НАЦІОНАЛЬНА АКАДЕМІЯ НАУК УКРАЇНИ

ІНСТИТУТ МАТЕМАТИКИ

ВОЛКОВА Марія Георгіївна

УДК 517.5

CПЕКТРАЛЬНИЙ АНАЛІЗ БЕЗУМОВНИХ РОЗКЛАДАНЬ

ЗА ЗНАЧЕННЯМИ ЦІЛИХ ВЕКТОР-ФУНКЦІЙ

ПОЛОВИННОГО ПОРЯДКУ ЗРОСТАННЯ

01.01.01 – математичний аналіз

Автореферат

дисертації на здобуття наукового ступеня

кандидата фізико-математичних наук

Київ – 2003

Дисертацією є рукопис.

Робота виконана в Південноукраїнському державному педагогічному університеті ім. К.Д. Ушинського МОН України (м.Одеса).

Науковий керівник: доктор фізико-математичних наук, професор

Губреєв Геннадій Михайлович,

Південноукраїнський державний педагогічний

університет ім К.Д.Ушинського (м.Одеса),

завідувaч кафедри математичного аналізу

Офіційні опоненти: доктор фізико-математичних наук Горбачук Валентина Іванівна,

інститут математики НАН України, провідний

науковий співробітник відділу диференціальних

рівнянь з частинними похідними,

доктор фізико-математичних наук, професор

Золотарьов Володимир Олексійович,

Харківський національний університет ім. В.Н.Каразіна, декан механіко-математичного факультету.

Провідна установа:

Одеський національний університет ім. І.І.Мечникова МОН України.

Захист відбудеться “1” липня 2003 р. о 15 годині на засіданні спеціалізованої вченої ради Д 26.206.01 Інституту математики НАН України за адресою:

01601, Київ-4, вул. Терещенківська, 3.

З дисертацією можна ознайомитися в бібліотеці Інституту математики НАН України

Автореферат розісланий ”31” травня 2003 р.

Вчений секретар спеціалізованої вченої ради Романюк А.С.

Загальна характеристика роботи

Актуальність теми. Позначимо через клас лінійних обмежених операторів В в сепарабельному гільбертовому просторі таких, що: 1) – спектр оператора; 3) ціла оператор-функція має скінченний експоненціальний тип зростання . Дисертаційна робота присвячена, головним чином , вивченню безумовних базисів гільбертового простору що складаються із значень цілої функції половинного порядку зростання і нормального типу, що визначається формулою

(1)

Таким чином, в роботі вивчаються умови на оператор , вектор та послідовність комплексних чисел , за яких сім’ї векторів

(2)

утворюють безумовні базиси простору , а також досліджуються властивості таких базисів . Крім того, в дисертації значну увагу приділено описанню безумовних базисів вигляду

(3)

декартового добутку n екземплярів простору , що будуються за набором регулярних вектор-функцій послідовністю комплексних чисел та за послідовністю А векторів .

При розв’язанні задач , що розглядаються в дисертації, роль моделей відіграють вектор-функціі зі значеннями в просторах , що канонічним чином будуються за довільною А2 – вагою Макенхаупта w2 на промені + . У повній відповідності з формулою (1) покладемо

(4)

де функція відповідає вазі w2 на промені (див.(5)) , а оператор і визначається формулою :

Якщо в цих формулах виходити від степеневої ваги то відповідна вектор-функція зображується за допомогою функції Міттаг-Леффлера :

Відзначимо, що задача про опис безумовних базисів гільбертового простору із значень функцій неоднаразово ставилась М.М. Джрбашяном. Оскільки вагам відповідають вектор-функції

відповідно , то задачі , що розглядаються в дисертації, є актуальними для спектральної теорії диференціальних операторів 2-го порядку на скінченному інтервалі. В численних роботах , присвячених повноті та базисності власних векторів оператора Штурма-Ліувілля , за допомогою операторів перетворення проблема зводилась до аналогічнних задач для сімей косинусів (синусів) , а ті , в свою чергу, до задач для відповідних сімей експонент. Проте такі підходи не є еквівалентними, оскільки ситуація, коли сім’я із значень косинусів утворює безумовний базис , а відповідна сім’я експонент не є базисом простору, зустрічається досить часто (в дисертації наведено приклади такого роду). В роботі знайдено загальний критерій безумовної базисності сімей функцій в просторах . На цьому критерії грунтується розв’язання задачі інтерполяції в гільбертових просторах цілих функцій половинного порядку зростання .

Далі , навіть найпростіші сім’ї вигляду (3) в просторах вектор-функцій відіграють фундаментальну роль в спектральному аналізі операторів , що породжуються канонічними системами диференціальних рівнянь (системи типу Дірака) . Відзначимо також , що сім’ї власних векторів одновимірних збурень операторів є системами вигляду (2). Тому результати дисертації, стосовно загальних сімей (2), (3), знаходять застосування при вивченні спектральної структури скінченновимірних збурень вольтеррових операторів.

Основні задачі дисертації розв’язуються за допомогою модифікації методу інтегральних оцінок норм резольвент, запровадженого в роботах Г.М. Губреєва. В цих работах вивчались цілі вектор-функціі

, та пов’язані з ними дискретні і неперервні біортогональні розклади . Граничний випадок , як правило , не вміщався у загальну схему міркувань і вимагав додаткового окремого розгляду . Основні теореми дисертації істотно доповнюють згадані результати Г.М. Губреєва і є внеском у загальну теорію безумовних базисів гільбертових просторів.

Зв’язок роботи з науковими програмами , планами , темами. Напрямок досліджень дисертації передбачався тематичним планом наукової роботи Південноукраїнського державного педагогічного університету (2000-2002 рр) у темі:

“Дослідження лінійних операторів і лінійних стаціонарних систем в гільбертовому просторі та пов’язаних з ними проблем теорії функцій , математичної фізики та теорії управління” № 0101U000273.

Мета і задачі дослідження . Метою роботи є:

1) подальше удосконалення методу інтегральних оцінок норм резольвент, яке уможливило б дослідження більш загальних класів несамоспряжених операторів без істотних обмежень на розташування їх спектру;

2) опис регулярних цілих вектор-функцій половинного порядку зростання та відповідних їм безумовних базисів гільбертових просторів;

3) розв’язання задачі інтерполяціі функціями з вагових класів цілих вектор-функцій половинного порядку зростання;

4) доведення повнотуи та безумовної базисності сімей значень вектор-функцій в декартових добутках гільбертових просторів.

Об’єкт дослідження- безумовні базиси в гільбертовому просторі, що складаються із значень цілих вектор-функцій половинного порядку зростання.

Предмет дослідження- розклади за безумовними базисами в гільбертовому просторі, що складаються із значень цілих вектор-функцій половинного порядку зростання.

Методи дослідження- інтегральні оцінки норм резольвент несамоспряжених операторів, що породжуються безумовними базисами.

Наукова новизна одержаних результатів.

1. Доведено повноту та безумовну базисність сімей w-квазікосинусів в просторах без істотних обмежень на розташування послідовності .

2. Поставлено і розв’язано задачу про опис регулярних квазікосинусів та породжених ними безумовних базисів гільбертових просторів.

3. Розв’язано задачу інтерполяції функціями з гільбертових просторів цілих функцій половинного порядку зростання та нормального типу.

4. Доведено повноту та безумовну базисність в декартових добутках гільбертових просторів сімей функцій, побудованих за заданим набором регулярних квазікосинусів.

Практичне значення одержаних результатів. Результати дисертаційної роботи мають теоретичний характер , а її методи знаходять застосування в спектральній теорії несамоспряжених операторів , в теорії спектральних задач для канонічних систем диференціальних рівнянь , в теорії інтерполяції цілими функціями .

Особистий внесок здобувача. Основні результати роботи одержано автором самостійно.У спільних з Г. М. Губреєвим роботах [1, 2], науковому керівникові Г. М. Губреєву належать постановки задач та ідеї доведення теорем 2.1, 3.1 .

Апробація результатів дисертації. Результати дисертаційної роботи неодноразово доповідались на Одеському міському семінарі із спектральної теорії операторів та теорії функцій (керівник-доктор фіз.-мат. наук, професор Д.З. Аров) , на Українському математичному конгресі ( м.Киів , 2001 р), на міжнародній конференції “Функціональний аналіз та його застосування” (м. Львів, 2002р), на XІ-ій міжнародній Санкт-Петербурзькій конференції з математичного аналізу ( м. Санкт -Петербург, 2002 р), на семінарі з функціонального аналізу Інституту математики НАН України (керівники- академік НАН України Ю.М. Березанський та член-кореспондент НАН України М.Л.Горбачук).

Публікації. Основні результати дисертації опубліковано в 5 роботах ( 2 роботи- у виданнях включених у перелік ВАК України , 1 робота-в одному з провідних російських фахових видань та 2 роботи – тези доповідей).

Структура дисертації. Дисертація складається із вступу, трьох розділів, розбитих на підрозділи, висновків та списку використаних джерел. Загальний обсяг дисертації -143 сторінки. Список використаних джерел займає 4 сторінки і включає 40 найменувань.

Основний зміст роботи. Перший розділ дисертації присвячено вивченню вектор-функцій вигляду (4) із значеннями у просторах L2(0, ) та описанню базисів, породжених ними.

Нехай – довільна – вага Макенхаупта на додатній півосі , тобто

( А2 )

де – довільний інтервал на – його довжина. Відомо, що існує аналітична в області \ + функція , що має властивості:

а) функція є зовнішньою в області ; б) майже для всіх існують недотичні граничні значення ,

до того ж

Функція допускає інтегральне зображення

(5)

де , а функція відображає на область . В результаті кожна – вага Макенхаупта на за формулою (4) породжує вектор-функцію із значеннями в кожному просторі . У подальшому такі вектор-функції називаються w-квазікосинусами.

Один з основних результатів розділу І опис безумовних базисів вигляду

простору. Для формулювання відповідного результату введемо гільбертів простір , що складається з цілих функцій порядку зростання 1/2 та нормального типу, які задовольняють умови

Тут через позначається індикатор зростання функції у випадку коли порядок дорівнює 1/2 .

Результат про безумовну базисність сімей формулюється в термінах породжуючої функції .Так називається ціла функція , що задовольняє умову

корені якої є простими ї збігаються з послідовністю . Доводиться , що необхідною умовою безумовної базисності сім’ї в просторі є існування породжуючої функції.

Нехай на контурі , що задається параметричним рівнянням , задана вага . Вага задовольняє -умову Макенхаупта на контурі, якщо

виконується умова

де - круг з центром в точці z радіуса r.

Для довільної послідовності комплексних чисел = , занумерованих у порядку неспадання модулів, введемо послідовність

де гілка фіксується умовою , тобто . Якщо пряма , не містить точок послідовності , то покладемо

Елементи цих послідовностей позначимо через та відповідно і введемо також множину :

Повний опис безумовних базисів просторів із значень w-квазікосинусів дається наступною теоремою.

Теорема 1.1. Нехай – довільна послідовність комплексних чисел , а пряма , лежить на додатній відстані від послідовності . Для безумовної базисності сім’ї , в просторі необхідно і достатньо, щоб функція , що породжує цю сім’ю, задовольняла умови:

1) h() = ;

2) вага W 2(z) : = | w(z)|2 | (z)|2 задовольняє умову Макенхаупта на

контурі , заданому рівнянням z (t) = (t - i)2 , t ;

3) послідовність є відокремною, тобто

4)

(C)

Доведення теореми 1.1 грунтується на істотній модифікації методу інтегральних оцінок норм резольвент. Раніше теорема 1.1 була доведена ( Г.М. Губреєв ) за наступного обмеження на послідовність :

У розділі І розглянуто також ряд задач, розв’язання яких спирається на теорему 1.1. Мова йде про спеціальні безумовні базиси простору цілих функцій , а також про критерії подібності одновимірних збурень оператора до нормальних операторів.

Підрозділ 1.4 присвячено дослідженню інтерполяційної задачі

що формулюється наступним чином : якими повинні бути послідовність та вагова послідовність , щоб інтерполяційний оператор

(6)

бієктивно відображав простір на простір послідовностей з нормою

В роботі ця інтерполяційна задача розв’язується також за допомогою теореми 1.1.

Зобразимо послідовність у вигляді , де – частина послідовності , що лежить усередині (зовні) параболи , яка задається рівнянням z(t) = (t - i) 2, t . Домовимося частини і , 0 нумерувати таким чином:

( у порядку неспадання модулів). Тим самим вся послідовність нумерується за допомогою множини цілих чисел.

Нехай, як і раніше, послідовність є такою, що для деякого . Послідовність назвемо інтерполяційною, якщо вона збігається з множиною простих коренів цілої функції , яка при зазначеному задовольняє умови:

1) z1( (0) – (z)) ; 2) h () = ;

3)

4)

5)

В цьому визначенні ми використали попередні позначення. Розв’язання інтерполяційної задачі, що розглядається в роботі, міститься в наступній теоремі.

Теорема 1.7. Нехай така послідовність комплексних чисел, що

dist (1/2, і) > 0 для деякого > 0, J – оператор , визначений формулою (6) . Тоді вірними є наступні твердження:

1) Якщо J діє бієктивно з на l2{bk}, і занумерувована зазначеним вище чином, то мають місце двосторонні оцінки:

(7)

2) оператор J є бієкцією на простір l2{bk} з вагою (7) тоді і тільки тоді, коли послідовність є інтерполяційною.

В підрозділі 1.5 побудовано приклад, що ілюструє зв’язок між базисами з косинусів та відповідними базисами з експонент. Позначимо через Z множину коренів функції

причому а не є коренем . Корені прості й дійсні і утворюють симетричну множину, тобто . Нехай також

За допомогою теореми 1.1 доводиться, що сім’я косинусів утворює безумовний базис простору при будь-якому значенні параметра. Разом з тим, сім’я експонент утворює безумовний базис простору ) лише за умови .

В розділі ІІ методом інтегральних оцінок норм резольвент вивчаються вектор-функції вигляду (1) і безумовні базиси гільбертового простору , що складаються з їх значень . В дисертації довільні вектор-функції вигляду (1) називаються квазікосинусами із значеннями в просторі . Основна мета розділу ІІ – опис квазікосинусів, із значень яких можна будувати безумовні базиси простору . Для більш точних формулювань приймемо наступні означення .

Означення 2.2. Послідовність, що лежить у деякій криволінійній смузі

будемо називати L-послідовністю, якщо вона збігається з множиною простих коренів цілої функції порядку зростання 1/2 і нормального типу, котра задовольняє умову:

Означення 2.3. Квазікосинус с із значеннями в сепарабельному гільбертовому просторі назвемо регулярним , якщо знайдеться принаймні одна L-послідовність , така що сім’я

утворює безумовний базис простору .

Означення 2.4. Два квазікосинуси с із значеннями в сепарабельних

гільбертових просторах називаються ізоморфними, якщо існує такий неперервний і неперервно оборотний оператор з на (ізоморфізм) , що.

Оскільки ізоморфні квазікосинуси регулярні лише одночасно, опис регулярних квазікосинусів можливий лише з точністю до ізоморфізму. Сформулюємо тепер основний результат Розділу ІІ .

Теорема 2.2. Нехай с – довільний квазікосинус із значеннями в сепарабельному гільбертовому просторі , – його тип при порядку зростання 1/2 . Наступні умови еквівалентні:

1)

2) задовольняє умову на і с ізоморфний до w-квазікосинусу сw із значеннями в просторі L(0, ), побудованому за вагою w2 .

Сформульований результат зводить задачу про опис безумовних базисів із значень регулярних квазікосинусів до аналогічної задачі для w-квазікосинусів . Нагадаємо, що розв’язок цієї задачі дається теоремою 1.1.

В процесі доведення теореми 2.2 водночас отримано важливий для застосувань результат.

Теорема 2.3. Якщо с довільний регулярний квазікосинус із значеннями в просторі , то існують константи такі, що для всіх

Інакше кажучи, якщо із значень квазікосинуса можна побудувати безумовний базис простору ђ, то ядро породжує неперервне і неперервно оборотне “інтегральне перетворення ”, що узагальнює -перетворення Фур’є.

Для конкретних застосувань сформульованих результатів важливо знати прості умови, які гарантують регулярність заданого квазікосинуса

В роботі наводиться результат, який дає змогу зробити висновок про регулярність квазікосинуса с.

Теорема 2.4. Припустимо, що оператор В має ядерну уявну компоненту . Припустимо також, що існують вектор і число такі , що ціла функція

є функцією типу синуса, причому , . Тоді для будь-якого вектор g належить області визначення оператора , а квазікосинус

регулярний тоді і тільки тоді, коли

Більш того, регулярний квазікосинус c (z) є ізоморфним квазікосинусу

c (z, t) = t1E1/2(zt2; ) із значеннями в L(0, ), де = 2 Sp Im B.

Зауваження. В силу дисипативності В, завжди коректно визначений оператор В, 0. При < 0 під В розуміється необмежений оператор (В)1 .

Розділ ІІІ присвячено розв’язанню наступної задачі . Нехай , – регулярні квазікосинуси із значеннями в гільбертовому просторі – декартовий добуток п екземплярів простору . Елементи зображатимемо стовпчиками , а скалярний добуток задамо формулою

За послідовністю комплексних чисел послідовністю , побудуємо сім’ю векторів:

(8)

Задача полягає у з’ясуванні умов на послідовності та , за яких сім’я буде безумовним базисом простору .

Сформульована задача розв’язується у припущенні, що всі типи , при порядку 1/2 однакові (і дорівнюють ) та що послідовність лежить у смузі :

Розв’язок задачі дається в термінах матриць-функцій, породжуючих системи вигляду (8). Нехай зовнішні в функції, що відповідають вагам

котрі в силу теореми 2.1 є вагами Макенхаупта.

Розглянемо клас цілих -матриць-функцій порядку зростання нормального типу , що задовольняють умови:

1) 2) , ,

де ;

3) корені є простими.

Означення 3.1. Нехай у просторі задано нескінченну систему векторів

Якщо існує ціла матриця-функція порядку зростання 1/2 нормального типу , що задовольняє умови 1)– 3) і така, що збігається з множиною коренів функції , а вектори задовольняють рівняння (р) р = 0, то матрицю будемо називати матрицею, породжуючою систему . Наступний результат показує , що при вивченні безумовних базисів вигляду (7) можна обмежитись розглядом систем, які мають породжуючі матриці-функції.

Теорема 3.4. Якщо сім’я , побудована за сукупністю регулярних квазікосинусів , утворює безумовний базис простору , то вона має єдину породжуючу матрицю-функцію .

Нехай на деякій параболі задано матрицю-функцію , яка називається матричною вагою на . Кожна матрична вага на породжує гільбертів простір вимірних вектор-функцій нормою

що позначається через . Нехай також S – сингулярний інтеграл Коші на

контурі :

Нас будуть цікавити матричні ваги, для яких оператор S є обмеженим в тобто існує константа М така, що

(9)

для всіх .

Сформулюємо тепер основний результат Розділу ІІІ . Нагадаємо , що - тип квазікосинусів зовнішні в функції, що відповідають вагам . Введемо також матриці-функції

(10)

де – матриця-функція, що породжує певну систему векторів у просторі .

Теорема 3.6. Нехай – матриця-функція, породжуюча сім’ю векторів, причому лежить всередині деякої параболи . Якщо ця сім’я утворює безумовний базис простору , то при кожному виконуються умови:

1)сингулярний інтеграл Коші є обмеженим в просторі вагою ;

2) сім’я векторних дробів утворює безумовний базис замикання своєї лінійної оболонки в просторі з вагою .

Навпаки , якщо при деякому виконуються умови 1) - 2), то сім’я утворює безумовний базис замикання своєї лінійної оболонки в просторі . Якщо, крім того, виконується умова

3) то ця сім’я утворює безумовний базис усього простору.

Досі не відомі точні умови на матричну вагу , за яких оператор є обмеженим в просторі,. В теоремі 3.2 нами вже наведено одну з умов, достатню для виконання нерівності (9) з вагою, де визначається формулою (10), а саме:

Теорема 3.2. Нехай виконуються умови:

де через позначено елементи матриці . Якщо всі ваги

задовольняють умову, то оператор обмежений в просторі з вагою .

Сформулюємо тепер умови , за яких буде виконуватись умова 2) теореми 3.6. Позначимо через зовнішню всередині параболи функцію, недотичні граничні значення якої, такими , що

Зовнішня функція будується аналогічно і відповідає вазі на , тобто

Покладемо:

і кожній точці віднесемо вектор так , щоб точкам відповідав один вектор

Таким чином, кожній точці відповідає нормований вектор

Підмножина називається серією Карлесона , якщо і вздовж існує граничний вектор .

Теорема 3.7. Умова 2) теореми 3.6 виконується в наступних випадках:

1) послідовність є відокремною:

2) послідовність розпадається на попарно неперетинні серії Карлесона , причому граничні вздовж кожної серії вектори лінійно незалежні .

Результати розділу ІІІ грунтуються на дослідженні спектральної структури операторів вигляду

, (11)

де –будь-які вектори з , оператор діє за формулою

а причому gk беруться з резольвентних зображень

Фредгольмів спектр оператора K збігається з послідовністю коренів цілої функції половинного порядку зростання

(12)

а відповідний точці спектра власний підпростір має вигляд

Таким чином, власні вектори оператора K мають таку ж саму структуру, що й елементи сім’ї

Основну роль при одержанні результатів цього розділу відіграє наступна теорема .

Теорема 3.1. Нехай K – довільний оператор вигляду (10) , що діє в просторі . Тоді наступні умови еквівалентні:

1) для всіх має місце оцінка

де парабола , що задається параметричним рівнянням ;

2) для всіх має місце оцінка

де функціонали знаходяться з системи рівнянь

3) сингулярний оператор Коші обмежений в просторі з матричною

вагою , де будується за матрицею вигляду (11) згідно із формулою (10).

Наведено приклад , ілюструючий основні результати розділу.

ВИСНОВКИ

Дисертаційна робота присвячена дослідженню методами теорії несамоспряжених операторів біортогональних розкладів за значеннями цілих вектор-функцій половинного порядку зростання. В роботі одержані такі результати :

1) для сімей w-квазікосинусів в просторах встановлено критерій безумовної базисності;

2) розв’язано задачу інтерполяції у вагових гільбертових просторах цілих вектор-функцій половинного порядку зростання;

3) одержано опис регулярних квазікосинусів із значеннями в сепарабельному гільбертовому просторі у вигляді ізоморфних образів w-квазікосинусів;

4) за допомогою подальшого розвитку методу інтегральних оцінок норм резольвент знайдено критерій безумовної базисності у декартових добутках гільбертових просторів сімей векторів, що будуються за системою регулярних квазікосинусів та послідовністю векторів з простору .

ПУБЛІКАЦІЇ АВТОРА ЗА ТЕМОЮ ДИСЕРТАЦІЇ

1. Gubreev G.M., Volkova M.G. On a class of unconditional bases in the weighted spaces of the entire functions whose order of growth is equal to Ѕ and on their applications // Methods. of Func.Anal. and Topology .- 2001.-V.7, № 3. - P. 22-33.

2. Губреев Г. М., Волкова М. Г. Безусловные базисы гильбертовых пространств, состоящие из значений целых вектор-функций половинного порядка роста // Зап. научн. семинаров ПОМИ.-2002.- T.290, № 30.-С. 33-41.

3. Волкова М. Г. Безумовні розкладання за значеннями цілих вектор-функцій половинного порядку зростання // Наукові вісті Національного технічного університету України “КПІ”.- 2003.- №1-С. 127-131.

4. Volkova M.G. Unconditional bases generated by Muckenhoupt weights and their applications // Ukranian mathematical congress, Kyiv, 2001.-P.102

5. Volkova M.G. Unconditional bases in Hilbert space of values of the entire functions whose order of growth is Ѕ // International Conference on Func. Analis and its Appl., Lviv , 2002.- P.212

Анотація

Волкова М.Г. Спектральний аналіз безумовних розкладsd за значеннями цілих вектор-функцій половинного порядку зростання.-Рукопис. Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01.01.01-математичний аналіз.

Інститут математики НАН України, м. Київ, 2003 р.

В дисертації вивчаються базисні властивості сімей значень цілих вектор-функцій половинного порядку зростання із значеннями у просторах L2(0, ), в довільних сепарабельних гільбертових просторах та в їх декартових добутках. При розв’язанні задач , що розглядаються в дисертації, роль моделей відіграють вектор-функціі cw (z,t) (w - квазікосинуси) із значеннями в просторах L2(0, ), > 0 , що канонічним чином будуються за А2 – вагами Макенхаупта w2 на промені + . Досліджувані в роботі системи функцій в довільному сепарабельному гільбертовому просторі ( в декартовому добутку) збігаються з системами власних векторів одновимірних (скінченновимірних) збурень операторів , де B- довільний дисипативний вольтерровий оператор . Основні задачі дисертації розв’язуються за допомогою модифікації методу інтегральних оцінок норм резольвент, запровадженого в роботах Г.М. Губреєва. Тому отримані результати знаходять застосування при вивченні спектральної структури скінченновимірних збурень вольтеррових операторів, при дослідженні спектральних задач , що пов’язані з канонічними системами диференціальних рівнянь.

В частинному випадку степеневих ваг Макенхаупта йдеться про безумовні базиси із значень функцій Міттаг-Леффлера простору L2(0, ) (задача М.М. Джрбашяна).

Результати застосовуються до розв’язання задач інтерполяції цілими функціями

половинного порядку зростання із спеціальних гільбертових просторів.

Ключові слова: ваги Макенхаупта, безумовні базиси, оцінки норм резольвент, зовнішні функції, гільбертові простори цілих функцій, класи Харді, серії Карлесона .

Annotation

Volkova M.G. Spectral analysis of unconditional expansions by values of the entire vector-functions of one second order of growth. Thesis to apply for scientific degree of candidate of sciences in physics and mathematics, speciality 01.01.01 - mathematical analysis. Institute of mathematics of NAS of Ukraine , Kyiv , 2003.

In the thesis in spaces L2(0, ), in an arbitrary separable Hilbert spaces and in their Cartesian product of such spaces we investigate the basis properties of families of values of entire vector-functions, whose order of growth is Ѕ . In solution of problems considered in the thesis , the vector-functions cw (z,t) (w -quasicosine) with values in the spaces L2(0, ) , > 0 ,which are constructed according to - Muckenhoupt weights on semiaxis + with the help of the canonical procedure, play role of models. The function families in an arbitrary separable Hilbert spaces ( in Cartesian product ) investigated in the paper coincide with eigenvectors families of one-dimensional (finite-dimensional ) perturbations of operators where B is an arbitrary dissipative Volterra operator.

The solutions of main problems in the thesis are based on modification of method of integral estimates of the resolvent norms, proposed by Gubreev G.M. in his papers. Therefore the obtained results may be applied for study of spectral structure of finite-dimensional perturbations of Volterra operators and for investigation of spectral problems connected with canonical systems of differential equations.

In particular case of power Muckenhoupt weights we deal with unconditional bases consisting of values of Mittag-Leffler functions in the space L2(0, ) ( M.M.Dzhrbashyan problem).

An applications to the interpolation problems by entire functions of one second order of growth from special Hilbert spaces is found.

Keywords: unconditional bases, Muckenhoupt weights, estimates of resolvent norm, outer function, Hilbert spaces of entire functions, Hardy classes, Carleson series.

Аннотация

Волкова М.Г. Спектральный анализ безусловных разложений по значениям целых вектор-функций половинного порядка роста. -Рукопись. Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.01.01-математический анализ. Институт математики НАН Украины, г. Киев, 2003 г.

В диссертации изучаются базисные свойства семейств значений целых вектор-функций половинного порядка роста со значениями в пространствах L2(0, ), в произвольных сепарабельных гильбертовых пространствах и в их декартовых произведениях. При решении рассматриваемых в диссертации задач роль моделей играют вектор-функции cw (z,t) (w - квазикосинусы) со значениями в пространствах L2(0, ), > 0 , которые каноническим образом строятся по А2 – весам Макенхаупта w2 на луче + . Исследуемые в работе системы функций в произвольном сепарабельном гильбертовом пространстве ( в декартовом произведении) совпадают с системами собственных векторов одномерных ( конечномерных) возмущений операторов

Kh := B2h +Gk ,

где B -произвольный диссипативный вольтерровый оператор . Основные задачи диссертации решаются при помощи модификации метода интегральных оценок норм резольвент, развитого в работах Г.М. Губреева.

В частном случае степенных весов Макенхаупта речь идёт о безусловных базисах из значений функций Миттаг-Леффлера пространства L2(0, ) (задача М.М. Джрбашяна).

Результаты применяются к решению задач интерполяции целыми функциями

половинного порядка роста из специальных гильбертових пространств. В диссертации рассматривается класс А(w2) целих функций F порядка роста 1/2 и нормального типа, которые удовлетворяют условиям: , hF(- ) . Интерполяционная задача заключается в нахождении условий, которым должны удовлетворять последовательность = и весовая последовательность для того, чтобы интерполяционный оператор

J F : =

биективно отображал пространство на весовое пространство l2{bk} последовательностей с = с нормой || c ||2 = , bk > 0 ? Показано, что в случае биективного отображения оператор J является непрерывным и непрерывно обратимым. Решение интерполяционной задачи тесно связано с рассмотрением задачи о безусловной базисности семейства функций в пространстве L2(0, ) , построенных каноническим образом по произвольному А2 -весу Макенхаупта на положительной полуоси, решение которой, в свою очередь, опирается на интегральные оценки норм резольвент одномерного возмущения квадрата оператора интегрирования .

На основании результатов, полученных в диссертации, и теоремы Б.С.Павлова доказывается, что задача о безусловной базисности систем экспонент в пространстве L2(-, ) с центрально-симметричным множеством показателей, лежащих в полосе конечной ширины, и задача о базисности семейства косинусов в пространстве L2(0, ) не являются эквивалентными.

Полученные в диссертации интегральные оценки норм резольвент находят применение при изучении спектральной структуры конечномерных возмущений вольтеррових операторов, при исследовании спектральных задач , связанных с каноническими системами дифференциальных уравнений.

Ключевые слова : веса Макенхаупта, безусловные базисы, оценки норм резольвент, внешние функции, гильбертовы пространства целых функций, классы Харди, серии Карлесона .