НАЦІОНАЛЬНИЙ ТЕХНІЧНИЙ УНІВЕРСИТЕТ УКРАЇНИ

"КИЇВСЬКИЙ ПОЛІТЕХНІЧНИЙ ІНСТИТУТ"

БРИКУН Наталія Антонівна

УДК 681.513

ДОСЛІДЖЕННЯ СТРУКТУРНО-ДИНАМІЧНИХ ВЛАСТИВОСТЕЙ

АВТОМАТИЧНИХ СИСТЕМ

ІЗ БАГАТОЗВ’ЯЗНИМИ КЕРУЮЧИМИ ПІДСИСТЕМАМИ

05.13.03. – "Системи та процеси керування"

АВТОРЕФЕРАТ

дисертації на здобуття наукового ступеня

кандидата технічних наук

Київ-2004

Дисертацією є рукопис.

Робота виконана у відділі "Інформаційних технологій індуктивного моделювання" Міжнародного науково-навчального центра Інформаційних технологій та систем Міністерства освіти і науки України та НАН України

Науковий керівник – | Доктор технічних наук Степашко Володимир Семенович, Міжнародний науково-навчальний центр інформаційних технологій та систем НАН України та Міністерства освіти і науки України, завідувач відділу "Інформаційних технологій індуктивного моделювання".

Офіційні опоненти: |

Доктор технічних наук, професор Бідюк Петро Іванович, Навчально-науковий комплекс "Інститут прикладного системного аналізу" Міністерства освіти і науки України та НАН України при НТУУ "КПІ", провідний науковий співробітник відділу математичних методів системного аналізу,

Кандидат технічних наук, старший науковий співробітник Харченко Ігор Іванович, Київський національний університет імені Тараса Шевченка, доцент кафедри Моделювання складних систем факультету кібернетики.

Провідна установа – | Інститут космічних досліджень НАН України та НКАУ

Захист відбудеться 16 ” лютого 2004 р. о 15 годині на засіданні спеціалізованої Вченої ради Д 26.002.03 при НТУУ "КПІ" за адресою: 03056, Київ, пр. Перемоги, 37, корпус № 35, аудиторія №006.

З дисертацією можна ознайомитись в науково-технічній бібліотеці НТУУ "КПІ" за адресою: 03056, Київ, проспект Перемоги, 37.

Автореферат розісланий ” 16 ” січня 2004 р.

Вчений секретар

спеціалізованої Вченої ради Д 26.002.03

д.т.н., професор Новіков О.М.

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальність теми. Однією з основних задач теорії автоматичного керування є компенсація невимірюваних зовнішніх (сигнальних) та внутрішніх (параметричних) збурень, що діють на об’єкт керування. Незважаючи на тривалу історію та велику кількість публікацій з цієї проблеми, деякі питання синтезу та аналізу систем керування (навіть у лінійному випадку для об’єкта з однією керованою величиною) залишилися невирішеними.

При синтезі керування об’єктами, на які діють невимірювані зовнішні та внутрішні збурення, перспективним є підхід, що базується на використанні багатозв’язних керуючих підсистем (БКП) у контурі від’ємного зворотного зв’язку. З цим підходом пов’язані роботи, що проводилися ще в 40-х роках І.І.Гальперіним, у 60-х роках Дж.Пірсоном, у 90-х роках Б.В.Улановим, В.С.Антончиком, В.І.Васильєвим та Ф.А.Шаймардановим. Результати таких досліджень були узагальнені Л.М.Бойчуком і названі динамічним домінуванням регулятора.

Найбільший ефект регулювання теоретично може бути отриманий, якщо БКП, побудовані за принципом динамічного домінування, задовольняють також умові Г.В.Щипанова стосовно виродженості матриць динамічних та статичних взаємозв’язків, яку названо умовою абсолютної інваріантності. Сам принцип інваріантності прийнятий з обмеженням, що в класі систем керування за відхиленням для об’єкта з однією регульованою величиною не можна розв’язати задачу повної компенсації. І до цього часу вважається, що для інваріантності в таких системах необхідно пряме або непряме вимірювання збурень.

Л.М.Бойчуком було поставлене питання про необхідність самостійного вивчення вироджених систем, як умови розв’язання проблеми інваріантності. Ним було введено поняття структурно-динамічної виродженості, коли матриці регулятора є зовнішнім добутком власних векторів. Результати, які були отримані Л.М.Бойчуком, показують, що і в класі систем керування для об’єкта з однією регульованою величиною можна побудувати регулятор, який забезпечує її незалежність від невимірюваних збурень (як зовнішніх, так і внутрішніх), замінивши умову параметричної виродженості (яка досліджувалася Г.В.Щипановим), умовою так званої повної (структурно-динамічної) виродженості.

Зв’язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Робота виконана у відповідності з планом робіт МННЦ ІТС. Матеріали дисертації отримані в рамках досліджень за темою “Розробка теоретичних основ та методів структурно-динамічного аналізу і синтезу багатозв’язних систем” (затв. Постановою Бюро відділення інформатики НАН України від 28.04.2001, протокол №8), що проводилися в Міжнародному науково-навчальному центрі Інформаційних технологій та систем.

Мета і задачі дисертаційного дослідження. Метою дисертаційної роботи є структурний синтез робастного регулятора та дослідження структурно-динамічних властивостей систем керування із багатозв’язними керуючими підсистемами, що мають різні ступені виродженості, для розв’язання задач стабілізації за дії невимірюваних збурень.

Для досягнення цієї мети, в дисертації розв’язуються такі задачі:

-

-

-

-

-

Об’єктом дослідження є автоматичні системи із багатозв’язними керуючими підсистемами різного ступеня виродженості в умовах дії невимірюваних збурень.

Предметом дослідження є методи синтезу та аналізу автоматичних систем для задачі стабілізації регульованої величини об’єкта керування в умовах дії невимірюваних збурень.

Методи дослідження. Поставлені задачі розв’язуються за допомогою методів теорії автоматичного керування, теорії стійкості, теорії диференціальних рівнянь, лінійної алгебри. Чисельні розрахунки проведені в середовищах Matlab, Maple та Mathcad з написанням спеціальних програмних модулів для аналітичного (алгоритм Левер’є-Фаддєєва) та чисельного (неявна схема інтегрування Ейлера та метод ортогоналізації Грамма-Шмідта) розв’язування систем рівнянь.

Наукова новизна одержаних результатів. Наукове значення даної роботи полягає у дослідженні структурно-динамічних властивостей систем автоматичного керування із БКП різного ступеня виродженості, а саме:

1.

2.

3.

Практичне значення одержаних результатів полягає в наступному:

1.

2.

3.

4.

Особистий внесок здобувача. Всі результати, що складають основний зміст роботи, отримані автором самостійно. В працях, написаних у співавторстві, здобувачеві належать: [2] – чисельне дослідження взаємозв’язку між керуванням та невимірюваними збуреннями; [4] – структура розв’язків операторних рівнянь замкненої системи високих порядків, поліноміальне представлення приєднаної матриці та визначника БКП різних ступенів виродженості; [5] – розробка методики і програмного забезпечення для аналізу властивостей систем керування та оцінки робастності, аналітичне та чисельне дослідження властивостей систем із відомими схемами керування та з динамічно домінуючим регулятором різного ступеня виродженості; [6] – чисельне моделювання інваріантних схем керування; [8] – дослідження впливу розмірності регулятора на якість та стійкість перехідних процесів; [9] – аналітичне та чисельне дослідження системних явищ; [2, 4-5, 8-9] – чисельні розрахунки.

Апробація наукових результатів. Основні результати дисертаційної роботи апробувалися на 5 міжнародних конференціях: міжнар. конференції “Dynamical systems modelling and stability investigation” (Київ, 1999 р.); міжнар. конференції “Dynamical systems modelling and stability investigation” (Київ, 2001 р.); міжнар. конференції з управління “Автоматика-2000” (Львів, 2000 р.); міжнар. конференції з управління “Автоматика-2001” (Одеса, 2001 р.); міжнар. конференції з управління “Автоматика-2002” (Донецьк, 2002 р.); а також багаторазово на наукових семінарах “Моделювання еколого-економічних систем на базі нових інформаційних технологій” Наукової ради з проблеми “Кібернетика” (Київ, 1999-2003 рр.), на наукових семінарах в Інституті прикладного системного аналізу при НТУУ “КПІ”, (Київ, 2002-2003 рр.), на науковому семінарі “Дискретні системи керування” в Інституті космічних досліджень, (Київ, 2003 р.)

Публікації. За результатами проведених досліджень опубліковано 9 наукових праць, з них 5 статей у фахових виданнях і збірниках.

Структура і об’єм дисертаційної роботи. Дисертація складається зі вступу, чотирьох розділів, висновків, списку використаних джерел, що містить 79 бібліографічних посилань та 5 додатків. Повний обсяг дисертації становить 157 сторінок друкованого тексту, із них 129 сторінок основного тексту, містить 111 рисунків та 6 таблиць.

Основний зміст роботи

У вступі викладено загальну характеристику роботи, обґрунтовано її актуальність, сформульовано мету та основні задачі досліджень, наукову новизну роботи і практичну цінність отриманих результатів, подано короткий зміст дисертаційної роботи.

У першому розділі дисертаційної роботи розглядається задача стабілізації регульованої величини лінійного об’єкта, що описується диференціальним рівнянням n1 порядку:

а1(р)х1(р)=u1(р)+f1(р), а1(р)=а0рn1+а1рn1-1+...+аn1,

де х1(р) та u1(р) – операторні відображення регульованої величини та керуючого впливу відповідно, f1(р) – операторне відображення невимірюваного зовнішнього збурення, що діє на вході об’єкта, р=d/dt – оператор диференціювання. При цьому а1(р) поліном змінної р, коефіцієнти якого є невідомими і зміна яких розглядається як внутрішні збурення об’єкта. Необхідно стабілізувати регульовану величину за дії невимірюваних збурень:

х1(?)=Ш1,

де Ш1 – завдання. При цьому накладаються такі вимоги: (1) порядок об’єкта n1 відомий; (2) невідомі параметри об’єкта аі обмежені за амплітудою: |аі|=const; (3) невимірюване збурення f1(t) діє на вході об’єкта і є обмеженою функцією часу: |f1(t)|?соnst; (4) відсутність транспортного запізнення в об’єкті; (5) відсутність завад при вимірюванні х1(t). Для забезпечення достатньо гладкого пуску системи (без “стрибків” керування) завдання звичайно подають на вхід спеціального динамічного фільтра (задавача інтенсивності):

Ш1(р)= Ш1/m(p), Ш1(?)=Ш1,

де m(р)=mn1рn1+mn1-1рn1-1+…+1 – поліном, що має порядок n1.

Огляд схем керування показав, що можна виділити декілька підходів до розв’язання поставленої вище задачі: “традиційний”, “компенсаційний” та динамічне домінування.

“Традиційним” методом зняття впливу невимірюваних збурень є підсилення сигналу від’ємного зворотного зв’язку. Цей принцип використовується в П-, ПІ-, ПІД-регуляторах, багатоконтурних (М.В.Меєров) та багатоканальних (П.Ф.Осмоловський, Б.І.Кузнєцов) схемах керування.

“Компенсаційному” підходу відповідають схеми керування, які направлені на компенсацію прямих та зворотних зв’язків у структурі об’єкта за допомогою його “обернених” моделей у прямому контурі керування, чи “прямих” моделей у контурі зворотного зв’язку. Сюди можна віднести вимірювання точних (Л.М.Бойчук, П.Д.Крутько) чи інерційних (А.С.Востриков) вищих похідних регульованої величини, пряме чи непряме (О.Г.Івахненко) вимірювання збурень.

Аналіз систем керування, які забезпечують високу точність, показав, що вони є різнотемповими (В.Д.Романенко, В.Д.Юркевич, А.С.Востриков), і процеси в регуляторі відбуваються швидше, ніж в об’єкті.

Найбільш перспективним підходом до керування об’єктами, на які діють невимірювані збурення, є динамічне домінування регулятора. Сутність його (за Л.М.Бойчуком) така: при включенні в контур від’ємного зворотного зв’язку будь-якої інерційної БКП, порядок якої рівний чи перевищує порядок об’єкта, динаміка процесів у замкненій системі, за умови стійкості, у значній мірі буде визначатися властивостями саме цієї керуючої підсистеми. Л.М.Бойчуком показано, що у випадку структурної виродженості БКП і за відсутності резонансів, регульована величина теоретично є інваріантною до дії невимірюваних збурень.

Розглянемо структурний підхід до синтезу керування, коли регулятор розглядається як згортка з векторів налагодження та вектора вихідних величин багатозв’язної керуючої підсистеми (рис. 1), де 1(p) – операторне відображення похибки регулювання.

Багатозв’язна керуюча підсистема описується диференціальним рівнянням першого порядку:

А22(р)х2(р)=u2(р), А22(р)=Т22р+А22, dim х2(p)=dim u2(p)= n2.

В системі закладено такий закон керування:

u1(р)=k12Т(р)х2(р), u2(р)=k21(Ш1(р)-х1(р)), k12 Т(р)=с12Т+k12Т.

У цій формулі ланка р/(?р+1) вказує на те, що використовується реальний (інерційний) диференціатор. Таке структурне подання регулятора через вектори налагодження та БКП можна застосувати і до відомих систем керування.

Якщо БКП є невиродженою, то вона має приєднану матрицю та визначник: В22(р)adj A22(p), ?22(p) det A22(p). Тоді передавальна функція синтезованого регулятора є такою: Wr=?’’(р)/?22(р), де поліном ?’’(р)=k12Т(р)В22(р)k21 названо структурним коефіцієнтом підсилення.

В цьому разі рівняння замкненої системи мають такий матричний вигляд:

,

а структурна схема системи керування подана на рис. 2.

Для операторних рівнянь автоматичної системи з невиродженою БКП знайдено структуру їх розв’язків:

.

Звідси отримуємо такі вирази для регульованої величини та керування:

x1(p)=[f1(p)?22(p)+?”(p)Ш1(p)]/?(p),

u1(р)=?”(p)[-f1(p)+a1(p)Ш1(p)]/?(p),

?(р)= ?’(р)+?’’(р), ?’(p)=a1(p)?22(p),

де ?(р) – характеристичний поліном замкненої системи.

Виходячи із приведених вище виразів, легко записати умову, яка накладається на структурний коефіцієнт підсилення, і є необхідною умовою керованості: ?”(р)?0. За її невиконання регульована величина не залежить від завдання, а керування в системі відсутнє. За виконання цієї умови, з аналізу виразу для вихідної величини, робимо висновок, що вплив збурень на вихідну величину залежить від визначника багатозв’язної керуючої підсистеми і є тим меншим, чим меншим є цей визначник. Якщо ?22(р)=0, то регульована величина є астатичною, а за ?22(р)?0 – інваріантною, повністю незалежною від дії невимірюваних збурень.

Досліджено структурно-динамічну властивість від’ємного зворотного зв’язку щодо компенсації невимірюваних збурень у системах автоматичного керування. Показано, що наявність цього зв’язку дозволяє досягти не тільки високої точності регулювання, а, перш за все, автоматично частково компенсувати вплив невимірюваних збурень. При цьому керування в замкненій системі змінюється приблизно у протифазі до зовнішнього, і приблизно у фазі до внутрішнього невимірюваних збурень, а з ростом коефіцієнта підсилення має скінчене значення.

На рис. 3 зображені графіки перехідних процесів у автоматичній системі за дії невимірюваних збурень, де f1(t) і а1(t) – збурення, дія яких моделюється, 1(t) – похибка, u1(t) – керування. При цьому на інтервалі t[0, 10) моделюється пуск системи, а при t[10, 20] моделюється вплив невимірюваних збурень.

Вище вже зазначалося, що вплив збурень на регульовану величину прямо пропорційний визначнику БКП. Тому проведено структурну класифікацію схем керування, виходячи зі ступеня виродженості БКП. Маємо три випадки: невиродженість: ?22(р)0; неповна виродженість: ?22(р)=0; повна виродженість: ?22(р)?0. Таку класифікацію застосовано до відомих схем керування, результати якої подано у вигляді таблиці.

Таблиця 1.

Класифікація відомих схем керування за ступенем виродженості БКП

Ступінь виродженості БКП | Регулятор | Невиродженість | Пропорційний | Схема Меєрова | Інерційне вимірювання вищої похідної Ітераційна структура схеми керування | Неповна виродженість (астатичні) | ПІ | ПІД | ПІ з інерційним диференціатором (ПІДІ) | Повна виродженість (інваріантні) | Інерційний підсилювач із додатним зворотним зв’язком | Поставлено задачу структурно-динамічного аналізу систем керування, який передбачає визначення, як структурні властивості БКП (ступінь виродженості) впливають на динамічні властивості замкненої системи (точність та якість компенсації збурень, робастність). Зауважимо, що з точки зору аналізу систему автоматичного керування потрібно розглядати як багатозв’язну систему, що містить дві динамічні ланки (об’єкт та регулятор), має два входи (завдання та зовнішнє збурення) і два виходи (регульована величина та керування). Тому поряд зі зміною регульованої величини відслідковуємо чи допустимі значення приймає керування, чи не містить ?-функції.

У другому розділі проведено порівняльний аналіз відомих методів та схем синтезу систем керування (табл.1) з аналітичним та чисельним дослідженням їх властивостей з точки зору структурної характеристики – ступеня виродженості БКП.

Для аналізу точності та якості перехідних процесів, оцінки робастності розроблено відповідні методики. В останньому випадку система досліджується на стійкість за алгебраїчним критерієм, що базується на інформації про коефіцієнти характеристичного полінома замкненої системи і має вигляд:

,?(р)=.

Щоб проаналізувати вплив параметра на стійкість, обчислюємо ?, як функцію від цього параметра. Значення, за яких ?(0,1) утворюють область стійкості.

З аналізу розглянутих відомих методів та схем побудови керування випливає, що, по-перше, при синтезі регулятора бажано не використовувати вимірювання похідних регульованої величини. По-друге, потрібно якомога ближче наблизити визначник БКП до нуля, але зробити це таким чином, щоб зміна параметрів регулятора не впливала на цей визначник.

У третьому розділі на основі проекційного розкладу матриць БКП сформульовано алгоритм синтезу динамічно домінуючого регулятора. Потім проведено аналітичний та чисельний синтез і структурно-динамічний аналіз властивостей систем із БКП різних ступенів виродженості.

Розглянуто проекційне подання матриць динамічних та статичних взаємозв’язків БКП, коли кожна матриця є зваженою сумою проекторів, побудованих на її власних векторах:

Т22=, Si=miniT, A22=, Рі=qiviT,r1 rank T22, r2rank A22,

де і, лі – власні числа, Si, Pi – проектори, mi, qi – власні праві, niT, viТ – власні ліві вектори відповідних матриць. Ступені виродженості БКП пов’язані з рангами та розмірностями цих матриць таким чином :

-

-

-

Розроблено алгоритм структурного синтезу динамічно домінуючого регулятора на основі проекційного розкладу матриць БКП. Він складається із 7 кроків.

1.

2.

підбираємо 2n2 власних векторів розмірності n2х1.

3.

4.

5.

6.

7.

Показано чисельно, що розширення багатозв’язної керуючої підсистеми дає можливість збільшувати усталене значення структурного коефіцієнта підсилення, яке, за невиродженості БКП, і визначає якість перехідних процесів. На рис. 4 подано графік, що ілюструє, як зі збільшенням розмірності БКП зростає усталене значення структурного коефіцієнта підсилення (?’’(?)).

У випадку невиродженості матриць БКП її передавальна функція має вигляд В22(р)/?22(р), де

В22(р)=рn2-1 В2, 0 + рn2-2 В2, 1 + … +В2, n2-1 , ?22(p)=pn2 ?0 + рn2-1?1 + … + ?n2.

Відмітимо, що остання має перший порядок, оскільки порядок її чисельника (deg B22(p)=n2-1) та знаменника (deg ?22(p)=n2) різняться на одиницю. Таким чином, регулятор є менш інерційним, ніж об’єкт і процеси в ньому відбуваються швидше (виконується умова А.С.Вострикова локалізації збурень). Але з “розширенням” БКП зростає порядок замкненої системи і для об’єктів високих порядків стає дуже важко отримати високу точність регулювання, не порушуючи умов стійкості.

На відміну від невиродженого випадку, за неповної статичної виродженості останні члени поліноміальних розкладів приєднаної матриці та визначника БКП дорівнюють нулю: В22(р)=В22’(р), ?22(p)= р?22’(р). Це забезпечує астатизм регульованої величини (завжди першого порядку), адже підсистема виступає як інтегратор. Але поява такої властивості одночасно призводить до погіршення стійкості системи. Якщо зробити БКП ще й динамічно виродженою, то нулю стають рівними і перші члени поліноміальних розкладів, за рахунок чого зменшується порядок замкненої системи і область стійкості суттєво збільшується.

За повної виродженості БКП найпростішим є випадок, коли матриці динаміки і статики є зовнішнім добутком двох власних векторів: r1=r2=1, А22(р)=mnT+qvT, ?22(р)?0. Тоді рівняння автоматичної системи, яка є неповністю виродженою, мають дещо інший розв’язок:

, ?(р)=k12Т(р)Р22k21.

У цьому випадку вирази для регульованої величини та керування є такими:

x1(p)=Ш1(p),u1(р)=-f1(p)+a1(p)Ш1(p).

Із них видно, що регульована величина є повністю інваріантною, а керування змінюється точно у протифазі до зовнішніх, і точно у фазі до внутрішніх невимірюваних збурень.

Характеристичний поліном такої системи завжди має перший порядок і співпадає зі структурним коефіцієнтом підсилення. Дослідження показали, що за повної виродженості БКП синтезовані системи є робастними до змін параметрів. Оскільки замкнена система є завжди першого порядку, то умови стійкості, керованості, відсутності резонансів можна виразити аналітично та зобразити графічно. При цьому вибір параметрів регулятора проводимо, виходячи тільки з цих умов, не використовуючи додаткові критерії.

За повної виродженості БКП її визначник, який є знаменником передавальної функції регулятора, дорівнює нулю. Це поки що вважається ознакою неможливості фізичної реалізації. Тому питання про втілення в “залізо” системи з таким регулятором, аналітичний і чисельний аналіз якої теоретично обіцяє повну інваріантність, залишається відкритим.

При структурному синтезі регулятора із БКП необхідним є виконання умов відсутності структурно-динамічних резонансів. Їх виникнення пов’язане зі збігом напрямків векторів налагодження та власних векторів матриць БКП. Аналітично та чисельно показано, що ці явища можуть привести до втрати основних властивостей системи по компенсації збурень. Так, за резонансу із власними векторами матриці статики, регульована величина може втратити властивість астатизму (за неповної виродженості БКП) чи інваріантності (за повної виродженості БКП), а у випадку зустрічного резонансу система втрачає керованість.

Четвертий розділ дисертаційної роботи присвячений розрахунку систем стабілізації. Для об’єктів другого та четвертого порядку проведено синтез та виконано порівняльний аналіз властивостей систем автоматичного керування, що побудовані за відомими методиками та з використанням динамічно домінуючого регулятора.

В якості модельного об’єкта другого порядку прийнято ланку а1(р)=mp2+dp+с. Для чисельного моделювання використано такі інтервали належності параметрів об’єкта: m(0;200], d[-10; 30], с[0; 10]. Задача полягає в стабілізації вихідної величини об’єкта на значенні одиниця: Ш1=1 на інтервалі часу t[0, 40]. При цьому за t[0, 20) відбувається пуск системи, а за t[20, 40] моделюється вплив різного типу невимірюваних збурень. На рис. 5 подано ”згладжене” завдання Ш1(р) та псевдовипадкове зовнішнє збурення f1(t).

Для порівняння використано стандартні схеми регулювання (П-, ПІ-, ПІДІ-регулятор) та динамічно домінуючий регулятор із неповністю виродженою БКП (ДД). При синтезі значення усталеного структурного коефіцієнта підсилення регулятора приймемо однаковим для всіх схем: ?’’(8)=200. Відмітимо, що в схемах ПІДІ та ДД для вимірювання похідної використано інерційний диференціатор р/(0.01р+1) із коефіцієнтом підсилення k=10. На рис. 6 подано структурні схеми стандартних регуляторів із прийнятими значеннями коефіцієнтів.

Проведемо синтез динамічно домінуючого регулятора з неповністю виродженою БКП. Оскільки порядок об’єкта n1=2, то розмірність БКП приймемо n2=2. Для власних векторів

m1=

та власних чисел 1=л1=1 маємо таку матрицю А22(р) та її характеристики:

А22(р)=, В22(р)=, ?22(р)=р.

Обираємо вектори налагодження k12Т(р) та k21. Відзначимо, що в цій схемі умову ?’’(8)=200 можна виконати при різних наборах векторів налагодження та матриць БКП. Покладемо:

k12Т(р)=[1 1], k21=[k1 k2]Т.

Запишемо вираз для структурного коефіцієнта підсилення через компоненти вектора k21:

?’’(р)=[(10,01k1-20,02k2)р2+(21,02k1-22,02k2)р+2(k1-k2)]/(0,01р+1),

?’’(8)=2(k1-k2).

Існує множина значень, які задовольнять введеній вище вимозі:

k1=100+k2.

Накладемо обмеження на величину коефіцієнтів підсилення: |k1|=200, |k2|=200. При цьому знак параметра вказує на знак зв’язку, а його рівність нулю – на відсутність зв’язку. Введемо лічильник L, значення якого в просторі параметрів дорівнюватиме числу точок, в яких система є стійкою. Тоді, проводячи перебір на множинах компонент вектора k21, вираховуємо три значення: у просторі параметрів об’єкта – L(О), регулятора – L(R) та за різних значень інерційності диференціатора – L(І). Вибір компонент вектора k21 проводимо, виходячи з отриманих оцінок: k1=105, k2=5. Структурна схема системи зображена на рис. 7.

Таким чином, за використання регулятора з БКП існує множина параметрів, які забезпечують однакову точність компенсації невимірюваних збурень. Розроблено алгоритм синтезу регулятора з неповністю виродженою БКП, вибір компонент вектора налагодження для якого проводиться з умов забезпечення робастності синтезованої системи до зміни параметрів об’єкта і регулятора. Він є досить простим у чисельному відношенні та для програмної реалізації.

В табл. 2 наведені значення показника якості стабілізації (сума квадратів похибки) для синтезованих систем автоматичного керування за дії зовнішнього невимірюваного збурення.

Таблиця 2.

Показники якості стабілізації

Регулятор | П | ПІ | ПІДІ | ДД | Передавальна функція | 200 | (600p+200)/p | Сума кв. похибки | 2,543 | 0,139 | 0,084 | 0,003 | Як видно із табл. 2, структурно передавальна функція для схем з ПІДІ та ДД є однаковою. Але для того, щоб схема з ПІДІ мала такі ж коефіцієнти, потрібно великі затрати на підсилення: 2205 для пропорційної ланки, 200 для інтегруючої і 2030 для інерційного диференціатора.

Таким чином, із вигляду перехідних процесів (рис. 8) та за побудованими показниками якості робимо висновок, що найкращу якість регулювання забезпечує схема з динамічним домінуванням регулятора. Причому її властивість швидко реагувати на збурення не призводить до великих затрат керування, значення якого є найменшим серед розглянутих випадків.

Досліджено робастність кожної системи до зміни параметрів об’єкта. Аналіз, який було проведено в дисертаційній роботі, показав, що найбільший вплив на стійкість систем має зміна параметрів m та d. Для кожної синтезованої системи керування на основі інформації про характеристичний поліном будуємо функцію у. Її значення лежить в діапазоні (0, 1), якщо система є стійкою.

Із рис. 9, на якому подана функція у для різного типу регуляторів, видно, що схема з динамічним домінуванням регулятора є найбільш робастною до змін параметрів об’єкта.

Дослідження систем за зміни параметрів регулятора показує, що у цьому випадку система з ДД зберігає свої властивості по компенсації збурень, оскільки вони є структурними.

Отже, на відміну від стандартних регуляторів, схема з динамічно домінуючою багатозв’язною керуючою підсистемою має внутрішні зв’язки. За рахунок цього забезпечується можливість більш гнучкого налагодження параметрів регулятора. У порівнянні зі стандартними схемами така система має переваги в якості перехідних процесів та у робастності до змін параметрів.

У висновках сформульовано результати дисертаційної роботи. У додатках наведені властивості проекторів (додатки А, Б), інформація стосовно синтезованих систем із відомими схемами керування та із БКП (додатки В, Д, Е), акти про впровадження (додаток Ж).

Висновки

В дисертаційній роботі аналітично та чисельно досліджено структурно-динамічні властивості автоматичних систем із багатозв’язними керуючими підсистемами (БКП) різного ступеня виродженості для задачі стабілізації регульованої величини за дії невимірюваних зовнішніх та внутрішніх збурень. Отримано такі результати:

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

Список опублікованих праць за темою дисертації

1.

2.

Автором чисельно досліджено взаємозв’язок між керуванням та невимірюваними збуреннями.

3.

4.

Автором отримано аналітично вираз для структури розв’язків операторних рівнянь автоматичної системи високих порядків, поліноміальне подання приєднаної матриці та визначника БКП різного ступеня виродженості.

5.

Автором розроблено методику і програмне забезпечення для аналізу властивостей систем керування та оцінки їх робастності. На їх основі проведений порівняльний аналіз систем, що побудовані за класичними підходами та із динамічно домінуючою БКП різного ступеня виродженості.

6.

Автором проведено чисельне моделювання інваріантних систем керування.

7.

8.

Автором показано вплив розмірності на якість та стійкість перехідних процесів.

9.

Автором проведено аналітичне дослідження та чисельна ілюстрація системних явищ.

Анотації

Брикун Н.А. Дослідження структурно-динамічних властивостей автоматичних систем із багатозв’язними керуючими підсистемами. – Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата технічних наук за спеціальністю 05.13.03 – системи та процеси керування. – Національний технічний університет України “КПІ”, Київ, 2004р.

Дисертація присвячена дослідженню основних системних ефектів в автоматичних системах, аналізу властивостей та оцінці робастності систем керування із багатозв’язними керуючими підсистемами, що мають різні ступені виродженості.

Отримано аналітично структуру розв’язків операторних рівнянь автоматичної системи за випадків невиродженої, неповністю та повністю виродженої багатозв’язної керуючої підсистеми. Проведено дослідження структурно-динамічних особливостей від’ємного зворотного зв’язку та явища резонансів. Показано, що керування в замкненій системі з динамічно домінуючим регулятором автоматично частково компенсує вплив невимірюваних збурень. Розроблено алгоритм синтезу динамічно домінуючого регулятора. За повної виродженості такого регулятора теоретично забезпечується інваріантність регульованої величини від дії невимірюваних збурень.

Ключові слова: системні ефекти, структурно-динамічні особливості, від’ємний зворотний зв’язок, резонанс, структурний синтез, структурний аналіз, динамічне домінування, виродженість, інваріантність, робастність.

Брыкун Н.А. Исследование структурно-динамических свойств автоматических систем с многосвязными управляющими подсистемами. – Рукопись.

Диссертация на соискание ученой степени кандидата технических наук по специальности 05.13.03 – системы и процессы управления. – Национальный технический университет Украины “Киевский политехнический институт”, Киев, 2004 г. Диссертация посвящена исследованию основных системных эффектов в автоматических системах, анализу свойств и оценке робастности систем управления с многосвязными управляющими подсистемами, которые имеют разные степени вырожденности.

Аналитически получена структура решений операторных уравнений автоматической системы для случаев невырожденной, неполностью и полностью вырожденной многосвязной управляющей подсистемы (МУП). Исходя из этого, проведены исследования системных эффектов.

Показано, что в системах автоматического управления основным системным эффектом есть саморегулирование, когда система автоматически частично компенсирует влияние неизмеряемых возмущений. Структурно-динамической особенностью отрицательной обратной связи является то, что управление изменяется приблизительно в противофазе к внешним и приблизительно в фазе к внутренним неизмеряемым возмущениям.

Поставлено задачу структурно-динамического анализа, которая состоит в определении, как структурные свойства МУП (степень вырожденности) влияют на динамические свойства системы (точность и качество компенсации неизмеряемых возмущений, робастность). Показано, что влияние неизмеряемых возмущений на регулированную величину тем меньше, чем меньшим является определитель МУП. В случае неполностью вырожденной МУП регулируемая величина имеет свойство астатизма, а в случае полной вырожденности – инвариантности.

Впервые проведена классификация и сравнительное исследование свойств известных схем управления с точки зрения их структурной особенности – степени вырожденности регулятора. Сделан вывод о том, что синтез МУП нужно проводить таким образом, чтобы изменения параметров не влияло на ее определитель.

Разработан алгоритм синтеза структуры и выбора параметров настройки динамически доминирующего регулятора на основе проекционного представления матриц управляющей подсистемы. Определены структурные условия (отсутствие резонансов и условие управляемости), выполнение которых является необходимым для синтеза такого регулятора. Он относится к классу регуляторов с жесткой структурой, при его построении не используется математическая модель объекта.

В случае полной вырожденности регулятора, когда матрица МУП есть внешнее произведение собственных векторов, регулированная величина теоретически полностью независима от действия неизмеряемых возмущений (инвариантна). Управление в такой системе изменяется точно в противофазе к внешним и точно в фазе к внутренним неизмеряемым возмущениям. Показано, что система с таким регулятором является робастной к изменению параметров и объекта, и регулятора.

Проведено аналитическое и численное исследование явления резонанса в регуляторе, которое имеет место при совпадении направлений векторов настройки и собственных векторов матриц динамики и статики МУП. Отмечено негативное влияние этого явления на свойства автоматической системы, состоящее в том, что замкнутая система теряет некоторые свои свойства. Так, в случае невырожденности МУП теряется управляемость, при неполной вырожденности – астатичность или управляемость, при полной – инвариантность, астатичность или управляемость.

Разработана методика и программное обеспечение в среде Mathcad для исследования свойств и оценки робастности систем управления.

Для модельных технических объектов второго и четвертого порядка проведен синтез и выполнен сравнительный анализ свойств систем управления, построенных как по известным методикам, так и с использованием динамично доминирующей МУП.

Ключевые слова: системные эффекты, структурно-динамические особенности отрицательный обратный связи, резонансы, структурный синтез, структурный анализ, динамическое доминирование, вырожденность, инвариантность, робастность.

Brykun N.A. Research of structural and dynamic properties of automatic systems with multivariable control subsystems. – Manuscript.

Thesis for the candidate's degree in technical sciences on the specialty 05.13.03 – control systems and processes. – National technical university of Ukraine "Kyiv Polytechnic Institute", Kyiv, 2004. The thesis is dedicated to investigation of main system effects in automatic systems, analysis of properties and estimation of