуванням уточнених теорій досліджено задачі згину та кручення пластини з двома співвісними тріщинами різної довжини і періодичною системою паралельних зсунутих тріщин, а також проаналізовано вплив зсуву і нахилу однієї з двох тріщин на напружений стан трансверсально-ізотропної пластини при згині.

4. На основі відомого варіанту уточненої теорії згину шаруватих пластин з використанням розробленого у даній роботі підходу побудовано систему сингулярних інтегральних рівнянь задачі згину тріщинуватої пластини, яка складається з трансверсально-ізотропних шарів із характеристиками, симетричними відносно її серединної площини. Встановлено, що у випадку однакових коефіцієнтів Пуассона матеріалів усіх шарів значення зведених коефіцієнтів інтенсивності моментів і поперечних сил можуть бути обчислені через відомі їх значення для одношарової пластини за тих же умов навантаження. Детально проаналізовано вплив відношення товщини пластини до довжини тріщини, відносної товщини шарів, фізико-механічних характеристик шарів на напружений тришарової пластини з однією тріщиною та двома паралельними незсунутими тріщинами. Обгрунтовано вибір функцій, які задають розподіл компонент вектора переміщення по товщині пластини. Вироблено рекомендації стосовно геометричних і фізико-механічних характеристик матеріалів шарів пластини для зменшення рівня інтенсивності напружень поблизу вершин тріщини, які грунтуються на тому, що при згині тришарової пластини з тріщиною рівень інтенсивності моментів у вершинах тріщини збільшуватиметься зі зростанням одного з наступних параметрів при інших фіксованих: 1) відношення модуля пружності зовнішніх шарів у площині ізотропії до відповідного модуля пружності внутрішнього шару; 2) відношення модуля зсуву у поперечному напрямі зовнішніх шарів до відповідного модуля зсуву внутрішнього шару; 3) відношення довжини тріщини до товщини пластини; 4) відношення коефіцієнта Пуассона зовнішніх шарів до коефіцієнта Пуассона внутрішнього шару. Зведені коефіцієнти інтенсивності поперечних сил набагато менші у порівнянні з зведеними коефіцієнтами інтенсивності моментів і незначно залежать від вказаних вище параметрів.

5. З використанням уточненої теорії, запропонованої І. О. Прусовим роз-в’я-за-но нову задачу згину трансверсально-ізотропної пластини з тріщинами, береги яких під час деформування пластини взаємодіють по одній з її основ. Досліджено коефіцієнти інтенсивності силових та моментних чинників і контактний тиск між берегами тріщин для випадків згину пластини з однією тріщиною, періодичною системою співвісних і паралельних незсунутих тріщин. Встановлено, що врахування контакту берегів тріщин під час деформування пластини суттєво зменшує значення коефіцієнтів інтенсивності згинальних моментів і водночас викликає появу коефіцієнтів інтенсивності напружень, які у випадку нехтування взаємодією між берегами тріщин відсутні. Для випадків однієї і співвісних тріщин, на відміну від класичної теорії згину пластин, контактний тиск не сталий вздовж тріщини, а зростає біля її вершини.

ПУБЛІКАЦІЇ ЗА МАТЕРІАЛАМИ ДИСЕРТАЦІЙНОЇ РОБОТИ

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

12.

13.

14.

АНОТАЦІЯ. Селіверстов Р. Г. Задачі згину пластин з тріщинами на основі уточнених теорій. – Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01.02.04 – механіка деформівного твердого тіла. – Інститут прик-лад-них проблем механіки і математики імені Я. С. Підстригача НАН України, Львів, 2003.

Дисертація стосується вивчення напруженого стану трансверсально-ізотропних і шаруватих пластин з прямолінійними наскрізними тріщинами, які перебувають під дією згинального навантаження. Використовуючи визначальні співвідношення теорій згину пластин шостого порядку і методи теорії функцій комплексної змінної, задачу згину пластини з системою довільно орієнтованих тріщин зведено до розв’язування системи сингулярних інтегральних рівнянь. Побудовано графічні залежності зведених коефіцієнтів інтенсивності згинальних моментів, крутних моментів і поперечних сил для різних типів навантаження та при різних геометричних та механічних параметрах задачі. Виявлено законо-мірності впливу товщин і фізико-механічних характеристик шарів на напружений стан тришарової пластини з тріщинами. У задачах згину трансверсально-ізо-троп-ної пластини з однією тріщиною, періодичною системою співвісних тріщин і періо-дичною системою паралельних незміщених тріщин враховано контакт між берегами тріщин, який відбувається по лінії, що лежить на одній з основ пластини. Проведено порівняльний аналіз цих задач з випадком відсутності взаємодії між берегами тріщин, а також досліджено розподіл контактного тиску вздовж тріщини.

Ключові слова: пластина, тріщина, згин, коефіцієнти інтенсивності напружень, моментів і поперечних сил, контактний тиск.

ABSTRACT. Seliverstov R. H. Сracked plates bending problems in the frames of specific theories. – Manuscript.

Thesis for Degree of the Candidate of Sciences in Physics and Mathematics by speciality: 01.02.04 – mechanics of deformable bodies. – Pidstryhach Institute of Applied Problems of Mechanics and Mathematics of National Academy of Sciences of Ukraine, L’viv, 2003.

The aim of the work is the construction of solutions of the cracked plate bending problems in the frames of known sixth-order theories; determination of the intensity level of bending moments, twisting moments and transverse forces at the crack tips in transversal-isotropic and layered plates under the self-equilibrium loading acting along crack faces and on the infinity; investigation of the influence of crack closure on the stress state of transversal-isotropic plate under pure bending.

The solutions of the cracked plate bending problems form an important and actual scientific direction either from theoretical or from practical viewpoints. They allow to determine stress and displacement distribution near the crack tips, making up the recommendations for optimal geometrical, physical and mechanical characteristics of plates depending on working conditions in order to prevent destruction of engineering constructions.

Using the basic correlation of the specific sixth-order plate bending theories and methods of the theory of functions of complex variable the solutions of the problems are reduced to the systems of singular integral equations with additional conditions of displacement and deflection unambiguity.

The main results obtained in the thesis are following.

1. The approach to stress-strain state investigation in the frames of known sixth-order specific theories is generalized on the cases of isotropic, transversal-isotropic and layered plates containing system of arbitrary oriented straight through cracks under fixed loading on the infinity and their faces. It allows to analyze the contact force on the crack faces and stress intensity factors at the crack tips which can be used for critical load determination.

2.the assumption that crack faces are not in contact at the expense of some stretching on the infinity the stress-strain state of constant thickness transversal-isotropic plate with crack is considered for the cases of distributed along crack faces transversal forces and two concentrated bending moments acting in the points which are symmetrical about crack line. The system of singular integral equations is solved usind mechanical quadratures method. For the cases of pure bending and pure twisting the well-known results from scientific literature are obtained.

3.proposed in the thesis approach the system of singular integral equations for the bending of transversal-isotropic plate containing the system of arbitrary oriented stright cracks is constructed. For the first time in the frames of specific plate bending theories the problems about bending and twisting of the plate containing two collinear unequal cracks and infinite row of parallel shifted cracks are numerically investigated neglecting the interaction between crack faces during deformational process. Also the influence of shift and slope of one from two cracks on the stress state in the vicinity of crack tips is analyzed.

4.system of singular integral equations of the bending problem for layered symmetrical about midplane plate with arbitrary oriented cracks without interaction between their faces is constructed. The influence of geometrical and mechanical parameters on stress intensity factors is detaily considered for the cases of plate consisting of three layers. The behaviour of bending moment intensity factors is similar to the behaviour of twisting moment intensity factors but intensity of transverse forces is small and insignificantly depends on this parameters. It is found out that only when Poisson’s ratio of all layers are equal the stress intensity factors can be evaluate from corresponding values for transversal-isotropic plate under the same load conditions using the analogy between different specific theories. The recommendations for optimal thickness and material characof layers are made up.

5.Prusov’s plate bending theory the stress state of transversal-isotropic cracked plate under pure bending is solved at the assumption of crack closure along line on compressed side. The bending moments, stresses and contact forces distribution at the crack tips are investigated for the cases of one crack, infinite row of collinear cracks and periodical system of parallel cracks. For all this cases it is obtained that interaction between crack faces lead to decreasing of intensity of bending moments and to appearing plane stresses. Besides the contact force between faces of collinear cracks is not constant as in the frames of classical plate bending theory and reach maximum value near the crack tips.

The obtained conclusions and results of the above problems for the limiting cases conform to the known investigations from scientific literature obtained by another approaches. It guarantees their scientific and practical value for development of mechanics of deformable bodies.

Key words: plate, crack, bending, stress intensity factors, bending moment, twisting moment and transverse force intensity factors, contact force.

АННОТАЦИЯ. Селиверстов Р. Г. Задачи изгиба пластин с трещинами на основании уточненных теорий. – Рукопись.

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.02.04 – механика деформируемого твердого тела. – Институт прикладных проблем механики и математики имени Я. С. Подстригача НАН Украины, Львов, 2003.

Диссертация посвящена изучению напряженного состояния изгибаемых транс-версально-изотропных и слоистых пластин с прямолинейными сквозными трещинами. Используя исходные соотношения теорий изгиба тонких пластин шестого порядка и методы теории функций комплексного переменного, задача об изгибе пластины с системой произвольно ориентированных трещин сведена к решению системы сингулярных интегральных уравнений. Построены графические зависимости приведенных коэффициентов интенсивности изгибающих моментов, крутящих моментов и перерезывающих сил для различных видов нагрузки при раз-лич-ных геометрических и механических параметрах задачи. Исследованы законо-мерности влияния толщин и физико-механических характеристик слоев на напря-женное состояние трехслойной пластины с трещинами. В задачах изгиба трансверсально-изотропной