Київський національний університет

імені Тараса Шевченка

Бернацька Юлія Миколаївна

УДК 517

Деякі задачі для параболічного рівняння

на рімановому многовиді

01.01.02 – диференціальні рівняння

Автореферат

дисертації на здобуття наукового ступеня

кандидата фізико-математичних наук

Київ – 2004

Дисертацією є рукопис

Робота виконана в Навчально-науковому комплексі "Інститут прикладного системного аналізу" при Національному технічному університеті України "Київський політехнічний інститут"

Науковий керівник

кандидат фізико-математичних наук, доцент

Бондаренко Віктор Григорович

Навчально-науковий комплекс

"Інститут прикладного системного аналізу"

професор кафедри математичних методів системного аналізу.

Офіційні опоненти:

доктор фізико-математичних наук, професор

МАТІЙЧУК Михайло Іванович

Чернівецький національний університет імені Юрія Федьковича,

завідувач кафедри диференціальних рівнянь,

кандидат фізико-математичних наук

Романенко Ігор Борисович

Київський національний університет імені Тараса Шевченка,

доцент кафедри математичної фізики.

Провідна установа: Інститут математики НАН України,

відділ рівнянь з частинними похідними.

Захист відбудеться “27_”_вересня_ 2004 р. о 14 годині в ауд. 42 на засіданні спеціалізованої вченої ради Д 26.001.37 при Київському національному університеті імені Тараса Шевченка за адресою:

03127, м. Київ-127, пр-т Глушкова, 6, Київський національний університет імені Тараса Шевченка, механіко-математичний факультет.

З дисертацією можна ознайомитись у бібліотеці Київського національного університету імені Тараса Шевченка за адресою:

01033, м. Київ-33, вул. Володимирська, 58.

Автореферат розіслано “16” червня 2004 р.

Вчений секретар

спеціалізованої вченої ради Моклячук М.П.Загальна характеристика роботи

Актуальність теми. У дисертаційній роботі розв'язано деякі задачі для параболічного рівняння на рімановому многовиді 

u,

яке будемо називати самоспряженим або рівнянням без зсуву, та для параболічного рівняння зі зсувом 

u grad u, B,

де – оператор Лапласа–Бельтрамі, а зсув задано векторним полем B: MTM. В якості M взято многовид типу КартанаАдамара, тобто повний некомпактний однозв'язний n-вимірний многовид недодатної секційної кривизни.

Наведені рівняння є фактично лінійними параболічними рівняннями зі змінними коефіцієнтами, коли c(x) . Структуру многовиду породжує матриця дифузії aij(x). Загальну теорію рівнянь з неперервними за Гьольдером коефіцієнтами добре розроблено, зокрема їм присвячено монографії С. Д. Ейдельмана, А. Фрідмана, О. О. Ладиженської, В. О. Солоннікова та Н. М. Уральцевої, Є. М. Ландіса. Побудову та оцінки фундаментального розв'язку такого рівняння представлено в оглядових статтях О. М. Іл’їна, О. С. Калашникова, О. А. Олійник та Ф. О. Порпера і С. Д. Ейдельмана. С. Д. Івасишеним розглянуто коректну розв'язність та представлення в інтегральній формі розв'язків параболічних граничних задач. В його монографії побудовано і детально досліджено матриці Гріна граничних задач для лінійних параболічних систем.

Подальший розвиток в цій галузі відбувався в двох напрямках: послаблення умов на коефіцієнти та перехід до рівняння на многовиді. Перший напрямок представлено такими роботами. М. І. Матійчук у циклі робіт вивчав спосіб побудови та властивості фундаментальних розв'язків рівнянь з розривними коефіцієнтами та їх застосування до граничних задач. С. Д. Івасишен та С. Д. Эйдельман побудували фундаментальний розв'язок задачі Коши та отримали інтегральне представлення розв'язку рівнянь з виродженою матрицею дифузії aij(x). Розв'язок виродженого рівняння у вигляді середнього від випадкового процесу отримано Д. Струком та С. Вараданом, і за його допомогою розв'язано граничну задачу.

Остання робота більше тяжіє до другого напрямку, який виник з теорії дифузійних стохастичних процесів на диференційованих многовидах. Його бурхливий розвиток почався, коли С. Варадан довів, що для замкненого многовиду . з рівномірно неперервним за Гьольдером метричним тензором має місце асимптотика

,

де p(t, x, y) фундаментальний розвязок самоспряженого рівняння, а (x, y) геодезична відстань на многовиді. Знайдена асимптотика дозволяла оцінювати фундаментальний розв'язок рівнянь зі змінними коефіцієнтами більш тонко, порівняно з можливостями евклідової теорії. Таким оцінкам присвячено велику кількість робіт.

Більш складною і менш вивченою є проблема побудови фундаментального розв'язку параболічних рівнянь на многовидах. Ідею побудови за допомогою методу параметриксу розглянуто в роботі К. Іосіди, де початкове наближення побудовано у вигляді суми функцій, які задовольняють деяку рекурентну систему диференціальних рівнянь. На многовид не накладалось ніяких умов. Однак в цій роботі відсутні умови розв'язності згаданої системи. С. О. Молчанов теж згадував про можливість застосування методу параметриксу до побудови фундаментального розв'язку рівняння на многовиді. В. Г. Бондаренком ретельно проведено побудову фундаментального розв'язку самоспряженого рівняння. Проте розглядаються лише рівняння на многовидах з недодатною секційною та швидкоспадною скалярною кривизною. Оскільки самоспряжене рівняння відповідає вузькому класу рівнянь зі змінними коефіцієнтами – зі спеціальним зсувом, – то актуальним є перенесення цих результатів на параболічне рівняння зі зсувом, що відповідає довільному рівнянню зі змінними коефіцієнтами. Коли побудовано фундаментальний розв'язок, виникає потреба отримати оцінку чи представлення його градієнта. Цю задачу вже виконано для самоспряженого рівняння і в даній роботі її розв'язано для рівняння зі зсувом.

Більшість робіт у даному напрямку, як вже згадувалось, присвячено оцінюванню розв'язків параболічних рівнянь на многовидах, які задовольняють різні умови. Оцінки отримують геометричними, аналітичними, імовірнісними методами. І майже відсутні роботи, де подано процедури побудови таких розв'язків. Зокрема, актуальними є граничні задачі для рівнянь на многовидах. В монографії І. Чавеля схему побудови розв'язку задачі Діріхлє перенесено з евклідової теорії, проте не зроблено жодних припущень про характер многовиду. Натомість вимагається, щоб фундаментальний розв'язок на ньому був майже евклідів. В даній роботі першу граничну задачу розглянуто на многовиді недодатної секційної кривизни, що задовольняє певні умови. При побудові розв'язку використано апарат ріманової геометрії. Разом з тим доведено важливу властивість потенціалу подвійного шару наявність стрибка при переході через граничну поверхню, що також досі не було доведено.

Практична перевага підходу, пов'язаного з розглядом параболічного рівняння на многовиді, полягає в тому, що він пропонує кращі схеми розв'язання таких рівнянь. Знайдена C. Вараданом асимптотика та численні оцінки фундаментального розв'язку підказують "гарні" початкові наближення, що забезпечують швидку збіжність ітераційних процедур побудови розв'язків.

Зв’язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Дисертаційну роботу виконано в рамках наукового-дослідної теми "Некласичні задачі диференціальних рівнянь в частинних похідних та диференціальна геометрія" (№ 2860), яку проводили на кафедрі математичних методів системного аналізу Навчально-наукового комплексу "Інститут прикладного системного аналізу" сумісно з Інститутом математики НАН України.

Мета і завдання дослідження. Метою даної роботи є побудова розв'язків таких параболічних задач на многовиді недодатної секційної кривизни:

першої граничної задачі для самоспряженого рівняння, у зв'язку з чим вивчаються властивості потенціалу подвійного шару, зокрема стрибок при переході через граничну поверхню;

фундаментальний розв'язок параболічного рівняння зі зсувом;

представлення логарифмічного градієнту фундаментального розв'язку рівняння зі зсувом.

На многовид, крім недодатності кривизни, накладено ще декілька умов, які сформульовано в другому розділі.

Методи дослідження. В дисертації використано метод потенціалів для параболічного рівняння, метод ітерацій розв'язання інтегральних рівнянь, метод збурень, принцип максимуму.

Наукова новизна одержаних результатів. Основні результати, які визначають її наукову новизну і виносяться на захист такі:

Вперше доведено наявність стрибка потенціалу подвійного шару при переході через підмноговид, на якому задано граничну задачу, для параболічного рівняння на многовиді недодатної кривизни [1].

Доведено існування розв'язку першої граничної задачі для параболічного рівняння на многовиді недодатної кривизни та отримано оцінку збіжності ітераційної процедури розв'язання [5]. Хоча доведення проведене за відомою схемою, однак цей факт для рівняння на многовиді встановлено вперше.

Вперше обґрунтовано процедуру побудови фундаментального розв'язку для параболічного рівняння зі зсувом на многовиді недодатної кривизни [3] та отримано оцінки фундаментального розв'язку за різних умов на поле зсуву [2].

Вперше отримано представлення логарифмічного градієнту фундамен-тального розв'язку параболічного рівняння зі зсувом на многовиді недодатної кривизни [4].

Практичне значення одержаних результатів. Одержані результати мають теоретичний характер. Проте їх можна використати для чисельного розв'язання параболічних рівнянь, знаходження фундаментальних розв'язків чи розв'язків граничних задач. Чисельне порівняння запропонованого методу з відомим з евклідової теорії проведено в роботі В. Бондаренко, П. Бідюка, Ю. Бернацької.

Особистий внесок здобувача. Визначення загального плану діяльності та постановка задач належать науковому керівнику. Доведення всіх результатів дисертації проведено особисто автором.

Апробація результатів дисертації. Результати дисертації доповідались та обговорювались на загальноміському семінарі з нелінійного аналізу в Інституті математики НАН України, науковому семінарі кафедри диференціальних рівнянь механіко-математичного факультету Київського національного університету імені Тараса Шевченка та семінарах кафедри математичних методів системного аналізу Інституту прикладного системного аналізу при НТУУ "КПІ". А також на IX Міжнародній науковій конференції ім. акад. М. Кравчука (Київ, 2002 р.).

Публікації. Результати дисертації опубліковано в статтях [1-4] у наукових фахових виданнях та в тезі конференції [5].

Структура та обсяг дисертації. Дисертація складається зі вступу, п’яти розділів, розбитих на підрозділи, висновків і списку використаних джерел. Обсяг дисертації становить 113 сторінок. Список використаних джерел займає 10 сторінок і містить 95 найменувань.

Основний зміст роботи

У вступі обґрунтовано актуальність теми дисертаційної роботи, визначено мету і задачі дослідження, виділено наукову новизну одержаних результатів.

У першому розділі подано огляд літератури за тематикою дисертаційної роботи та визначено коло наукових задач, що розглядаються. Показано зв'язок параболічних рівнянь на многовиді з параболічними рівняннями зі змінними коефіцієнтами в евклідовому просторі.

У другому розділі сформульовано умови на многовид M, з яким будемо працювати:

1а) R(x)(U,V)U,V для всіх x M, U, V TxM, тобто секційна кривизна многовиду недодатна;

1б) для довільних ортобазисів {ek{hk TxM

R(x)(U,ek)V, hkcR ,

а константа cR не залежить від x;

1в) вздовж будь-якої геодезичної скалярна кривизна спадає достатньо швидко, тобто

.r((s)) ds cr,

де cr не залежить від ;

1г) коваріантні похідні тензора кривизни задовольняють оцінки

(X(s)R)((s))Y(s),(s)) Z(s)1((s)) X(s)Y(s)Z(s),

(U(s)X(s)R)((s))Y(s),(s)) Z(s)2((s)) X(s)Y(s)Z(s)U(s),

де функції f1 та f2 такі, що вздовж будь-якої геодезичної

.fk((s)) ds cf,

і cf не залежить від .

Також побудовано декілька прикладів многовидів недодатної секційної кривизни, що задовольняють наведені умови. Тим самим доведемо непорожність множини таких многовидів.

Для параболічного рівняння на многовиді 

u, (1)

де – оператор Лапласа–Бельтрамі, розглянуто поведінку потенціалу подвійного шару, побудованого для компактної області D повного однозв'язного ріманового многовиду M. Потреба в дослідженні потенціалу подвійного шару пов’язана з тим, що в наступному розділі його буде використано для розв’язання першої граничної задачі. Отже, потрібно встановити наявність необхідних для такої побудови властивостей, а саме: стрибка потенціалу при переході через границю області D.

В монографії І. Чавеля, де побудовано густину (t, x) для задачі на многовиді, наявність стрибка вважається виконаною. В даній главі існування стрибка потенціалу подвійного шару доведено для многовидів, що задовольняють властивості .

На границю області D, яку позначимо через S, теж накладають певні умови. Вони містяться в понятті поверхні Ляпунова і для підмноговиду S виглядають так:

2а) в кожній точці x S існує дотичний простір TxS;

2б) існує таке число  , що для будь-якої точки x S множина SB(x; ) зв'язна (B(x; ) – геодезична куля в M радіуса з центром в точці x) і вона перетинається геодезичними, паралельними нормалі x, не більше ніж в одній точці; сфера радіуса з центром в точці x називається сферою Ляпунова;

2в) нормаль x задовольняє нерівність Ліпшица, тобто неперервна на S; це означає, що існує число c таке, що

|y– (y, x)x| c d(x, y), x, yS,

де d(x, y) – відстань в S між точками x та y, (s) – геодезична, що з’єднує ці точки в M, (y, x) – оператор паралельного перенесення з точки x в точку y.

В останньому пункті для області в R вимагалась гьольдеровість нормалі до поверхні. В даному випадку можна накласти умову ліпшецевості, бо підмноговид S міститься в многовиді з гладкою кривизною, що забезпечує ліпшецевість нормалі.

Метрику в M позначатимемо через (x, y), а геодезичну – через (s), (0) x, () y, де s – натуральний параметр на M. На підмноговиді S метрика та геодезична відповідно d(x, y) та (t), (0) x, (d) y, t – натуральний параметр на S.

Потенціал подвійного шару визначається формулою аналогічною до евклідового випадку, якщо під p(t, x, y) розуміти фундаментальний розв'язок (1), а замість ny брати одиничну нормаль y до підмноговиду S в M:

V(t, x) –.(, y)p(t–, x, y) (), ydSy +

+.(, y) F(t–, x, y), y q(t–, x, y) dS. (2)

Тут використано представлення градієнта ядра теплопровідності (Бондаренко).

Потенціал подвійного шару V(t, x) для параболічного рівняння на многовиді нескінченно диференційовний по всіх аргументах і задовольняє рівняння всюди, крім поверхніS.

Теорема 2.4. Коли многовид M задовольняє умови 1, а підмноговид S – умови , потенціал подвійного шару визначений всюди в (t1, ) M і зазнає стрибка при переході через S. Нехай x0 тоді існують границі

Vi(t, x0)V(t, x), Ve(t, x0) V(t, x),

та правильні рівності

Vi(t, x0) – (t, x0) V(t, x0) – (t, x0) y)(t–, x0, y) dSy,

Ve(t, x0) (t, x0) V(t, x0) (t, x0), y)(t–, x0, y) dSy.

Схема доведення. Вся особливість міститься в інтегралі

тому зосередимо увагу саме на ньому. Почнемо розгляд з випадку (t, x) , t1 = – .

Побудуємо трикутник на точках x M і x0, y S, з'єднаних геодезичними у відповідних метриках. Точки x0 і x фіксовані, а y пробігає простір S (x0), отже геодезична, що з'єднує точки x0 і y, залежить від y як від параметра; цим параметром нехай буде відстань d(x0, y). В'язка геодезичних, що з'єднують x та y (t), утворює варіацію (s, t), де s – натуральний параметр в сенсі метрики M, а t – натуральний параметр на S, причому y  ( (x,(t)), t). Позначимо () d /ds |s   y.

Лема 2.2. Якщо виконуються умови 2 на підмноговид, то правильна така рівність:

 ,

де знак "+" відповідає випадку xD, а знак "–" – випадку xD,

h1(x, x0, y) .B, ()d + А(),  ()  (x,()) d,

h2(x, x0, y) .B, () (t– ) d + 2.(),  ()  (x,()) (t– ) d,

Лема 2.3. Якщо виконуються умови 1 на многовид M та умови 2 на підмноговид S, мають місце такі оцінки:

|h1(x, x0, y)|c3d /6 d 0 /12 d02) d /2 + d0,

|h2(x, x0, y)|c3d /12 d 0 /3 d 02 /2) d /6 + d 0 /2, 

(x, y) c4/4 (0 d)2,

де для скорочення виразів введено позначення 0  (x, x0), d d(x0, y).

Лема 2.4. За умов леми 2.3 правильні співвідношення: 

dSy –1;

.dSy= 1.

З лем 2.2–2.4 випливає, що у випадку (t, x) , t1 = –  мають місце рівності:

. V1(t, x) –1 V1(t, x0), . V1(t, x)  V1(t, x0).

За допомогою теореми про рівномірно збіжний у точці інтеграл цей результат поширюється на випадок довільної густини (t, x).

У третьому розділі для параболічного рівняння на многовиді (1) в циліндричній області (t1, t2) D розглянуто першу граничну задачу

u f(t, x), u t = t1 , (3)

f(t, x) – неперервна на . Розв’язок будуємо у вигляді потенціалу подвійного шару. Густину потенціалу знаходять з інтегрального рівняння Вольтери

(t, x) ..(, y).(t–, x, y) dSy– f(t, x) для внутрішньої задачі, або

(t, x) –..(, y).(t–, x, y) dSy f(t, x) для зовнішньої задачі,

що випливає з рівностей теореми 2.4.

Теорема 3.1. Коли многовид M задовольняє умови 1, а підмноговид S – умови , розв'язок задачі (3) існує і визначається потенціалом подвійного шару

u(t, x) ..(, y).(t–, x, y) dSy,

де p(t, x, y) – фундаментальний розв'язок рівняння (1), dSy – елемент площі поверхні S, y – зовнішня одинична нормаль до підмноговиду S в точці y в метриці многовиду M. Має місце така оцінка

u(t, x) C 2C1(t  t1) eC2 (t–t1) 3/2/2+ C1(eC2 (t–t1) 1)(t  t1)–1/2 /C .

Доведення проведено по аналогії з доведенням подібної теореми в евклідовому випадку. Використано встановлений в попередній главі факт наявності стрибка потенціалу подвійного шару. Додатково доведено деякі леми, пов’язані з відмінністю геометрії многовиду від геометрії евклідового простору.

Лема 3.1. Якщо підмноговид . задовольняє умови , можна знайти таке  <  і таке 1, що в геодезичній кулі B(x;1) S виконується

(x, y) d(x, y),

де x, S. Крім того, вектор x .(x,(t))|t  колінеарний вектору (0) .d(x,(t))|t .

Лема 3.2. Якщо підмноговид S задовольняє умови , а многовид M – умови 1, то справедлива така оцінка

|y, y|(x, y),

де – додатна стала.

Отримано кращу оцінку збіжності, порівняно з евклідовим випадком:

|(t, x)| .k (t, x)| . k/2C k (tt1)k/2/ (k/2+1),

цей ряд мажорується функцією

CC1.eC2 (t–t1) + C1(eC2 (t–t1) 1) /C 2 / (t  t1).

Узагальнюючи на неоднорідну задачу Коші, матимемо

Теорема 3.2. Нехай – циліндрична область (t1, t2) D і гранична поверхня S області D двічі неперервно диференційована. Тоді для будь-якої неперервної на функції f та неперервної на D функції g існує обмежений розв'язок першої граничної задачі

u f(t, x), u t = t1 g(x)

рівняння (1). Цей розв'язок складається з інтеграла Пуассона v(t, x) та потенціалу подвійного шару w(t, x) з неперервною густиною (t, x), розподіленою на граничній поверхні:

u(t, x) v(t, x) + w(t, x) = .(y) p(t, x, y) V(dz) +

+..(, y).(t–, x, y) dSy ,

густина (t, x) визначається з інтегрального рівняння:

(t, x) ..(, y).(t–, x, y) dSy–f(t, x) – v(t, x)|).

В четвертому розділі проведено побудову фундаментального розв’язку параболічного рівняння зі зсувом

. .u grad u, B, (4)

де зсув задано векторним полем B: MTM, на яке будемо накладати певні умови.

Сильні умови. Векторне поле B є двічі диференційовним, та вздовж будь-якої геодезичної (s) для обмежених в M векторних полів H1, H2 виконуються нерівності:

3а) .B((s))dscB0,

3б) .H1B((s))dscB1H1,

3в) .H1H2 B((s))dscB2 H1H2.

Якщо вимагати не інтегровності, а лише обмеженості поля зсуву з його коваріантними похідними, то умови виглядатимуть так.

Слабкі умови. Векторне поле B є двічі диференційовним, та для довільних скінченніх векторів h1, h2 TxM мають місце нерівності:

3'а) B(x)  cB0,

3'б) h1B(x)  cB1h1,

3'в) h1h2 B(x)  cB2 h1h2.

Умови 3' назвемо "слабкими", порівняно з "сильними" умовами 3.

Фундаментальний розв’язок будуємо методом збурень, схема якого подібна до методу параметриксу:

p(t, x, y) m(t, x, y) +  ..(t, x, z) r(, z, y) V(dz),

де функція m(t, x, y) є початковим наближенням, а функція r(t, x, y) визначається з рівняння Вольтери

r(t, x, y) M(t, x, y) +  ..(t, x, z) r(, z, y) V(dz),

M(t, x, y) – нев’язка рівняння (4), V(dz) – елемент об’єму в M. Рівняння розв’язують методом ітерацій.

Побудову фундаментального розв’язку проведено для декількох початкових наближень. Наближення p0(t, x, y) – фундаментальний розв’язок рівняння без зсуву – дає нев’язку з особливістю, хоча й інтегровною, і не дуже швидку збіжність. Щоб отримати нев’язку без особливостей, введемо множник e–(x, y), де

(x, y) .B((s)), (s)ds(5)

є роботою поля зсуву. Для такого початкового наближення фундаментальний розв’язок побудовано за сильних і слабких умов на поле зсуву. В обох випадках отримано значно кращі оцінки збіжності. Розглянуто ще одне початкове наближення q(t, x, y)e–(x, y)–1/2(x, y)–kt, для якого побудову здійснено за сильних умов на поле зсуву. Останній результат використано в п’ятому розділі.

Для початкового наближення у вигляді фундаментального розв’язку p0(t, x, y) рівняння без зсуву має місце

Теорема 4.6. Нехай виконуються умови 1а)–1г) на многовид M, поле зсуву B: MTM в рівнянні (4) обмежене B(x)  cB0, тоді мають місце оцінки:

|rk(t, x, y)| cB0.ck t(k–1)/2 / ((k+1)/2) q(t, x, y),

|r(t, x, y)| cB0.q(t, x, y) .t(k–1)/2 / ((k+1)/2),

p(t, x, y) c. /C() ) ec2t q(t, x, y),

деc cB0 cJ C()./ (1–)n/2, q(t, x, y)t)–n/2(1–) 2(x, y)/2t.

При побудові фундаментального розв’язку, виходячи з початкового наближення p0(t, x, y)e–(x, y), отримано оцінки нев’язки, а також градієнта і лапласіана функції. За сильних умов на поле зсуву правильні

Теорема 4.7. Нехай поле B: MTM задовольняє умови 3'a), 3б), 3в), а многовид M задовольняє умови 1. Тоді має місце оцінка

|M(t, x, y)|cMm(t, x, y).

Лема 4.2. Якщо виконано умови 3'a) та 3б), то

gradx(x, y) c1,

де стала c1 залежить лише від розмірності.

Лема 4.3. Якщо виконано умови 3б), 3в) і умови 1 на многовид M, то

|(x, y)|c2,

де стала c2 залежить лише від розмірності многовиду.

За слабких умов на поле зсуву правильні

Теорема 4.8. Нехай поле B: MTM належить класу C2(M), тобто задовольняє умови 3'a), 3'б), 3'в), а многовид M задовольняє умови 1. Тоді має місце оцінка:

|M(t, x, y)|cM (2(x, y)1) m(t, x, y).

Лема 4.4. Якщо виконано умови 3'а) та 3'б) на поле зсуву B, то оцінка градієнта (x, y) має вигляд:

gradx(x, y) c1 ((x, y)1),

де стала c1 залежить лише від розмірності.

Лема 4.5. Якщо виконано умови 3'б) та 3'в) на поле зсуву B, то лапласіан (x, y) оцінюється виразом

|(x, y)|c2 ((x, y)1),

де стала c2 залежить лише від розмірності многовиду.

Власне побудову фундаментального розв’язку здійснено такими теоремами.

Теорема 4.9. Якщо умови теореми .7 доповнити вимогою інтегровності поля B вздовж будь-якої геодезичної (s) 3а), то мають місце оцінки

|rk(t, x, y)| c1(c1t)k / k! p0(t, x, y),

|r(t, x, y)| c1ec1t p0(t, x, y),

p(t, x, y) e cB0+ c1t p0(t, x, y),

де позначено c1M ecB0.

Теорема 4.10. Якщо виконано умови теореми .7, то мають місце оцінки:

|rk(t, x, y)| cJ (c2 exp{cB02 t/2}t)k / k! e c'B0 (x,) q(t, x, y),

|r(t, x, y)| cM ec'B0 (x,)+c2t exp{cB02 t/2} q(t, x, y),

p(t, x, y) e(c'B0+cr /2) +c2t exp{cB02 t/2} +kt p0(t, x, y),

де позначено c2M cJ.

Теорема 4.11. Якщо виконано умови теореми .8, то правильні оцінки:

|rk(t, x, y)| cM (c3 exp {cB02 t /2/(1–)})k t2k/k+1)! e c'B0 (x,) q(t, x, y),

|r(t, x, y)| cM (c3 exp {cB02 t /2/(1–)})–1/2 sht c31/2 exp {cB02 t /4/(1–)}] e c'B0(x, y) q(t, x, y),

p(t, x, y) /C() cht c31/2 exp {cB02 t /4/(1–)}] e c'B0(x, y) q(t, x, y),

де позначено c33cM cJ C() /(1–)n/2.

Для початкового наближення q(t, x, y) e–(x, y)–1/2(x, y)–kt за сильних умов на поле зсуву оцінку нев’язки дає

Теорема 4.12. Нехай поле B: MTM задовольняє умови 3'a), 3б), 3в), а многовид M задовольняє умови . Тоді має місце оцінка:

|Mt, x, y) |cMm(t, x, y).

А побудову фундаментального розв’язку здійснено такою теоремою.

Теорема 4.13. Якщо многовид M задовольняє умови 1, а поле зсуву B: MTM – умови 3а)–3в), тоді для x, y t , мають місце оцінки

|rk(t, x, y) c / cJ (c t ) k / k! q(t, x, y),

|r(t, x, y) c / cJ ec t q(t, x, y),

p(t, x, y) e cB0+c t q(t, x, y),

де позначеноc =cM ecB0.

В п’ятому розділі отримано представлення логарифмічного градієнту фундаментального розв’язку p(t, x, y) рівняння зі зсувом (4). Коли многовид M задовольняє умови 1, поле зсуву – сильні умови 3, до яких додамо умову

3г) grad (x, y)c3,

логарифмічний градієнт ядра теплопровідності p(t, x, y) можна представити у вигляді суми двох векторних полів, одне з яких відоме, а інше обмежене:

U(t, x, y)x ln p(t, x, y) = gradx lnm0(t, x, y) + W(t, x, y).

Функціюm0(t, x, y) візьмемо рівною e–(x, y)q(t, x, y), де позначено

q(t, x, y)t)–n/2–2(x, y)/2t,

а (x, y) описує роботу поля зсуву (5) вздовж геодезичної . Тоді відоме поле має вигляд

V(t, x, y)x lnm0(t, x, y) = – gradx (x, y) – () (x, y) / t.

Доведення обмеженості поля W(t, x, y) є основним результатом п’ятого розділу. Знайдено, що функція (t, x, y) W, W задовольняє квазілінійне рівняння.

Теорема 5.1. Функція (t, x, y) задовольняє квазілінійне рівняння:

. .+ grad , U + grad , B +

+ (Ric(E, E) – 2 / t TE, E + 2 E grad (x, y), E + 2 EB, E) ––

1 / t grad a(x, y), W + grad , W + 2 grad grad, B, W – .Zk W 2,

де векторне поле E(t, x, y) W / W .

Теорема 5.2. За виконання умов 1 на многовид M та умов 3 на поле зсуву B: MTM для x, y t  (0, T], правильно

W(t, x, y)const,

де константа залежить лише від розмірності.

Схема доведення. Знайшовши початкову умову для векторного поля W(t, x, y) (лема 5.1), за принципом максимуму доводимо його обмеженість.

Лема 5.1. Початкову умову для векторного поля W(t, x, y) визначено виразом:

W(0, x, y) –1/2 gradx  (x, y).

Деяку технічну умову доводить

Лема 5.2. За виконання умов 3а)–3в) правильна оцінка

|grad grad, B, E| c4.

Висновки

У дисертаційній роботі дано вирішення таких задач для параболічного рівняння на многовиді недодатної секційної кривизни.

1. Методами ріманової геометрії на многовидах вперше доведено наявність стрибка потенціалу подвійного шару самоспряженого рівняння при переході через підмноговид, на якому задано граничні умови. Доведення здійснено для підмноговидів, які мають властивості поверхні Ляпунова. Встановлено, що стрибок має таку саму величину, як і в евклідовому випадку. Існування такої властивості потенціалу подвійного шару дозволяє розв'язати першу граничну задачу методом потенціалів.

2. Доведено існування розв'язку першої граничної задачі для самоспряженого параболічного рівняння, який будується методом потенціалів. Хоча доведення проведене за відомою схемою, однак цей факт для рівняння на многовиді встановлено вперше. Водночас отримано верхню оцінку розв'язку на малих часах.

3. Вперше запропоновано та обґрунтовано процедуру побудови фундаментального розв'язку для параболічного рівняння зі зсувом. Досі фундаментальний розв'язок було побудовано лише для самоспряженого рівняння. Побудову здійснено методом збурень за різних початкових наближень. Знайдено початкове наближення, що дає нев'язку без особливостей. За різних умов на поле зсуву отримано оцінки фундаментального розв'язку та нев'язок.

4. Вперше отримано представлення логарифмічного градієнта фундаментального розв'язку параболічного рівняння зі зсувом. Подібний результат було відомо лише для самоспряженого рівняння. Логарифмічний градієнт представляється сумою двох векторних полів: відомого та обмеженого. Отримане представлення, зокрема, може бути використане при побудові розв'язку першої граничної задачі для параболічного рівняння зі зсувом методом потенціалів.

Список опублікованих робіт автора за темою дисертації

Бернацька Ю. М. Поведінка потенціалу подвійного шару для параболічного рівняння на многовиді // Укр. мат. журн.– 2003, Т.55.– № 5.– С. –603.

Бернацкая Ю. Н. Оценка фундаментального решения параболического уравнения со сносом на римановом многообразии // Сиб. мат. журн.– 2003, Т. .– № .– С. –512.

Бернацкая Ю. Н. Метод возмущений для параболического уравнения со сносом на римановом многообразии // Укр. мат. журн.– 2004, Т.56.– № 2.– С. 147–158.

Бернацкая Ю. Н. Логарифмический градиент ядра теплопроводности уравнения со сносом на римановом многообразии // Сиб. мат. журн.– 2004, Т.45.– № .– С –25. 

Бернацька Ю. М. Перша гранична задача для параболічного рівняння на многовиді // IX Міжнародна наукова конференція ім. акад. М. Кравчука, 2002.– С. .

Анотація

Бернацька Ю. М. Деякі задачі для параболічного рівняння на рімановому многовиді. – Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01.01.02 – диференціальні рівняння. Київський національний університет імені Тараса Шевченка, Київ, 2004.

Дисертаційну роботу присвячено розв’язанню параболічних задач на рімановому многовиді недодатної секційної та швидкоспадної скалярної кривизни.

Доведено існування стрибка потенціалу подвійного шару для самоспряженого параболічного рівняння на многовиді недодатної швидкоспадної секційної кривизни. Розмір стрибка такий самий, як і в евклідовому випадку. Побудовано розв’язок першої граничної задачі для такого рівняння методом потенціалів та отримано оцінку його збіжності. Побудовано фундаментальний розв’язок параболічного рівняння зі зсувом на многовиді. Побудову здійснено методом збурень, виходячи з різних початкових наближень: розв’язку самоспряженого рівняння та такого самого розв’язку, помноженого на експоненту від роботи поля зсуву. Побудову проведено за різних умов на поле зсуву: сильних (швидке спадання на нескінченності норми поля зсуву та його першої і другої коваріантних похідних) та слабких (обмеженість поля зсуву та його першої і другої коваріантних похідних). Отримано представлення логарифмічного градієнта фундаментального розв’язку параболічного рівняння зі зсувом у вигляді суми двох векторних полів: відомого та обмеженого.

Ключові слова: параболічне рівняння, ріманів многовид, недодатна секційна кривизна, оператор Лапласа–Бельтрамі, потенціал подвійного шару, фундаментальний розв’язок, логарифмічний градієнт.

Abstract

Bernatska J. Some problems for a parabolic equation on a Riemannian manifold. – Manuscript.

The thesis for obtaining the Candidate’s of Physical and Mathematical Sciences degree by the speciality 01.01.02 – Differential equations. Kyiv National Taras Shevchenko University, Kyiv 2004.

The thesis is devoted to solving some problems for a parabolic equation on a Riemannian manifold of non-positive sectional and vanishing scalar curvature.

Existence of a double-layer potential gap for a self-adjoint parabolic equation on the manifold is proven. A value of the gap is the same as that one in an Euclidean space. A solution of a Dirihlet problem for the equation is built by the potential method, and an estimate of the solution convergence is obtained. A fundamental solution for the parabolic equation with drift on the manifold is built. Constructing is realized by the perturbation method with different initial approximations: a self-adjoint equation solution and this one multiplied by an exponent of a drift field work. Constructing is performed by two groups of conditions on the drift field: the strong conditions (vanishing of the drift field norm and its first and second covariant derivatives norm) and the weak one (boundedness of the drift field and its first and second covariant derivatives). It is obtained a representation of a logarithmic gradient for the fundamental solution to the parabolic equation with drift as a sum of two vector fields: known and bounded.

Keywords: parabolic equation, Riemannian manifold, non-positive sectional curvature, Laplace–Beltrami operator, double-layer potential, fundamental solution, logarithmic gradient.

Аннотация

Бернацкая Ю. М. Некоторые задачи для параболического уравнения на римановом многообразии. – Рукопись.

Диссертация на соискание научной степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.01.02 – дифференциальные уравнения. Киевский национальный университет имени Тараса Шевченко, Киев, 2004.

Диссертационная работа посвящена решению параболических задач на многообразии неположительной секционной и быстро убывающей скалярной кривизны.

В первом разделе дан обзор литературы по теме диссертации. Описана связь параболических уравнений на многообразии с параболическими уравнениями с переменными коэффициентами в евклидовом пространстве.

Во втором разделе сформулированы условия на многообразия, для которых справедливы полученные результаты. Кратко их можно описать так: многообразия с неположительной секционной кривизной и быстро убывающими на бесконечности скалярной кривизной и первой и второй ковариантными производными тензора кривизны. Также предложены примеры таких многообразий. Изучены свойства потенциала двойного слоя для самосопряженного параболического уравнения на многообразии, когда поверхностью является компактное подмногообразие, удовлетворяющее условиям на поверхность Ляпунова. При таких условиях доказано наличие скачка потенциала при переходе через подмногообразие. Величина скачка совпадает с ее значением в евклидовом пространстве. В ходе доказательства установлены некоторые геометрические факты, справедливые для подмногообразия Ляпунова в произвольном многообразии.

В третьем разделе изучается первая краевая задача для самосопряженного уравнения на многообразии, поставленная на компактном подмногообразии, обладающем свойствами поверхности Ляпунова. Решение ищется в виде потенциала двойного слоя – известная для евклидового пространства схема доказательства перенесена на многообразие неположительной секционной кривизны, удовлетворяющее определенным условиям. Получены оценки сходимости итерационной процедуры построения решения, несколько лучшие, чем в евклидовом случае.

В четвертом разделе рассмотрено построение фундаментального решения параболического уравнения со сносом на римановом многообразии неположительной секционной кривизны, которое удовлетворяет указанным условиям. Построение проведено для нескольких начальных приближений. Приближение в виде решения уравнения без сноса (самосопряженного) дает невязку с особенностью и не очень хорошую оценку сходимости. Умножение этого решения на экспоненту от работы поля сноса позволяет получить невязку без особенностей и значительно улучшить скорость сходимости. Для поля сноса рассмотрено две группы условий: сильные (быстрое убывание на бесконечности нормы самого поля и его первой и второй ковариантных производных) и слабые (ограниченность поля сноса и его первой и второй ковариантных производных). Для различных условий на поле сноса получены оценки фундаментального решения.

В пятом разделе рассматривается логарифмический градиент найденного в четвертом разделе фундаментального решения при сильных условиях на поле сноса. Предложено представить его в виде суммы двух векторных полей. Одно поле указано явно, а относительно другого доказано, что оно ограничено.

Ключевые слова: параболическое уравнение, риманово многообразие, неположительная секционная кривизна, оператор Лапласа–Бельтрами, потенциал двойного слоя, фундаментальное решение, логарифмический градиент.