ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ
ЗАПОРІЗЬКИЙ ДЕРЖАВНИЙ УНІВЕРСИТЕТ
Звьоздочкіна Олена Анатоліївна
УДК 539.3
ВИКОРИСТАННЯ ІНТЕГРАЛЬНИХ ПРЕДСТАВЛЕНЬ В ТЕОРІЇ ПРУЖНОСТІ ТА ТЕРМОПРУЖНОСТІ ДЛЯ СКЛАДНИХ ОБЛАСТЕЙ
01.02.04 – механіка деформівного твердого тіла
Автореферат дисертації на здобуття наукового ступеня
кандидата фізико-математичних наук
Запоріжжя -2003
Дисертацією є рукопис.
Робота виконана в Запорізькому державному університеті Міністерства освіти і науки України.
Науковий керівник доктор технічних наук, професор
Толок В’ячеслав Олександрович,
Запорізький державний університет,
завідувач кафедри математичного моделювання
та інформаційних технологій
Офіційні опоненти:
доктор фізико-математичних наук, старший науковий співробітник Кузьменко Василь Іванович, Дніпропетровський національний університет, професор кафедри математичного моделювання;
доктор технічних наук, професор Верюжський Юрій Васильович, Національний авіаційний університет України, завідувач кафедри комп’ютерних технологій будівництва, директор Науково-дослідницького інституту механіки швидкоплинних процесів.
Провідна установа Донецький національний університет, кафедра теорії пружності та обчислювальної математики, Міністерства освіти і науки України, м. Донецьк.
Захист відбудеться “ 5 ” червня 2003 р. о 1430 годині на засіданні спеціалізованої вченої ради К 17.051.03 при Запорізькому державному університеті за адресою: 69063, м. Запоріжжя, вул. Жуковського, 66.
З дисертацією можна ознайомитись у бібліотеці Запорізького державного університету за адресою: 69063, м. Запоріжжя, вул. Жуковського, 66.
Автореферат розісланий “ 29 ” квітня 2003 р.
Вчений секретар
спеціалізованої вченої ради Сисоєв Ю.О.
ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ
Актуальність теми. В науково-технічних дослідженнях часто доводиться розглядати поля деформацій та напружень, що виникають під час контактної взаємодії декількох пружних або пружних та абсолютно жорстких тіл. В інженерній практиці, а також у багатьох галузях сучасної промисловості, в гірництві, будівництві, машинобудуванні та ін. досліджуються конструкції з елементами, які при моделюванні можна вважати напівнескінченними і за технічними міркуваннями вони мають порожнини або отвори. При цьому дані конструкції піддаються як механічним, так і тепловим впливам. Математично такі процеси описуються диференціальними рівняннями в частинних похідних з крайовими умовами змішаного типу. Такі крайові задачі є найбільш складними і для їх розв’язання існують різні аналітичні, наближені та чисельні методи, а також їх комбінації.
Практично для всіх класів задач про вдавлювання жорстких канонічної форми в плані штампів в однорідну пружну напівнескінченну область отримані аналітичні розв’язки, і вони досить добре вивчені. Однак математичне моделювання реальних умов роботи приводить до розрахункових схем, що містять цілу низку факторів, які ускладнюють розв’язання задач, зокрема штампи, що мають у плані неканонічну форму, масові та жорсткі неоднорідності тіла, складні типи крайових умов, механічні навантаження, що супроводжуються тепловими впливами. Для розв’язання даного класу задач існують різні чисельні методи. Одним із недоліків цих методів є те, що вони не здатні розв’язувати задачі для напівнескінченних областей без спрощення математичних моделей досліджуваного процесу.
У зв’язку з цим виникає необхідність розробки простих і в той же час досить надійних методів визначення напружено-деформованого стану півплощини, півпростору, напівнескінченних багатозв’язних тіл із прямолінійною та плоскою межею з концентраторами напружень типу отворів та порожнин з вільною від зусиль та жорстко защемленою межею, що дозволяють знаходити напруження і деформації в будь-якій точці області.
Тому розробка ефективних методів для визначення напружено-деформованого стану багатозв’язних напівнескінченних тіл є однією з актуальних проблем теорії пружності та термопружності.
Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Робота виконувалась у рамках теми Міністерства освіти України 3/97, "Розробка математичних моделей, створення ефективних аналітико-чисельних методів розрахунку складних механічних систем, алгоритмів візуалізації процесів та створення інструментальної системи аналізу задач механіки". Номер державної реєстрації 01959020185.
Мета і завдання дослідження. Основною метою дисертаційної роботи є розробка методики розв’язання рівнянь теорії пружності та термопружності для багатозв’язного напівнескінченного тіла, шляхом синтезу методу крайових елементів та відомих аналітичних розв’язків для півплощини та півпростору.
Для досягнення поставленої мети необхідно було розв’язати такі завдання:
–
розробити вказану методику розв’язання на прикладі мішаної задачі плоскої задачі теорії теплопровідності та пружності для багатозв’язного напівнескінченного тіла;
–
провести порівняльний аналіз отриманих результатів, відомих аналітичних та чисельних розв’язків, розглянутих у роботі задач, отриманих іншими авторами;
–
одержати розв’язки нових контактних задач про вдавлювання квадратного в плані штампу в багатозв’язну область з плоскою межею;
–
скласти комплекси програм з чисельної реалізації розроблених алгоритмів для кожного класу задач;
–
отримати за допомогою розробленої методики розв’язки задач незв’язаної теорії термопружності про напружено-деформований стан напівнескінченного багатозв’язного тіла з прямолінійною межею;
–
дослідити на збіжність та знайти межі застосування розробленої методики при розв’язанні задачі теплопровідності.
Об’єкт дослідження – проблема вивчення напружено-деформованого стану багатозв’язних напівнескінченних тіл, яка виникає при розв’язанні контактних задач теорії пружності та термопружності, а також проблема впливу штучно введених контурів на достовірність отриманих розв’язків.
Предмет дослідження – розробка методики визначення напружено-деформованого стану багатозв’язного напівнескінченного тіла з урахуванням заданих мішаних крайових умов.
Методи дослідження:
–
метод крайових елементів для розв’язання інтегральних рівнянь;
–
метод функцій Гріна для побудови аналітичних розв’язків для півплощини та півпростору;
–
метод колокацій для побудови системи лінійних алгебраїчних рівнянь;
–
метод Гауса одержання розв’язків системи лінійних алгебраїчних рівнянь.
Наукова новизна одержаних результатів. Методика, яка запропонована в даній роботі, розроблена вперше:
–
запропоновано загальний підхід до розв’язання класу мішаних задач теорії теплопровідності, пружності і незв’язаної термопружності, що дозволив знайти наближено-аналітичні розв’язки задач (як нових, так і відомих) для багатозв’язної напівнескінченної області;
–
отримані інтегральні представлення для багатозв’язних напівнескіннчених тіл шляхом синтезу методу крайових елементів та методу функцій Гріна, що враховують крайові умови, задані в будь-якій точці прямолінійної або плоскої межі напівнескінченної області;
–
отримані розв’язки нових мішаних задач про розподіл тепла в багатозв’язному напівнескінченному тілі;
–
отримані розв’язки мішаних статичних задач пружності про розподіл напружень та зміщень у багатозв’язному напівнескінченному тілі з урахуванням внутрішніх концентраторів напружень;
–
отримані переміщення для задачі про вдавлювання штампа у півплощину узгоджуються з відомими теоретичними положеннями і результатами в плоскій теорії пружності для всіх точок області;
–
отримані розв’язки статичних задач незв’язаної теорії термопружності про напружено-деформований стан напівнескінченних багатозв’язних областей із прямолінійною межею, що піддається механічному та тепловому впливам.
Обґрунтованість і достовірність наукових положень, висновків і рекомендацій, які захищаються. Достовірність отриманих результатів і висновків роботи забезпечується строгістю постановки задач і використовуваних математичних методів; узгодженням отриманих результатів для низки окремих випадків з відомими в літературі, знайдених за допомогою інших методів; порівнянням результатів, отриманих у даній роботі різними методами; оцінкою похибки знайдених наближених розв’язків; виконанням граничних переходів до відповідних задач для суцільного середовища.
Практичне значення одержаних результатів. Розроблену методику розв’язання задач та чисельну реалізацію можна застосовувати при розрахунках, пов’язаних із проектуванням і визначенням робочих параметрів елементів конструкцій, що містять отвори та порожнини з межами будь-якої геометричної форми і розташуванням, при цьому результати роботи можна використовувати для якісного аналізу розв’язків задач механіки деформівного твердого тіла.
Результати дисертаційної роботи можуть бути використані в науково-дослідних і проектних організаціях в області будівництва, машинобудування, а також у навчальному процесі.
Особистий внесок здобувача. У роботах, які написані у співавторстві з науковим керівником доктором технічних наук, професором Толоком В.О. [1-3, 5-9] дисертанту належить розробка методики розв’язування, отримання наближених розв’язків, числових результатів, оцінка їх точності та аналіз результатів. У спільній публікації із аспірантом Лисенко В.В. [4] дисертанту належить постановка задачі, методика її розв’язання та аналіз результатів. У роботі [8] автору дисертаційної роботи належить ідея алгоритмізації методу крайових елементів на персональному комп’ютері.
Роботи [1–5] належать до наукових фахових видань.
Апробація результатів дисертації. Окремі результати дисертаційної роботи доповідалися на щорічних наукових конференціях професорсько-викладацького складу Запорізького державного університету; міжнародній науково-практичній конференції “Розробка та застосування обчислювальних методів у науково-технічних дослідженнях”, (Львів, 1998); науково-технічній конференції “Питання оптимізації обчислень”, (Крим, Кацивелі, 2001); міжнародній науково-технічній конференції “Проблеми математичного моделювання сучасних технологій” (ПММ-2002), (Хмельницький, 2002); а також на наукових семінарах кафедри математичного моделювання та інформаційних технологій Запорізького державного університету.
У повному обсязі дисертаційна робота доповідалася на міжвузівському семінарі "Актуальні проблеми прикладної математики і механіки" (м. Запоріжжя), семінарі кафедри будинків та споруд аеропортів Київського національного авіаційного університету, (м. Київ), семінарі відділу реології Інституту механіки ім. С.П. Тимошенка НАН України, (м. Київ), семінарі кафедр теорії пружності та обчислювальної математики і теоретичної та прикладної механіки Донецького національного університету (м. Донецьк), семінарах кафедр прикладної математики і алгебри та геометрії Запорізького державного університету (м. Запоріжжя).
Публікації. За матеріалами дисертації опубліковано 9 робіт, з них 7 статей у збірниках наукових праць [1-7], з яких 5 – у фахових наукових виданнях [1-5] та 2 тези доповідей на міжнародних конференціях [8, 9].
Структура та обсяг роботи. Дисертаційна робота складається зі вступу, чотирьох розділів, висновків, списку використаних джерел та додатку. Загальний обсяг дисертації становить 157 сторінок, 57 рисунків займають 28 сторінок, 2 таблиці, список використаних джерел із 144 найменувань, розташований на 15 сторінках та додатки, що займають 11 сторінок.
ОСНОВНИЙ ЗМІСТ РОБОТИ
У вступі обґрунтована актуальність теми дисертаційної роботи, сформульована мета роботи та завдання дослідження, розкрита наукова новизна та практичне значення одержаних результатів, визначений особистий внесок здобувача, а також наведені основні кваліфікаційні характеристики дисертації.
У першому розділі наведений огляд відомих у літературі методів дослідження багатозв’язних напівнескінченних середовищ, даний огляд літератури по дослідженню температурних полів у напівнескінченних тілах, напружено-деформованого стану багатозв’язної напівнескінченної області з непідкріпленою межею, дії штампів на скінченній частині межі півплощини та півпростору. Зокрема, розглянуті роботи таких видатних учених, як Ляв А., Мусхелішвілі Н.І., Купрадзе В.Д., Тимошенко С.П., Гудьєр Дж., Новацький В., Міхлін С.Г., Шерман Д.І., Галін Л.А., Штаерман І.Я., Лур’є А.І., Снеддон І.Н., Беррі Д.С., Улітко А.Ф., Космодаміанський А.С., Шевченко В.П., Попов Г.Я., Александров В.М., Моссаковський В.І., Проценко В.Г. та ін., які зробили значний внесок у розвиток контактних задач теорії пружності. Відзначені як аналітичні, так і чисельні методи розв’язання задач зі змішаними крайовими умовами для напівнескінченної багатозв’язної області, представлені такими авторами, як Подільчук Ю.М, Міщишин І.І., Приварников А.К., Рвачов В.Л., Воровіч І.І., Галанов Б.О., Калоєров С.О., Уфлянд Я.С., Кузьменко В.І., Бреббія К., Верюжський Ю.В. та ін. Дослідження напружено-деформованого стану тіла під дією температури проводилися такими вченими, як Папкович П.Ф., Майзель Б.М., Новацький В., Сулим Г.Т., Підстригач Я.С. та ін.
Проаналізовано попередні дослідження в області визначення напружено-деформованого стану складних тіл, обґрунтовано актуальність розробки нових чисельно-аналітичних методів та підходів дослідження температурного напружено-деформованого стану багатозв’язної напівнескінченної області.
Рис. 1. Багатозв’язна напівнескінченна область з обмежуючим контуром
У другому розділі розглядається задача стаціонарної теплопровідності, яка описується рівнянням Лапласа, за таких крайових умов: на ділянці напівнескінченної багатозв’язної області заданий потік, на іншій частині межі – стала температура, на межі внутрішньої області задані будь-якого типу крайові умови (рис. 1).
Поставлена задача розв’я-зується так: обмежується контуром Г5 напівнескінченне тіло. Для одержаної обмеженої області записується інтегральне рівняння:
, . (1)
На штучно введеній межі не задано крайових умов, тому виражаємо невідомі значення температури через невідомі значення температури на межі за допомогою аналітичного розв’язку задачі Діріхлє для півплощини (півпростору), отриманого за допомогою функції Гріна:
, (2)
де
Підставивши в (1) функцію (2), після перетворень, одержуємо такий вид інтегрального рівняння:
, (3)
де ,
,
– межа області.
В отриманому крайовому інтегральному представленні (3) для багатозв’язних напівнескінченних тіл одержаний доданок , який дозволяє враховувати значення температури, заданої на всій нескінченній межі .
Це рівняння розв’язується методом крайових елементів. Накладаючи задані крайові умови, одержується повна система лінійних алгебраїчних рівнянь, порядок якої відповідає числу розглянутих невідомих. Криволінійні інтеграли, що входять до інтегрального співвідношення у простих випадках беруться аналітично, в інших – за допомогою гаусових квадратур. Для розв’язання системи лінійних алгебраїчних рівнянь використовується метод Гауса.
Після визначення невідомих розв’язок для внутрішньої області будується за інтегральною формулою (3). У необмеженій частині області – за формулою аналітичного розв’язку задачі Діріхлє (2).
При розв’язанні даною методикою поставленої задачі теплопровідності у півплощині та півпросторі отримано, що результати практично не залежать від розмірів штучно введеного обмежуючого контуру. У випадку багатозв’язної області проведений порівняльний аналіз розв’язків поставленої задачі, отриманих зазначеною методикою та прямим методом крайових елементів, який показав, що розв’язок, одержаний за даною методикою розв’язок, збігається набагато швидше до точного.
На основі отриманих інтегральних представлень (3) для багатозв’язних напівнескінченних областей розв’язаний ряд задач з чисельними дослідженнями розподілу температури в тілі. Зокрема представлені розв’язки задач з крайовими умовами типу Нейману, Діріхлє і змішаними, які задавалися на межі отвору квадратної форми та кубічної порожнини. Центр отвору зі стороною розташований на відстані від прямолінійної межі області. Аналогічно розташована кубічна порожнина. Як показують результати, отримані значення температури в тілі відповідають заданим крайовим умовам. Ступінь впливу на розподіл тепла визначається типом заданих крайових умов на межі внутрішньої області, тобто природні умови сприяють більш значній зміні температури на відміну від головних, але при завданні головних крайових умов відбувається рівномірний перерозподіл температури навколо внутрішньої області.
Аналіз одержаних результатів показав, що вибір розмірів обмежуючих контурів залежить від виду багатозв’язності та типу крайових умов, заданих на межах отворів, а також від розмірів останніх та їх місця розташування. За допомогою розробленої методики можна розв’язувати такі види змішаних задач: на прямолінійній і плоскій межах багатозв’язного тіла задаються змішаного виду крайові умови – на скінченній ділянці межі потік, на решті межі – стала температура. На межах отворів та порожнин крайові умови можуть бути будь-якого типу. При цьому зазначена методика не обмежує кількість порожнин та отворів, межі яких можуть бути будь-якої геометричної форми та мати будь-яке розташування.
Аналогічно отримується інтегральне представлення для напівнескінченного багатозв’язного тіла у випадку нестаціонарного розподілу тепла, при цьому враховується початкова умова. Пророблюючи аналогічні перетворення з інтегральним рівнянням для нестаціонарної теплопровідності, використовуючи аналітичний розв’язок для півплощини та півпростору у випадку розподілу тепла залежно від часу, отримується інтегральне співвідношення, в якому додатковий доданок враховує температуру, задану як на всій прямолінійній межі напівнескінченного тіла, так і початковий розподіл температури у всій заданій області, що неможливо при використанні прямого чисельного методу.
За допомогою одержаного інтегрального рівняння розв’язані задачі про нестаціонарний розподіл тепла у напівнескінченних тілах з отворами та порожнинами.
Досліджено, що крайові умови різного типу впливають на швидкість розподілу тепла в області залежно від часу. Так при завданні природних умов значення температури повільно прямують до стаціонарного значення, а у випадку задання головних умов розподіл тепла відбувається набагато швидше.
Дана методика отримала свій розвиток у третьому розділі при розгляді задач статичної теорії пружності для багатозв’язних напівнескінченних тіл. У теорії пружності відомі аналітичні розв’язки про дію зосередженої сили на межу півплощини (задача Фламана) та півпростору, тому в дисертаційній роботі була розглянута класична постановка задачі про вдавлювання гладкого штампу без тертя в напівнескінченне багатозв’язне тіло з числом Пуассона , модулем зсуву та густиною . У цьому випадку вектор пружних переміщень задовольняє рівняння Ламе:
. (4)
Крайові умови для такого класу задач такі: переміщення штампа припускаються заданими, відсутні дотичні напруження на всій прямолінійній або плоскій межі тіла, відсутні напруження поза штампом, межа отвору та порожнини або вільна від зусиль, або жорстко защемлена.
Використовуючи той самий підхід, як і в теплопровідності, після перетворень, отримується крайове інтегральне представлення для багатозв’язних напівнескінченних областей:
, (5)
де ,
,
,
,
Функції та – є підінтегральними виразами аналітичного розв’язку задачі про дію сили на ділянці півплощини. В інтегральному співвідношенні (5) одержаний додатковий доданок враховує задане навантаження у будь-якій точці прямолінійної межі напівнескінченної області. Аналогічно отримуються інтегральні співвідношення для тривимірного випадку.
Чисельні результати, отримані за даною методикою для півплощини та півпростору, узгоджуються з аналітичними розв’язками, за винятком точок безпосередньо на краю штампа, де теоретично напруження нескінченне.
На основі отриманого інтегрального представлення (5) для напівнескінченних багатозв’язних областей розв’язаний ряд нових задач статичної теорії пружності з чисельними дослідженнями напружено-деформованого стану тіла та встановлені механічні закономірності.
Так розв’язані задачі про вдавлювання штампа у напівнескінченну область з отвором квадратної форми, межа якої вільна від зусиль та жорстко підкріплена. У першому випадку це означає відсутність будь-яких напружень на межі внутрішньої області, а в другому випадку – нульові зміщення. З побудованих графіків видно, що вплив отвору проявляється у безпосередній близькості до нього.
Аналогічна картина спостерігається при визначенні контактних напружень під квадратним у плані штампом, який вдавлюється у напівнескінченне багатозв’язне тіло з кубічною порожниною, межа якої жорстко защемлена. Установлено, що у випадку жорстко защемленої межі порожнини або отвору відбувається зростання напружень під штампом, як у точці, що знаходиться на одній лінії з центром порожнини або отвору, так і в кутових точках межі отвору, найближчих до прямолінійної або плоскої межі тіла. При заданні таких же крайових умов на поверхні квадратного в плані штампа отримані нормальні напруження під штампом приблизно в два рази менше для півпростору й у 2,4 рази менше, якщо в тілі є порожнина з жорстко защемленою межею, в порівнянні з отриманими результатами аналогічних задач на площині.
При чисельному дослідженні розв’язків, отриманих при зміні розташування та розмірів отвору з жорстко защемленою межею, установлено, що зближення отвору з прямолінійною межею напівнескінченного тіла приводить до росту напружень під штампом і чітко виділяється область впливу заданого концентратора напружень. Зменшення лінійних розмірів отворів приводить до зменшення напружень під штампом, але не може цілком ізолювати вплив заданого концентратора в тілі.
Для контролю правильності отриманих розв’язків у дисертаційній роботі була розглянута задача про дію зчеплених штампів з прямолінійною межею багатозв’язної напівнескінченної області, усередині якої заданий круговий отвір при завданні різних крайових умов. Результати порівнювалися з розв’язками, отриманими методом комплексних потенціалів для різних випадків місця розташування отвору, межа якого защемлена або вільна від зусиль.
Порівняльний аналіз показав практично ідентичні результати за винятком точок, розташованих поблизу краю штампа.
Четвертий розділ присвячений застосуванню отриманих розв’язків задач теплопровідності для знаходження температурних напружень теорії незв’язаної термопружності в багатозв’язній напівнескінченній області з коефіцієнтом лінійного температурного розширення . У цьому випадку переміщення повинні задовольняти таке рівняння Ламе:
. (6)
З використанням нових крайових інтегральних представлень (3) та (5) для напівнескінченних багатозв’язних областей з отворами та методу крайових елементів визначені поля напружень розглянутих областей.
За допомогою вказаної методики розв’язаний ряд задач про вдавлювання нагрітого штампа в півплощину та багатозв’язну напівнескінченну область з отвором квадратної форми, межа якого вільна від зусиль або жорстко защемлена. При цьому на межі отвору задавалися як головні, так і природні температурні крайові умови. Розподіл температури в області задавався як стаціонарний, так залежний від часу.
Проведено чисельне дослідження виниклого поля напружень області, що піддавалася різним впливам. Так, установлено, що у випадку вдавлювання штампа в півплощину, що нагрівається під дією потоку, відбувається поступові зміни напружень під штампом. У випадку, коли на межі отвору задається температура, відбувається різке зростання контактних напружень.
При дослідженні полів напружень області виявлено, що при заданні природних температурних умов відбувається запізнювання в часі розподілу напружень у півплощині, а у випадку задання головних температурних умов максимальні зміни напружень відбуваються у всіх точках області практично одночасно.
У додатках наведені: таблиці значень напружень під штампом, який вдавлюється в багатозв’язну область та результатів розв’язання задачі про дію зчепленого штампу з прямолінійною межею багатозв’язної області з круговим отвором, одержаних різними методами.
ВИСНОВКИ
У результаті проведених досліджень у дисертаційній роботі отримана загальна методика розв’язання контактних задач теорії пружності та термопружності для напівнескінченних багатозв’язних областей з отворами та порожнинами. Зазначена методика основана на методі крайових елементів і аналітичних розв’язках задач механіки. Використання аналітичних розв’язків дозволяє поліпшити стандартну схему розрахунку задач для багатозв’язних напівнескінченних областей. За цією схемою шляхом введення штучних обмежуючих контурів, на які переносяться крайові умови на нескінченності, відбувається спрощення математичної моделі. Запропонована методика зменшує вплив таких обмежуючих контурів. Для напівнескінченних багатозв’язних областей були отримані загальні інтегральні представлення, які враховують навантаження, що задано в будь-якій точці прямолінійної та плоскої меж області і дозволяють одержати розв’язок у будь-якій точці розглянутого тіла.
До основних результатів досліджень, наведених у дисертації, можна віднести такі.
1. На основі інтегральних представлень розв’язаний ряд задач стаціонарної і нестаціонарної теплопровідності для напівнескінченного тіла з отворами та порожнинами зі змішаними крайовими умовами. Досліджено зміни температурного поля в багатозв’язному напівнескінченному тілі з отвором квадратної форми, що виникають під дією різних крайових умов. Уперше дані результати у випадку змішаної задачі теорії теплопровідності для напівнескінченного багатозв’язного тіла з плоскою межею і порожниною кубічної форми, на межі якої були задані несиметричні крайові умови.
2. Отримано розв’язки задач про вдавлювання штампа в багатозв’язну напівнескінченну область з отвором квадратної форми та задачі про вдавлювання квадратного в плані штампа в півпростір і багатозв’язне напівнескінченне тіло з порожниною кубічної форми.
3. На основі отриманих розв’язків у теорії теплопровідності одержані розв’язки задач незв’язаної теорії термопружності про вдавлювання нагрітого штампа в півплощину і багатозв’язну напівнескінченну область з отвором, на межі якого були задані як механічні, так і температурні навантаження. Результати розв’язків термопружної задачі порівнювалися з розв’язками, отриманими для таких же задач без температурного впливу. Також представлено розв’язок задачі, в якій пружна система піддається механічному навантаженню і впливові нестаціонарного теплового поля.
4. Для чисельної реалізації отриманих теоретичних розв’язків розроблений пакет прикладних програм мовою програмування Pascal в інструментальній системі Delphi.
5. За допомогою чисельних досліджень показана ефективність розробленої методики у всіх розглянутих у роботі випадках у порівнянні з іншими підходами до розв’язування таких задач.
6. Для окремих задач, раніше розв’язаними іншими методами, показана достовірність отриманих результатів запропонованою методикою.
З аналізу результатів розрахунків досліджуваних задач отримані такі висновки про характеристики теплових, механічних та термомеханічних полів і властивостей досліджених механічних систем.
1. Нормальні напруження, сконцентровані в зоні кутових точок квадратного отвору і кубічної порожнини поблизу дії штампа, набувають найбільших значень і становлять особливий інтерес для дослідження матеріалу на міцність.
2. У випадку жорстко затиснених меж отворів і порожнин відбувається зростання нормальних напружень під штампом у тих точках, що розташовані в зоні впливу концентратора напружень.
3. У випадку дії гладкого штампа на прямолінійну межу багатозв’язної області зближення отвору, межа якого вільна від зусиль, приводить до зниження контактних напружень під штампом і нормальних напружень біля отвору. При цьому в точках, розташованих далі від отвору, але в зоні дії штампа, відбувається різке зростання напружень.
4. У тривимірному випадку встановлено, що при заданні аналогічних крайових умов виникаючі контактні напруження під штампом набагато менше, ніж отримані в плоскій задачі. Тобто варто враховувати при моделюванні реальних процесів особливості впливу локалізованих навантажень на розподіл полів напружень тіла.
5. При дослідженні задачі про вдавлювання нагрітого штампа в багатозв’язну напівнескінченну область з отворами встановлено, що при дії різних температурних умов відбувається поступове зростання напружень і є ефект запізнювання в часі у випадку задання природних умов та різкий ріст напружень практично у всіх точках області у випадку, якщо задані головні температурні умови.
6. Результати досліджень, наведених у дисертаційній роботі, мають як теоретичний, так і практичний інтерес. Запропонована методика може використовуватися для розв’язання різноманітних інженерних задач для багатозв’язної напівнескінченної області з будь-якою кількістю отворів та порожнин, геометрія меж яких може бути будь-якою і з заданням крайових умов будь-якого типу.
СПИСОК ОПУБЛІКОВАНИХ ПРАЦЬ ЗА ТЕМОЮ ДИСЕРТАЦІЇ
За результатами роботи дисертантом опубліковано дев’ять наукових робіт:
1.
Звьоздочкіна О.А., Толок В.О. Про один спосіб розв’язку змішаної задачі теплопровідності для півплощини з включеннями // Вісник Запорізького державного університету. Фізико-математичні науки. Біологічні науки. – 1998. – №1. – С. 36-38.
2.
Звьоздочкіна О.А., Толок В.О. Про один метод розв’язування задачі статики для пружної неоднорідної півплощини // Вісник Державного університету “Львівська політехніка”. Сер. Прикладна математика. – 1998. – №337. – С. 172-175.
3.
Звьоздочкіна О.А., Толок В.О. Розв'язок пружної задачі з нестаціонарним тепловим навантаженням для півплощини з включенням // Вісник Запорізького державного університету. Фізико-математичні науки. Біологічні науки. – 1999. – №1. – С. 49-53.
4.
Звьоздочкіна О.А., Лисенко В.В. Розв’язок стаціонарної термопружної задачі для многозв’язної області // Вісник Запорізького державного університету. Фізико-математичні науки. Біологічні науки. – 1999. – №2.– С. .
5.
Звьоздочкіна О.А., Толок В.О. Про підвищення ефективності методу крайових елементів в розв’язанні задач теорії теплопровідності за допомогою методу функцій Гріна // Зб. праць науково-технічної конференції "Питання оптимізації обчислень". – Крим. – 2001. – С. 164-170.
6.
Е.А. Звездочкина, В.А. Толок Смешанный алгоритм решения стационарной задачи упругости для полуплоскости с включениями. // Механіка та машинобудування. – 1998. – №1. – С.50-55.
7.
Звьоздочкіна О.А., Толок В.О. Модифікований метод крайових елементів для розв’язання задачі про вдавлювання квадратного у плані штампа в багатозв’язний півпростір // Вісник Східноукраїнського державного університету. – 2000. – №5(27). – С. 67-70.
8.
Бувайло Д.П., Гоменюк С.И., Звездочкина Е.А., Кононов С.Г., Мухин В.В., Толок В.А., Толок А.В., Эшкуватов К.Э. Реализация идеи алгоритмизации на персональных компьютерах // Сборник тезисов, докладов “Современные проблемы алгоритмизации”. – Ташкент. – 1996. – С.10-11.
9.
Звьоздочкіна О.А., Толок В.О. Про один спосіб розв’язання задачі нестаціонарної теплопровідності для неоднорідної півплощини // Тези доповідей міжнародної наук.-техн. конференції “Проблеми математичного моделювання сучасних технологій” (ПММ-2002). – Хмельницький. – 2002 – С. 49.
АНОТАЦІЇ
Звьоздочкіна О. А. Використання інтегральних представлень в теорії пружності та термопружності для складних областей. – Рукопис.
Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01.02.04 – механіка деформівного твердого тіла. – Запорізький державний університет, Запоріжжя, 2003.
Дисертаційна робота присвячена розробці методики розв’язання задач про стаціонарний і нестаціонарний розподіл тепла у багатозв’язному напівнескінченному тілі з квадратним отвором та кубічною порожниною під дією заданих змішаних умов, про гладкий контакт із півплощиною, півпростором та багатозв’язним тілом за умов механічного та температурного навантажень. Методика побудована на синтезі методу крайових елементів та аналітичних розв’язків для півплощини та півпростору. Виведені інтегральні представлення для розглянутих областей та обчислені температура, контактні напруження та напруження в заданій області, в кутових зонах отвору та порожнини. Здійснено дослідження напружено-деформованого стану напівнескінченного тіла під дією штампа та температури.
Ключові слова: інтегральне представлення, функція Гріна, метод крайових елементів, обмежуючий контур, напівнескінченне багатозв’язне тіло, квадратний отвір, кубічна порожнина, температура, штамп, контактні напруження, напружено-деформований стан.
Звездочкина Е. А. Использование интегральных представлений в теории упругости и термоупругости для сложных областей. – Рукопись.
Диссертация на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.02.04 – механика деформируемого твёрдого тела. – Запорожский государственный университет, Запорожье, 2003.
Диссертационная работа посвящена разработке методики решения ряда задач о стационарном и нестационарном распределении тепла в многосвязном полубесконечном теле с квадратным отверстием и кубической полостью под действием заданных смешанных условий, о гладком контакте с полуплоскостью, полупространством и многосвязным телом под действием механической и температурной нагрузок.
В теории теплопроводности рассмотрена задача о стационарном и нестационарном распределении тепла в многосвязных полубесконечых телах при заданных смешанных граничных условиях: на участке бесконечной границы заданы поток, на оставшейся – температура, на границах внутренних областей – любого типа граничные условия. Путем введения ограничивающего контура получена ограниченная область, включающая все заданные внутренние области. Часть неизвестных на новом контуре выражается с помощью известных аналитических зависимостей значений температуры в области от температуры, заданной на границе полуплоскости и полупространства. Выведены интегральные представления для полубесконечных многосвязных областей и тел, которые позволяют учитывать температуру на бесконечной границе и находить решение в любой точке области с учетом любого вида многосвязности и различного типа граничных условий.
Исследовано влияние искусственно введенного ограничивающего контура на сходимость полученных решений путем сравнительного анализа с решениями, полученными прямыми численными методами.
Представлен ряд решенных задач о распределении тепла под действием различных типов граничных условий на границе квадратного отверстия и кубической полости. Исследовано влияние заданных условий на распределение тепла в области.
С помощью разработанной методики выведены интегральные соотношения для решения задачи о вдавливании гладкого штампа в многосвязную полубесконечную область. Для выражения части неизвестных на ограничивающем контуре использовано аналитическое решение о силе, распределенной на конечной части границы полуплоскости. Аналогично получены интегральные представления для многосвязного полубесконечного тела.
Более детально рассмотрены задачи о вдавливании штампа в область с квадратным отверстием, граница которого свободна от усилий или жестко подкреплена. Построены графики напряжений и смещений в области. Исследовано влияние различных граничных условий, заданных на отверстии на контактные напряжения под штампом. Рассмотрено распределение напряжений в угловых зонах штампа, квадратного отверстия и кубической полости. Получены механические закономерности в рассматриваемой области в зависимости от места расположения и размеров заданного отверстия. Путем сравнительного анализа с аналитическими решениями показана достоверность полученных результатов, а в случае многосвязной области, получены практически идентичные результаты для задачи о действии сцепленных штампов с полуплоскостью.
Как частный случай рассмотрены задачи несвязанной термоупругости о вдавливании нагретого штампа в полубесконечную многосвязную область с отверстием, на границе которого заданы механические и температурные условия. Исследовано поле напряжений, возникающее в рассматриваемой области под действием стационарной и нестационарной температуры при граничных условиях разных типов.
Ключевые слова: интегральное представление, функция Грина, метод граничных элементов, ограничивающий контур, полубесконечное многосвязное тело, квадратное отверстие, кубическая полость, температура, штамп, контактные напряжения, напряженно-деформированное состояние.
Zvyozdochkina Ye.A. Use of integral presentations in the theory of elasticity and thermoelasticity for complex areas. – Manuscript.
Dissertation thesis for a candidate of physics and mathematics scientific degree by specialty 01.02.04 – mechanics of deform rigid body. – Zaporozhye State University, Zaporozhye, 2003.
The Dissertation is devoted to the development of a method for the solving of tasks about stationary and non-stationary distribution of heat in multiply connected semi-infinite body with a square aperture and cubic cavity under effect of given mixed conditions, about smooth contact with half-plane, with half-space and with multiply connected body under conditions of mechanical and temperature loadings. The method is constructed on synthesis of a method of boundary elements and analytical solutions for half-plane and half-space. Deduced is the integral presentations for the considered areas. Computed are the temperature, the contact stresses and stresses in the given area, in angular zones of an aperture and cavity . The studies strainly-deformed state semi-infinite body under the influence of a punch and temperature are presented.
Key words: integral presentations, Green’s Function, Method of Boundary Elements, bounding contour, multiply connected body, square aperture, cubic cavity, temperature, punch, Contact Stresses, strainly-deformed state.
