Бекшаєв Олександр Янович

УДК 535:537.87:621.375.826:681.7

ПЕРЕТВОРЕННЯ СВІТЛОВИХ ПУЧКІВ
У ПАРАКСІАЛЬНИХ ОПТИЧНИХ СИСТЕМАХ

01.04.05 – оптика, лазерна фізика

Автореферат дисертації на здобуття наукового ступеня
доктора фізико-математичних наук

Одеса 2004

Дисертацією є рукопис.

Робота виконана в Експертному центрі сенсорної електроніки та Науково-дослідному інституті фізики Одеського національного університету ім. І.І. Мечникова Міністерства освіти і науки України

Науковий консультант

доктор фізико-математичних наук, професор,

лауреат Державної премії СРСР

Ананьєв Юрій Олексійович,

Санкт-Петербургський державний технічний університет (Росія)

Офіційні опоненти

доктор фіз.-мат. наук проф. Полянський Петро В’ячеславович, професор кафедри кореляційної оптики Чернівецького національного університету ім. Ю. Федьковича;

доктор фіз.-мат. наук Анохов Сергій Павлович, директор Міжнародного центру "Інститут прикладної оптики" НАН України;

доктор фіз.-мат. наук проф. Глушков Олександр Васильович, завідувач кафедри вищої та прикладної математики Одеського державного екологічного університету.

Провідна установа

Київський національний університет імені Тараса Шевченка Міністерства освіти і науки України, кафедра оптики фізичного факультету, м. Київ.

Захист відбудеться " 24 " червня " 2004 р. о 14 годині на засіданні спеціалізованої вченої ради Д 41.051.01 в Одеському національному університеті ім. І.І. Мечникова (вул. Дворянська 2, 65026, м. Одеса).

З дисертацією можна ознайомитись у бібліотеці Одеського національного університету (вул. Преображенська 24, 65026, м. Одеса).

Автореферат розісланий " 12 " травня " 2004 р.

Вчений секретар

спеціалізованої вченої ради Федчук О.П.

Загальна характеристика роботи

Актуальність теми. Останні десятиріччя, позначені інтенсивним розвитком лазерних і оптичних технологій та їх проникненням у найрізноманітніші сфери діяльності, надали нового імпульсу вивченню законів поширення світла в неоднорідних середовищах та оптичних системах. Це обумовлено, по-перше, розмаїттям перетворень світлових пучків, що відбуваються в процесах генерації, передачі, прийому і використання лазерного випромінювання; по-друге, широким застосуванням нетрадиційних і спеціальних (дифракційних, голографічних и т.п.) оптичних елементів. Чимало цікавих і важливих проблем виникають у дослідницьких застосуваннях, таких як лазерне зондування та оптична діагностика фізико-хімічних явищ і процесів, а також в оптичних системах обробки інформації, де параметри пучка є носіями даних про стан і властивості різноманітних об’єктів. Нарешті, сама природа лазерного випромінювання породжує проблему адекватного і раціонального опису просторової структури і властивостей (характеризації) лазерного пучка, що стає особливо насущною в світлі зростаючого інтересу до сингулярних, обертових, вихрових і тому подібних пучків.

Відповіддю на численні потреби став потужний розвиток теоретичних методів дослідження поширення світлових пучків в оптичних середовищах і системах. У першу чергу слід зазначити широкі можливості чисельних підходів і програмних пакетів, які при сучасному рівні комп’ютерної техніки нібито роблять розрахунок будь-якої оптичної системи рутинним завданням; у той же час їх застосування нерідко пов’язане з дуже великим обсягом операцій і супутніми проблемами збіжності та стійкості обчислювального процесу. Тому відчувається стійка потреба в аналітичних методах, які, крім надання конкретних результатів, з’ясовують фізичну картину явищ і створюють надійну евристичну базу для подальших апроксимацій. У цьому зв’язку великого значення набувають наближені моделі оптичних систем і світлових полів, що відображають найбільш суттєві риси реальних об’єктів та допускають всебічне дослідження аналітичними засобами.

Серед таких моделей особливе місце належить моделям параксіального світлового пучка та лінзоподібної оптичної системи. Простота і наочність опису процесів поширення світла (особливо при застосуванні матричного формулювання перетворень пучка), зручність теоретичного дослідження і можливість виконання аналітичних розрахунків у досить складних і практично важливих умовах надають цим моделям особливу цінність. Разом з тим, на час розгортання даного дослідження їх істинні можливості та межи застосування не були досить чітко позначені. Як наслідок, сфера використання деяких зручних методів часом невиправдано звужувалась; в інших випадках вони вживались необґрунтовано, що вело до помилок і спричиняло непорозуміння. Існували сумніви щодо вживання матричних методів для опису систем з довільним астигматизмом та за наявності амплітудно-неоднорідних оптичних елементів, а також при аналізі децентрованих та роз’юстованих оптичних систем; виникали труднощі при аналізі систем зі "зламами" оптичної осі та систем, що містять вищезгадані не-традиційні елементи. Зрештою, зручний апарат опису перетворень лазерних пучків у повній мірі "працював" лише у випадку гауссових і споріднених з ними пучків, що утворюються в газових лазерах із стійкими резонаторами, а його застосовність до випромінювання більшості реальних лазерів становила проблему, що мала розв’язуватись в кожному випадку окремо.

Зв’язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Роботу виконано в Лабораторії квантової електроніки (нині в складі Експертного центру сенсорної електроніки і надійності електронної техніки) та в Науково-дослідному інституті фізики Одеського національного університету ім. І.І. Мечникова. Частина досліджень провадилась в рамках держбюджетних наукових тем: № 183 (1991-1993, № ГР 01910020153); № 247 (1991-1993, № ГР 01910030622); № 511 (1994-1995, № ГР 0194U044448); №512 (1994-1995, № ГР 0194U044436); № 613 (1995-1997, № ГР 0195U010531); № 728 (1997-1999, № ГР 0197U017679); № 188 (2000-2002, № ГР 0101U001133).

Мета дисертації полягає в тому, щоб на основі систематичного вивчення властивостей та характеристик світлових пучків удосконалити і узагальнити методи аналітичного дослідження перетворень пучків у параксіальних оптичних системах і застосувати їх до розв’язання важливих практичних проблем оптичного зондування, теорії оптичних резонаторів і теорії пучків з оптичними вихорами.

Для досягнення цієї мети в ході дослідження було поставлено і розв’язано такі задачі

1. Систематизація матричного методу аналізу перетворень пучка і його поширення на випадки лінзоподібних систем загального виду, що містять центровані і роз’юстовані елементи з довільним астигматизмом і з можливою амплітудною неоднорідністю.

2. Розробка матричного опису нетрадиційних оптичних елементів (криволінійних заломлюючих і відбиваючих меж при похилому падінні, амплітудно-неоднорідних елементів та дифракційних ґраток).

3. Розробка універсальних методів характеризації лазерного пучка за допомогою просторово-кутових моментів інтенсивності та створення на цій основі ефективних засобів аналітичного опису перетворень реальних лазерних пучків.

4. Узагальнення і уточнення параксіальних методів у застосуванні до систем з нелінзоподібними елементами, зокрема, з плоскими дисперсійними елементами (ПДЕ) тобто з заломними межами, дифракційними ґратками та їх сполученнями, а також до лінзоподібних систем, що містять дрібномасштабні розсіюючі неоднорідності.

5. Демонстрація можливостей і застосування розроблених моделей та методів:

· створення теоретичної моделі дисперсійного резонатора (ДР) з урахуванням особливостей перетворення пучка в ПДЕ;

· розробка теорії дводзеркальних відкритих лінзоподібних резонаторів з довільним астигматизмом внутрішньорезонаторних елементів та дзеркал;

· опис світлових пучків з орбітальним кутовим моментом (ОКМ) на основі просторово-кутових моментів інтенсивності.

Об’єкт дослідження. Взаємодія спрямованих пучків електромагнітного випромінювання з середовищем поширення та з елементами спрямовуючих систем.

Предмет дослідження. Перетворення параксіальних світлових пучків при поширенні в оптичних системах і неоднорідних середовищах, засоби і способи їх опису і аналізу.

Методи дослідження. Для розв’язання поставлених в роботі задач використовуються головним чином теоретичні підходи, засновані на побудові короткохвилевої асимптотики розв’язків рівнянь Максвелла і хвилевого рівняння в неоднорідних середовищах. Метод параксіального наближення вживається для знаходження асимптотичних зображень хвилевих полів, локалізованих в околі геометро-оптичного променя, у вигляді рядів по малому параметру – куту дифракції. Метод дозволяє крок за кроком уточнювати картину перетворень пучка шляхом послідовного розгляду висхідних порядків наближення.

В нульовому порядку, що формує вихідні дані для наступних наближень, застосовується метод геометричної оптики. Основні результати роботи отримані в першому порядку параксіального наближення, де головним інструментом є метод параболічного рівняння Фока – Леонтовича. Для аналізу і розв’язку параболічного рівняння залучаються методи теорії лінійних систем, зокрема, апарат функцій відгуку (передаточних функцій), кореляційні функції, а також розкладення комплексної амплітуди в кутовий спектр (зображення Релея). Завдяки схожості основних рівнянь першого наближення з нерелятивістським рівнянням Шредінгера, в міркуваннях використовується метод оптико-механічних і квантовомеханічних аналогій.

Опис властивостей перетворюючих оптичних систем будується на підставі уявлень про слабо-неоднорідне ізотропне середовище поширення, які дозволяють розглядати істотні риси векторних полів за допомогою скалярних характеристик. Зосереджені елементи оптичних систем описуються як тонкі амплітудно-фазові коректори. Перетворення, здійснювані локальними елементами, наприклад, межами поділу, досліджуються на основі методу зшиття просторових розподілів комплексної амплітуди, в якому реалізується принцип неперервності електромагнітного поля пучка по різні боки фізичної межи. При розгляді реальних неоднорідних систем широко використовується метод еталонних задач, що спирається на модель лінзоподібної неоднорідності середовища і коректорів.

Просторово-кутова структура світлових пучків загального виду вивчається за допомогою метода функції Вігнера (ФВ); універсальний підхід до опису і характеризації світлових пучків здійснюється на засадах систематичного застосування метода просторово-кутових моментів інтенсивності.

Наукова новизна отриманих результатів

1. Удосконалено матричний метод аналізу лінзоподібних оптичних систем і вперше систематично досліджено властивості 4- и 5-рядкових матриць передачі лінзоподібних систем довільного вигляду. На цьому ґрунті розроблено уніфіковану схему опису астигматичних і амплітудно-неоднорідних лінзоподібних систем, впроваджено набір параметрів таких систем, що є тензорними узагальненнями параметрів звичайних (двовимірних) систем, дано їх фізичне тлумачення і сформульовано правила визначення.

2. Вперше отримано 5-рядкові матриці передачі, що описують перетворення пучка при довільному падінні на неплоску межу поділу з можливою присутністю 2-вимірної диф-ракційної ґратки (в тому числі з нееквідистантними та непрямолінійними штрихами).

3. Вперше встановлено зв’язок між змінами фази пучка при зміщеннях елементів системи і пондеромоторною взаємодією електромагнітного поля пучка з цими елементами. Завдяки цьому енергетичний метод аналізу роз’юстованих оптичних резонаторів поширено на певні випадки незамкнених систем.

4. Здійснено подальший розвиток методу характеризації довільного поперечно-обмеже-ного світлового пучка за допомогою просторово-кутових моментів інтенсивності (моментів функції Вігнера). Вперше досліджено фізичну природу класів параксіальних пучків, що визначаються інваріантами та канонічними зображеннями їх матриць моментів, упроваджено узагальнені матричні параметри, які характеризують розподіл інтенсивності та кривизну фронту довільного параксіального пучка.

5. Вперше встановлено зв’язок моментів інтенсивності з механічними характеристиками пучка і отримано зображення лінійної густини орбітального кутового моменту параксіального пучка через елементи матриці моментів.

6. Вперше розглянуто властивості орбітального кутового моменту як характеристики просторової структури пучка з оптичним вихором. Обґрунтовано концепції та кількісні характеристики "вихрової" і "невихрової" компонент орбітального кутового моменту, що описують якісно різні форми поперечної циркуляції енергії в пучку.

7. Вперше створено послідовну теорію перетворення параксіальних пучків у системах з плоскими дисперсійними елементами (ПДЕ), що враховує в першому порядку параксіального наближення дифракцію пучка в ПДЕ, і на основі матричного метода розроблено загальну схему аналізу систем з лінзоподібними елементами і ПДЕ.

8. Вперше побудовано уточнену теорію дисперсійних резонаторів перестроюваних лазерів, що враховує "неоднорідність" їх оптичної довжини. Показано, що довжина хвилі, на якій здійснюється генерація в перестроюваному лазері, не обов’язково дорівнює довжині хвилі, для якої його резонатор є нероз’юстованим.

9. Удосконалено метод аналізу власних мод і частот ідеальних та роз’юстованих дводзеркальних лінзоподібних відкритих резонаторів з довільним астигматизмом внутрішньорезонаторних елементів і дзеркал. Вперше отримано явні вирази для параметрів, що характеризують форму пучка основної моди, спектр власних частот резонатора, вказані правила знаходження вищих мод, проаналізовано умови існування та стійкості поперечно-обмежених мод.

10. Вперше дано аналітичний опис еволюції параксіального пучка при поширенні в лінзоподібному середовищі з присутністю дрібномасштабної (розсіюючої) неоднорідності. Показано, що в умовах, які забезпечують статистичну однорідність розсіюючої компоненти та малокутовий характер розсіяння, поведінку пучка можна описати за допомогою матриць передачі, які враховують лише лінзоподібну компоненту, та знайдено явні зображення функції Вігнера пучка і матриці моментів.

11. Вперше показано, що при проходженні світлового пучка через ПДЕ траєкторія його центра тяжіння (ЦТ) терпить поперечний зсув та нахил відносно відповідного геометро-оптичного променя, величина яких визначається просторово-кутовими моментами інтенсивності пучка.

Практичне значення отриманих результатів. Одержані в роботі формули, розроблені процедури і алгоритми аналізу оптичних систем можуть застосовуватись при розрахунках та створенні оптичних приладів, систем передачі і керування оптичним випромінюванням, у конструюванні лазерів та лазерних пристроїв, а також в оптичних методах вимірювань та діагностики. Зокрема,

1. Явні вирази, що описують зв’язок характеристик випромінювання лазера з параметрами елементів оптичного резонатора, можна застосувати для вимірювання параметрів активних середовищ і внутрішньорезонаторної діагностики оптичної неоднорідності.

2. Методи матричного опису зігнутих дифракційних ґраток, а також ґраток з нееквідистантними та криволінійними штрихами, дозволяють спростити і автоматизувати аналіз і синтез спектральних приладів та систем рентгенівської оптики.

3. Виявлений в роботі зв’язок перетворень пучка в ПДЕ з його моментами інтенсивності може бути використаний для безпосереднього вимірювання елементів матриці моментів, а також орбітального кутового моменту пучка. В дисертації розроблено принципи та запропоновано конкретну схему вимірювань.

4. В ході виконання дисертації розроблено алгоритм чисельного розрахунку резонаторів з ПДЕ і створено інтерактивний пакет програм для аналізу просторових і частотних характеристик випромінювання перестроюваних лазерів з дисперсійними резонаторами, а також для дослідження чутливості вказаних характеристик до збурень геометричної структури резонатора.

5. Виявлено можливість зміни спектру генерації перестроюваних лазерів не лише при кутових поворотах, як вважалось раніше, але і при певних поступних рухах елементів резонатора. Цю можливість слід враховувати, наприклад, при застосуванні перестроюваних лазерів у вимірювальних цілях; крім того, на цій основі можливі розробка нетрадиційних методів перестроювання частоти та вдосконалення структури дисперсійного резонатора, які забезпечують підвищення стабільності і керованості параметрів генерації.

6. Методи аналізу перетворень пучка в лінзоподібних системах з розсіянням є застосовними при оптичних дослідженнях середовищ, у яких одночасно присутні крупномасштабна регулярна і дрібномасштабна розсіююча неоднорідності і можуть бути корисні в задачах технічної та біомедицинської діагностики.

7. Розвинуті в роботі способи опису пучка за допомогою просторово-кутових моментів інтенсивності дозволяють удосконалити розрахунки і аналіз оптичних систем, призначених для роботи з реальними (негауссовими) лазерними пучками. Запропоновані процедури моделювання матриці моментів довільного параксіального пучка дозволяють розширити і узагальнити застосування концепції "вбудованого" гауссового пучка в задачах дослідження та синтезу оптичних систем.

8. В роботі поглиблено розуміння, вивчено властивості і встановлено межи застосовності деяких загальноприйнятих характеристик лазерних пучків, зокрема, елементів матриці моментів і "фактора якості" М2.

Особистий внесок здобувача. Всі результати дисертації отримані особисто здобувачем. У роботах, виконаних у співавторстві, здобувачу належить виконання розрахунків та теоретичний аналіз, а в роботах [А3, А5, А10, А12, А15, А16, А24, А25, Б7, Б8] також постановка задач та інтерпретація результатів. Постановка задач у решті колективних робіт, експериментальні дослідження, обговорення результатів і підготовка текстів виконані у співпраці з науковим консультантом, співавторами та з колективом Лабораторії квантової електроніки.

Апробація результатів дисертації. Матеріали дисертації доповідались на VI Всесоюзній науково-технічній конференції "Фотометрія и її метрологічне забезпечення" (Москва, 1986), IV Всесоюзній конференції "Застосування лазерів у технології та системах передачі і обробки інформації" (Київ, 1991), 3- и 4-м Нижньо-Волжських регіональних наукових семінарах "Діагностичні застосування лазерів і волоконної оптики в народному господарстві " (Волгоград, Росія, 1990-1991), а також на міжнародних конференціях:

International Workshop on Optical Diagnostics of Materials and Devices for Opto-, Micro- and Quantum Electronics (Київ, Україна, 1993); EUROPTO* Series – International Symposium on Biomedical Optics BiOS Europe ’94 (Лілль, Франція, 1994); EUROPTO* Series – European Symposium and Exhibition on Biomedical Optics BiOS-Europe III (Барселона, Іспанія, 1995); Photonics West’95 – SPIE International Symposium OE/LASE: Optoelectronic, Microphotonic, & Laser Technologies (Сан Хосе, США, 1995); 5th International Conference on Industrial Lasers and Laser Applications '95 (Шатура, Росія, 1995); Photonics West’98 – SPIE International Symposium LASE’98 High-Power Lasers and Applications (Сан Хосе, США, 1998); 5th International Aerosol Conference (Едінбург, Шотландия, 1998); 4th, 5th and 6th International Conference on Correlation Optics (Чернівці, Україна, 1999, 2001, 2003); 2nd International Conference on Singular Optics (Optical Vortices): Fundamentals and Applications (Алушта, Україна, 2000); NATO Advanced Research Workshop "Singular Optics 2003" (Київ, Україна, 2003).

Матеріали роботи презентувались на науковому семінарі Відділу оптичної квантової електроніки Інституту фізики НАН України (жовтень 1996), на щорічних наукових конференціях викладачів і наукових працівників Одеського університету (1990-2002), а також на регулярних наукових семінарах Лабораторії квантової електроніки ОНУ.

Публікації. Основний зміст дисертації відбито в 25 статтях у наукових журналах, визнаних ВАК [А1–А25] (з яких 8 без співавторів) і у 8 статтях у працях конференцій [Б1–Б8].

Структура дисертації. Дисертація складається із вступу, шести розділів, висновків і додатків. Повний обсяг дисертації становить 353 сторінки, в тому числі 19 ілюстрацій (з них 10 на окремих сторінках), 1 таблиця, 8 додатків (29 сторінок) та список використаних джерел з 246 найменувань (20 сторінок).

Основний зміст роботи

У вступі обґрунтовано актуальність теми, відображено новизну, наукове і практичне значення, а також сформульовано основні результати роботи.

Розділ 1 присвячено формулюванню базових уявлень, що служать інструментами та об’єктами наступного аналізу, а також визначенню його вихідних позицій. Поряд з оглядом літератури в ньому міститься систематичний вступ в оптику хвильових пучків з роз’яс-ненням і обґрунтуванням основних концепцій. Відбір та форма викладення матеріалу, продиктовані специфічними потребами роботи, носять у значній мірі оригінальний характер.

Особлива увага приділяється математичній структурі моделей світлових пучків і оптичних систем у параксіальному наближенні. Для просторової конфігурації таких об’єктів характерна наявність виділеного (подовжнього) напряму z, вздовж якого відбувається переважне поширення світла, та різка різниця подовжнього l0 і поперечного b0 масштабів просторових варіацій поля. Відношення масштабів g = b0/l0 (кут дифракції) утворює малий параметр параксіального наближення. В підрозділі 1.1 впроваджується основна для наступного розгляду модель оптичної системи у вигляді середовища з неоднорідним розподілом комплексного показника заломлення

, (1)

де – поперечний радіус-вектор, а функції в правій частині (1) задовольняють співвідношенням порядку , , ( позначає поперечний градієнт). Важливим окремим випадком (1) є узагальнена модель лінзоподібної оптичної системи, придатна для опису будь-яких сполучень розподілених і зосереджених (локальних) елементів, поперечна неоднорідність яких характеризується квадратичною функцією, тобто

, (2)

де – вектор, а – симетрична 22 матриця, які можуть залежати лише від подовжньої координати z. При дійсних , має місце фазова (дійсна) неоднорідність; амплітудна неоднорідність системи характеризується уявними частинами , .

При характеризуванні засобів опису світлових пучків у підрозділі 1.2 підкреслено значення подовжніх компонент електромагнітного поля; докладно розбираються енергетичні та механічні параметри параксіального пучка. Роз’яснюються поняття подовжнього і поперечного імпульсу як характеристики особливостей переносу енергії в пучку та дається кількісне означення лінійної (вздовж пучка) густини імпульсу. На цій основі сформульовано визначення моменту імпульсу пучка відносно подовжньої осі, що характеризує явища циркуляції енергії у світлових пучках, які викликають в останні роки підвищений інтерес [1].

У пункті 1.2.3 подано моделі пучків, що грають особливо важливу роль: плоска хвиля та астигматичний гауссів пучок

, (3)

де k – хвильове число випромінювання у вакуумі, f, t і d – взагалі кажучи, комплексні скаляр, вектор і симетрична матриця. Остання характеризує форму і розміри поперечного розподілу комплексної амплітуди пучка u(r) і є матричним аналогом "комплексного параметра" двовимірного пучка [2].

У пунктах 1.2.5, 1.2.6 розглянуто розвинуті переважно в останні роки підходи до характеризації параксіального пучка за допомогою функції Вігнера (ФВ), що об’єднує інформацію про розподіл випромінювання по поперечних просторових r та кутових координатах (штрих позначає похідну по z). Багато корисних застосувань знаходять моменти ФВ (моменти інтенсивності). Перші моменти утворюють 4-вектор променевих координат ЦТ пучка

, (4)

а другі – симетричну додатно означену 44-матрицю

, (5)

де g – множник, залежний від нормування комплексної амплітуди, F – повна потужність пучка, знак ~ позначає транспонування, , І(Р) – ФВ пучка.

У підрозділі 1.3 розглядаються основні методи і засоби аналізу перетворень параксіальних пучків. Крім підходів, заснованих на розв’язанні параболічного рівняння для комплексної амплітуди, описано способи, що застосовують функції відгуку [2]. Серед них основну роль грає функція Гріна (ФГ) , що дозволяє знайти розподіл комплексної амплітуди пучка в перетині z = z2, якщо розподіл на вході оптичної системи (z z1) відомий:

.

Метод геометричної оптики розглядається як засіб отримання фізично ясних аналітичних результатів і плідних концепцій, що створюють основу для більш точних розрахунків. У параксіальному випадку це є особливо цінним, позаяк у геометро-оптичній постановці задача про поширення пучка може бути розв’язана у найбільш загальному вигляді. Наведена в пункті 1.3.2 схема геометро-оптичного аналізу параксіальної оптичної системи слугує повчальним зразком і закладає підґрунтя для розвитку повноцінної "хвильової" картини в наступних розділах роботи. При цьому розкривається особлива роль ФВ, що реалізує найбільш безпосереднє узагальнення геометро-оптичних уявлень на випадки скінченної довжини хвилі.

У кінці розділу 1 дається коротка характеристика матричного методу аналізу лінзоподібних систем. Відзначаються переваги матричного підходу (в першу чергу можливість описати будь-яку складену оптичну систему, якщо відомі матриці її найпростіших елементів) та його використання для аналізу перетворень пучків загального і спеціального вигляду (гауссових). У пункті 1.3.4 розглядаються особливості підходів до аналізу перетворень пучків у системах з децентрованними і роз’юстованими елементами. Поряд з використанням розширених матриць передачі, описується енергетичний метод аналізу замкнених систем (резонаторів), заснований на підрахунку механічної роботи, продукованій силами світлового тиску при переміщення елементів системи. Відзначено можливості та необхідність ширшого застосування матричного методу за умови розробки матричних засобів опису нових і нетрадиційних оптичних елементів, а також перспективи його поширення на випадки більш складних систем.

У розділі 2 виконано всебічний аналіз центрованих лінзоподібних систем, описуваних виразом (2) при n1 = 0. Підрозділ 2.1 присвячено узагальненню і систематизації матричного методу аналізу перетворень пучка в центрованих лінзоподібних системах найзагальнішого вигляду (з урахуванням складного астигматизму і амплітудної неоднорідності). З цією метою дається нове, вільне від попередніх обмежень обґрунтування матричного метода; детально аналізуються особливості алгебраїчної структури 4-рядкової матриці передачі

(6)

та властивості її 22-блоків A, B, C і D.

На цій основі знайдено загальний вираз для ФГ довільної центрованої лінзоподібної системи та його модифікації для афокальних, або телескопічних (C = 0), і проективних (В = 0) систем. Використання 4-рядкових матриць не тільки полегшує аналіз систем зі складним астигматизмом, але і створює систему понять оптики астигматичних систем, ставлячи у відповідність до параметрів звичайних (двовимірних) систем їх матричні аналоги з властивостями двовимірних тензорів: матриці оптичної сили, збільшення, ефективної довжини тощо.

У пунктах 2.1.4, 2.1.5 одержано і досліджено автомодельні розв’язки рівнянь поширення пучка, що відповідають модам астигматичної системи. Основна мода u00(r, z) має вигляд (3) при t = 0, а його перетворення підпорядковані матричному аналогові "правила ABCD" [2]

. (7)

Тут також виявляється можливим упровадити матричні аналоги правил перетворення поперечного розміру, кривизни фронту, перетяжки та інших характеристик гауссового пучка.

Інші автомодельні розв’язки, які описують вищі моди, дістаються за допомогою пари переставних операторів , що "генерують" розв’язки рівнянь еволюції пучка:

. (8)

Ці розв’язки є узагальненнями ортогональних ерміт-гауссових пучків, характеризуючих вищі моди систем з простим астигматизмом. Установлено факт біортогональності мод, які поширюються в протилежних напрямках, що дозволяє знайти розклад довільного розв’язку рівняння еволюції пучка по модах (8).

У підрозділі 2.2 розвинуто метод опису і аналізу перетворень довільних параксіальних пучків за допомогою просторово-кутових моментів інтенсивності (4), (5). Перш за все уточнюється фізичний зміст елементів матриці моментів. На основі отриманих в роботі явних виразів перших і других моментів інтенсивності через розподіл комплексної амплітуди і кутовий спектр пучка встановлено зв’язок моментів інтенсивності з характеристиками поперечного переносу енергії в пучку. Зокрема, елементи недіагональних блоків (5) і відповідають усередненим по перетину пучка значенням поперечних компонент густини потоку енергії; симетрія чи асиметрія цих матриць слугує ознакою відсутності чи наявності поперечної циркуляції енергії в пучку. Роз’яснюється також зміст діагональних блоків матриці моментів як характеристик просторового розподілу інтенсивності в ближній (М11) та далекій (М22) зонах, і за допомогою блоків М11 і М12 визначається матриця ефективної кривизни фронту довільного параксіального пучка.

Основний матеріал підрозділу 2.2 присвячено вивченню перетворень моментів інтенсивності при поширенні пучка в лінзоподібній системі з чисто фазовою неоднорідністю. В пункті 2.2.2 одержано основний закон перетворення матриці моментів

, (9)

який повністю визначається матрицею передачі оптичної системи. Виявлено існування двох незалежних інваріантів матриці моментів (5), тобто таких комбінацій її елементів, що зберігаються при будь-яких перетвореннях типу (9):

, . (10)

Інваріанти відображають "внутрішні" властивості пучка, які не можуть бути змінені жодними лінзоподібними перетвореннями. В залежності від співвідношення між інваріантами можна виділити два класи пучків, що розрізняються особливостями еволюції в лінзоподібних системах. Указано канонічні (найпростіші) вигляди матриць моментів для кожного класу і способи зведення довільного пучка до канонічного вигляду.

Важливе значення має клас гауссоподібних пучків, матриці моментів яких пропорційні матрицям моментів деяких центрованих гауссових пучків. Кожний елемент класу визначається значенням параметру , а інваріанти (10) пов’язані співвідношеннями , . Канонічне зображення матриці моментів такого пучка зводиться до скалярного вигляду, а його перетворення можуть бути описані подібно до перетворень гауссового пучка. Зокрема, для гауссоподібного пучка можна означити аналог матричного параметра d пучка (3) , який перетворюється за “правилом ABCD” (7).

Кожному гауссоподібному пучку можна поставити у відповідність певний “істинно” гауссів пучок і, простеживши перетворення цього пучка в даній оптичній системі, дізнатись про всі характеристики вихідного пучка, які можуть бути виражені через другі моменти; тим самим концепція “вбудованого гауссового пучка” [3] поширюється на гауссоподібні пучки практично без змін. Для таких пучків зберігають сенс звичайні процедури формування заданої форми пучка, можна говорити про їх “фокусування”, “колімацію” і т. д., розуміючи, що хоч зміст цих понять і не збігається з традиційним, він визначений доволі чітко і однозначно.

Пучки, що належать до іншого класу, відзначаються, взагалі кажучи, більш складною поведінкою, і як аналіз їх еволюції, так і керування їх параметрами вимагають особливого підходу. Разом з тим у пункті 2.2.5 доведено, що матриця моментів усякого параксіального пучка може бути зображена як сума матриць моментів двох гауссових пучків або як матриця моментів певного позаосьового гауссового пучка. На цій основі розроблено методи моделювання довільних параксіальних пучків за допомогою "вбудованих" гауссових пучків, які можуть застосовуватись при аналізі та конструюванні оптичних систем, призначених для роботи з реальними лазерними пучками.

Теорія, що її розвинуто в підрозділі 2.2, дозволяє узагальнити означення М2-фактора якості пучка [3] на випадки довільних тривимірних параксіальних пучків:

.

Разом з тим відзначено його обмежену придатність, пов’язану з докорінною вадою моментів інтенсивності як характеристик поперечного профілю пучка – високою чутливістю до характеру поведінки комплексної амплітуди і кутового спектра пучка в нескінченності. Для таких цінних і практично важливих моделей, як плоскі хвилі чи пучки, утворені при дифракції на отворах з “жорсткими” краями, метод моментів інтенсивності є незастосовним.

Слід завважити, що матеріали даного підрозділу відносяться до галузі, яка швидко розвивається, і тому частину його результатів було також незалежно добуто іншими методами (див., наприклад, [3,4]). Такі факти підтверджують достовірність результатів; у той же час, прийняті в дисертації способи їх виведення та кінцева форма є більш наочними і звичними для оптиків.

Підсумки розділу 2 закладають основи оптики амплітудно-неоднорідних параксіальних систем з довільним астигматизмом і дають практично вичерпний опис перетворень, здійснюваних лінзоподібними системами із заданою конфігурацією. Засоби аналізу ефектів, обумовлених невеликими відхиленнями від номінальної конфігурації, подано в розділі 3.

В рамках лінзоподібного наближення загальний аналіз (підрозділ 3.1) базується на попередній моделі оптичної системи (2), але з урахуванням лінійного по r члена правої частини. В цьому випадку найважливішу роль грає 5-рядкова розширена матриця передачі

(11)

утворена з матриці (6) доданням рядка з чотирьох нулів і вектора , що описує поточні координати нульового променя, який на вході системи пристає до осі z.

Як і в "центрованому" випадку, опис перетворень, здійснюваних роз’юстованою системою, будується за допомогою елементів матриці передачі (тепер це Не). Але дія такої системи не повністю визначається елементами розширеної матриці передачі; амплітуда і фаза пучка залежать ще й від "інтегрального" члена

,

що враховує нагромадження ефектів роз’юстування на всьому протязі оптичної системи. Тому у випадку послідовного з’єднання оптичних систем, крім правила обчислення матриці результуючої системи, в пункті 3.1.2 отримано ще й правило визначення величини J. Приклади розрахунку повного набору величин, що характеризують окремі роз’юстовані елементи, завершують побудову формальної схеми аналізу децентрованих оптичних систем.

У пункті 3.1.3 розглядаються найпростіші наслідки цієї схеми. Показано, що еволюція пучка в роз’юстованій системі може бути вичерпно описана, якщо відомі перетворення, здійснювані відповідною системою з ідеальною геометрією (центрованої), та будь-який роз-в’язок променевих рівнянь роз’юстованої системи. Знайдено автомодельні розв’язки рівняння еволюції (моди децентрованої лінзоподібної системи). Якщо система містить тільки фазові неоднорідності, то ці розв’язки можуть бути зображені як моди центрованої системи, “прив’язані” до певної викривленої осі, роль якої грає нульовий промінь, тобто вплив роз’юстувань зводиться до зсуву та повороту пучка як цілого без зміни його форми.

У пункті 3.1.4 розглянуто особливості опису перетворень моментів інтенсивності в децентрованій лінзоподібній системі. Показано, що в цьому випадку зміни перших та других моментів взаємопов’язані, і впроваджено розширену 5-рядкову матрицю перших і других моментів , перетворення якої виражається подібно до (9): .

Сформульовані результати становлять формальний "каркас" матричного методу аналізу роз’юстованих лінзоподібних систем, але для його "наповнення" потрібне знання матриць типових оптичних елементів. Ця задача розв’язується в підрозділі 3.2, де з загальної точки зору розглянуто перетворення параксіального пучка при заломленні чи відбитті на криволінійній неоднорідній межі поділу доволі плавної форми. Розроблена для цього процедура ("метод зшиття"), заснована на узгодженні просторових розподілів падаючого, відбитого та прохідного пучків, забезпечує коректне врахування членів нульового, а при нормальному падінні – першого порядку параксіального наближення.

В якості загальної моделі оптичного елемента, на якому має місце злам оптичної осі системи, розглядається межа між однорідними ізотропними діелектричними середовищами 1 і 2 з показниками заломлення n1 і n2 (рис. 1). З межею пов’язана система декартових координат (X, Y, Z), причому площина Z = 0 є дотичною до ідеально з’юстованого (номінального) розташування межи в точці заломлення O, де номінальна вісь системи O1OO2 терпить злам. Впроваджено також системи координат (x1, y1, z1) і (x2, y2, z2), пов’язані зі вхідним (падаючим) та вихідним (перетвореним) пучками відповідно; їх спільний початок відліку лежить у точці O. Через ту саму точку проходять відлікові площини, в яких повинні вимірюватись параметри пучків: вхідна ОП1 пристає до координатної площини z1 = 0, вихідна ОП2 – до площини z2 . Осі z1 і z2 збігаються із вхідною та вихідною ділянками номінальної осі системи; вісь x1 лежить у площині падіння, вісь x2 – у площині заломлення, що проходить через осі Z і z2. Можлива розбіжність площин падіння та заломлення (j1 j2) дозволяє брати до уваги ситуації, коли межа містить довільно орієнтовану дифракційну ґратку; при цьому вісь z2 відповідає номінальному напрямку обраного порядку дифракції.

Нехай у номінальному режимі форма межи описується функцією (); тоді форма роз’юстованої межи може бути зображена рівнянням

. (12)

Тут z і характеризують зсув уздовж нормалі і нахили межи навколо осей і ; перетвір

, (13)

де , враховує паралельний перенос Rs та поворот ws розгляджуваного елементу в площині Z , а також деформації, що відбуваються в цій площині і описуються полем зміщень U(R). Лінійні z, Rs, U(R) і кутові N, ws параметри роз’юстувань за порядком величини не перевищують gb0 та g відповідно.

У пунктах 3.2.1, 3.2.2 показується, що в загальному випадку така межа виконує проективне перетворення пучка, описуване розширеною матрицею передачі у вигляді (11), де

, (14)

та визначаються значення блоків цієї матриці для випадків проходження і відбиття від межи у формі поверхні другого порядку з можливою амплітудною неоднорідністю, еквівалентною децентрованому транспаранту с гауссовим розподілом пропускання.

Найбільш загальні результати наведені в пункті 3.2.3, де описана методика застосовується для аналізу лінзоподібних перетворень, здійснюваних довільно орієнтованими двовимірними дифракційними ґратками, в тому числі з криволінійними і нееквідистантними штрихами. Хоча поляризаційні характеристики та розподіл потужності дифрагованого випромінювання між різними порядками дифракції визначаються конкретною структурою ґратки, в кожному порядку здійснюється проективне перетворення пучка, і тому для опису характеристик випромінювання окремих порядків застосовним є матричний метод.

У цьому випадку ґратка моделюється періодичним транспарантом у площині Z = 0 з функцією пропускання

, (15)

де , і – базисні вектори оберненої ґратки. Для опису окремого (l, m) порядку достатньо розглянути лише один доданок суми (15). Подальший аналіз ґраток відрізняється тим, що в доповнення до вищезазначених видів збурень (12) і (13) слід взяти до уваги ще й "дисперсійне" роз’юстування, викликане відхиленням хвильового числа від номінального значення

, (16)

та відповідними змінами показників заломлення межуючих середовищ

, , (17)

де – дисперсії матеріалів.

Матричний опис перетворень, виконуваних ґраткою, виявляється можливим і в деяких випадках складнішої, ніж квадратична, форми поверхні завдяки відповідній дефор-мації ґратки U(R). В найбільш важливому випадку, коли межа є поверхнею другого порядку з вершиною в точці О, і , де – симетрична матриця кривизни,

, ,

,

. (18)

Тут

, ,

, ,

а симетрична матриця визначається умовою = ; при відсутності ґратки (гладка межа) слід вважати blm = 0.

Отримані результати дозволяють з нових позицій розглянути деякі властивості оптичних систем. Зокрема, розв’язується питання про "неоднозначність" оптичної довжини систем з ґратками, яка здається геометрично очевидною (на рис. 2 видима оптична відстань між вхідною і вихідною площинами при переході від номінальної осі до паралельної осі змінюється). Насправді такий перехід еквівалентний окремому випадку роз’юстування (13) – зсуву ґратки в її власній площині на вектор Rs, і врахування супутньої зміни фази вихідного пучка (див. останній доданок (18)) веде до висновку про повну ідентичність системи при будь-яких трансляціях осі.

При обговоренні ефектів, пов’язаних з рухом дифракційних ґраток відносно світлового пучка, доцільним є залучення "енергетичного" методу аналізу оптичних систем, заснованого на підрахунку роботи DE, продукованої світловим полем при механічному переміщенні елементів [5]. У пункті 3.2.5 показано, що якщо єдиним наслідком такого переміщення є зміна фази вихідного пучка, то вона дорівнює

, (19)

де w = F/c – лінійна густина енергії пучка, w ck – кругова частота випромінювання. Рівність (19) поширює енергетичний підхід, відомий раніше тільки для резонаторів, на випадки незамкнених оптичних систем. Але більш важливим видається випливаючий з нього висновок, що тривіальний факт зміни фази світлового пучка при зсувах елементів оптичної системи може тлумачитись як свідоцтво існування його механічних атрибутів. Виявляється, прояви пондеромоторних взаємодій світлових хвиль виразно присутні майже в кожному перетворенні світлових пучків і можуть бути використані як у цілях аналізу оптичних систем, так і для вивчення механічних характеристик пучків різної структури.

Методологічні засади, сформовані в розділах 2 і 3, узагальнюються і отримують подальший розвиток у розділі 4. Тут розглядаються системи з "обмеженим" порушенням лінзоподібності, яке може бути певним чином "ізольовано", так що його врахування може розглядатись як доповнення і уточнення аналізу, виконаного на підставі більш простих лінзоподібних уявлень.

У підрозділі 4.1 досліджено перетворення, здійснювані ПДЕ. Під цією назвою об’єднуються заломні межи поділу, дифракційні ґратки та їх сполучення, які широко застосовуються для кутової селекції випромінювання з різними довжинами хвилі. Вони є окремими випадками розглянутих вище локальних елементів (рис. 1) при плоскій межі і без деформацій ґратки (Y = U(R) = 0).

В нульовому порядку параксіального наближення ПДЕ описується матрицею передачі (11), де Н визначається рівнянням (14) з С = 0, і розглядається як елемент з нульовою довжиною. Проте він відрізняється від звичайних параксіальних систем, що виконують проективне відображення площини на площину, тим, що реальні відстані між “предметом” і “зображенням” для різних пар спряжених точок можуть помітно відрізнятись (рис. 2). В цих умовах “довжина” ПДЕ, яка не може бути менше максимальної різниці вказаних відстаней, далеко не завжди є нехтовно малою.

У пункті 4.1.1 розроблено методику аналізу перетворень пучка в ПДЕ у першому порядку параксіального наближення. На основі розгляду ПДЕ як лінійного фільтра просторових частот і зображення пучка через кутовий спектр