НАЦІОНАЛЬНА АКАДЕМІЯ НАУК УКРАЇНИ
Національна академія наук України
Інститут прикладних проблем механіки і
математики ім. Я. С. підстригача
Булацик Олена Олександрівна
Удк 517.958: 519.642.6
Аналітико-числове Розв’язування
одного класу нелінійних задач з вільною фазою
01.05.02 – математичне моделювання та обчислювальні методи
Автореферат
дисертації на здобуття наукового ступеня
кандидата фізико-математичних наук
львів – 2004
Дисертацією є рукопис.
Робота виконана в Інституті прикладних проблем механіки і математики
ім. Я. С. Підстригача НАН України.
Науковий керівник доктор фізико-математичних наук, професор Войтович Микола Миколайович, Інститут прикладних проблем механіки і математики ім. Я. С. Підстригача НАН України, завідувач відділу числових методів математичної фізики
Офіційні опоненти доктор фізико–математичних наук, професор Бабич Михайло Данилович, Київський славістичний університет, завідувач кафедри економічного прогнозування
доктор фізико–математичних наук, професор, Недашковський Микола Олександрович, Тернопільська академія народного господарства, завідувач кафедри автоматизованих систем та програмування
Провідна уcтанова Київський національний університет
ім. Тараса Шевченка, кафедра обчислювальної математики, м. Київ
Захист відбудеться “29” жовтня 2004 року о 15 годині на засіданні спеціалізованої вченої ради Д 35.195.01 в Інституті прикладних проблем механіки і математики ім. Я. С. Підстригача НАН України за адресою: 79060, м. Львів, вул. Наукова, 3 “б”.
З дисертацією можна ознайомитись у науковій бібліотеці іппмм ім. Я. С. Підстригача НАН України (м. Львів, вул. Наукова, 3 “б”).
Автореферат розісланий “ 21 ” вересня 2004 р.
Вчений секретар спеціалізованої вченої ради
доктор фізико-математичних наук Мартиняк Р. М.
загальна характеристика роботи
Актуальність теми. Задачі з вільною фазою виникають в математичних моделях різних фізичних явищ та процесів в радіофізиці, оптиці, електронній мікроскопії, кристалографії, астрономії тощо. Серед них виділяється, в першу чергу, класична фазова проблема, яка полягає у відновленні фінітної функції за модулем її перетворення Фур’є і належить до обернених задач відновлення (діагностики). Серед робіт, присвячених фазовій проблемі в оптиці, можна виділити праці В. Г. Волостнікова, М. В. Клібанова, Т. І. Кузнецової, О. В. Овчаренка, Г. О. Ферверди, J. R. Fienup, R.W.а в кристалографії та структурному аналізі – А. І. Китайгородского, H. Hauptman, J. Karle.
Близькими до фазової проблеми за математичною постановкою є задачі оптимізації (синтезу) радіофізичних систем за заданим модулем (амплітудою) їхніх комплексних характеристик. В оптиці їх називають задачами про кіноформ. Як правило, в таких задачах використовується варіаційна постановка, що базується на мінімізації середньоквадратичного відхилення модулів одержаних характеристик від заданих. Ці задачі є нелінійними і мають неєдині розв’язки, що можуть розгалужуватись (породжувати нові розв’язки) зі зміною фізичних параметрів. На відміну від задач відновлення, які вимагають єдиності розв’язку, в згаданих задачах оптимізації неєдиність розв’язку є додатковим фактором, який дозволяє покращувати її ефективність.
Задачі такого типу виникають в теорії синтезу антен за заданою амплітудною діаграмою напрямленості та оптимізації перетворювачів структури поля. Теорія синтезу антен достатньо широко висвітлена в літературі, зокрема, в монографіях М. І. Андрійчука, М. М. Войтовича, П. О. Савенка, В. П. Ткачука; Л. Д. Бахраха, С. Д. Кременецького; Є. Г. Зєлкіна, В. Г. Соколова; Б. М. Мінковича, В. П. Яковлєва; А. Ф. Чапліна, а також в працях В. І. Дмітрієва, В. І. Поповкіна, А. Г. Рамма, В. В. Семенова, С. І. Тетельбаума, А. В. Чечкіна, Ю. І. Чоні та інших.
У постановці, що розглядається в дисертації, задачі синтезу зводяться до нелінійних інтегральних рівнянь типу Гаммерштейна, які, як правило, розв’язуються числовими методами. У розвиток теорії інтегральних рівнянь Гаммерштейна значний внесок зробили М. Д. Бабич, М. М. Вайнберг, П. П. Забрейко, М. А. Красносельский, В. Б. Мороз, А. І. Поволоцький, K. E. Atkinson, C. L. Dolph, M. Golomb, A. Hammerstein, R. Iglisch, H. Kaneko, S. Kumar, I. H. Sloan.
Останнім часом була встановлена можливість аналітичного подання розв’язків одного з таких рівнянь, пов’язаного з оператором перетворення Фур’є. Такий підхід зводить задачу до системи трансцендентних рівнянь та дозволяє знайти всі розв’язки вихідного рівняння і повністю дослідити (числовими методами) процес їх галуження. Залишались нез’ясованими особливості реалізації такого підходу та можливість узагальнення його на інші подібні рівняння, що виникають в застосуваннях. Ці питання складають наукове завдання, розв’язанню якого присвячена дана дисертаційна робота.
Зв’язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Робота виконана в рамках бюджетних науково-дослідних тем Інституту прикладних проблем механіки і математики ім. Я. С. Підстригача НАН України “Розробити числові та аналітико-числові методи розв’язування певних класів обернених задач з вільною фазою та узагальнених задач на власні значення” (1997–2001 рр., шифр державної реєстрації 0197U008956, дисертант – виконавець) і “Розробити наближені методи розв’язування нелінійних інтегральних рівнянь типу Гаммерштейна з розділеними модулем та аргументом невідомої комплексної функції” (2002–2005 рр., шифр державної реєстрації 0102U000449, дисертант – виконавець).
Мета і задачі дослідження. Метою дисертаційної роботи є розвинути аналітико-числовий підхід до розв’язування класу нелінійних інтегральних рівнянь типу Гаммерштейна, які виникають в математичних моделях оптимізації радіотехнічних та оптичних систем.
Досягнення поставленої мети передбачає розв’язування таких задач:
·
теоретичне дослідження властивостей розв’язків нелінійних рівнянь, що виникають в конкретних задачах;
·
окреслення класу рівнянь, на які переносяться основні теоретичні результати;
·
розробка алгоритму та створення комплексу програм для числового розв’язування конкретних задач;
·
числовий аналіз поведінки розв’язків, включаючи дослідження характеру їх галужень.
Об’єкт дослідження: нелінійні математичні моделі оптимізації радіотехнічних та оптичних систем.
Предмет дослідження: нелінійні інтегральні рівняння, які виникають в задачах з вільною фазою та методи їх аналітико-числового розв’язування.
Методи досліджень: аналітичні та числові методи розв’язування нелінійних інтегральних і алгебраїчних рівнянь та їхніх систем.
Наукова новизна отриманих результатів. В роботі одержані такі нові наукові результати:
·
одержано аналітичні розв’язки одного класу нелінійних інтегральних рівнянь типу Гаммерштейна, які виникають в задачах з вільною фазою в різних застосуваннях;
·
розроблено методику знаходження всіх розв’язків таких рівнянь та дослідження процесу їх галуження;
·
встановлено існування точок появи та зникнення розв’язків і досліджено природу їх трансформації;
·
чисельно встановлено, що оптимальні розв’язки породжуються поліномами з найвищим степенем.
Практичне значення отриманих результатів. Одержані в роботі результати можуть бути використані в практичних задачах конструювання випромінюючих систем та перетворювачів структури поля. Розроблений комплекс програм орієнтований на розв’язування широкого класу конкретних задач.
Вірогідність отриманих результатів забезпечується строгістю доведення теорем, використанням обґрунтованих числових методів, чіткою логікою аналізу результатів та узгодженням їх часткових випадків з відомими в літературі.
Публікації та особистий внесок здобувача. Основні результати, що складають зміст дисертації, отримані здобувачем самостійно і опубліковані в працях [1–4] у фахових виданнях зі списку ВАК України та статті [5] в журналі Американського математичного товариства. В цих роботах здобувачеві належать теоретичні і числові результати, науковому керівнику Войтовичу М. М. – постановка задач і загальна ідея їх розв’язування. В роботі [2] О. М. Гісь належить дослідження властивостей точки зникнення розв’язку. В роботі [5] Ю. П. Тополюку – доведення теорем 2.1, 2.2 і участь в обговоренні теорем 2.3, 2.4, здобувачеві належить доведення теорем 2.3 та 2.4 та проведення числових розрахунків. Робота [4] написана без співавторів.
Серед робіт [6–14], які в основному є матеріалами міжнародних конференцій та семінарів, в роботах [6–8] здобувачеві належать числові результати, а в [9–12, 14] – теоретичні і числові результати. Робота [13] написана без співавторів.
Апробація результатів дисертації. Основні результати роботи доповідались та обговорювались на міжнародних конференціях та семінарах: “12-th International Conference on Microwave & Radar” (Краків, Польща, 1998); “Direct and Inverse Problems of Electromagnetic and Acoustic Wave Theory” (Тбілісі, 1998; Львів, 2001; Тбілісі, 2002; Львів, 2003); “Mathematical Methods in Electromagnetic Theory” (Харків, 1998); “Математичні проблеми механіки неоднорідних структур” (Львів, 2003). Крім того, вони доповідались на семінарі “Математичні проблеми механіки та обчислювальна математика” Інституту математики НАН України (Київ, 2000) та загальноінститутському семінарі Інституту прикладної математики і механіки НАН України (Донецьк, 2003).
У повному обсязі робота доповідалась на загальноінститутському математичному семінарі Інституту прикладних проблем механіки і математики ім. Я. С. Підстригача НАН України, на науковому семінарі “Математичне моделювання та обчислювальні методи” цього ж інституту, а також на семінарі з обчислювальної та прикладної математики факультету прикладної математики та інформатики Львівського національного університету ім. Івана Франка.
Структура роботи. Дисертація складається зі вступу, п’яти розділів, висновків, списку літератури і одного додатку. Загальний обсяг роботи складає 117 сторінок і включає 26 рисунків та дві таблиці. Список літератури містить 124 найменування.
основний зміст роботи
У вступі обґрунтовано актуальність теми дисертаційної роботи, визначено мету та задачі дослідження, сформульовано наукову новизну та практичну цінність отриманих результатів. Наведено кількість публікацій за темою дисертації і виділено особистий внесок здобувача.
У першому розділі викладено огляд літератури за тематикою дисертації, проаналізовано сучасний стан проблеми та визначено місце досліджень, проведених при виконанні дисертаційного завдання.
У другому розділі наведені основні відомі раніше теоретичні результати.
У підрозділі 2.1. розглянуто постановки задач оптимізації випромінюючих та передаючих систем. Наведено математичні моделі задач синтезу лінійних антен і еквідистантних антенних ґраток за заданою амплітудною діаграмою напрямленості, а також передаючих ліній енергії за заданим амплітудним розподілом поля на приймальній антені (ректені).
У найпростішому вигляді задачу синтезу антен за заданою амплітудною діаграмою напрямленості можна сформулювати як задачу на знаходження псевдорозв’язків нелінійного операторного рівняння
, (1)
де – лінійний обмежений оператор, – дійсна додатна фінітна функція (задана амплітудна діаграма напрямленості). У варіаційній постановці ця задача зводиться до мінімізації функціонала
. (2)
Рівняння Ейлера для функціонала (2) є нелінійним і має вигляд
, (3)
де – оператор, спряжений до . У випадку ізометричного оператора задача зводиться до нелінійного рівняння
(4)
відносно функції . Рівняння (4) має неєдиний розв’язок. Якщо оператор – інтегральний, то воно є нелінійним інтегральним рівнянням типу Гаммерштейна.
У підрозділі 2.2 подано результати, які стосуються галуження розв’язків рівняння (4). Наведено однорідне рівняння для визначення точок галуження.
У підрозділі 2.3 наведено моделі випромінюючих і передаючих систем.
У підрозділі 2.4 подано основні відомі результати, які стосуються синтезу лінійної антени. В цьому випадку оператор () є оператором неперервного перетворення Фур’є фінітних функцій
(5)
Тут – фізичний параметр, пропорційний довжині антени , – розподіл струму на антені, – нормована декартова координата.
Нехай – задана додатнa фінітна функція: . Не обмежуючи загальності, вважатимемо () і запишемо функціонал (2) у вигляді
. (6)
Рівняння (4) для цього випадку має вигляд нелінійного інтегрального рівняння
. (7)
Оптимальний струм визначається за формулою
(8)
Розв’язки рівняння (7) шукались у вигляді** Див. Войтович М. М., Гісь О. М., Тополюк Ю. П. Середньоквадратична апроксима-ція фінітних функцій з вільною фазою функціями з фінітним спектром // Доповіді НАН України. 1999. № 3. С. 7-10.
(9)
де – довільна константа, , – дійсна додатна на функція,
(10)–
поліном степеня з комплексними попарно не спряженими нулями :
, . (11)
Була доведена наступна теорема.
Теорема 2.1. Нехай , подана у вигляді (9) з умовою (11), при певному дійсному і невід’ємній дійсній , не перетворюється в нуль на інтервалі . Тоді для того, щоб була розв’язком рівняння (7), необхідно і достатньо, щоб задовольнялась система трансцендентних рівнянь
, (12а)
, . (12б)
Ця система може мати розв’язки лише при виконанні нерівності .
У підрозділі 2.5 наведено відомі результати, які стосуються задач синтезу еквідистантної антенної ґратки та антен круглої форми. У випадку антенної ґратки оператор є оператором дискретного перетворення Фур’є, що діє з -вимірного векторного простору комплексних векторів (струмів на випромінювачах) в () (простір діаграм напрямленості):
(13)
де – фізичний параметр, пропорційний відстані між випромінювачами , (); () кількість випромінювачів. У цьому випадку функціонал (2) має вигляд
(14)
де – задана дійсна додатна функція, при (). Задача мінімізації функціонала (14) зводиться до нелінійного рівняння
(15)
Оператор дискретного перетворення Фур’є (13) прямує до оператора (5) при , , , та при позначенні ().
Розглянуто задачу оптимізації передаючих ліній енергії, що складаються з двох антен круглої форми. Якщо поле на антені не залежить від кута, тобто , то поле в площині ректени обчислюється за перетворенням Ганкеля
(16)
де () – нормовані полярні координати на антені та ректені, відповідно. Тут – параметр Френеля, – радіус антени, – радіус ректени, – відстань між антенами. Якщо при цьому , то функціонал (2) набуває вигляду
(17)
а рівняння Ейлера зводиться до
(18)
де і - функції Бесселя першого роду, нульового і першого порядку відповідно.
У підрозділі 2.6 зроблено огляд робіт автора за темою дисертації.
У третьому розділі вводиться загальне інтегральне рівняння, яке об’єднує наведені вище рівняння (7), (15), (18):
(19)
де
(20)
()- дійсні неперервні функції, такі що системи функцій () та () лінійно незалежні; – лінійний додатно визначений інтегральний оператор; ()– задана дійсна додатна функція.
Припускається, що існують розв’язки рівняння (19), які не мають нулів на проміжку , і ці розв’язки шукаються у вигляді
(21)
де – комплексна константа з
(22)–
дійсна додатна на ; () – поліном вигляду (10).
Доведено наступні теореми.
Теорема 3.1. Нехай функція вигляду (21) не має нулів при . Для того, щоб вона була розв’язком рівняння (19), необхідно і достатньо, щоб параметри задовольняли наступну систему трансцендентних рівнянь
(23а)
(23б)
Теорема 3.2. За умов теореми 3.1 функція (21) може бути розв’язком рівняння (19) лише тоді, коли степінь полінома не перевищує кількості нулів кожної з функцій та на проміжку .
Теорема 3.3. Якщо функція вигляду (21) з є розв’язком рівняння (19), тоді функції
(24)
є також розв’язками рівняння (19).
У підрозділі 3.2 досліджується галуження розв’язків рівняння (19). Таке галуження можливе, якщо функції , , залежать від деякого дійсного параметра .
Теорема 3.4. У точках галуження розв’язків рівняння (19) однорідне інтегральне рівняння
(25)
де () – поліном в представленні (21), має кратні власні значення.
Галуження розв’язків рівняння (3.1) може відбуватись як зі збереженням степеня полінома (), так і з його зміною.
Згідно з теоремою про неявні функції багатьох змінних, точки , в яких можливе галуження розв’язків рівняння (19) без зміни степеня полінома, визначаються з умови рівності нулю якобіана функцій ():
(26)
яка доповнює систему (23). Тут позначено ().
У точках галуження зі зміною степеня полінома на одиницю, крім системи (23), мають виконуватись два додаткові рівняння:
, (27а)
(27б)
з дійсним (). У результаті одержується рівнянь на визначення дійсних невідомих: дійсних та уявних частин комплексних параметрів (), дійсного параметра () та точки галуження .
У точках галуження зі зміною степеня полінома на два одночасно з системою рівнянь (23) повинні виконуватись чотири додаткові рівняння:
(28а)
, (28б)
де параметри () такі, що (), а () або (). Всього маємо рівняння на визначення дійсних невідомих: комплексних параметрів , , дійсного параметра , та одного комплексного () або двох дійсних (), (). В часткових випадках трапляються ситуації, коли така перевизначена система має розв’язки.
Четвертий розділ присвячений дослідженню нелінійного інтегрального рівняння (7) – одного із часткових випадків загального рівняння (19).
У підрозділі 4.1 наведено аналітичне подання розв’язків рівняння (7) та досліджуються їхні властивості. Аналогом теорем 3.1, 3.2 для цього випадку є теорема 2.1. Аналог теореми 3.3 (як і далі всі прямі аналоги теорем розділу 3) сформульований у вигляді твердження. Крім того, доведено теорему про те, що точки глобального мінімума функціонала (6) містяться серед побудованих розв’язків рівняння (7).
Теорема 4.1. Нехай функція вигляду (5) надає глобального мінімума функціоналу (6) і не має нулів на . Тоді ця функція має вигляд (9) зі скінченим .
Підрозділ 4.2 присвячений дослідженню галужень розв’язків рівняння (7). В цьому випадку однорідне рівняння (25) в теоремі 3.4 набуває вигляду
(29)
Точки , де власне значення кратне, є точками, в яких можливе галуження розв’язків рівняння (7). Щоб уточнити ці точки та визначити параметри в точках галуження, необхідно розв’язати відповідні системи трансцендентних рівнянь.
Наведено додаткові рівняння на визначення точок галуження при галуженні без зміни степеня полінома та з його зміною на одиницю і двійку.
Зокрема, коли задана функція є парною, а розв’язки системи (12) породжуються поліномами з парним модулем, тоді можливе галуження зі зміною степеня полінома на два і в точці галуження повинна задовольнятись система рівнянь
(30а)
(30б)
(30в)
(30г)
де параметри () суто уявні, або фігурують парами з протилежними знаками, а параметри , , уявні, комплексно-спряжені. В результаті маємо рівняння на визначення дійсних невідомих.
У підрозділі 4.3 досліджуються питання точності та стійкості методу Ньютона, застосованого до систем трансцендентних рівнянь типу (23). Очевидно, що метод не може бути застосований в околі точок, де виконується умова (26). Через те в околі цих точок здійснюється перебудова системи рівнянь: замість параметра заданим параметром вважаємо той із (), для якого () є найбільшим. На числових прикладах аналізується залежність точності обчислень від кроку дискретизації підінтегральних функцій в трансцендентних рівняннях та кількості ітерацій в методі Ньютона.
У підрозділі 4.4 наведено блок-схему алгоритму розв’язування задачі та подано детальний його опис. На основі цього алгоритму розроблено комплекс програм для розв’язування класу задач окресленого типу.
У підрозділах 4.5 та 4.6 наведено та проаналізовано числові результати, отримані при симетричних та несиметричних вхідних даних, відповідно. Виписані системи трансцендентних рівнянь на визначення точок галуження.
Для прикладу, на рис. 1 наведено поведінку власних значень однорідного рівняння (29), а на рис. 2 – дійсні та уявні частини параметрів () поліномів () для випадку (). Двоцифрові мітки при кривих відповідають індексам ; криві, які відповідають різним розв’язкам з однаковим значенням степеня полінома (), позначаються штриховими індексами (), (), і т. д.
Результати числових експериментів дозволяють висунути гіпотезу, що оптимальними є розв’язки з максимальним степенем породжуючих поліномів. Проведено порівняння значень функціонала (6) на дійсному () та оптимальному розв’язках і наведено ефективність синтезу лінійної антени () (рис. 3), яка показує, наскільки вдається зменшити розмір антени (зі збереженням величини ) за рахунок вибору фази діаграми напрямленості.
Несиметричне збурення парної функції приводить до певної зміни структури розв’язків і їх галужень: розв’язки розділяються в “кратних” точках галуження; зникають або з’являються нові ізольовані точки біфуркації.
П’ятий розділ присвячений дослідженню рівнянь (15), (18) – інших часткових випадків загального нелінійного інтегрального рівняння (19). У підрозділі 5.1 досліджується рівняння (15), до якого зводиться (19) при позначеннях
Лема 5.1. Довільна функція вигляду (13), що не має нулів на , може бути подана у вигляді
(31)
де (), () – поліном степеня , що охоплює всі комплексні, попарно не спряжені нулі функції , а () – поліном з дійсними коефіцієнтами, що охоплює її дійсні і попарно комплексно-спряжені нулі.
Теореми 3.1, 3.2 переформульовуються для даного випадку у вигляді тверджень. Теореми 3.3, 3.4 повністю зберігаються. Згідно з лемою 5.1, степінь полінома в поданні (21) не може перевищувати і тому теореми, аналогічної до теореми 4.1, доводити не потрібно.
У підрозділі 5.2 отримані системи трансцендентних рівнянь на визначення точок галуження та проведено дослідження галуження розв’язків рівняння (15) за методикою, запропонованою в розділі 3.
У підрозділі 5.3 наведено та проаналізовано числові результати, отримані для симетричних та несиметричних вхідних даних для еквідистантної антенної ґратки при , які підтверджують висновки, зроблені у випадку лінійної антени. Суттєвою відмінністю у випадку дискретного перетворення є фізичне обмеження на значення параметра .
У підрозділі 5.4 досліджується рівняння (18), до якого зводиться рівняння (19) при позначеннях (). Отримано рівняння на визначення точок галуження та наведено числові результати і проведено їх аналіз.
У додатку А наведено формули для елементів матриць Якобі для систем трансцендентних рівнянь з розділу 4.
Основні результати роботи та висновки
Дисертаційна робота присвячена вирішенню наукового завдання – розвинути аналітико-числовий підхід до розв’язування класу нелінійних інтегральних рівнянь типу Гаммерштейна, які виникають в математичних моделях оптимізації радіотехнічних та оптичних систем.
У роботі отримано такі основні результати:
1.
Знайдено аналітичні розв’язки нелінійного інтегрального рівняння типу Гаммерштейна, яке узагальнює відомі рівняння для задач з вільною фазою, що виникають при оптимізації та синтезі радіотехнічних і оптичних систем. Ці розв’язки породжуються поліномами скінченого степеня. Встановлено верхню оцінку степеня породжуючих поліномів. Доведено теорему про можливість заміни одного чи декількох нулів цих поліномів на комплексно-спряжені.
2.
Розроблено методику знаходження всіх розв’язків згаданих рівнянь і дослідження процесу їх галуження. Отримано системи трансцендентних рівнянь на визначення точок галуження.
3.
Розроблено алгоритм і комплекс програм для знаходження та повного дослідження всіх розв’язків рівнянь вказаного типу.
4.
Встановлено існування точок появи та зникнення розв’язків рівнянь із вибраного класу та досліджено природу їх перетворення.
5.
Методика дослідження загального інтегрального рівняння типу Гаммерштейна застосована до конкретних рівнянь, які виникають в теорії синтезу та оптимізації радіотехнічних та оптичних систем.
6.
В результаті числових експериментів для конкретних задач оптимізації висловлено гіпотезу, що оптимальними є розв’язки з максимальним степенем породжуючих поліномів.
перелік опублікованих праць за темою дисертації
1.
Булацик O. O., Войтович М. М. Аналітичне представлення розв’язків нелінійного інтегрального рівняння задачі наближення фінітних функцій з вільною фазою функціями з фінітним дискретним спектром // Мат. методи та фіз. - мех. поля. – 2001. – 44, № 2. – С. 70–78.
2.
Булацик O. O., Гісь O. M., Войтович М. М. Галуження розв’язків нелінійних рівнянь, що виникають в модифікованій фазовій проблемі // Мат. методи та фіз. - мех. поля. – 2002. – 45, № 2. – С. 64–74.
3.
Булацик О. О., Войтович М. М. Аналітичні розв’язки одного класу нелінійних інтегральних рівнянь, пов’язаних з модифікованою фазовою проблемою // Відбір і обробка інформ. – 2003. – Вип. 19 (95). – С. 33–40.
4.
Булацик O. O. Дослідження галужень розв’язків нелінійного інтегрального рівняння модифікованої фазової проблеми у випадку дискретного перетворення Фур’є // Вісник Львів. ун-ту. Сер. прикл. матем. інформ. – 2003. – Вип. 7. – С. –32.
5.
Voitovich N. N., Topolyuk Yu. P., Reshnyak O. O. Approximation of compactly supported functions with free phase by functions with bounded spectrum // Fields Institute Communications. AMS. – 2000. – 25. – P. 531–541.
6.
Voitovich N. N., Topolyuk Yu. P., Reshnyak O. O., Jarkowski J. New closed solution of the linear antenna synthesis problem according to amplitude radiation pattern // 12-th International Conference on Microwave & Radar, Krakow, Poland, May 20-22, 1998: Proc. – Krakow, 1998. – 2. – P. 304–308.
7.
Voitovich N. N., Gis O. M., Reshnyak O. O., Topolyuk Yu. P. New rigorous solution of some antenna synthesis problems according to prescribed amplitude radiation pattern // Intern. Conf. on Mathematical Methods in Electromagnetic Theory, Kharkov, Ukraine, June 2-5, 1998: Proc. – Kharkov, 1998. – 2. – P. 133–135.
8.
Войтович М. М., Решняк О. О., Тополюк Ю. П. Аналітичний розв’язок узагальненої фазової проблеми для фінітних функцій // Сучасні проблеми механіки і математики. – Львів, 1998. – С. 241–242.
9.
Voitovich N. N., Reshnyak O. O. Closed solutions of a nonlinear integral equation arisen in the antenna arrays synthesis theory // III-th Int. Seminar/Workshop "Direct and Inverse Problems of Electromagnetic and Acoustic Wave Theory", Tbilisi, November 2-5, 1998: Proc. – Lviv-Tbilisi, 1998. – P. 67–71.
10.
Voitovich N. N., Reshnyak O. O. Solutions of nonlinear integral equation of synthesis of the linear antenna arrays // BSUAE Journ. of Applied Electromagnetics. – 1999. – 2, n.1. – P. 43–52.
11.
Bulatsyk O. O., Gis O. M., Voitovich N. N. Some peculiar properties of solutions of the generalized phase problem // VI-th Int. Seminar/Workshop "Direct and Inverse Problems of Electromagnetic and Acoustic Wave Theory", Lviv, September 18-20, 2001: Proc. – Lviv, 2001. – P. 38–41.
12.
Bulatsyk O. O., Voitovich N. N. Modified phase problem with nonsymetrical data // VII-th Int. Seminar/Workshop “Direct and Inverse Problems of Electromagnetic and Acoustic Wave Theory”, Tbilisi, October 10-13, 2002: Proc. – Lviv-Tbilisi, 2002. – Р. –141.
13.
Булацик O. O. Нові властивості розв’язків модифікованої фазової проблеми // Математичні проблеми механіки неоднорідних структур. – Львів, 2003. – С. –515.
14.
Bulatsyk O. O., Voitovich N. N. Properties of nonlinear Hammerstein integral equations connected with modified phase problem // VIII-th Int. Seminar/Workshop "Direct and Inverse Problems of Electromagnetic and Acoustic Wave Theory", Lviv, September 23-25, 2003: Proc. – Lviv, 2003. – Р. 135–138.
Анотація. Булацик О. О. Аналітико-числове розв’язування одного класу нелінійних задач з вільною фазою. – Рукопис.
Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01.05.02 – математичне моделювання та обчислювальні методи. – Інститут прикладних проблем механіки і математики ім. Я. С. Підстригача НАН України, Львів, 2004.
У роботі розвинуто аналітико-числовий підхід до розв’язування класу нелінійних інтегральних рівнянь типу Гаммерштейна, які виникають в математичних моделях оптимізації радіотехнічних та оптичних систем. Встановлено, що розв’язки таких рівнянь породжуються поліномами скінченого степеня. Розроблено методику знаходження всіх розв’язків згаданих рівнянь і дослідження процесу їх галуження. Отримані системи трансцендентних рівнянь на визначення всіх точок галуження. Розроблено алгоритм і комплекс програм для знаходження та повного дослідження всіх розв’язків рівнянь вказаного типу. Досліджено природу точок біфуркації типу появи і зникнення розв’язків та їх перетворення. Методика дослідження загального інтегрального рівняння, що розглядається, застосована до конкретних рівнянь, які виникають в теорії синтезу антен за заданою амплітудною діаграмою напрямленості та оптимізації передаючих ліній. Чисельно встановлено, що оптимальними є розв’язки з найбільшим степенем породжуючого полінома.
Ключові слова: задача з вільною фазою, нелінійне інтегральне рівняння типу Гаммерштейна, аналітико-числові методи, точка галуження, перетворення Фур’є, система трансцендентних рівнянь.
Аннотация. Булацик О. О. Аналитико-численное решение одного класса нелинейных задач со свободной фазой. – Рукопись.
Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.05.02 – математическое моделирование и вычислительные методы. – Институт прикладных проблем механики и математики им. Я. С. Подстригача НАН Украины, Львов, 2004.
Диссертационная работа посвящена развитию аналитико-численного подхода к решению одного класса нелинейных интегральных уравнений типа Гаммерштейна, возникающих в математических моделях оптимизации радиотехнических и оптических систем. Найденные решения порождаются комплексными полиномами конечной степени. Получена верхняя оценка степени порождающих полиномов. Доказана теорема о возможности замены нулей этих полиномов на комплексно-сопряженные.
Разработана методика нахождения всех решений нелинейных уравнений такого класса и исследования их ветвлений. Получены однородное интегральное уравнение и системы трансцендентных уравнений для определения всех точек ветвления.
Разработан алгоритм и создан комплекс программ для определения и полного исследования всех решений уравнений рассматриваемого класса. Установлено существование точек бифуркации типа появления и исчезновения решений и исследован процесс их преобразования.
Методика исследования общего уравнения применена к конкретным уравнениям, возникающим в задачах синтеза и оптимизации радиотехнических и оптических систем. Рассмотрены случаи, когда оператором задачи является оператор преобразования Фурье непрерывного и дискретного типов, а также оператор преобразования Ганкеля. Эти случаи соответствуют задачам оптимизации линейной антенны, эквидистантной антенной решетки и передающих линий, состоящих из двух антенн круглой формы. Найдены все решения этих уравнений в заданном диапазоне изменения физических параметров и проведено исследование всех точек ветвления.
Теоремы, доказанные для общего уравнения, переформулированы для частных случаев. Для случая непрерывного преобразования Фурье доказана дополнительная теорема о принадлежности глобальных минимумов задачи к классу построенных решений.
Приведены численные результаты, касающиеся поведения параметров порождающих полиномов, собственных значений однородного уравнения, значений функционала задачи на вещественных и оптимальных решениях и эффективности синтеза. Численно установлено, что оптимальными решениями являются решения с наибольшей степенью порождающего полинома.
Ключевые слова: задача со свободной фазой, нелинейное интегральное уравнение типа Гаммерштейна, аналитико-численные методы, точка ветвления, преобразование Фурье, система трансцендентных уравнений.
Abstract. Bulatsyk O.O. Analytical and numerical investigation of a class of nonlinear problems with free phase. – Manuscript
The thesis presented for the candidate degree in physical and mathematical sciences on speciality 01.05.02 – mathematical modeling and numerical methods. – Pidstryhach Institute for Applied Problems of Mechanics and Mathematics NASU, Lviv, 2004.
An analytical and numerical approach to a class of nonlinear integral equations of Hammerstein type arisen in mathematical models of radioengineering and optical systems optimization is developed. It is established that solutions of such equations are generated by polynomials of finite degree. A technique for calculation of all solutions of the equations and investigation of their branching is developed. Systems of transcendental equations for branching points are obtained. An algorithm and software for finding and investigating all the solutions of such equations are developed. Nature of bifurcation points like appearing and disappearing solutions is investigated. The general investigation technique is applied to particular integral equations arisen in the antenna synthesis theory and transmitting line optimization. It is established that optimal solutions are generated by polynomials of the highest degree.
Key words: problem with free phase, nonlinear integral equation of Hammerstein’s type, analytical and numerical methods, branching point, Fourier transformation, set of transcendental equations.
