Національна академія наук України

Інститут гідромеханіки

БАРАННИК Євген Олександрович

УДК 534.29; 534.6.

ЛОКАЛЬНІ ЕФЕКТИ ВЗАЄМОДІЇ УЛЬТРАЗВУКОВИХ ХВИЛЬ З БІОЛОГІЧНИМИ ОБ’ЄКТАМИ

01.04.06 - акустика

Автореферат

дисертації на здобуття наукового ступеня

доктора фізико-математичних наук

Київ - 2004

Дисертація є рукопис

Робота виконана у Харківському національному університеті ім В.Н.Каразіна МОН України

Науковий консультант: доктор фізико-математичних наук, професор

Товстяк Володимир Васильович,

Харківський національний університет,

завідувач кафедри біологічної і медичної фізики

Офіційні опоненти: доктор фізико-математичних наук, професор

Селезов Ігор Тимофійович,

Інститут гідромеханіки НАН України, завідувач

відділу гідродинаміки хвильових процесів

доктор фізико-математичних наук

Калюжний Олександр Якович,

Державне науково-дослідне підприємство

“Дельта” МПП України,

заступник директора по науковій роботі

доктор фізико-математичних наук, професор

Харкянен Валерій Миколайович,

Інститут фізики НАН України, завідувач

відділу біологічних систем

Провідна установа: Київський національний університет

імені Тараса Шевченка

Захист відбудеться 24.03.2005 р. о 14 годині на засіданні спеці-алізованої вченої ради Д26.196.01 в Інституті гідромеханіки НАН України

за адресою : 03680, м. Київ, вул. Желябова, 8/4.

З дисертацією можна ознайомитись в бібліотеці Інституту гідромеханіки НАН України за адресою: 03680, м. Київ, вул. Желябова, 8/4.

Автореферат розіслано 18.02.2005 р.

Вчений секретар

Спеціалізованої ради Д26.196.01

доктор технічних наук, професор С.І.Криль

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальність теми. Фізика взаємодії ультразвуку з біологічними об’єктами є розгалуженою областю акустичних і біофізичних досліджень, що має важливе наукове і практичне значення. Вивчені за останній час фізичні механізми взаємодії ультразвуку стали основою великої кількості медичних діагностичних методів. Зокрема, ряд таких методів заснований на нелінійних ефектах взаємодії. Встановлений, наприклад, великий внесок нелінійних ме-ханізмів у поглинання ультразвукових хвиль біологічними середовищами і появу сили радіаційного тиску. На цій основі інтенсивно розвивається новий діагностичний метод локальної “акустичної пальпації” м’яких тканин за до-помогою сили радіаційного тиску сфокусованого пучка. Для його реалізації необхідне вивченння властивостей самої нелінійної взаємодії, результату дії радіаційних сил у в’язко-пружних середовищах і теоретичне дослідження характеристик локально збурюваних деформацій, що є необхідною умовою для експериментального дослідження діагностичних можливостей методу.

Інше використання ефектів нелінійної взаємодії, що має широке практич-не застосування, пов'язане з ультразвуковою інтроскопією біологічних об’єк-тів за допомогою гармонік випромінювання. Виявлено потенційно високу діагностичну ефективність параметра нелінійності м’яких тканин, однак найбільш перспективні для діагностики методи дифракційної томографії на сьогоднішній день не знайшли практичного застосування. Це пов’язано, зокрема, зі слабкою вивченістю ефектів локальної взаємодії ультразвукових хвиль, які можуть призводити, наприклад, до ширококутового дифракційного розсіювання хвиль різницевої частоти. Останнє не дозволяє однозначно інтерпретувати томографічний експеримент і створювати нові методи діаг-ностики, що використовують переваги високої контрастності параметра . З погляду теорії цей факт обумовлений тим, що основна увага приділялася дослідженню кумулятивної взаємодії плоских хвиль, у той час як локальні ефекти для плоских і сфокусованих хвиль вивчені менше.

Аналогічна проблема опису особливостей локального формування уль-тразвукового допплерівського відгуку біологічних середовищ лежить в осно-ві підвищення якості допплерівських методів, що застосовуються у медичній діагностиці. Розвиток адекватної фізичної моделі локального допплерівсько-го відгуку і коректний опис його спектральних властивостей є вирішальним для підвищення ефективності спектрально-допплерівських та інших кількіс-них методів. До них відносяться, зокрема, допплерівська діагностика на гар-моніках випромінювання та імпульсно-допплерівська реєстрація деформацій при акустичній пальпації. Для підвищення точності локальних допплерівсь-ких вимірювань важливе значення має вивчення обмежень, що накладаються принципом додатковості, справедливим для всіх хвильових процесів. Необхі-дний детальний опис фізичних наслідків невизначеності хвильових векторів реальних ультразвукових полів. Коректна кількісна оцінка в усьому діапазоні глибин зондування внеску різних фізичних факторів у допплерівські спектри дозволяє оптимізувати параметри зондувальних полів, режимів фокусування і т.д.. У більш широкому плані із цим пов’язана проблема оптимізаціі обробки сигналів ультразвукового відгуку з урахуванням спекл-шумів. Тут для досяг-нення результату необхідна теорія, що спирається на випадковий характер відгуку в біологічних об’єктах і дозволяє врахувати його особливості в рамках загального статистичного методу оптимального синтезу сигналів.

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами.

Дослідження, результати яких викладено в дисертації, відповідають задачам програми пріоритетного напрямку розвитку науки і техніки та комплексної програми розвитку медичної промисловості на 1997-2003р. Робота виконана у рамках тем Харківського національного університету: “Розробка і створен-ня експериментального зразка імпульсно-допплерівського спектрального ультразвукового приладу діагностики серцево-судинної системи” (№ ДР 0194U018973); “Розробка фізико-хімічних методів екологічного контролю, радіаційного захисту і медичної діагностики дії іонізуючих випромінювань малої інтенсивності” (№ ДР 0197U016499); “Розробка нових фізичних мето-дів медичної діагностики і радіопротекторних засобів впливу радіації” (№ ДР 0100U003302); “Розробка нових фізичних методів ультразвукової візуалізації і медичної діагностики” (проекти УНТЦ №№ 865, 865(с)); “Прилад для ультразвукового допплерівського зондування” (проект УНТЦ № Р-150).

Мета і задачі дослідження.

Метою роботи є дослідження локальних ефектів взаємодії ультразвукових полів з біологічними об’єктами та аналіз фізичних особливостей, що випли-вають із них стосовно ультразвукового і допплерівського відгуку біологічних об'єктів. Для досягнення мети вирішувалися наступні задачі:

1.

2.

3.

4.

5.

6.

Об’єктом дослідження є процеси локального формування ультразвукового і допплерівського відгуку випадково-неоднорідними біологічними об’єктами при взаємодії з ультразвуковими пучками хвиль різної конфігурації.

Предметом дослідження є фізичні особливості методів ультразвукової ін-троскопії біологічних об’єктів, обумовлені локальними ефектами форму-вання ультразвукового і допплерівського відгуку при взаємодії хвиль з біологічними об’єктами і середовищами.

Методи досліджень включають теоретичні методи розв’язку лінійних і нелі-нійних хвильових рівнянь у різних наближеннях, методи розв’язку зворотної задачі розсіяння (ЗЗР), методи асимптотичної оцінки інтегралів і спектраль-ного оцінювання, методи розв’язку динамічних рівнянь теорії пружності і статистичні методи оптимального синтезу сигналів. Експериментальні робо-ти виконувались методами ехоскопії на дослідному ультразвуковому доппле-рівському устаткуванні і медичних сканерах з використанням акустичних фантомів м’яких тканин, а також тканин in vitro і біологічних об’єктів.

Наукова новизна отриманих результатів.

1.

2.

3.

4.

5.

Практичне значення одержаних результатів.

Виявлені локальні ефекти нелінійної взаємодії двохчастотного сфокусова-ного ультразвукового випромінювання з біологічними об'єктами відкриває можливості для створення нового ультразвукового діагностичного методу локального дослідження акустичної нелінійності середовищ і вдосконалення методів акустичної дифракційної томографії параметра нелінійності.

Встановлені закономірності формування допплерівського відгуку біоло-гічних об’єктів при безперервному та імпульсно-модульованому випроміню-ванні ультразвуку дозволяють підвищити точність локальних допплерівських вимірювань і оптимізувати ультразвукові допплерівські методи і системи ме-дичної діагностики. Запропоновані методи обробки сигналів ультразвукового і допплерівського відгуку біологічних об’єктів дозволяють підвищити якість і інформативність ультразвукової діагностики і медичних зображень.

Теоретичні і експериментальні результати дослідження характеристик зсувних деформацій у м’яких тканинах, індукованих радіаційною силою ім-пульсного сфокусованого пучка, є основою для створення нового кількісного ультразвукового методу дослідження в’язко-пружних властивостей тканин.

Особистий внесок здобувача. Фізична постановка задач дослідження, роз-робка теоретичних моделей, виконання розрахунків і аналіз отриманих резу-льтатів належать здобувачу особисто, що відображено в 15 самостійних нау-кових працях [-,,,,,,,,,]. У працях, опублікованих разом з науковим консультантом д.ф.-м.н. В.В.Товстяком і чл.-кор. РАН А.П.Сар-вазяном, названим дослідникам належить вибір загального напрямку дослід-жень, фізичне обґрунтування використаних експериментальних методів і участь в обговоренні отриманих результатів; у спільних з к.ф.-м.н. С.А.Гірни-ком, к.ф.-м.н. О.Г.Кадниковим, к.б.н. В.І.Древалем, к.ф.-м.н. В.І.Кобізським і к.ф.-м.н. С.Ю.Ємельяновим працях названим дослідникам належить прове-дення експериментальних робіт і участь у інтерпретації їх результатів; у спільних з к.т.н. А.І.Марусенко і к.т.н. М.Г.Стервоєдовим роботах названим дослідникам належить технічне забезпечення проведення експериментів.

Апробація результатів дисертації. Матеріали дисертації доповідались на наукових конгресах, конференціях, симпозіумах, зокрема, на: всесоюзних нарадах “Нові ультразвукові методи й прилади для застосування в біології і медицині” (Москва, 1986,1989); міжнародному симпозіумі “Mechanisms of acoustical bioeffects” (Puschino, 1990); міжнародній конференції “Пьєзотехні-ка-95” (Ростову-на-Дону, 1995); школі-семінарі “Автоматизація фізичних ме-тодів контролю в технічній діагностиці і медицині” (Київ, 1995); міжнарод-ній конференції “Біомедприлад-96” (Москва, 1996); І З’їзді Українського біо-фізичного товариства (Харків, 1998); міжнародному семінарі “Сучасні мето-ди та засоби неруйнівного контролю і технічної діагностики” (Київ, 1999); міжнародній конференції ASA/NOISE-2000 (Newport Beach, USA, 2000); міжнародній конференції “Ultrasonics International 2001” (Delft, Netherlands, 2001); I Євразійському конгресі “Медична фізика” (Москва, 2001); ІІІ З’їзді Українського біофізичного товариства (Львів, 2002); конгресі “5th World Congress on Ultrasonics WCU-2003” (Paris, France, 2003).

У повному обсязі дисертація обговорювалася на семінарах Інституту Гідро-механіки НАН України (2004р.) і семінарі кафедри біологічної і медичної фізики Харківського національного університету ім. В.Н.Каразіна (2004р.).

Публікації. Матеріали дисертації опубліковані в 53 наукових працях. Серед них у фахових виданнях опубліковано 27 робіт. Зокрема:

- 23 статті у фахових журналах України [-, , -];

- 1 стаття в періодичних збірниках наукових праць за фахом [];

- 3 авторські посвідчення СРСР і патенти України [-];

- 2 статті в працях наукових конференцій [,];

- 24 тези конференцій [-].

Структура та обсяг дисертації. Дисертація складається зі списку умовних позначень, вступу, семи розділів, висновків та списку літератури. Повний об’єм дисертації становить 322 стор., 42 малюнки, 9 таблиць та список літературних джерел з 416 найменувань.

ОСНОВНИЙ ЗМІСТ РОБОТИ

У вступі показана актуальність роботи, її зв’язок з науковими програмами, наукова новизна та практичне значення. Сформульовано мету дослідження і основні результати, одержані в дисертації.

Перший розділ присвячений огляду наукової літератури за темою роботи. Проведено аналіз сучасних уявлень про основи ультразвукового досліджен-ня біологічних об’єктів і взаємодію ультразвуку з ними, зокрема, розглянуті відомі моделі кумулятивних і локальних ефектів нелінійної взаємодії. На ос-нові ЗЗР викладені принципи і проблеми акустичної інтроскопії. Дано огляд стану фізичних досліджень, спрямованих на створення акустичних методів діагностики пружних властивостей м’яких тканин. Проведений огляд пока-зує, що недоліки існуючих досліджень за порушеними в дисертації питання-ми пов’язані з неповним урахуванням і слабкою вивченістю локальних ефектів формування ультразвукового відгуку і нелінійної взаємодії хвиль.

Історично розв’язок рівнянь Ейлера для плоскої хвилі з урахуванням нелі-нійності середовища був отриманий Ріманом ще у 1860р. Вагомій внесок у формування сучасних поглядів на фізику нелінійних процесів при поширенні хвиль зробили Р.В.Хохлов, Е.А.Заболоцька, О.В.Руденко, В.П.Кузнєцов, К.А.Наугольних, Л.А.Островський, P.J.Westervelt D.R.Bacon, M.D.Cahill, A.C.Baker, F.A.Duck та ін.. Найбільш результативними тут є підходи, що зас-новані на чисельному розв’язку нелінійного рівняння Хохлова-Заболоцької-Кузнєцова (ХЗК). Проте аналіз досліджень локальних ефектів нелінійної взаємодії неплоских хвиль показує, що вплив більшості з них невизначений.

При дослідженні локальних ефектів і аналізі схем томографії нелінійного параметру більш наочним є рівняння Вестервельта. З нього для двохчастот-ного випромінювання колінеарних плоских пучків випливає умова синхро-нізму, що передбачає розсіяння ХРЧ і ХСЧ тільки вперед. Локалізація у про-сторі області взаємодії призводить до можливості ширококутового дифрак-ційного розсіяння ХРЧ через більшу в цих умовах невизначеність хвильового вектора ХРЧ. Уперше таке розсіяння спостерігалося і теоретично досліджене в працях В.А. Звєрєва та А.І. Калачова. Ширококутовий характер розсіяння, але обумовлений черенковським механізмом, був знайдений в [,] при лока-лізації взаємодії шляхом фокусування хвиль. Пізніше чисельний розв’язок рівняння ХЗК привів (J.Tjotta та ін.) до аналогічних результатів, фізичний зміст яких, однак, не обговорювався. Наведені роботи ініціювали надалі дос-лідження розсіювання ХРЧ і ХСЧ в результаті локальних ефектів взаємодії плоскої хвилі з імпульсом (К.А.Наугольних та ін.), розсіяння у середовищах, що рухаються, з урахуванням черенковського випромінювання і т.д..

Вплив локальності формування допплерівського відгуку на його спектр пов'язаний із невизначеністю хвильового вектора зондувальних ультразвуко-вих полів. На це вперше вказав V.L.Newhouse, який зробив значний внесок у розвиток теоретичних і експериментальних досліджень допплерівських спек-трів поряд з P.J.Fish, W.N.McDicken, J.M.Griffith, P.A.J.Bascom, D.Censor, S.В.Park, D.Cathignol, P.Tortoli та ін.. Традиційно спектральне розширення сигналів відгуку умовно поділяють на часопролітне і геометричне, що є наслідком відомих труднощів опису хвильових полів у широкому діапазоні глибин, який має місце в медичній діагностиці і включає ближню зону випро-мінювання. Тому всі теоретичні результати отримані при введенні спрощува- льних допущень, які обмежують можливості аналізу і фізичну інтерпретацію. Найбільш загальні результати для фокусованих хвиль у традиційному для акустичного потенціалу наближенні отримав V.L.Newhouse, що дозволило сформулювати, зокрема, гіпотезу про інваріантість ширини спектру для лінії току. При цьому залишалися важливі питання про властивості повних спект-рів, відносний внесок різних фізичних факторів, застосовність результатів у ближній зоні, вплив конфігурації зондувальних пучків і т.д.. Тому в роботі за-пропоновано новий підхід, що заснований на точних розв’язках параболічно-го рівняння дифракції для пучків з гауссівським профілем. Це дозволило встановити ряд нових закономірностей для нефокусованих і імпульсних фо-кусованих хвиль, переформулювати і довести теорему інваріантості та опти-мізувати параметри допплерівського зондування шляхом узагальнення теорії на випадок градієнтів швидкості руху.

Аналіз наукової літератури свідчить про важливість задачі придушення спекл-шумів, що виникають при локальному формуванні відгуку на когерент-не випромінювання і є джерелом суттєвого погіршення точності допплерівсь-ких вимірювань та зниження якості ультразвукової візуалізації. Фільтрація спекл-шумов зображень зводиться звичайно до багаторакурсного або багато-частотного сканування, що за фізичним змістом еквівалентно складним при реалізації методам томографії. Застосовується адаптивна фільтрація, при якій сигнал з локальної області згладжується тим сильніше, чим ближче його ста-тистичні властивості до спекл-шуму. Ця процедура об’єктивно підвищує якість зображень, але погіршує роздільну здатність. Тому в роботі запропоно-вано статистично оцінювати корелятивність елементів сигналу, що зумовлена акустичними властивостями локальних структур досліджуваного об’єкту, з подальшим оптимальним синтезом сигналу і фільтрацією спекл-шуму. Підви-щити точність допплерівських вимірювань можна спираючись на кореляцію фази ультразвукових сигналів із прилеглих локальних областей і видалення із сигналу допплерівського відгуку їх спекл-шумової частини, що не корелює.

Традиційна ультразвукова діагностика заснована на дослідженні просто-рового розподілу в біологічних об'єктах неоднорідностей густини і стисли-вості і не може за змістом забезпечити пряме вимірювання діагностично інформативних пружних модулів м'яких тканин. В області розробки методів кількісної оцінки пружних властивостей тканин відзначимо роботи А.П.Сар-вазяна, О.В.Руденко, А.Р.Сковороди, T.A.Krouskop, K.J.Parker, G.A.Trahey, T.Sato , J.F.Greenleaf, W.Walker, M.O'Donnel та ін.. Всі методи застосовують ідею створення в тканині поля пружних деформацій з наступною реконструк-цією просторового розподілу модуля Юнга. Перевагою акустичної пальпації є локалізація поля зсувних деформацій і вимірювань шляхом фокусування ультразвуку. При модуляції пучка хвиль, імпульсній або гармонійній, радіа-ційна сила змушує середовище здійснювати зсувні коливання, що дає прин-ципову можливість дослідження модуля зсувної вя’зкості. Важливі теоретич-ні результати були отримані на основі розв’язків рівняння ХЗК і параболічно-го рівняння, що дозволило знайти силу радіаційного тиску сфокусованого пучка. Подальший розвиток методу залежить від наявності теорії, спромож-ної описувати залежність просторово-часових характеристик поля деформа-цій від в’язкості і пружності тканин і однозначно відтворювати локальні зна-чення пружних і в’язких модулів. Для цього непридатні відомі розв’язки для поля деформацій, що виникає у твердому тілі при статичному локальному навантаженні, програми чисельних розрахунків тривимірного динамічного відгуку твердих тіл (типу LS-DYNA3D, Livermore Tech Corp), які не дозволя-ють урахувати в’язкість, і чисельні розв’язки з урахуванням в’язкості, які не дають потрібних для реконструкції функціональних залежностей. Тому в даній роботі ці залежності для поля зсувних деформацій отримані аналітично для пучків з гауссівським профілем і гауссівською амплітудною модуляцією, що дозволило розділити внесок пружності та в’язкості у відгук.

У другому розділі описані дослідження локальних ефектів нелінійної взає-модії сферично сфокусованих пучків з біологічними середовищами. На відмі-ну від кумулятивного нелінійного самовпливу хвиль, що вже застосовується практично, ці ефекти вивчені недостатньо. Дослідження ґрунтується на роз-в’язку нелінійного хвильового рівняння для збурень густини, яке у першому наближенні є рівнянням Гельмгольца для акустичного потенціалу і описує поширення у півпросторі невзаємодіючих коаксіальних фокусова-них пучків із фокусом , частотами і малими кутами розкриття хвильо-вого фронту (рис.1). Для акустично жорсткого екрану розв’язок рі-вняння Гельмгольца дається інтегральною формулою Релея, що справедлива для джерел на плоскій поверхні випромінювання . Однак для розглянутих довгофокусних випромінювачів інтегрувати можна безпосередньо по ввігнутій випромінюючій поверхні , оскільки виникаючі через це помилки пропорційні величині що є квадратичною за малими , . Для фокальної області з формули Релея випливає формула Дебая, аналіз якої у випадку довгофокусної системи показує, що радіальні складові коливальної швидкості набагато менші за аксіальні і їхнім внеском можна зневажити. При цьому

Рис.1. Конфігурація хвиль

між збуреннями густини і коливальної швидкості виконується співвід-ношення , а між операторами – рівність . В результаті рівняння другого наближення набуває вигляду

, (1)

права частина якого відіграє роль джерела ХРЧ і ХСЧ із густиною .

Для оцінок складові швидкостей були обрані у вигляді, що дає їх пра-вильний розподіл уздовж акустичної вісі та у фокальній площині. Тоді область взаємодії ефективно обмежена функціями виду і

, а розв’язок рівняння (1) для полів з частотою мож-на шукати у вигляді потенціалу, що запізнюється. З умови його відмінності від нуля для ХРЧ знайдена нерівність, якій задовольняють кути розсіяння

Звідси доведено, що розсіяння на великі кути немає ( ) при малій довжині хвиль ХРЧ ( ). Зі зменшенням різницевої частоти до величини

(2)

максимальний кут розсіяння може досягати будь-якої наперед заданої вели-чини . Аналогічний результат отриманий у роботі для пучків, що геомет-рично перетинаються тільки у фокусі ( , ), однак на відміну від звичайного дифракційного розсіяння при цьому немає розсіяння ХРЧ уперед.

Відзначимо, що розсіяння на великі кути існує незважаючи на слабку для розглянутих довгофокусних випромінювачів локалізацію взаємодії уздовж осі і, відповідно, погане виконання умов дифракційного розсіяння. Фізич-не тлумачення в тому, що швидкість локальних нелінійних джерел у фокаль-ній області сильно залежить від взаємної конфігурації первинних хвиль і може перевищувати звукову. В результаті у повній аналогії із черенковським випромінюванням може не бути розсіяння вперед. Навпаки, навіть при вираз (2) не передбачає розсіяння на великі кути, якщо .

Детально залежність кутових характеристик розсіяння і швидкості джерел від конфігурації хвиль була вивчена на основі інтегрального розв’язку для акустичного потенціалу у випадку м’якого екрана. У фокальній області такий розв’язок має форму Гюйгенса-Френеля, яка є розв’язком першого набли-ження для загального нелінійного рівняння у вигляді

,

де - лагранжіан поля. У роботі показано, що для довгофокусних випроміню-вачів членом з можна зневажити і розв’язувати у другому наближенні рівняння Вестервельта для плоских хвиль ( ). Використання формул Гюйгенса-Френеля і розв’язку у вигляді потенціалу, що запізнюється, призво-дять до -функції під інтегралом розв’язку, аргумент якої дає зв’язок між кутом розсіювання і швидкістю джерел . Цей зв'я-зок описується формулою черенковського конуса: . В результаті незалежно від ступеня локалізації взаємодії ХРЧ можуть розсіюватися на великі кути завдяки черенковському випромінюванню надзвукових джерел. Ці джерела утворюються з плоскохвильових складових пучків хвиль, що приходять у фокальну область з відповідних напрямків і усередині кутів розкриття. Знайдені максимальні кути розсіювання ХРЧ і ХСЧ дорівнюють

,

тому кут розсіяння для ХРЧ ще більше, ніж знайдений раніше в (2).

У роботі отримані оцінки для амплітуди розсіяння ХРЧ в усьому діапазоні кутів розсіяння і з урахуванням всіх хвильових складових. На рис.2 показана кутова залежність нормованої амплітуди розсіяння ХРЧ при кутах розкриття, що характерні для медичних застосувань. Завдяки черенковському випрміню-ванню значне розсіяння ХРЧ у дійсності має місце і при . Для визначення положення фокальної області потужних фокусованих пучків, що застосовуються у хірургії, в роботі запропоновано використовувати особи-вості розсіяння ХРЧ. З результатів дослідження випливає також можливість нового методу локального визначення величини м’яких тканин по широко-кутовій частині розсіяного поля ХРЧ, амплітуда якого пропорційна . На-решті, проаналізований вплив винайдених ефектів на результати томогра-фічного експерименту з визначення параметру нелінійності.

У третьому розділі розвинений підхід до опису спектрів допплерівського відгуку, що спирається на адекватну для біологічних середовищ континуаль-

Рис.2 Амплітуда акустичного тиску ХРЧ при : 1) ;

2) , . Пунктирні лінії – кути і .

ну модель і параболічне рівняння дифракції. В основі розгляду лежить зага-льне хвильове рівняння із правою частиною, що зумовлена неоднорідностями густини і стисливості :

(3)

Застосований підхід містить чотири фізично пов’язані задачі: 1) опис у широкому діапазоні глибин падаючого з області пучка хвиль ; 2) визначення зв’язку розсіяного поля з неоднорідностями в області , що не перетинається з областю випромінювання: ; 3) знаходження локального допплерівського відгуку з урахуванням прийнятого в ультразвуковій медичній діагностиці способу формування відбитих пучків за допомогою апертури , що не перетинається з областю неоднорідностей і може не збігатися з (рис.3); 4) обчислення спектрів допплерівського відгуку і аналіз особливостей, обумовлених локальною невизначеністю хвильових векторів полів і та градієнтами швидкості руху середовища.

Задачі 2) і 3) пов'язані із ЗЗР, а саме, поле розсіяних хвиль є розв’язком другого, тобто борнівського наближення рівняння (3). У цьому наближенні і з урахуванням принципу взаємності випливає наступний вираз для сигналу допплерівського відгуку:

Рис.3. Зондувальні пучки

, (4)

де , параметр відрізняється від мали-ми дифракційними добавками, а чутливість по полю дорівнює добутку амплітуди падаючого пучка і чутливості до розсіяних хвиль із урахуванням відхилення точних фаз полів від фази плоских хвиль:

.

Розв’язок першого наближення для падаючого (відбитого) пучка може бути записаний як у розділі 2, однак такі розв’язки не дозволяють дослідити особливості спектрів у всьому діапазоні глибин зондування. Тому для першого наближення обраний розв’язок параболічного рівняння дифракції

, (5)

для пучків хвиль із гауссівським профілем на границі півпростору ( ) і ефективним діаметром за рівнем , що дорівнює .

Для опису повного спектра використаний зв’язок цієї величини з фур’є-образом автокореляційної функції сигналу (4), з якого зважаючи на сталість статистичних властивостей біологічних середовищ за час вимірю-вань отримано вираз для спектра потужності допплерівського відгуку:

, (6)

де - частота Допплера, - фур'є-образ , - се-реднє за статистичним ансамблем, - стала, що визначає радіус кореля-ції неоднорідностей , - кут між і швидкістю руху середовища . Для гауссівських пучків при ( ) фур’є-образ в (6) обчислений методом перевалу, причому великим параметром є відношення довжини зони Френеля до радіуса пучка: . Рівняння для точки перевалу у загальному випадку нелінійне, але задача має лінійне наближення для інтервалу частот

і обмежених уздовж ( ) областей . Для цього випадку винайдений спектр допплерівського відгуку лінії току

, (7)

Тут і далі - розмірні сталі. З виразу (7) випливає, що спектр відгуку лінії току при випромінюванні гауссівських пучків має гауссівську форму із шириною , що пропорційна величині і не залежить від коор-динати лінії току , яка впливає лише на амплітуду спектра. Фізичний зміст результату в тому, що розширення спектра з ростом кривизни хвильо-вих фронтів завжди компенсується зменшенням часопролітного розширення.

При вираз (7) спрощується, що для довільних аксіально-симетричних течій ( ) дозволило знайти інтегральну фор-му спектру, з якої для потоків ( ) отриманий вираз:

, (8)

де - “максимальна” допплерівська частота, - функція Бессе-ля уявного аргументу. Згідно загальній формулі (8) залежність спектру потужності від відстані до осі потоку проявляється для . При незмін-ному ширина спектру як функції безрозмірної змінної не залежить від кута зондування . При та довільних і швидкість зростання

визначається або гострою степеневою функцією ( ), або обмеженим при

добутком експоненти і функції Бесселя (пуазейлівська течія):

. (9)

Така принципова відмінність пов'язана з тим, що потоки з є більш швидкісними. Вираз (9) описує також частотну залежність спектру в гранич-ному випадку широких пучків хвиль.

Із зростанням радіуса потоку при всіх відбувається зменшення внеску низькочастотних складових спектра через часткову втрату потужності сигналу від ліній току з великою координатою , які рухаються повільно:

. (10)

Зазначимо, що в обох граничних випадках (9) і (10) ширина спектрів не зале-жить від . За методом Лапласа оцінений також внесок у спектр частот вище , що пов’язаний виключно з дифракційним розширенням спектрів від ліній току. Показаний граничний перехід до класичного ефекту Допплера.

Результати узагальнені на випадок . Через появу нового ракурсу при вимірювальний об’єм більш локалізований, має іншу конфігурацію і кривизну хвильових фронтів, що охоплюються. Знайдено самоузгоджений при , , розв’язок для точки перевалу ( - відстань до точки перетинання зондувальних пучків). У цьому випадку в роботі отримано:

. (11)

Особливістю спектра відгуку лінії току (8) є незалежність його ширини

від , різниці і нетривіальна залежність від кута . При малих кутах зондування зі збільшенням величина вимірюваль-ного об’єму в цілому убуває, що при незмінній кривизні хвильових фронтів приводить до росту . При швидкість росту менше нуля. Від-значимо, що збільшення різниці , наприклад, при зсуві перетворювача уздовж осі , не призводить до звуження спектру через збільшення вимірю-вального об’єму, оскільки локальна кривизна фронтів також збільшується.

Повні спектри розглянуті у двох важливих граничних випадках. Якщо різниця невелика порівняно з , то маємо узагальнення формули (8):

, (12)

.

Тоді при залежність спектру від частоти знову дається формулою (9). Однак у зворотному граничному випадку вузьких пучків, як видно з рис.4, має місце більш ефективне в порівнянні з (10) експонентне вирізання низько-частотних складових через більшу локалізацію вимірювального об'єму, у який попадають переважно високошвидкісні лінії току:

. (13)

Рис.4 Нормовані спектри (13) для пучків хвиль різної ширини: - ,

- , - . Випадку відповідає формула (10) ( ).

При розрахунку прийнято , , є ? є.

Отримані результати щодо інваріантості ширини спектра відгуку лінії току (7), (11) та форми повного допплерівського спектру (8), (12) добре узгоджуються з відомими експериментальними даними для пуазейлівських потоків. Результат, що виходить для повного спектру у випадку

,

також добре описує залежності, що спостерігаються. При цей вираз переходить у формулу (9) для широких пучків. Звуження пучків

призводить, на відміну від (10), до загального зменшення поту-жності сигналу з одночасним експонентним збільшенням амплітуди низьких частот, оскільки при будь-якому знаку різниці найбільший внесок у спектр дають лінії току з малою швидкістю, що близькі до точки (рис.3).

У четвертому розділі розглянуті спектральні характеристики допплерів-ських сигналів при імпульсному випромінюванні і фокусуванні хвиль. Ім-пульсно-допплерівські методи разом із фокусуванням дають найкращу роздільну здатність, що в рамках ЗЗР пов’язане із багаточастотністю та багаторакурсністю зондувальних полів. Це ж призводить і до більшої невизначеності хвильових векторів, вплив якої на спектри вивчено замало.

Для врахування імпульсної модуляції падаючих пучків функція чутливос-ті по полю була модифікована відповідно до виразу:

, (14)

де - огинаюча імпульсів. Тут мається на увазі звичайний алгоритм оброб-ки, при якому сигнал стробується із затримкою в часі . Тоді початок системи координат зручно помістити в центрі вимірювального об'єму, який згідно (14) визначається глибиною зондування . У лінійному по малим наближенні знайдено розв’язок для точки перевалу, який дозволяє асимптотично оцінити спектри для розглянутих пучків з гауссівскою огинаю-чою ( - число періодів несучої частоти за рівнем ). В результаті отриманий вираз для спектру при імпульсному випро-мінюванні. Зважаючи на швидке експонентне спадання цієї функції, повний допплерівський спектр обчислений інтегруванням по лініях току поблизу . При цьому градієнти швидкості руху вважаються малими, так що визна-чається швидкістю руху у точці . При узагальненні результатів на випадок фокусованих хвиль розв’язок першого наближення рівняння (5) обрано у вигляді гауссівських пучків зі сферичною фазовою модуляцією на границі:

, (15)

де ступінь фокусування пучків й - радіус кривизни сферичних хвиль, що формуються. З використанням розв’язку системи (5),(15) і функції розподілу чутливості (14) у роботі при тих же самоузгоджених умовах щодо вірності лінійного наближення рівняння для точки перевалу отримана наступна формула для допплерівського спектру від лінії току:

(16)

.

. (17)

Повний спектр потужності, що відповідає виразу (16), має вигляд

. (18)

Відзначимо, що вирази для імпульсно-допплерівського зондування нефо-кусованими хвилями випливають із (16)-(18) при переході . Із (16) і (17) при можна без спеціального розгляду отримати спектральні харак-теристики при безперервному зондуванні фокусованими пучками. В усіх випадках формула (17) дає ясне уявлення про співвідношення дифракційної та імпульсної складових ширини спектра, а також про відносний внесок локальних ефектів дифракції внаслідок фокусування і завдяки дифракційно-му розширенню пучків. Через зменшення вимірювального об’єму фокусування завжди призводить до збільшення ширини спектра, яке у той же час не залежить від при статичному фокусуванні . Нарешті, вираз (17) разом із виразом для дозволяє в принципі за обмірюваними значенням

і визначити абсолютну величину швидкості та кут .

На відміну від (18) допплерівський спектр відгуку лінії току (16) при ім-пульсному випромінюванні сильно залежить від положення вимірювального об'єму. Зокрема, для моди розподілу (16) отриманий вираз:

. (19)

де - реальний фокус пучка з гауссівським профілем. У порівнян-ні із класичною допплерівською частотою вираз (19) містить додатковий член, що зникає при і змінює свій знак у відповідності зі знаком добутку . Фізичний зміст результату пояснює рис.5, що показує два альтертернативних положення лінії току щодо центра вимірювального об'єму при двох різних положеннях останнього щодо реального фокуса. Поза цент-ром вимірювального об'єму лінії току проходить через ту його область, де локальне середнє значення кута між хвильовим вектором і лінією току суттєво відрізняється від кута на вісі пучка. Знак цього відхилення симе-

Рис.5 Положення ліній току та

вимірювальних об'ємів

тричний відносно точки і антисиметричний усередині вимірювального об'єму відносно його центра. У роботі визначені точки зондування, при переході яких лінією току модальна частота змінюється найбільш швидко.

Варіативність модальної допплерівської частоти для лінії току є най-більш яскравим проявом впливу кривизни хвильових фронтів. Він є і при , але знак величини тоді визначається тільки координатою лінії току, оскільки нефокусовані хвилі ні в якій точці простору не міняють знак кривизни своїх хвильових фронтів.

Отримані результати засновані на врахуванні локальних особливостей функції чутливості, тож інші випадки можуть бути інтерпретовані аналогіч- но. Наприклад, відповідно до розвиненої теорії бічні пелюстки функції

можуть призводити до появи додаткових спектральних максимумів через відмінність напрямку вектора усередині пелюстків від напрямку акустичної осі. Такі максимуми добре реєструються експериментально при , коли основна мода дорівнює нулю.

Знайдене в роботі подання допплерівського спектру (16) у вигляді

, (20)

показує, що дисперсія спектра досягає максимуму при через найменшу ширину пучка у фокусі (див. рис.6). Біля нього швидкість зміни визна-чається довжиною імпульсів і ступенем фокусування . З (20) випливає наступна теорема: при незмінному положенні реального фокуса та вимірю-вального об’єму ширина спектра відгуку лінії току інваріантна щодо її поло-ження. Для нефокусованих хвиль потрібна лише незмінність величини .

Відзначимо, що різниці й зникають у граничних випадках

, і . При інших значеннях кута зондування ці різниці можуть бути порядку відповідно і принаймні вдалині від точки , що підтверджується в експериментах з нитковидними фантомами.

П’ятий розділ присвячений питанням оптимізації параметрів допплерів-ських діагностичних систем з урахуванням виявлених закономірностей.

Рис.6 Нормована дисперсія (20) допплерівського спектра відгуку лінії току

при й : ( ), (– – – –) і (- - - - -)

Проаналізовані сучасні тенденції розвитку таких систем, що спрямовані на підвищення точності вимірів, і практична застосовність отриманих результа-тів. Установлено, що діапазон глибин зондування в медичній діагностиці добре узгоджується з діапазоном припустимих для розвиненої теорії положень ліній току: . При цьому інваріантість ширини повного спектра для статичного фокусування спрощує вибір оптимальних параметрів.

В останні роки, однак, застосовують і динамічне ( ) фокусування для одержання найкращої роздільної здатності і точності вимірів при наявності великих градієнтів швидкості. Звідси випливає задача про вплив градієнтів на спектри сигналів і пов’язані з нею проблеми вибору оптимальних параметрів і критерію оптимальності. У роботі показано, що за змістом обидва відомі підходи – зі співвідношення Рао-Крамера і межі Найквіста, приводять до од-ного й того ж критерію, пов’язаного з мінімальністю ширини спектру. Зокре-ма, у відсутність градієнтів найвищу точність вимірів частоти допплерів-ського зсуву забезпечує апертура , що мінімізує дисперсію (17).

При оцінці оптимальних параметрів допплерівської системи для вимірю-вань неоднорідного руху середовища у роботі розглянутий практично найці-кавіший випадок достатньо великих кутів зондування: . З рис. 5 видно, що розширення спектра, обумовлене обмеженою тривалістю імпульсів, пов'язано насамперед із градієнтами швидкості в напрямку осі :

.

Підстановкою цього розкладання в (15) і інтегруванням отриманий вираз для повного допплерівського спектру, центральна частина якого за формою близька до кривої Гаусса. Врахування перших незникаючих членів у розкла-данні по ( - масштаб зміни швидкості) для дисперсії спектра показує, що дисперсія не залежить від знака градієнтного члена та других похідних:

.

Припустимі по точності вимірів тривалості зондувальних імпульсів перебу-вають в інтервалі , де - позитивні корені біквадратного рівняння

( - максимально припустима розмірна дисперсія). При зада-ній апертурі ультразвукового перетворювача менший з цих коренів

, (21)

відповідає найкращій поздовжній роздільній здатності, що сумісна із заданою точністю вимірювань. Найвища точність вимірювань при гіршій, природно, роздільній здатності визначається при мінімізації дисперсії:

. (22)

При оцінці оптимальної апертури найбільш важливі -градієнти швид-кості руху, врахування яких приводить до спектру з дисперсією

, (23)

Внесок градієнтного члена в дисперсію (23) мінімізується при . При цьому ультразвукова система має й найкращу поперечну роздільну здатність, тому розглянемо спочатку динамічне фокусування з достатньо великим :

. Апертура, що забезпечує найкращу роздільну здатність, дорівнює

. (24)

Аналогічним чином у роботі отримані подібні (23) і (24) вирази на випадок статичного фокусування. Зокрема, найвища точність вимірювань частоти для статичного і динамічного фокусування досягається відповідно при

. (25)

Чисельні оцінки показують повну придатність отриманих результатів. Зокрема, при дослідженні великих артеріальних кровоносних судин із внутрішнім діаметром і для допплерівської колірної візуалізації кровоносної системи використовують частоти . Поклавши

( ) і , з (22) одержуємо , що відповідає прийнятим для цих цілей величинам. Чисельна оцінка оптимальної апертури при і ( ) за допомогою виразу (24) при

і ? дає , а за допомогою (25) – . Реальна апертура пов’язана з ефективною співвідношенням , де , отже

, що добре узгоджується з емпірично винайденими значеннями.