НАЦІОНАЛЬНА АКАДЕМІЯ НАУК УКРАЇНИ

ІНСТИТУТ ПРОБЛЕМ МАШИНОБУДУВАННЯ

ІМ. А.М. ПІДГОРНОГО

Тарсіс Катерина Юріївна

УДК 539.3

РОЗВ’ЯЗУВАННЯ ПЛОСКИХ КОНТАКТНИХ ЗАДАЧ ТЕОРІЇ ПРУЖНОСТІ МЕТОДОМ R-ФУНКЦІЙ НА БАЗІ ВАРІАЦІЙНОГО ПРИНЦИПУ РЕЙССНЕРА

01.02.04 – механіка деформівного твердого тіла

Автореферат

дисертації на здобуття наукового ступеня

кандидата технічних наук

Харків – 2003

Дисертацією є рукопис

Робота виконана у відділі прикладної математики та обчислювальних методів Інституту проблем машинобудування ім. А.М. Підгорного НАН України.

Науковий керівник – доктор фізико-математичних наук,

академік НАН України,

Рвачов Володимир Логвінович,

Інститут проблем машинобудування

ім. А.М. Підгорного НАН України, зав. відділом.

Офіційні опоненти – доктор технічних наук, професор

Янютін Євген Григорович,

Інститут проблем машинобудування

ім. А.М. Підгорного НАН України,

старший науковий співробітник

кандидат технічних наук

Дибський Павло Олександрович,

Національний аерокосмічний університет,

ім. М.Є. Жуковського “ХАІ”,

старший науковий співробітник.

Провідна установа – Національний технічний університет України “КПІ”,м. Київ,

кафедра динаміки та міцності машин та опору матеріалів.

Захист відбудеться " 29 " травня 2003 р. о 14 годині на засіданні спеціалізованої вченої ради Д .180.01 в Інституті проблем машинобудування ім. А.М. Підгорного НАН України за адресою: 61046, м. Харків, вул. Дм. Пожарського, 2/10.

З дисертацією можна ознайомитись у бібліотеці Інституту проблем машинобудування ім. А.М. Підгорного НАН України за адресою: 61046, м. Харків, вул. Дм. Пожарського, 2/10.

Автореферат розісланий " 25 " квітня 2003 р.

Вчений секретар

спеціалізованої вченої ради Б.П. Зайцев

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Створення ефективних методів розв’язування контактних задач теорії пружності є однією з важливих проблем механіки деформівного твердого тіла. Це пов’язано з необхідністю розробки науково-обґрунтованих методів розрахунків міцності та жорсткості відповідальних елементів машин, конструкцій та споруд. При розв‘язуванні контактних задач для тіл скінченних розмірів і складної форми використовуються сучасні чисельні методи, застосування яких основано на комп’ютерних технологіях та сучасному програмному забезпеченні у вигляді проблемно-орієнтованих пакетів дослідницьких і прикладних програм.

Актуальність теми. Одним з найбільш ефективних сучасних методів розв’язування широкого класу контактних задач є метод R-функцій (RFM). Можливості аналітичного опису граничних умов практично будь-якої складності та наявність алгоритмічного і програмного забезпечення, яке об’єднано у системі програм “ПОЛЕ”, обумовили його широке застосування та необхідність подальшого розвитку. Серед варіаційних постановок задач теорії пружності у рамках RFM, де раніше використовувались тільки екстремальні принципи Лагранжа та Кастільяно, дедалі більший інтерес дослідників викликають мішані постановки, які базуються на принципі Рейсснера. До суттєвих переваг цього принципу можна віднести можливість незалежно апроксимувати переміщення і напруження та простоту побудови структур розв’язків складних крайових задач. Однак у цьому напрямку, особливо при розв’язуванні контактних задач, мають місце невирішені питання, які пов’язані з обґрунтуванням достовірності та точності наближених розв’язків, з побудовою їхніх структур для складених і однорідних тіл довільної геометричної форми при різноманітних умовах контактної взаємодії, з розробкою ефективних методів пошуку невідомих областей контакту.

Робота, яка спрямована на створення й обґрунтування методу розв’язування контактних задач за допомогою RFM на базі принципу Рейсснера для однорідних і складених тіл довільної форми з різноманітними граничними умовами, на розробку критеріїв оцінки достовірності і точності наближених розв’язків, є актуальною у теоретичному та прикладному аспектах.

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Дисертаційні дослідження автор виконував у 1996-2002 рр. у відділі прикладної математики та обчислювальних методів Інституту проблем машинобудування ім. А.М. Підгорного НАН України відповідно до: –

держбюджетної теми №1 Г.Р.№0198U004125 НАН України “Розвиток теорії R-функцій /RFM/, поширення її предметної області, удосконалення конструктивних програмних засобів ” (1998–2001 рр.);–

держбюджетної теми №185 Г.Р.№0194U035430 НАН України “Високоінтелектуальні системи проектування, які орієнтовані на використання алгебраізованих структурних формул розв’язків крайових задач” (1994-1997 рр.);–

гранту 1.4/162 Міністерства у справах науки та технологій “Розробка нових методів математичного моделювання задач механіки суцільних середовищ на основі теорії R-функцій та неархімедових числень” (1998-2001 рр.).

Мета і задачі дослідження. Метою роботи є розробка методу, алгоритмів та програм розв’язання плоских контактних задач теорії пружності для однорідних та складених тіл довільної форми з різноманітними граничними та контактними умовами методом R-функцій на базі мішаного функціоналу Рейсснера з використанням програмуючої системи “ПОЛЕ”. Для реалізації цієї мети у роботі вирішено наступні задачі:–

надано математичну постановку плоских контактних задач теорії пружності для однорідних тіл з ідеальними неутримуючими жорсткими в’язями і тіл шаруватої структури з ідеальним та неідеальним контактом між шарами на базі варіаційного принципу Рейсснера;–

побудовано структури розв’язків контактних задач, які точно задовольняють усім граничним та контактним умовам та дозволяють враховувати додаткову інформацію про особливості та відомі точні розв’язки;–

запропоновано інтегральний критерій для оцінки достовірності та точності наближених розв’язків. Він заснован на порівнянні потенційної енергії деформацій та додаткової роботи напружень, які обчислені на незалежних апроксимаціях переміщень та напружень.–

розроблено ітераційний метод пошуку невідомих областей контакту з використанням двох незалежних критеріїв щодо від’ємності контактних напружень та відсутності взаємопроникнення тіл за межами контакту, за яким вихідну нелінійну мішану задачу зведено до послідовності лінійних задач; –

проведено дослідження з достовірності запропонованого методу і отримано розв’язки низки контактних задач, які мають наукове та практичне значення;

Об'єктом дослідження є однорідні та складені плоскі тіла довільної форми з різними умовами контактної взаємодії.

Предмет дослідження – варіаційні постановки плоских контактних задач, структури розв’язків, критерії достовірності та точності наближених розв’язків, напружено-деформований стан об’єктів дослідження.

Методи дослідження містять методи теорії R-функцій, метод Рітца для пошуку стаціонарних точок функціоналу Рейсснера, функціональні та програмні методи програмуючої системи “ПОЛЕ”.

Наукова новизна одержаних результатів. За дослідженнями, які виконано у роботі, одержано нові наукові результати:–

вперше, на підставі використання методу R-функцій та варіаційного принципу Рейсснера, створено метод розв’язання плоских контактних задач теорії пружності для однорідних та складених тіл шаруватої структури різноманітної геометричної форми з ідеальним і неідеальним контактом;–

надано подальшого розвитку методу R-функцій за рахунок побудови нових структур розв’язків мішаних контактних задач, які задовольняють усім граничним та контактним умовам;–

вперше, для оцінки достовірності та точності наближених розв’язків, запропонован та практично апробован інтегральний критерій, який базується на порівнянні потенційної енергії деформацій та додаткової роботи напружень, які обчислені на незалежно апроксимованих переміщеннях та напруженнях. Цим порівнянням перевіряється “нев’язка” у виконанні природних умов, які випливають з функціоналу Рейсснера у вигляді фізичних співвідношень.–

вперше, для пошуку невідомих областей контакту, одночасно використовуються два критерії визначення зон контакту та відриву. Вони базуються на незалежних апроксимаціях напружень та переміщень;–

отримано розв’язки низки контактних задач у різних варіантах їх формулювання (однорідні та неоднорідні пружні середовища, ідеальний та неідеальний контакт, різноманітні геометричні форми), які підтверджують ефективність розробленого методу та мають наукове і практичне значення.

Достовірність отриманих результатів забезпечується перевіркою збіжності результатів у конкретних задачах за допомогою інтегральних критеріїв, які походять з основних фізичних законів, та локальних критеріїв при змінах вимірності апроксимаційних просторів і аналізі стабілізації результатів розв’язків, порівнянням результатів при використанні різних структур для даної задачі, порівнянням розв’язків окремих задач з відомими розв’язками, які отримано за допомогою інших методів.

Практичне значення одержаних результатів. Для програмуючої системи “ПОЛЕ” розроблено алгоритми і програми, що дозволяє ефективно розв'язувати широкий клас практично важливих задач, які можуть бути зведені до плоских контактних задач теорії пружності для однорідних та складених тіл. Отримані в роботі результати, висновки та рекомендації поповнюють теоретичну і практичну базу знань для розробки науково-обґрунтованих методів розрахунку на міцність та жорсткість відповідальних елементів конструкцій. Вони можуть бути застосовані при проектуванні елементів і вузлів у будівництві та машинобудуванні. Результати дисертаційної роботи використано ДП “Завод імені Малишева” для розрахунків пружної лінійної податливості опорного вузла колінчастого валу дизеля Д80, який моделювався складеним двошаровим плоским тілом в умовах ідеального контакту між шарами. Це підтверджено актом із застосування розробок та результатів досліджень дисертаційної роботи.

Апробація результатів дисертації. Основні результати дисертаційної роботи обговорювалися на міжнародних науково-технічних конференціях: "Інформаційні технології: наука, техніка, технологія, освіта, здоров'я" (м. Харків) у 1998 р. та 2000 р., "Фізичні і комп'ютерні технології в народному господарстві" (м. Харків) у 2001 р. та 2002 р., на науковому семінарі відділу прикладної математики та обчислювальних методів Інституту проблем машинобудування ім. А.М. Підгорного НАН України (керівник – академік НАН України Рвачов В. Л.) у 1999 р., на засіданні НТПР “Динаміка та міцність машин” (керівник – член-кор. НАН України Божко О.Є.), ІПМаш, м. Харків, 2002 р.

Публікації. За темою дисертації опубліковано 9 наукових праць, з них 5 опубліковано у фахових виданнях, оговорених ВАК України, 4 – у збірниках праць міжнародних науково-технічних конференцій.

Особистий внесок здобувача. Усі результати дисертаційної роботи отримано особисто здобувачем. В опублікованій із співавтором В.Л. Рвачовим роботі [6] здобувачеві належать побудова структур, алгоритмів, програм та чисельні дослідження.

Структура і обсяг роботи. Дисертація складається зі вступу, чотирьох розділів, висновків, списку використаних джерел із 145 найменувань на 15 сторінках та додатку. Загальний обсяг роботи становить 162 сторінки, включаючи 30 рисунків та 10 таблиць.

ОСНОВНИЙ ЗМІСТ РОБОТИ

У вступі надано загальну характеристику роботи, у якій обґрунтовано актуальність, наукову новизну та практичну цінність результатів дисертації, визначено мету та задачі досліджень, а також наведено кваліфікаційні ознаки дисертації.

У першому розділі надано огляд стану проблеми за темою роботи. Розглянуто класичні та сучасні постановки контактних задач теорії пружності і методи їх розв’язування. На підставі огляду літературних джерел зазначено, що в великій кількості досліджень, які присвячено контактним задачам для тіл скінченних розмірів та складної форми, провідна роль належить методам чисельних досліджень: скінченних елементів (МСЕ) та R-функцій, які застосовані в роботах А.М. Підгорного, П.П.Гонтаровського, А.С.Кравчука, А.І.Гасанова, Б.Я.Кантора, В.Л. Рвачова, В.С.Проценка, А.П.Слесаренка, М.С.Синєкопа, М.М.Хом’яка, М.В.Марчука та інших. Менш досліджено методи для розв’язування такого класу задач на базі мішаних варіаційних постановок, зокрема на базі варіаційного принципу Рейсснера. Останні розглянуті в роботах В.І.Слівкера, Ф. C’ярле, С.Ю.Єрьоменка, В.А.Хвороста, В.А.Сала та інших. У роботах О.К.Морачковського, В.А.Сала та Ю.В. Ромашова надано критерій збіжності методу Рітца для функціоналу Рейсснера в задачах теорії пружності при точному виконанні усіх граничних умов. У порівнянні з традиційними, перевагою у використанні цього підходу є незалежна апроксимація переміщень та напружень, що дозволяє в рамках RFM точно задовольнити усім граничним умовам задачі. Окрім цього, можна підвищити точність у визначенні напружень та уникнути необхідності у визначені високого порядку похідних, а при розв’язуванні контактних задач з невідомими границями контакту використовувати більш обґрунтовані критерії, які базуються на незалежних перевірках від’ємності напружень у зонах контакту та взаємонепроникнення тіл у зонах відриву. Відзначається, що RFM на базі мішаного варіаційного принципу Рейсснера практично не використовувався для розв’язання класу плоских контактних задач теорії пружності, які розглянуто у дисертаційній роботі. Слід також додати, що в літературі відсутня достатня сукупність критеріїв оцінки достовірності та точності отриманих наближених рішень. На основі огляду сформульовані задачі досліджень.

Другий розділі присвячено варіаційній постановці плоских контактних задач теорії пружності для однорідних та шаруватих тіл довільної геометричної форми з відомими та невідомими областями контакту на базі принципу Рейсснера.

Однорідне пружне тіло з ідеальними неутримуючими жорсткими в’язями займає у декартовій системі координат область з границею. Прийнято, що на дільницях, задані, відповідно, статичні

(1)

та кінематичні граничні умови

. (2)

Дільниці є виділеними для тіл, що взаємодіють із жорсткими штампами. Для області контакту, яка вважається визначеною при проникненні , контактні умови мають вигляд:

. (3)

Взаємодія пружного тіла із жорсткими однобічними ідеальними в’язями на дільниці відповідає наступній системі умов:

(4)

Дільницю контакту представлено складеною із дільниць: , де виконуються умови

(5)

та , де виконуються умови

(6)

Наведено метод пошуку невідомих областей контакту, який базується на апріорному визначенні дільниць контакту і опису граничних умов на них у вигляді строгих рівностей. Визначення цих областей здійснюється за допомогою ітераційного методу при виконанні умов (5) – (6). Відповідно з цим методом вихідна нелінійна крайова задача зводиться до послідовності лінійних задач з умовами у вигляді строгих рівностей, які формулюються для апріорі заданих зон контакту та відриву. В запропонованому методі використовуються два критерії визначення невідомої області контакту: на межах областей контакту повинна виконуватись з прийнятою точністю умова рівності нулю нормальних напружень з від’ємністю останніх у зоні контакту, а у зоні відриву – із заданою точністю умова непроникнення тіл які контактують між собою. На кожному кроці області контакту уточнюються за прийнятими критеріями. Визначення напружено-деформованого стану тіл на -ому кроці ітераційного процесу зведено до пошуку стаціонарної точки функціоналу Рейсснера, який має вигляд

Рівнянням Ейлера для цього функціоналу є фізичні співвідношення теорії пружності (при виконанні геометричних співвідношень) та рівняння рівноваги, а граничними умовами – співвідношення (1) – (6).

Складене тіло шаруватої структури займає область =з границею . Ця границя складається з дільниць, які належать лише одному шару (зовнішня границя), та дільниць (), які розділяють шари. На зовнішній границі складеного тіла задано кінематичні

(7)

та статичні

(8)

умови.

Стан міжшарової взаємодії описується векторами контактних напружень , та переміщень , поверхонь, які контактують. На границях розділу шарів моделюються умови ідеального та неідеального контаку. Під ідеальним контактом розуміється повне зчеплення шарів. У цьому випадку на () виконуються умови

(9)

. (10)

В умовах неідеального контакту шари, що взаємодіють, являють один для одного ідеальнi неутримуючi пружнi в’язi . Якщо припускається відрив шарів, виконуються умови

до того ж виконується умова

.

Дільниці , , представлені складеними з , де виконуються умови

(11)

та , де виконуються умови

. (12)

Функціонал Рейсснера для ідеального контакту перетворено до наступного вигляду

де

У разі неідеального контакту (на -ому кроці ітераційного процесу) цей функціонал перетворено до вигляду

У третьому розділі надано метод розв’язування сформульованих у другому розділі контактних задач, який базується на застосуванні методу Рітца і RFM для пошуку стаціонарних точок мішаного функціоналу Рейсснера. Наведено стислі відомості з теорії R-функцій. За допомогою формули “склеювання” В.Л. Рвачова - А.П. Слесаренка побудовано структури розв’язків контактних задач для однорідних та шаруватих тіл, які тотожно задовольняють усім граничним та контактним умовам.

Для однорідних тіл компоненти векторів напружень та переміщень задовольняють умовам (1)–(3), (5),(6), а для шаруватих тіл – зовнішнім граничним умовам (7), (8), умовам ідеального (9), (10) та неідеального міжшарового контакту у вигляді рівностей, які містяться у співвідношеннях (11) , (12).

Для прикладу, нижче наведені структури окремих компонент та () для шаруватих тіл, які визначено в областях ():

(13)

(14)

–

для неідеального контакту.

Тут , , , , , – нормалізовані до першого порядку рівняння відповідних дільниць ; , ,, – направляючі косинуси; ,, ,,, , , ,, ,, ,, , , , , – невизначені функції. В структурах (13), (14) враховано умови

Для однорідного тіла, у яке вдавлюються гладкі штампи, наведено методику урахування в структурах розв’язків особливостей напружень у їхніх кутових точках типу , де – напівширина площадки контакту під штампами. У зв’язку з цим структурна формула для компоненти переміщення під штампом містить доданок наступного вигляду

де , містять точний розв’язк задачі про вдавлювання гладкого штампа у пружну напівплощину. Структурна формула для контактного напруження містить множник .

Для двошарового тіла, у круговому отворі зовнішнього шару якого розташована з натягом шайба в умовах неідеального контакту, наведено методику урахування відомого аналітичного розв’язку. Він передбачає суперпозицію двох розв’язків. Перший з них є розв’язком цієї ж задачі для зовнішнього шару необмежених розмірів, другий – відповідає тілу скінченних розмірів з довільною зовнішньою границею. При цьому на зовнішньому контурі задаються навантаження, які компенсують напруження першого розв’язку, а натяг на внутрішньому контурі дорівнює нулю.

Як відомо, достовірність та точність наближених розв'язків суттєво залежить від значної кількості факторів, до яких, зокрема, належать: типи обраних базисних функцій, їхня кількість, співвідношення між їхніми кількостями у апроксимації переміщень та напружень, а також точність інтегрування. Тому для оцінки отриманих розв’язків у дисертації запропоновано критерій, за яким наближений розв’язок вважається точним, якщо відносна різниця між значеннями - потенційної енергії деформацій, яка обчислена за знайденими переміщеннями, і - додаткової роботи напружень, яка обчислена аналогічно за напруженнями, не перевищує наперед прийнятого значення. Цей інтегральний критерій оцінює точність виконання фізичних співвідношень теорії пружності. Додатково, у достатній кількості перерізів, перевіряється точність виконання інтегральних рівнянь рівноваги. Цей інтегральний критерій забезпечує точність обчислення напружень. Збіжність параметрів напружено-деформованого стану в окремих точках та зонах області забезпечується за рахунок виконання з заданою точністю граничних умов в зонах контакту та відриву на базі незалежної апроксимації переміщень і напружень.

З метою апробації методу та можливості за допомогою запропонованих критеріїв отримувати з достатньою точністю достовірні розв’язки, розглянуто задачу розрахунку напружено-деформованого стану однорідної прямокутної пластини, яка жорстко защемлена з бокових сторін і навантажена на верхній стороні рівномірно розподіленим навантаженням (рис.1). На рис. 2 наведено окремі результати, які свідчать про достатню точність

наближеного розв’язку. Порівнювались розв’язки, які отримані за допомогою МСЕ ( ), методу сіток ( ) та методу R-функцій на базі функціоналу Лагранжа ( ) з розв’язком, який отримано запропонованим методом ( ). В останньому випадку розв’язки відрізнялись кількістю базисних функцій – степеневих поліномів та різними співвідношеннями між їхніми кількостями в апроксимаціях переміщень та напружень. Точність наближеного розв’язку контролювалась за допомогою запропонованих критеріїв. Обчислені напруження, які визначено на базі незалежної апроксимації згідно з принципом Рейсснера мають більшу точність ніж ті, що визначено при використанні принципу Лагранжа.

Четвертий розділ присвячено розв’язанню низки задач на базі запропонованої методики із застосуванням програмуючої системи “ПОЛЕ”. Увагу

приділено з одного боку розв’язанню задач, які мають науковий та практичний інтерес, а з другого – обґрунтуванню достовірності та точності отриманих наближених розв’язків. В останньому випадку розв’язки, які задовольняли розробленим у роботі критеріям, порівнювались з існуючими точними або наближеними розв’язками, які отримано іншими методами.

У підрозділі 4.1. розв’язано контактні задачі для однорідних тіл, на які накладено неутримуючі жорсткі в’язі. Для апроксимації невизначених компонент структур розв’язків використовувались поліноми Чебишева.

У задачі контактної взаємодії пружного тіла у формі трапеції з прямолінійними або криволінійними (у вигляді параболи) боковими сторонами та жорсткої неутримуючої основи без урахування тертя (рис.3 а,б), досліджено вплив геометричних параметрів на наявність, кількість та розміри зон контакту.

Рис.3. Розрахункові схеми однорідних тіл

У кожному випадку розглянуто два варіанти значень геометричних параметрів. У першому випадку (рис.3 а) виявлено по одній зоні контакту у центрі, а у другому випадку (рис.3 б) одну та три зони контакту, які розташовані симетрично відносно осі y.

Для тіла, що стискається двома жорсткими штампами між жорсткими стінками (рис.3 в), пошук зони контакту на стінках здійснено за методом, який запропоновано в роботі та RFM зі сплайн-апроксимацією у структурах для переміщень із використанням варіаційного принципу Лагранжа. При розв’язанні задачі враховано інформацію про особливості, що мають місце в кутових точках штампів, згідно з запропонованою в роботі методикою.

За даними розрахунків, які отримано обома методами, визначено по одній зоні контакту, яка є симетричною відносно осі x. Розбіг між довжинами контактної зони, що визначені обома методами склав 7%. Розподіл нормальних переміщень та напружень тіла на границях наведено на рис.4, де ( ) – переміщення та ( ––– ) – напруження, які визначено запропонованим методом, а ( ) – переміщення та (

) – напруження, які визначено на базі принципу Лагранжа.

Ці данні свідчать про те, що різниця між напруженнями, які визначено обома методами, є більш значною ніж різниця між переміщеннями. Це пояснено тим, що при використанні функціоналу Рейсснера переміщення і напруження визначаються як незалежні, а при використанні функціоналу Лагранжа визначаються тільки переміщення, а напруження визначаються шляхом диференціювання наближених функцій переміщень.

У підрозділі 4.2. розв’язані контактні задачі для двошарових тіл з ідеальним контактом між шарами.

Розглянуто тіло, що надано на рис.5. На верхній кромці зовнішнього шару задано рівномірно розподілене навантаження, а три інші кромки є жорстко закріпленими. Спочатку, для тестування методу, розглянуто однорідне суцільне тіло з використанням структур розв’язків для безперервних полів напружень та переміщень. Далі, для однорідного суцільного тіла використано структури розв’язків для складеного тіла, шари якого виготовлені з одного матеріалу. Аналіз результатів показав, що за обома підходами дані напружено-деформованого стану співпадають з високою точністю.

Далі розглянуто тіло з шарами, що виготовлено з різних матеріалів. При цьому жорсткість внутрішнього шару у порівнянні з зовнішнім послідовно підвищувалась, включаючи випадок, коли внутрішній шар можна вважати абсолютно твердим тілом. Показано, що різниця між жорсткостями шарів суттєво впливає на напружено-деформований стан тіла, насамперед, у зоні контакту. Ці розрахункові дані ілюстровано на рис.6, де надані розподілення нормальних напружень на контактній границі шарів при варіюванні модулю пружності внутрішнього шару. Модуль пружності зовнішнього шару прийнято незмінним=, а для внутрішнього шару : 1–=, 2 –=, 3 – =, 4 – =, 5 – =.

Для обґрунтування достовірності отриманих результатів виконано порівняння отриманих даних з даними для абсолютно жорсткого внутрішнього шару, що отримано безпосередньо за рахунок відповідних граничних умов. При цьому враховано переміщення внутрішнього шару, як абсолютно твердого тіла. Порівнянням визначено, що отримані результати співпадають з достатньо високою точністю.

Розв’язано задачу про контактну взаємодію пружного зовнішнього шару з абсолютно жорстким нерухомим внутрішнім шаром. Дослідження показали наявність зміни знаку у контактних напруженнях у нижній частині контактної зони, що у випадку неідеального контакту відповідає відриву між шарами.

Далі розглянуто прикладну задачу необхідну для визначення квазістатичної та динамічної міцності колінчастих валів ДВЗ, яка суттєво залежить від жорсткостних характеристик їхніх опорних вузлів. У роботі визначено пружну лінійну податливість опорного вузла колінчастого валу дизеля Д80, який моделювався двошаровим тілом з ідеальним контактом. Розрахункові схеми надані на рис.7.

Рис.7. Розрахункові схеми опорного вузла:

1– бугельна частина; 2 – несучий лист

Граничні умови прийняті відповідними випадкам дії сил тиску газів (рис.7 а) та сил інерції (рис. 7 б). Отримані результати використані на Харківському ДП “Завод імені Малишева”, що підтверджено актом в додатку до дисертації.

У підрозділі 4.3 розглянуто контактні задачі для двошарових тіл з неідеальним контактом між шарами. У цьому класі задач поверхні контакту кожного тіла є неутримуючими ідеальними в’язями.

Моделі двошарових тіл з шарами, які з’єднані напруженою посадкою без зовнішнього навантаження, надані на рис.8.

Рис.8. Двошарові тіла з напруженою посадкою

У цих задачах застосовано відомі точні рішення для нескінченної зовнішньої області. У дослідженнях з’ясовано, що використання у структурах розв’язків точних рішень, значно підвищує ефективність розрахунків та точність результатів. Надано результати для низки розрахунків. Встановлено вплив співвідношення між розмірами шарів на напружено-деформований стан тіла. Визначено межу для розмірів границі зовнішнього шару, при якій наближене рішення співпадає з точним. Зроблено висновки про те, що такий збіг реалізується при конкретних скінченних розмірах зовнішнього шару. Це дозволяє при конкретних розмірах границь зовнішньої області вважати розв’язком задачі точне рішення, а також свідчить про достовірність отриманих результатів.

Наприкінці роботи надано результати для випадку пружного зовнішнього шару, що спирається на абсолютно жорсткий нерухомий внутрішній, подібно тому, як це розглянуто у підрозділі 4.2. (рис.5), але з умовами неідеальності контакту між шарами. За допомогою двокритеріального ітераційного методу було знайдено одну зону контакту на нижній поверхні з кутом охоплення, що дорівнює 152.5 0.

ВИСНОВКИ

За дослідженнями, що виконано в роботі відповідно до її мети, створено метод розв’язання плоских контактних задач теорії пружності для однорідних та складених тіл шаруватої структури із складною формою при різних граничних та контактних умовах. Виконані чисельні дослідження ряду контактних задач на базі методу теорії R-функцій та мішаного принципу Рейсснера із використанням програмуючої системи “ПОЛЕ”.

До найсуттєвіших наукових та практично значимих результатів, що отримані особисто автором дисертації можна віднести:

1. Надано постановки плоских контактних задач теорії пружності для однорідних та складених тіл шаруватої структури довільної геометричної форми з ідеальним і неідеальним контактом та метод для їхнього розв’язання на підставі використання методу R-функцій та варіаційного принципу Рейсснера.

2. Побудовано нові структури розв’язків мішаних контактних задач, які задовольняють усім граничним та контактним умовам, що надає подальшого розвитку методу R-функцій.

3. Запропоновано інтегральні критерії для оцінки достовірності та точності наближених розв’язків, за якими на підставі порівняння значень для потенційної енергії деформації та додаткової роботи напружень, що визначені на незалежно одержаних апроксимаціях переміщень та напружень, встановлюється ступінь виконання з прийнятою точністю фізичних співвідношень теорії пружності, виконання умов рівноваги у достатній кількості перерізів та збіжність параметрів напружено-деформованого стану в окремих зонах, точках та на границях областей контакту.

4. Для пошуку невідомих границь областей контакту із одночасним використанням двох критеріїв щодо визначення зон контакту та відриву на незалежних апроксимаціях напружень та переміщень запропоновано ітераційний метод, за яким вихідну нелінійну крайову задачу зведено до розв’язання послідовності лінійних задач.

5. Здійснено дослідження з достовірності результатів роботи за даними із збіжності наближених розв’язків та доброю узгодженості порівняних результатів при використанні різних структур та розв’язків окремих задач із відомими результатами, які отримані за допомогою інших методів.

6. Отримані розв’язки низки контактних задач для різних варіантів їхнього формулювання щодо неоднорідних пружних тіл складної форми, ідеального та неідеального контакту, які підтвердили ефективність методу, що створено в роботі та мають наукове і практичне значення. Результати, щодо опорних вузлів колінчастого валу Д80, використано на підприємстві "Завод ім.. Малишева" (м. Харків).

ПУБЛІКАЦІЇ ЗА МАТЕРІАЛАМИ ДИСЕРТАЦІЙНОЇ РОБОТИ

1. Тарсис Е.Ю. Метод R-функций для решения задач теории упругости составных тел на основе смешанных вариационных принципов // Доповіді НАН України. – 2002.–№1.– С.63–69.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

АНОТАЦІЯ

Тарсіс К.Ю. Розв’язування плоских контактних задач теорії пружності методом R-функцій на базі варіаційного принципу Рейсснера. – Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата технічних наук за спеціальністю 01.02.04 – механіка деформівного твердого тіла. – Інститут проблем машинобудування ім. А.М. Підгорного НАН України, Харків, 2003.

Дисертаційна робота присвячена створенню метода розв’язання плоских контактних задач теорії пружності для однорідних і складених тіл довільної форми з різними умовами контакту за допомогою методу R-функцій на базі варіаційного принципу Рейсснера. Запропоновано ітераційний метод пошуку невідомих областей контакту з використанням двох критеріїв. Стаціонарні значення функціоналу Рейсснера відшукуються методом Рітца. Побудовано структури розв’язків контактних задач, які точно задовольняють усім граничним та контактним умовам, і дозволяють використовувати інформацію про особливості рішень та відомі точні розв’язки для канонічних областей. Запропоновано та обґрунтовано критерії достовірності та точності розв’язків. Отримані розв’язки контактних задач для однорідних тіл з неутримуючими ідеальними жорсткими в’язями та двошарових тіл в умовах ідеального та неідеального контакту між шарами. Досліджено вплив геометричних та фізичних параметрів на їхній напружено-деформований стан. Визначено лінійну податливість опорного вузла колінчастого вала дизеля Д80. Достовірність отриманих результатів забезпечувалась виконанням відповідних критеріїв, порівнянням результатів, які отримано з використанням різних структур, та порівнянням результатів розв’язків окремих задач з результатами, які отримано за допомогою інших методів. Результати досліджень впроваджено в методичне та алгоритмічне забезпечення програмуючої системи “ПОЛЕ”.

Ключові слова: плоскі контактні задачі, однорідні та складені тіла, метод R-функцій, варіаційний принцип Рейсснера, метод Рітца, структури розв’язків, критерії оцінки наближених розв'язків, ідеальний та неідеальний контакт, програмуюча система “ПОЛЕ”.

ABSTRACT

Tarsis K.U. Solving plane contact problems of elasticity by R-functions method on the bases of variational Reissner’s principle . – Manuscript.

Thesis for a candidate of technical sciences degree by the speciality 01.02.04 – Mechanics of the deformable solids. – A.M. Pidgorny’s Institute for problems in machinery, National Academy of Sciences of Ukraine, Kharkiv, 2003.

The work is devoted to creation of the method of the solution of the plane contact problems of elasticity for homogeneous and composite bodes with different contact conditions with the help of R-functions method based on the variational Reissner’s principle. The iterative method of searching of unknown contact areas with using of two criterions is proposed. The stationary values of Reissner’s funktional by Ritz’s method are searched. The structures of solutions of the contact problems which exactly satisfied contact problem boundary conditions and allow to use an additional information about singularities of solutions and known exact solutions for canonical areas are built in this work. The criterions of reliability and accuracy of solutions are offered and justified. The solutions of contact problems for homogeneous bodes with unilateral ideal rigid connections and two-layer bodes in conditions of ideal and imperfect contact interaction between layers are obtained. The resalts of investigations into methodical and algorithmic security of a programming system "ПОЛЕ" are introduced.

Key words: The plane contact problems, homogeneous and composite bodes, R-functions method, variational Reissner’s principle, Ritz’s method, the structures of solutions, the criterions of an estimation of approximate solutions, ideal and imperfect contact interaction, programming system “ПОЛЕ”.

АННОТАЦИЯ

Тарсис Е.Ю. Решение плоских контактных задач теории упругости методом R-функций на базе вариационного принципа Рейсснера. - Рукопись.

Диссертация на соискание ученой степени кандидата технических наук по специальности 01.02.04 – механика деформируемого твердого тела. – Институт проблем машиностроения им. А.Н. Подгорного НАН Украины, Харьков, 2003.

Диссертационная работа посвящена актуальной проблеме механики деформируемого твердого тела – созданию метода решения плоских контактних задач теории упругости для однородных и составных тел произвольной формы с различными условиями контакта. В работе используется метод R-функций на основе вариационного принципа Рейсснера. Разработан итерационный метод поиска неизвестных областей контакта, который сводит нелинейную задачу теории упругости к последовательности линейных задач на основе использования двух независимых критериев учитывающих отрицательность контактных напряжений и отсутствие взаимного проникновения тел за пределами контакта. Для поиска стационарных значений смешанного функционала Рейсснера применяется метод Ритца. Построены структуры решений, которые точно удовлетворяют всем граничным и контактным условиям и позволяют использовать дополнительную информацию об особенностях решений и известные точные решения для канонических областей, что повышает эффективность и точность результатов расчетов.

Для оценки достоверности и точности приближенных решений задач предложены следующие критерии: выполнение с принятой точностью физических соотношений теории упругости – проверка совпадения потенциальной энергии деформаций и дополнительной работы напряжений, вычисленных на независимых аппроксимациях перемещений и напряжений; выполнение с заданной точностью условий равновесия в достаточном количестве сечений; сходимость с достаточной точностью параметров напряженно-деформированного состояния в отдельных зонах и точках, в том числе на границах областей контакта. Выполнение этих критериев обеспечивается выбором типов и количеств базисних функций, их соотношениями в аппроксимациях перемещений и напряжений, а также точностью интегрирования по областям и границам.

Решен ряд контактных задач для однородных тел с неудерживающими идеальными жесткими связями, различающихся условиями нагружения и геометрией области. Для однородного тела трапецеидальной формы, одна грань которого нагружена распределенной нагрузкой, а другая опирается на жесткое основание, исследовано влияние геометрических параметров на количество, расположение и размеры областей контакта. В структурах решения для однородного тела с неудерживающими идеальными жесткими связями при внедрении в него жестких штампов учтена особенность напряженного состояния в угловых точках штампов и определены области контакта.

На примере двухслойных тел при идеальном контакте между слоями исследовано влияние соотношений жесткости материалов и характера внешних граничных условий на их напряженно-деформированное состояние. Для случая, когда один из слоев является абсолютно жестким, сопоставлены результаты решений, полученные при использовании разных математических моделей. На основе модели двухслойного тела выполнен расчет линейной упругой податливости опорного узла коленчатого вала дизеля Д80. Полученные результаты использованы на ГП ”Завод имени Малышева” для расчетов статической и динамической прочности коленчатого вала.

Решены задачи неидеального контакта между слоями двухслойного тела. Слои соединены напряженной посадкой с постоянным натягом, а внешний контур свободен от нагрузки. При построении структур использовано точное решение задачи с бесконечной внешней областью. Исследовано влияние размеров внешнего слоя на результаты решения. Представлен анализ расхождений между приближенным решением для тел конечных размеров и точным решением для бесконечных областей.

Получено решение задачи о неидеальном контакте упругого тела с абсолютно жестким неподвижным телом. На основе применения локальных критериев по напряжениям и перемещениям определена точка раздела между границами области контакта и отрыва.

Достоверность полученных результатов обеспечивалась выполнением интегральных и локальных критериев, сравнением результатов, полученных с использованием разных структур, и сравнением результатов решений отдельных задач с результатами, полученными с помощью других методов. Програмные разработки и структуры решений, полученные в работе внедрены в методическое и алгоритмическое обеспечение программирующей системы “ПОЛЕ”.

Ключевые слова: плоские контактные задачи, однородные и составные тела, метод R-функций, вариационный принцип Рейсснера, метод Ритца, структуры решений, критерии оценки приближенных решений, идеальный и неидеальный контакт, программирующая система “ПОЛЕ”.