ІНСТИТУТ ПРОБЛЕМ МАШИНОБУДУВАННЯ ім. А. М. ПІДГОРНОГО
НАН УКРАЇНИ

Бут Євгеній Миколайович

УДК 681.3:536.2:536.4

КОМП’ЮТЕРНІ МОДЕЛЮВАННЯ Й ІДЕНТИФІКАЦІЯ ТЕПЛОМАСОПЕРЕНЕСЕННЯ В ЕНЕРГЕТИЧНИХ ТА ТЕХНОЛОГІЧНИХ ОБ’ЄКТАХ МАШИНОБУДУВАННЯ

Спеціальність 05.14.06 -
технічна теплофізика та промислова теплоенергетика

Автореферат дисертації на здобуття наукового ступеня
доктора технічних наук

Харків – 2004

Дисертацією є рукопис.

Робота виконана в Інституті проблем машинобудування ім. А. М. Підгорного НАН України.

Науковий консультант:

академік НАН України, доктор технічних наук, професор

Мацевитий Юрій Михайлович,

Інститут проблем машинобудування ім. А. М. Підгорного НАН України, директор.

Офіційні опоненти:

доктор технічних наук, професор

Соловей Віктор Васильович,

Інститут проблем машинобудування ім. А. М. Підгорного НАН України, завідуючий відділом;

доктор технічних наук, професор

Гетьманець Володимир Федорович,

Інститут низьких температур НАН України,
головний науковий співробітник.

доктор технічних наук, професор

Приходько Іван Михайлович,

Галузевий науково-дослідний інститут збройних сил,

головний науковий співробітник.;

Провідна установа: Національний технічний університет України “Київський політехнічний інститут”, кафедра атомних електричних станцій та інженерної теплофізики, м. Київ.

Захист відбудеться 07 жовтня 2004 р. о 14 годині на засіданні спеціалізованої вченої ради Д .180.02 в Інституті проблем машинобудування НАН України ім. А. М. Підгорного за адресою:

61070, м. Харків, вул. Пожарського, 2/10, ауд. 1112.

З дисертацією можна ознайомитися в бібліотеці Інституту проблем машинобудування ім. А. М. Підгорного, 61070, м. Харків, вул. Пожарського, 2/10

Автореферат розісланий 03 вересня 2004 р.

Вчений секретар спеціалізованої вченої ради

канд. техн. наук О. Е. Ковальський

Загальна характеристика роботи

Актуальність теми. Вдосконалювання таких об’єктів машинобудування, як теплоенергетичне устаткування, космічні апарати, відсіки з радіоелектронною апаратурою, їхнє проектування, розробка та технологічні процеси їх виготовлення режими безаварійної експлуатації, а також ідентифікація тепломеханічного стану на сучасному етапі багато в чому залежать від наявних методів комп’ютерного моделювання й ідентифікації тепломасоперенесення в об’єктах машинобудування.

Розвиток комп’ютерної техніки надав недосяжну ще якихось десяток років тому швидкість моделюванню і практично вирішив проблему швидкодії обчислень. Актуальності набули проблеми адекватного відображення процесів тепломасоперенесення, що відбуваються в об’єктах машинобудування, а також ефективність чисельних методів до комп’ютерного моделювання й ідентифікації цих процесів, моделювання котрих часто зводиться до розв’язання некоректно поставлених задач математичної фізики. Великий вклад у розробку прикладних методів ідентифікації теплового стану об’єктів машинобудування внесли О. М. Аліфанов, Л. О. Коздоба, Д. Ф. Симбірський, Ю. М. Мацевитий, Дж. Бек, Г. М. Дуль-нєв, П. Г. Круковський, Є. М. Письменний, І. М. Приходько, Ю. В. Полєжаєв, С. В. Резнік та ін.

Однак поза їхнім розглядом опинилися такі проблеми комп’ютерного моделювання й ідентифікації процесів тепломасоперенесення, як завдання у чисельних методах геометрії меж у вигляді вектора параметрів; моделювання тепломасоперенесення з фазовим переходом у капілярно-пористому середовищі (поки що моделюють або тепло-, або масоперенесення); динамічні виміри і вимір залежностей (теорія вимірів розглядає тільки величини, а не залежності). Важливість вирішення зазначених проблем для подальшого вдосконалювання об’єктів машинобудування і приладобудування визначає актуальність теми дослідження.

Зв’язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Тема дисертаційної роботи безпосередньо пов’язана з Національною космічною програмою України (темы “Фундамент-2.8”, контракт № 6-87/96 и “Хвиля”, контракти № 2.4.14-98, 4.4.1-98/3-2000) і з планами науково-дослідних робіт ІПмаша НАН України (д.р № 0197U012287, № 01910019862).

Мета і задачі дослідження. Метою дослідження є розробка наукових основ, методів і положень комп’ютерного моделювання й ідентифікації процесів тепломасоперенесення в енергетичних та технологічних об’єктах машинобудування.

Для досягнення поставленої мети необхідно вирішити такі наукові та науково-прикладні проблеми, що мають істотне значення для комп’ютерних моделювання й ідентифікації:

- запропонувати та розвити інженерний підхід до комп’ютерних моделювання й ідентифікації процесів тепломасоперенесення в об’єктах машинобудування;

- побудувати комп’ютерну сплайнову планіметрію, яка дозволяє більш точно відбити реальну геометрію елементів конструкції об’єктів машинобудування;

- отримати рішення рівнянь теплопровідності для конструкційних елементів об’єктів машинобудування в просторі сплайн-функцій зі сплайновим відображенням меж в одно-, дво-, та тривимірних просторах;

- обґрунтувати концепцію виміру залежностей між величинами, що характеризують тепломасоперенесення з оцінкою похибок, яка враховує не тільки величини, а і їх похідні;

- розвити метод оцінки достовірності та точності отриманих рішень обернених задач за допомогою показників некоректності та отримати алгоритми для проведення цих оцінок

- побудувати математичні моделі тепломасоперенесення в теплопроводах з капілярним насосом у вигляді системи диференціальних рівнянь теплопровідності та масоперенесення з урахуванням фазового переходу;

- дослідити моделі умовних фазових переходів першого роду з S-подібною функцією концентрації фази для використання їх в комп’ютерному моделюванні процесів тепломасоперенесення;

- застосувати розроблені методи для рішення практичних задач тепломасоперенесення

Об’єкт дослідження. Тепломасоперенесення в об’єктах машинобудування.

Предмет дослідження. Методи і алгоритми комп’ютерних моделювання й ідентифікації процесів тепломасоперенесення в об’єктах машинобудування.

Методи дослідження. Методи теорії термодинаміки і тепломасообміну (феноменологічний підхід), теорії чисел, теорії апроксимацій, диференціальної та аналітичної геометрій, теорії сплайнів, методи розв’язання некоректно поставлених задач тепломасоперенесення, теорії вимірів.

Наукова новизна отриманих результатів випливає з поставлених цілей і задач і полягає в такому:

1. Запропоновано і розвинуто інженерний підхід до комп’ютерних моделювання й ідентифікації процесів тепломасоперенесення в об’єктах машинобудування, який дозволяє моделювати тепломасоперенесення в прискореному режимі (швидше реального часу течії процесів) (вперше).

2. Побудовано комп’ютерну сплайнову геометрію на множині функцій, замкнених відносно операції побудови еквідистанти, що дозволяє більш точно відбивати реальну геометрію конструкційних елементів об’єктів машинобудування (вперше).

3. Створено модифікацію проекційно-сіткового методу розв’язання рівняння теплопровідності для конструкційних елементів об’єктів машинобудування для простору сплайн-функцій в одно-, дво- і тривимірних просторах (уперше).

4. Розроблена та практично реалізована концепція виміру функціональних залежностей з оцінкою похибки цих величин, що враховує не тільки відхилення значень функцій, але й відхилення їх дотичних, що дозволяє підвисити достовірність та точність ідентифікації параметрів тепломасоперенесення (уперше).

5. Розвинуто метод оцінки достовірності та точності отриманих рішень обернених задач за допомогою показника некоректності, що дозволяє одержати трубку похибок отриманих рішень;

6. Для отримання сталих рішень задач тепломасоперенесення с фазовим переходом в капілярно-пористому середовищі запропоновано використати умовні фазові переходи першого роду с S-подібною функцією концентрації фази (вперше);

7. Побудовано математичні моделі тепломасоперенесення в теплопроводах з капілярним насосом у вигляді системи диференціальних рівнянь теплопровідності та масоперенесення з урахуванням фазового переходу (вперше).

Практичне значення отриманих результатів. Результати роботи використано при реалізації фрагментів Національної космічної програми в роботах ІПмаша, НДІРВ (математична модель теплопроводу з капілярним насосом), а також при створенні систем діагностики газотурбінних двигунів на АНТК "Антонов" (застосування S-критерію для визначення стаціонарності роботи двигуна), у теплових розрахунках рушійних установок космічних апаратів у ТМКБ "Союз" (ідентифікація теплових потоків у рушійній установці), при доведенні технологічних процесів точного об’ємного штампування з підігрівом на ЗВО “Моторобудівник” (визначення теплових режимів пресування на основі дослідження теплового стану прес-форми та заготовки).

Особистий внесок здобувача складають сформульовані та вирішені ним науково-технічні проблеми, що включають нові підходи, концепції, принципи, математичні моделі, які стали базовими при створенні наукових основ комп’ютер-них моделювання й ідентифікації тепломасоперенесення в об’єктах машинобудування і при одержанні нових конкретних результатів, викладених в опублікованих здобувачем без співавторів 19 статтях [ – , ], а також у двох статтях, опублікованих здобувачем разом із співавторами [, ]; особистий внесок здобувача у ці праці такий:

[]: Є. М. Бут – перетворення фізичних моделей у математичні; дослідження обчислювальної некоректності невласних інтегралів; програмування і проведення обчислювального експерименту; Є. М. Бут, Д. Ф. Симбірський – постановка задачі; побудова фізичних моделей; обговорення результатів;

[]: Є. М. Бут – перетворення фізичних уявлень у математичні моделі: тепломасоперенесення у вигляді двох диференціальних рівнянь параболічного типу, кривих фазового переходу у вигляді звичайних диференціальних рівнянь; сплайнове зображення S-подібної кривої для апроксимації фазового переходу першого роду другим, одержання алгоритму знаходження найближчої точки кипіння; Є. М. Бут, Ю. М. Мацевитий - постановка задачі, побудова фізичних моделей тепломасоперенесення в капілярно-пористому середовищі, ідея заміни фазового переходу першого роду другим, аналіз і обговорення результатів.

Апробація результатів дисертації. Матеріали дисертації доповідалися: на Всесоюзному симпозіумі “Автоматизація теплофізичних досліджень”, Москва, 1979; Всесоюзній конференції “Тепломасообмін-YI”, Мінськ, 1980; міжгалузевій науково-технічній конференції “Проблеми функціональної діагностики газотурбінних двигунів та їх елементів: Діагностика-80”, сел. Рибаче, 1980; другому та третьому Всесоюзних симпозіумах “Динамічні виміри”, Ленінград, 1978, 1981; IY Всесоюзній нараді “Експериментальні методи і апаратура для досліджень турбулентності”, Новосибірськ, 1981; Республіканській конференції “Математичні моделі процесів і конструкцій енергетичних турбомашин у системах їх автоматизованого проектування”, Готвальд, 1982; Всесоюзній науково-технічній конференції “Методи і засоби машинної діагностики стану газотурбінних двигунів та їх елементів”, сел. Рибаче, 1980, 1983; Всесоюзній науково-технічній конференції “Проблеми метрологічного забезпечення наукових досліджень і навчального процесу у вузах”, Ленінград, 1984; науково-технічній конференції “Метрологічне забезпечення температурних і теплофізичних вимірів у галузі високих температур”, Харків, 1986; Всесоюзній нараді “Аналітичні методи розрахунку процесів тепло- і масоперенесення”, Душанбе, 1986; YI Всесоюзній конференції “Проблеми метрологічного забезпечення систем обробки вимірювальної інформації”. Москва, 1987; Всесоюзній нараді “Алгоритмічне забезпечення машинно-орієнтовного виробництва”, сел. Рибаче, 1989; Всесоюзній науково-методичній конференції “Підготовка і підвищення кваліфікації інженерних кадрів у галузі метрології, стандартизації та керування якістю”, Харків, 1990; 4-му і 5-му “Ukrainian-Russian-Chinese symposium on space science and technology”, Київ, 1996, Пекін, 2000; II Міжнародній конференції “Проблеми промислової теплотехніки”, Київ, 2001; 9-й, 10-й, 11_й Міжнародних конференціях “Нові технології у машинобудуванні”, сел. Рибаче, 2000, 2001, 2002; міждержавних науково-методичних конференціях “Математичне моделювання”, Дніпродзержинськ, 1998, 2002; 4th international conference: inverse problems: identification, design and control, 2003.

Публікації. За темою дисертації опубліковано більш ніж 70 наукових праць. Основні результати подано в статтях [ – ], опублікованих у наукових виданнях, визначених ВАК України для публікацій основних результатів дисертаційних робіт, та 6 тезах доповідей.

Структура і обсяг дисертації. Дисертація складається зі вступу, семи розділів, висновків та списку використаних джерел. Викладена на 329 сторінках. Обсяг роботи складає 11 авторських аркушів. Дисертація містить 90 рисунків і 17 таблиць. Список використаних джерел включає 357 назв.

Основний зміст

Розділ 1 присвячено огляду сучасного стану комп’ютерних моделювання й ідентифікації процесів тепломасоперенесення в об’єктах машинобудування, зокрема, в об’єктах, що включають теплопроводи різних типів дії. Розглянуто існуючі означення понять фізичної та математичної моделей, а також зв’язку між ними, і показано, що ці означення потребують уточнення.

Проведено аналіз фізичних і математичних моделей тепломасоперенесення з фазовим переходом, який показав, що при дослідженні процес тепломасоперенесення у теплопроводах попередньо поділяють на два - теплоперенесення і масоперенесення, що не зовсім коректно, з наступним розв’язанням рівнянь, які описують ці роз’єднані процеси, на комп’ютері.

У результаті огляду виявлено, що зв’язаний опис процесів тепломасоперенесення з урахуванням фазових переходів практично не використовується, а зв’язок методів і засобів вимірів з математичними моделями не вивчається. Також установлено, що відсутнє механізм реалізації дискретних чисельних методів, у яких геометрія меж визначається як деякий узагальнений багаточлен із простору функцій, який замкнено відносно операції побудови еквідистанти. Останнє має особливе значення при ідентифікації тепломасоперенесення в об’єктах машинобуду-вання, тому що багато деталей машин мають еквідистантні поверхні до поверхонь руху інструмента. Крім того, відсутність методів вимірів функцій утруднює оцінку одержуваних наближених аналітичних розв’язків і стохастичних похибок вимірювань.

В наслідок були сформульовані цілі та задачі дослідження та накреслені шляхи їх практичної реалізації.

Розділ 2 присвячено загальним питанням комп’ютерного моделювання процесів тепломасоперенесення з урахуванням особливостей, які накладає на процес моделювання комп’ютер.

На основі розгляду динамічних систем із зосередженими і розподіленими параметрами показано, що динамічні системи можуть використовуватись, як математичний апарат комп’ютерної ідентифікації процесів тепломасоперенесення. Доказано критерій спостереженність по входу та установлено дуальність понять спостереженності по входу та керованості по виходу

Досліджено особливості комп’ютерної арифметики і показано, що вона являє собою арифметику на множині скінченно-розрядних чисел, які мають кусково-рівномірний розподіл з логарифмічно розподіленим кроком. Зроблено висновок про те, що скінченна розрядність комп’ютерних чисел для дотримання законів асоціативності та комутативності при виконанні адитивної операції (додавання - віднімання) потребує особливої побудови обчислювальних схем, яка міститься в аналізу розрядності чисел, що додаються.

Знайдено зв’язок між точністю застосованих вимірювальних засобів та порядком диференціальних рівнянь математичних моделей.

Досліджено взаємозв’язок постановки задачі, алгоритму рішення и самого рішення, що дозволило з’ясувати відмінність між математичними та інженерними рішеннями и сформулювати вимоги до інженерних рішень.

Розділ 3 присвячено побудові фізичної та математичної моделей тепломасоперенесення в теплопроводах з капілярним насосом у рамках феноменологічних уявлень.

В основу створення різних конструкцій теплопроводів з капілярними насосами (теплові труби, контурні теплові труби і т.п. ) покладено особливості теплоперенесення в пористих середовищах (капілярний тиск, фазовий перехід). Установлено, що теплопроводах з капілярним насосом істотну роль відіграє фазовий перехід. Однак фізичні уявлення про механізм кипіння і конденсації суперечать єдиному математичному описові цих процесів. Більше того, фазовий перехід у багатьох існуючих теплоносіїв належить до фазового переходу першого роду, що не дозволяє одержати однозначну відповідність між кількістю тепла, температурою і концентрацією пари без аналізу передісторії процесу.

При виборі фізичної моделі тепломасоперенесення в пористих середовищах зроблено такі припущення:

а) передача тепла здійснюється:

- від джерела тепла в капілярно-пористе тіло – кондукцією;

- від капілярно-пористого тіла до конденсатора – конвекцією;

- від конденсатора до капілярно-пористого тіла – конвекцією;

- від капілярно-пористого тіла до рідкого теплоносія – кондукцією, конвек-цією і випромінюванням;

б) теплота фазового переходу пропорційна зміні концентрації фаз;

в) конденсатор має нескінченну теплову потужність, тобто в ньому миттєво здійснюється зворотний фазовий перехід (газ – рідина) для будь-якої маси теплоносія;

г) трубопроводи припускаються адіабатично теплоізольованими;

д) перенесення маси в поровому просторі капілярно-пористого тіла здійснюється фільтрацією і підпорядковується закону Дарсі;

е) двофазний теплоносій нерозривний (постійно займає весь поровий простір);

ж) перенесення маси по трубопроводах підпорядковується закону Кармана – Козені, оскільки в трубопроводах зберігається сталий градієнт тиску;

з)масоперенесення у теплопроводі відбувається під дією капілярних сил.

Останнє припущення зроблене нами через недостатність вивченості процесу конденсації, особливо в умовах невагомості. Відсутність достовірної фізичної моделі процесу конденсації в умовах невагомості не дозволяє записати в загальному вигляді диференціальне рівняння конденсації рідини по всьому простору конденсатора.

З метою вивчення впливу властивостей матеріалів та теплоносія на рушійний тиск капіляру розглянуто перенесення рідини одиничним капіляром від холодильника до нагрівача через умовний переріз радіусом r0, схема якого представлена на рис. 1.

Рис. 1. Схема перенесення теплоносія одиничним капіляром

В цьому випадку перепади тисків Дpнб Дpбх і загальний рушійний тиск системи Дpнбх . Отримано вираз для рухомого тиску транспортної системи з одиничними капілярами, виготовленими з матеріалів, що мають різні сили поверхневого натягу:

,

де r – радіус, ? – поверхневий натяг, н – нагрівач; б – бак; х – холодильник.

Таким чином, рушійний тиск транспортної системи з одиничними капілярами має вигляд

.

У разі застосування одного матеріалу для холодильника та нагрівача ?н ух у

,

і оскільки rн  то ?pнбх  ж використати для різних частин системи матеріали з різними властивостями (для нагрівача – матеріал, що змочується теплоносієм, ?н , а для холодильника – що не змочується, ?х ), то ситуація зміниться. У цьому випадку рушійний тиск системи матиме такий вигляд:

.

Виконаний аналіз показує, що виходячи з фізичних міркувань для холодильника і нагрівача необхідно застосовувати матеріали з різною змочуваністю, що повинно підвищити рухомий тиск капілярно-пористої транспортної системи. Однак відсутність експериментальних даних щодо конденсації та кипіння в невагомості не дозволяє обґрунтувати даний результат у числах.

На основі дослідження фазових переходів першого роду показано, що при фазових переходах першого роду перетин функції концентрації фази має вигляд одиничної функції Хевісайда (рис. 2, 3).

Введено поняття стану умовного фазового переходу (кипіння). Якщо відстань r між станом речовини на діаграмі (p, T) и кривій фазової рівноваги менше ?, то будемо говорити, що речовина знаходиться у стані умовного кипіння. Область стану умовного кипіння збігається з ?-околом кривої фазової рівноваги діаграми (p, T), у якій відбувається зміна концентрації фаз речовини.

Введення стану умовного кипіння встановлює між концентрацією фази та станом речовини взаємно однозначну відповідність, яка відсутня при фазовому переході першого роду (див. рис. 2, 3).

Рис. 2. Функція ? концентрації пари на діаграмі (p, T) | Рис. 3. Перетин функції
концентрації ?

Введено поняття стану умовного фазового переходу (кипіння). Якщо відстань r між точкою яка характеризує стан речовини на діаграмі (p, T) та кривої фазової рівноваги менше за е, то будемо казати, що речовина находиться в стану умовного кипіння. Область стану умовного кипіння співпадає з е-околом кривої фазової рівноваги діаграми (p, T), в якій відбувається зміна концентрації фаз речовини.

Введення стану умовного кипіння дозволяє запобігти розриву в зміні концентрації при фазовому переході першого роду (див. рис. 2, 3). Математична модель умовного кипіння з одного боку дозволяє спростити алгоритми комп’ютерного моделювання процесів тепломасоперенесення з фазовим переходом, а з другого – перекручує фізику цих процесів. Однак введене припущення не впливає на інтегральну характеристику – величину енергії необхідної для зміни агрегатного стану речовини (рідина – пара)

Наведено моделі різних виглядів S-подібних функцій концентрації:

1. Функція концентрації у вигляді алгебраїчного сплайна (рис. 5) подібна попередній і являє собою алгебраїчний сплайн третього порядку:

Рис. 5. Функція концентрації ?
у вигляді алгебраїчного сплайну

Невідомі коефіцієнти кубічних поліномів алгебраїчного сплайна a1, a2, b1, b2, c1, c2, d1, d2 знайдемо з умов зшивання, які забезпечують належність функції ? класу C(2):
(-) ; '(-) ; ?(_) ; () ; '() ; ?() ; (0) /2. Зробивши нескладні перетворювання, маємо

і, остаточно,

2. Функцію концентрації у вигляді ламаної подано на рис. 5. У явному вигляді ця функція може бути записана як

Рис. 5. Функція концентрації ?
у вигляді ламаної

Простота обчислення концентрації за цим зображенням очевидна. Особливо зручній цей вигляд для застосування його в алгоритмах комп’ютерного моделювання.

Така залежність концентрації пари в точці, яка характеризує стан речовини в області умовного фазового переходу, від відстані до кривої фазової рівноваги еквівалентна припущенню про прямо пропорційну залежність концентрації від цієї відстані.

Слід зауважити, що введення S-подібної функції концентрації дозволяє перейти від задачі з розривними функціями до задачі з неперервними функціями, що підвищує обчислювальну сталість алгоритму розв’язання. Якщо досить мале порівняно з точністю моделювання, то очевидно, що така заміна не спричинить серйозних порушень в картині тепломасообміну за межами трубки наближення. Фактично заміна фазового переходу першого роду умовним означає, що фазовий перехід відбувається в інтервалі (Tк – , Tк ), а не при фіксованій температурі кипіння Tк., де , на основі експертних оцінок, вибираємо рівним точності вимірювань7

Відстань між точками поточного стану теплоносія (p, T) і точкою, найближчою до кривої фазової рівноваги (pк,Tк) (рис. 6), визначимо таким чином:

Рис. 6. Функція відстані r(p, T)

де sign () знак, який визначається за станом речовини: мінус (–) рідкий стан; плюс (+) паровий стан.

Координати точки, найближчої до кривої фазової рівноваги, знаходимо як координати точки перетину перпендикуляра, опущеного з точки поточного стану на хорду між точками перетину координатних прямих, які проходять через точку поточного стану, з кривою фазової рівноваги.

Тоді координати найближчої точки до кривої фазової рівноваги визначаться так:

Координати точки, найближчої до кривої фазової рівноваги, можна уточнити шляхом ітерації, прийнявши отриману точку (pк, Tк), найближчу до фазової рівноваги, за точку поточного стану та обчисливши нову точку, найближчу до фазової рівноваги, і так доти, доки не будуть задоволені деякі вимоги точності: наприклад, довжина хорди має бути меншою за деяку додатну наперед задану величину . Переводячи стан теплоносія із точки (p, T) в точку (pк, Tк) і продовжуючи ітерації, приходимо як завгодно близько до точки на кривій фазової рівноваги.

Таким чином, вибрані допущення та припущення визначають фізичний базис математичних моделей и відбивають досліджувані процеси з прийнятою точністю.

Побудовано фізичні моделі теплофізичних процесів тепломасоперенесення с фазовим переходом для контурних теплових труб. На відміну від існуючих ці моделі відтворюють тепломасоперенесення як єдиний процес, без поділу його на теплоперенесення та масоперенесення, і використовують припущення про заміну фазового переходу першого роду умовним фазовим переходом с S-подібною залежністю ? f (r).

Математична модель тепломасоперенесення в теплопроводах з капілярними вставками побудована в відповідності з вибраною фізичною моделлю. У цих моделях використовуються ефективні коефіцієнти теплопровідності та дифузії, а також феноменологічні уявлення про фазовий перехід при кипінні та конденсації теплоносія.

Балансове рівняння теплоперенесення для елемента гомогенного капілярно-пористого тіла за час :

Q1 = Q2 + Q3 + Q4,

де Q1 – кількість теплоти, що викликає зміну температури елемента капілярно-пористого тіла на ?T градусів; Q2 – кількість теплоти, що надійшла в елемент капілярно-пористого тіла від елементів, які з ним контактують (різні механізми передачі теплоти враховуються ефективною теплопровідністю э); Q3  – кількість теплоти, що надійшла в елемент від теплоносія, що проходить по капілярних порах; Q4 – кількість теплоти, що надійшла в елемент від фазових перетворень у теплоносії, що проходить по капілярних порах.

Математична модель тепломасоперенесення охоплює:–

диференціальне рівняння теплоперенесення

з крайовими умовами, що включають:

початкові умови

і граничні умови

,

у яких вираз характеризує теплоту, що виносить (x ) і приносить (x) в капілярно-пористе тіло теплоносій при його русі по контурній тепловій трубі;–

диференціальне рівняння масоперенесення

з крайовими умовами, що включають:

початкові умови

і граничні умови

– вирази для визначення параметрів фазового переходу

У випадку фазового переходу першого роду концентрація пари набуває двох значень (0; 1) і в нормальному перерізі до кривої фазової рівноваги в просторі (p, T) являє собою одиничну функцію.

Відмінною особливістю пропонованої моделі є заміна фазового переходу першого роду близьким йому (у теплофізичному змісті) умовним фазовим переходом, тобто на інтервалі (е, е) вказана одинична функція наближується ламаною. Із наведених міркувань випливає, що така заміна одиничної функції, що описує фазовий перехід першого роду, на S-подібну функцію, що описує умовний фазовий перехід, коректна, за винятком е-околу кривої фазового переходу. Вибираючи мале з точки зору розв’язуваної задачі е, одержуємо малий вплив вигляду кривої фазового переходу на точність розв’язання задачі.

Таким чином, отримано математичну модель тепломасоперенесення в капілярному насосі контурної теплової труби, яка складається з двох рівнянь у частинних похідних другого порядку параболічного типу, крайових умов і виразів для розрахунку параметрів фазового переходу.

Розділ 4 присвячено побудові модифікації проекційно-сіткового методу для рішення рівнянь тепломасоперенесення.

Спочатку будується комп’ютерна сплайнова планіметрія, за допомогою якої можна в єдиному параметричному уявлені задавати дуги, за допомогою яких будуються перерізи об’єктів машинобудування при проведенні розрахунків параметрів тепломасоперенесення в двовимірних випадках. Для цього побудовано клас трансцендентних функцій, що має властивість замкнутості відносно операції побудови еквідистант. Приклад евольвентної дуги наведено на ріс. 7. Такі поняття планіметрії, як орієнтований контур, фігура, обмежена контуром, і булеві операції над контурами, поширюються на зазначений клас трансцендентних функцій.

Показано, що поліноміальна сплайнова геометрія не дозволяє використовувати як параметр довжину дуги, тому що клас сплайн-функцій, параметрично заданих алгебраїчними поліномами, не містить в собі натурального зображення, і доведено, що параметрично задані поліноміальні криві не параметризуються довжиною дуги. Крім того, еквідистанта до поліноміального сплайна (за винятком сплайнів першого порядку) не є поліноміальним сплайном. Ця обставина не дозволяє розглядати траєкторії формотвірних рухів, наприклад, верстатів із ЧПК, за допомогою яких виготовляються деталі багатьох об’єктів машинобудування, безпосередньо в поліноміальних сплайнових геометріях.

За законом зміни радіуса кривизни кривої від кута дотичного вектора R(), можна обчислити радіус кривизни еквідистантної кривої R() R() h, де h – відстань по нормалі між кривою і її еквідистантою. Таким чином, ці криві утворюють сім’ю кривих, породжених законом R().

Множина евольвент до кіл різних радіусів породжує множину кривих з лінійною залежністю радіуса кривизни від кута дотичної. Само коло у цьому випадку називається еволютою. Отже, будь-яка базова функція комп’ютерної планіметрії, що задовольняє вимоги, сформульовані вище, має бути породжена разом з її еквідистантами однією і тією ж еволютою, тобто бути її евольвентою.

Рівняння евольвенти в параметричному вигляді (s - довжина дуги еволюти):

.

Зазначимо, що якщо l – довжина дуги, ?1 = ш ш0, , s Rk - Rn, то рівняння дуги евольвенти набуває вигляду

.

Отже, рівняння дуги кола –

і рівняння відрізка прямої –

Евольвентні дуги – відрізок прямої, дуга кола, дуга з лінійною зміною радіуса кривизни – мають зображення у вигляді єдиної шестипараметричної сім’ї:

Довжина дуги | Початкові точка і кут | Радіуси кривизни дуги

початкукінця

1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6

L | x0 | y0 | ц0 | R0 | R1

Зшивання дуг цієї сім’ї відбувається по початкових точці (x0, y0), куту дотичної ?0 і радіусу кривизни Rn. Отже, завдання сплайнової кривої, що складається з n дуг, може бути здійснено 6n параметрами.

На базі викладеного підходу побудовано один із варіантів проекційно-сіткового метода розв’язання диференціального рівняння теплопровідності в одно-, дво-, і тривимірному випадках за допомогою сплайн-апроксимації. Запропонований метод дозволяє отримати приблизне рішення крайової задачі у аналітичному вигляді, який різко підвищує ефективність використання алгоритмів ідентифікації, що показано на прикладі розв’язання рівняння теплопровідності.

Система лінійних рівнянь для коефіцієнтів сплайнів у випадку одновимірного рівняння теплопровідності, розв’язок якого відшукується у вигляді узагальненого сплайнового полінома має вигляд

.

У цьому випадку задача визначення температурного поля зводиться до визначення коефіцієнтів полінома з такої системи рівнянь:

рівняння об’єкта:

;

початкова умова:

ф , ;

граничні умови:

x , ;

x l, .

Ця система зводиться до такої алгебраїчної системи рівнянь, де ? ,00001875, б1= _,99998125, в ,499990625, в1 ,500009375:

i | k | Рівняння об’єкта в просторі коефіцієнтів

0 | 0 | в ?0 –1 | + | б ?0 0 | + | в ?0 1 | + | в1 С-1-1 | + | б1 С-1 0 | + | в1 С-1 1 | = | 0

0 | 1 | в ?0 0 | + | б ?0 1 | + | в ?0 1 | + | в1 С-1 0 | + | б1 С-1 1 | + | в1 С-1 2 | = | 0

0 | 2 | в ?0 1 | + | б ?0 2 | + | в ?0 1 | + | в1 С-1 1 | + | б1 С-1 2 | + | в1 С-1 3 | = | 0

1 | 0 | в ?1 -1 | + | б ?1 0 | + | в ?1 1 | + | в1 С0 -1 | + | б1 С0 0 | + | в1 С0 1 | = | 0

1 | 1 | в ?1 0 | + | б ?1 1 | + | в ?1 1 | + | в1 С0 0 | + | б1 С0 1 | + | в1 С0 2 | = | 0

1 | 2 | в ?1 1 | + | б ?1 2 | + | в ?1 1 | + | в1 С0 1 | + | б1 С0 2 | + | в1 С0 3 | = | 0

2 | 0 | в ?2 1 | + | б ?2 0 | + | в ?2 1 | + | в1 С1-1 | + | б1 С1 0 | + | в1 С1 1 | = | 0

2 | 1 | в ?2 0 | + | б ?2 1 | + | в ?2 2 | + | в1 С1-1 | + | б1 С1 0 | + | в1 С1 2 | = | 0

2 | 2 | в ?2 1 | + | б ?2 2 | + | в ?2 3 | + | в1 С1-1 | + | б1 С1 0 | + | в1 С1 3 | = | 0

k | Рівняння початкових умов

0 | 0.25·(C-1 -1 + C0 -1) | + | (C-1 0 + C0 0) | + | 0.25·(C-1 1 + C0 1) | = | T0(0)

1 | 0.25·(C-1 0 + C0 0) | + | (C-1 1 + C0 1) | + | 0.25·(C-1 2 + C0 2) | = | T0(дx)

2 | 0.25·(C-1 1 + C0 1) | + | (C-1 2 + C0 2) | + | 0.25·(C-1 3 + C0 3) | = | T0(2дx)

1/2 | 0.03125·(C-1-1+C0-1+C-1 2+C0 2) | + | 0.71875·(C-1 0+C0 0+C-1 1+C0 1) | = | T0(.5?дx)

3/2 | 0.03125·(C-1 0+C0 0+C-1 3+C0 3) | + | 0.71875·(C-1 1+C0 1+C-1 2+C0 2) | = | T0(1.5?дx)

i | Рівняння граничної умови (x )

0 | 0.25·C-1-1 + C-10 + 0.25·C-1 1 | + | 0.25·C0-1 + C00 + 0.25·C0 1 | = | T0(0)

1 | 0.25·C0-1 + C00 + 0.25·C0 1 | + | 0.25·C1-1 + C10 + 0.25·C1 1 | = | T0(дф)

2 | 0.25·C1-1 + C10 + 0.25·C1 1 | + | 0.25·C2-1 + C20 + 0.25·C2 1 | = | T0(2дф)

i | Рівняння граничної умови (x)

0 | 0.25·C-1 1 + C-1 2 + 0.25·C-1 3 | + | 0.25·C0 1 + C0 2 + 0.25·C0 3 | = | Tl (0)

1 | 0.25·C0 1 + C0 2 + 0.25·C0 3 | + | 0.25·C1 1 + C1 2 + 0.25·C1 3 | = | Tl (дф)

2 | 0.25·C1 1 + C1 2 + 0.25·C1 3 | + | 0.25·C2 1 + C2 2 + 0.25·C2 3 | = | Tl (2дф)

Розв’язавши одержану систему алгебраїчних рівнянь, маємо коефіцієнти сплайнового зображення температурного поля. Отже, це чисельно-аналітичний розв’язок рівняння теплопровідності в одновимірному випадку.

Аналогічні рівняння й алгоритми отримано для рівнянь об’єкта, початкових і граничних умов у термінах коефіцієнтів сплайн-апроксимації температурного поля і базисних сплайнів у дво- і тривимірному випадках.

Ці рівняння відносно невідомих коефіцієнтів Сikpq являють собою систему лінійних алгебраїчних рівнянь, яка у загальному випадку має такий вигляд:

AC = B,

де С = [CM] = [C-1 -1 C-1 0 … CI K CI K+1]Т – вектор-стовпець невідомих коефіцієнтів розміром m; M (ikpq) – мультиіндекс; А – матриця лівої частини рівняння розміром [m  m]; B – вектор-стовпець правої частини рівняння розміром m; mI+2) K+3) ) ).

Знаходження елементів матриць А і В не становить великих труднощів, тому що всі необхідні значення В-сплайнів та їхніх похідних можуть бути отримані відповідно до вищенаведених виразів. При виборі чисельного методу розв’язання систем лінійних рівнянь треба враховувати їхню погану визначеність (внаслідок параболічності вихідного рівняння теплопровідності одне з власних чисел системи завжди дорівнює нулю). Оскільки в кожному рядку рівняння при використанні поліноміальних В-сплайнів третього порядку присутні тільки чотири коефіцієнти, то як чисельний метод можна рекомендувати метод типу "прогонка", що дозволяє значно прискорити процес одержання розв’язку.

Таким чином, отримано рівняння для визначення невідомих коефіцієнтів сплайн-апроксимації температурного поля. Ці коефіцієнти визначають сплайн-функцію, що задовольняє у вузлах апроксимації рівнянню теплопровідності, початковим і граничним умовам і є наближеним чисельно-аналітичним розв’язком поставленої задачі. Відмітною особливістю запропонованого підходу є те, що значення коефіцієнтів сплайнового наближення теплофізичних величин має з ними один і той же порядок, що дозволяє зменшити негативний вплив комп’ютерної арифметики на точність отриманих рішень.

Розділ 5 присвячено побудові методів і заходів визначення достовірності і точності результатів комп’ютерних моделювання та ідентифікації. Так як методи рішення обернених задач теплопровідності засновано на отриманні оптимальних оцінок коефіцієнтів, то логічним завершенням алгоритмів їх рішення служить оцінка достовірності і точності сплайн-ідентифікації тепломасоперенесення. Одним із виглядів такої оцінки є введений автором показник некоректності отриманих результатів дослідження. Зокрема, при апроксимації теплового потоку сплайнами нульового порядку вирази для функції якості та показника некоректності першого коефіцієнта мають такий вигляд:

; .

З аналізу показників некоректності сплайнів нульового, першого і другого порядків випливає, що зі збільшенням порядку сплайна відбувається зменшення точності визначення коефіцієнтів сплайн-апроксимації порівняно з в 1,6 и 2,7 раза відповідно.

Встановлено, що більшість теплофізичних вимірів представляють собою вимір залежностей, у той час коли теорія вимірів і метрологія займаються тільки виміром величин. Теорія динамічних вимірів, у якій вперше були порушені питання виміру функцій від часу, тобто функцій однієї змінної, не дає відповідей на питання виміру нечасових залежностей, які часто є функціями багатьох змінних. Проблема виміру ухилення двох функцій є дуже складною, що зумовлено відсутністю виразних умов і критеріїв порівняння.

З точки зору функціональних просторів для виміру залежностей у метрології використовують простір С(0). У якомусь розумінні метрика цього простору є метрикою найбільших відхилень значень функції. Використання інших просторів, наприклад Rn, не набуло великого поширення, що пов’язано з неврахуванням великих одиничних відхилень (відстань у цьому просторі має той же вигляд, що і квадратична похибка, і легко зводиться до середньоквадратичної похибки). Справді, впорядкування похибок між функціями x, y, z (рис. 8) в просторі С(0) більше відповідає нашим уявленням про величину похибки, ніж в Rn:

С(0) : с (x, y)с (x, z);
Rn : с (x, z)с (x, y).

Застосування для визначення ухилення функцій метрики C(n) пов’язано з великими труднощами. Навіть у досить гладких функцій похідна може перетворюватися в нескінченність (вертикальна дотична), і, отже, величина ухилення в цьому випадку втрачає сенс. Необхідне використання іншого виду метрики, у якій застосуємо деяку функцію від похідної, наприклад , що дозволить уникнути труднощів оцінки ухилення у випадку вертикальної дотичної.

Вимір залежності однієї величини від іншої передбачає існування узгоджених вимірювальних шкал, у яких виражаються кількісні значення зв’язаних шуканою залежністю величин. Справді, якщо вимірювана функція y(x) неперервна, то  е   д : | x – x0 д  y(x) – y(x0) е ? величини , здійснюють деяке узгодження величин x і y.

Розглянуто різні типи для континуальної вимірювальної шкали, що зв’язують точність засобів вимірів і квантування в просторі вимірюваних величин фізичного явища. Отримано такі твердження відносно типу шкали і максимального порядку диференціального рівняння в математичних моделях:

1. Математична модель об’єкта в континуальних шкалах для X і Y типу 0 ( ,  ) матиме вигляд диференціального рівняння нульового порядку, тобто буде фактично виражатися алгебраїчним або трансцендентним рівнянням процесу. Такі рівняння іноді називають рівняннями регресії:

y = f (x).

2. Математична модель об’єкта в континуальних шкалах для X і Y типу 1 (2  , 2  ) матиме вигляд диференціального рівняння першого порядку:

.

3. Математична модель об’єкта в континуальних шкалах для X і Y типу n ((n+1)   , (n+1)   ) матиме вигляд диференціального рівняння n-го порядку:

.

Таким чином, викладено новий підхід до постановки задачі вимірів залежностей, який дозволяє при використанні континуальних шкал при відомій структурі об’єкта (явища, процесу) провести параметричну ідентифікацію коефіцієнтів цієї структури і, як висновок, виміряти залежність між змінними. Основна відмінність пропонованої постановки задачі виміру залежностей полягає у використанні метрики не простору C0, як це має місце при вимірі величин, а метрики простору C(n) (або її аналогів), що дозволяє оцінити не тільки похибку виміру самої величини, але й похибку її похідної.

Для потреб комп’ютерного моделювання випадкових процесів побудовано генератор псевдовипадкових чисел, який щонайкраще забезпечує заданий розподіл випадковості на вибірці заданої довжини. Наведено приклади псевдовипадкових вибірок для розподілів: рівномірного, нормального, експоненціального, Лапласа, Максвелла, Релея, Вейбула - Гнеденко. Вибірки таких псевдовипадкових чисел вельми необхідні для рівнянь вимірів об’єктів.

Одним з найважливіших властивостей комп’ютерного моделювання стохастичних процесів є відтворюваність результатів. Уведено клас квазівідтворюваних випадкових процесів, для яких вибірка {i} довжиною L є квазівідтворюваною, або відтворюваною за середнім значенням з точністю за N значень, якщо

, де .

Ця властивість квазівідтворюваних процесів дозволяє поширювати оцінки характеристик і властивостей, отримані на будь-якій підпослідовності з N вимірів, на всю вибірку. Для квазівідтворюваних процесів одержано S-критерій (|[S]| ??Н), ?кий залежить від числа відтворюваності та не залежить від довжини вибірки. На множині квазівідтворюваних процесів за допомогою S-критерію розв’язано відому задачу про "розладнання" (визначення початку зміни властивостей стохастичного процесу).

Таким чином, у розділі викладено новий підхід до постановки задачі вимірів залежностей. Основна відмінність пропонованої постановки задачі вимірювання функцій складається у використанні аналогів метрики простору C(n), що дозволяє оцінити