Державний комітет зв’язку та інформатизації України
Державний комітет зв’язку та інформатизації України
Національна академія наук України
Державний науково-дослідний інститут інформаційної інфраструктури
Білий Леонід Адамович
УДК 681.142.2; 621.3.013; 537.8
Математичне моделювання періодичних процесів електротехнічних пристроїв
01.05.02 – математичне моделювання та обчислювальні методи
Автореферат
дисертації на здобуття наукового ступеня
доктора технічних наук
Львів-2004
Дисертацією є рукопис.
Робота виконана у Дніпропетровському національному університеті заліз---ничного транспорту ім. акад. В.Лазаряна Міністерства транспорту України та Херсонському державному тех-ніч-ному університеті Міністерства освіти і нау-ки Ук-ра-ї-ни.
Науковий консультант:
доктор технічних наук, професор,
Чабан Василь Йосипович,
Національний університет “Львівська політехніка”,
професор кафедри “Теоретична та загальна елек-тро-тех-ніка”
Офіційні опоненти:
доктор технічних наук, професор,
Богаєнко Іван Миколайович,
НВК “Київський інститут автоматики”, заст. генерального директора
Заслужений діяч науки й техніки, Лауреат державної премії України
доктор фізико-математичних наук, професор,
Чапля Євген Ярославович,
Центр математичного моделювання Інституту прикладних проблем
механіки і математики ім. Я.С.Підстригача НАН України, директор
доктор технічних наук, старший науковий співробітник,
Сікора Любомир Степанович,
Державний науково-дослідний інститут інформаційної інфраструктури Державного комітету зв'язку та інформатизації і НАН України,
провідний науковий співробітник
Провідна установа: Інститут проблем моделювання в енергетиці ім. Г.Є. Пухова
НАН України, м. Київ, відділ моделювання задач теоретичної електро-тех-Ніки
Захист відбудеться “07” грудня 2004 р. о 13.00 годині на за-сі-дан-ні спе-ціалізованої вченої ради Д 35.813.01 при Державному науково-дослідному ін-ституті інформаційної інфраструктури (79601, Львів, вул. Тро-лей-бус-на, 11).
З дисертацією можна ознайомитися у бібліотеці Державного науково-дослідного ін-ституту інформаційної інфраструктури (79601, Львів, вул. Тро-лей-бус-на, 11).
Автореферат розісланий “02” листопада 2004 р.
Вчений секретар спеціалізованої
вченої ради Бунь Р. А.
ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ
Актуальність теми. Моделювання усталених електромеханічних про-це-сів електротехнічних пристроїв, що охоплюють як силові перетворювачі енергії (елек-тричні машини, елек-тро-маг-нітні апарати), так і пристрої автоматики (ви-ко--навчі мотори, сельсини, да-ва-чі положення, тахогенератори, поворотні тран-с-фор-матори та інші функціональні пе-ретворювачі) є однією з найскладніших проб-лем через необхідність від-т-во-рен-ня фізичних процесів різної природи (елек-т-ро-маг-нітних, механічних, теп-ло-вих), які в них протікають. Нелінійність електромагнітних зв’язків таких пристроїв зумовлена прагненням мак-си-маль-ного використання активних матеріалів, зокрема сталей магнітопроводів. Явище поверхневого ефекту або скін-ефекту, що має місце в масивних струмо-про-водах багатьох електротехнічних пристроїв, використовується для надання їм певних функціональних властивостей, а тому його необхідно враховувати з дос-татньою точністю. Традиційні моделі враховують насичення сталі за до-по-мо-гою диференціальних індуктивностей, тому диференціальні рівняння таких мо-делей записані в неявному вигляді стосовно похідних за часом. Числове ін-тег-рування рівнянь вимагає виконання трудомісткої процедури – обертання мат-риці коефіцієнтів. По-верхневий ефект ці мо-делі враховують на основі ме-то-дів теорії кіл, що зу-мов-лює надмірне зро-с--тан-ня порядку диференціальних рів-нянь і їх жорсткості, ус-кладнює процес ін--тег-ру-ван-ня і призводить до втрати точ-ності.
Оптимальне проектування і правильна експлуатація електротехнічних прис-троїв немислимі без розробки сучасних їх математичних моделей, а також ме-тодів дослідження процесів, що протікають в їх контурах. Основними ета-па-ми таких досліджень є розрахунок перехідних і усталених процесів, визначення ста-тичної стійкості та параметричної чутливості. Ці задачі традиційно роз-в’я-зують розрізненими методами, які об’єднати в алгоритмічному сенсі немож-ливо. Статичну стійкість визначають на підставі алгебраїчних критеріїв. Для визначення параметричної чутливості використовують у більшості випадків неуніверсальні методи, наприклад, варіаційний, регресивний та інші. Отже, кожен етап представляє со-бою складну теоретичну проблему, для розв’язання яких ви-ко-ристовують різноманітний математичний апарат. Це ви-ма-гає ство-рен-ня ок-ре-мих громіздких програм і надто ускладнює об-чис-лю-валь-ний процес. Ли-ше роз-ра-хунки перехідних процесів здійснюють в часовій області і вони є адек-ват-ни-ми фі-зичним процесам. Аналіз усталених процесів здій-сню-єть методами по-зачасової області, то-му вони непридатні для дослідження електромеханічних процесів, в яких до числа змін-них, крім електромагнітних, належать механічні переміщення. Ці методи та-кож поз-бавлені критеріїв точ-ності, тому що вимагають ін-ту-ї-тив-но-го вибору густини сітки (сітковий метод), числа точок на періоді (метод три-го-нометричної колокації), числа членів ряду Фур’є (метод гармонійного балан-су) та інші. Їх не можна узагальнити на випадок аналізу широкого класу елек-тротехнічних пристроїв, а також складних систем.
Серед вказаних вище етапів досліджень особливе місце належить роз-ра-хун-кам періодичних процесів. Номінальні режими роботи більшості елек-тро-тех-нічних прис-т-роїв є стаціонарні, тобто їх координати (струми, нап-ру-ги, по-то-коз-чеплення, лі-ній-ні або кутові переміщення та інше) являються пе-рі-о-дич-ни-ми фун-кціями часу. За-дача пошуку періодичних розв'язків нелінійних ди-фе-рен-ці-аль-них рівнянь є склад-нішою за задачу Коші інтегрування цих рівнянь від по-чат-кових умов до усталення, бо нак-ладає на розв'язок ще одну умову – умову пе-рі-о-дич-нос-ті, тоб-то вона стає дво-точковою крайовою задачею нелінійних ди-фе-рен-ці-аль-них рів-нянь. Роз-в'я-зу-ван--ня цієї задачі у часовій області дає змогу на кожному пе-ріоді знайти періодичний електромеханічний процес, визначити його ста-тичну стій-кість, а при не-об-хід-нос-ті – параметричну чутливість. Усі етапи аналізу ба-зу-ються на одному і тому ж ма-те-ма--тич-но-му апараті – загальній теорії ди-фе-рен-ці-аль-них рівнянь.
Все це дає підстави вважати, що розроблення математичних моделей елек-тротехнічних пристроїв з використанням нового підходу, який базується на кон-цепції поєднання методів теорії електромагнітного поля та методів теорії елек-тромагнітних кіл, представлення диференціальних рівнянь у нормальній фор-мі Коші і розроблення методу розрахунку періодичних процесів, що ба-зу-єть-ся на побудові моделі чутливості до початкових умов, є гостро ак-ту-аль-ною нау--ко-во-технічною проблемою, вирішення якої сприятиме підвищенню ефек-тивності ви-робництва та якості продукції, покращенню якості оп-ти-маль-но-го проек-ту-вання, зменшенню його собівартості, скороченню термінів розробки про-ектів.
На цій основі сформульовано важливу науково-прикладну проблему в галузі електромеханіки – розроблення концептуальних засад і науково обґрунтованих методів математичного моделювання періодичних процесів елек-тро-тех-нічних пристроїв.
Зв’язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Робота ви-конувалася згідно з держбюджетним договором на виконання на-уково-дос-лід-них робіт Міністерства освіти і науки України за фаховим нап-рям-ком “Розроблення теорії й методів математичного моделювання елек-тро-ме-ха-ніч--них сис-тем і прис-троїв” (1982-1987), а також з тематичними планами про-ве-ден-ня НДДКР у Державному університеті “Львівська політехніка” на гос-п-до-го-вір-них за--садах: договір № 3831, держреєстр № 01830070353 (1982-1986); до-го--вір шифр ДО/47 “Вита” (1992-1994).
Мета й задачі дослідження. Метою дисертаційної роботи є розвиток те-о-рії математичного мо-делювання періодичних процесів електротехнічних прис-т-ро-їв, от-ри--мання нових моделей синхронних і асинхронних машин, що ба-зу-ють-ся на концепції по-єд-нан-ня методів теорій елек-т-ро-магнітного по-ля і елек-т-ро-маг-ніт-них кіл та представленні їх ди-фе-рен-ці-аль-них рів-ня-нь у нормальній формі Ко--ші, роз-роб-лення метода аналізу пе-рі-о-дич-них електромеханічних процесів у ча--совій області.
Відповідно до поставленої мети задачі дослідження були такими:
1. Розроблення методів побудови математичних моделей електро-тех-ніч-них прис-троїв, які базуються на концепції поєднання теорій електромагнітних кіл і елек--тромагнітного поля. Побудова на основі цієї концепції на-пів-по-льо-вих мо--де-лей електричних машин.
2. Представлення системи нелінійних диференціальних рівнянь електро-ме--ханінчної рівноваги в нормальній формі Коші шляхом виключення з за-га-ль-ної сис-теми рівнянь електромагнітного кола рівнянь елек--тричного субкола й про---ве-ден-ня аналізу на основі теорії електромагнітних кіл, а не електричних, як це ро-би-ться традиційно. Побудова колових моделей синхронних і асинхронних машин.
3. Розвиток методу врахування перехідного поверхневого ефекту в стру-мо-проводах електромеханічних пристроїв на випадок усталеного поверхневого ефе--к-ту, в якому напругу на досліджуваному відрізку струмопровода необхідно пред-став-ити еле-мен-тами матриці монодромії.
4. Розроблення нового метода аналізу усталених електромеханічних про-цесів у часовій області на основі моделі чутливості до початкових умов.
5. Розв’язання двоточкової крайової задачі для системи нелінійних ди-фе-рен-ціальних рівнянь у повних і частинних похідних; визначення серед множини початкових умов таких їх значень, які б виключили перехідну реакцію і відразу привели до періодичного розв’язку.
6. Розроблення нового методу визначення фундаментальної матриці (мат-ри-ці монодромії), який полягає у представленні її добутком двох інших матриць, перша з яких є матриця коефіцієнтів вихідної системи ди-фе-рен-ці-аль-них рівнянь, а друга – матриця допоміжної моделі чутливості.
7. Отримання диференціальних рівнянь першої варіації, необхідних для визначення елементів матриці допоміжної моделі чутливості.
Об’єкт дослідження – електромеханічні про-це-си електротехнічних прис-т-роїв.
Предмет дослідження – створення математичних моделей і розроблення ме-тоду роз-ра-хун--ку усталених (пе-рі-о-дич-них) процесів синхронних і асин-х-рон-них машин у ча--совій об-лас-ті.
Методи дослідження. Використано теорію нелінійних ди-фе-рен-ці-аль-них рів--нянь, методи теорії електромагнітних кіл і теорії електромагнітного поля.
Наукова новизна одержаних результатів:
1. Розвинено методи побудови математичних моделей електро-тех-ніч-них прис--троїв, які базуються на поєднанні теорії нелінійних елек-тро-маг-нітних кіл і те--о-рії електромагнітного поля, що дало змогу більш точно врахувати фізичні яви-ща і підвищити ефек-тивність моделей.
2. Розроблено математичні моделі синхронних і асинхронних машин, які враховують насичення магнітопровода, вищі просторові гармоніки на-маг-ні-чу-ю-чих сил, несиметрію контурів. Їх відмінність від тра-ди-цій-них полягає в пред-став-ленні ди-ференціальних рівнянь у нормальній формі Коші й усуненні найбільш тру-домісткої операції чисельного інтегрування – обертання матриці кое--фі-ці-єн-тів, що забезпечило їм більшу точності, економічності і уні-вер-саль-ність.
3. Розроблено напівпольову математичну модель глибокопазного асин-хрон--ного мотора, статор якого описується методами теорії електромагнітних кіл, а ротор – методами теорії електромагнітного поля, що дало змогу одно-час-но зна--ходити періодичні розв’язки як для інтегральних, так і для ди-фе-рен-ці-аль-них ха--рактеристик процесу.
4. Узагальнено метод розрахунку перехідного поверхневого ефекту в ма-сив-них стру-мо---проводах на випадок усталеного процесу шляхом представлення нап--руги на дос-лід-жу-ваному відрізку струмопроводу елементами матриці мо-но-д-ро-мії, на відміну від перехідного по-вер-х-не-вого ефек-ту, де ця напруга зна-хо-дить-ся в правих частинах диференціальних рівнянь. При цьому не порушується струк--ту-ра вихідної системи рівнянь, не зростає її порядок та жорсткість, що ха-рак-тер-но для методів з використанням ланцюгових схем.
5. Розв'язано двоточкову крайову задачу для нелінійних диференціальних рів-ня-нь пристроїв електромеханіки у часовій області – задачу пошуку пері-о-дич-них роз-в'яз-ків цих рівнянь.
6. Розроблено метод прискореного пошуку усталених електромеханічних про---цесів, який дає змогу розв’язати задачу аналізу в цілому і характеризується ви--сокою точністю й універсальністю, а також є нез-рів-нян-но простіший від іс-ну-ю--чих розробок у позачасовій об-лас-ті.
7. Розв'язано проблему аналізу уста-лених елек-тро-ме-ха-нічних процесів – виз--начення матриці переходу станів або матриці мо-нод-ро-мії представленням її у виг--ляді до-бут-ку двох матриць, елементами першої з яких є коефіцієнти ви-хід-ної системи ди-ференціальних рівнянь, а елементи другої знаходяться з рів-нянь пер-шої ва-рі-а-ції.
8. Побудовано диференціальні рівняння першої варіації для різних типів елек-тро-технічних пристроїв з метою визначення допоміжної моделі чутливості до по-чат-кових умов.
Практичне значення одержаних результатів полягає в наступному:–
розроблені математичні моделі електричних машин за харак-тером ві-доб-ражених властивостей відносяться до функціональних і можуть ви-ко-рис-то-ву-ватися самостійно або як елементи складних систем для дос--лідження елек-тро-механічних процесів з урахуванням електромагнітних і механічних явищ;–
розроблені методи побудови математичних моделей і прискореного по-шу-ку усталених процесів можуть ви-ко-рис-то-ву-ватися в задачах аналізу та син-те-зу широкого класу електромеханічних прис--т-роїв енергетичного призначення – елек-тричних машин, тягових елек-тро-маг---ніт-них апаратів, а також пристроїв ав-то-матики та обчислювальної техніки – ви---ко-нав-чих двигунів, сельсинів, давачів по-ложення і прискорення, та-хо-ге-не-ра-то---рів, по-воротних трансформаторів та ін.;–
розроблені моделі і метод розрахунку періодичних процесів повністю від-повідають вимогам систем автоматизованого проектування (САПР), їх ви-ко-рис-тання в САПР значно підвищить якість проектування, зменшить його со-бі-вар-тість, сут-тєво скоротить термін розробки проектів, а також кількість зай-ня-тих спе-ці-а-ліс-тів-проектувальників; –
практичне значення методу прискореного пошуку періодичних процесів по-лягає у можливості комплексного роз-в'я-зання задач аналізу на основі єдиного ал-горитму та узагальненні його на ана-ліз складних сис-тем;, що суттєво спрощує роботу дослідника, скорочує терміни ви-ко-нан-ня, покращує ефективність ро-боти; –
алгоритм визначення параметричної чутливості повністю співпадає з ал-горитмом прискореного розрахунку періодичних процесів, що автоматично від-криває можливість проведення пошуку необхідної зміни керованих па-ра-мет-рів об’єкту, дає змогу зро--бити зміну параметрів цілеспрямованою, під-по-ряд-ко-ва-ною стратегії знаходження екс--тремальних значень цільової функції, яка об-числюється при роз-ра-хун--ку усталеного процесу і розробити комп'ютерну ре-а-лізацію задачі па-ра-мет-рич--ної оптимізації у процесі автоматизованого про-ек-ту-ван-ня нових пристроїв;–
розроблений метод визначення мат-ри-ці монодромії може знайти ефек-тив-не застосування не лише при розв’язуванні задач електромеханіки, а й ме-ха-ні-ки, гідравліки, теплотехніки та інших галузей. –
розроблені на базі запропонованих методів пакети програм розрахунку пе--рехідних і усталених режимів роботи синхронних, загально промислових і гли--бокопазних асинхронних моторів можна використати як автономні про-дук-ти при проектуванні, або як елементи при створенні програм САПР елек-т-ро-ме-ха-нічних систем.
Усі розроблені математичні моделі й методи апробовані шляхом чи-сель-но-го аналізу, а значна частина розрахунків підтверджена експериментальними да-ними.
Реалізація результатів роботи. Отримані результати використані в Укра-їнському науково-дослідному, проектно-конструкторському та тех-но-ло-гіч-но-му інституті вибухозахищеного та рудникового електрообладнання (від-ді-лен-ня Укр. НДІ ВЕ, м. Нова Каховка), ВАТ “Виробничо-технічне підприємство “Ук-ренергочормет”, на ВАТ “Маріупольський металургійний комбінат ім. Іл-лі-ча”, ВАТ “Єнакіївський метзавод”, на Добротвірській тепловій електростанції. Теоретичні результати роботи використовуються у навчальному процесі в Національному університеті “Львівська політехніка” при підготовці студентів за спеціальністю “Електричні машини й апарати” в курсі “Математичне мо-де-лю--вання електричних машин”, у Львівському факультеті Дніпропетровського на--ціонального університету залізничного транспорту при підготовці сту-дентів за спеціальністю “Електромеханіка” в курсах “Моделювання елек-тро-ме-ха-ніч-них систем”, “Комп’ютерні технології в розрахунках електромеханіки”.
Особистий внесок здобувача. Всі результати теоретичних та екс-пе-ри-мен-тальних досліджень, які містяться в дисертації, отримані автором особисто.
В працях, опублікованих у співавторстві, автору дисертації належать: [1, 2, 23] - обґрунтування концепції прискореного пошуку стаціонарних електро-механічних процесів, побудова математичних моделей машин, роз-роб-лен-ня методик розрахунків, проведення числових та експериментальних дос-лід-жень, аналіз результатів; [3, 4, 24] - розроблення наукової ідеї, узагальнення методу прис-кореного по-шуку періодичних процесів на випадок їх многозначності, по-бу-дова ма-те-ма-тич-них моделей, дослідження ферорезонансних режимів син-хронного ге-не-ра-то-ра, стійких і нестійких режимів конденсаторного двигуна, ана-ліз результатів; [5, 6] - обґрунтування концепції поєднання методів теорії елек--т-ро-маг-ніт-но-го поля і теорії електромагнітних кіл для побудови напів-по-льо-вої ма-те-ма-тич-ної моделі глибокопазного асинхронного мотора, постановка за-да-чі, побудова ма-тематичної моделі, розроблення алгоритмів і методик роз-ра-хун-ків, про-ве-ден-ня числових і експериментальних досліджень; [7, 8, 12] – обґрунтування доцільності і можливості побудови єдиної ма-те-ма-тичної моделі син-хронної й асинхронної машини як елементів складної сис-те-ми, розроблення математичної моделі й алгоритму, проведення числового роз-рахунку, аналіз ре-зуль-татів; [9] - обґрунтування можливості використання методу побудови мо-де-лі чут--ливості до початкових умов для розрахунку стійкої і нестійкої ділянок ста--тич--ної характеристики асинхронних моторів, постановка задачі, побудова ма-те-ма-тичної моделі, розроблення методики розрахунків, аналіз результатів; [10] - концепція створення єдиного алгоритму знаходження періодичних про-це-сів і визначення їх стійкості методом побудови моделі чутливості до по-чат-ко-вих умов, розроблення математичної моделі асинхронного мотора, ал-го-рит-му та методики розрахунків, проведення досліджень; [11] - обґрунтування до-ціль-ності використання моделі чутливості для ана-лі-зу періодичних процесів елек-тро--механічних перетворювачів інформаційно-ви-мірювальних пристроїв, роз-роб--лен-ня алгоритму; [15] - розроблення діагностичної математичної моделі елек--тро-двигуна і мо-делі чутливості.
Апробація результатів роботи. Основні наукові результати і положення ди-сертаційної роботи представлялися, доповідалися та обговорювалися на таких конференціях: Всесоюз. научн.-технич. конф. “Динамические режимы работы электрических машин и электроприводов” (Грозный, 1982); Всесоюз. наук.-техн. конф. “Теоретичні і прикладні питання розробки й експлуатації САПР РЕА” (Львів, 1986); Всесоюз. научн.-технич. конф. “Динамические режимы работы электрических машин и электроприводов” (Каунас, 1988); Респуб. наук.-техн. конф. “Перспективи розвитку електромашинобудування на Україні” (Харків, 1988); Всесоюз. научн.-технич. конф. “Современные проб-ле-мы электромеханики (к 100-летию изобретения асинхронного двигателя)” (Москва, 1989); Всесоюз. научн.-технич. конф. “Интелектуальные электро-дви-га-тели и экономия электроэнергии” (Суздаль, 1991); Респуб. наук.-техн. конф. “Роз-роблення і дослідження ресурсозберігаючих технологій у текстильному вироб-ництві” (Київ, 1992); Україн. наук.-техн. конф. “Моделювання й дос-лід-жен-ня стійкості систем” (Київ, 1994); Наук.-техн. конф., присвяченій 100-річчю Т.П Губенка (Львів, 1996); Конф. НАН України, Ін-т електродинаміки “Моделі та методи комп’ютерного аналізу електричних кіл та електромеханічних сис-тем” (Львів, 1998); International Conference on Modelling & Simulation MS’2001 (Львів, 2001); International Modelling School of AMSE-UA (Алушта, 2001); 7-th International Modelling School of AMSE-UA (Алушта, 2002); Міжн. конф. “Математичне моделювання в елек-тро-тех-ніці, елек-троніці та електроенергетиці (ММЕ’03)” (Львів, 2003); Міжн. конф. по математ. моделюв. (Херсон-Лазурне, 2003); Наук. семінар Центру математ. мо-делюв. Інсти-туту прикладних проблем механіки і математики ім. Я.С.Підстригача НАН України (Львів, 2003); наук.-техн. конф. та семінари Національного уні-вер-си-тету “Львівська політехніка” (1982-2000 рр.)
Публікації. За темою дисертації опубліковано 36 наукових праць. Серед них 21 праця у фахових виданнях, 4 депоновані статті, 11 тез до-повідей на кон-фе-рен-ціях.
Структура і обсяг дисертації. Дисертаційна робота складається із всту-пу, шести розділів, висновків, списку використаних джерел, що включає 247 най---менувань та 3 додатки. Загальний обсяг роботи становить 335 сторінок, в то--му числі 256 сторінок основного тексту і 54 сторінки ілюстрацій.
ОСНОВНИЙ ЗМІСТ РОБОТИ
У вступі обґрунтовано актуальність теми дисертаційної роботи, сфор-му-льо-вано мету і задачі досліджень, наукову новизну, практичну значимість, по-да-но короткі анотації розділів дисертації.
У першому розділі на основі огляду літературних джерел розкрито стан проблем, пов’язаних із математичним моделюванням різноманітних елек-тро-технічних пристроїв і розрахунком електромеханічних процесів, що в них про-тікають (скорочено: математичне моделювання електромеханічних про-це-сів). По-тужність таких пристроїв складає від міліват до сотень мегават. Об-ласті їх зас-тосування різноманітні: від мініатюрних давачів у навігаційних прис--троях до крупних турбогенераторів в енергосистемах. Із множини цих прис--троїв роз-гля-нуто найбільш складні, якими є електричні машини.
Дослідження існуючих і проектування нових електротехнічних пристроїв пе-редбачає виконання таких етапів як розрахунок ус-та-лених і перехідних про-це-сів, визначення статичної стійкості і параметричної чут-ливості.
Математичні моделі існуючих пристроїв є диференціальні рів-няння з коефі-цієнтами само- і вза-ємо індуктивностей похідних шуканих змінних за часом. Приведення таких рівнянь до нормальної форми у процесі їх ін-тег-ру-ван-ня спряжене з виконанням трудомісткої операції обер-тан-ня мат-риці кое-фі-ці-єн-тів, що зумовлює значне зростання об’єму об-числень, збільшує зат-ра-ти ком-п’ю-тер-ного часу, знижує точність.
Крім того, традиційні математичні моделі електротехнічних пристроїв не-п-ри-датні для описування складних електромеханічних систем, до складу яких во-ни входять.
Поверхневі явища в струмопроводах традиційно враховуються лан-цю-го-ви--ми схемами. Такий підхід неадекватно відтворює фізичний процес, обу-мов-лює зростання порядку системи рівнянь і її жорсткості. Цим пояснюється кра-й-ня необхідність у розробці концепції поєднання ме-тодів теорії елек-т-ро-маг-ніт-них кіл і електромагнітного поля і створенні на її ос-нові якісно нових типів ма-те-матичних моделей електричних машин.
Огляд літературних джерел, присвячений методам розрахунку усталених періодичних процесів, показує, що всі існуючі методи є методами позачасової об--ласті і жоден з них непридатний для аналізу електромеханічних процесів, в яких, крім електромагнітних змінних, до числа невідомих належить кутова швид--кість переміщення контурів. Усі традиційні методи позбавлені критеріїв точ---ності, бо на тому чи іншому етапі розрахунку включають в себе суб’єк-тив-ний фактор – вибір числа точок на періоді (точковий метод), вибір чис--ла гармонік в рядах Фур’є (метод гармонійного балансу), тощо. Ці методи склад-ні в алгоритмічному використанні й не підпорядковані ідеології по-будови єди-ного ма-тематичного апарату для розрахунку усіх чотирьох етапів ана-лізу.
Сучасні ме-то-ди нелінійної електротехніки базуються на єдиних засадах те-орії нелінійних ди-ференціальних рівнянь. Це методи часової області, бо тіль-ки так можна по-бу-ду-вати адекватні фізичному процесу математичні моделі, які опе--рують реаль-ни-ми фізичними величинами. Розрахунок усталеного процесу, виз--начення його стій-кос-ті, а також аналіз чутливості ґрун-туються на іден-тич-но-му математичному апараті.
Отже, в розділі обґрунтовано необхідність перегляду традиційних під-хо-дів до математичного моделювання в електромеханіці, розвинуто кон-цеп-цію і принципи побудови напівпольових моделей, розроблено метод визначення пе-рі-о-дич-них процесів, базуючись на моделі чутливості до початкових умов.
Другий розділ містить теоретичні засади роз-в’я-зан-ня основних проблем дисертації – створення концепції побудови ма-те-ма-тич-них моделей електро-тех-ніч-них пристроїв і розроблення методу прискореного по-шуку електро-ме-ха-ніч-них процесів.
Концепція побудови математичних моделей базується на теорії елек-тро-маг-нітних кіл, в яких до числа невідомих належать електричні стуми та маг-ніт-ні потоки, електричні та магнітні напруги. Першою вдалою спробою ви-ко-рис-тан-ня теорії електромагнітних кіл було введення поняття диференціальних ін-дук-тивностей. Суть цього підходу полягає в тому, що з загальної системи не-лі-ній-них диференціальних рівнянь стану виключають рівняння магнітного суб-ко-ла і результат диференціюють за часом. Коефіцієнтами отриманих рівнянь бу-дуть диференціальні само- і взаємо індуктивності. На такому підході по-бу-до-ва-ні всі існуючі математичні моделі електротехнічних пристроїв. Їх недоліком є необ-хідність визначення великої кількості диференціальних параметрів і склад-ність запису рівнянь у нормальній формі Коші, що зумовлює ускладнення обчис-лювального процесу.
Ці труднощі зникають, якщо з загальної системи нелінійних диферен-ці-аль-них рівнянь стану виключити рівняння електричного субкола, після чого про-диференціювати результат по часу. Коефіцієнтами цих рівнянь є без-роз-мірні величини, а кількість рівнянь дорівнює кількості незалежних маг-ніт-них контурів, яка у більшості електротехнічних пристроїв незначна. Тому на прак-тиці завжди існує можливість запису системи нелінійних деференціальних рів-нянь стану магнітного субкола в нормальній формі Коші. Після цого рів-нян-ня електричного субкола до нормального виду зводяться автоматично, а кое-фі-ці-єнтами правих частин рівнянь будуть диференціальні магнітні опори. Від-сут-ність операції чисельного обертання матриці коефіцієнтів у процесі ін-тег-ру-ван-ня диференціальних рівнянь стану свідчить про більш високу точність і еко-но-мічність математичних моделей, побудованих на основі цієї концепції.
Основними типами отриманих математичних моделей є модель відносно по-токозчеплень (Y-модель) і модель відносно струмів (А-модель). Традиційну мо-дель з коефіцієнтами індуктивностей назвемо L-модель.
Не дивлячись на те, що всі моделі отримані при одних і тих самих до-пу-щен-нях, їх дискретний аналог при комп’ютерній реалізації визначає об’єм об-чис-лень і точність розрахунку. Тому принципам побудови математичних мо-де-лей належить важливе місце при розробленні нових моделей.
Самою досконалою є А-модель завдяки запису в нормальній формі і оперуванню фізичними змінними, що мають практичний інтерес.
Ш-?одель є базовою для переходу до А-моделі в теорії кіл і для ство-рен-ня напівпольових моделей у теорії поля.
Найменше придатною до чисельних методів є традиційна L-модель. Для приведення її до нормального виду, необхідно на кожному кроці ін-тег-рування здійснити перехід А = L-1.
Останнім часом для визначення періодичних розв’язків диференціальних рів-нянь застосовують методи часової області. До них належать методи по-бу-до-ви моделі чутливості до початкових умов, екстраполяційні та градієнтні. Ос-тан-ні є складними в алгоритмічній реалізації і рідко застосовуються на практиці. Екстра-поляційні методи у випадку систем диференціальних рівнянь високого по-рядку вимагають їх інтегрування на значному інтервалі часу і в цьому ви-пад-ку малоефективні. Найбільш перспективний серед них є метод побудови моделі чут-ливості. Його ідея полягає у визначенні таких початкових умов, які вик-лю-ча-ють перехідну реакцію і одразу дають періодичні розв’язки. Застосування цього методу до розв’язання задач електромеханіки тривалий час стримувала проб-лема визначення фундаментальної матриці (матриці монодромії), яка успіш-но розв’язана в дисертаційній роботі.
Динамічну модель об’єкта представимо у вигляді системи ди-фе-рен-ці-аль-них рівнянь
, (1)
де, , А(Х) – матриця коефіцієнтів, xi – змінні стану (i = 1, 2, . . . , n). Індекс t вказує на транспонування матриці. Надалі для ско-рочення матрицю-стовпчик будемо називати вектором.
Вектор початкових умов рівняння (1) позначимо X(0). Система рівнянь (1) при заданих початкових умовах X(0) становить задачу Коші.
Якщо праві частини системи (1) є Т-періодичними функціями, то її пе-рі-о-дич-ний розв’язок при будь-якому часі t задовольняє умові періодичнос-
ті
X(t) = X(t+T). (2)
Вирази (1), (2) становлять двоточкову Т-періодичну крайову задачу для сис-теми диференціальних рівнянь.
Для t = 0 представимо умову (2) у вигляді
. (3)
Вираз (3) називають рівнянням періодичності, або рівнянням цілі.
Необ-хід-но знайти такий розв’язок, при якому виконалась би умова (3). У такій постановці задачі початкові умови X(0) стають шуканими змінними і ар-гу-ментами рівняння періодичності (3). Для розв’язування системи нелінійних тран-сцентдентних рівнянь (3) скористаємося ітераційною формулою Нью-то-на, яка стосовно цієї системи має вигляд
. (4)
Вираз у квадратних дужках є якобіан системи рівнянь (3), тому для його виз-начення диференціюємо рівняння (3) по X(0)
, (5)
де E – одинична матриця;
. (6)
Матрицю (6) називають фундаментальною, або матрицею монодромії. Її еле-менти знайдемо з рівнянь першої варіації, які отримуємо диференціюванням рівняння (1) по X(0)
. (7)
У практичних задачах електромеханіки матриця А(Х) є достатньо склад-ною, тому рівнянням (7) не можна скористатися при організації ітераційного про-цесу (4).
Вирішення цієї проблеми полягає в наступному. В електротехнічних прис-троях існує функціональний зв’язок між струмами (позначимо через Х) і по-токозчепленнями (позначимо через Y), який має вигляд
, (8)
де - вектор нових змінних.
Система диференціальних рівнянь для цих змінних буде такою
. (9)
Продиференціюємо залежність (8) по Х(0). Отримаємо при t = T
, (10)
де
; . (11)
Тут S(X(0), T) – матриця допоміжної моделі чутливості до початкових умов. Її елементи визначають з диференціальних рівнянь першої варіації, отри-ма-них диференціюванням рівняння (9) по Х(0)
. (12)
Вирази (10) і (12) свідчать про те, що в задачах електромеханіки матрицю мо-нодромії можна представити добутком матриці коефіцієнтів вихідної сис-те-ми диференціальних рівнянь на матрицю додаткової моделі чутливості, еле-мен-ти якої легко визначити з диференціальних рівнянь першої варіації допоміжної сис-теми рівнянь.
Отже, в другому розділі розвинуто і досліджено концепцію поєд-нан-ня методів теорії електромагнітного поля та теорії електромагнітних кіл по-бу-до-ви математичних моделей електротехнічних пристроїв, вирішено проблему ви-значення фундаментальної матриці, розв’язано двоточкову крайову задачу для системи нелінійних диференціальних рівнянь у часовій області, розроблено метод прискореного пошуку періодичних процесів електромеханічних при-строїв.
У третьому розділі на основі теоретичних положень другого розділу дос-лід-жено основні аспекти математичного моделювання стаціонарних елек-тро-ме-ха-нічних пристроїв із рухомими контурами зі змінною швидкістю. Най-по-ши-ре-ні-шими пристроями такого типу є асинхронні машини. Моделювання пе-рі-о-дич-них процесів асинхронних машин належить до важливих теоретичних проб-лем електромеханіки, причому принципового значення з точки зору зменшення об’єму обчислень і підвищення точності розрахунків набуває спосіб опи-су-ван-ня електромагнітного стану машини. Найбільш трудомісткою операцією число-во-го інтегрування систем нелінійних диференціальних рівнянь є розв’язування рів-нянь відносно похідних шуканих функцій. Усунення цієї проблеми можливе ли-ше при відмові від поняття індуктивностей контурів на користь їх по-то-ко-зчеп-лень.
Ідея розділення приростів потокозчеплення на суму доданків, якими є кое-фіцієнти само- і взаємоіндукції з наступним обчисленням кожного з них зо-кре-ма є невиправданою через те, що вона суттєво ускладнює описування фі-зич-но-го процесу.
У нелінійних системах функціональну залежність слід встановлювати, по можливості, між інтегральними величинами, а не між їх компонентами. При та-ко-му підході аналіз спрощується. Ця закономірність обумовлена відповідністю ме-тода аналізу фізичній суті процесу. Протилежний підхід приводить до необ-хід-ності обчислення коефіцієнтів, позбавлених фізичного змісту, до числа кот-рих належать і диференціальні індуктивності насиченої машини.
Виходячи з цих міркувань і принципів побудови математичних моделей, в дисертації розроблено моделі асинхронної машини в різних системах коор-ди-нат.
Y – модель в осях x, y, 0.
Рівняння напруг
, (13)
де Y, U, I – вектори напруг, повних потокозчеплень, струмів; W – матриця частот обертання; R – матриця опорів обмоток.
Рівняння струмів
, (14)
де – обернена матриця індуктивностей розсіяння; - вектор робочого по-токозчеплення.
Рівняння робочого потокозчеплення
, (15)
де – матриці зв’язку робочих і повних потокозчеплень
Рівняння руху
, (16)
де – число пар магнітних полюсів; J – момент інерції; iRx, iRy – струми ротора по осях x і y; – статичний момент на валу.
А – модель в косогональних координатах.
Рівняння напруг
, , (17)
де А – матриця коефіцієнтів.
Рівняння руху
, (18)
де індекси SA, SB означають належність до фаз А і В статора.
Покажемо практичне використання розроблених математичних моделей і ме-тоду прискореного пошуку усталених електромеханічних процесів асин-х-рон-но-го мотора на прикладі його А–моделі.
У відповідності з рівняннями (13), (17), (18) утворимо вектори
; .
Матрицю монодромії представимо у вигляді (10)
,
де ;.
Елементи матриці S дорівнюють
; .
Варіаційні рівняння для обчислення z і w отримаємо диференціюванням першого рівняння (17) і (18) по X (0). Відповідно отримаємо
, (19)
.
(20)
Рівняння (17) – (20) підлягають сумісному інтегруванню на ін-тер-валі часу від 0 до Т.
На рис. 1 та рис. 2 показано розрахункові криві, відповідно, струму фази А ста-то-ра і кутової швидкості у перехідному процесі мотора А12-52-8А при но-мі-на-ль-но-му навантаженні. Вони ілюструють, по-перше, можливість при-ско-ре-ним ме-то-дом отримати перехідний процес, і, по-друге, недоцільність роз-ра-хо-ву-вати ус-талений процес, як границю, до якої прямує перехідний, через його довготривалість. Крім того, таким способом неможливо знайти усі стійкі й нестійкі ре-жи-ми у випадку, коли рівняння стану мають многозначні розв'язки.
На рис. 3 та рис. 4 показано ті ж самі змінні того ж мотору на 1-й, 3-й, 5-й іте--ра-ці-ях формули Ньютона, що призвели до стійкого усталеного елек-т-ро-ме-ха-ніч-ного про-цесу, про що свідчить значення кутової швидкості ? = 311 ел. рад/с. Зона при-тягання стійкого режиму отримана завдяки вибору початкових умов – ну-льо-вих струмів і синхронної швидкості ( = 314 ел. рад/с).
На рис. 5 та рис.6 ті ж самі змінні отримано прискореним методом на семи іте-ра-ці-ях у нестійкому усталеному періодичному процесі, до якого призвели нульові по-чаткові умови, тобто , = 0 ел. рад/с.
Мультиплікатори матриці, що відповідають стійкому ре-жи-мові, дорівнюють: ; ;
. При нестійкому режимі ; ; . Значення свідчить про не-с-тійкість режиму, що підтверджує значення кутової швидкості 101 ел. рад/с,значно менше критичної швидкості даного мотора.
Методом побудови моделі чутливості до початкових умов отримано стійкі й нестійкі усталені електромеханічні процеси електротехнічних прис-т-ро-їв з єм-но-стями, включеними в їх контури, на прикладі конденсаторних асин-хрон-них мо--торів. По--рівняння з експериментальними даними підтвердили ви-со-ку точність і еко-но-мічність прискореного методу.
При розв’язанні задач електромеханіки до числа невідомих, крім елек-т-ро-маг-нітних величин, належить кутова швидкість. Фізичне описування таких про-це-сів відповідає прийнятим допущенням і постановка крайової задачі для сис-те-ми диференціальних рівнянь є коректною. Проте спроба розв’язати її ме-то-дом побудови моделі чутливості наштовхується на серйозні труднощі, при-хо-ва-ні у формально правильно отриманих матричних рівняннях першої варіації. Вия-вилось, що тут необхідно оперувати просторовими матрицями. В теорії кіл на цю обставину не було потреби звертати увагу, оскільки це не впливало на об-числювальний процес. У задачах електромеханіки просторова орієнтація мат-риць набуває принципового значення і нехтування нею приводить до невірних ре-зультатів. Проте така орієнтація субматриць варіаційних рівнянь не ус-клад-нює, а, навпаки, спрощує процес обчислень.
Наведемо об’ємну структурну схему рівняння (19)
.
Отже, в розділі розроблено математичні моделі асинхронних машин у різ-них системах координат, які використано для дослідження періодичних про-це-сів різних режимів роботи. Метод прискореного пошуку узагальнено на ви-па-док неоднозначних періодичних процесів. Показано єдність алгоритму роз-ра-хун-ку періодичних процесів і визначення їх статичної стійкості.
Четвертий розділ присвячено моделюванню пе-рі-о-дич-них процесів елек-тро-технічних пристроїв із рухомими контурами заданої швидкості. Серед мно-жи-ни таких пристроїв, які використовуються в якості дже--рел електроенергії, ме-ханічних приводів, керуючих пристроїв, пе-рет-во-рю-ва--чів і приймачів сиг-на-лів важливе місце займають синхронні машини. Тому ви---бір їх в якості об'єктів ма-тематичного моделювання є логічний.
Прискорений пошук вимушених періодичних процесів синхронних ма-шин порівняно з асинхронними звужується до аналізу електромагнітних про-це-сів, оскільки кутова швидкість обертання ротора заздалегідь відома – син-хронна.
Математичні моделі обох типів машин (синхронних і асинхронних) пов-ніс-тю уніфіковані. Це дає змогу записати їх у єдиній формі (17), а значить мо-де-лі чутливості до початкових умов обох типів машин зводяться до спільного вигляду (10).
У роботі розглянуто більш складну задачу, коли в контури синхронної ма-шини вклю-чена ємність. Як приклади вкажемо, що лінії електропередач зав-ж-ди ма-ють ємність, конденсатори часто вмикають у коло машини для фор-му-ван-ня нео-б-хід-них характеристик, ударні генератори, компенсатори та інше.
У нелінійних колах з рухомими контурами явище резонансу невіддільне від явища самозбудження. Їх єдність пояснюється загальністю фізичної при-ро-ди, а саме – параметричним походженням обох видів резонансу.
Розглянемо розрахунок ферорезонансних режимів насичених синхронних ма-шин методом побудови моделі чутливості до початкових умов.
У правих частинах рівнянь стану синхронної машини з ємністю в колі ста-тора з'явиться ще один доданок – напруга на конденсаторах
; , (21)
а саму систему рівнянь необхідно доповнити рівнянням конденсаторів
, (22)
де – матриця ємностей.
Сформуємо вектори Х і Y:
; .
Матриці-множники і S матриці монодромії є такими
,
де .
Варіаційні рівняння для обчислення z i v мають вигляд
; . (23)
Інтегруванню на періоді Т підлягають рівняння (21), (22), (23).
Наведемо деякі результати розрахунків прискореним методом одного з най-більш важких режимів роботи синхронного генератора – двофазне вклю-чен-ня на ємність при обриві третьої фази. Відсутність демпферної обмотки сприяє посиленню не-симетрії ротора і тим самим посилює несиметрію режиму в ці-лому. Саме в та-кому режимі в найбільшій мірі проявляється і степінь насичення маг--ні-то-п-ро-воду, що суттєво впливає на процес самозбудження.
Вибір початкових умов визначає зону притягання стійких або не-стій--ких режимів. Так, початкові умови= –7 А, = –7 А, = 0 В да-ли змогу за 6 ітерацій формули Ньютона отримати перший стійкий пері-одичний ре--жим (рис. 7 - рис. 9). Якщо задатися початковими умовами = 0 А, = 0 А, = 0 В, то всього за дві ітерації попадаємо в зону притягання дру-гого стій-кого періодичного процесу (рис. 10 - рис. 12). Надавши по-чат-ковим умовам зна-чення = –27 А, = –21 А, = –1 В, от-ри-ма-ємо нестійкий ре-жим (рис. 13 - рис. 15). Порівняння струмів якоря син-хрон-ного ге-нератора до (крива 2), піс-ля самозбудження ( крива 1) і в нестійкому режимі (крива 3) наведено на рис. 16. Шля-хом варіації напруги збудження визначені границі са-мо-збудження: нижня гра-ни-ця відповідає напрузі 5 В, верхня –21 В.
Отже, в четвертому розділі показано можливість уніфікації математичних мо-делей синхронних і асинхронних машин, на підставі чого побудовано єдиний ал-горитм розрахунку їх періодичних процесів. Обґрунтовано застосування ме-то-ду по-будови моделі чутливості для розрахунку ферорезонансних харак-те-рис-тик і виз-начення границь стійкості.
П'ятий розділ містить теоретичний матеріал, необхідний для побудови напів-польових математичних моделей електричних машин. Обґрунтовано необ-хід-ність комплексного використання методів теорії електромагнітного поля і тео-рії електромагнітних кіл та створення на цій основі напівпольових моделей. Показано, що теорію електромагнітних кіл доцільно використовувати для вра-хування насичення сталі магнітопроводів, а теорію електромагнітного поля – для врахування поверхневого ефекту в струмопроводах.
Сформульовано двоточкову крайову задачу для сумісної системи не-лі-ній-них диференціальних рівнянь у повних похідних, що описують фізичний про-цес у статорі та в частинних похідних, що описують фізичний процес у ро-то-рі.
Доведено, що значно простіше визначати гра-ничні умови для векторів магнітного поля, ніж електричного. Тому останні ви-ключаються з рівнянь поля, формуючи їх відносно магнітних компонент. Ска-лярна форма такого рівняння в декартовій системі координат має вигляд
, . (24)
Крайові умови знаходимо з закону повного струму, враховуючи при цьо-му, що спадком магнітної напруги в сталі можна нехтувати і що вектор має ті-льки тангенціальну складову ( в декартових координатах). Тоді отримуємо
; . (25)
де і – струм провідника; а – ширина паза машини.
Рівняння (24) і граничні умови (25) становлять крайову задачу рівнянь електромагнітного поля.
Отже, в п’ятому розділі здійснено коректну постановку двоточкової Т-періодичної крайової задачі для просторово-часових рівнянь квазістаціонарного електромагнітного поля, обгрунтовано, що строге визначення граничних умов жоливе лише для векторів магнітного поля, які знаходять за законом повного струму.
У шостому розділі на основі концепції поєднання методів теорій електро--магнітних кіл й електромагнітного поля створено напівпольові ма-те-ма-тич-ні мо--делі електричних машин, які вигідно відрізняються від традиційних тим, що не-зважаючи на високу ступінь деталізації фізичного процесу, їх ди-фе-рен-ціальні рів-няння представлені в нормальній формі Коші. Ці моделі вра-хо-ву-ють на-си-чен-ня магнітопроводів, поверхневий ефект у струмопроводах, не-си-мет-рію кон-ту-рів статора і напруги живлення.
Для прямокутного струмопровода аналіз спрощується, тому що у вузь-ко-му і високому пазу утворюється плоска електромагнітна хвиля. Початок де-кар-то--вих координат розмістимо в пазу так, щоб вісь x сумістилась з його дов-жи-ною, а z – з висотою. Тоді вектори і дорівнюють
; ,
де – орти.
Оскільки це одновимірна просторова задача, то рівняння (24) приймає виг-ляд
, (26)
а граничні умови (25) знаходимо згідно з
; . (27)
Тут h – висота паза. Напруженість електричного поля визначається через напруженість маг-ніт-ного формулою
. (28)
Маючи значення на поверхні паза, напругу струмопровода зна-хо-ди-мо за виразом
. (29)
Як видно з (29), інтегральною характеристикою поверхневого ефекту є нап--руга на досліджуваній ділянці, рівна добуткові напруженості елек-трич-но-го поля на його поверхні на довжину струмопроводу.
Рівняння поля (26) необхідно привести до рівнянь статора за частотою. В ре-зультаті перетворення координат рівняння (26) набуває вигляду
;
. (30)
Напівпольову математичну модель глибокопазного асинхронного мо-то-ра з врахуванням насичення магнітопроводу й поверхневого ефекту у стру-мо--проводах ротора утворюють диференціальні рівняння (17), (18), (30).
Для отримання періодичних розв'язків системи нелінійних ди-фе-рен-ці-аль-них рівнянь (17), (18), (30) методом побудови моделі чутливості до по-чат-ко-вих умов, утворимо вектори X i Y, які в цьому випадку дещо ус-кла-д-ню-ються
; .
Матриця монодромії (10) тут буде мати вигляд добутку, матриці-спів-множ--ники якої є
; , (31)
де ; ; ; . (32)
Варіаційні рівняння для обчислення субматриць (32) матриці до-дат-ко-вої моделі чутливості (31) одержуємо диференціюванням по вектору шуканих по-чат-кових умов X(0) рівнянь електромеханічного стану (17) і рів-ня-нь ква-зі-ста-ці-о-нарного електромагнітного поля (30). Отримаємо
; (33)
(34)
(35)
(36)
На k-й ітерації формули Ньютона сумісному інтегруванню на інтервалі ча-су від 0 до Т
