Національна Академія наук України

Інститут кібернетики імені В. М. Глушкова

ВОЛЯНСЬКИЙ КОСТЯНТИН ЮРІЙОВИЧ

УДК 519.876.2 : 519.837

ПОЗИЦІЙНІ ІГРОВІ ІНТЕГРАЛЬНІ ТА ІНТЕГРО-ДИФЕРЕНЦІАЛЬНІ ЗАДАЧІ

ЗБЛИЖЕННЯ-ПЕРЕСЛІДУВАННЯ

01.05.02 математичне моделювання та обчислювальні методи

Автореферат

дисертації на здобуття наукового ступеня

кандидата фізико-математичних наук

Київ – 2003

Дисертацiєю є рукопис.

Робота виконана в Київському національному університеті імені Тараса Шевченка.

Науковий керівник: | член - кореспондент НАН України, доктор фізико-математичних наук, професор

ЧИКРІЙ Аркадій Олексійович,

Інститут кібернетики імені В. М. Глушкова НАН України, керівник відділу

Офiцiйнi опоненти: |

доктор фізико-математичних наук, провідний науковий співробітник

НЕНАХОВ Едуард Іванович,

Інститут кібернетики імені В. М. Глушкова НАН України, провідний науковий співробітник

кандидат фізико-математичних наук, доцент

РУРЕНКО Олександр Григорович,

Українська Академія державного управління при Президентові України, доцент кафедри інформаційних технологій

Провiдна установа: | Інститут космічних досліджень Національної академії наук України і Національного космічного агентства України, відділ системного аналізу і керування, м. Київ.

Захист вiдбудеться "20" червня 2003 р. о 12 год. на засiданнi спецiалiзованої вченої ради Д .194.02 при Інституті кібернетики імені В. М. Глушкова НАН України за адресою:

03680, МСП, Київ 187, пр. Академіка Глушкова, 40.

З дисертацiєю можна ознайомитися в науково-технічному архіві інституту кібернетики імені В. М. Глушкова.

Автореферат розiсланий "13" травня 2003 р.

Учений секретар

спецiалiзованої вченої ради СИНЯВСЬКИЙ В.Ф.

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальність теми. В різних галузях автоматичного керування, екології, економіки використовуються математичні моделі, в яких враховуються інтегральні характеристики досліджуваних процесів. В дисертаційній роботі розглянуто та досліджено математичну модель ігрової задачі зближення для конфліктно-керованих процесів із еволюцією Вольтерра, динаміка яких враховує не тільки локальні характеристики системи, а також історію її поведінки від початку гри. Для дослідження ігрової задачі, що розглянута в роботі, застосовується позиційний підхід, який раніше не використовувався для розв'язку задач такого класу.

Відомі фундаметальні результати застосування позиційного підходу в ігрових задачах переслідування-зближення стосуються систем, рух яких описуються диференціальними, інтегральними, інтегро-диференціальними рівняннями. Ці результати, отримані в роботах М. М. Красовського, А. І. Субботіна, Б. М. Пшеничного, А. О. Чикрія, Ю. С. Осіпова, В. Л. Пасікова, стали важливим базисом при виконанні даної роботи. Теоретичні здобутки В. Л. Пасікова були першим кроком у вивченні позиційного методу для інтегральних ігор із фіксованим моментом закінчення гри та жорсткими умовами на параметри процесів. Сутність проблеми, що досліджується в цій роботі, полягає в тому, що для застосування в задачах для процесів із пам'яттю існуючі розробки моделей на базі позиційного методу вимагають значного удосконалення та узагальнення. Більш того, враховуючи аналіз стану проблеми, виявляється, що раніше задачі у запропонованій постановці не розглядалися. Слід зазначити, що ігрові задачі для процесів із схожою динамікою розглядалися також в роботах С. Д. Ейдельмана, А. О. Чикрія, А. Г. Руренка. Для розв'язання цих задач застосовувався інший потужний метод теорії ігор _ метод розв'язувальних функцій.

Зв’язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Дисертаційна робота виконана у відповідності до плану наукових досліджень кафедри моделювання складних систем факультету кібернетики Київського національного університету імені Тараса Шевченка в межах науково-дослідної теми “Розробка структурованих математичних та програмних технологій для моделювання, аналізу, оцінки та оптимізації складних систем” ТЗ НДР №01БФ015-05 та проекту № 97544 “Розробка проблемно-орієнтованих математичних і програмних засобів моделювання, аналізу та синтезу керованих фізико-механічних систем” Міністерства науки і технологій України з фундаментальних та прикладних досліджень.

Мета і задачі дослідження. Метою роботи є дослідження моделі керування конфліктно-керованого процесу із еволюцією Вольтерра на базі позиційного підходу, що включає в себе розробку методу позиційних керувань для класів динамічних ігор в системах із динамікою Вольтерра. Предметом дослідження є ігрові задачі зближення для систем лінійних інтегральних рівнянь Вольтерра другого роду та інтегро-диференціальних рівнянь з ядрами, що мають неперервні характеристики, а також слабкі особливості.

Метод дослідження існування та побудови розв'язку ігрової задачі зближення в класі позиційних керувань для конфліктно-керованого процесу, еволюція якого визначається інтегральним оператором Вольтерра, грунтується на побудові та аналізі конструкцій, які допомагають визначити достатні умови завершення гри за скінчений час. Зміст цих конструкції природнім чином випливає з ідеології методу позиційних керувань. На основі методів теорії інтегральних рівнянь Вольтерра другого роду для інтегральних та інтегро-диференціальних ігор одержані представлення розв'язків відповідних рівнянь і подальше дослідження гри проводиться на основі отриманих результатів для конфліктно-керованого процесу загального вигляду.

Наукова новизна одержаних результатів полягає у тому, що в дисертації вперше:  була розглянута можливість застосування позиційного підходу в ігрових задачах зближення для конфліктно-керованих процесів з еволюцією типу Вольтерра з нефіксованим моментом закінчення гри;  отримано достатні умови закінчення гри для розглянутої системи;  на відміну від існуючих результатів застосування позиційного підходу для дослідження інтегральних ігор розглянуто ігрові задачі для процесів більш загального вигляду із значно слабкішими умовами на їх параметри, та, що дуже суттєво, нефіксованим моментом закінчення гри;  удосконалено та узагальнено основні конструкції методу позиційних керувань;  введено нове поняття позиції гри;  показано взаємозв'язок класичних квазілінійних диференціальних та інтегральних ігор;  як частинні випадки загальної задачі, яку було розв'язано, розглянуто інтегральні та інтегродиференціальні ігри для конфліктно-керованих процесів, параметри яких мають слабкі особливості;  для інтегро-диференціальних ігор вперше розглянуто випадок блоку керування у вигляді суми інтегрального та точкового підблоків.

Практичне значення одержаних результатів. Результати дисертаційної роботи можуть бути використані при розв'язанні задач автоматичного керування, задач керування в екологічних системах, в економіці, в яких модель конфліктно-керований процесу, що досліджується, описується інтегральним чи інтегро-диференціальним рівнянням вольтеррівського типу, і ставиться мета в конфліктній ситуації привести траєкторію процесу на задану термінальну множину циліндричного вигляду.

Особистий внесок здобувача. Основні результати, викладені в дисертації, отримані автором самостійно. В публікаціях, виконаних у співавторстві, А. О. Чикрію та Г. Ц. Чикрій належить постановка задач та рекомендації щодо методів їх розв’язування. Особистий внесок здобувача полягав у виконанні всіх основних досліджень, доведень, розв'язанні прикладів та формулюванні висновків.

Апробація результатів дисертації. Основні результати дисертаційної роботи доповідалися на:

-

-

-

-

-

-

-

Публікації. Основні положення дисертації висвітлено у 7 наукових роботах, з яких 4 надруковано у фахових виданнях, що затверджені ВАК України.

Структура та обсяг дисертації. Дисертаційна робота складається із вступу, трьох розділів, висновків, списку використаних джерел з 98 найменувань та двох додатків. Повний обсяг роботи становить 107 сторінок, з них 104 сторінок основного тексту.

ОСНОВНИЙ ЗМІСТ РОБОТИ

У вступі обґрунтовується актуальність вибраної теми, формулюється мета роботи, відзначається наукова новизна отриманих результатів та висвітлюється їх теоретична і практична цінність.

У першому розділі досліджується модель ігрової задачі зближення для конфліктно-керованого процесу із динамікою Вольтерра. Розділ починається з огляду літератури та аналізом проблеми, що розглядається в ньому. В підрозділі 1.1 наведено постановку задачі, яка полягає в наступному:

Розглянемо конфліктно-керований процес вигляду

, , (1)

де , - -мірні вектор функції; , - керування.

Нехай, - задані компакти , . Будемо вважати, що керування і, , є вимірними за Лебегом функціями із значеннями з областей и. Керування і, що задовольняють зазначеним вище умовам, будемо називати допустимими. Множини всіх допустимих керуваннь позначимо відповідно через и.

Введемо також позначення

.

Припустимо, що параметри процесу (1) задовольняють наступним умовам.

Умова 1. Вектор-функція є обмеженою.

Умова 2. Вектор-функція при будь-якому фіксованому значенні є неперервною за сукупністю змінних.

Пов’яжемо із рухом системи (1) ігровую задачу зближення. Нехай у грі беруть участь два гравці Р і Е, в розпорядженні яких знаходяться керування та відповідно. Нехай задана термінальна множина, що має вигляд циліндру

, (2)

де - лінійний підпростір з, - опуклий компакт з підпростору. Нехай в початковий момент часу.

Мета гравця Р полягає в тому, щоб при будь-якому можливому виборі гравцем Е керування з множини вибором керування з множини забезпечити попадання траекторії системи (1) на множину (2) за найменьший можливий час. Гра вважається закінченою в перший момент часу, , такий, що.

Станемо на боці гравця Р. Задача полягає в тому, щоб оцінити час, за який гравець Р може гарантувати собі закінчення гри, та побудувати позиційне керування, що забезпечує гравцю Р досягнення своєї мети. У підрозділі 1.2 наводяться допоміжні побудови та схема методу.

Очевидно, для довільного , , можна записати

.

Введемо позначення

, (3)

де , - довільні допустимі керування, які гравці Р та Е застосовували на відрізку ,. Для моменту часу покладемо

,. (4)

Таким чином, можна записати

.

Позначимо через ортопроектор, що діє з в. Очевидно, тоді і тількі тоді, коли

Розглянемо багатозначне відображення:

,. (5)

Багатозначне відображення є опуклозначним та напівнеперервним зверху.

Очевидно, що якщо при деяких , , множини та мають непорожній перетин, то це означає з огляду на визначення (5), що при будь-якому допустимому керуванні гравця Е на відрізку часу у гравця Р знайдеться таке керування , що в момент часу точка траєкторії системи (1) буде знаходитись на множині.

Множини , є опуклими. Використовуючи відомий результат з теорії опуклих множин, можна стверджувати, що множини і перетинаються тоді і тільки тоді, коли

,

де - позначення опорної функції опуклої множини.

Опорна функція багатозначного відображення буде мати вигляд

,.

Очевидно,

Отже, множини і перетинаються тоді і тільки тоді, коли значення

є невід'ємним.

Розглянемо функцію

, (6)

де , ,. Припустимо, що аргумент є фіксованим. Очевидно, - неперевна функція аргументів , і .

Градієнт функції по ,:

при довільному фіксованому є неперервною функцією аргументів , .

Розглянемо функцію

,

де - опорна функція множини .

Бар’єрним конусом опуклої множини є множина. При , очевидно, справедлива рівність , де - опорна функція множини . Оскільки - компакт, то функція є неперервною на множині.

Таким чином, можна записати, що

. (7)

Введемо позначення

, (8)

. (9)

Розглянемо час першого поглинання

.

Умова 3. Час першого поглинання є скінченним, тобто .

В роботі показано, що , якщо. Важливе значення при доведенні основних результатів дослідження має наступна лема.

Лема 1. Якщо , то .

Введемо позначення , . Позицією у грі будемо вважати пару , .

Основний результат про достатні умови завершення досліджуваної гри при використанні позиційного підходу дається в наступній теоремі.

Теорема 1. Нехай у грі зближення, яка розглядається для конфліктно-керованого процесу (1)

1) виконується умова 3;

2) для довільної позиції , такої, що, існує окіл точки такий, що множина (9) складається з єдиного елементу.

Тоді при довільному допустимому керуванні гравця Е гравець Р може закінчити гру за час, не більший, ніж.

В доведенні теореми показано, як будується позиційне керування гравця Р. А саме, в процесі конструювання позиційного керування гравця P, будується послідовність напівінтервалів , , на кожному з яких керування обирається у вигляді вимірного селектору наступного багатозначного відображення

, (10)

де , , .

За умов теореми при такому виборі керування гравця Р постійно виконується нерівність

, .

З цієї нерівності випливає, що рівність , яка означає, згідно лемі 1, закінчення гри, здійсниться не пізніше моменту часу .

В доведенні також показано, що процес побудови керування, який продовжується до моменту завершення гри є скінченим.

У підрозділі 1.4 розглянуто випадок, коли система складається з двох рухомих об'єктів.

Рівняння руху одного з них має вигляд

, , , (11)

рівняння руху іншого:

, . (12)

Функції , задовольняють умові 1, тобто є обмеженими, а функції, задовольняють умові 2.

Гравець Р – переслідувач - керує рухом об’єкту (11), а гравець Е – втікач - керує рухом об’єкту (12). Мета переслідувача полягає в тому, щоб при будь-якому можливому виборі втікачем керування з множини вибором керування з множини забезпечити за найменьший можливий час здійснення співвідношення

, (13)

де - вектор, що складається з перших координат вектору, . Вважаємо, що бажане для переслідувача співвідношення (13) в початковий момент часу не виконується, тобто .

Поставлену задачу можна інтерпретувати як переслідування об’єкту (12) об’єктом (11) по перших координатах.

Задача переслідування (11), (12), (13) легко зводиться до задачі зближення процесу (1), де, , з термінальною множиною (2), де , вектори _нульові . Тут _знак транспонування.

Таким чином, при розв'язанні задачі переслідування можна користуватися загальними результатами, отриманими в розділі 1 для задачи зближення конфліктно-керованого процесу із термінальною множиною циліндричного вигляду (2). Зауважимо, що в випадку, коли опуклий компакт складається з єдиної нульової точки, тобто, то в задачі про переслідування мова йде про точне зближення по перших координатах гравців.

Другий розділ присвячений дослідженню ігрової задачі зближення для конфліктно-керованого процесу, рух якого задається системою лінійних інтегральних рівнянь Вольтерра другого роду, з термінальною множиною вигляду (2).

Вважємо що у грі беруть участь два гравці Р і Е, в розпорядженні яких знаходяться керування і відповідно. Ці керування вибираються у вигляді функцій з множин , . Ціль гравця Р аналогічна тій, що визначена в розділі 1.

У підрозділі 2.1 наводиться постановка задачі. Нехай рух системи задається інтегральним рівнянням Вольтерра наступного вигляду

,

, , , (14)

де ; - -мірна вектор-функція, неперервна на множині; , - матричні функції порядків , відповідно, неперервні в замкнутому нескінченному трикутнику .

Вважаємо, що функція є неперевною за сукупністю змінних , . Будемо розглядати ігрову задачу зближення траєкторії системи (14) із термінальною множиною (2). Для того щоб застосувати загальні результати розділу 1 і побудувати позиційне керування гравця P, за допомогою якого розв’язується задача зближення, знайдемо представлення розв’язку рівняння (14). Цьому питанню присвячений підрозділі 2.2. Використовуючи відомості теорії інтегральних рівнянь Вольтерра в роботі отримано наступний результат.

На довільному відрізку , рівняння (14) має єдиний неперервний розв’язок . Цей розв’язок можна представити у вигляді

, , (15)

де

, (16)

, (17

матрична функція, яка є неперервною в трикутнику ,

- резольвента матриці , , матрична функція, що визначається рядом

, (18)

де

, , (19)

У підрозділі 2.3 знайдено представлення резольвент для деяких типів ядер, що часто зустрічаються в прикладних задачах.

У підрозділі 2.4 показано, яким чином для розв'язання задачі зближення для процесу (14) можуть бути використані загальні результати розділу 1.

Введемо позначення , , де функції , визначаються рівностями (16), (17). Очевидно, функції , задовольняють умови 1, 2. Тоді розв’язуючи задачу зближення для процесу (14), можна використовувати результати розділу 1, а саме теорему 1.

Підрозділ 2.5 присвячений питанню про зв'язок між інтегральними та диференціальними іграми зближення.

Таким чином, в розділі 2 розглянуто задачу зближення з термінальною множиною (2) для процесу (14). Для застосування загальних результатів розділу 1 в розділі 2 знайдено представлення розв'язку системи лінійних інтегральних рівнянь Вольтерра другого роду (14). Маючи представлення розв'язку для побудови позиційного керування, яке забезпечує зближення траєкторії системи (14) із термінальною множиною (2), можна діяти згідно викладеному в розділі 1 алгоритму.

Отриманий результат охоплює випадок неперервності, а також випадок слабкої особливості ядра системи інтегральних рівнянь. Виходячи з того, що для можливості застосування позиційного підходу в розглянутій задачі треба знати представлення розв'язку вихідного рівняння, що в свою чергу потребує знання резольвенти ядра цього рівняння, наведено приклади знаходження резольвент для деяких типів ядер.

Закінчення розділу 2 присвячено питанню про зв'язок важливих класів динамічних ігор _диференціальних та інтегральних. Показано, що диференціальні ігри є частинним випадком інтегральних, також показано, як цей факт відображається на побудовах позиційного методу при його застосуванні для диференціальних ігор, що повністю узгоджується з відомими класичними результатами. Наведено умови, при яких інтегральну гру не можна звести до диференціальної, також наведено умови, при яких інтегральну гру можна звести до диференціальної гри із специфічною правою частиною відповідного диференціального рівняння.

Третій розділ присвячений дослідженню ігрової задачі зближення для конфліктно-керованого процесу, рух якого задається системою квазілінійних інтегро-диференціальних рівнянь, з термінальною множиною вигляду (2).

У підрозділі 3.1 наводиться постановка задачі. Нехай рух системи задається квазілінійним інтегро-диференціальним рівнянням наступного вигляду

, , , , , , (20)

де , - матричні функції порядків , відповідно, неперервні на множині; вектор-функція - є неперевною за сукупністю змінних , . Вважаємо, що вигляд та характеристики функцій , , , є аналогічними тим, які були описані в розділі 2.

Будемо розглядати ігрову задачу зближення траєкторії системи (20) із термінальною множиною (2). Для того щоб застосувати загальні результати розділу 1 і побудувати позиційне керування гравця P, за допомогою якого розв’язується задача зближення, знайдемо представлення розв’язку рівняння (20).

Використовуючи відомості теорії лінійних диференціальних та інтегральних рівнянь в роботі отримано наступний результат.

Лема 2. На довільному відрізку , , рівняння (20) має єдиний неперевний розв’язок , який може бути представлений у вигляді

, (21)

де

, (22)

, (23)

, (24)

, (25)

де, в свою чергу,

, (26)

, (27)

- фундаментальна матриця однорідної системи

, , , (28)

- резольвента матриці,

, (29)

, (30)

, , .

У підрозділі 3.3 показано, яким чином для розв'язання задачі зближення для процесу (20) можуть бути використані загальні результати розділу 1. Введемо позначення , , де функції , , визначаються формулами (22)). Функції , є неперервними в трикутнику . Звідси, очевидно, що функції , задовольняють умови 1, 2. Тоді розв’язуючи задачу зближення для процесу (20), можна використовувати загальні результати розділу 1.

Підрозділ 3.4 присвячений розгляду модельних прикладів застосування теоретичних результатів, отриманих в розділах 1-3. Розглянуто шість прикладів систем інтегральних, інтегро-диференціальних диференціальних рівнянь, для яких знайдено розв'язок задачі зближення у класі позиційних керувань.

Таким чином, в розділі 3 розглянуто задачу зближення з термінальною множиною (2) для процесу (20). Для застосування загальних результатів розділу 1, як і в розділі 2, знайдено представлення розв'язку системи квазілінійних інтегро-диференціальних рівнянь (20). Для побудови моделі позиційного керування, яке, за певних умов, зазначених в теоремі 1, розв'язує поставлену ігрову задачу виведення конфліктно-керованого процесу (20) на термінальну множину (2), можна діяти згідно викладеному в розділі 1 алгоритму.

Отриманий результат охоплює випадок неперервності, а також випадок слабкої особливості ядра системи інтегро-диференціальних рівнянь. Розглянуто випадок, коли блок керування в правій частині системи рівнянь (20) представляє собою суму інтегрального та точкового підблоків. Вигляд інтегрального підблоку охоплює випадки неперервності та слабкої особливості матричного параметру підблоку.

У висновках сформульовано основні результати, отримані в дисертації. Додаток А присвячений питанню про властивості продовження розв'язків квазілінійних диференціальних та інтегральних рівнянь. Додаток Б присвячений актуальному питанню про оптимальність часу зближення, здійсненого за методом позиційних керувань.

ВИСНОВКИ

В дисертації одержано нові науково обґрунтовані результати в галузі динамічних ігор зближення-переслідування для конфліктно-керованих процесів із вольтерівською еволюцією.

Основні результати дисертаційної роботи полягають в наступному:

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

Запропонована методика може бути використана при розв’язанні широкого спектру задач з різних галузей народного господарства - автоматичного керування, економіки, екології, в яких враховується елемент конфлікту інтересів та перед-історія розвитку досліджуваних систем.

Основні положення дисертації опубліковані в таких працях:

1.  Волянский К. Ю. Об одной позиционной дифференциальной игре //Кибернетика и вычислительная техника. 1999. Вып. 125. С. 83-90.

2.  Чикрий А. А., Чикрий Г. Ц., Волянский К. Ю. Квазилинейные позиционные интегральные игры сближения // Проблемы управления и информатики. 2001. № 6. С. 528.

3.  Чикрий А. А., Волянский К. Ю. О позиционном управлении в интегральных и интегро-дифференциальных играх сближения для систем со слабыми особенностями // Проблемы управления и информатики. 2002. №4. С. 8592.

4.  Чикрий Г. Ц., Волянский К. Ю. О позиционном управлении в интегро-дифференциальных играх сближения // Кибернетика и системный анализ. 2002. №5. С. 100117.

5.  Чикрий А. А., Волянский К. Ю. О позиционном управлении в игровых задачах для систем интегро-дифференциальных уравнений // Збірка тез міжнародної конференції "Обчислювальна та прикладна математика", присвяченої 80-річчю академіка НАН України І.І. Ляшка, Київ, Вересень 9-10, 2002. - C. 99.

6. ChikriiVolyanskyyGame problems of pursuit for evolutionary conflict-controlled processes// Proceedings of the 10th International Symposium on Dynamic Games and Applications, Saint-Petersburg, July 8-11, 2002. Vol. I, p. 213-220.  

7. Positional integral game problems of pursuit //Abstract of conference reports, International Conference on Applied Mathematics dedicated to the 65-th anniversary of B.N. Pshenitchnyi, Kyiv, June 25-28, 2002. p. 113-114.

Волянський  К.Ю. Позиційні ігрові інтегральні та інтегро-диференціальні задачи зближення-переслідування.  Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01.05.02  математичне моделювання та обчислювальні методи. Київський національний університет імені Тараса Шевченка, Київ, 2003.

В дисертації досліджено модель позиційного керування для розв'язання задач зближення з термінальною множиною циліндричного вигляду траєкторії конфліктно-керованого процесу з еволюцією Вольтерра при нефіксованому моменті закінчення гри. Для розв'язку цих задач узагальнено та удосконалено основні конструкції позиційного методу для розв'язання задач зближення, в яких враховується історія поведінки досліджуваних систем. Введено нове поняття позиції гри. Отримано результати для випадків неперервності параметрів конфліктно-керованих процесів, а також слабкої особливості. Запропоновано алгоритм побудови позиційного керування у вигляді вимірного селектору спеціального багатозначного відображення. Досліджено інтегральні та інтегро-диференціальні ігри зближення.

Ключові слова: динамічні ігри, моделювання конфліктно-керованих процесів, позиційний підхід, інтегральні ігри, інтегро-диференціальні ігри, багатозначні відображення.

Волянский К.Ю. Позиционные игровые интегральные и интегро-диференциальные задачи сближения-преследования.  Рукопись.

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.05.02  математическое моделирование и вычислительные методы. Киевский национальный университет имени Тараса Шевченко, Киев, 2003.

В диссертации предложена и исследована модель позиционного управления для решения задач сближения с терминальным множеством цилиндрического вида траектории конфликтно-управляемого процесса с эволюцией Вольтерра при нефиксированном моменте окончания игры. Для решения этих задач обобщены и усовершенствованы основные конструкции позиционного метода для решения задач сближения, в которых учитывается история поведения исследуемых систем. Введено новое понятие позиции игры. Получены результаты для случаев неперерывности параметров конфликтно-управляемых процессов, а также слабых особенностей. Предложен алгоритм построения позиционного управления в виде измеримого селектора специального многозначного отображения. Исследованы интегральные и интегро-дифференциальные игри сближения.

Ключевые слова: динамические игры, моделирование конфликтно-управляемых процессов, позиционный подход, интегральные игры, интегро-дифференциальные игры, многозначные отображения.

VolyanskyyPositional game integral and integro-differential problems of approach and pursuit. – Manuscript.

Dissertation for pursuing Ph.D degree in the fields of Physics and Mathematics, specialization 01.05.02 – mathematical modelling and computational methods. – National Taras Shevchenko University, Kyiv, 2003.

The dissertation examines positional approach for solving game problems of driving conflict-controlled processes to a given terminal set of cylindrical form. The terminal set is represented as a sum of linear subspace and non-empty compact belonging to the orthogonal complement of the linear subspace. The dynamics of the conflict-controlled process is of Volterra type. Controls of the players are are considered to be Lebesque measurable functions with values from given compacts and their choice is at the disposal of the pursuer and the evader. The game is analyzed from the standpoint of the pursuer who in the shortest possible time strives to drive the trajectory of the process to the terminal set.

In the work the possibility to employ positional approach for solving the problem is investigated. With this end the evolution of the process is studied, constructions and scheme of the positional method are developed. In comparison to classical scheme for differential games the developed basic constructions of positional method considering the history of the system are generalized and improved. New conception of position of a game is introduced. The main result is formulated in a theorem giving sufficient conditions of existence of a pursuer's control in a class of positional strategies by means of which the pursuer can always drive the trajectory of the process to a terminal set whichever admissible control the evader would apply. The results are obtained for the cases of continuity and weak singularities of the parameters of conflict controlled processes. An algorithm of construction of positional control as a measurable selection of a special set-valued mapping is developed.

The game problems of approach with terminal set of cylindrical form for the systems with the dynamics described by quasi-linear integral and integro-differential equations are studied. In order to employ generalized results obtained in the work the formulas for solutions of these equations are derived and it is shown how to construct positional control of the pursuer. For common types of kernels of the second order Volterra linear integral equations the formulas for resolvents are obtained. The relation between classical scheme of positional control method for linear differential games of approach and the generalized scheme suggested in the work is studied.

In integro-differential game considered a case of control block represented by a sum of integral and point sub-blocks is studied.

The theoretic results obtained in the work are illustrated on examples of integral and integro-differential games.

Keywords: dynamic games, modeling of conflict-controlled processes, positional approach, integral games, integro-differential games, set-valued mappings.