КИЇВСЬКИЙ НАЦІОНАЛЬНИЙ УНІВЕРСИТЕТ

БУДІВНИЦТВА І АРХІТЕКТУРИ

ЧАН ДИК ТІНЬ

УДК 539.3

РОЗВИТОК ТЕОРІЇ І ЗАСТОСУВАННЯ МЕТОДУ

КОМПЕНСУЮЧИХ НАВАНТАЖЕНЬ ДО РОЗВ’ЯЗАННЯ ЗАДАЧ

БУДІВЕЛЬНОЇ МЕХАНІКИ

05.23.17 - Будівельна механіка

АВТОРЕФЕРАТ

дисертації на здобуття наукового ступеня

доктора технічних наук

Київ-2004

Дисертацією є рукопис.

Робота виконана в Київському національному університеті будівництва і архітектури Міністерства освіти і науки України.

Науковий консультант – доктор технічних наук, професор

Баженов Віктор Андрійович,

Київський національний університет

будівництва і архітектури, перший проректор,

завідувач кафедри будівельної механіки.

Офіційні опоненти: доктор технічних наук, професор

Верюжський Юрій Васильович,

Національний авіаційний університет,

завідувач кафедри комп'ютерних

технологій будівництва;

доктор технічних наук, професор

Піскунов Вадим Георгійович,

Національний транспортний університет,

завідувач кафедри опору матеріалів і машинознавства;

доктор фізико-математичних наук, ст.наук.співр.

Галанов Борис Олександрович,

Київський університет економіки і технологій транспорту,

професор кафедри вищої математики.

Провідна установа – Донецький національний університет, кафедра

теорії пружності і обчислювальної математики,

Міністерство освіти і науки України, м. Донецьк.

Захист відбудеться “4” червня 2004 р. о 1300 годині на засіданні спеціалізованої вченої ради

Д 26.056.04 у Київському національному університеті будівництва і архітектури за адресою 03037, м. Київ, Повітрофлотський пр., 31.

З дисертацією можна ознайомитись у бібліотеці Київського національного університету будівництва і архітектури за адресою 03037, м. Київ, Повітрофлотський пр., 31.

Автореферат розісланий “26” квітня 2004 p.

Вчений секретар

спеціалізованої вченої ради

кандидат технічних наук,

старший науковий співробітник В.Г.Кобієв

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальність теми. Прискорення науково-технічного прогресу обумовлює раціональне використання ресурсів у багатьох галузях техніки і вимагає створення принципово нових, більш досконалих інженерних конструкцій, в яких високі експлуатаційні якості оптимально поєднуються зі зниженням матеріалоємності і трудомісткості виготовлення. Для одержання надійних оцінок несучої здатності таких конструкцій необхідно підвищити вимоги до адекватності розрахункових схем і методів розрахунку, що повинні найбільшою мірою відповідати реальним умовам експлуатації досліджуваних конструкцій. Уточнення розрахункових схем дає можливість відмовитися від досить наближених припущень, які спотворюють картину роботи конструкції, і сприяє підвищенню їхньої надійності і довговічності поряд зі зниженням вартості. Проте вибір ефективних розрахункових схем реальних об'єктів, які, як правило, відрізняються досить складною структурою, приводить до істотних ускладнень у постановці і розв’язанні відповідних граничних задач будівельної механіки.

В більшості випадків дослідження складних об’єктів можливе тільки з використанням чисельних підходів. В той же час, незважаючи на велику кількість чисельних методів розв’язання задач будівельної механіки для багатьох з них спостерігається розрив між теорією і можливостями застосування. Це зумовлюється великими труднощами, що виникають при чисельній реалізації деяких методів, недостатньою обґрунтованістю окремих розрахункових підходів, а також недоступністю в ряді випадків математичного апарату для інженерної практики. Тому актуальною є проблема розробки надійних і ефективних чисельних методів, створення на їх основі універсальних програмних комплексів, орієнтованих на сучасну комп’ютерну техніку, і впровадження останніх у практику інженерних розрахунків.

Багатьом вимогам, які висуває до чисельних методів будівельна механіка, відповідає метод компенсуючих навантажень (МКН), що забезпечує достатню універсальність, ефективність і простоту реалізації, а також дозволяє виконувати побудову розв’язків у найбільш простій і зрозумілій для інженерів формі. До цього часу метод компенсуючих навантажень використовувався як варіант відомого методу потенціалу. В даний час назріла необхідність побудови єдиної методики розв’язання різних класів граничних задач будівельної механіки на основі комплексного і систематичного дослідження методу компенсуючих навантажень і розвитку його теорії, необхідної для обґрунтування схем чисельної реалізації і встановлення оцінки похибки отриманих розв’язків.

Зв'язок з науковими програмами, планами, темами: роботу виконано у відповідності з тематикою і загальними планами досліджень Науково-дослідного інституту будівельної механіки Київського національного університету будівництва і архітектури (КНУБА) і кафедри будівельної механіки КНУБА, зокрема, з темою 2ДБ-2002 “Теорія і методи дослідження динамічних хвильових процесів деформування, механізмів руйнування і втрати стійкості просторових конструкцій”. Номер державної реєстрації 0102U000928. Автор брав безпосередню участь у виконанні цієї науково-дослідної роботи як виконавець.

Метою роботи є:–

побудова і обґрунтування на базі розвитку і теоретичного узагальнення МКН ефективних схем чисельної реалізації методу, що дозволяють з єдиних позицій забезпечити розв’язання двовимірних і тривимірних лінійних граничних задач, розглянутих у класичній постановці (задачі згину і гармонічних коливань пластин і оболонок складної форми з урахуванням анізотропії матеріалу, задачі теплопровідності і термопружності для різних двовимірних і тривимірних середовищ, задачі дифракції хвиль для анізотропних середовищ, задачі термопружності для пластин і оболонок), а також при використанні різних наближених теорій будівельної механіки;–

створення на цій основі робочих алгоритмів і програмних комплексів, що відрізняються компактністю вихідної інформації і високим рівнем автоматизації всіх етапів обчислювальних процесів, а також можливістю оцінки вірогідності отриманих результатів;–

застосування і впровадження їх в інженерну практику в Науково-дослідному інституті будівельної механіки КНУБА для розрахунку і дослідження за допомогою комп’ютерів різних двовимірних об'єктів з урахуванням ускладненої структури середовища (шаруватості з нерегулярною структурою і т.п.).

Об'єктом дослідження є напружено-деформований стан тонких оболонок різного типу, а також двовимірних і тривимірних об'єктів під дією механічних і температурних навантажень або хвильових джерел.

Предметом дослідження є типові елементи інженерних конструкцій у вигляді тонких пластинок і оболонок, а також масивів, що відрізняються довільною формою границь області, яка може бути і неоднозв’язною, при змішаних граничних умовах. Для таких об'єктів у дисертації формулюються і розв’язуються в рамках технічної теорії згину лінійні граничні задачі про коливання тонких пластинок з урахуванням анізотропії матеріалу та з урахуванням контакту з пружною основою, задачі динаміки моментної теорії пологих оболонок, а також різного роду задачі теплопровідності і термопружності.

Методи дослідження. Метод дослідження, що застосовується у дисертаційній роботі, є теоретичним. В основу дослідження покладені поняття, закономірності і методи будівельної механіки, у тому числі і метод компенсуючих навантажень як основний метод розв’язання складних крайових задач для оболонок і інших двовимірних об'єктів дослідження. Математичні дослідження базуються на сполученні аналітичних та чисельних методів. Використовуються розділи математики, що відносяться до рядів Фур'є, інтегралів Фур'є, бесселевих функцій, інтегральних перетворень, розв’язання погано обумовлених систем алгебраїчних рівнянь, а також розв’язання трансцендентних рівнянь.

Наукова новизна одержаних результатів, що захищаються в роботі, зводиться до наступного:–

здійснений теоретичний розвиток МКН на основі узагальнення кратних потенціалів шарів і за допомогою доказу раціональності потенціалів простого і подвійного шарів. Ці теоретичні аспекти дозволили розробити і обґрунтувати єдину методику чисельного розв’язання основних і змішаних лінійних граничних задач, розглянутих у загальній постановці та при використанні деяких класичних наближених теорій будівельної механіки, запропонувати спрощений варіант МКН;–

розглянуті питання, пов'язані з одержанням фундаментальних розв’язків деякого класу крайових задач і з особливостями застосування регулярних інтегральних рівнянь першого роду як робочого апарату МКН у задачах будівельної механіки;–

доведена збіжність функціональних рядів, що входять у загальний розв’язок задачі динаміки пологих оболонок з довільними граничними умовами;–

запропоновані, обґрунтовані і досліджені способи урахування особливостей при чисельному розв’язанні граничних задач згину пластинок з довільною формою краю і з природними граничними умовами;–

розроблена загальна процедура розв’язання задач на власні значення, яка базується на використанні інтегральних рівнянь першого і другого роду, та розглянуто застосування цієї процедури до різного роду задач динаміки тонких пружних оболонок;–

створені та апробовані стійкі, ефективні алгоритми, які реалізують розроблену методику. Ці алгоритми покладені в основу програмних комплексів, що забезпечили одержання достовірних результатів обчислень власних частот і різних величин (прогинів, кутів повороту, зусиль і т.п.) при проходженні оболонки через резонанс;–

обґрунтований метод компенсуючих навантажень. Цей метод застосований для аналізу напружено-деформованого стану пологих оболонок у задачах динаміки і термопружності.

Практичне значення результатів даної роботи полягає в тому, що:–

розроблені в дисертації методика, алгоритми та обчислювальний комплекс дозволяють проводити розрахунок і дослідження міцності, термопружності і коливань елементів конструкцій типу пластин і оболонок (панелі житлових будинків, антени для космічних досліджень і т.п.), здійснювати контроль якості бетону і надійності основ споруд, побудованих у зонах землетрусів чи у зонах з підвищеною і змінною температурою, а також виявляти дефекти типу тріщин у конструкціях та матеріалах;–

отримані наукові результати, пов'язані з дослідженням і обґрунтуванням МКН, можуть знайти застосування при використанні інших методів, які базуються на інтегральних представленнях шуканих розв’язків;–

дослідження по темі дисертації знайшли застосування при виконанні держбюджетної науково-дослідної роботи з теми 2ДБ-2002 “Теорія і методи дослідження динамічних хвильових процесів і деформування, механізмів руйнування і втрати стійкості просторових конструкцій” у Науково-дослідному інституті будівельної механіки КНУБА.–

розроблений у дисертації метод розв’язання інженерних задач деяких класів конструкцій використовується в навчальному процесі Ханойського державного будівельного університету при виконанні науково-дослідних робіт і в дипломному проектуванні.

Достовірність основних наукових положень роботи підтверджується:–

за допомогою отриманих і використаних у роботі практичних оцінок похибок наближених розв’язків різних граничних задач будівельної механіки;–

шляхом співставлення чисельних результатів тестових задач, отриманих у дисертації, з наявними в літературі точними розв’язками і порівнянням практичних результатів, отриманих з використанням розробленого в дисертації програмного комплексу, з даними, обчисленими за допомогою методу скінченних елементів (МСЕ).

Особистий внесок здобувача: автор безпосередньо побудував усі нові фундаментальні розв’язки для ряду розглянутих у дисертації граничних задач будівельної механіки, розробив ефективні алгоритми і застосовував їх для чисельної реалізації розглянутих задач, одержав вперше оцінки похибки для наближеного розв’язання бігармонічних задач, розв'язав проблему сингулярності системи лінійних алгебраїчних рівнянь, отриманих у процесі дискретизації системи граничних інтегральних рівнянь першого роду, розробив чисельну процедуру для розв’язання задачі на власні значення.

Апробація результатів дисертації. Результати досліджень, що включені в дисертацію, доповідалися та обговорювалися на наступних науково-технічних конференціях: Національній конференції по механіці твердого тіла (Ханой, В'єтнам, 1991); Третій національній конференції з будівельної технології і будівельних конструкцій (Ханой, В'єтнам, 1994); П'ятій національній конференції по механіці твердого тіла (Ханой, В'єтнам, 1996); Шостому національному конгресі по механіці (Ханой, В'єтнам, 1997); Шостій національній конференції по механіці (Ханой, В'єтнам, 1999); Міжнародній науково-технічній конференції “Інтегровані комп’ютерні технології в машинобудуванні. ІKTM'2002” (Харків, ХАІ); 23-й Міжнародній науковій конференції по методах граничних елементів, квітень, 2000 (BEM-23, Англія); першій, другій, третій Всеукраїнських наукових конференціях "Математичні проблеми технічної механіки" (Дніпродзержинськ, 2001, 2002, 2003); 61-й, 62-й, 63-й, 64-й Науково-практичних конференціях КНУБА ( 2000, 2001, 2002, 2003 рр.). Робота в цілому доповідалась та була схвалена на науковому семінарі з будівельної механіки в КНУБА (2004 р.).

Публікації. Матеріали дисертації опубліковані у 36-х наукових працях: 14 статей у наукових фахових журналах і збірниках України, 12 статей в іноземних провідних фахових виданнях і 10 – у матеріалах конференцій.

Структура та обсяг дисертації. Дисертаційна робота складається з вступу, десяти розділів, загальних висновків і двох додатків. Обсяг дисертації становить 322 сторінки, 56 рисунків і графіків, 12 таблиць, 28 сторінок списку використаних джерел, що містить 343 найменувань, і 8 сторінок додатків.

ОСНОВНИЙ ЗМІСТ РОБОТИ

У вступі обґрунтована актуальність теми та обраного напрямку досліджень, сформульовані мета і задачі роботи, описаний об’єкт і метод дослідження, розкриті наукова новизна та обґрунтована вірогідність отриманих результатів, установлена практична цінність виконаних досліджень і описана структура роботи.

Перший розділ присвячений огляду сучасного стану проблеми. Тут проводитися аналіз літератури, присвяченій розробці ефективних чисельних методів розв’язання різних інженерних задач; огляд методів розв’язання статичних і квазістатичних задач, задач теорії оболонок і огляд робіт з теорії термопружності і теплопровідності для областей довільної форми з граничними умовами загального вигляду.

Серед сучасних чисельних методів для розв’язання складних крайових задач пластин і оболонок найбільш ефективними та універсальними є метод скінченних елементів і метод граничних елементів (МГЕ). Близькими по ідеї до останнього є метод компенсуючих навантажень, запропонований Б.Г.Коренєвим і метод розширення заданої системи (МРЗС), запропонований О.В.Лужиним. Три останні методи мають перевагу, яка полягає у зменшенні на одиницю розмірності вихідних задач, що дозволяє зменшити машинний час у порівнянні з МСЕ при близькій точності розв’язання двох- і тривимірних задач в чотири-десять разів.

Значний внесок у застосування і розвиток МГЕ, МКН і МРЗС для розв’язання задач теорії пластинок і оболонок внесли закордонні і вітчизняні вчені P.K.Banerjee, R.Butterfield, Y.Niwa, D.A.Newton, H.Tottenham, Б.Г.Коренєв і його учні, О.В.Лужин і його співробітники. Слід зазначити, що одними з перших проблемами чисельної реалізації методу потенціалу стосовно задач будівельної механіки почали займатись київські вчені з Інституту механіки ім. С.П.Тимошенка НАН України і Київського національного університету будівництва і архітектури: Д.В.Вайнберг, М.О.Кільчевський, О.Л.Синявський, Г.Б.Ковнеристов, Ю.В.Верюжський, Й.З.Ройтфарб та інші.

В другому розділі вивчаються деякі аспекти теоретичного розвитку методу компенсучих навантажень.

Нехай потрібно розв’язати наступну крайову задачу.

Lu (x) = f (x); x(x1,x2)G, GR2, (1)

lu (x)|Г=, (2)

де L- еліптичний оператор порядку 2m, для якого відомий фундаментальний розв’язок K (x,y); l=( l1,l2,.........lm ) - диференціальний оператор граничних умов;

=(1,2,.....m) - задані на контурі Г вектор-функції;

d(Г, Г‘)=inf |x-y|=d0>0, (3)

xГ, yГ‘ ; Г‘ – допоміжний контур.

Наближений розв’язок задачі (1)–(2) шукається у вигляді

uq(x)=u0+uk , (4)

де – основний розв’язок, що відповідає дії заданих навантажень; - компенсуючий розв’язок, що відповідає дії компенсуючих навантажень; ny – нормаль до допоміжного контуру Г‘ в точці y; q(y) – вектор-функція шуканих компенсуючих навантажень, визначений на Г‘.

Підпорядковуючи загальний розв’язок (4) граничним умовам (2), одержуємо систему розв’язуючих граничних інтегральних рівнянь крайової задачі (1)–(2):

, (5)

розв’язання якої дає вектор-функцію шуканих компенсуючих навантажень.

Слід зазначити, що загальний розв’язок (4) отриманий не для заданої системи, а для еквівалентної їй системи – основної системи, отриманої шляхом розширення області, яку займає задана система. Основна система може бути як скінченною, так і нескінченною. Відзначимо також, що компенсуючі навантаження розташовуються на особливих лініях (поверхнях), рівновіддалених від границі заданої системи на визначену відстань d, підпорядковану умові (3).

Далі в дисертації викладається методика побудови матриці Гріна крайової задачі (1)–(2). Ця методика базується на застосуванні методу варіації довільних сталих Лагранжа і використана для одержання ряду функцій Гріна змішаних граничних задач. При цьому викладений матеріал відноситься до двовимірного рівняння Лапласа і рівняння стаціонарної теплопровідності для оболонок обертання. Отримано матрицю Гріна для задачі стаціонарної теплопровідності шаруватих середовищ, що розглядаються у дисертації як фізично неоднорідні. Побудовано функцію Гріна для одного класу рівнянь із змінними коефіцієнтами.

У випадку бігармонічної задачі для ряду оболонок при граничних умовах загального типу за допомогою перетворення Фур'є знайдені динамічні функції Гріна . При цьому розрахункова область мала складну конфігурацію, але деякі ділянки її границі збігалися з границею області більш простої форми, для якої функція Гріна вже відома.

Третій розділ присвячений розробці принципових питань теорії МКН у його найбільш загальній постановці, пов’язаних з теоретичним обґрунтуванням чисельного підходу. Ці питання розглядаються і досліджуються в задачах згину пластинок, проте отримані результати, пов'язані з особливістю застосування регулярних інтегральних рівнянь першого роду, носять більш загальний характер.

МКН дає можливість одержати ефективні оцінки похибки. У дисертації запропонований досить загальний підхід, за допомогою якого в явному вигляді отримані відповідні оцінки похибки наближених розв’язків бігармонічних задач. Останні є узагальненням принципу максимуму для гармонічних функцій.

Отримано відповідні вирази для постійних ci (), які залежать від геометрії області G і деяких інших характеристик крайової задачі.

Подання розв’язку крайової задачі (6), (7) у вигляді потенціалу простого шару з щільностями (компенсуючими навантаженнями), розташованими на особливій лінії Г‘, що охоплює область, зайняту тілом, природним чином приводить задачу до регулярних інтегральних рівнянь першого роду. При дослідженні і розв’язанні цих рівнянь необхідно враховувати наступні дві обставини: по-перше, їх розв’язання є істотно некоректною задачею; по-друге, вони можуть не мати точного розв’язку. Проте відсутність такого точного розв’язку не є перешкодою для практичного застосування МКН. Особливістю методу в розглянутій постановці є та обставина, що визначення самих компенсуючих навантажень є допоміжною задачею, а сам розв’язок крайової задачі представляється у вигляді інтеграла від цих компенсуючих навантажень. У цьому зв'язку має сенс шукати не точний, а наближений розв’язок інтегральних рівнянь

, (11)

де – матриця інтегрального оператора, l,m=1,2, , - вектор компенсуючих навантажень, - задана на Г вектор-функція, .

При цьому вважається, що для будь-якого >o існує такий контур , на якому справедлива нерівність

, (12)

.

Тоді для контура під наближеним розв’язком інтегральних рівнянь (11) розуміється будь-яка вектор-функція , яка мінімізує норму нев'язки

. (13)

За допомогою наближений розв’язок w (x1, x2) визначається за формулою

.

У силу існування та єдиності розв’язку крайової задачі (6), (7), а також умов стійкості розв’язку (8) при малих в (13) похибка знайденого наближеного розв’язку буде малою.

Таким чином, наближене розв’язання крайової задачі (6)-(7) зводиться до побудови мінімізуючої послідовності функціоналу

. (14)

Чисельні дослідження показують, що не всяка послідовність , мінімізуюча норму різниці при довільній послідовності апроксимуючих даних і довільному n, буде мінімізуючою послідовністю функціоналу (14). І навіть можливо, що . Це пов'язано з тим , що при сукупність у силу некоректності задачі мінімізації функціоналу (14) може бути необмеженою. Ця обставина підтверджує необхідність створення алгоритму побудови послідовності з використанням методу регуляризації, яка задовольняє умові

, (15)

.

Знайдений з системи (11) розподіл компенсуючих навантажень , що задовольняє умові (12), не є єдиним, але розв’язок, побудований за допомогою методу регуляризації, має норму, мінімальну з усіх можливих, тому він є оптимальним.

Четвертий розділ присвячений проблемі розповсюдження хвиль зсуву в пружному масиві та в багатошаровому середовищі з нерегулярною структурою. В процесі досліджень побудована система інтегральних співвідношень для аналізу за МКН хвильових процесів у багатошаровому середовищі з нерегулярними міжшаровими границями. Переміщення в сумарному полі, як в задачах дифракції, представляються у вигляді суми двох переміщень - переміщень у падаючій хвилі (відома величина) і переміщень у відбитій хвилі (невідомий розв’язок, що відповідає дії компенсуючих навантажень та задовольняє рівнянню Гельмгольца). Необхідно відзначити, що замість дискретних компенсуючих навантажень для визначення переміщень можуть бути використані джерела, безперервно розподілені вздовж границі.

В межах розробленого єдиного підходу вводяться так звані допоміжні поверхні , що дозволяє уникнути проблем, пов'язаних з обчисленням сингулярних інтегралів, ядрами яких є функції Гріна. Невідомі компенсуючі навантаження визначаються умовами повного контакту, яким повинні задовольняти переміщення і напруги на сполучених поверхнях. У результаті дискретизації граничних інтегральних рівнянь (ГІР) отримана система лінійних алгебраїчних рівнянь (СЛАР) відносно невідомих компенсуючих навантажень. СЛАР розв’язується за методом найменших квадратів з використанням QR-декомпозиції .

В дисертації дана оцінка похибки визначення поверхневих переміщень (Еr). Визначення розташування допоміжних поверхонь і кількості дискретних компенсуючих навантажень здійснюється шляхом мінімізації функціоналу похибки Еr. При проведенні тестових розрахунків кількість точок спостереження для обчислення похибки Еr обиралась рівною 40. МКН успішно протестований на одношаровій моделі (рис. 1). Вертикальна координата поверхні контакту шару і півпростору, змінювалась за законом косинуса. Результати розрахунків, що відповідають вертикально падаючій хвилі, представлені на рис.2. На рисунку видно, що при Хn=2 спостерігається найкраща збіжність результатів. Аналогічні результати отримані також і при інших значеннях параметрів навантажень (табл. 1). Аналіз отриманих чисельних результатів дозволяє зробити такі висновки:

- розв’язання задачі про прозорий об'єкт дозволяє визначити первісні значення параметрів моделі;

- погонна кількість точок колокації на довжині падаючої хвилі повинна дорівнювати щонайменше десяти, крім того, ця кількість зростає одночасно зі збільшення частоти коливань;

- довжина контактної ділянки повинна бути вдвічі більшою за довжину ділянки з перемінним поглибленням.

Дані про мінімальну кількість точок колокації, необхідну для того, щоб відносна похибка Еr була меншою за 0,001, наведені в таблиці 1.

Порівняння чисельних результатів, отриманих за допомогою розробленої методики, з даними інших авторів (Акі і Ларнер), підтверджує точність і надійність методики, побудованої на основі МКН.

У дисертації досліджені фундаментальні розв’язки і на їх основі побудовані інтегральні рівняння методу компенсуючих навантажень, що описують розповсюдження в масивних тілах і дифракцію на перешкодах пружних зсувних хвиль високочастотного діапазону. Для випадків, коли границі перешкод є гладкими, отримані аналітичні розв’язки задач Дирихле і Неймана.

Отримані результати складають теоретичну основу для створення ефективних алгоритмів дослідження хвильових процесів у земній корі, а також можуть бути застосовані при створенні засобів неруйнуючого контролю.

У п'ятому розділі приведена постановка задач визначення компонентів напружено-деформованого стану сферичних оболонок. Системи диференціальних рівнянь рівноваги для згаданих об'єктів записані в переміщеннях з використанням технічної моментної теорії пологих оболонок. Для задач пологих оболонок компенсуючі навантаження представляються у вигляді чотирьохкомпонентного вектора q(y)=(qi (y)), і=1,2,3,4; y=(y1,y2) Г’, де q1(y) і q2(y) – поверхневі складові, а q3(y)=m(y) і _нормальні складові компенсуючих навантажень. Фундаментальні розв’язки систем диференціальних рівнянь для пологої оболонки визначаються як частинні розв’язки, що відповідають дії в довільній точці нескінченної пологої оболонки одиничних зосереджених навантажень.

Використовуючи стандартну процедуру МКН, приведені вище крайові задачі можна звести до регулярних інтегральних рівнянь першого роду відносно компенсуючих навантажень. У дисертації приведений алгоритм чисельного розв’язання таких рівнянь і побудови шуканих розв’язків. В якості ілюстрації у даному розділі наведений розрахунок сферичної оболонки із затисненим круговим контуром, яка зазнає дії зосередженої сили, прикладеної в центрі у вертикальному напрямку. Нормовані значення прогинів в центрі оболонки, обчислені для випадку R=50 м, , Р=32,4 т, h=0,15 м, представлені в таблиці 2. Отримано картину розподілу радіальних переміщень при різних значеннях параметра . Результати розрахунків добре узгоджуються з аналітичним розв’язком, отриманим О.О.Назаровим.

Шостий розділ присвячений дослідженню за МКН усталених коливань пологих сферичних оболонок, що мають довільну форму країв, при довільних граничних умовах.

Розглянуто нескінченну пологу сферичну оболонку, що деформується під дією гармонічної зосередженої сили. Така система в подальшому використовується як основна при розв’язанні за МКН складних крайових задач. .

Фундаментальний розв’язок рівняння (16) має вигляд

, (18)

де z - відстань між точками х та у; Y0 , K0 - функція Бесселя і модифікована функція Бесселя другого роду нульового порядку.

За допомогою (18) і співвідношень теорії пологих сферичних оболонок отримані динамічні функції Гріна для амплітуд переміщень і внутрішніх сил, які виникають у довільно орієнтованих перерізах оболонки під дією зосереджених сил і моментів .

При дослідженні за МКН гармонічних коливань оболонок вздовж замкненої особливої лінії, розташованої поза контуром вихідної оболонки, прикладаються компенсуючі навантаження - погонна нормальна сила і погонний нормальний момент , причому останній діє в площині, котра містить нормаль до особливої лінії. Загальний розв’язок поставленої крайової задачі згідно МКН подається у формі

де ,

V – область, яку займає вихідна оболонка ; С’ – особлива лінія; S - область дії заданого навантаження; G - будь-яка величина з переміщень і внутрішніх сил оболонки; - функції Гріна розглянутої величини, що відповідають дії зосереджених сили і моменту відповідно ; q(a) і m(a) - задані навантаження .

Спрямовуючи точку області х до точки її контуру, з (19) одержуємо рівняння відносно невідомих компенсуючих навантажень

де , C – контур оболонки; n – напрямок зовнішньої нормалі до контуру оболонки ; Gn(C) – задані функції на контурі.

Підпорядковуючи (20) граничним умовам, одержуємо розрахункове рівняння. Розв’язуючи останнє, знайдемо компенсуючі навантаження, за допомогою яких визначається НДС оболонки.

Дослідження власних коливань оболонок при однорідних граничних умовах вимагає розгляду наступного рівняння

де обчислюється так само як і раніше, за формулою (17), але – частота власних коливань оболонки, яка підлягає визначенню.

Вивчені власні коливання пологих сферичних куполів з точковою опорою і без неї. За допомогою (21), розкладаючи компенсуючі навантаження у ряд Фур'є та використовуючи формули теорії бесселевих функцій, отримуємо формули для визначення характеристик частот і форм власних коливань розглянутих куполів при різних граничних умовах.

Проведені за допомогою виведених формул чисельні обчислення частот власних коливань металевої антени, виготовленої у вигляді пологого купола з точковою опорою, розташованою в його полюсі. Отримані результати для перших часто добре узгоджуються з експериментальними даними.

Розглянуті на основі рівнянь (20) гармонічні коливання пологих сферичних оболонок, які мають у плані довільну форму і довільні граничні умови. Тут особлива лінія вибирається геометрично подібною до форми краю оболонки. Інтегральні рівняння МКН розв’язуються наближено. Для цього особлива лінія замінюється набором з контурних елементів, компенсуюче навантаження в межах кожного елемента апроксимується деякою функцією, а виконання граничних умов вимагається в обмеженій множині точок контура. У першому наближенні граничні елементи вибираються прямолінійними, а апроксимуючі функції – кусково-сталими. В результаті для кожної колокаційної точки записується дискретний аналог рівняння (20) у вигляді

- довжина j-го елемента, G вказує на будь-яку величину із переміщень і внутрішніх сил оболонки.

У роботі наведені формули для чисельного визначення компонент напружено-деформованого стану і форм власних коливань розглянутої оболонки.

Складено за допомогою розроблених алгоритмів програмний комплекс мовою ФОРТРАН для дослідження коливань оболонок з урахуванням довільності форми і умов закріплення країв. При цьому використана квадратурна формула Гаусса для обчислення інтегралів вигляду (23), а також алгоритми Деккера-Брента, що поєднують безвідмовність бісекції з асимптотичною швидкістю методу січних при розв’язанні трансцендентного рівняння (25). Для розв’язання системи лінійних алгебраїчних рівнянь (24), яка, як правило, є погано обумовленою через те, що утворюється шляхом дискретизації інтегральних рівнянь Фредгольма першого роду (20), використовується алгоритм регуляризації А.М.Тихонова.

За допомогою складених програм розв’язані тестові задачі про власні і вимушені гармонічні коливання пологої сферичної оболонки, що має в плані квадратну форму і шарнірно опирається по контуру. Власні значення задачі про коливання пологої сферичної оболонки, затисненої по контуру, приведені в таблиці 3. Значення частот власних коливань антени, що розглядається у дисертації як сектор пологої сферичної оболонки з вільним контуром і з точковою опорою, наведені у таблиці 4. Власні значення коливань пологої сферичної оболонки, що має у плані L- подібну форму з віссю симетрії по діагоналі представлені в таблиці 5.

Сьомий розділ присвячений дослідженню коливань пологих оболонок позитивної гауссової кривизни. Розглянуто прямокутну в плані і шарнірно оперту по контуру оболонку під дією гармонічної зосередженої сили. При застосуванні МКН така система обирається в якості основної. Диференціальні рівняння коливань цієї оболонки, записані відносно амплітудних функцій, мають вигляд

(26)

де w - нормальне переміщення оболонки; - функція напруги; , - радіуси кривизни оболонки; - частота гармонічних коливань; х=(х1, х2) - координати точок спостереження; у=(у1, у2) - координати точки прикладення сили.

Розв’язок рівнянь (26) подається у формі

де , а1,а2 – довжини сторін в плані контура оболонки (основної системи).

За допомогою функції (27) побудовані динамічні функції Гріна для всіх компонентів переміщень і внутрішніх сил у довільно орієнтованих перерізах оболонки.

Розглянуто задачу про гармонічні коливання пологих оболонок позитивної гауссової кривизни, що мають у плані довільну форму границі S і довільні граничні умови. В якості особливих ліній використані дві замкнені криві С1 і С2, що не перетинаються між собою і лежать поза вихідною системою, а в якості компенсуючих навантажень обрані погонні нормальна сила і момент , причому останній діє в площині, нормальній до лінії С.

Крайова задача для розглянутої оболонки зведена до інтегральних рівнянь типу (20), де С=С1+С2.

Отриманий чисельний розв’язок тестової задачі про частоти власних коливань оболонки позитивної гауссової кривизни, прямокутної в плані і шарнірно опертої по границі, що добре узгоджується з аналітичним розв’язком. Результати розрахунків наведені в таблиці 6. Максимальна похибка складає 1,03 %.

Восьмий розділ присвячений дослідженню сталих коливань замкнених циліндричних оболонок.

Розглянуто радіально оперту на торцях оболонку, навантажену зосередженою силою, що змінюється за гармонічним законом. В подальшому така система була використана як основна. Диференціальне рівняння для амплітудних функцій коливань оболонки в цьому випадку можна записати наступним чином:

, (28)

де , - деяка скалярна функція, що зв'язана з тангенціальними і нормальними w переміщеннями оболонки співвідношеннями

- координати точок поверхні оболонки, віднесені до її радіуса, у напрямках твірної і дуги відповідно; ,координати точки прикладення сили.

Розв’язок рівняння (28) має вигляд

причому, де

- довжина оболонки.

За допомогою (30) отримані динамічні функції Гріна від дії зосередженої сили і зосередженого моменту для всіх складових переміщень і внутрішніх сил основної системи.

Розглянуті за допомогою МКН гармонічні коливання замкнених циліндричних оболонок з довільними умовами закріплення країв. За особливі лінії обрані з кожної сторони торців оболонки дві замкнені криві, що знаходяться поза торцями і не перетинаються. Уздовж особливої лінії прикладені погонні нормальні компенсуючі навантаження: сила і момент .

Крайова задача для розглянутої оболонки зведена до інтегральних рівнянь типу (20), причому S=S1+S2, C=C11+C12+C21+C22. Тут індекси при S і перші індекси при C вказують на торці оболонки.

Отримано чисельні результати розв’язання задачі про власні коливання шарнірно опертої по торцях циліндричної оболонки з отвором (рис. 4), що добре узгоджуються з відомими результатами (табл. 7).

У дев'ятому розділі на прикладах задач стаціонарної і нестаціонарної теплопровідності для одно- і багатошарових смуг, послаблених періодично розташованими отворами довільної форми, показано застосування побудованого алгоритму, що базується на непрямому методі граничних елементів, який є одним з варіантів МКН. Використовуються інтегральні представлення, ядрами яких є функція Гріна відповідної області без отвору. Ця функція, а для складеного тіла матриця Гріна, була побудована методом розділення змінних з наступною варіацією довільних сталих (метод Лагранжа).

При розв’язанні задачі нестаціонарної теплопровідності перехід до відповідних рівнянь еліптичного типу здійснювався за допомогою методу прямих із заміною похідної за часовою змінною в рівнянні Фур'є кінцево-різницевими співвідношеннями. В результаті було отримано наступну крайову задачу

, (31)

де – шукана температура, та – задані інтенсивності теплових джерел в області розрахунку та на границі отвору відповідно.

Щільність компенсуючих теплових джерел визначається з інтегрального рівняння

, (33)

де

,, – основний розв’язок, – побудована функція Гріна.

На рис. 5,а наведено чисельні результати реалізації побудованого алгоритму для задачі про теплопровідність одношарової смуги з отворами еліптичної та трапецієвидної форми при наступних параметрах граничних умов:

.

Результати розв’язання задачі про теплопровідність смуги, послабленої отворами тунельної форми, при розривних граничних умовах на контурі отвору зображені лініями рівня на рис. 5,б.

На рис. 6 показані результати дослідження теплопровідності одношарової смуги з двома рядами отворів трапецієвидної форми.

Розподіли температури в двошарових смугах, послаблених отвором еліптичної форми та круговою виїмкою, наведені на рис. 7.

Далі в дисертації отримані розв’язки задачі стаціонарної теплопровідності для неоднозв’язних шаруватих тіл, що мають складну конфігурацію та отвір. Система рівнянь з відповідними граничними умовами перетворюється на систему звичайних диференціальних рівнянь за допомогою інтеграла Фур'є. Знайдено розв’язок задачі про температурний стан двошарової смуги з отвором тунельної форми (рис.8), причому в кожному з шарів діє свій закон теплопровідності.

Зазначимо, що обчислювальний алгоритм даної задачі побудований за допомогою непрямого методу граничних елементів.

Тривимірна задача була приведена до двовимірної за допомогою розвинення в ряд Фур’є в напрямку координати z, що не викликало принципових ускладнень.

Десятий розділ присвячений дослідженню напружено-деформованого стану нерівномірно нагрітих об’єктів. Задача зводиться до розрахунку пружної рівноваги під дією температурного компенсуючого навантаження. Останнє відомим образом визначається розподілом температури, яке, у свою чергу, є розв’язком відповідної граничної задачі.

Показано використання методу компенсуючих навантажень для розв’язання вісесиметричної задачі про термопружну рівновагу циліндра нескінченної довжини з кільцевим розрізом (рис. 10, 11).

На частині розрізу () діють рівномірно розподілені теплові джерела інтенсивності . Бокова поверхня циліндра теплоізольована, вільна від дотичних напружень і закріплена таким чином, що її точки не мають радіальних переміщень. Функція температури задовольняє рівнянню

, , (35)

де - коефіцієнт теплопровідності.

Розв’язок (36), побудований в дисертації, має вигляд

. (36)

Після визначення за МКН знайдені нормальні напруження в площині z=0, за допомогою яких були отримані залежності нормованого коефіцієнту інтенсивності напружень від при різних значеннях . Результати, наведені на рис. 11, свідчать про те, що при деяких співвідношеннях і можливе виникнення стискаючих () нормальних напружень.

Далі, алгоритм МКН був застосований для аналізу НДС тороїдальної конструкції, схематично показаної на рисунку 12.а, яка зазнавала температурного впливу (нерівномірного нагріву середнього шару конструкції при збереженні постійної температури на внутрішньому шарі). Розподіл температури вздовж середнього шару показаний на рисунку 12.б.

На рисунку 13 наведені результати розрахунку НДС зовнішньої оболонки, причому в лівому нижньому куті показані тангенціальні переміщення.

Було розглянуто також НДС тороїдальної конструкції, який виникає при локальному нагріві середнього шару конструкції біля чотирьох рівновіддалених точок та збереженні постійної

температури на внутрішньому шарі. На рисунку 14 наведені результати розрахунку напружено-деформованого стану зовнішньої оболонки. Тангенціальні переміщення поверхні оболонки зображені в лівому нижньому куті рисунку 14,б. На рис. 14,а схематично показан прогин оболонки (стрілкою позначене місце нагріву).

Звертає на себе увагу локалізація збурень в межах області знакосталості гауссової кривизни оболонки. Крім того, зменшення збурень в напрямку паралелей при віддаленні від точок нагріву в області додатної гауссової кривизни виражене значно сильніше, ніж в області від’ємної. Це свідчить про те, що перша з цих областей має більшу жорсткість по відношенню до локального теплового навантаження.

Аналогічні результати для внутрішньої оболонки наведені на рисунку 15.

Розглянуто НДС конструкції, що складається з трьох концентричних замкнених сферичних оболонок, з’єднаних між собою за допомогою циліндричних стержнів (рис. 16). Температурне поле середньої оболонки характеризується постійними рівнями температури в основах стержнів. З урахуванням симетрії розрахункова область мала вигляд, показаний на рис. 17.

За умов симетрії шуканий розподіл температури може бути визначений з рівняння

, (37)

де

; – географічні координати.

Побудована в дисертації функція Гріна має вигляд

, (38)

За наявності функцій Гріна та єдиного алгоритму МКН неважко отримати розв’язок задачі. На рисунку 18 лініями рівня в площині географічних координат зображені результати розрахунку характеристик НДС середньої оболонки, спричиненого дією температурних навантажень.

Аналізуючи картину напружень, можна, зокрема, зробити висновок про те, що найбільш напруженими виявляються місця в околицях середин дуг, що обмежують розрахункову область.

ОСНОВНІ ВИСНОВКИ

У дисертації вирішена науково-технічна проблема, яка полягає в розвитку і теоретичному обґрунтуванні методу компенсуючих навантажень, розробці єдиного ефективного обчислювального підходу, який базується на побудованих в роботі нових функціях Гріна, і застосуванні цього підходу до розв’язання різноманітних задач будівельної механіки. Вирішення цієї проблеми, яка до цього часу залишалася однією з актуальних проблем будівельної механіки, має важливе наукове і практичне значення.

Отримані особисто автором і наведені в дисертації результати є суттєвим науковим внеском у розвиток будівельної механіки і теоретичною основою інженерних розрахунків елементів будівельних конструкцій типу пластин, оболонок, а також масивів різної конфігурації з довільними граничними умовами під дією механічних, температурних і хвильових навантажень.

Найбільш важливі наукові і практичні результати дисертаційної роботи полягають у наступному:

1. В межах єдиного підходу запропоновано спосіб побудови функцій Гріна мішаних граничних задач для деяких диференціальних рівнянь у частинних похідних другого порядку еліптичного типу, який базується на застосуванні методу варіації довільних сталих Лагранжа. Цей метод був застосований для розв’язання задачі про стаціонарну теплопровідність шаруватого середовища та задачі про термопружний стан замкнених оболонок обертання.

2. Наведені вирази функцій Гріна, побудова яких можлива при використанні зазначеного підходу до граничної задачі стаціонарної теплопровідності і термопружності для об'єктів, що обмежені поверхнями обертання. За допомогою побудованих функцій Гріна в дисертації отримані чисельні результати розрахунку параметрів НДС сферичної і тороїдальної оболонок, які зазнають теплових впливів (локальних та таких, що змінюються повільно).

3. За допомогою методу Лагранжа знайдені матриці Гріна задачі про теплопровідність шаруватого середовища. На основі цих матриць були побудовані інтегральні представлення розв’язку задачі. Такий підхід дав можливість знизити на одиницю вимірність задачі та створити ефективний обчислювальний алгоритм.

4. З використанням єдиного підходу отримані вперше вирази функцій Гріна для одного класу рівнянь із змінними коефіцієнтами. За допомогою цих функцій розв’язана задача про стаціонарну теплопровідність двошарової смуги, причому коефіцієнти теплопровідності матеріалів обох шарів були функціями координат.

5. Досліджені сталі коливання пологих сферичних оболонок за допомогою МКН. Одержані вперше загальні розв’язки крайових задач для таких оболонок, які приводять до інтегральних рівнянь Фредгольма першого роду.

6. З метою підвищення ефективності та точності розрахунків проведена