НАЦІОНАЛЬНИЙ АВІАЦІЙНИЙ УНІВЕРСИТЕТ

Антонов Володимир Костянтинович

УДК 629.13

АНАЛІТИЧНЕ КОНСТРУЮВАННЯ ЯКІСНИХ

СИСТЕМ СТАБІЛІЗАЦІЇ ЛІТАЛЬНИХ АПАРАТІВ

05.07.09 Динаміка, балістика та керування

рухом літальних апаратів

Автореферат

дисертації на здобуття наукового ступеня

доктора технічних наук

Київ - 2004

Дисертацією є рукопис.

Робота виконана в Національному авіаційному університеті

Міністерства науки і освіти України

Науковий д.т.н., професор

консультант: Шевельов Анатолій Григорович –

Національний авіаційний університет.

Офіційні д.т.н., професор

опоненти : Асланян Альберт Едуардович -

Національна академія оборониУкраїни.

д.ф-м.н., професор

Валєєв Кім Галямович -

зав. кафедрою вищої математики, Київський

національний економічний університет.

д.т.н., професор

Стасюк Олександр Іонович -

зав. кафедрою інформаційних систем і

технологій Київського інституту економіки і

технологій транспорта.

Провідна Авіаційний науково – технічний комплекс

установа: “АНТОНОВ”

Захист відбудеться 11 березня 2004 р. о 15.00 годині

на засіданні спеціалізованої ради Д 26.062.05

проспект Космонавта Комарова, 1, корп. 9, ауд. 201.

З дисертацією можна ознайомитися в бібліотеці Національного авіаційного університету. Проспект Космонавта Комарова, 1

Автореферат розісланий _____.02.2004 р.

Вчений секретар спеціалізованої

вченої ради к.т.н., с.н.с. Жданов О.І

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальність проблеми. Посадка літака є однією із найбільш актуальних задач динаміки керованого польоту. У разі обмеженості довжини посадочної смуги характерні типові етапи посадки літака не прийнятні і приводять до її нераціонального використання. Для забезпечення точної посадки максимально точно витримувати задану технічними засобами траекторію і для цього повністю використати ресурс керованості об’єкта управління. Рішення цієї задачі за допомогою метода аналітичного конструювання регуляторів приводить до необхідності його розвитку з урахуванням забезпечення заданої якості руху замкнутої системи. Якість руху – стабілізації заданої траекторії – перехідних процесів – формалізується за допомогою вторинних показників стійкості (визначення А.М.Льотова) – показників якості перехідних процесів. Система стабілізації повинна забезпечити максимальну потрібну швидкодію, обмеження коливальності, враховувати конструктивні обмеження відхилень рулів і обмежень по перевантаженнях. Для введення в структуру метода аналітичного конструювання регуляторів таким чином показників якості, тобто якості стійкості, потрібно встановити за допомогою метода порівняння зв’язок показників якості з другим методом Ляпунова, модифікувати метод динамічного програмування в контексті якості, побудувати методи аналітичного конструювання якісних систем стабілізації.

Метою даної роботи є побудова методів аналітичного конструювання систем стабілізації, що забезпечують задану якість перехідних процесів, що дозволяє оцінити і використати на етапі проектування об'єктів і систем управління гранично можливі характеристики керованості і побудувати відповідні системи стабілізації– регулятори.

Дисертація виконана в Національному авіаційному університеті.

Методи дослідження базуються на теорії стійкості, теорії оптимального керування, методі порівняння, методі аналітичного конструювання регуляторів, динаміці керованого польоту і імітаційному моделюванні.

Наукова новизна роботи визначається наступними результатами:

1. Запропоновано умови зв’язку показників якості перехідних процесів з другим методом Ляпунова.

2. Запропоновано модифікацію принципу оптимальності Беллмана, що зв'язує оптимальність і якість руху динамічного об'єкта.

3. Розроблено методи аналітичного конструювання регуляторів, що дозволяють обмежувати час перехідних процесів, коливальність, і враховувати обмеження відхилень рулей, - зокрема для жорстких динамічних систем.

Практична цінність роботи полягає в розв’язанні задачі побудови законів управління літальним апаратом на режимі посадки, розробці методів синтезу регуляторів, істотно розширюючих можливості методу аналітичного конструювання і враховуючих вторинні показники стійкості - показники якості перехідних процесів, що приводять до розв’язання матричних рівнянь Рікаті, що дозволяє застосовувати для синтезу добре розроблені чисельні методи їх розв’язання.

Реалізація результатів роботи. Результати роботи впроваджені в розрахункову практику Московського інституту електромеханіки і автоматики.

Апробація роботи. Основні результати роботи доповідалися, обговорювалися й опубліковані в тезах наступних конференцій:

- 7 - й звітній науково-технічній конференції професорсько-викладацького складу КІІЦА. Київ 1991 р. – доповідь Метод синтезу САУ польотом повітряного судна.

- 2 - й міжнародній науково-технічній конференції Методи управління системною ефективністю функціонування

електрифікованих і пілотажно-навігаційних комплексів. Київ 1993 р. – доповідь Методи синтезу якісних регуляторів.

- Звітній науково-технічній конференції КМУЦА. Київ 1994 р. – доповідь Побудова регуляторів із заданою якістю перехідних процесів.

- 16 – й звітній науково-технічній конференції КМУЦА. Київ 1996 р. – доповідь Аналітичне конструювання якісних регуляторів.

- Міжнародній науково-технічній конференції Проблеми удосконалювання систем аеронавігаційного обслуговування і управління рухомими об'єктами - Аеронавігація – 96. Київ 1996 р. – доповідь Узагальнення другого методу Ляпунова для дослідження стійкості динамічних систем.

- Міжнародній науково-практичній конференції Забезпечення безпеки польотів у нових економічних умовах. Київ 1997 р. – доповідь Конструювання якісних регуляторів, що забезпечують безпеку польотів.

- 17 – й звітній науково-технічній конференції КМУЦА. Київ 1997 р. – доповідь Побудова регуляторів із заданими показниками якості перехідних процесів.

- Міжнародній науково-технічній конференції АВІА-2001. Київ 2001 р. – доповідь Умови оптимальності і якості управління.

- Міжнародній науково-технічній конференції АВІА-2002. Київ 2002 р. – доповідь Застосування другого методу Ляпунова до задачі фільтрації.

- Міжнародній конференції по управлінню Автоматика – 2002. Донецьк 2002. – доповідь Аналітичне конструювання нелінійних якісних регуляторів.

- Міжнародній науково-технічній конференції АВІА-2003. Київ 2003 р. – доповідь Застосування проміжного притягуючого різноманіття в задачах управління.

Публікації. Основні положення дисертаційної роботи опубліковані в 23 друкованих працях.

Структура й обсяг роботи. Дисертація складається з введення, чотирьох розділів і висновків, списку використаних джерел з 238 найменувань. Загальний об’єм дисертації становить 261с.

ЗМІСТ РОБОТИ

У вступі обґрунтована необхідність побудови методів синтезу систем стабілізації із заданою якістю перехідних процесів. Для задач стабілізації руху літальних апаратів, коли функціонал не має чітко вираженого фізичного змісту (як наприклад у задачах на мінімум часу, ресурсу), принцип оптимальності Белмана безпосередньо не обмежує якість руху, тому що будь-який стійкий рух оптимальний в смислі деякого обє’ктивно існуючого функціонала. Гарантоване виділення стійких рухів за допомогою відомих методів аналітичного конструювання регуляторів (чи інших методів) забезпечує тільки необхідні умови працездатності замкнутої системи стабілізації. Тому для оцінки якості потрібно формулювання умов, орієнтованих на виконання вторинних показників стійкості – показників якості перехідних процесів – формулювання більш жорстких умов у порівнянні з умовами стійкості за допомогою метода порівняння. Для побудови методів синтезу регуляторів принцип оптимальності Белмана модифікується. Суть модифікації полягає в доповненні вимогою якості руху. Відповідно до запропонованої модифікації оптимальна стратегія управління не залежить від передісторії, а залежить від поточного стану, кінцевої мети і (модифікуюче доповнення) додаткового обмеження по якості руху (від якості залишкової траекторії).

В першому розділі аналізується стан задачі аналітичного конструювання регуляторів і формулюються умови зв’язку другого метода Ляпунова з показниками якості, наводиться, наводяться приклади, у другому розділі в загальному вигляді для керованої диференціальної системи формулюються умови оптимальності і якості, у третьому розділі формулюються умови оптимальності і якості для лінійних об’єктів управління, в четвертому розділі побудовані методи використовуються для розрахунку регулятора для стабілізації літака на режимі точної посадки, що є практичною метою даної роботи.

В першому розділі показано, що відомі методи аналітичного конструювання регуляторів забезпечують стійкість, і з метою досягнення заданої якості перехідних процесів сформульовані умови зв’язку другого метода Ляпунова з показниками якості .

Розглянемо досліджувану на стійкість і якість приведену диференціальну систему

(1)

де - фазовий вектор розмірності n : .

Праві частини системи (1) визначені в заданій відкритій області , що містить початок; t - час - незалежна змінна, належить напіввідкритому інтервалу Праві частини системи (1) є неперервними функціями фазових координат і часу разом з похідними, причому число : Це необхідно для введення в розгляд не тільки першої похідної від допоміжної функції, але і похідних більш високого порядку, визначених в силу досліджуваної системи. Задамо завідомо стійке допоміжне диференціальне рівняння порядку k для допоміжної функції:

. (2)

Допоміжна функція може бути скалярною чи векторною функцією часу і фазового вектора досліджуваної на стійкість і якість системи.

V=V(t,X) . (3)

Для випадку векторної функції (3) допоміжне рівняння запишемо у виді

. (4)

У рівняннях (2) і (4) X виконує роль параметра.

Основна ідея умов зв’язку полягає в тому, що стійке допоміжне диференціальне рівняння обертається в тотожність на рішеннях досліджуваної на стійкість системи. Допоміжна функція, що розглядається як рішення допоміжного диференціального рівняння, у часі поводиться точно так само, як якби ми розглядали її поводження при підстановці у вираження для неї (3) часу і фазового вектора досліджуваної на стійкість системи (1). Визначимо властивості допоміжної функції таким чином, щоб із стійкості допоміжного рівняння і обертання його в тотожність на рішеннях досліджуваної на стійкість системи випливали стійкість і якість досліджуваної системи:

- норма фазового вектора допоміжного рівняння на рішеннях досліджуваної системи, тобто вектора, складеного з допоміжної функції і її похідних, визначених у силу досліджуваної системи, визначена і неперервна у всій області дослідження стійкості і більше чи дорівнює нормі фазового вектора досліджуваної системи, чи монотонно залежить від неї;

- норма фазового вектора допоміжної системи, визначена на рішеннях досліджуваної, на початку фазового простору досліджуваної системи має найменьшу вищу межу, яка дорівнює нулю, чи дорівнює нулю - для випадку асимптотичної стійкості.

Допоміжне рівняння відносно досліджуваного в таким способом виконує роль мажоруючого. Досліджуване рівняння стійке якщо має норму фазового вектора не більшу, ніж у стійкого допоміжного. Будемо розглядати стійкість у смислі Ляпунова. По визначенню стійкості для допоміжного рівняння маємо:

. (5)

Із умови, що норма фазового вектора досліджуваної системи не більше норми фазового вектора допоміжного рівняння (випадок мажорування), випливає існування і , які відповідно не більші, ніж і . Отже, якщо вибрати і , то, оскільки допоміжне рівняння обертається в тотожність на рішеннях досліджуваного, система (1)+(2) чи (1)+(4) - сумісна, і для її фазового вектора W=col(X,V) можна побудувати визначення, аналогічне (5):

. (6)

Оскільки таким чином система, утворена об'єднанням досліджуваної системи і допоміжного рівняння, стійка, то досліджувана система також стійка як підсистема стійкої системи. Теорема доведена. Можна вимагати, щоби мінімальне і максимальне значення норми фазового вектора досліджуваної системи були монотонними функціями норми фазового вектора допоміжного рівняння, визначеного на рішеннях досліджуваної системи. В окремому випадку максимальні і мінімальні значення монотонних функцій можуть збігатися.

Проведемо аналіз якості лінійної диференціальної системи

. (7)

Нехай ця система є стійкою, і існує додатньо визначена функція Ляпунова

, (8)

задовольняюча допоміжному рівнянню

. (9)

Рівняння (9) при визначенні функції Ляпунова (8) має вид

. (10)

Якщо допоміжне рівняння задати у виді

, (11)

то при тій же функції Ляпунова (8) воно обертається в тотожність на рішеннях зміщеної системи (7) :

. (12)

Мається зв'язок між показником експоненційного загасання функції Ляпунова і величиною зміщення спектра досліджуваної системи, що називається ступенем стійкості, і визначає гарантовану швидкодію. Приведемо співвідношення між показниками якості. Нехай на стійкість і якість аналізується система (1) при допоміжному рівнянні (11) для допоміжної функції (8). Рішення рівняння (11) має вид

. (13)

З огляду на вимогу теореми, відповідно до якої норма фазового вектора досліджуваної системи не більше норми фазового вектора допоміжного рівняння, запишемо нерівність

. (14)

Поділимо обидві частини (14) на норму допоміжного вектора в нулі V(0) :

. (15)

У (15) ми призначили час перехідного чи процесу час регулювання t р . В лівій частині (15) відношенню додамо зміст відносної помилки, і позначимо її через

чи . (16)

Співвідношення (16) відомі. Вони мають зв'язок із другим методом Ляпунова. Подібні (16) співвідношення виходять для допоміжного однорідного лінійного рівняння другого порядку. Воно виконує роль системи порівняння, що є носієм якості, що далі потрібно забезпечити управлінням – перенести на досліджувану систему.

У другому розділі приведені в загальному виді умови оптимальності і якості для звичайних диференціальних керованих об'єктів.

Модифіковане рівняння Белмана виводиться із умови, що функція Белмана має змушене, обумовлене основною стандартною частиною функціонала загасання, і власне загасання, що визначається додатковою модифікуючою частиною функціонала, яка є додатньо визначену функцію від функції Белмана. Модифікуюче доповнення більш жорстко обмежує поводження функції Белмана, що відповідає врахуванню якості руху.

У стандартній постановці задачі поводження функції Белмана на оптимальній траєкторії підпорядковується рівнянню

, (17)

де ? – підінтегральное вираження стандартного функціонала. Підпорядкуємо поводження функції Беллмана рівнянню

, (18)

де ?(V) – модифікуюче доповнення . По визначенню функції Белмана

. (19)

На оптимальній траєкторії виділимо довільний момент часу t і близький наступний за ним t’, що відстоїть від нього на величину t . Тоді, розглядаючи рух від моменту t до кінця процесу, маємо

(20)

Визначаючи функцію Белмана на відрізку t’ – T

, (21)

одержуємо рівняння Белмана

(22)

Якість руху встановлюється більш жорстким обмеженням поводження функції Белмана шляхом розширення підінтегрального виразу функціонала залежністю від функції його мінімального значення – функції Белмана.

У випадку векторного функціонала

(23)

маємо систему рівнянь Белмана:

(24)

Системі (24) відповідає постановка задачі управління із ієрархічною організацією. Управління ui здійснюють вплив на динамічний процес на біль високому в порівнянні з безпосередніми управліннями об’єкта управління рівні. Рівнів управління в системі, наприклад економічній, може бути декілька. Зпідвищенням рівня вплив на об’єкт зменьшується, і реалізується вплив на процес управляння на нижчих рівнях.

Природність залежності функціонала від функції його мінімального значення проілюструємо фізичним прикладом.

Нехай вільний одномірний рух описується наступним диференціальним рівнянням

(25)

де X – координата в одномірному евклідовому просторі , g – метричний коефіцієнт.

Функцію екстремального значення функціонала задамо у вигляді

(26)

У (26) функція відіграє роль інтеграла по просторовій координаті від екстремального значення функціонала. Функціонал задамо у виді

(27)

Особливістю функціонала (27) є залежність підінтегрального виразу тільки від просторового інтеграла від його мінімального значення, а фізичні величини входять у нього у виді множника.

Позначаючи підінтегральное вираження в (27)

, (28)

запишемо рівняння Беллмана

(29)

При підстановці в (29) частинної похідної від функції V по просторовій координаті з визначення (26), фазової швидкості з рівняння руху (25) і підінтегрального значення функціонала (26), і опускаючи символ екстремума через визначення (25) - (27), - що не мають управляючих ступенів свободи, одержимо рівняння

. (30)

Рівняння (30) являє собою відоме квантовомеханічне рівняння Шредінгера.

Розглянемо побудову якісних регуляторів. Нехай керований динамічний об'єкт описується наступною системою звичайних диференціальних рівнянь :

, (31)

де : X - n – мірний вектор фазових координат;

u - m – мірний вектор управляючих впливів;

t - незалежна перемінна - час ;

F - вектор правих частин, що задовольняє вимозі гладкості і диференціюємості по фазових координатах і часу.

Шуканий регулятор повинен мінімізувати заданий функціонал

, (32)

Одночасно з функціоналом задамо допоміжне рівняння порядку r для допоміжної функції

, (33)

допоміжну функцію згідно (33), будемо вважати поки невідомою:

. (34)

Далі будемо допоміжній функції додавати зміст функції Ляпунова-Белмана, і виходячи з цієї додаткової посилки побудуємо в підсумку рівняння, якому повинна задовольняти допоміжна функція як функція часу і фазових координат. Використовуємо рівняння (33) як рівняння зв'язк і побудуємо розширений функціонал, що враховує зв'язок у виді штрафної функції

, (35)

де виконує роль вагового коефіцієнта, що враховує співвідношення внесків основного функціонала і додаткового зв'язку. Для розширеного функціонала (35) запишемо рівняння Белмана (22)

. (36)

У рівнянні (36) похідні по часу від допоміжної функції можуть бути визначені в силу досліджуваної системи. Введемо сполучений фазовому вектору X вектор перемінних , котрий визначимо як градієнт допоміжної функції :

. (37)

Побудуємо розширену функцію Гамільтона :

. (38)

З визначення сполученого вектора (37) шляхом поділу перемінних і інтегрування одержимо

, (39)

диференціюючи (39) одержимо зв'язок між похідними за часом від допоміжної функції і похідними сполученого вектора

, (40)

де - порядок похідної за часом ;

- векторний диференціал фазового вектора. ;

- позначення похідних від допоміжної функції .

Функцію Гамільтона (38) запишемо з урахуванням виразів (39) і (40):

. (41)

Визначимо похідні по часу від допоміжної функції (34) у силу досліджуваної системи (31). З урахуванням (39) маємо :

(42)

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

При матрично - векторному диференціюванні визначення похідних вище другої приводить до тензорних об'єктів, що можуть бути записані в багатовимірному матричному виді. Визначимо управління із умови мінімуму функції Гамільтона, дорівнявши похідну по вектору управління від цієї функції нулю:

.

У розгорнутому виді це співвідношення має наступний вид :

(43)

Нехай система рівнянь (43) має рішення

. (44)

Змінні p0, p1 , ... , pr утворюють векторну перемінну P розмірності r+1 :

(45)

Перепишемо (41) і (43) з урахуванням позначення (45) :

, (46)

Для обчислення управління продиференціюємо функцію Гамільтона по управлінню і приравняємо похідну нулю:

(47)

Рішення рівняння (47) запишемо у формі аналогічної (44) :

. (48)

Підставимо вираження для управління (48) у рівняння (36) . Оскільки управління визначене із умови мінімуму функції Гамільтона , вираження в дужках під знаком мінімуму по управлінню в (36) дорівнює нулю.

(49)

Рівняння (42), (48) і (49) утворюють систему, рішенням якої є регулятор (48) і допоміжна функція v(t,X) . При цьому досягається екстремум розширеного рівнянням зв'язку для допоміжної функції функціонала (35) при виконанні обмежень (33), що накладаються на поводження в часі допоміжної функції, і що відбивають вимоги до якості перехідних процесів.

Далі виведемо диференціальне рівняння для сполученої перемінної. Для цього продиференціюємо вираження (49) по фазовому вектору . При побудові такого роду виражень у загальному виді губиться їхня практична доцільність, тому що громіздкість запису приводить до неможливості практичного використання результатів. Тому актуальним є застосування комп'ютерних систем аналітичних обчислень, за допомогою яких можливе виконання об'ємних аналітичних перетворень і наступне формування робочих файлів, що потім можна використовувати при побудові відповідних обчислювальних процедур. Маємо

(50)

У (50) перший рядок являє собою повну похідну за часом від сполученого вектора

. (51)

Співвідношення (50) містить групу членів, що повторюють праву частину рівняння (47), що має спільний для кожного додатку співмножник - частинну похідну від вектора оптимального керування Ф по фазовому вектору X . На оптимальних траєкторіях ця група членів згідно (47) дорівнює нулю. Для зручності порівняння (50) з (47) рівні нулю члени і група членів взяті в квадратні дужки. Для розгляду останнього члена в (47) повернемося до визначення вектора P згідно (45) і (40) . Його компонентами є похідні по часу від вектора сполучених перемінних, утворюючих матрицю - векторний рядок, кожним елементом якого є вектор - похідні по часу порядку від 0 до r від сполученого вектора :

. (52)

Увівши позначення (52) у виді вектора , перепишемо рівняння (50) з урахуванням співвідношень (37) , (47) , (51).

(53)

(53) - інтегродиференціальне рівняння для сполучених змінних.

Приведено вивод умов оптимальності і якості для випадку розширення фазового вектора досліджуваної системи рівняннями зв'язку для допоміжної функції. Показано, що у випадку векторного функціонала для багатокритеріальної задачі функціонали містять перехресні члени з функціями Белмана.

У третьому розділі приведені виводи рівнянь Рікаті для рішення задачі аналітичного конструювання регуляторів із заданою якістю перехідних процесів для лінійних об'єктів. Розглянуто наступні випадки:

1.

Для керованої лінійної системи

, (54)

де: X - вектор розмірності n; A - матриця nn; B - матриця nm ;

u - вектор керувань розмірності m , при рівнянні зв'язку для функції Ляпунова , де Q - позитивно визначена симетрична матриця nn

, (55)

де с – параметр швидкодії, і функціонала, заданого у такий спосіб :

(56)

де: P - неневідємноно визначена симетрична матриця nn; R - позитивно визначена симетрична матриця mm; G - не невід’ємноно визначена симетрична матриця nn, що відповідає введенню обмеження довжини (її квадрата) інтегральної кривої ( і отже коливальності) і еквівалентна в силу вихідної системи введенню у функціонал перехресного добутку фазового вектора і управління; - ваговий настроєчний коефіцієнт, що регулює внесок доданка ; за допомогою рівняння Беллмана:

(57)

при визначенні з нього диференціюванням по u управління

(58)

і його підстановки в (57) одержуємо рівняння Рікаті для визначення матриці квадратичної форми функції Ляпунова-Белмана:

(59)

Вводячи сполучений вектор

(60)

запишемо вираження для функції Гамільтона

(60)

і визначимо прирівнюванням нулю похідної від функції Гамільтона управління

. (62)

Підставимо управління (60) у вираження для функції Гамільтона:

(63)

У вираженні (63) взаємно знищуються члени: третій у першому рядку з членом у п'ятому рядку; член у четвертому рядку з членом у сьомому рядку; член у другому рядку з членом у шостому рядку. Диференціюванням (63) по сполученому і фазовому векторах побудуємо канонічну гамільтонову систему рівнянь :

.

. (64)

З урахуванням вираження для похідних від функції Гамільтона запишемо канонічну систему і рівняння Рікаті:

(65)

(66)

(67)

Рівняння (54) – (67) визначають умови для обчислення оптимального регулятора, що задовольняє заданій швидкодії і обмеженню коливальності. Регулятор може бути розрахований на сітці значень матриці G квадратичної форми в підінтегральному вираженні функціонала і параметра швидкодії с. Тоді в темпі роботи системи можливо шляхом переключення матриць коефіцієнтів зворотнього зв'язку при великих відхиленнях управляти з урахуванням переваги швидкодії, а при малих – з переважним обмеженням коливальності. При цьому процес виходить на основному протязі подібний режиму максимальної швидкодії з релейним управлінням, а наприкінці плавно зупиняється при малих відхиленнях рулей. Для нестаціонарних систем

(68)

управління знаходиться рішенням матричного диференціального рівняння Рікаті

(69)

в матричних коефіцієнтах якого параметри швидкодії і коливальності можуть мінятися в темпі роботи замкнутої системи.

2.

Для керованої лінійної системи (54) вводиться комплексна заміна незалежної змінної – часу , де - кут повороту комплексної площини замкнутої системи, що обмежує розташування спектра її власних чисел. При даній заміні часу система приймає вид

(70)

Для масштабованої системи (70), рівняння зв'язку (55) для функції Ляпунова-Белмана - ермітової позитивно визначеної квадратичної форми, і функціонала (56), (при заміні операцій транспонування транспонуванням і комплексним сполученням (символ *)), рівняння Белмана за аналогією з 1 при функціоналі

(71)

має вид:

(72)

Визначаємо з нього і розширеної функції Гамільтона

(73)

управління

(74)

у якому ермітова матриця Q знаходиться з рівняння Рікаті:

Визначаємо управління згідно (74) як комплексне. На оптимальних траекторіях функція Гамільтона і канонічна система мають вид:

(76)

Управамкнутий їм об'єкт (70) також є комплексним. Для того щоб позбутися від комплексності можна, провівши розрахунок регулятора двічі при позитивному і негативному значеннях кута , потім знайти напівсуму замкнутих комплексних систем, і в силу їхньої спряженості одержати дійсну систему. Інакше – дійсний об'єкт варто замикати дійсною частиною регулятора (74). Рівняння (75) для побудови регулятора при умовах =0, =0, с=0, G=0, що відповідають стандартній постановці задачі аналітичного конструювання регуляторів А.М. Льотова, набуває вид відповідного стандартного рівняння :

(78)

3.

Для жорстких об'єктів, що містять групи змінних із швидкими і повільними рухами, векторний зсув

(79)

еквівалентний введенню векторного загасання функції Ляпунова

, (80)

де с1 і с2 – показники загасання відповідно для швидких X1 і повільних X2 груп змінних, Е1 і Е2 – проектори. Відповідні теоремі про стійкість і якість, - зв'язки між показниками якості для швидких і повільних перемінних, мають вид:

(81)

При введенні векторного комплексного масштабу часу де

у систему з метою забезпечення різного обмеження коливальності швидких і повільних змінних для масштабованої системи

(83)

при розширеному функціоналі

(84)

рівняння Рікаті для визачення матриці квадратичної форми функції Ляпунова у вираженні для управління

(85)

з урахуванням позначень

(86)

мають слідуючий вид

. (87)

Застосування цього методу дозволяє раціональніше розподілити можливості управління з урахуванням жорсткості об'єкта, врахувати особливості об'єкта в смислі його жорсткості і більш повно погодити з об'єктом регулятор.

4. Застосування модифікації принципу оптимальності

Відповідно до принципу оптимальності підінтегральне вираження є похідною від допоміжної функції. Цю умову доцільно підсилити вимогою додаткового в порівнянні з обумовленою функціоналом зміною в часі, і цим забезпечити необхідну якість руху. У цьому випадку допоміжна функція підкоряється рівнянню

(88)

Тоді для масштабованої системи (70) при відповідному функціоналі

(89)

за допомогою рівняння Белмана для обчислення управління

(90)

одержуємо рівняння Рікаті (76), у якому

У цьому випадку в рівняння не входить множник , визначення якого вимагає пробних розрахунків і моделювання результатів. Але одночасно міняється зміст показників загасання, що задають загасання як додаткове стосовно вихідного не розширеного функціонала. Тому наперед указувати необхідні для реалізації показники якості не доцільно. Вони виконують роль додаткових ступенів свободи в порівнянні зі стандартною постановкою задачі аналітичного конструювання. Структура системи обмежень при побудові системи управління не може бути формалізована. Наявність у структурі методів параметрів швидкодії і загасання (для лінійних систем – ступеня стійкості) дозволяє будувати цілеспрямовані ітераційні процедури, що включають багаторазове рішення задачі аналітичного конструювання на сітках параметрів якості при одночасному уточненні основної частини функціонала. При цьому виявляються закономірності поводження коефіцієнтів зворотнього зв'язку і при моделюванні уточнюються вимоги погано формалізованихх обмежень. Можлива зміна в темпі роботи системи показників якості, тобто управління на дещо більш високому рівні з урахуванням створених можливостей. Наприклад при великих початкових відхиленнях може бути бажана велика швидкодія, а при малих відхиленнях – переважне демпфірування. Параметри швидкодії і коливальності на траєкторії системи можуть вибиратися із умов обмеження відхилення рулей (незалежно від величини відхилення) з урахуванням обмеження перевантажень. У кожному конкретному випадку процедура пошуку може розвиватися непередбаченим чином, але ця невизначеність усього лише відбиває властивість задач побудови регуляторів як задач конструювання, де ведучу роль грає конструктор – лице приймаюче рішення. Тому поряд з наявністю методів синтезу необхідний досвід їх практичного застосування.

Розглянемо побудову якісних фільтрів. Збурена лінійна система, що спостерігається, описується рівняннями

(92)

де - білі векторні шуми з дисперсійними матрицями R1 і R2 ,

S – матриця обмеження виміру фазових координат

- вектор перемінні стани, що спостерігається,

С - матриця приведення білого шуму до фазових координат об'єкта управління.

З умови подвійності задач управління і фільтрації рівняння для побудови оптимального фільтра має вид

(93)

де

(94)

- матричні коефіцієнти в рівнянні (90). Матриця оптимального фільтра має вид

. (95)

Процес фільтрації будується згідно рівнянню

(96)

Алгоритм фільтрації згідно (90) – (93) найбільш ефективний, коли на першій ітерації має місце не повне спостереження вектора стану, а на наступній ітерації використовуються результати фільтрації з першої ітерації для повного спостереження.

У четвертому розділі розв’язана задача управління літаком - його якісної стабілізації на заданій траекторії посадки .

В.задачі про посадку транспортного літака на укорочену смугу головним є вимога точно витримати точку посадки і вертикальну швидкість. З цією метою запропоновано застосовувати як управляючі органи руль висоти і інтерцептори. Інтерцептори на етапі заходу на посадку відхиляються в середнє положення, так щоб їх довипуск і уборка приводили до однакових приростів підйомної сили. Одночасно можливе управління реверсом тяги, коли двигун працює на злітному режимі, а частина тяги реверсом направляється проти напрямку руху. При цьому досягається збільшення керованості, зокрема при необхідності переривання посадки. Можливе використання реверса в цьому режимі для зменшення дистанції пробігу. Збільшення керованості приводить до втрати в паливі, що є загальною закономірністю для керованих систем. Траєкторія посадки вибиралася із умови заданої швидкості і обмеження по вертикальній швидкості в момент касання. Зниження і посадка на опорній траекторії здійснюються з постійним кутом тангажа. В міру наближення до землі збільшується її вплив. Руль висоти компенсує продовжний момент, а вплив землі приводить до зменшення кута нахилу траєкторії. На висоті, де впливу землі нема, вибирається кут нахилу траєкторії. Його значення підбирається з умови заданої вертикальної швидкості касання. Задача рішається імітаційним моделюванням. Інтерцептори відхилені в постійне середнє положення. На обраній опорній траєкторії система рівнянь подовжнього руху літака лінеаризується. На висотах польоту з постійним від’ємним кутом нахилу траєкторії за ігнорування зміни щільності повітря лінійна модель залишається постійною. На малих висотах через вплив землі її коефіцієнти змінюються. Для різних висот при різних значеннях показника загасання розраховуються матриці коефіцієнтів зворотнього зв'язку. Розглянуті варіанти управління тільки інтерцепторами при наявності відхилень від опорної траекторії, і управління інтерцепторами разом з рульом висоти. Передбачалося, що швидкість витримується точно за рахунок роботи реверса. При управлінні одними інтерцепторами вихід на опорну траєкторію виходить тривалим у порівнянні з одночасним застосуванням руля висоти. Канал руля висоти використовувався в режимі стабілізації тангажа, що відповідає опорній траєкторії. Такий режим більш прийнятний для пілота, тому що відсутність обертальних рухів знімає необхідність прогнозування їх впливу, особливо на малих висотах. При одночасному управлінні інтерцепторами і рульом висоти траєкторія зниження витримується в умовах збурень значно більш точно, а під час відсутності збурень при початкових відхиленнях вихід на траекторію зниження здійснюється швидше. З метою збільшення повноти використання рулей параметр швидкодії вибирається в темпі роботи системи із умови обмеження їх відхилень. Імітаційним моделюванням показана працездатність побудованих алгоритмів управління при наявності початкових відхилень від опорної траєкторії, дії ступенеподібних вітрових збурень великої амплітуди, а також в умовах дії сильної турбулентності.

В прикладі задачі фільтрації розглянуто короткоперіодичний рух літака при куті атаки, що не спостерігається, і що спостерігаються тангаж і продовжня кутова швидкість. Матриця повного фільтра є позитивно визначеною симетричною.

Основні висновки

1.Проектування сучасних керованих динамічних об'єктів у різних галузях, і особливо в авіації, висуває на перший план вимоги побудови відповідних систем керування, що дозволяють максимально використовувати ресурс керованості проектованих об'єктів. У найбільш загальному виді з позицій сучасної теорії керування ця вимога формалізується як вимога забезпечення стійкості, що є головною умовою працездатності об'єкта керування, - при виконанні умови забезпечення заданої або максимально досяжної якості керування – якості стабілізації заданої траєкторії руху. При цьому необхідно виконувати конструктивні умови обмеження відхилення органів керування, і враховувати обмеження особливих комбінацій фазових координат, що найчастіше діють при відхиленнях органів керування - перевантажень. Якість перехідних процесів, або якість регулювання, визначається показниками якості, серед яких найважливішими є час регулювання і коливальність. Задача забезпечення максимально досяжної якості регулювання при врахуванні обмежень, у рамках концепції аналітичного конструювання вирішена раніше не була. Ця задача має проблемний характер. Вона була поставлена видатним вченим в галузі керування автором методу аналітичного конструювання регуляторів А.М. Льотовим у шістидесятих роках минулого сторіччя. Відповідно до визначення А.М. Льотова показники якості перехідних процесів виступають у ролі вторинних показників стійкості. Безпосередньо метод аналітичного конструювання в стандартній формі його автора не дозволяє реалізувати вимоги якості, і орієнтований на забезпечення стійкості, як більш слабкої вимоги, виконуваної в силу призначуваного функціонала. А.М. Льотовым була поставлена задача введення в структуру методу аналітичного конструювання вторинних показників стійкості – показників якості. Не дивлячись на велике число робіт вітчизняних і закордонних дослідників, раніше вона вирішена не була. Ця задача вирішена в дисертаційній роботі.

2.Практична цінність даної роботи обумовлюється тим, що при проектуванні об'єктів керування забезпечується можливість при використанні розроблених методів найбільш повного використання ресурсу їх керованості, що дозволяє істотно поліпшувати тактико – технічні характеристики, економічні показники, і в такий спосіб забезпечувати підвищення рівня споживчої якості і конкурентоздатності.

3.Головна ідея роботи полягає в модифікації принципу оптимальності і відповідного функціонала шляхом введення в його підинтегральне вираження додаткового члена – позитивно визначеної функції від функції Белмана. За рахунок цього функції Белмана забезпечується додаткове в порівнянні з традиційною постановкою власне загасання, еквівалентне мажоруванню перехідних процесів.

4.Запропонована модифікація поєднує другий метод аналізу стійкості А.М.Ляпунова, метод порівняння, метод динамічного програмування і метод аналітичного конструювання регуляторів, що здобуває нову властивість забезпечувати умови заданої якості руху – більш жорсткі вимоги ніж вимога стійкості. Достовірність отриманих результатів підтверджується приведеною побудовою системи рівнянь для рішення багатокритеріальних задач оптимізації з ієрархічною структурою керування, і прикладом виводу рівняння Шредінгера, що підтверджує фізичну природність постановки і рішення задачі, поряд з технічною ефективністю, рішенням задачі про точну посадку літака.

5.Розроблені методи аналітичного конструювання якісних систем стабілізації містять параметри, що монотонно впливають на якість перехідних процесів, і мають вплив на поводження функції Белмана. Вони виконують роль керувань більш високого рівня, чим керування, що безпосередньо діють на об'єкт керування. Їхньою зміною уздовж траєкторії стабілізації забезпечується поточна адаптація регулятора на максимально ефективний вплив на об'єкт керування.

6.Введення модифікуючого доповнення у функціонал дозволяє в найбільш поганій ситуації, що складається при рішенні задач стабілізації, коли функціонал не має чисто фізичного змісту і фізичної розмірності, істотно послабити вплив на результати розрахунків вибору вагових коефіцієнтів стандартної частини функціонала в задачі аналітичного конструювання. У такий спосіб вирішується відома в автоматиці проблема вибору мінімізуємого функціонала.

7.В обчислювальному плані розроблені методи добре погоджені з використовуваним стандартним методом аналітичного конструювання регуляторів А.М. Льотова, є його розвитком і не заперечують йому. Наступність з ідеями А.М. Льотова дозволяє без труднощів освоїти розроблені методи широкому колу проектувальників – дослідників. Прозорість побудов дозволяє проводити подальші модифікації відповідно до конкретної задачі проектування системи стабілізації.

8.Показники якості й обмеження є взаємозалежними. У кожній конкретній задачі для заданого або проектованого динамічного керованого об'єкта цей зв'язок виявляється досить характерним образом. Тому в різних предметних галузях (авіація, кораблебудування, ракетна техніка, приладобудування, робототехніка, технологічні, наприклад хімічні процеси) склалися традиції побудови систем стабілізації, що реалізують напрацьований досвід у рамках створених наукових шкіл. Застосування розроблених методів у конкретних предметних галузях дозволяє максимально уніфікувати методики проектування систем керування, наприклад шляхом складання відповідних рекомендацій з вибору функціоналів.

9.Розглянуто побудову систем стабілізації для жорстких об'єктів керування, що містять швидкі і повільні рухи, що найбільш характерно для авіаційних об'єктів керування. У цьому випадку загасання функції Беллмана вводиться векторним, тобто різним для груп швидких і повільних змінних. Це дозволяє спростити процес пошуку прийнятного рішення.

10.З принципу подвійності побудовані рівняння для рішення задачі оптимальної фільтрації, що є актуальним при рішенні задач якісного керування в умовах дії перешкод.

11.Приведено рішення задачі про точну посадку літака. При цьому головною є мета досягнення максимально можливої точності виконання посадки і розширення маневрених можливостей літака для рішення можливих зненацька виникаючих задач по маневруванню на цьому режимі польоту. Показано, що застосування побудованих параметричних, коли параметр швидкодії змінюється на траєкторії, законів керування, істотно послаблює дію вертикальних детермінованих і стохастичних поривів вітру, і дозволяє практично повністю вичерпати ресурс керованості літака, наблизивши режим керування до режиму максимальної швидкодії. Альтернативна традиційна постановка задачі про максимальну швидкодію за допомогою принципу максимуму Понтрягіна веде до труднощів обчислювального характеру, зв'язаних з визначенням початкових значень сполучених змінних, або поверхонь переключення керувань.

12.Подальший розвиток розроблених методів доцільний у зв'язку з рішенням задач оптимізації з еталонною моделлю в контурі керування, побудовою редакцій методів для випадків постійно діючих детермінованих вимірюваних збурень. Можлива побудова різних варіантів методу узагальненої роботи А.А. Красовського. Також доцільна побудова розрахункових чисельних схем динамічного програмування для ієрархічних систем керування, наприклад для економічних об'єктів, процесів народногосподарського комплексу.

13.Найближчою задачею є застосування розроблених методів для побудови систем керування нестійкими авіаційними об'єктами – вертольотами, що дозволить істотно підвищити їх льотні характеристики і при цьому раціонально перерозподілити функції аеродинаміки і керування на етапі проектування.

Список публікацій по темі дисертації

1.