КИІВСЬКИЙ НАЦІОНАЛЬНИЙ УНІВЕРСИТЕТ

ІМЕНІ ТАРАСА ШЕВЧЕНКА

БОДНАРЧУК Юрій Вікторович

УДК 512.76+512.554.34 УДК 512.76+512.554.34

НЕСКІНЧЕННОВИМІРНІ АЛГЕБРАЇЧНІ ГРУПИ ПОЛІНОМІАЛЬНИХ ПЕРЕТВОРЕНЬ АФІННИХ ПРОСТОРІВ

01.01.06- алгебра та теорія чисел

АВТОРЕФЕРАТ

дисертації на здобуття наукового ступеня

доктора фізико-математичних наук

КИЇВ-2004

Дисертацією є рукопис.

Робота виконана в Національному університеті

“Києво-Могилянська Академія” на кафедрі математики.

Офіційні опоненти:

доктор фізико-математичних наук, професор

Дрозд Юрій Анатолійович, Київський національний університет імені Тараса Шевченка, професор кафедри алгебри і математичної логіки.

доктор фізико-математичних наук,

Любашенко Володимир Васильович,

Інститут математики НАН України, м. Київ,

провідний науковий співробітник.

доктор фізико-математичних наук, професор

Попов Володимир Леонідович,

Інститут математики ім. Стєклова РАН, м. Москва,

провідний науковий співробітник.

Провідна установа:

Львівський державний університет імені Івана Франка. Міністерство освіти і науки України,

(м. Львів)

Захист відбудеться “_27___ ” грудня 2004 року о 1400год. на засіданні

спеціалізованої вченої ради Д 26.001.18 у Київському

національному університеті імені Тараса Шевченка за адресою: 01127, м. Київ, проспект академіка Глушкова, 6 , Київський національний університет імені Тараса Шевченка, механіко-математичний факультет.

З дисертацією можна ознайомитися у бібліотеці Київського національного університету імені Тараса Шевченка (вул. Володи-мирська, 58 )

Автореферат розіслано ___11 листопада_______________2004 року

Вчений секретар

спеціалізованої вченої ради______________________В.В. Плахотник

Загальна характеристика роботи

Актуальність теми. Дисертаційна робота присвячена вивченню групи оборотних поліноміальних перетворень (афінної групи Кремони) афінних просторів та алгебраїчних структур пов’язаних iз нею. Цілий ряд давніх проблем комутативної алгебри, алгебраїчної гео-метрії та теорії інваріантів безпосередньо пов’язані з цією групою. Назвемо найвідоміші з них:

1)

2)

3)

4)

5)

6)

Поліноміальне перетворення афінного простору задається набором поліномів, при цьому обернене перетворення також є поліноміальним, тобто, де поліноми, що задовольняють тотожностям. Ці тотожності негайно приводять до умови якобіана. Питання про те, чи випливає з умови якобіана поліноміальна оборотність відповідного набору , складає зміст досі не розв’язаної проблеми якобіана 1). Поліноміальні перетворення, для яких якобіан дорівнює 1, утворюють нормальну підгрупу, елементи якої зберігають форму об’єму. Набори поліномів, у яких, утворюють підгрупу, яка ізморфна афінній групі . Найпростішими прикладами нелінійних поліноміальних перетворень є елементарні перетворення: для деякого , і . Композиції афінних та елементарних перетворень складають клас так званих ручних перетворень. У 1977 році М.Нагата пред'явив поліноміальний автоморфізм тривимірного афінного простору, відносно якого висловив гіпотезу, що він не є ручним. Третя з перелічених проблем стосується дії алгебраїчної групи на многовиді та алгебрі функцій. Питання про те, чи є алгебра інваріантів скінченно-породженою часто називають 14-ю проблемою Д.Гілберта. Насправді, в оригіналі її формулювання було іншим: нехай є підполем поля раціональних функцій, що містить поле комплексних чисел ; чи є алгебраскінченно-породженою - алгеброю? Позитивне вирішення цієї проблеми мало би наслідком скінченну породжуваність алгебри. Але у 1958 році М.Нагата побудував контрприклади до обох проблем. У той же час для широкого класу алгебраїчних груп редуктивних груп, проблема скінченно-породжуваності має позитивне вирішення, тобто якщо задана дія лінійно-редуктивної алгебраїчної група на афінному многовиді , то алгебра інваріантів є скінченно-породженою. Вивчення дій алгебраїчних груп на афінному просторі приводить до певних класів автоморфізмів алгебри, а знання будови афінної групи Кремони дає можливість вивчати дії вказаних груп. Наступні проблеми пов'язані саме з проблемами класифікації таких дій. Питання про те, чи будь-яка алгебраїчна дія довільної редуктивної алгебраїчної групи еквівалентна лінійній, складає зміст гіпотези лінеаризації. Інше формулювання цієї проблеми: чи будь-яка редуктивна алгебраїчна підгрупа групи поліноміальних перетворень спряжена з підгрупою групи . Найбільш загальним тут є результат Бялиницького – Бірулі про спряженість алгебраїчних торів розмірностей та в. У 1989 році Г. Шварц побудував приклади нелініаризованих дій груп. П’ята проблема формулюється наступним чином: чи будь-який замкнений підмноговид , що ізоморфний афінному простору , може бути переведений за допомогою елемента групи в стандартний координатний підпростір точок з координатами. Проблема Зариського:

, формулюється для довільного алгебраїчного многовиду .

Тут перелічені тільки найбільш відомі проблеми, які пов'язані з афінною групою Кремони. Поліноміальні перетворення та їх властивості є темою численних публікацій у провідних алгебраїчних журналах. Дослідженням у цій галузі присвячені роботи таких відомих математиків як Абхіанкaр (S.S. Abhyanker ), Басс (H.Bass), Бялиницький –Біруля (A. Bialynicki-Birula), ван ден Ессен (A. van den Essen), Вріхт (D. Wright), Гізатулін (M. Gyzatulin), Данілов (V.Danilov), Крафт (H. Kraft ), Камбаяші (T. Kambayashi), Луна (D. Luna), Нагата (M. Nagata), Панюшев(D. Panushev), Попов (V. Popov), Шафаревич (I. Shafarevich), Шестаков (I. Shestakov), Шварц (G. Shwarz) , Юу (Jie-Tai Yu).

В роботаі І.Р. Шафаревича Шафаревич И.Р. О некоторых бесконечномерных группах II //

Изв.Акад.Наук, Cер. мат. - 1981. - Т.1 - № 2. - С.214-226. було введено поняття нескінченно-вимірного алгебраїчного многовиду та нескінченновимірної алгебраїчної групи. Іноді в цій ситуації вживають терміни Ind- многовид, Ind- група, маючи на увазі те, що вони будуються як індуктивні границі звичайних алгебраїчних многовидів. В цьому сенсі можна говорити про Ind- топологію Зариського на них. Індуктивна границя лінійних груп та афінна група Кремони є важливими прикладами нескінченновимірних алгебраїчних груп. При цьому мають місце теореми про зв'язок між такими групами та відповідними алгебрами Лі. Як і для скінченновимірних груп, це дає можливість звести деякі задачі до обчислень у відповідних алгебрах Лі. Алгебра Лі афінної групи Кремони є транзитивною незвідною градуйованою алгеброю Лі скінченного росту Картанівського типу. Класифікація таких алгебр була дана В. Кацом Кац В.Г. Простые неприводимые градуированные алгебры Ли конечного роста //

Известия АН СССР Сер. Мат. - № 32. - 1968. - Р.1923-1967.. Список В. Каца алгебр Лі Картанівського типу складається з шести алгебр:

1)

2) підалгебра диференціальних операторів, які задовольняють умову, внаслідок якої дія вказаних дифе-ренціальних операторів на форму об’єму зводиться до множення її на константу;

1)

2)

операторів, що зберігають форму (гамільтонова алгебра);

3)

до множення її на константу з поля;

4)

підгрупам поліноміальних перетворень, що зберігають форму , та дія яких на зводиться до множення її на константу з поля. Природно, що групу слід вважати симплектичним аналогом афінної групи Кремони.

Як ілюстрацію ефективності переходу до відповідних алгебр Лі, І.Р. Шафаревичем було показано, що для будь-якої підгрупи , яка містить афінну підгрупу та групу трикутних перетворень (вона виступає тут як аналог підгрупи Бореля), має місце, де риска оз-начає замикання в Ind - топології Зариського. Отже, можна сказати, що "алгебраїчно" породжується цими підгрупами. Звичайно, що у цій формулі група трикутних перетвореньможе бути замінена на групу унітрикутних перетворень. Цей результат, як і багато інших, свідчить про особливу роль цих підгруп у будові. Цей підхід може бути вико-ристано для опису певних класів замкнених підгруп, для чого треба мати опис відповідних підалгебр Лі. Виникає природне питання про те, чи породжується афінна група Кремони афінною підгрупою та підгрупою трикутних перетворень як абстрактна група? Випадок n=1, коли, є тривіальним і надалі не розглядається. При n=2 відповідь є позитивною. Різні доведення цього були дані Кулком, Абхіанкаром. Більш того, було показано що має структуру амальгамованого добутку та . У вищих розмірностях ця проблема є значно складнішою. Нещодавно І.Шестаковим та У. Умірбаєвим була розв’язана проблема М. Нагати (п. 2). Вони довели, що автоморфізм Нагати справді є диким, тобто не належить групі. В той же час М.Сміт показала, що автоморфізм Нагати є стійко ручним, тобто його природні продовження у афінні простори вищих розмірностей є ручними. Отже, питання існування диких перетворень афінних просторів лишається відкритим. Застосування відображення Exp до локально нільпотентних диференціювань алгебри поліномів дають інші приклади нелінійних оборотних поліноміальних перетворень. Зокрема, так можна отримати автоморфізм Нагати:

. Легко бачити, що група, породжена перетвореннями такого типу та афінною підгрупою, містить підгрупу. В той же час залишаються відкритими питання: і. У цій ситуації виглядають природними і актуальними питання про можливий опис деяких класів власних підгруп , що містять або. Як уже згадувалося, є нескінченно-вимірним аналогом групи Бореля, і неважко побудувати узагальнення стандартних параболічних підгруп і отримати приклади надгруп. Що стосується надгруп афінної групи, то навіть для групи ручних перетворень питання про існування проміжних підгруп: не є тривіальним. Тільки при, коли і має структуру амаль-гамованого добутку афінної підгрупи та групи трикутних перетворень, легко навести (але не описати ) проміжні підгрупи. Звернемо увагу на теорему Мортімера B. Mortimer. Permutation Groups containing Affine Groups

of the same Degree // J. of London Math. Soc. (2). - №15. -1977. - P. 445-455. про афінні групи над скінченними полями, яка стверджує, що “майже завжди” вони є максимальними у симетричній групі на точках. Можна поставити питання про можливі аналоги цього результату для афінних груп над нескінченними полями. В цьому сенсі заміна симетричної групи на афінну групу Кремони і постановка вищенаведених запитань виглядає природною. Враховуючи, що має структуру нескінченновимірної алгебраїчної групи, в першу чергу слід поставити питання про існування замкнених підгруп, що містять афінну підгрупу. Це можна було б розглядати як алгебраїчний аналог теореми Мортімера. З іншого боку нагадаємо, що афінна група діє двічі, але не тричі транзитивно на афінному просторі; просте відношення трьох точок є інваріантом такої дії. В цьому плані результат Мортімера можна трактувати і наступним чином: якщо до афінної групи додати одне нелінійне перетворення, то “майже завжди” степінь транзитивності породженої їми групи зросте до максимально можливого значення. З цієї точки зору дослідження степеня транзитивності дії на афінному просторі груп поліноміальних перетворень, що містять афінну підгрупу, виглядають актуальними.

Як абстрактна група влаштована досить складно, при майже нічого не відомо про її будову – класи спряжених елементів, нормальні підгрупи, структурні властивості і т.ін.. Підгрупи трикутних та унітрикутних перетворень є важливими підгрупами, і їх будова виглядає значно простіше. Зокрема, можна розглядати як ітерований алгебраїчний вінцевий добуток копій адитивної групи основного поля. Мається на увазі, що в якості елементів бази таких вінцевих добутків слід розглядати лише регулярні (поліноміальні) функції. Групи блочно-унітрикутних та блочно-трикутних перетворень є природними узагальненнями. Нехай зафіксовано розклад афінного простору і введена система координат. Тоді перетворення виду, утворюють підгрупу яку можна розглядати як ітерований алгеб-раїчний вінцевий добуток груп трансляцій афінних просторів Нормалізатор цієї підгрупи в, який є напівпрямим добутком, будемо називати групою блочно-трикутних перетворень; він складається з перетворень виду. Маємо два діамет-рально протилежних випадки груп блочно-трикутних перетворень: група звичайних трикутних перетворень (група Жонк’єра) при і афінну групу при. Техніка обчислень у ітерованих вінцевих до-бутках циклічних та елементарних абелевих p-груп була розроблена в роботах Л.А. Калужніна, В.І. Сущанського, А.Уір (A. Weir). При цьому важливим є поняття висоти елемента ітерованого вінцевого добутку, запровадженого Л.А. Калужніним. Основними властивостями цієї характеристики є . За допомогою неї була повністю описана характеристична будова силовських р-підгруп симетричних груп. При, внаслідок того, що порушується характеристичність бази вінцевого добутку, характеристична будова інша. Вона була описана Ю.В. Дмитруком. Нормальна будова вказаних груп значно складніша і досліджувалася багатьма авторами, серед яких відмітимо роботи К. Бузаші та С.П. Одрібця. Для груп звичайних унітрикутних та трикутних перетворень над полем характеристики 0 нормальна будова виглядає значно простіше і була повністю описана Н. Іваненко. Це було зроблено за допомогою введеного впорядкування елементів, яке аналогічне впорядкуванню за висотою: мономи впорядковуються за оберненим лексикографічним порядком, після чого впорядкування природним чином поширюється на базу, а потім і на всю групу. Виявилося, що в цій ситуації довільна нормальна підгрупа є характеристичною і описується як сукупність елементів, які знаходяться у відношенні або (згідно введеного впорядкування) за певний заданий елемент.

Таким чином, операція вінцевого добутку груп перетворень відіграє важливу роль у цих дослідженнях. Серед великої кількості робіт присвячених цій конструкції відмітимо роботи А. Кербера, Л. Ковача, Л.А. Калужніна, В.І. Сущанського, В.А. Устименка, які присвячені опису певних класів імпримітивних та примітивних груп підстановок. При цьому максимальні імпримітивні групи підстановок із заданою системою областей імпримітивностей є вінцевими добутками відповідних симет-ричних груп. Що стосується примітивних груп підстановок, то зауважимо, що вінцеві добутки з примітивною дією на відповідній групі функцій часом називають експоненціюванням груп підстановок. Існують два протилежних випадки вінцевих добутків: мономіальні групи вінцеві добутки симетричних груп з абстрактними групами, елементи яких зображаються матрицями в кожному рядку і стовпчику яких лише один ненульовий елемент із абстрактної групи; і стандартні вінцеві добутки, в яких активний співмножник є регулярною групою підстановок (з ефективною дією). Мономіальним групам присвячено роботи О.Оре, С. Холмса, Р. Кроача. Відмітимо, що мономіальні групи є нормалізаторами групи діагональних матриць як в лінійній групі, так і у відповідній афін-ній групі Кремони.

Що стосується стандартних вінцевих добутків груп, то їм присвячена велика кількість робіт, серед яких особливу роль відіграє робота П. Неймана P. Neumann. The structure of standard wreath product // Math.Z.. -1964,84. - P.343-373.. Центральним результатом цієї роботи є теорема про ізоморфізм вінцевих добутків груп, яка стверджує, що при ізоморфізмі вінцевих добутків груп образом бази є база іншого вінцевого добутку, окрім випадку, коли активні множники вінцевих добутків є циклічними групами другого порядку, а пасивні є групами діедра спеціального типу, тобто розширеннями довільної абелевої групи з однозначним вилученням квадратних коренів за допомогою автоморфізму обертання. Як наслідок цієї теореми були отримані умови характеристичності бази вінцевого добутку, причому у випадку коли база не є характеристичною, підгрупа автоморфізмів, що зберігають базу, є підгрупою індекса 2 у групі всіх автоморфізмів. Користуючись цією теоремою, С. Хоутон дав опис автоморфізмів стандартних вінцевих добутків груп. Необхідні та достатні умови характеристичності бази вінцевого добутку транзитивної групи підстановок та абстрактної групи були отримані автором в його кандидатській дисертації. Порушення характеристичності відбувається у двох випадках: а) коли активний співмножник розкладається у вінцевий добуток групи підстановок та циклічної групи другого порядку:, а пасивний є групою діедра спеціального типу, при цьому, ми маємо розширення автоморфізму стандартного вінцевого добутку, що порушує характеристичність бази до автоморфізму нестандартного вінцевого добутку; б) та розкладаються у вінцеві добутки, причому. У випадку б) існує авто-морфізм, що занурює базу в себе. Зрозуміло, що цей випадок може реалізовуватися лише для нескінченних груп. Грунтуючись на цій теоремі, автором була описана структура групи автоморфізмів вінцевих добутків. Згадану теорему П. Неймана можна розглядати як теорему про однозначність розкладу групи у стандартний вінцевий добу-ток. З цієї точки зору, отримання подібного результату для загального випадку вінцевого добутку групи перетворень з абстрактною групою є важливою задачею теорії груп. Окремим випадкам цієї задачі присвячені роботи Л. Ковача та Ф. Гросса.

Як уже згадувалася, деякі важливі підгрупи афінної групи Кремони можна розглядати як алгебраїчні вінцеві добутку. При цьому виглядає природною задачею перенесення техніки вінцевих добутків груп на алгебраїчні вінцеві добутки. Зокрема, актуальною є задача опису регулярних автоморфізмів груп унітрикутних та трикутних перетворень, а також їх узагальнень – груп блочно-унітрикутних та блочно-трикутних перетворень. Умова регулярності тут накладається з урахуванням структури нескінченновимірної алгебраїчної групи, що мають ці групи. Важливим є питання про те, чи має афінна група Кремони зовнішні регулярні автоморфізми?

Мета і задачі дослідження. Об'єктом дослідження є група оборотних

поліноміальних перетворень афінного простору (афінна група Кремони), а також математичні структури, які пов'язані з нею. Метою дослідження було:

·

i.

ii.

iii.

·

·

·

(a)

(b)

·

·

·

У дослідженні використовувалися методи теорії груп, алгебраїчних груп, груп та алгебр Лі, алгебраїчної геометрії.

Основні результати. В дисертаційній роботі автором отримані такі результати:

1)

2)

3)

4)

5)

6)

7)

8)

9)

10)

11)

Всі ці результати отримано вперше.

Теоретична та практична цінність дисертації. Робота має теоретичний характер. Її результати можуть бути викорастані для подальших досліджень властивостей оборотних поліноміальних перетворень, зокрема проблем, сформульованих на початку. Результати п. 9,10 можуть бути корисними при вивчені груп, будова яких близька до вінцевого добутку.

Апробація результатів дисертації. Результати дисертаційної роботи в різний час доповідались:

1)

2)

3)

4)

5)

6)

7)

8)

9)

10)

11)

Публікації. Основні результати дисертації опубліковані в 21-й науковій статті, а також в тезах 5 наукових конференцій.

Особистий внесок автора. В роботі “Група автоморфізмів нормалізатора силовської р-підгрупи симетричної групи” автору належить метод пошуку автоморфізмів. В статті “ Автоморфізми груп типу Жонк'єра над скінченними полями” автору належить зведення задачі до випадку простого скінченного поля. В іншій спільній роботі “Вычисления в силовской 2-подгруппе симметрической группы степени ” автором було отримано явний вигляд породжуючих групи.

Структура та об’єм дисертації. Робота складається із вступу, розділу “Попередні відомості”, який складається із чотирьох підрозділів, розділу “Алгебраїчна максимальність афінної групи”, що містить чотири підрозділи, розділу “Необмеженість степеня транзитивності дії для груп”, який складається із двох підрозділів, розділу “ Деякі класи поліноміальних перетворень”, що містить три підрозділи, розділу “ Про ізоморфізми вінцевих добутків груп”, який складається із двух підрозділів, розділу “ Автоморфізми груп”, який містить чотири підрозділи, висновків та списку використаних джерел, що складається із 86 назв. Загальний обсяг роботи - 251 сторінка.

ЗМІСТ РОБОТИ

В першому розділі подаються відомості з теорії нескінченновимірних алгебраїчних многовидів та груп, які використовуються в подальших дослідженнях. Наведено основні приклади, головним з яких є афінна група Кремони, та дано короткий огляд відомих властивостей оборотних поліноміальних перетворень афінних просторів. Вказано ряд найважливіших підгруп цієї групи. Крім того наводиться опис властивостей нескінченновимірних градуйованих алгебр Лі скінченного росту типу Картана, які відповідають афінній групі Кремони та її деяким підгрупам. Для довільної піднапівгрупи натуральних чисел вводяться в розгляд алгебри, які є прямими сумами компонент однорідності, степені яких належать. Зроблено огляд відомостей про вінцеві добутки груп перетворень.

Другий розділ дисертації починається з опису кореневої структури алгебр та її підалгебр: відносно абелевих підалгебр, які відповідають стандартним торам розмірності для і для. З використанням цієї структури одержано опис проміжних підалгебр, що містять нульову компоненту.

Теорема 2.2.1. Нехай проміжна алгебра Лі така, що, тоді одна з алгебр: для деякої піднапівгрупи.

Тут означає напівпрямий добуток, де - ідеал. Нехай - підалгебра, яка породжується компонентами додатного степеня градуювання.

Наслідок 2.2.3. Решітка підалгебр ізоморфна решітці піднапівгруп напівгрупи.

Наслідок 2.2.4. - максимальні підалгебри в та відповідно.

Ці результати для алгебр Лі отримані для довільного поля характеристики 0. Застосування згаданої теореми про відповідність між групами та алгебрами Лі вимагає алгебраїчної замкненості поля, тому наступні результати формулюються при цьому припущенні.

Теорема 2.4.1. Будь-яка замкнена підгрупа є або або для деякої піднапівгрупи.

Наслідок 2.4.3. є максимальною замкненою підгрупою.

Визначення груп може бути зроблено двома способами. Розглянемо підгрупу стабілізатор нуля, яка має спадний ланцюг нормальних дільників

тут нормальний дільник складається з перетворень виду

, де - однорідні форми степеня а є позначенням для доданків вищого степеня. Зокрема маємо розклад у напівпрямий добуток. Найпростіші приклади елементів з дають однопараметричні підгрупи. При цьому фактор-групи є скінченновимірними уніпотентними алгебраїч-ними групами, а ізоморфні прямим сумам адитивної групи поля. В цьому сенсі можна сказати, що група є проскінченно-вимірною. Нехай канонічні гомоморфізми. Для довільної піднапівгрупивизначимо підгрупи

, які породжуються сім’єю однопараметричних підгруп, спряжених між собою за допомогою елементів з Покладемо . В теорії скінчен-новимірних алгебраїчних груп добре відома теорема, яка стверджує що група породжена довільною сукупністю незвідних алгебраїчних підгруп є незвідною алгебраїчною. Оскільки всі групи є однопара-метричним групами ізоморфними адитивній групі поля, то з цієї теореми випливає замкненість і незвідність як підгруп. Тоді групи, як перетини прообразів замкнених підгруп є замкненими в. Оскільки ці підгрупи є інваріантними відносно дії спряженням гомотетій, то вони є ще й незвідними. Другий спосіб визначення через рівняння, яким мають задовольняти коефіцієнти наборів поліномів, які є афінними координатами цих елементів. Нехай і. Тоді для кожного можна записати скінченну систему рівнянь для коефіцієнтів мономів поліномів:

Ці рівняння визначають скінченновимірний підмноговид у афінному просторі і група є індуктивною границею цих многовидів.

Лема 2.4.2.

i.

ii.

iii.

iv.

v.

З теореми 2.4.1 маємо також

Наслідок 2.4.2. Решітка замкнених підгруп ізоморфна решітці піднапівгруп напівгрупи натуральних чисел.

Доведення теореми 2.4.1 спирається на теорему І.Р. Шафаревича про зв’язок між незвідними замкненими нескінченновимірними алгеб-раїчними групами та відповідними підалгебрами Лі. Легко переконатися, що підгрупи, що є інваріантними при дії спряженням гомотетіями, є незвідними, зокрема такими є замкнені підгрупи, що містять. Для підгруп, що містять, ситуація дещо складніша, адже вони можуть бути і незв’язними.

Теорема 2.4.2. Нехай замкнена підгрупа:. Має місце одне з двох:

i) група містить трансляцію з і є однією з груп, де підгрупа матриць, визначник яких належить скінченній підгрупі;

ii) група не містить трансляцій, тоді існує піднапівгрупа така, що або або для деякої скінченної підгрупи.

Отже, незв’язність “знаходиться” лише у лінійній частині.

Перейдемо тепер до груп симплектичних поліноміальних перетворень.

Незважаючи на суттєву відмінність в будовах решіток коренів алгебр та , для останньої отримано абсолютно аналогічні результати.

Теорема 2.3.1. Для довільної підалгебри або, або існує піднапівгрупа така, що.

Наслідок 2.3.1. є максимальною підалгеброю в .

Для відповідних груп отримана

Теорема 2.4.3. Будь-яка замкнена підгрупа є або, або для деякої піднапівгрупи .

Наслідок 2.4.6. є максимальною замкненою підгрупою.

Третій розділ дисертації присвячений вивченню дії надгруп афінної групи на відповідному афінному просторі. Ще одним аналогом теореми Б. Мортимера для афінних груп над нескінченним полем характеристики 0 є наступна теорема.

Теорема 3.2.1 Нехай є проміжна підгрупа:, тоді діє транзитивно на для будь-якого натурального.

Доведення цієї теореми, якому присвячено весь третій розділ, проводиться шляхом використання нелінійних трансвекцій перетворень, що спряжені із звичайними трансвекціями в групі , які діють тотожно на відповідній алгебраїчній гіперповерхні, еквівалентній гіперплощині, і однозначно визначаються образом однієї точки поза нею. Якщо доведено, що група діє транзитивно і треба довести транзитивність цієї дії, то для цього можна обрати довільну множину з точок і показати, що поточковий стабілізатор цієї множини діє транзитивно на решті точок. Якщо існує гіперповерхня, еквівалентна деякій гіперплощині, то для будь-якої пари точок існує відповідна нелінійна трансвекція:. Отже, якщо мати процедуру, яка дозволяє для будь-яких двох точок будувати таку гіперповерхню, то задача буде вирішена. Не втрачаючи загальності, можна вважати, що точки з множини лежать на прямій , що є першою координатною віссю. Якщо обидві точки не належать цій прямій, то можна обрати гіперплощину, що містить і не містить вказаних точок, і скористатися звичайною лінійною трансвекцією відносно цієї гіперплощини. Якщо ж принаймні одна з точок належить , то це перетворення не підходить, і слід користуватися нелінійними транс-векціями. Якщо побудовано гіперповерхню, то для побудови з потрібними властивостями використовується процедура "склеювання" гіперплощин з прямою. Нехай гіперплощина з пучка гіперплощин, що містять фіксовану пряму, і гіперповерхня, що містить криву, причому. Для кожної гіперповерхні виберемо точки

Використовуючи звичайну лінійну трансвекцію

, що діє тотожно на, і нелінійну, можна отримати пучок гіперповерхонь, кожна з яких містить криву. Легко бачити, що з одного боку, а з іншого. Виявляється, що шляхом вибору вказаних точок “майже завжди” можна досягти того, що. Побудований пучок гіпер-поверхонь параметризується елементами відкритої по Зариському підмножини певного скінченновимірного алгебраїчного многовиду, саме це і означають слова “майже завжди”. Більш того, можна побудувати нес-кінченну послідовність точок таку, що “майже завжди” ця процедура може бути продовжена таким чином, що кожна з гіперповерхонь містить криву, для якої

і для довільних точок. Ці міркування складають ідею доведення транзитивності дії групи. Наслідок 2.4.3 та теорема Б. Мортимера є підгрунтям для постановки питання про максимальність афінної підгрупи (як абстрактної групи) в афінній групі Кремони. При, враховуючи структуру амальга-мованого добутку, легко побудувати, але не описати надгрупи в. Це можна зробити у такий спосіб: нехай, тоді група містить всі унітрикутні елементи виду, але не містить унітрикутних елементів, у яких. Елементи першого типу легко отримати, беручи комутатори з трансляціями виду. Що стосується унітрикутних елементів, для яких, то наявність їх у групі означає, що їх можна подати як ітеровану композицію та афінних перетворень, а це суперечить однозначності розкладу елемента в амальгамованому добутку, де ототожнюються елемен-ти перетину. При, враховуючи гіпотезу Нагати, природно поставити питання про максимальність в групі ручних перетворень. Остання може бути визначена, як група породжена підгрупами та, тобто. Виявляється, що в цій формулі вся група може бути замінена на лише одне довільне нелінійне трикутне перетворення, тобто має місце

Теорема 4.1.2 Нехай довільний трикутний нелінійний автоморфізм, тоді .

Спочатку твердження доводиться в розмірності для найпростіших нелінійних трикутних перетворень. Підбираються три пари матриць таким чином, що добуток трьох трикутних елементів був трикутним елементом виду. Звідси легко отримати, що групі

належить елемент. Повторюючи з ним аналогічну процедуру, можна отримати елементи

Це означає, що групі належать всі елементи виду, де довільний поліном. Використовуючи перетворення, отримуємо, що містить підгрупу З іншого боку, застосуванням перетворення можна отримати всі унітрикутні елементи виду . Неважко переко-натися, що отримані перетворення разом з підгрупою породжують усю групу унітрикутних перетворень, отже, звідки, тобто.

В загальному випадку слід показати, що якщо група містить довіль-ний трикутний елемент, то вона містить і елемент. Ці міркування складають базу індукції, яка проводиться по розмірності . Виконання індукційного кроку завершує доведення теореми 4.1.2. Саме ця теорема вказує на те, що питання про максимальність у є непростим. У цьому ж розділі дисертації вказано ряд класів поліноміальних перетворень, таких як 1-параболічні, бітрикутні, біпараболічні, 3-три-кутні, для яких також має місце рівність. Найпрос-тіше це отримати для 1-параболічних елементів, які мають вид

Комутатор такого елемента з відповідною трансвекцією є нелінійним трикутним елементом виду , і резуль-тат випливає з теореми 4.1.2.

Означення 1.2.3 Перетворення назвемо k-трикутним, якщо його можна подати у вигляді ,

де, і більш короткий запис цього елемента у вказаному вигляді є неможливим (тобто він не є k-1 - трикутним). При цьому число k будемо називати композиційно-трикутною довжиною.

Отже, елементи з та мають композиційно-трикутну довжину 0 та 1 відповідно. Елементи, що мають композиційно-трикутну довжину рівну 2 будемо називати бітрикутними.

Теорема 4.2.1. Нехай довільне бітрикутне перетворення афінного простору, тоді для всіх

Як випливає з означення, бітрикутний елемент має вид. Використовуючи факторизацію, приходимо до висновку, що група містить нелінійний елемент виду, де. Скористаємося роз-кладом Брюа: де нижньотрикутні, а підстановочні матриці. Тоді не втрачаючи загальності, можна вважати, що містить нелінійний бітрикутний елемент виду . Оскільки -унітрикутний елемент, то він комутує з трансляцією . Тоді комутатори та

є трикутними елементами, і результат повинен випли-вати з теореми 4.1.2. Але існують численні випадки, коли ці комутатори є лінійними елементами, і застосування цієї теореми є неможливим. Типовим тут є випадок, коли транспозиція, а, де уні-трикутний елемент, а - є симетрія відносно коорди-натної гіперплощини. Цей випадок потребує особливого підходу, який по-лягає в аналізі вигляду елемента , при якому одночасно обидва вказані комутатори та елемент є лінійними трикутними елментами. Показано, що це можливо лише за умови, коли

За цієї умови слід скористатися діагональною матрицею

і отримати елемент, який внас-лідок підбору коефіцієнтів є унітрикутним. Причому, він може бути ліній-ним для довільного значення лише при умові, що початковий елемент

має 1-параболічний вид. Загальний випадок теореми: зводиться до вищерозглянутого. Природним узагальненням бітрикутного елемента є поняття біпараболічного елемента, який має вид:, де мають 1-параболічний вид.

Теорема 4.2.2. Нехай довільне біпараболічне перетворення афінного простору, тоді для всіх

Аналогічні міркування приводять до висновку, що містить елемент виду, до якого слід застосувати певну редук-цію – домножити зліва на певне афінне перетворення та, в разі потреби, здійснити перерозклад співмножників. Для комутатора отриманого елемента з трансляцією по першій координаті будемо мати елемент 1-параболічного типу. Якщо має форму

, то умови, за яких отриманий елемент може належати афінній підгрупі,

мають вид: де невироджена матриця, а константи. Аналіз цих спів-відношень приводить до висновку, що включення можливе, лише якщо початковий елемент мав таку форму де трикутний, , а елемент 1-параболічного типу. Для елемента наведені міркування можна повторити і прийти до висновку, що після редукції елемента з умови буде випливати, що є композицією лінійного перетворення, трикутного елемента та елемента типу. Отже, одночасне виконання умов для редукованих елементів означає наявність у групі нелінійного еле-мента виду де трикутні елементи, а має вид, вказаний вище. Оскільки два останні співмножника комутують з трансвекцією то маємо. Отриманий елемент має бітрикутний вигляд, належить до, і він мо-же бути лінійним, лише якщо він одиничний. Якщо він не такий, то ре-зультат випливає з теореми 4.2.1. Якщо ж елементи та комутують, то це означає, що елемент є насправді 1-параболічним, а не біпараболічним.

Описана вище техніка допускає застосування і до 3-трикутних елемен-тів. Справді, можна вважати, що група містить елемент виду, де трикутні елементи, а підстановочні матриці. Комутатор цього елемента з відповідною трансляцією (яка комутує з) має також 3-трикутний вид:, але висота трикутного елемента в дужках зменшилась. Продовжуючи цю процедуру, можна врешті-решт отримати бітрикутний елемент. При цьому, як і вище, слід розбирати численні випадки, коли отримані комутатори можуть виявитися лінійними. Їх повний розбір вдалося зро-бити лише в розмірності 3.

Теорема 4.3.1 Нехай довільний 3- трикутний елемент, тоді.

Обчислення комутаторів трансляцій з 4-трикутними елементами приво-дить, взагалі кажучи, до 5-трикутних елементів і описана техніка взагалі перестає працювати, а питання про існування проміжних підгруп залишається відкритим.

П’ятий розділ дисертації повністю присвячений доведенню теореми про ізоморфізм вінцевих добутків груп перетворень, яка є узагальненням згаданої вище відомої теореми Пітера Неймана про ізоморфізм стан-дартних вінцевих добутків груп. Нагдаємо, що вінцевим добутком групи перетворень з абстрактною групою називають напівпрямий добуток групи на групу всіх функцій, який визна-чається гомоморфізмом. Такий вінцевий добуток називають декартовим. Якщо розглядається лише підгрупа функцій із скінченними носіями, то вінцевий добуток називають прямим. Отримане узагальнення теореми П. Неймана для вінцевих добут-ків транзитивної групи підстановок з абстрактною групою формулюється наступним чином.

Теорема 5.2.1 Нехай транзитивні групи підстановок і

ізоморфізм декартових (прямих) вінцевих добутків з базами та (та) відповідно. Тоді справедливе тільки одне з наступних тверджень:

1.

2.

3.

4.

Шостий розділ дисертації присвячений опису автоморфізмів груп блочно-унітрикутних та блочно-трикутних перетворень, які за своєю будовою близькі до вінцевих добутків. Розділ 6.1 про властивості ендоморфізмів трансляційних модулів поліномів є допоміжним. Дія трансляцій, визначає на структуру модуля, який і називається трансляційним. Ендоморфізми трансляційних модулів будемо називати - ендоморфізмами.

Показано, що для нескінченного поля кільце всіх таких ендоморфізмів збігається з кільцем формальних експоненційних рядів. Зауважимо, що над полем характеристики 0 ізоморфне кільцю звичайних формаль-них степеневих рядів. Над полем ненульової характеристики ситуація складніша, оскільки згадане кільце формальних